浙江大学99-06年研究生高等代数试题

式的平方。

可表示为一个整数多项分必要条件是在有理数域上可约的充个不同的整数，证明是一、分年)(1)())(()(f n ...,,)101999(,21,21x f a x a x a x x a a a n n +---= 一、证明：充分性：若()f x 能表示成一个整数多项式的平方，显然()f x 在有理数域上可约必要性：由于()f x 在有理数域上可约，在存在整数系数多项式()(),g x h x 有 ()()()f x g x h x =，()()()()0,0g x h x ∂>∂>，由于1i n ∀≤≤，()1i f a =，即()()1i i g a h a =，则()()0i i g a h a -=令()()()F x g x h x =-，则()(),F x n ∂<或()0F x =，由于有n 个不同的数为 ()0F x =的根，从而()F x 为零多项式，即()()g x h x =，即()()2f x g x =，就有()f x 能表示成一个整数多项式的平方二：解；()111T T n E αααα-=-=()2由于T T T T T T n n n n E E E E αααααααααααα⎡⎤⎡⎤-+=-+-=⎣⎦⎣⎦，从而 1T T n n E E αααα-⎡⎤⎡⎤-=+⎣⎦⎣⎦ 三：证明：()1由于存在m 阶可逆矩阵1P 和n 阶可逆矩阵2P ，有[]120m A P E P =，即[][]11220000m n m P A P P E P E -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，令1200n m P Q P E -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然Q 可逆，则 []0m A E Q =()2令10m E B Q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然可知m AB E = 四：证明：n x P ∀∈，不妨设1ni i i x a α==∑，又x x Ax Ax =-+，则 1n i i i Ax a A α==∑，从而2Ax V ∈，又()()20A x Ax A A x -=-=，从而可知1x Ax V -∈即12x V V ∈+，即12n P V V ⊆+，任取12x V V ∈，所以0Ax =，且存在1,,n k k ，有1n i i i x k A α==∑，又2A A =，从而可知 211n ni i i i i i Ax k A k A x αα=====∑∑，从而0x =，即{}120V V =，所以12n P V V =⊕五：证明：由于B 正定，则存在可逆矩阵C 有T n C BC E =，又由于A 对称，从而 T C AC 也对称，即存在正交矩阵F ，使{}1,,T T n F C ACF diag D λλ==，即 ()(),T T n CF BCF D CF ACF E ==，若取()11T S F C --=，则有,T T B SS A SDS ==六：证明：()1若A 的一个特征值0λ，有01λ>，则此时0n E A λ-为严格对角占优矩阵，即0n E A λ-可逆，这与0λ为A 的特征值矛盾，从而， 1λ≤()2，令[]111Tx =，则 110111n i i n ni i a Ax x x a λ==⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑，从而0λ为A 的一个特征值 七：证明：由于A 正定，从而，存在可逆矩阵C 有，TA C C =， ()()()()()()()()()222,,,T T T T T T T T T A C C C C C C C C C C C C A A αβαβαβααββααββααββ∴==≤==由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数12,k k ，使120k C k C αβ+=，即120k k αβ+=，即,αβ线性相关八：证明：()1设A 的特征多项式为()fλ，B 的特征多项式为()g λ，由于,A B 无公共特征值，从而()()(),1f g λλ=，所以()f B 可逆，由于AX XB =，故对于n *∀∈，均有 n n A X XB =，就有()()f A X Xf B =，所以()00Xf B X =⇒=，即AX XB =只有零解；()2,,n n x y k ⨯∀∈∈，由()()()x y A x y x y A Ax xA Ay yA x y A +=+++=+++=A +A()()()()A kx A kx kx A kAx kxA k Ax xA k x =+=+=+=A所以A 是一个线性变换，由于A 和A -无公共特征根，即根据()1的结论就有()AX X A =-只有零解，即0AX XA +=只有零解，从而A 可逆，即A 为一个可逆线性变换。

2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 一、()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。

（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明：1b 也是()f x 的根。

Proof ：（1）()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：01()|()f x g x , 02 ((),())1f x g x =下证不可能是情形二。

