实验十二多准则决策问题
一实验目的
通过用层次分析法解决一个多准则决策问题, 学习层次分析法的基本原理与方法; 掌握用层次分析法建立数学模型的基本步骤；学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题.
二学习Mathematica命令
有时在计算中只需求出实数解, 而省略复数解, 则可以输入调用只求实数解的软件包. 输入
< 即可. 三实验的基本原理与方法 层次分析法是一种简便、灵活而实用的多准则决策方法. 它特别适用于难以完全定量进行分析的，又相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂问题. 它把人的思维过程层次化、数量化, 是系统分析的一个新型的数学方法. 运用层次分析法建模，大体上可分四个基本步骤进行： 1.建立层次结构 首先对所面临的问题要掌握足够的信息. 搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互关系，及所要解决问题的目标. 把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型. 在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分. 这些元素又按其属性及关系形成若干层次. 层次结构一般分三类： 第一类为最高层，它是分析问题的预定目标和结果，也称目标层； 第二类为中间层，它是为了实现目标所涉及的中间环节，如：准则、子准则，也称准则层；第三类为最低层，它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，也称方案层. 图26.1 层次结构应具有几个特点： (1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示. (2) 整个结构中层次数不受限制. 2. 建立判断矩阵 判断矩阵是层次分析的关键. 假定以上一层次的元素O 为准则，所支配的下一层次的元素为n C C C ,,,21 ，n 个元素n C C C ,,,21 对上一层次的元素O 有影响，要确定它们在O 中的比重．采用成对比较法．即每次取两个元素i C 和j C ，用ij a 表示i C 与j C 对O 的影响之比，全部比较的结果可用矩阵A 表示，() .,,2,1,,n j i a A n n ij ==?矩阵A 称为判断矩阵． 定义1 若判断矩阵满足下列条件： () .,,2,1,,1,1 ,0,n j i a a a a a A ii ij ji ij n n ij ===>=? 则称判断矩阵A 为正互反矩阵. 怎样确定判断矩阵A 的元素ij a 取值？ 当某层的元素n C C C ,,,21 对于上一层某元素O 的影响可直接定量表示时（如利润多少），i C 与j C 对O 的影响之比可以直接确定，ij a 的值也易得到．但对于大多数社会经济问题，特别是比较复杂的问题，元素i C 和j C 对Ｏ的重要性不容易直接获得，需要通过适当的方法解决．通常取数字１－９及其倒数作为ij a 的取值范围．这是因为在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5个明显的等级： 因素太多，将超出人们的判断比较能力，降低精确. 实践证明，成对比较的尺度以72±为宜. 故ij a 的取值范围是1，2，9, 及其倒数1，.9 1,,21 3. 计算层次单排序并做一致性检验 层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序. 具体做法是：根据同一层n 个元素n C C C ,,,21 ，对上一层某元素O 的判断矩阵A 求出它们对于元素O 的相对排序权重，记为：n w w w ,,,21 .写成向量形式： ()T n w w w w ,,,21 = ，称为A 的排序权重向量. 其中i w 表示第i 个元素对上一层中某元 素O 所占的比重. 从而得到层次单排序. 层次单排序权重向量可有几种方法求解，常用的方法是利用判断矩阵A 的特征值与特征向量来计算排序权重向量w .为此引出矩阵的特征值与特征向量的有关理论. 定义2 如果一个正互反矩阵() .,,2,1,,n j i a A n n ij ==?满足 ),,2,1,,(n k j i a a a ik jk ij ==?， 则称矩阵A 具有一致性，称元素k j i c c c ,,的成对比较是一致的; 并且称A 为一致矩阵. 根据矩阵理论，可以得到如下几个定理. 定理1 n 阶正互反矩阵A 的最大特征根m ax λn ≥，当n =λ时，A 是一致的. 定理2 n 阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值m ax λn =. 计算排序权重向量方法和步骤： 设()T n w w w w ,,,21 =是n 阶判断矩阵的排序权重向量，当A 为一致矩阵时，根据n 阶 判断矩阵构成的意义，显然有 ???? ??? ? ? ? ??=n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A 21222 12121 11 （1） 因而满足 nw Aw =. 这里n 是矩阵A 的最大特征根，w 是相应的特征向量；当A 为一般的判断矩阵时w Aw max λ=. 其中m ax λ是A 的最大特征值（也称主特征根），w 是相应的特 征向量（也称主特征向量）. 经归一化后（即： ∑==n i i w 1 1），可近似作为排序权重向量，这 种方法称为特征根法. 一致性检验： 在判断矩阵的构造中，并没有要求判断矩阵具有一致性的特点. 这是由于客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定.特别是在规模大、因素多的情况下，对于判断矩阵的每个元素来说，不可能求出精确的 j i w w .