分组与分配问题

组合知识点及题型归纳总结知识点精讲1.单纯组合问题2.分选问题和选排问题①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数. ②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3.分组问题和分配问题①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； ②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.题型归纳及思路提示题型1 单纯组合应用问题 思路提示把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504815=C C （种）.（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有165311=C （种）.（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有8253112241112=+C C C C （种）.解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）.（4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：9665848153825=++C C C C C 种.（5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名，故44173427243714C C C C C C C +++种. 综上可知，选法有412C +44173427243714C C C C C C C +++=790种.解法二：分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，则有47C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -⋅种，故共有412C +()47411C C -=790种.变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法.A.84B.98C.112D.140变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法. A.150 B.147 C.141 D.142 变式3 若A x ∈1，就称A 为有伴关系的集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,1M ，则M 的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个.A.15B.16C.82D.52例12.22 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴上5个点和y 轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个.A.30B.35C.20D.15解析 如图12-21所示，在x 轴正半轴上5个点中取两点B A ,，在y 轴正半轴上3个点中取两点D C ,，确定四边形ABCD ，其对角线P BC AD =⋂是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有302325=C C 个，故选A.评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助. 变式1 AOB ∠的边OA 上有4321,,,A A A A 四个点，OB 边上有4321,,,B B B B ，5B 五个点，共9个点，连接线断j i B A ()51,41≤≤≤≤j i ，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对.A.30B.60C.120D.160变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在()0,3处，则质点共有______种跳法；若经过m 次跳动质点落在()0,n 处，0,1,≥≥≥n m n m 且n m +为偶数，则质点共有______种跳法.题型2 分选问题和选排问题 思路提示两个集合B A ,，()()21,n B card n A card ==.A 选1m ，B 选2m ，共有2211m n m n C C 种方法，选排为选出再排列. 例12.23 6女4男选出4人.（1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B ，有多少种选法？解析 （1）女选2，男选2有902624=C C 种选法，再安排4个不同工作有2160442624=A C C 种方法.（2）加法：20946143624263416=+++C C C C C C C ；减法：20944410=-C C . （3）减法：20944410=-C C .（4）加法：194143624263416=++C C C C C C ；减法：1944446410=--C C C .（5）从10-3=7人中选3人，3537=C .评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？ 变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.A.150B.180C.300D.345 例12.24 （2012浙江理6）若从9,3,2,1，⋯这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种.A.60B.63C.65D.66解析 由数字特征可知，9,7,5,3,1共5个奇数，8,6,4,2共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：四个均为奇数，有545=C 种取法；两个奇数，两个偶数，有602524=C C 种取法；四个均为偶数，有144=C 种取法.共有66种不同的取法，故选D.变式1 从7,6,5,4,3,2,1这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.A.432B.288C.216D.108变式2 由数字6,5,4,3,2,1,0组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有______个（用数字回答）.变式3 从10~1这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种. A.18 B.20 C.45 D.84例12.25 （2012陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种. A.10 B.15 C.20 D.30 解析 根据题意可分3类：当比赛3场结束时，有332C =2种不同的情形；当比赛4场结束时，有6213=C 种；当比赛5场结束时，有12224=C 种不同情形.故共有201262=++种不同的情形.故选C.变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成3,2,1号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且2,1号至少一名新队员，有______种排法（用数字作答）.变式2 已知集合{}{}{}4,3,1,2,1,5===C B A ，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标()z y x ,,，则共可确定（ ）个点的坐标. A.33 B.34 C.35 D.36变式3 用4张分别标有4,3,2,1的红色卡片和4张分别标有4,3,2,1的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有______种排法（用数字作答）.题型3 平均分组和分配问题 思路提示分组定义：把一个非空有限集A 按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集. ①分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）；②有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；③由若干（m 个）元素不为1的组，且元素个数相同，把①②的结果除以mm A .分配定义：把一个非空有限集A 的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型：逐方向分配即可，共有分配数：m mnn n n n m n n m n m C C C C N ⋯=---321211（额配法） . ②不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A 按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在m 个分配方向上排列（组排法）.③信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有34种投法. ④相同元素的分配问题（不定方程组的个数）——隔板问题.⎪⎩⎪⎨⎧≤∈∈⋯=+⋯++nm N n m N x x x n x x x m m ,,,,,,**2121，共有11--m n C 组不同的解. 例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本. 解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2本分给甲，其方法有26C 种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有24C 种，最后的两本分给丙，方法有22C 种.有分步计数原理，故所求的分配方法有26C 24C 22C =90种.解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有22222266A A A A 种分法.解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有33222426A C C C 种，再分配3个人的方法有33A种。