（反证法）若不然为情形二，就是((),())1f x g x =则(),()[].()()()()1(*)u x v x P x s t u x f x v x g x ∃∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α），则()()0f g αα==，将α代入(*)中得到10=的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设b 是()f x 的任一根，下证1()0f b =。

证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编20P第42题.二、计算行列式210...000121...000........000 (012)n D =Solution:我们已经知道：1111,1(1),1n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβαββαβαβ+++++⎧-≠⎪=+-⎨⎪+=⎩+在此结论中令1αβ==，知1n D n =+三、（1）A 是正定矩阵，C 是实对称矩阵，证明：∃可逆矩阵P .s t ,P AP P CP ''同时为对角形Proof: (1)A 正定，∴ ∃可逆矩阵T 使得T AT E '=，此时T CT '还是对称的，∴∃ 正交矩阵M 使得M T CTM ''为对角形，令P TM =，此时P AP E '=P CP '是对角形，得证！（2）由（1）知P ∃非异s.t 12n P AP E P ABP λλλ'=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩所以112n P BP λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 正定⇔0,1,2,,i i nλ>=得证！！四、设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B A 与可交换的充分必要条件是B 是121,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。

目　录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.。

浙江大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题与详解一、（18分）试求图1所示电路中的电压0U 及4V 电压源的输出功率2解：方法一：画出简化后电路图（a ），根据KCL ，KVL 列出方程34211318412433112=++++=+=+=++i i i i i i i i i ⇒A623A6531==i i65110=⨯=i U V 33.15W 346623434-=-=⨯-=⨯-=i U P V W2KCL,KVL 考点链接：电路基本定理，简单电路的等效变换二、（10分）如图2所示，含源二端网络N 通过π型电路连接负载R ，欲使流过R 的电流为N 网络端口电流的6I,负载R 的取值应为多少？RI 6RI 6图2 （a ） 解：如图（a ）所示令 R Ii 61=3)]66([)15)(66(⨯+-=+++=I R I I R R I R I U或直接应用分流关系可得 RIRR R I I 98315331161+=+++⋅+⋅= 解得 Ω=910R考点：二端网络，电路定理三、（18分）图3所示电路中，已知1N 、2N 为纯电阻网络，1N 的传输参数为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡161234 2N 是对称网络，当A 03=I 时，测得A 6,V 323-==I U 。

试求：（1）2N 的传输参数；（2）若3—3’端口接电阻Ω=6R ,求3I 为多少？32V33图3解：（1）)()(221221I D CU I I B AU U -+=-+= 代入1N 的传输参数得 221226123432I U I I U -=-=根据戴维南定理：求出开路电压 V 243243|0202=⨯===I U U 求出短路电流 16232|0202==-==U I I A Ω==2300I U R eq ， eq R I U U 202+= 画出等效电路图U 0R 33'方法一：2N 的传输方程332332DI CU I BI AU U -=--=当3I =0时，有15202=+=eq R I U U V3232CU I AU U =-= ⇒25==C A由对称网络特性可知D A = 1212=⇒=-B BC A即2N 的传输参数矩阵为 =2T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡52125 方法二：2N 的开路电阻方程33323233232222I R I R U I R I R U +-=+-=当3I =0时，有15202=+=eq R I U U V23232222I R U I R U -=-= ⇒5.05.23222==R R由对称网络特性可知 3322R R = , 2332R R =即2N 的电阻参数矩阵为 =2R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.25.05.05.2 53222==R R A 5==D A 2132==R C 1=-BC AD 12=B 即2N 的传输参数矩阵为 =2T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡52125 注：2I 为非关联参考方向，故列方程时需注意加负号（2）计算电路如上图32V=⋅=21T T T ⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡161234⎥⎦⎤⎢⎣⎡52125=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡761726332 可得方程33336)(2633232I U I U -=-+=⇒ 36.03-=I A考点：双口网络的各种参数及其方程，双口网络的级联，对称网络。