但要求判断矩阵大体上应该是一致的. 一个经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误. 利用上述方法计算排序权向量，当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也出现问题. 因此需要对判断矩阵的一致性进行检验. 其步骤如下： （1）计算一致性指标..I C 1 ..max --= n n I C λ （2） 当0..=I C 时，即n =max λ时，判断矩阵A 是一致的. 当..I C 值越大，判断矩阵A 的不一致的程度越严重. （2）查找相应的平均随机一致性指标..I R 下表给出了n （从1—11）阶正互反矩阵，用了100—150个随机样本矩阵A 算出的随机一致性指标..I R . .. ...I R I C R C = （3） 当10.0.. 4. 计算层次总排序权重并做一致性检验 在得到了某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后，还需要得到各层元素，特别是最低层中各方案对于目标层的排序权重，即层次总排序权重向量，从而进行方案选择. 层次总排序权重要自上而下地将层次单排序的权重进行合成得到. 考虑3个层次的决策问题. 若第一层只有1个元素，第二层有n 个元素，第三层有m 个元素，设第二层对第一层的层次单排序的权重向量为： () T n w w w w ) 2()2(2)2(1)2(,,, = 第三层对第二层的层次单排序的权重为： () .,,2,1,,,,)3()3(2)3(1)3(n k w w w w T km k k k == 以) 3(k w 为列向量构成矩阵 () n m nm m m n n n w w w w w w w w w w w w W ??? ?? ??? ??==)3()3(2)3(1) 3(2)3(22)3(12) 3(1)3(21) 3(11) 3()3(2)3(1)3(,,, （4） 则第三层对第一层的层次总排序权重向量为 )2()3()3(w W w = （5） 一般地，若有s 层，则第k 层对第一层的总排序权重向量为 s k w W w k k k ,,4,3,)1()()( ==- （6） 其中) (k W 是以第k 层对第k-1层的排序权向量为列向量组成的矩阵，) 1(-k w 是第k-1层对 第一层的总排序权重向量. 按照上述递推公式，可得到最下层（第s 层）对第一层的总排序权重向量为 )2()3()1()()(w W W W w s s s -= （7） 层次总排序权重向量也要进行一致性检验. 具体方法是从最高层到最低层逐层进行. 定义3：若考虑的决策问题共有s 层. 设第l （s l ≤≤3）层的一致性指标为 )1(.,,.,.) ()(2)(1层元素的数目是第-l n I C I C I C l n l l ; 第l 层的随机一致性指标为 )()(2)(1.,,.,.l n l l I R I R I R ，令 )1()(1)(1)(].,,.[.-=l l l l w I C I C I C （8） )1()(1)(1)(].,,.[.-=l l l l w I R I R I R （9） 则第l 层对第一层的总排序权向量的一致性比率为 s l I R I C R C R C l l l l ,,4,3,....) () () 1() ( =+=-. （10） 其中) 2(.R C 为由（3）式计算的第二层对第一层的排序权向量的一致性比率. 当最下层对第一层的总排序权向量的一致性比率1.0.) ( 比较判断可通过一致性检验. 四 实验内容 电脑的选购问题. 在选购电脑时，人们希望花最少的钱买到最理想的电脑. 下面通过层次分析法建立数学模型，以此确定欲选购的电脑. 模型建立的步骤可以分成四步： 1. 建立购机的层次结构模型； 2. 构造成对比较矩阵； 3. 计算排序权重向量并做一致性检验； 4. 计算层次总排序权重向量并做一致性检验. 下面按上述各步骤一一讨论研究. 1. 建立购机的层次结构模型 图 26.2 层次共有三层：最高层是“目标层”（用符号O 表示最终的选择目标）；中间层是“准则层”（分别用符号1C ~5C 表示“性能”、“价格”、“质量”、“外观”、“售后服务”五个判断准则）； 最低层是“方案层”（分别用符号1p ~3p 表示选定的三种品牌机：品牌1、品牌2、品牌3作为候选机型）. 选定了上述三种品牌机后，就要根据准则进行评定. 2. 建立成对比较矩阵 （1）建立“准则层”对“目标层”的成对比较矩阵 根据表1的定量化尺度，根据建模者的个人观点，设“准则层”对“目标层”的成对比较矩阵为 ?????? ????????????=13 1 23 1311312191131231212211513935 1A （11） （2）建立“方案层”对“准则层”的成对比较矩阵 ??????????=12513 1215 13 11B ??????? ???=121 531 2 15 13 12B ???? ? ?????=12 5 131 215 13 1 3B ??????????=1213513121514B ???? ??? ???=11 11331 3 13 15B 3. 计算排序权重向量并做一致性检验 利用Mathematica 的Eigensystem 命令可得到矩阵A 的最大特征值及特征值所对应的特征向量. 