组合问题中分组问题和分配问题.（1）非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1m nCA =21m m -n C …k m )m ...m (m -n 1-k 21C +++例1：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210=C C C 若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003729110=C C C .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为rr A A /（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以kk A .例2：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/224448210=A C C C .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为44222224262819110/A A C C C C C C ⋅（3）非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为m mA A ⋅例3：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210A C C C ⋅⋅⋅种.若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有334538210A C C C ⋅种（4）均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为）（rr A A A /mm ⋅. 例4：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210A A C C C ⋅练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544213842/C C C A ）2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1260）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（22224262/90C C A A ）作业1：(1) 今有10件不同奖品,从中选6件分给三份，一份一件,一份二件和一份三件,有多少种分法?（2）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(4) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?(5) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,一份4件，另外2份各一件, 有多少种分法?（6）今有10件不同奖品, 从中选6件分成三个人,一个人4件，另外2个人各一件, 有多少种分法?（7）今有10件不同奖品, 从中选6件分成三个人,每人2件, 有多少种分法? 作业2：（1）10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？ （2） 25x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数隔板法隔板法又叫隔墙法，插板法，n 件相同物品（n 个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。

排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题【例题1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。

三、基本的分配的问题(一)定向分配问题【例题1】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题【例题2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.结论 2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。

通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。

【例题3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？四、分配问题的变形问题【例题1】四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？【例题2】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？【例题3】设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？总之，掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分配问题。

