指数函数与对数函数经典讲义

2018届高三第一轮复习讲义【12】-指数函数与对数函数一、知识梳理：1.指数函数的概念、图像和性质 （1）指数的运算性质()()()()()0,,;0,,;0,0,.m n m n nm mn nn n a a a a m n R a a a m n R a b a b a b n R ⋅⋅=>∈=>∈⋅=⋅>>∈（2）指数函数：一般地，函数(01)xy a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R ．（3）指数函数的图像与性质【注意】（1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如()f x y a =(0a >且1a ≠)函数的单调性；（2）会根据x y a = (0a >且1a ≠)的单调性求形如(),f x y ax D =∈，(),x y f a x D=∈（1）定义域：x R ∈（2）值域：(0,y ∈的值域；（3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用。

2．对数的概念及其运算 （1）对数的定义：如果=ba N （>0a ，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作=a log N b ．读作“以a 为底N 的对数”，其中a 叫做底数，N 叫做真数．必须注意真数0N >，即零与负数没有对数．（2）指数式与对数式的关系：=ba N ⇔=a log Nb （>0a ，1a ≠，0N >）．两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化． （3）对数的性质：① log a N 中0(0,1)N a a >>≠，零和负数没有对数，即0N >； ② 底数的对数等于1，即log =1a a ，log a NaN =，()0,1,0a a N >≠>③ 1的对数0，即log 1=0a ． （4）对数的运算性质：① ()=+a a a log MN log M log N （0M >，0N >，>0a ，1a ≠）；② =aa a Mlog log M log N N-（0M >，0N >，>0a ，1a ≠） ③ =n a a log M nlog M ；log a NaN =（0M >，0N >，>0a ，1a ≠）④ 对数换底公式：log =log a b a Nlog N b（>0a ，1a ≠，>0b ，1b ≠，0N >）【提醒】（1）注意真数0N >，即零与负数没有对数.（2）底数满足>0a ，1a ≠ 3．对数函数：对数函数的图像与性质二、基础检测：1. 设16log 27a =, 则用a 表示6log 16=_______________.2. 函数222xxy +=的单调递增区间是_____________, 值域是____________. 3. 函数|1|45x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递减区间是_____________, 值域是____________.4. 函数20.1log (62)y x x =+-的单调递增区间是________________.5. 若2log 13a<, 则实数a 的取值范围是________________________. 6. 不等式2(21)1x a -<的解集为(,0)-∞, 则实数a 的取值范围是______________.三、例题精讲：【例1】指数函数①x y a =，②x y b =，③x y c =，④xy d =在同一坐标系内的图像如图所示，则,,,a b c d 的大小顺序是（）．A ．b a d c <<<B ．a b d c <<<C ．b a c d <<<D ．b c a d <<< 【参考答案】A ．【例2】若不论a 取何正实数，函数12x y a +=-的图像都通过同一定点，则该点坐标是____________． 【参考答案】()1,1--【例3】不等式()2211xa -<的解集为(),0-∞，则实数a 的取值范围是．【参考答案】()(),11,-∞-+∞【例4】根据统计资料，在A 小镇，当某件信息发布后，t 小时之内听到该信息的人口是全镇人口的100(12)%kt--，其中k 是某个大于0的常数，今有某信息，假设在发布后3小时之内已经有70%的人口听到该信息．又设最快要T 小时后，有99%的人口已听到该信息，则T =_______小时．（保留一位小数） 【参考答案】11．5【例5】已知22124x x x-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，求函数22x xy -=-的值域．解：222242122224414x x xxxx x x x x -++-+⎛⎫≤⇔≤⇔+≤-+⇔-≤≤ ⎪⎝⎭，而函数22xxy -=-在区间[]4,1-上是增函数，所以，函数22xxy -=-的值域为2553,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【例6】已知函数[)1423,2,x x y a x --=-⋅-∈-+∞的最小值是4-，求实数a 的值． 