输入： < A={{1.0, 5, 3, 9, 3}, {1/5, 1, 1/2, 2, 1/2}, {1/3, 2, 1, 3, 1}, {1/9, 1/2, 1/3, 1, 1/3}, {1/3, 2, 1, 3, 1}}; （*以小数形式1.0输入, 进行近似计算，可避免精确解太长、太复杂*） T=Eigensystem[A]//Chop (*输入//Chop,把与零非常接近的数换成零*) 输出为： {{5.00974, Nonreal, Nonreal, 0, 0}, {{0.88126, 0.167913, 0.304926, 0.0960557, 0.304926}, {0.742882, Nonreal, Nonreal, Nonreal, Nonreal}, {0.742882, Nonreal, Nonreal, Nonreal, Nonreal}, {-0.993398, 0, 0.0673976, 0.0662265, 0.0650555}, {-0.65676, 0, 0.57431, 0.043784, -0.486742}}} (输出中的Nonreal 表示复数)得到A 的最大特征值00974.5max =λ，以及00974.5max =λ所对应的特征向量 ()T x 304926 .0,0960557.0,304926.0,167913.0,88126.0= 输入 Clear[x]; x=T[[2,1]]; ww2=x/Apply[Plus, x] 得归一化后的特征向量： ()T w 173739 .0,0547301.0,173739.0,0956728.0,502119.0)2(= 计算一致性指标 1 ..max --= n n I C λ 其中5=n ，00974.5max =λ, 得 ..I C =0.002435. 查表得到相应的随机一致性指标 12.1..=I R 得到一致性比例 . .. ...)2(I R I C R C = =0.002174 故1.0..) 2( ()T w 173739.0,0547301.0,173739.0,0956728.0,502119.0)2(= 作为其排序权向量. 再求矩阵)5,,2,1( =j B j 的最大特征值及特征值所对应的特征向量. 输入命令 B1=B3={{1.0, 1/3, 1/5}, {3, 1, 1/2}, {5, 2, 1}}; B2=Transpose[B1]; B4={{1.0, 5, 3}, {1/5, 1, 1/2}, {1/3, 2, 1}}; B5={{1.0, 3, 3}, {1/3, 1, 1}, {1/3, 1, 1}}; T1=Eigensystem[B1]//Chop T2=Eigensystem[B2]//Chop T3=Eigensystem[B3]//Chop T4=Eigensystem[B4]//Chop T5=Eigensystem[B5]//Chop 输出分别为 {{3.00369,Nonreal,Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137}, {Nonreal,Nonreal,0.871137}, {Nonreal,Nonreal,0.871137}}}; {{3.00369,Nonreal,Nonreal}, {{0.928119,0.328758,0.174679}, {0.928119,Nonreal,Nonreal}, {0.928119,Nonreal,Nonreal}}} {{3.00369,Nonreal,Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137}, {Nonreal,Nonreal,0.871137}, {Nonreal,Nonreal,0.871137}}} {{3.00369,Nonreal,Nonreal}, {{0.928119,0.174679,0.328758}, {0.928119,Nonreal,Nonreal}, {0.928119,Nonreal,Nonreal}}} {{3.,0,0}, {{0.904534,0.301511,0.301511}, {-0.973329,0.162221,0.162221}, {-0.170182,-0.667851,0.724578}}} 从输出可以分别得到)5,,2,1( =j B j 的最大特征值为 000.3,00369.3,00369.3,00369.3,00369.354321=====λλλλλ， 以及上述特征值所对应的特征向量为 () ()() ()() T T T T T x x x x x 301511.0,301511.0,904534.0328758.0,174679.0,928119.0871137.0,46286.0,163954.0174679.0,328758.0,928119.0871137.0,46286.0,163954.054321===== 其中.5,,2,1),,,(321 ==i x x x x i i i i 为了求得归一化后（即：.5,,2,1,13 1 ==∑=i x j ij ）的 特征向量：输入 Clear[x1,x2,x3,x4,x5]; x1=T1[[2,1]]; w1=x1/Apply[Plus, x1] x2=T2[[2,1]]; w2=x2/Apply[Plus, x2] x3=T3[[2,1]]; w3=x3/Apply[Plus, x3] x4=T4[[2,1]]; w4=x4/Apply[Plus, x4] x5=T5[[2,1]]; w5=x5/Apply[Plus, x5] 得 ()()()() () T T T T T w w w w w 200000.0,200000.0,600000.0229651.0,12202.0,648329.0581552.0,308996.0,109452.012202.0,229651.0,648329.0581552.0,308996.0,109452.054321===== 为计算一致性指标, .5,,2,1,1 . =--= i n n I C i i λ其中3=n ， 输入 lamda={T1[[1,1]], T2[[1,1]], T3[[1,1]], T4[[1,1]], T5[[1,1]]} CI=(lamda-3)/(3-1)//Chop 得 0.,0018473.0.,0018473.0.,0018473.0.,0018473.0.54321=====I C I C I C I C I C 查表得到相应的随机一致性指标 )5,,2,1(58.0. ==i I R i 计算一致性比例 .5,,2,1,... == i I R I C R C i i i 输入 CR=CI/0.58 得 0.;003185.0.;003185.0.;003185.0.;003185.0.54321=====R C R C R C R C R C . 