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结构动力学3-4

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结构动力学

结构动力学

第2章 单自由度系统
§2.4 简谐荷载的强迫振动
2.4.1 无阻尼系统
1、运动方程
mx kx F0 sin t
2、解的形式
x x x
设：
x A sin t
(m 2 k ) A F0
第2章 单自由度系统
解得：
A
A
(m 2 k )
F0 k xst (1 2 2 ) (1 2 )
已知
结构
荷载
响应
荷载
已知或未知
结构
已知
第1章 绪论
§1.2 研究对象
1、结构——弹性恢复力 fk(x) 2、外力——时变特性 fp(t)
§1.3 研究内容
1、结构动力特性——固有频率、振型、阻尼 2、结构响应——位移、速度、加速度
第1章 绪论
§1.4 研究方法
1、时域法——解析法、逐步积分法 2、频域法——谱分析法

k m
①简支梁问题
m l
第2章 单自由度系统
1 k
l3 48 EI
k
48EI l3
48EI ml 3

第2章 单自由度系统
②悬臂梁问题 弯曲变形
x

l 3EI
3
m
k
3EI l3
k
剪切变形
l3 12EI
k
12EI l3
弯曲变形 剪切变形
第2章 单自由度系统

2 i i ,max m xi ki xi2,maxi
第2章 单自由度系统
m x
i 2 i i ,max
2 2 J max m2 xmax
1 2 2 m1l 2 max m2l 2 max 3 1 2 m1l 2 m2l 2 max 3

结构动力学_运动控制方程_分段解析法

结构动力学_运动控制方程_分段解析法

结构动力学运动控制方程分段解析法1. 引言1.1 概述在工程领域中，结构动力学是研究结构物体受外界力或激励下的响应和振动特性的一门学科。

结构动力学广泛应用于建筑、桥梁、飞机等领域，对于确保结构物的安全性和稳定性具有重要意义。

随着现代科技的发展，运动控制方程在结构动力学中扮演着至关重要的角色。

通过运动控制方程，我们可以深入理解和预测结构物运动的规律，并为其设计合适的控制策略。

因此，研究和解析这些方程是结构动力学研究中必不可少的一部分。

1.2 文章结构本文将按照以下顺序进行组织和阐述：首先，在第二部分中，我们将简要介绍结构动力学的定义和原理，以及涉及到的动力学方程。

接着，在第三部分中，我们将详细介绍分段解析法作为一种常见的求解方法，包括其基本原理、算法步骤以及相关应用案例。

在第四部分中，我们将描述所设计实验的参数设置，并对实验结果进行分析和讨论。

最后，在第五部分中，我们将总结本文的主要结论，并展望未来研究方向。

1.3 目的本文的主要目的是通过对结构动力学和运动控制方程的介绍，以及分段解析法的应用案例分析，进一步加深对相关理论和方法的理解。

同时，希望为研究者提供一个清晰、系统的框架，以便于更好地理解和应用这些内容。

鉴于分段解析法在结构动力学领域具有广泛应用和良好效果，本文还旨在为读者提供相关方法在实际工程问题中的指导参考。

2. 结构动力学2.1 定义和原理结构动力学是一门研究物体在受到外部力作用下的运动规律的领域。

它主要涉及质点的运动学和动力学，以及刚体与弹性体的运动特性。

在结构工程中，结构动力学用于分析和预测建筑物、桥梁、飞机等工程结构在自然环境或人为作用下的响应情况，并提供相应的设计依据。

2.2 动力学方程结构动力学理论通过牛顿定律和哈密顿原理等基本原理推导出结构系统的运动方程。

这些方程描述了结构物各个部分之间的相互关系，并包括质量、刚度、阻尼等参数。

根据实际工程问题，可以选择合适的数值解法求解这些方程，从而得到结构系统随时间变化的运动状态。

结构动力学4

结构动力学4

(d)
4.3 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
2、半功率带宽法 (半功率点法)
半功率点：动力放大系数Rd
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
记：ωa和ωb分别等于半功
率点对应的两个频率。 则阻尼比ζ
可由如下公式计算：
b a 2n
b a b a
fb fa
特解up可以设为如下形式 :
u p (t) C sin t D cost
u 2 nu n 2u