解：设2xu -=由于[)2,x ∈-+∞，所以(]0,4u ∈，()2124233x x y a u a a --=-⋅-=---①_x0001_(]0,4a ∈时，()()2min 34,1,f x a a =--==此时u a =，即0x =；②_x0001_当(),0a ∈-∞时，()()223g u u a a =---在(]0,4上是增函数，()f x 无最小值； ③_x0001_当()4,a ∈+∞时，()()223g u u a a =---在(]0,4上是减函数，()174,8a =∉+∞舍去． 综上所述，实数a 的值为1．【例7】若两个函数的图像经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：()x x f 21log 2=，()()22log 2f x x =+，232log f x =,42log (2)f x =则“同形”函数是（ ） A 1()f x 与2()f x B 2()f x 与3()f x C 2()f x 与4()f x D 1()f x 与4()f x【参考答案】C【例8】函数221()log (2)2ax f x x x -=+-+在[1,3]x ∈上恒有意义，则实数a 的取值范围是_________．【参考答案】(2)-+∞【例9】函数20.3log (2)y x x =-的单调递减区间为．解：先求定义域：由220x x ->得(2)0x x ->0x ∴<或2x >．∵函数0.3log y t =是减函数，故所求单调减区间即22t x x =-在定义域内的增区间， 又22t x x =-的对称轴为1x =，∴所求函数的单调递减区间为(2,)+∞． 【例10】已知函数2()log (01)2axf x a x+=<<-（1）试判断()f x 的奇偶性； （2）解不等式()log 3a f x x ≥． 解：（1）20222xx x+>⇒-<<-故()f x 的定义域关于原点对称， 且122()log log ()()22aa x x f x f x x x--+-===-+-∴()f x 是奇函数． （2）2()log 3log log 3.012a aa xf x x x a x+≥⇔≥<<-，故2220221(32)(1)230322xx x x x x x x x x+⎧-<<>⎧⎪⎪⎪-⇔⇔≤≤--⎨⎨+≥⎪⎪≤-⎩⎪-⎩，即原不等式的解集为2{|1}3x x ≤≤．【例11】设不等式211222(log )9(log )90x x ++≤的解集为M ，求当x M ∈时，函数22()(log )(log )28x xf x =的最大、最小值． 解：211222(log )9(log )90x x ++≤1122(2log 3)(log 3)0x x ∴++≤1233log 2x ∴-≤≤-即3333221112221111log ()log log (),()()2222x x ----≤≤∴≤≤∴8x ≤≤即{|M x x =∈又2222222()(log 1)(log 3)log 4log 3(log 2)1f x x x x x x =--=-+=--∵8x ≤≤∴23log 32x ≤≤ ∴当2log 2x =即4x =时min 1y =-；当2log 3x =，即8x =时，max 0y =． 【例12】通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是0lg lg M A A =-，其中，A 是被测地震最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅，M 为震级．则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__倍．解：7050(lg lg )(lg lg )752A A A A ---=-=，即75lg 2A A =，75100AA =．【例13】已知函数()|lg |f x x =，若a b ≠，且()()f a f b =，则a b +的取值范围是________．解：如图，由()()f a f b =得|lg ||lg |a b =设0a b <<则lg lg 0a b +=∴1ab =∴22a b ab +>=，答案：(2,)+∞【例14】已知函数()log (01).a f x x x b a a =+->≠，且当234a b <<<<时，函数()f x 的零点*0(,1),,=x n n n N n ∈+∈则．解：方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ，即函数log (23)a y x a =<<的图像与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ， 且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图像,因为当(23)x a a =<<时,1y =，此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈；当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图像上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图像上点的横坐标(5,6)x ∈．