故)5,,2,1(,1.0. = 4. 计算层次总排序权重向量并做一致性检验 列表表示各数据如下： ???? ? ?????=2.0229651.0581552.012202.0581552.02.012202.0308996.0229651.0308996.06.0648329.0109452.0648329.0109452.0) 3(W )3(W 即是第三层对第二层的权重向量为列向量组成的矩阵. 最下层（第三层）对最上层（第 一层）的总排序权向量为 )2()3()3(w W w = 为了计算上式, 输入 W3=Transpose[{w1, w2, w3, w4, w5}]; ww3=W3.ww2 得到输出 ()T w 452037 .0,272235.0,275728.0)3(= 为了对总排序权向量进行一致性检验, 计算 ())2(521)3(.,,.,..w I C I C I C I C = 输入 CI.ww2 得 0.00152635.)3(=I C 再计算 )2(51)3(].,.[.w I R I R I R = 输入 RI=Table[0.58,{j,5}]; RI.ww2 得 58.0.)3(=I R 再计算 ) 3()3() 2() 3(....I R I C R C R C + = 得 0.00480575.)3(=R C 因为1.0.) 3( 量取值，品牌3的电脑是建模者对这三种品牌机的首选. 五 实验作业 1. 根据你的设想购置一台计算机，需考虑什么样的判断准则？利用上述层次分析法及数学软件做出最佳的决策. 2. 根据你的经历设想如何报考大学，需要什么样的判断准则？利用上述层次分析法及数学软件做出最佳的决策. （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 习题一 1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合： （1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）； 设事件A 表示：平均得分在80分以上。 （2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和； 设事件A 表示：第一颗掷得5点； 设事件B 表示：三颗骰子点数之和不超过8点。 （3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A 表示：取出的三个球中最小的号码为1。 （4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数； 设事件A 表示：至多只要投50次。 （5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。 1.2 在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张。 （1）写出该随机试验的样本点和样本空间； （2）设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C 为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。 试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？ （a ）AB ； (b) B A +； (c) B ； (d) B A -； (e) BC ； (f) C B + 。 1.3 设A 、B 、C 是样本空间的事件，把下列事件用A 、B 、C 表示出来： （1）A 发生； （2）A 不发生，但B 、C 至少有一个发生； （3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生； （5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生； （7）三个事件不都发生。 1.4 设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，求下列事件： （1）B A ； （2）)(BC A 。 1.5 设A 、B 是随机事件，试证：B A AB A B B A +=-+-)()(。 1.6 在11张卡片上分别写上Probability 这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为ability 的概率。 1.7 电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数字（但第一位不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。 1.8 把10本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的3本书恰好放在一起的概率。 Matlab 概率论与数理统计一、matlab基本操作 1.