分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。

分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。

将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。

分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。

对于后者必须先分组后排列。

二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。

可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。

不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。

(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。

或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。

分组分配问题的教学探究与反思摘要:本文就分组分配问题的常规教学作了深刻的探究，透过一系列的变式练习让学生理清各种分组与分配问题的本质，并对教学中每一环节的设计作了深刻的反思.关键词:非平均分组,完全平均分组,部分平均分组,定向分配,不定向分配分组与分配问题是排列组合中的难点问题，在历年的教学中发现，不少学生对这一模块的知识点比较含糊，似懂非懂，思维比较凌乱.鉴于此，我对这一节课的授课形式作了多次的尝试，最后整理出学生理解比较透彻的一个教学思路，现分享如下：一、分组问题：分组主要有非平均分组、完全平均分组、部分平均分组，编排三个简单的问题，引导学生先把分组情况用列举法一一列出，在列举的过程中体会各种分组的区别，理解列出式子的意义：例题1：把4张不同的邮票分成两份，其中一份1张，一份2张，共有多少种不同的分法？分析：设4张邮票编号分别为，列举如下：共有4种不同的分法；列式：反思：这个属非平均分组问题，式子不涉及到重复计数，因而不需去序,该题的编排旨在让学生理解组合数的简单应用.例题2：把4张不同的邮票分成两份，每份2张，共有多少种不同的分法？分析：在学生用组合数式子列完例题1接着做例题2时，很容易直接算出：的结果，这时引导学生尝试用列举法列出来看看结果是否正确.设问：这道题的列式跟例1思路如出一辙，结果怎会出错呢？通过列举，学生不难发现，列出的6种结果两两重复，所以实际上只有3种不同的分法，准确列式应为： .反思：这个属完全平均分组问题，式子中每种分法重复计数了两次，因此要除以去重，该题的编排旨在让学生通过列举，对组合数中的每种分法为什么重复、哪里重复、重复了多少有一个比较深刻的理解.例题3：把4张不同的邮票分成3份，其中一份2张，另两份各1张，共有多少种不同的分法？分析：有了例2的引导，学生做该题时小心了很多，开始不少同学直接列式子：但是当他们列完，马上懂得去考虑是否有重复计数的问题，很快就，有学生看到重复计数了两次，所以实际只有6种不同的分法，于是学生自己整理出式子： .反思：该题属部分平均分组问题，该题的编排旨在让学生分清完全平均分组与部分平均分组的区别，理解该怎么排除重复计数.二、分组讨论在这个环节，学生想到了很多挺有趣的问题，这里罗列一二：问题一：把7张不同的邮票分成4份，其中一份1张，其余3份各2张，共有多少种不同的分法？有了前面知识点的铺垫，学生变醒目了很多，通过讨论，先选：，但由于后3份都是2张，该式子中还要去重，所以最后的不同分法只有：.问题二：把11张不同的邮票分成5份，其中一份1张，有两份各2张，另外两份各3张，共有多少种不同的分法？在学生提出这个问题时，我惊喜了好一会，这也是一个很典型的分组问题，有两份是平均分组的，引导学生思考：式子有多少是重复计数的？学生不难想到两份2张的重复计数了次，两份3张的也重复计数了次，所以该题最后的不同分法有： .反思：该环节的设置旨在激发学生的思维，发挥学生的奇思妙想，进一步探究不同的分组问题，从而更深一步理解去重问题.三、理论升华：思考：以上问题都是在研究如果分组的问题，由此可得出什么结论？结论1：非平均分组问题不涉及到重复计数，只需用组合数选好即可；结论2：平均分组问题要去重，平均分为组，重复计数次，用组合数选好后要除以；结论3：部分平均分组问题，对于平均部分要去重.反思：该环节的设置由例题升华为理论，让学生对于分组问题有一个系统的掌握，进而推广到一般性的分组问题中去.四、分配问题分配问题属于排列问题，一般分为定向分配和不定向分配，我引导学生做分配问题的原则是：先分组，后分配.例题4：有7名消防员到A、B、C三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名消防员，B、C两个社区各2名消防员，则不同的分配方法有.分析：可先从7名消防员中选3人到A社区，再从剩下的4名消防员中选出2人到B社区，剩下的2名消防员去C社区，所以不同的分配方法有种.反思：该题为定向分配问题，题意已指定A社区3人，其余两个社区各2人，利用组合数选好即已经完成分配任务，不需要再重新排序，该题的设置旨在引导学生如何利用组合数处理定向分配问题.例题5：（例题4的改编）有7名消防员到A、B、C三个社区参加抗洪救灾工作，每个社区至少2名消防员，则不同的分配方法有种.分析：完成该题的分配任务分两步：第一步：把7名消防员分为3+2+2的3组，则有：种分法；第二步：把分好的3组分配给3个社区，有种分法；所以不同的分配方法有种.反思：该题为不定向分配问题，与例4不一样的是分好的3个组没有指定到哪个社区，故而要乘以进行排序分配.学生在做这题的时候思维会有一点凌乱，有学生列成：，这时适当引导学生思考犯了什么错误，学生经过讨论不难发现，在分组时忘记部分平均分组出现了计数重复的情况，因而要除以去重再考虑分配，分析到这个点的时候，一再强调：对于分配问题坚持“先分组，后分配”的重要性，这样可以做到不重不漏不乱.五、拼搏模拟，实战高考1、（2019广州天河二模）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A、360种B、330种C、150种D、125种2、（2020课标II）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.反思：这两个题是分组分配问题的实际应用，该环节的编排旨在让学生通过实际操练，体会分组分配问题在高考中的考题方向及难度，从而消除对高考的恐惧.六、教学反思整节课的教学设计都是围绕着分组和分配这一主题进行，课堂以3个相对比较简单的变式题型引入，让学生通过列举、列式等形式理解非平均分组、完全平均分组、部分平均分组的各种分组问题，整节课最有趣的地方之一是学生在完成前三个例题以后提出的一些其他形式的分组，让他们自己去设题编题，可以更深一步加深他们对于分组的理解，从而准确地处理去重问题；课程的后半节是探究分配问题，掌握定向分配与不定向分配的处理方法，让学生坚持“先分组，后分配”的原则，这样复杂的实际问题也可以简单化，学生对于后面的高考模拟和高考真题也能轻易地解决.以上是我从教多次分组分配问题后总结出来的个人认为较为成功的一个课例，一节课下来学生反应良好，课堂气氛浓烈，而学生对这一主题的知识点基本也有了较为系统的掌握，轻而易举地将该难点问题简单化.参考文献：[1]普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3 人民教育出版社.2019.[2]高中新课标总复习数学广西师范大学出版社.2020.2。