浙江大学2007年硕士研究生入学考试试题（高等代数）一：证明；充分性；若该方程组的系数矩阵行列式为1±，故可由克拉默法则可知[]()11Tn n b b b b b ∀= 为整数，方程Ax b =的解均为整数解。

必要性；令Ax b =，由已知可知 对于1,e 存在整数解1β,n e 存在整数解n β所以[][]11n n n A e e E ββ==，若取[]1n B ββ= ，所以1A B =，而,A B 为整数组成的矩阵，从而有1A =±，即该方程组的系数矩阵行列式为1± 二：解：由于21121111211231232222222212341123333111121112212311111111n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n s s s x x x ss s s x x x x x x x A s s s s x x x x x x x s s s s x x x x x x x ----+------+-⎡⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥==⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦可知()21j i i j nA x x ≤<≤=-∏三：证明：由于00000E A AB E C ABC E B BC E B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而()()()()0AB rank ABC rank B rank rank AB rank BC B BC ⎛⎫⎡⎤+=≥+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭四：证明：由于k s <，则必能从12,,,s ξξξ 中必可取()0m >个向量，使它们和12,,,k ηηη 一起构成齐次方程0Ax =的一组基础解系，若m s k <-，则()dim ker A k s k s <+-<这和已知()dim ker A s =矛盾 若m s k >-，则()dim ker A k s k s >+->这和已知()dim ker A s =矛盾 从而m s k =-，从而必能从12,,,s ξξξ 中必可取s k -个向量，使它们和12,,,k ηηη 一起构成齐次方程0Ax =的一组基础解系五：证明：由已知可知，A 的最小多项式()()()23m λλλ--，从而()m λ无重根，即A 可以对角化，由于A 的特征值仅为2和3，而23m n m A -=，从而特征值2的重数为m ，特征值3的重数为n m -，故与A 相似的一个对角矩阵为22020333m n m E E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦六；证明：()1 22,,C D k ⨯∀∈∈ ，由()()()()()()()C D A C D B ACB ADB C D kC A kC B kACB k C ϕϕϕϕϕ+=+=+=+===从而ϕ是V 上的线性变换()2若1λ≠，则,A B 均为可逆矩阵，令()0x ϕ=，则0AxB =，所以0x =，即ϕ是可逆线性变换()3若1λ=，ker ,a b x x c d ϕ⎡⎤∀∈=⎢⎥⎣⎦，根据0x ϕ=可知,a c b d ==，从而12121001ker :,1001k k k k ϕ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=+∈⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭ 又对任何a b x c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，有 ()()()12111211x a c b d ϕ--⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，从而12121211Im :,1211k k k k ϕ⎧--⎫⎡⎤⎡⎤=+∈⎨⎬⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎩⎭()4当1λ≠时，值域的基即为V 的基，而11122122,,,E E E E 可做为值域的一组基，即可为V 的一组基而()()()()11111221221211122122211112212211111221222222E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E ϕλλϕλλϕϕ=+++=----=--++=+--可知，ϕ在这组基下的矩阵为1111212111221λλλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦当1λ=时，令123412111010,,,12111010εεεε--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，而12,εε为值域的一组基，34,εε为核的一组基，从而12,εε扩充34,εε后可成为V 的一组基，显然可知ϕ在这组基下的矩阵为220042000000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦七：解：由于2222222110001000000110010000λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦从而可知222211λλλλλλλλλλ⎡⎤-+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦的不变因子为21,,λλλ+，初等因子为,,1λλλ+ 八：解()1显然那可知()1234,,,f x x x x222212341213142324348888222222x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++--++()2由于A 的特征多项式为()()()395f λλλ=--，从而A 的特征值为9（3重）和5由于()90n E A x -=的基础解系的一组基为：[]11001T ε=-，[]21010Tε=，[]31100Tε=，由于()50n E A x -=的基础解系的一组基为：[]41111Tε=--单位正交化可得100Tα=⎣⎦20Tα=⎣⎦3Tα=⎣⎦411112222T α⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦令121002210212662P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，可知做正交变换TY P X =，就可使()222212341234,,,9995f x x x x y y y y =+++ ()3显然可知A 为正定矩阵，则存在可逆矩阵C ，有T A C C =从而可知(),0T A αααα=≥，且当且仅当0α=时，等号成立(),αβ=()()(),,TTTT T T T A C C C C C C C C A αβαβαββαβαβαβαΩ======k ∀∈()()(),,TT k k A k A k αβαβαβαβ===()()()(),,,TT T A A A αβγαβγαγβγαγβγ+=+=+=+从而(),T A αβαβ=定义了4 上的内积从而该内积下4的一组标准正交基为1100322Tω=-⎢⎣⎦2103636Tω=⎢⎣⎦313Tω=⎣⎦411112222Tω⎤=--⎢⎥⎣⎦()4可取10022000100000021*******1111122222B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎥⎤⎢⎥⎥⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥-⎢⎥⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎣⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦九：证明：假若()f x 为有理数域上的可约多项式，则不妨设存在整系数多项式()(),g x h x 使()()()()()()(),0,0f x g x h x g x h x =∂>∂>，由于()0f x >，从而()f x 无实数根，则()(),g x h x 也无实根，不妨设()()0,0g x h x >>，从而在这n 个不同点1,,n a a ，()(),g x h x 的值均为1，从而()()()(),g x n h x n ∂≥∂≥，否则，()(),g x h x 有个为常数，即()()()()f xg x n ∂=∂=，则()()()11ni i h x g x x a ===+-∏，从而()()()21112n ni i i i f x x a x a ===+-+-∏∏这和已知矛盾，从而假设不成立，从而()f x 在有理数域上不可约。