画图 【例01.01】简单画图 hold off; x=0:0.1:2*pi; y=sin(x); plot(x,y,'-r'); x1=0:0.1:pi/2; y1=sin(x1); hold on; fill([x1, pi/2],[y1,1/2],'b'); 【例01.02】填充，二维均匀随机数 hold off; x=[0,60];y0=[0,0];y60=[60,60]; x1=[0,30];y1=x1+30; x2=[30,60];y2=x2-30; xv=[0 0 30 60 60 30 0];yv=[0 30 60 60 30 0 0]; fill(xv,yv,'b'); hold on; plot(x,y0,'r',y0,x,'r',x,y60,'r',y60,x,'r'); plot(x1,y1,'r',x2,y2,'r'); yr=unifrnd (0,60,2,100); plot(yr(1,:),yr(2,:),'m.') axis('on'); axis('square'); axis([-20 80 -20 80 ]); 2. 排列组合 C=nchoosek(n,k)：k n C C =，例nchoosek(5,2)=10, nchoosek(6,3)=20. prod(n1:n2)：从n1到n2的连乘 【例01.03】至少有两个人生日相同的概率 公式计算n n n n N N n N N N N n N N N C n p )1()1(1)! (! 1!1+--?-=--=- = 365364 (3651)365364 3651 11365365365365 rs rs rs ?-+-+=- =-? rs=[20,25,30,35,40,45,50]; %每班的人数 p1=ones(1,length(rs)); p2=ones(1,length(rs)); % 用连乘公式计算 for i=1:length(rs) p1(i)=prod(365-rs(i)+1:365)/365^rs(i); end % 用公式计算（改进） for i=1:length(rs) for k=365-rs(i)+1:365 p2(i)=p2(i)*(k/365); end ; end % 用公式计算（取对数） for i=1:length(rs) §13.6 概率统计实验 [学习目标] 1． 会用Mathematica 求概率、均值与方差； 2． 能进行常用分布的计算； 3． 会用Mathematica 进行期望和方差的区间估计； 4． 会用Mathematica 进行回归分析。 概率统计是最需要使用计算机的领域，过去依靠计算器进行统计计算，由于计算机的普及得以升级换代。本节介绍Mathematica 自带的统计程序包，其中有实现常用统计计算的各种外部函数。 一、 样本的数字特征 1. 一元的情况 Mathematica 的内部没有数理统计方面的功能，但是带有功能强大的数理统计外部程序，由多个程序文件组成。它们在标准扩展程序包集的Statistic 程序包子集中，位于目录 D ：\Mathematica\4.0\AddOns\StandardPackages\Statistics 下。通过查看Help ，可以找到包含所需外部函数的程序文件名。 在程序文件DescriptiveStatistics.m 中，含有实现一元数理统计基本计算的函数，常用的有： SampleRange[data] 求表data 中数据的极差（最大数减最小数）。 Median[data] 求中值。 Mean[data] 求平均值∑=n i i x n 1 1。 Variance[data] 求方差（无偏估计）∑=--n i i x x n 12)(11。 StandardDeviation[data] 求标准差（无偏估计）∑=--n i i x x n 1 2)(11。 VarianceMLE[data] 求方差∑=-n i i x x n 1 2)(1。 StandardDeviationMLE[data] 求标准差∑=-n i i x x n 1 2)(1。 实际上程序文件中的函数很多，这里只列出了最常用的函数，其它计算函数可以通过Help 浏览。 例1 给出一组样本值：6.5，3.8，6.6，5.7，6.0，6.4，5.3，计算样本个数、最大值、最小值、均值、方差、标准差等。 撰写人姓名：撰写时间：审查人姓名： 实验全过程记录实验 名称概率统计实验 时间2学时 地点数学实验室 姓名学号 同实验者学号 一、实验目的 1、掌握利用MATLAB处理简单的概率问题； 2、掌握利用MATLAB处理简单的数理统计问题。 二、实验内容： 1、熟练掌握几种常用的离散型、连续型随机变量的函数命令； 2、熟练掌握常用的描述样本数据特征的函数命令（如最值、均值、中位数（中值）、方差、标准差、几何平均值、调和平均值、协方差、相关系数等）； 3、掌握常用的MATLAB统计作图方法（如直方图、饼图等）； 4、能用MATLAB以上相关命令解决简单的数据处理问题； 5、熟练掌握常用的参数估计和假设检验的相关的函数命令； 6、能用参数估计和假设检验等相关命令解决简单的实际问题。 三、实验用仪器设备及材料 软件需求： 操作系统：Windows XP或更新的版本； 实用数学软件：MATLAB 7.0或更新的版本。 硬件需求： Pentium IV 450以上的CPU处理器、512MB以上的内存、5000MB的自由硬盘空间、CD-ROM驱动器、打印机、打印纸等。 四、实验原理: 概率论与数理统计等相关理论 五、实验步骤： 1、对下列问题，请分别用专用函数和通用函数实现。 ⑴X服从[3, 10]上均匀分布，计算P{X≤4}，P{X>8}；已知P{X>a}=0.4，求a。 p1=unifcdf(4,3,10) p2=1-unifcdf(8,3,10) p11=cdf('unif',4,3,10) p22=1-cdf('unif',8,3,10) unifinv(0.6,3,10) icdf('unif',0.6,3,10) p1 = 实验四方差分析和回归分析 四、实验结果 1、用5种不同的施肥方案分别得到某种农作物的收获量（kg）如右： 在显著性水平= 对农作物的收获量是否有显著影响． >> X=[67 67 55 42 98 96 91 66 60 69 50 35 79 64 81 70 90 70 79 88]; group=[ones(1,4),2*ones(1,4),3*ones(1,4),4*ones(1,4),5*ones(1,4)]; [p,table,stats] = anova1(X,group,'on') p = table = 'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Groups' [+03] [ 4] [] [] [] 'Error' [+03] [15] [] [] [] 'Total' [+03] [19] [] [] [] stats = gnames: {5x1 cell} n: [4 4 4 4 4] source: 'anova1' means: [ ] df: 15 s: 因为p=<，所以施肥方案对农作物的收获量有显著影响。