p0 m
sin t
(n2
2 )C
2 nD
p0 m

sin
t

2 nC
(n2
2)D
cost

0
4.2 有阻尼体系的简谐振动
瞬态反应
u(t)
u(0) cosnt


u(0)
n

p0 k
/ n 1 ( / n )2

sin nt


p0 k
1
1 ( / n )2
sin t
瞬态反应和稳态反应
稳态反应
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应 ：
u(t)
p0 k
1
1 ( / n )2
4.3 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
1、共振放大法
1 ust 2Rd ( n ) 2u0 ( n )
由于从动力放大曲线定u0(ωn)不容易，一般用u0m代替，
u0m=max(u0)，则:

1
ust
2(Rd )max 2u0m
用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单。但实际工程中测得 的动力放大系数曲线一般以u0－ω图给出，用以上公式计算阻 尼比时，还需得到零频时的静位移值ust，实际测量静载位移 无论从加载设备和记录(拾振)设备都有一定的困难，即实现动 力加荷和测量动力信号的设备不能在零频率时工作。因此工 程中往往采用半功率(带宽)法从动力试验中得到阻尼比ζ。

机械结构动力学三级报告

机械结构动力学三级报告

机械结构动力学三级项目项目名称：圆轴的扭转振动姓名：殷旗君、刘超、陈爱民、宋腾达指导教师：***日期：2017.04.16工程实际中的结构都是连续分布的质量和连续分布的刚度所组成，例如任何一个弹簧原件都具有质量，同样，任何一个具有质量的物体也具有弹性，因此实际的结构都是连续弹性体，它具有无限多个自由度。

在数学上需要用时间和空间的函数来描述它的运动状态，最后得到系统运动的偏微分方程。

但是在一定的条件下，可以把连续弹性体结构抽象为多自由度系统甚至单自由度系统来研究。

这种抽象化或理想化是必要的，它可以将问题简化，使系统运动用常微分方程就可以描述。

将一个复杂结构离散为一个多自由度系统模型的方法，在电子计算机时代的今天更是一个被广泛采用的方法。

但是在理论研究上，将一个连续弹性体看成为一个具有无限个自由度系统的模型，研究它运动的基本方程及其相应的解析解仍然是很有意义的。

有些物理现象，例如弹性波的传播，用连续系统的模型能更清晰地描述。

弹性体的振动理论是建立在弹性力学基础上，因此要求满足线性弹性体的基本假设，即假设物体是均匀的，各向同性的，并且服从胡克定律。

关键词：连续弹性体自由度抽象胡克定律在这关于弹性振动的结构当中，我们决定选择圆轴的扭转振动。

圆轴扭转时，每一横截面绕通过截面形心的轴线转动一个角度θ，横截面仍然保持为平面。

横截面上每一点的位移有该截面的扭转角唯一确定。

这样，分析圆轴的扭转振动时，震动的位移取为扭转角位移，并且有对应扭矩。

目录第一部分圆轴扭转振动的理论分析 (1)第二部分圆轴扭转振动的具体实例分析 (1)第三部分感想与总结 (3)第四部分参考文献 (4)附录 (5)1、Matlab程序代码： (5)2、matlab仿真曲线 (6)3、simulation仿真 (6)第一部分圆轴扭转振动的理论分析圆轴低碳钢拉伸试验中进入塑性变形阶段到破坏的全过程经历了屈服阶段，强化阶段和局部变形阶段三个阶段，而低碳钢扭转试验中横截面的边缘处先形成环形塑性区，再逐渐向圆心扩展，直到整个截面几乎都是塑性区，直致断裂，但没有几个阶段的划分。