太奇MBA 数学助教李瑞玲一．分组（分堆）与分配问题将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。

将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。

分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。

对于后者必须先分组后排列。

一．基本的分组问题例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。

分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。

现把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。

以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组的顺序，即除以33P ,于是最后知分法为1569033222426==P C C C .(2)先分组，分组方法是60332516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很关键的问题）由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有60332516=C C C 。

（3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需要好好考虑）现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）56（1,2,3,4）652）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下5（1,2,3，4）66（1,2,3,4）53）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下56（1,2,3,4）65（1,2,3,4）由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为1523022111246==P C C C .通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n 个不同的元素分成p 组，各组内元素个数分别为p m m m ,,,21⋯，其中k 组内元素个数相等，那么分组方法数为()kk mm m m m m n m m n m n P C C C C pp i i ⋯⋯⋯121211−+++−−，即选完元素后要除以元素相同的总组数的全排列！三．基本的分配问题1.定向分配问题例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。

概率中的分组与分配问题在概率学中，分组与分配问题是指将一组有限元素（总是整数）分到不同的组中，或将这些元素分配给不同的容器（也称分组中的容器），以满足某些条件。

本文讨论的是概率中的这类问题的数学表示以及在特殊情况下的解决方法。

概率学中的分组与分配问题是一个非常重要的理论。

它不仅涉及到有限组合数的计算问题，而且可以用来描述概率学中的组合问题。

其基本形式是，将元素按一定的顺序放入容器中，使每个容器都满足一定的条件。

例如，可以将元素放入n个容器中，使容器i（i≤n）中的元素数量等于aiai为可调整参数）。

在概率学中，分组与分配问题可以用来描述实际问题，并用数学方法解决。

例如，假设有一批商品，需要根据不同的价格分配到不同的市场上去销售，那么就可以用概率中的分组与分配问题来解决。

它可以让商品按照价格分到不同的市场，然后通过概率论来估计销售数量。

此外，在非线性优化模型中经常用到分组与分配问题。

这类数值最优化问题往往涉及到多个变量，这些变量可以按某一特定的概率分配到不同的维度，以便实现更好的优化效果。

分组与分配问题是一个复杂的问题，它的解决方案也有很多种。

常用的方法有贪心算法、符号搜索、回溯算法等。

贪心算法的思路是，每次从某个容器中选取一个最优的元素并加入到另一个容器中，直到所有的容器都满足预期条件为止。

这种方法简单，可以快速找到最优解，但有时也可能会让问题变得更复杂。

符号搜索和回溯算法是一种较为复杂的解决方案。

它们通过在可行解空间中进行搜索来尝试每一种可能的解。

符号搜索算法可以尝试全部的解，而回溯算法可以在搜索过程中剪枝，从而缩短搜索时间。

概率中的分组与分配问题是一个复杂但又有趣的课题，研究它可以为解决实际问题提供有效的数学技术支持。

因此，研究概率中的分组与分配问题，对于提高系统管理水平和实现优化有重要而又直接的意义。

总之，概率中的分组与分配问题是一个非常有趣的研究课题，它有许多应用领域，比如计算机科学、概率论和优化等。

排列组合中的分组分配问题仁荣中学 杨明关键词：分组 均匀 不均匀 分配 定向分配 不定向分配 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。

某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。

下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。

分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。

我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C C A =15(种)。

(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。

(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。