故所求的2n =．四、难题突破： 例1. 已知函数1()log 1axf x x-=+(0, 1a a >≠). (1) 讨论函数()f x 的奇偶性和单调性;(2) 设函数()f x 的定义域为[,)a b , 值域为[1,)+∞, 求实数a , b 的值. (1)解: 函数的定义域为区间(1,1)-, 关于原点对称,任取(1,1)x ∈-, 111()log log log ()111a a ax x x f x f x x x x +--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭, 即()f x 是奇函数.任取12,(1,1)x x ∈-, 12x x <, 则12011x x <+<+, 故有121211221111x x x x >⇔>++++, 因此1212121122111111x x x x x x ---+>-+⇔>++++, 当01a <<时, 由log a y x =在(0,)+∞上单调递减, 得121211log log 11a ax x x x --<++, 此时()f x 在(1,1)-上单调递增;当1a >时, 由log a y x =在(0,)+∞上单调递增, 得121211log log 11a ax x x x -->++, 此时()f x 在(1,1)-上单调递减.(2)解: 由题意, [,)(1,1)a b ⊆-, 故11a b -<<≤, 即01a b <<<,由(1)可知()f x 在(1,1)-上单调递增, 故有11()1log 111a a af a a a a--=⇔=⇔=++, 解得1a =;当1b <时, 由单调性得1()log 1a bf x b-<+, 不合题意, 故1b =;综上有1, 1a b =.例2. 已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++(其中a 为实常数). (1) 若函数的定义域为, 求实数a 的取值范围; (2) 若函数的值域为, 求实数a 的取值范围.(1)解: 即不等式22(1)(1)10a x a x -+++>的解集为,当1a =时, 不等式为210x +>, 不合题意;当1a =-时, 不等式为10>恒成立, 符合题意;当21a ≠时, 则有22210(1)4(1)0a a a ⎧->⎪⎨∆=+--<⎪⎩, 解得5(,1)(,)3a ∈-∞-⋃+∞; 综上所述, 5(,1](,)3a ∈-∞-⋃+∞;(2)解: 即函数22(1)(1)1y a x a x =-+++的值域包含+,当1a =时, 函数为21y x =+, 符合题意; 当1a =-时, 函数为1y =, 不合题意;当21a ≠时, 则有22210(1)4(1)0a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩, 解得5(1,]3a ∈, 综上所述, 5[1,]3a ∈.例3. 已知函数2()log ()a f x ax x =-(0, 1a a >≠)在区间[2,4]上是增函数, 求实数a 的取值范围.解: 令210(1)0(,0)(,)ax x x ax x a->⇔->⇒∈-∞⋃+∞给出,函数在[2,4]有定义, 则1122a a <⇒>, 令2t ax x =-, 其图像对称轴为直线12x a=, 当1a >时, 外层函数单调递增, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递增, 得11224a a ≤⇔≥, 结合定义域要求, 即1a >; 当01a <<时, 外层函数单调递减, 因此内层函数2t ax x =-在[2,4]上单调递减, 因此11428a a ≥⇒≤, 结合定义域要求, 无解; 综上所述, 1a >. 五、课堂练习：1. 函数||3x y -=的值域是____________.2. 已知01a <<, 1b <-, 则函数x y a b =+的图像不会经过第______象限.3. 函数y =_________________.4. 若()log (0, 1)a f x x a a =>≠在[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍, 则实数a 的值为_____.5. 函数lg100xy =的图像与函数10010x y =⋅的图像关于直线______________对称; 函数lg100x y =的图像与函数0.1log 100x y =的图像关于直线______________对称. 6. 函数3()log |2|f x x a =+的图像的对称轴是直线2x =, 则实数a =__________. 7. 使2log ()1x x -<+成立的x 的取值范围是_____________. 8. 设223()2(1)xx f x x -+=≥, 则其反函数1()f x -=_______________________.9. 求2211()log ()log ()24f x x x =⋅, 当[2,8]x ∈时的最小值和最大值.10. 