结构动力学

结构动力学

一、绪论
1.1 阪神地震
首先请大家看日本阪 神地震录像，希望能从 中体会到学习结构动力 学的重要性。 更希望大家能学好结 构动力学（三要素），且作用
结果使受荷物体质量的加速度（惯性力与外荷比）不
可忽视，这种荷载称动力荷载，简称动荷。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小， 分析时仍视作静荷载。 静荷只与作用位臵有关，而动荷是坐标和时间的函 数。
二、体系的运动方程建立
2.1 建立运动方程的基本步骤 2.2 运动方程建立举例
2.3 体系运动方程的一般形式
2.4 应注意的几个问题
2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤
2.6 运动方程建立总结
2.1 建立运动方程的基本步骤
作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列 平衡方程得到运动方程的“直接平衡法”。以下讨论 列平衡方程称刚度法 中一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度——质量独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力 （注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 5) 取质量为隔离体并作受力图； 6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方 程，此方程就是运动（微分）方程。
1.6 建立结构运动方程的一般方法
3) 利用哈密顿原理来建立运动方程——变分法 分析力学中学过哈密顿原理。通过建立系统动能、 势能和耗能（分别记作 T、EP、V），获得如下哈密 顿泛函
H (T E P V )dt
t1
t2
根据哈密顿原理，可由令哈密顿泛函的一阶变分等于 零来建立“动平衡方程”——运动方程。 当没有耗能时，所得到的是无阻尼的方程。否则， 是有阻尼情况。 用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、 阻尼例和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。

结构动力学习题解答

结构动力学习题解答
̇̇ = hδ ( t ) ； θ 0
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(

结构动力学试题及答案

结构动力学试题及答案

结构动力学试题及答案（本文按试题和答案格式进行编写）试题一：1. 请问什么是结构动力学？2. 简述结构动力学的研究对象和主要内容。

3. 结构动力学分析常用的方法有哪些？4. 结构动力学分析中常用的数学模型有哪些？5. 结构动力学的应用领域有哪些？答案一：1. 结构动力学是研究结构在外力作用下的动态响应及其稳定性的学科。

2. 结构动力学的研究对象是各种工程结构，主要内容包括结构的振动、冲击响应、瞬态响应和稳态响应等。

3. 结构动力学分析常用的方法有模态分析法、频率响应分析法、时程分析法等。

4. 结构动力学分析中常用的数学模型有单自由度体系、多自由度体系、连续体系等。

5. 结构动力学的应用领域广泛，包括建筑结构工程、桥梁工程、风力发电机组、地震工程等。

试题二：1. 结构动力学分析中，模态分析的基本原理是什么？2. 简述模态分析的步骤和计算方法。

3. 常用的模态分析软件有哪些？4. 请问什么是结构的固有频率和阻尼比？5. 结构的模态振型对结构动力响应有什么影响？答案二：1. 模态分析是基于结构的振动特性，通过求解结构的固有频率、模态振型和阻尼比等参数，来研究结构的动力响应。

2. 模态分析的步骤包括建立结构有限元模型、求解结构的固有频率和模态振型、计算结构的阻尼比等。

常用的计算方法有有限元法、拉普拉斯变换法等。

3. 常用的模态分析软件有ANSYS、ABAQUS、MSC.NASTRAN等。

4. 结构的固有频率是结构在无外力作用下自由振动的频率，阻尼比是结构振动过程中能量耗散的程度。

5. 结构的模态振型对结构动力响应有很大影响，不同的模态振型会导致不同的振动特性和反应。

试题三：1. 结构动力学分析中，频率响应分析的基本原理是什么？2. 简述频率响应分析的步骤和计算方法。

3. 频率响应分析和模态分析有什么区别？4. 结构的频率响应函数和传递函数有什么区别？5. 频率响应分析在结构设计中的应用有哪些？答案三：1. 频率响应分析是研究结构在单频激励下的响应特性，通过求解结构的频率响应函数，来获得结构的响应。

结构动力学课件PPT

结构动力学课件PPT

地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通 常称为结构振动分析。 结构在随机荷载作用下的响应分析， 被称为结构的随机振动分析。 本课程主要学习确定性荷载作用下的结 构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性
元件中） 分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成） 只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
A
x
x p( x,t ) = p a ( t )
1
令：
5l FE (t ) q(t ) 8

y FE (t )
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
P FE (t )
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
已经知道柔度和刚度k 之间的关系为： k 表达式成为：
简支梁： 比较： 刚架： 基本质量弹簧体系：
大型桥梁结构 的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。