且由箱型图可知：第2种施肥方案对对农作物的收获量的影响最好，即产量最高。 2、某粮食加工产试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响，现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过段时间后测得的含水率如右表： 在显著性水平=α下，i x 检验储藏方法对含水率有无显著的影响． >> X=[ 10 ]; group=[ones(1,5),2*ones(1,5),3*ones(1,5)]; [p,table,stats] = anova1(X,group,'on') p = table = 'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Groups' [] [ 2] [] [] [] 'Error' [ ] [12] [] [] [] 'Total' [] [14] [] [] [] stats = gnames: {3x1 cell} n: [5 5 5] source: 'anova1' 习题一 （A ） 1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。 2. 记三事件为C B A ,,。试表示下列事件： （1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。 3.指出下列事件A 与B 之间的关系： （1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。 4.请叙述下列事件的互逆事件： （1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”； （4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。 5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。 6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。 7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。 8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。 9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ?；)(A B p 。 10.已知41)(=A p ，31)(=A B p ，2 1)(=B A p ，求)(B A p ?。 11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。 12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。 线性回归实验报告（三） 实验目的：通过本次实验，了解matlab和spss在非参数检验中的应用，学会用matlab和spss做非参数假设检验，主要包括单样本和多样本非参数假设检验。 实验内容： 1.单样本假设检验； 2.多样本假设检验. 实验结果与分析： 1.单样本K-S儿童身高 操作步骤： ⑴分析-非参数检验-旧对话框-1-样本KS； ⑵将“周岁儿童身高”变换到检验变量列表，由于样本量太少，点击精确按钮，选择精确检验方法； ⑶回到K-S检验对话框，点击选项按钮，设置输出参数，勾选描述性和四分位数； ⑷输出检验结果。 从图形特征上看，儿童身高的分布非常接近正态分布，但是仍需要用K-S来检验 诊断。 结论：K-S检验统计量Z值为0.936，显著性为0.344，大于显著性水平0.05，所以不能拒绝原假设，认为周岁儿童的身高服从正态分布。 2.单样本游程——电缆 操作步骤： ⑴分析-非参数检验-旧对话框-游程； ⑵将“耐电压值”变换到检验变量列表； ⑶回到游程检验对话框，点击选项按钮，设置输出参数，勾选描述性和四分位数； ⑷输出检验结果。 结论：中位数渐进显著性为0.491，平均数和众数为1，大于显著性水平0.05，所以不能拒绝原假设，所以该组电缆耐电压值是随机的。 3.多独立样本——儿童身高 操作步骤： ⑴分析-非参数检验-旧对话框-K个独立样本检验； ⑵将“周岁儿童身高”变换到检验变量列表；将“城市标志”变换到分组变量，设置分组变量范围； ⑶回到多独立样本检验对话框，点击选项按钮，设置输出参数，勾选描述性和四分位数； ⑷输出检验结果。 结论：多个样本的K-W检验，即秩和检验目的是看各总体的位置参数是否一样，渐近显著性值为0.003，小于显著性水平0.05，所以拒绝原假设，因而四个城市儿童身高的分布存在显著性差异。 4.多样本配对——促销方式 操作步骤： ⑴分析-非参数检验-旧对话框-K个相关样本检验； ⑵将“促销形式1”、“促销形式2”、“促销形式3”变换到检验变量列表； ⑶回到多个关联样本检验对话框，点击选项按钮，设置输出参数，勾选描述性和四分位数； ⑷输出检验结果。 实验十二多准则决策问题 一实验目的 通过用层次分析法解决一个多准则决策问题, 学习层次分析法的基本原理与方法; 掌握用层次分析法建立数学模型的基本步骤；学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题. 