求函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--(其中p 为常数, 且1p >)的值域.11. 已知0a >, 1a ≠, 21(log )()1a a f x x a x=--, (1) 判断()f x 的定义域内的奇偶性及单调性, 并加以证明; (2) 若()40f x -<的解集为(,2)-∞, 求a 的值.12. 已知函数()lg()x x f x a b =-(其中a , b 为常数, 且01b a <<<). (1) 求函数()f x 的定义域;(2) 在函数()y f x =的图像上是否存在两个不同的点, 使得过它们的直线平行于x 轴? 若存在, 求出这样的点; 若不存在, 说明理由;(3) 当a , b 满足什么条件时, 不等式()0f x >对一切(1,)x ∈+∞都成立?六、回顾总结：1.主要方法:①指数函数、对数函数的单调性决定于底数a ，要分1a >与01a <<来分类讨论.②熟练掌握对、指数公式的使用和化简计算；2.易错、易漏点:①解决与对数函数有关的问题，要特别注意定义域(对数的底数和真数应满足的条件)；注意区别log (1)a b +与log 1a b +的区别；②不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算.七、课后作业：1．幂函数)(x f y =图像经过点)21,41(，则=)(x f ． 2．已知幂函数a x y =的图像，当10<<x 时，在直线x y =的上方，当1>x 时，在直线x y =的下方，则a 的取值范围是．3．函数2223()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)x ∈+∞上是减函数，则实数m =． 4．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m xy m nk ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为．5．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则（ ） AB ． C． D ．6．已知函数|lg|)(x x f =,若b a <<0,且)()(b f a f =,则b a 2+的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．7．设函数)(x f =若)()(a f a f ->,则实数a 的取值范围是 ( )A ．（-1，0）∪（0，1）B ．（-∞，-1）∪（1,+∞）C ．（-1，0）∪（1,+∞）D ．（-∞，-1）∪（0,1）8．函数的值域为 A ． B ． C ． D ．9．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度10．在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（）1a >()log a f x x =[]2a a ，12a =24)+∞)+∞(3,)+∞[3,)+∞()212log log x x ⎧⎪⎨-⎪⎩0,0x x ><()()2log 31x f x =+()0,+∞)0,+∞⎡⎣()1,+∞)1,+∞⎡⎣3lg 10x y +=lg y x =()y g x =x y e =y x =()y f x =()y g x =y ()1f m =-mA ．B ．C ．D ． 11．函数的图象大致是( )12．若在上是减函数,则的取值范围是 ( )A ．B ．C ．D ．13．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的范围是__________． 14．函数)1,0(≠>=a a a y x 在[]2,1上最大值比最小值大2a ，则_________=a ． 15．已知函数),0[,)(+∞∈+⋅=x cb a x f x 的值域为)3,2[-，则)(x f 的一个可能的解析式为__________．【思考题】1．设函数()121,x f x x R -=-∈e -1e -e 1elg ||x y x=)2(log ax y a -=]1,0[a )1,0()2,0()2,1(),2(+∞（1）分别作出()y f x =和()y f x =的图像；（2）求实数a 的取值范围，使得方程()fx a =与()f x a =都有且仅有两个实数解．2.已知2()lg x f x ax b =+，(1)0f =，当0x >时，恒有1()lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.⑴求()f x 的解析式；⑵若方程()lg()f x m x =+的解集是∅，求实数m 的取值范围.3.已知函数2()log (1)f x x =-，222x t g x t ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭R ，.⑴求()y g x =的解析式；⑵若1t =，求当[2,3]x ∈时，()()g x f x -的最小值；⑶若在[2,3]x ∈时，恒有()()g x f x ≥成立，求实数t 的取值范围.。