结构动力学复习题全解

结构动力学复习题全解
结构动力学
*本章讨论结构在动力荷载作用下的反应。 **学习本章注重动力学的特征------惯性力。 *结构动力计算的目的在于确定结构在动力荷载作用下的位移、内力等量值随时间变化 的规律，从而找出其最大值作为设计的依据。 *动力学研究的问题：动态作用下结构或构件的强度、刚度及稳定性分析。 一、 本章重点 1．振动方程的建立 2．振动频率和振型的计算 3．振型分解法求解多自由度体系 4．最大动位移及最大动应力 二、 基础知识 1．高等数学 2．线性代数 3．结构力学 三、 动力荷载的特征 1．大小和方向是时间 t 的函数 例如：地震作用，波浪对船体的作用，风荷载，机械振动等 2．具有加速度，因而产生惯性力 四、 动力荷载的分类 1．周期性动力荷载 例如：①机械运转产生的动力荷载，②打桩时的锤击荷载。 P（t） P（t）

Δt 时间内，干扰力的作用近似的看作是初速度为 v (t ) = 的自由振动。 由（3）式可知：
p∆t p ( ∆t ) 2 ，初位移为 y(t ) = =0 m 2m
y(t ) = y 0 cosωt +
v0 p∆t sinωt sinωt = ω mω
---------------------（9）
& (t ) FD= - C y
，称为粘滞阻尼力，阻尼力 与运动方向相反。
一切引起振动衰减的因素均称为阻尼，包括 EI ①材料的内摩擦引起的机械能转化为热能消失 ②周围介质对结构的阻尼（如，空气的紫力） ③节点，构件与支座连接之间的摩擦阻力 ④通过基础散失的能量 2．弹性恢复力 FE= - K y(t) ，K 为侧移刚度系数，弹性恢复力 与运动方向相反。 3．惯性力
，阻尼系数为 C ，横梁具有分布质量 m =
m L
。

结构动力学

结构动力学

（14-22）
（14-23）
即
A 1
2
式中
1 2
2
F11 yst
（14-24）
yst F11 代表将振动荷载的最大值F作为静力荷载作用于结构上
时所引起的静力位移，而

1 1Байду номын сангаас
2
2

A yst
（14-25）
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。 2. 考虑阻尼的纯受迫振动 取式（14-21）的第三项，整理后有
y
2 0

2 y0
2
（14-4）
y0 tan y0
则有
(14-5)
y a sin(t )
（14-7） y a cos(t )
（14-6）
（4）自振频率的计算
k11 1 g g m m11 mg11 st
自振周期：T=2π/ω。 其中：
本章基本要求： 掌握动力自由度的判别方法。 掌握单自由度、多自由度体系运动方程的建立方法。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系动力特性的计算。 熟练掌握单自由度体系、两个自由度体系在简谐荷载作用下 动内力、动位移的计算。 掌握阻尼对振动的影响。 了解自振频率的近似计算方法。
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
(14-8)
柔度系数 11 表示在质点上沿振动方向加单位荷载时，使质点 沿振动方向所产生的位移。 刚度系数 k11 表示使质点沿振动方向发生单位位移时，须在 质点上沿振动方向施加的力。 Δst=W 11 表示在质点上沿振动方向加数值为W=mg的力时质点 沿振动方向所产生的位移。

结构动力学-第四章 MDOF(Part 1)