浙江大学1999年研究生数学分析试题一．求极限)(ln )1(∞→-n nn n Limn 二．在xy 平面上求一点,使它到三条直线0,0==y x 及0162=-+y x 的距离平方和最小三．计算二重积分⎰⎰Dxydxdy ,其中D 由曲线 y x y x +=+22 所围城的区域四．设)(x f 在>x 时连续,3)1(=f ，并且⎰⎰⎰+=x yxydt t f y dt t f x dt t f 111)()()(,)0,0(>>y x ，试求函数)(x f五．设函数),()(b a t f 在连续，若有数列)),(,(,b a y x a y a x n n n n ∈→→使)()()()(∞→=∞→=n B y Limf n A x Limf n n 及,则对A,B 之间的任意数μ，可找到数列a x n →,使得μ=)(n z Limf六．设∑===<≤nk k n k a s n k a a 1,....,2,1,0令，证明不等式n nnk kk s n ns a a -≥-∑=11 七．设函数f 在nab v a f f f b a n n vn -=+=>δδ),(,0],[记上连续，且，试证明：)}()(ln 1exp{∞→-=⎰n dx x f a b ba并利用上述等式证明下式r dx r x r ln 2)cos 21ln(21202=+-⎰ππ )1(>r 八．从调和级数 +++++n131211中去掉所有在分母的十进表示中含数码9的项，证明由此所得余下的级数必定是收敛的浙江大学2000年研究生数学分析试题一．(共10分）（1）求极限10(1)limxx e x x →-+（2）设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求二．（共10分）1．设Kab a f b f K f b a =--=+-→→)()(lim ,)0(00试证明‘2．设()f x 在[,]a b 上连续,()f x ''在(,)a b 内存在,试证明存在(,)a b ξ∈，使得)(4)()2(2)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=+-+三．(共15分）1．求数项级数∑∞=12n nn的和S2．试证明∑∞==11)(n xn x s 在),1(∞上的连续函数 四．（共15分)1．设方程组⎩⎨⎧=+=+++0sin sin 0v y u x v u y x ，确定了可微函数⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u ，试求y vx v du ∂∂∂∂,, 2．设2)()d yx y F y x x =,求)1(F '五．(共30分)1．计算定积分2sin cos 1cos x xI dx x π=+⎰2．求以曲面22y x e z --=为顶,以平面0=z 为底，以柱面122=+y x 为侧面的曲顶柱体的体积V 3．设∑+表示半球面)1(12222≤+--=y x y x z 的上侧,求第二类曲面积分⎰⎰∑++-++=+dxdy y z x dzdx z y x dydz z y x J 222)2()2()(六．（共20分）1．将函数x x f =)( )(ππ≤≤-x 展开成Fourier 级数2．求级数∑∞=121n n 的和 3．计算广义积分⎰-10)1ln(dx xx浙江大学2000年研究生数学分析试题一．（共10分）（1)求极限10(1)limxx e x x →-+解：原式=12(1)ln(1)2(1)lim(1)xx x xe x x x x ++-+→+=(2)设2101,,,2,3,,lim 2n n n nn x x x a x b x n x --→∞-====求解：)(21211-----=-n n n n x x x x ,这可以构造成为一个压缩映象，则数列收敛,以下求解就按照}{1--n n x x 这个数列来进行即可。