第7讲 指数函数与对数函数一、指数函数（exponential function ）与对数函数（logarithmic function ）定 义定义域值域图 象性 质指数函数x y a =(a>0且a ≠1)叫指数函数(,)−∞+∞(0,)+∞（1）图象过点(0, 1)（2）a>1当x>0时，y>1当x=0时，y=1当x<0时，0<y<10<a<1当x>0时，0<y<1 当x=0时，y=1 当x<0时，y>1（3）1, x a y a >=为增函数，01, x a y a <<=为减函数对数函数log a y x =(a>0且a ≠1)叫对数函数(0,)+∞(,)−∞+∞（1）图象过点(1, 0) （2）a>1当x>1时，y>0当x=1时，y=0当0<x<1时，y<00<a<1当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0（3）1, loga a y x >=为增函数； 01, log a a y x <<=为减函数1、注意：指数函数、对数函数底数变化与图象分布规律 （1）①x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x (0,+∞)∈ 时，x x x xb a dc <<< （底大幂大） x (∈－∞,0) 时，x x x x b ad c >>> （2）①log a y x = ②log b y x = ③log c y x = ④log d y x =则有：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x (1,+∞)∈ 时，log log 0log log a b c d x x x x <<<< （底大对数小）x (0,1)∈ 时，log log 0log log a b c d x x x x >>>>2、由特殊函数23112311(1)2,3,,,23(2)log ,log ,log ,log x xx x y y y y y x y x y x y x⎛⎞⎛⎞====⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠====的图象分析性质.二、典型例题例1．已知0＜a ＜1，log log 0a a m n <<，则（ ）A ．1＜n ＜mB ．1＜m ＜nC ．m ＜n ＜1D ．n ＜m ＜1 例2．利用函数性质比较下列各组值的大小：（1）1113622,3,6； （2）0.2353,log 2,log 4；例3．利用函数性质比较下列各式的大小：（1）323log ,log 3,log 2a b c π===；（2）11log ,log ,log ,log a b ab b a b a其中0<a <1<b 且a ·b >1.例4．若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）A ．x 2logB ．x21C ．x 21logD ．22−x例5．函数x xx xe e y e e−−+=−的图象大致为（ ）例6．定义在R 上的函数()f x 满足()f x = ⎩⎨⎧>−−−≤−0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2例7．定义在R 上的偶函数()f x 满足，∀1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x −<−.则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <−<B ．(1)(2)(3)f f f <−<C ．(2)(1)(3)f f f −<<D ．(3)(1)(2)f f f <<−例8．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =______. 例9．设()2lg2x f x x +=−，则22x f f x ⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠的定义域为（ ） A ．()()4,00,4−∪B ．()()4,11,4−−∪C ．()()2,11,2−−∪D ．()()4,22,4−−∪例10．设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） A 2 B ．2C ．2D ．4练习题1．若01,1a b <<<−，则函数xy a b =+的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若()f x 是偶函数，且0x >时，()10xf x =，则0x <时，()f x =（ ）A ．10x−B ．10xC ．10x−−D ．10x−3．若()xf ex =，则()5f =（ ）A ．5eB ．5eC ．ln 5D ．5log e4．若log 2log 20a b >>，则,,1a b 的大小关系为（ ）A ．1a b <<B ．1b a <<C ．01a b <<<D ．01b a <<<参考答案例1．A【解析】由对数函数图象的分布及函数的单调性（如图）可知1＜n ＜m例2．（1） ∵311211663662228339,====，∴由指数函数函数y =a x 图象的分布（如图）知111666986>>，则111362326>>（2）由函数y = 3x ，当x >0时，y >1知 30.2>1. 而log 32和log 54均小于1且大于0.∵32333522log 2log 51log 5log 5log 31log 4log 3log 42===<=⋅， ∴35log 2log 4< 综上有，lo g 32<lo g 54<30.2例3．（1）32233log 2log 3log 3log 2log 3log π<<<=< （2）由0<a <1<b 得 11log 0,log 0,log 0,log 0a b a b b a b a<<>>， 故只需比较同号两数的大小。