结构动力学-第四章 MDOF(Part 1)
华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
⎧ u1 ⎫ ⎧φ1 ⎫ ⎧a ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (ωt + θ ) = β ⎨ ⎬ sin (ωt + θ ) ⎩1 ⎭ ⎩u2 ⎭ ⎩φ2 ⎭
结构动力学 第四章 多自由度体系 5 of 42
或者
§4.1 两自由度体系的振动分析
算例 4.1 设 m1 = m2 = 1,000kg , k1 = 1,500 N / m, k2 = 1,000 N / m 求圆频率和振型
{d }1 {d }2
⎧φ1(1) ⎫ = ⎨ (1) ⎬ ⎩φ2 ⎭ ⎧φ1(2) ⎫ = ⎨ (2) ⎬ ⎩φ2 ⎭
用功能互等定理
{ f }1 {d }2 = { f }2 {d }1
将表达式代入并整理后,可得
(ω
结构动力学
2 1
− ω2 2 )( m1φ1(1)φ1(2) + m2φ2 (1)φ2 (2) ) = 0
结构动力学 第四章 多自由度体系 3 of 42 华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
§4.1 两自由度体系的振动分析
为得到非零解，必须有
2 Q (ω ) = m1m2ω 4 − ⎣ ω ⎡ m1k2 + m2 ( k1 + k2 )⎤ ⎦ + k1k2 = 0
方程的解
⎛ ⎡ k 1 k +k ω1 = ⎜ ⎢ 1 2 + 2 − ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎛ ⎡ 1 ⎢ k1 + k2 k2 ⎜ + + ω2 = ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎤⎞ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ + − 4 ⎜ m ⎟ m m1m2 ⎥ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎦⎠ 12 2 ⎞ ⎤ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ ⎜ m + m ⎟ −4mm ⎟ 1 2 ⎠ 1 2 ⎥ ⎝ ⎦⎠

结构动力学

结构动力学

一、 结构动力学是研究什么的？包含什么内容？结构离散化有什么方法、特点？结构动力学：是研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。

目的：在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供坚实的理论基础。

结构动力分析的目的：确定动力荷载作用下结构的内力和变形；通过动力分析确定结构的动力特性。

离散化方法：把无限自由度问题转化为有限自由度的过程。

1、 集中质量法：是结构动力分析最常见的处理方法，它把连续分布的质量集中为几个质量，这样就把一个原为无限（动力）自由度的问题转化为有限自由度。

特点：采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点。

2、 广义坐标法：能决定体系几何位置的彼此独立的量。

特点：采用形函数的概念，在全部体系上插值。

虽然广义坐标表示了形函数的大小，如果形函数是位移量，则广义坐标具有位移的量纲，但只有n 项叠加后才是真实的位移物理量。

因而广义坐标实际上并不是真实的物理量。

3、 有限元法：将整个结构离散化为有限个单元，它们在有限个节点上连接，通过选用适当的形函数，对各个单元进行近似的力学分析处理，建立起单元的节点位移和相应节点之间的关系，然后按照在连接点上的力平衡条件与变形连续条件，把单元拼接成原结构。

特点：综合了集中质量法和广义坐标法的特点：1与广义坐标法相似，采用了形函数的概念，但为分片的插值，形函数的表达式相对简单；2与集中质量法相同，也采用了真实的物理量，具有直观、直接的优点。

3.每一分段所选择的位移函数可以是相同的，故计算得以简化。

4、每个节点位移仅影响其邻近的单元，所以这个方法所导得的方程大部分是非藕合的，因此解方程式的过程大大地简化。

（不作要求，仅供参考）动力荷载的类型：简谐荷载、非荷载周期荷载、冲击荷载、一般任意荷载。

（不作要求，仅供参考）结构动力计算的特点：1动力反应要计算全部时间点上的一系列的解，比静力问题复杂要消耗更多的计算时间。

结构动力学 ppt课件

结构动力学 ppt课件

i (0) i (l ) 0
--基函数（或形状函数） 课件 i ( x)PPT
9
ai ---广义坐标
3) 有限元法 和静力问题一样，可通过将实 际结构离散化为有限个单元的集合， 将无限自由度问题化为有限自由度 来解决。
m
三. 自由度的确定
集中质量法：独立质量位移数即为自由度数； 广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数； 有限元法：独立结点位移数即为自由度数；
第三类问题：荷载识别。
PPT课件
5
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 控制系统 （装置、能量） 输出 （动力反应）
本课程主要介绍结构的反应分析 任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找 结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
PPT课件
10
例. 自由度的确定
1) 平面上的一个质点 3) 计轴向变形时 W=2 不计轴向变形时 W=1 W=2 为减少动力自由度，梁与 刚架一般可不计轴向变形。
y2
y1
W=2
2)Βιβλιοθήκη 弹性支座不减少动力自由度PPT课件
11
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
EI
W=1
PPT课件
12
§1.4
体系的运动方程
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
PPT课件
13
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m (t ) y y(t )
=1
11
(t )] 11[ P(t ) m y