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为 .（2）设函数231sin ,0,(),x t dt x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22(1)xdxx +∞=+⎰ .（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则A dydx== .（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则 （A ）0.dy y <<∆ （B ）0.y dy <∆<（C ）0.y dy ∆<< （D ）0.dy y <∆< 【 】（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()xf t dt⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. 【 】 （9）设函数()g x 可微，1()(),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln 31-. （B ）ln 3 1.--（C ）ln 2 1.-- （D ）ln 2 1.- 【 】（10）函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 （A ）23.x y y y xe '''--= （B ）23.x y y y e '''--=（C ）23.x y y y xe '''+-= （D ）23.x y y y e '''+-=（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于（A ）0(,).x f x y dy ⎰⎰（B ）00(,).f x y dy ⎰⎰（C ）0(,).yf x y dx ⎰⎰（D ）00(,).f x y dx ⎰⎰ 【 】（12）设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且1(,)0y x y ϕ≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.（D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. 【 】 （13）设12,,,,a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关. （B ）若12,,,,a a a 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. （C ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性相关.（D ）若12,,,,a a a 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa 线性无关. 【 】（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则 （A ）1.C P AP -= （B ）1.C PAP -= （C ）.T C P AP = （D ）.T C PAP = 三 解答题15．试确定A ，B ，C 的常数值，使得23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.16．arcsin xxe dx e ⎰求. 17．{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥设区域，221.1DxyI dxdy x y+=++⎰⎰计算二重积分 18．{}110,sin (0,1,2,)n n n x x x x n π+<<==设数列满足1lim n x x +→∞证明: (1) 存在,并求极限；211(2)lim(n x n x nx x +→∞计算. 19．sin 2cos sin cos .<a <b b b b b a a a a a πππ<++>++证明: 当0时, 20 设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=；(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 21 已知曲线L 的方程为221,(0),4x l t y l t⎧=+≥⎨=-⎩（Ⅰ）讨论L 的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （Ⅲ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.22 已知非齐次线性方程组12341234123414351331x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪++-=⎩有个线性无关的解Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =； Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解.23 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得T Q AQ A =.2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）真题解析一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=-的水平渐近线方程为15y =4sin 11lim lim2cos 55x x xx y x x→∞→∞+==-（2）设函数2301sin ,0(),0xt dt x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在x =0处连续，则a =132200()1lim ()lim 33x x sm x f x x →→== （3）广义积分220(1)xdxx +∞=+⎰1222222201(1)11110(1)2(1)2(1)22xdx d x x x x +∞+∞+∞+==-⋅=+=+++⎰⎰（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是xy cxe -=)0(≠x（5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0x dy dx==e-当x =0时，y =1，又把方程每一项对x 求导，y y y e xe y ''=-- 001(1)1x x y yyyye y xe ey e xe ===''+=-=-=-+(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA =B +2E ,则|B |= .-1 2解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得|B ||A -E |=|2E |=4,计算出|A -E |=2,因此|B |=2.