指数函数与对数函数(讲义)指数函数和对数函数是数学中的基本函数之一。

指数函数的一般形式是$y=a^x$，其中$a$是底数，$x$是指数。

当$01$时，函数图像是上升的。

对数函数的一般形式是$y=\log_a x$，其中$a$是底数，$x$是真数。

当$01$时，函数图像是下降的。

指数函数和对数函数有许多重要的性质，例如它们的定义域和值域，单调性等。

比较大小时，可以利用指数函数和对数函数的单调性。

对于同底指数函数，可以直接比较大小。

对于异底指数函数，可以采用化同底、商比法、取中间值、图解法等方法。

对于同底数对数函数，可以直接利用单调性求解，但如果底数是字母，需要分类讨论。

对于异底数对数函数，可以采用化同底（换底公式）、寻找中间量（-1，1），或者借助图象高低数形结合来比较大小。

换底公式是比较常用的公式之一，可以用于将一个对数函数转化为以另一个底数为底的对数函数。

常用的变形包括$log_c a=\frac{1}{\log_a c}$，$log_a b^m=m\log_a b$，$a^{\log_a b}=b$等。

练题：1.若$3a=4b=6c$，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$的值为（B）。

2.计算：1）若集合$\{x,xy,\log(xy)\}=\{0,|x|,y\}$，则$\log_8(x^2+y^2)$的值为$\frac{3}{2}$；2）设$g(x)=\begin{cases}e^x &(x\leq 1)\\ \ln x&(x>1)\end{cases}$，则$g(g(2))=\ln(e^2+1)$；3）若$f(x)=\begin{cases}f(x+3) &(x<6)\\ \log_2 x &(x\geq 6)\end{cases}$，则$f(-1)$的值为$\log_2 5$。

3.（1）函数$f(x)=\log_2(x^2+1-x)$是奇函数；2）设函数$f(x)$在定义域上是奇函数，则$f(0)=0$。

（一）基础知识回顾：1．二次函数：当¹a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。

，下同。

2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。

当a <0时，情况相反。

情况相反。

3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。

1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-¹}和空集Æ，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。

轴有唯一公共点。

3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和Æ.f (x )图象与x 轴无公共点。

共点。

当a <0时，请读者自己分析。

时，请读者自己分析。

4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。

指数函数与对数函数知识点总结一、指数函数1、指数函数的定义一般地，函数\（y ＝ a^x\）（＼（a ＞ 0\）且\（a ≠ 1\））叫做指数函数，其中\（x\）是自变量，函数的定义域是\（R\）。

需要注意的是，底数\（a\）的取值范围，当\（a ＝ 1\）时，函数就变成了\（y ＝ 1^x ＝ 1\），是一个常函数，不符合指数函数的定义；当\（a ＜ 0\）时，对于某些\（x\）的值，＼（a^x\）无意义，比如\（（－2)＾｛＼frac{1}｛2}｝＼）就没有实数解。

2、指数函数的图象当\（a ＞ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是上升的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，指数函数\（y ＝ a^x\）的图象是下降的，经过点\（（0, 1)＼），在\（R\）上单调递减。

我们可以通过几个特殊的点，比如\（（0, 1)＼）、＼（（1, a)＼）、＼（（－1, ＼frac{1}｛a}）＼）等来大致描绘指数函数的图象。

3、指数函数的性质（1）定义域：＼（R\）（2）值域：＼（（0, ＋∞）＼）（3）恒过定点\（（0, 1)＼）（4）单调性：当\（a ＞ 1\）时，在\（R\）上单调递增；当\（0 ＜a ＜ 1\）时，在\（R\）上单调递减（5）函数值的变化情况当\（a ＞ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（a^x ＞ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）。

当\（0 ＜ a ＜ 1\）时，若\（x ＞ 0\），则\（0 ＜ a^x ＜ 1\）；若\（x ＝ 0\），则\（a^x ＝ 1\）；若\（x ＜ 0\），则\（a^x ＞ 1\）。

4、指数运算的性质（1）＼（a^m × a^n ＝ a^｛m ＋ n}＼）（2）＼（＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＼）（＼（a ≠ 0\））（3）＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（4）＼（（ab)＾n ＝ a^n b^n\）这些运算性质在化简指数表达式和进行指数运算时经常用到。