结构动力学第三章

结构动力学第三章

x(t)
m
− m&x&
l
EI
Psinθt
EI
Psinθt
EI EI
l
l
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
x(t) = δ11 ⋅ (−m&x&) + δ12 ⋅ Psinθt
其中柔度系数δ 和δ 的物理意义如下图所示
1
2
δ11
δ12
1
1
作出两个力单位弯矩图如下，
1 M1
m
− m&y&
EI
k
=
48EI l3
l/2
l/2
EI y (t)
k
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
y(t) = δ ⋅ (−m&y&)
其中柔度系数δ的物理意义如左下图所示，可分解为右边两图中柔度的
叠加， 1
1
1
δ
k
δ 1
由结构力学的图乘法或材料力学的结论
0.5
δ1
A EI = ∞ B
3m m ⋅lα&&
m
α (t)
k
A
m
B
3m
YA
将刚性杆连同两个质量取出，受力如上图右所示，
k ⋅ 2lα 3m ⋅3lα&&
∑ M A = 0 3m ⋅3lα&&×3l + m ⋅lα&&×l + k ⋅ 2lα × 2l = 0
28ml 2α&& + 4kl 2α = 0
7mα&& + kα = 0

结构动力学（ＰＤＦ）

结构动力学（ＰＤＦ）

机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。

确定自然频率的方法： 1、 静变形法：kx mg =，n g xω=2、 能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。

1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。

在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。

特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。

结构动力学基础知识(典型例题分析)

结构动力学基础知识(典型例题分析)

分析：
图 2a
图 2b
（1）由于结构对称，质量分布对称，所以质点 m 无水平位移，只有竖向位移，此桁架为单 自由度体系。
( ) ∑ （2）
挠度系数： δ 11
=
1 EA
FN2l
=
l EA
1+
2
（3） 自振频率：ω = 1 mδ11
3. 计算图 3a 结构的自振频率，设各杆的质量不计。
图 3a
图 3b
一、自由度 1. 判断自由度的数量。
典型例题分析（动力学）
二、单自由度体系的自振频率 1. 试列出图 1a 结构的振动方程，并求出自振频率。EI＝常数。
分析：
图 1a
图 1b M1
图 1c M2
（1） 质点 m 的水平位移 y 为由惯性力和动荷载共同作用引起： y = δ11 (− m&y&) + δ12 Fp (t ) 。
( M 2 = Y (2)T MY (2) = 1 4.6)⎢⎣⎡20m m0 ⎥⎦⎤⎜⎜⎝⎛ 41.6⎟⎟⎠⎞ = 22.16m
F1(t) = Y (1)T Fp (t) = (1
−
0.44)⎜⎜⎝⎛
Fp (t
0
)⎟⎟⎠⎞
=
Fp
(t
)
F2 (t) = Fp (t)
（6）
求正则坐标：突加荷载时ηi (t)
y2 (t) = −0.44η1(t) + 4.6η2 (t)
五、能量法求第一自振频率
1. 试用能量法求 1a 梁具有均布质量 m＝q／8 的最低频率。
[ ] 已知：位移形状函数：Y (x) = q 3l 2 x2 − 5lx3 + 2x4 48EI