二学习Mathematica命令 有时在计算中只需求出实数解, 而省略复数解, 则可以输入调用只求实数解的软件包. 输入 < 层次结构应具有几个特点： (1) 从上到下顺序地存在支配关系，并用直线段表示. (2) 整个结构中层次数不受限制. 2. 建立判断矩阵 判断矩阵是层次分析的关键. 假定以上一层次的元素O 为准则，所支配的下一层次的元素为n C C C ,,,21 ，n 个元素n C C C ,,,21 对上一层次的元素O 有影响，要确定它们在O 中的比重．采用成对比较法．即每次取两个元素i C 和j C ，用ij a 表示i C 与j C 对O 的影响之比，全部比较的结果可用矩阵A 表示，() .,,2,1,,n j i a A n n ij ==?矩阵A 称为判断矩阵． 定义1 若判断矩阵满足下列条件： () .,,2,1,,1,1 ,0,n j i a a a a a A ii ij ji ij n n ij ===>=? 则称判断矩阵A 为正互反矩阵. 怎样确定判断矩阵A 的元素ij a 取值？ 当某层的元素n C C C ,,,21 对于上一层某元素O 的影响可直接定量表示时（如利润多少），i C 与j C 对O 的影响之比可以直接确定，ij a 的值也易得到．但对于大多数社会经济问题，特别是比较复杂的问题，元素i C 和j C 对Ｏ的重要性不容易直接获得，需要通过适当的方法解决．通常取数字１－９及其倒数作为ij a 的取值范围．这是因为在进行定性的成对比较时，人们头脑中通常有5个明显的等级： 因素太多，将超出人们的判断比较能力，降低精确. 实践证明，成对比较的尺度以72±为宜. 故ij a 的取值范围是1，2，9, 及其倒数1，.9 1,,21 3. 计算层次单排序并做一致性检验 层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序. 具体做法是：根据同一层n 个元素n C C C ,,,21 ，对上一层某元素O 的判断矩阵A 求出它们对于元素O 的相对排序权重，记为：n w w w ,,,21 .写成向量形式： ()T n w w w w ,,,21 = ，称为A 的排序权重向量. 其中i w 表示第i 个元素对上一层中某元 素O 所占的比重. 从而得到层次单排序. 层次单排序权重向量可有几种方法求解，常用的方法是利用判断矩阵A 的特征值与特征向量来计算排序权重向量w .为此引出矩阵的特征值与特征向量的有关理论. 定义2 如果一个正互反矩阵() .,,2,1,,n j i a A n n ij ==?满足 ),,2,1,,(n k j i a a a ik jk ij ==?， 则称矩阵A 具有一致性，称元素k j i c c c ,,的成对比较是一致的; 并且称A 为一致矩阵. 根据矩阵理论，可以得到如下几个定理. 定理1 n 阶正互反矩阵A 的最大特征根m ax λn ≥，当n =λ时，A 是一致的. 定理2 n 阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值m ax λn =. 概率统计实验报告 班级16030 学号16030 姓名 2018 年1 月3 日 1、 问题概述和分析 （1） 实验内容说明： 题目12、（综合性实验）分析验证中心极限定理的基本结论: “大量独立同分布随机变量的和的分布近似服从正态分布”。 （2） 本门课程与实验的相关内容 大数定理及中心极限定理； 二项分布。 （3） 实验目的 分析验证中心极限定理的基本结论。 2、实验设计总体思路 2.1、引论 在很多实际问题中，我们会常遇到这样的随机变量，它是由大量的相互独立的随机 因素的综合影响而形成的，而其中每一个个别因素在总的影响中所起的作用是微小的，这种随机变量往往近似的服从正态分布。 2.2、 实验主题部分 2.2.1、实验设计思路 1、 理论分析 设随机变量X1，X2，......Xn ，......独立同分布，并且具有有限的数学期望和方差：E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2(k=1,2....)，则对任意x ，分布函数 满足 该定理说明，当n 很大时，随机变量 近似地服从标准正 态分布N(0，1)。因此，当n 很大时， 近似地服从正 态分布N(n μ，n σ2)． 2、实现方法（写清具体实施步骤及其依据） (1) 产生服从二项分布),10(p b 的n 个随机数, 取2.0=p , 50=n , 计算n 个随 机数之和y 以及 ) 1(1010p np np y --; 依据：n 足够大，且该二项分布具有有限的数学期望和方差。 (2) 将(1)重复1000=m 组, 并用这m 组 ) 1(1010p np np y --的数据作频率直方图进 行观察. 依据：通过大量数据验证随机变量的分布，且符合极限中心定理。 概率论与数理统计 实验报告 概率论部分实验二 《正态分布综合实验》 实验名称：正态分布综合实验 实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。 实验内容： 实验分析： 本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。 实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个 正态分布随机数 a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分 比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循 环做准备 end end 2）实验结论及过程截图 实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。 