指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数：1.基本概念：指数函数是形如y=a^x（a>0，且a≠1）的函数，其中a称为底数，x 称为指数，a^x称为底数a的x次幂。

2.基本性质：（1）a^0=1，任何数的0次幂等于1；（2）a^x*a^y=a^(x+y)，相同底数的指数幂相乘，底数不变，指数相加；（3）a^x÷a^y=a^(x-y)，相同底数的指数幂相除，底数不变，指数相减；（4）(a^x)^y=a^(x*y)，指数幂的乘积再乘方，指数相乘；（5）a^(-x)=1/(a^x)，任何数的负指数满足倒数规律。

3.常见指数函数：（1）指数函数y=2^x：以2为底的指数函数，可以用来描述2的x 次幂关系，是一种常见的指数型增长函数，图像逐渐向上凸起。

二、对数函数：1.基本概念：对数函数是指y=loga(x)，其中a>0，且a≠1，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。

2.基本性质：（1）loga(1)=0，底数为任何正数时，1的对数都是0；（2）loga(a)=1，底数为任何正数时，底数的对数都是1；（3）loga (x*y) = loga(x) + loga(y)，对数相乘，真数取乘积，对数相加；（4）loga (x/y) = loga(x) - loga(y)，对数相除，真数取商，对数相减；（5）loga(x^k) = k * loga(x)，对数乘方，真数取底数的k次方，对数乘以指数。

3.常见对数函数：（1）常用对数函数：y=log10(x)，其中底数为10，对数函数可以简写为y=log(x)。

常用对数函数是以10为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足10^y=x的y值。

（2）自然对数函数：y=ln(x)，其中底数为e。

自然对数函数是以e 为底的对数函数，输入一个正实数x，输出满足e^y=x的y值。

三、指数函数与对数函数的关系：四、指数函数与对数函数的应用：1.科学中的指数增长：指数函数常常用于描述原子衰变、细胞分裂和放射性物质的衰变等过程。

最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。

指数与指数函数知识要点1. 指数(1) n 次方根的定义：若 x n=a ,则称x 为a 的n 次方根，“ n”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数， 0的奇次方根是0;正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数， 0的偶次方根是0,负数没有偶次方根• (2) 方根的性质①当n 为奇数时，n、a n=a .(3) 分数指数幕的意义m①a n =n a m( a >0, m n 都是正整数，n > 1)1 / c =^= (a>0, n m・a2. 指数函数 (1) 指数函数的定义一般地，函数y =a x(a >0且a ^ 1)叫做指数函数(2) 指数函数的图象底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 (3) 指数函数的性质 ① 定义域：R. ② 值域：(0 ,+s).③ 过点(0, 1),即x =0时，y =1.②当n 为偶数时,n n、a =| a |=(a 0),(a 0).m n 都是正整数, n > 1)④当a> 1时，在R上是增函数；当0v a v 1时，在R上是减函数经典例题1. 3a • 6a 等于3. 若函数y =a x+b — 1 ( a > 0且1)的图象经过二、三、四象限，则一定有 A.0 v a v 1 且 b > B.a > 1 且 b >0 C.0 v a v 1 且 b v 0D.a > 1 且 b v 04. 函数y =— e x的图象 A.与y =e x的图象关于y 轴对称 B.与y =e x的图象关于坐标原点对称 C.与y =e — x的图象关于y 轴对称 D.与y =e —x的图象关于坐标原点对称5. 下图是指数函数(1)y =a , (2) y =b , (3) y =C , (4) y =d 的图象，贝U a 、b 、c 、d与1的大小关系是A. a v b v 1 v c v dB.b v a v 1v d v cC.1 v a v b v c v dD.a v b v 1 v d v c6、 若直线y =2a 与函数y =|a x— 1| （a >0且a * 1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 ____________________ .12x2.函数y =237、函数y=（丄）x 2x2的递增区间是________________ .8、已知2x2 x<( 1)「2,求函数y =2x — 2_x的值域.49、要使函数y =1+2x +4xa 在x €( — g, 1 ］上y >0恒成立，求a 的取值范围基础练习1、已知 f (x )=a x，g (x )=— logb x ，且 Ig a +lg b =0，a * 1, 1,贝U y =f (x )与 y =g (x )的图象()A.关于直线x +y =0对称B.关于直线x — y =0对称C.关于y 轴对称D.关于原点对 称 爲3b 2气 (a > o, b > 0)的结果是 3b117、已知9x— 10 • 3x+9< 0,求函数y = ()x — 1— 4 ( ) x+2的最大值和最小值42能力提高118、若 a 2x+_ • a x- - < 0 (a > 0 且 a * 1),求 y =2a 2x— 3 • a x+4 的值域.2、F 列函数中值域为正实数的是 xA. y = — 1 \1—xB.y =()31)x1D.y =1 2x3、 函数f (x )A.丄4x=a +log B.(x+1 )在［0,121 ］上的最大值与最小值的和为 a ,则a 的值为 C.2D.44、a a. a a5、 化简 1 1 可46、 >(m i ) 2的正数m 的取值范围是2 29、解方程 4x+|1 — 2x|=11.创新能力10、若关于x的方程25—|x+11— 4 • 5—|x+11—m=0有实根，求m的取值范围能力拓展1 a b1 若 60a = 3, 60b= 5.求 122(1 b)的值.2方程2x=2 —x的解的个数为________________对数与对数函数概念1. 对数的定义： 如果a b=N (a> 0, 1),那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N=b .易得：alogaNN __对数恒等式2. 指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b (a >0, a * 1, N>0).要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。