土木工程中的结构动力学分析

土木工程中的结构动力学分析

土木工程中的结构动力学分析
结构动力学分析是土木工程中一个重要的研究领域，主要用于确定结构在动荷载作用下的反应规律，以便进行合理的动力设计。

结构反应是指结构的位移、速度、加速度、内力等，也称为结构响应。

在结构动力分析中，通常将质量的位移作为求解时的基本未知量，当质量的位移求出后，即可求出其他反应量，如速度、加速度、内力等。

因此，确定体系上有多少独立的质量位移对问题的求解甚为关键，这个问题归结为振动自由度问题。

在振动过程中的任一时刻，确定体系全部质量位置所需的独立参数个数，称为体系的振动自由度。

在结构动力分析中，要确定体系中所有质量的运动规律，需建立质量运动与动荷载及结构基本参数间的关系方程，即运动方程。

结构动力学分析类型包括：模态分析、谐响应分析、响应谱分析、随机振动响应分析、瞬态动力学分析、刚体动力分析、显式动力分析等。

以上信息仅供参考，如有需要，建议咨询专业人士。

结构动力学基础全文

结构动力学基础全文

2
目
录
第一章 结构动力学简述...............................................................................................................1 第二章 动力学原理.......................................................................................................................3 §2-1 约束 ....................................................................................................................................3 2-1-1 完整约束 .................................................................................... 错误！未定义书签。 2-1-2 非完整约束 ................................................................................ 错误！未定义书签。 §2-2 广义力 ................................................................................................................................3 §2-3 达朗贝（D′ALEMBERT）原理 ........................
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j j
结构动力学
mu cu ku e
H (i j )
1 1 2 k i 1 ( ) [ 2 ( )] j n j n
u (t )
3.8 单自由度体系 对任意荷载的反应
总的稳态反应为:
j
p u (t ) H (i ) p e

Tp
0 Tp
p (t )dt p (t ) cos( j t )dt p (t ) sin( j t )dt n 1 ,2 ,3 , n 1 ,2 ,3 ,
4/71

0 Tp
0
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
当用Fourier级数展开法时，隐含假设周期函数是从-∞开 始 到 +∞ 。 初 始 条 件 (t=-∞) 的 影 响 到 t=0 时 已 完全消 失，仅需计算稳态解，即特解。 对应于每一简谐荷载项作用，体系的反应为：


对时域运动方程两边同时进行Fourier正变换，得 单自由度体系频域运动方程：
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )

(t )e it dt iU ( ) u


(t )e it dt 2U ( ) u
p
1 2
...
τ
dτ du t 1脉 冲 引 起 的 反 应 du
t
du (t ) p ( )d h(t ) , t
2脉 冲 引 起 的 反 应以前所有脉冲作用下反应 的和：
du t τ时 刻 脉 冲 引 起 的 反 应
. . .
单位脉冲及单位脉冲反应函数
p (t ) P( )
H(i)—复频反应函数，i是用来表示函数是一复 数。 再利用Fourier逆变换，即得到体系的位移解： 1 u (t ) H (i ) P ( )eit d 2 21/71
0
16/71
t
3.8.1 Duhamel积分
u (t ) p( )h(t )d
0
t
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 ● 虽 然 在 实 际 的 计 算 中 并 不 常 用 Duhamel 积 分 法，但它给出了以积分形式表示的体系运动的 解析表达式，在分析任意荷载作用下体系动力 反应的理论研究中得到广泛应用。 ● 当外荷载可以用解析函数表示时，采用 Duhamel 积分方法有时更容易获得体系动力反 应的解析解。例如，获得共振时无阻尼体系的 特解。
6/71
bj sin( j t ) : u j
s
b j (1 j 2 )sin j t 2 j cos j t k
1
利用复数Fourier级数得到复数形式的解
用复数Fourier级数将周期荷载展开， 1 Tp i t i t p(t ) p j e j , p j p(t )e j dt , p j p( j ) Tp 0 j 先计算单位复荷载eijt作用下，体系稳态反应的复幅值， i j t 设： u (t ) H (i )e i j t
19/71
1 P ( ) m F F U ( ) u (t ) , P( ) p (t )
20/71
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
2 2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
(0) u
n
sin n t
( ) 0 mu


p(t )dt 1
1 sin[ n (t )] t m n t
0
1 ( ) u m
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
h(t ) u (t ) 1 e n (t ) sin[ D (t )] t m D t
a j 2 j sin j t (1 j 2 )cos j t k (1 j 2 )2 (2 j )2 (1 j 2 )2 (2 j )2
5/71