二、选择题（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>∆为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ∆与分别为在点处对应增量与微分,若0x ∆>，则[A] （A ）0dy y <<∆ （B ）0y dy <∆< （C ）0y dy ∆<< （D ）0dy y <∆< 由()0()f x f x '>可知严格单调增加 ()0()f x f x ''>可知是凹的 即知（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()xf t dt ⎰是[B]（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数 （D ）在x =0间断的偶函数 （9）设函数()g x 可微,1()(),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则g (1)等于[C] （A ）ln 31- （B ）ln 31-- （C ）ln 21-- （D ）ln 21- ∵ 1()()()g x h x g x e +''=，1(1)12g e += g (1)= ln 21-- （10）函数212x x x y c e c xe -=++满足的一个微分方程是[D] （A ）23x y y y xe '''--= （B ）23x y y y e '''--= （C ）23x y y y xe '''+-= （D ）23x y y y e '''+-=将函数212x x x y c e c xe -=++代入答案中验证即可.（11）设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rd πθθθγ⎰⎰等于[C]（A）0(,)xdxf x y dy ⎰（B）0(,)dxf x y dy ⎰（C）0(,)yf x y dx ⎰（D）0(,)f x y dx ⎰（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0,y x y ϕ'≠已知00(,)(,)x y f x y 是在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是[D]（A ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==则 （B ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''=≠则 （C ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠=则 （D ）若0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ''≠≠则(,)(,)(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0x x xy y y F f x y x y F f x y x y F f x y x y F x y λλϕλϕλϕϕ=+'''=+=⎧⎪'''=+=⎨⎪'==⎩令今 000000(,)(,)0,(,)y y y f x y x y x y ϕλϕ''≠∴=-'代入(1) 得 00000000(,)(,)(,)(,)y xx y f x y x y f x y x y ϕϕ'''=' 今 00000000(,)0,(,)(,)0(,)0x y xy f x y f x y x y f x y ϕ''''≠∴≠≠则 故选[D] (13)设1,2,…,s都是n 维向量，A 是m ⨯n 矩阵，则（ ）成立.(A) 若1,2,…,s线性相关,则A 1,A 2,…,A s线性相关. (B) 若1,2,…,s 线性相关,则A 1,A 2,…,A s线性无关. (C) 若1,2,…,s 线性无关,则A 1,A 2,…,A s线性相关. (D) 若1,2,…,s 线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若1,2,…,s线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,c s使得c11+c22+…+c s s=0,用A左乘等式两边,得c1A1+c2A2+…+c s A s=0,于是A1,A2,…,A s线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.1,2,…,s⇔ r(1,2,…,s)=s.2. r(AB)≤ r(B).矩阵(A1,A2,…,A s)=A(1,2,…,s),因此r(A1,A2,…,A s)≤ r(1,2,…,s).由此马上可判断答案应该为(A).(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0P= 0 1 0 ,则0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.(C) C=P T AP. (D) C=PAP T.解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA ,1 -1 0C =B 0 1 0 =BP -1= PAP -1.0 0 1三、解答题（15）试确定A ，B ，C 的常数值，使23(1)1()x e Bx Cx Ax o x ++=++其中3()o x 是当30x x →时比的高阶无穷小.解：泰勒公式2331()26xx x e x o x =++++代入已知等式得23323[1()][1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ++++++=++整理得233111(1)(()1()226BB xC B x C o x Ax o x ⎛⎫+++++++++=++ ⎪⎝⎭比较两边同次幂函数得 B +1=A ①C +B +12=0 ②1026B C ++= ③ 式②-③得120233B B +==-则 代入①得 13A =代入②得 16C =（16）求arcsin xxe dx e ⎰.解：原式=22arcsin arcsin ()x x xx e t de e t dt e t =⎰⎰令1arcsin arcsin ()t td t t =-=-+⎰2arcsin arcsin 1(2)2(1)t t udu t t u u -=-+=-+-⎰ 2arcsin 1t dut u =-+-⎰ arcsin 11ln 21t u C t u -=-+++arcsin arcsin 12x x x x e e dx C e e ∴=-++⎰. （17）设区域22{(,)||,0}D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰. 