指数对数函数知识点指数和对数函数是高中数学中重要的概念。

它们在解决各种复杂的问题中起着重要的作用。

本文将介绍指数和对数函数的基本性质和应用。

一、指数函数指数函数是以某个常数为底数，以自变量为指数的函数。

常见的指数函数形式为 y = a^x，其中 a 为底数，x 为指数。

指数函数具有以下几个重要的性质。

1. 当 a > 0 且a ≠ 1 时，指数函数的图像是递增的，呈现上升趋势。

当 0 < a < 1 时，指数函数的图像在 x 轴右侧逐渐靠近 x 轴，但没有交点。

当 a > 1 时，指数函数在 x 轴右侧逐渐远离 x 轴，但没有交点。

2. 指数函数 y = a^x 的图像经过点 (0, 1)，这是因为任何数的 0 次方都等于 1。

3. 指数函数的性质还包括：当 x 为正无穷时，指数函数的值趋向于正无穷；当 x 为负无穷时，指数函数的值趋向于 0。

这表明指数函数在某个点附近很大或很小。

二、对数函数对数函数是指数函数的反函数，即 y = loga x，其中 a 为底数，x 为真数。

对数函数也具有一些重要的性质。

1. 对数函数的定义域是正实数集合 R+，值域是实数集合 R。

2. 对数函数的图像与指数函数的图像关于直线 y = x 对称，即 f(x) = loga x 在 y = x 时与 f(x) = a^x 相交。

3. 对数函数的图像基本特征是递增的，在 x 轴的左侧逐渐上升。

4. 对数函数的性质还包括：loga 1 = 0，loga a = 1。

这是因为对于任何数 a，a^0 = 1，a^1 = a。

三、指数和对数函数的应用指数和对数函数在各个领域中都有广泛的应用。

以下是其中的一些例子。

1. 金融领域：指数和对数函数用于计算复利问题，如投资收益率、债券价格等。

2. 成长模型：指数函数可以用于描述生物种群的增长模型，如细胞分裂、细菌繁殖等。

3. 天文学：指数函数可以用于描述恒星的亮度，对于测量星等有重要作用。