2 1 a j (2 j ) b j (1 j ) sin j t k (1 j 2 ) 2 (2 j ) 2 j 1 2 1 a j (1 j ) b j (2 j ) cos j t k (1 j 2 ) 2 (2 j ) 2 j 1
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
设任意的周期荷载p(t)，将其展开成Fourier级数，
p(t ) a 0

j 1

a j cos j t
b
j 1

j
sin j t
j j1 j
a0 aj bj 1 Tp 2 Tp 2 Tp
2 Tp
Tp—荷载的周期
3
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法 Fourier变换的定义为：
3.8.2 频域分析方法—Fourier变换法
U () u(t )e it dt 1 U ()eit d u (t ) 2
U ( ) u (t )e it dt — 正变换 1 U ( )eit d — 逆变换 u(t ) 2
课程主要内容：
单自由度体系对周期荷载的反应
Fourier级数展开法(实数和复数Fourier级数)
第3章 单自由度体系
单自由度体系对任意荷载的反应
单位脉冲反应函数 Duhamel(杜哈曼)积分 Fourier变换法 离散Fourier变换方法—DFT
结构地震反应分析的反应谱法
动力系数(Tn)和地震影响系数(Tn)
9/71
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。
p
1/ε
τ
ε
t
单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程
10/71
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数
p
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 1、单位脉冲反应函数

单自由度体系时域运动方程：
(t ) 2 n u (t ) n 2u (t ) u
1 p (t ) m



(t )e it dt iU ( ) u (t )e it dt 2U ( ) u


速度和加速度的Fourier变换为：
18/71
● 杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作 用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。 ● 因为使用了叠加原理，因此它限于弹性范围而不能用 于非线性分析。 ● 如 果 荷 载 p(t) 是 简 单 的 函 数 ， 则 可 以 得 到 封 闭 解 （closed-form）。如果p(t)是一个很复杂的函数，也可 以通过数值积分得到问题的解。 ● 但从实际应用上看，采用数值积分时，其计算效率不 高，因为对于计算任一个时间点t的反应，积分都要从 0 积到 t ，而实际要计算一时间点系列，可能要几百到 几千个点。这时可采用效率更高的数值解法－时域逐 步积分方法，这将在以后介绍。 17/71
3.7 单自由度体系 对周期荷载的反应
阶跃荷载作用下单自由度体系的反应 冲击荷载作用下单自由度体系的反应
矩形脉冲荷载；半正弦脉冲荷载；三角形脉冲荷载
1/71 2/71
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
依靠的基础： 依靠已得到的单自由度体系对简谐荷载反应分析结果。 在获得简谐荷载作用的结果后，就可以方便地分析 单自由度体系对任意周期性荷载的反应，简谐荷载 是一种最简单、最具代表性的周期荷载。 任意周期性荷载均可以分解成简谐荷载的代数和。 具体实施方法： 利用Fourier级数展开法。 将任意的周期荷载p(t)展开成Fourier级数，把任意周 期性荷载表示成一系列简谐荷载的叠加，对每一简 谐荷载作用下结构的反应可以容易得到其稳态解， 再求和，得到结构在任意周期性荷载作用下的反 应。 限制条件： 结构体系是线弹性的。可使用叠加原理。 3/71
3.7 单自由度体系对周期荷载的反应
任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为：
u (t ) u0 a0 k
(u
j 1

c j
u js )
j j / n
a0 : u0 a0 / k
c a j cos( j t ) : u j
j j / n
u (t ) du
0
13/71

t
p( )h(t )d
0
t
u
t 总反应
14/71
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分
无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式 ：
u (t )
3.8.1 时域分析方法—Duhamel积分 Duhamel（杜哈曼）积分给出的解是一个由动力荷 载引起的相应于零初始条件的特解。 如果初始条件不为零，则需要再叠加上由非零初 始条件引起的自由振动，其解的形式已在前面 给出。 例如，对于无阻尼体系，当存在非零初始条件 时，问题的完整解为：
t
p
( ) u
τ
ε
u ( ) 0 1 m
1/ε
1/ε
τ
ε
t
在 t= 时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结 构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获 得一个初速度： 当→0时 ：
无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
h(t ) u (t )
u ( t ) u ( 0 ) cos n t
12/71