解：用极坐标系2201D xydxdy x y ⎛⎫=⎪++⎝⎭⎰⎰11222002ln(1)ln 2122r I d dr r r ππππθ-==+=+⎰⎰. （18）设数列{}n x 满足10x π<<，1sin (1,2,3,)n n x x n +==证明：（1）1limn n x +→∞存在，并求极限；（2）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 证：（1）212sin ,01,2x x x n =∴<≤≥因此1sin ,{}n n n n x x x x +=≤单调减少有下界()0n x ≥根据准则1，limn n x A →∞=存在 在1sin n n x x +=两边取极限得sin 0A A A =∴=因此1lim 0n n x +→∞=（2）原式1sin lim "1"n xn n n x x ∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭为型离散型不能直接用洛必达法则先考虑 2011sin lim lnsin lim t t t t t t t e t →⎡⎤⎢⎥⎣⎦→⎛⎫= ⎪⎝⎭用洛必达法则2011(cos sin )limsin 2t t t t t t t te→-=2323330010()0()26cos sin lim lim22t t t t t t t t t t tt te e→→⎡⎤⎡⎤-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦==3330110()261lim26t t t t ee →⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-==.（19）证明：当0a b π<<<时，1sin 2cos sin 2cos b b b b a a a aππ++>++. 证：令()sin 2cos f x x x x x π=++只需证明0a x π<<<时,()f x 严格单调增加()sin cos 2sin f x x x x x π'=+-+cos sin x x x π=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-< ()f x '∴严格单调减少又()cos 0f ππππ'=+=故0()0()a x f x f x π'<<<>时则单调增加（严格）()()b a f b f a>>由则得证（20）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且Z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==求函数()f u的表达式. 证：（I）zzf f xy∂∂''==∂∂()()2223222222zx y f f xx y x y ∂'''=+∂++()()2223222222zy x f f yx y x y ∂'''=+∂++22220()()0z zf x y f u f u u∂∂''+=+=∂∂'''∴+=代入方程得成立（II ）令(),;,dp p dp du c f u p c p du u p u u'==-=-+=⎰⎰则22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+==∴=由（21）已知曲线L 的方程221(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应0x x ≤部分）及x 轴所围的平面图形的面积. 解：（I ）4222,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t-==-==-222312110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处 (0L t ∴>曲线在处)是凸（II ）切线方程为201(1)y x t⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-， 则2223200000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t⎛⎫-=-+-=-+ ⎪⎝⎭得200000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=点为（2，3），切线方程为1y x =+ （III ）设L 的方程()x g y =则()3()(1)S g y y dy =--⎡⎤⎣⎦⎰(2240221t t y x -+==±=+解出t 得 由于（2，3）在L上，由(23221()y x x g y ===+=得可知(309(1)S y y dy ⎡⎤=----⎣⎦⎰33(102)4y dy =--⎰333322002(10)4(4)214(4)3y y y y =-+-=+⨯⨯-8642213333=+-=-(22)已知非齐次线性方程组x 1+x 2+x 3+x 4=-1,4x 1+3x 2+5x 3-x 4=-1，ax 1+x 2+3x 3+bx 4=1有3个线性无关的解.① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解. 解:① 设1,2,3是方程组的3个线性无关的解,则2-1,3-1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1 (A |)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 ,a 1 3b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 → 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组 x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T .得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T , c 1,c 2任意. (23) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量1=(-1,2,-1)T ,2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解. ① 求A 的特征值和特征向量.② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得 Q T AQ =Λ. 解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即=(1,1,1)T 是A 的特征向量,特征值为3.又1,2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于1,2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:c 0, c ≠0. 属于0的特征向量:c 11+c 22, c 1,c 2不都为0.② 将单位化,得=(33,33,33)T .对1,2作施密特正交化,的1=(0,-22,22)T ,2=(-36,66,66)T. 作Q =(,1,2),则Q 是正交矩阵,并且3 0 0 Q T AQ =Q -1AQ = 0 0 0 . 0 0 0分数分配：11+11+11+12+12+10+9+9+9。