《概率论与数理统计》数学实验 实验要求及任务 根据实验内容和步骤，有选择性地完成以下具体实验，要求写出实验报告。实验报告的格式次序是：实验名称→实验目的→实验步骤与结果（问题→程序→计算结果→分析、检验和结论）→实验总结，心得体会写在实验总结里面。 基本要求： 1、了解matlab软件的基本命令与操作； 2、熟悉matlab用于描述性统计的基本菜单操作及命令； 3、会用matlab求密度函数值、分布函数值、随机变量分布的上下侧分位数。 4、熟悉matlab进行参数估计、假设检验的基本命令与操作。 5、掌握用matlab生成点估计量值的模拟方法 6、会用matlab进行总体数学期望和方差的区间估计。 7、会用matlab进行单个、两个正态总体均值的假设检验。 8、会用matlab进行单个、两个正态总体方差的假设检验。 实验一、各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1、选择3种常见随机变量的分布，计算它们的期望和方差（参数自己设定）。 2、向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5。记正面向上的次数为x，（1）计算x=45的概率。 （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 实验二、正态分布综合实验 实验内容 (1) 利用随机数发生器分别产生n100,1000,10000个服从正态分布N(6,1)的 随机数，每种情形下各取组距为2、1、0.5作直方图及累积百分比曲线图。 (2) 固定数学期望为0.05，分别取标准差为0.01,0.02,0.03，绘制密度函 数和分布函数的图形。 (3) 固定标准差为0.02，分别取数学期望为0.03,0.05,0.07，绘制密度 函数和分布函数的图形 实验三、样本的统计与计算 实验目的： 熟练使用matlab对样本进行基本统计，包括样本的位置统计、样本中心矩、分布的形状统计。求样本均值、中位数、样本方差，样本分位数和其它数字特征，并能做出频率直方图和经验分布函数。 实验内容： 来自总体的样本观察值如下，计算样本的样本均值、中位数、样本方差、极差, 画出频率直方图，经验分布函数图。 A=[16 25 19 20 25 33 24 23 20 24 25 17 15 21 22 26 15 23 22 20 14 16 11 14 28 18 13 27 31 25 24 16 19 23 26 17 14 30 21 实验12 数据的基本统计分析 一、实验目的 随机变量的分布函数，密度曲线，能进行初步的统计分析，大样本数据的处理，直方图. 二、实验内容及要求 pdf(probability density function.概率密度函数)，cdf（cumulative distribution function.累积分布函数）,rnd(Random),inv(Inverse),stat(Mean and variance,statistic) 1. 随机变量与分布 表1.12 密度函数与分布函数 如果后缀pdf 分别改为cdf ，inv ，rnd ，stat 就得到相应的随机变量的累积分布函数、分 位数、随机数的生成以及均值与方差. 计算正态分布的分布函数、概率密度函数值、做出密度函数曲线、求出分位数的功能. 【例1.110】 已知2 ~(2,0.5)X N ，试求： （1）{}01P X <<，{}3P X ≤；（2）{}0.6827______P X x x ==≤, . （2）做出[－2.5，3.5]上的概率密度曲线； 解：normcdf (,,)p x μσ= 算{}P X x ≤. （1）{}01P X < 概率论与数理统计实验报告 一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作 二、实验步骤与结果 概率论部分： 实验名称：各种分布的密度函数与分布函数 实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设 定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数 为x， （1）计算x=45和x<45的概率， （2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。 程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1> plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果： 实验十二父权指数与父权概率 【实验目的】 掌握父权指数与父权概率的计算方法，了解父权概率的意义。【实验原理】 亲子鉴定中，经过DNA分型后，若争议父亲与孩子之间的基因型不违反孟德尔遗传规律（Mendelian Law），就有两种可能：一种是该争议父亲就是孩子的亲生父亲（生物学父亲，简称生父）。另一种是他是该人群中的随机男子，此人只是偶然具有孩子的生父基因型组合，以下称为随机男子。将这两种可能进行比较就是似然率（likelihood ratio, LR），此数值即为父权指数（paternity index, PI）。显然，父权指数是反映检验结果（基因型组合）不违反孟德尔遗传规律时，对“争议父亲是孩子的生父”这一主的支持强度。依据支持强度，可以评估他们之间是否存在亲生关系。根据Bayes定理，PI可以转换成父权概率（probability of paternity），用以反映争议父亲是孩子生父可能性的高低，使结论容易被理解。 【仪器与方法】 纸、笔、计算器、电脑及计算软件。 【检材】 争议父、母亲、孩子复合STR基因座分型结果图谱。 【实验步骤】 1. 三联体（母子亲生关系已经确定）案件PI和父权概率计算 将已知实验结果的图谱进行分析，分别列出复合STR基因座分型结果，打开亲权鉴定软件，点击亲权鉴定菜单，选择三联体和试剂盒型号，按照方法输入父母子3人的基因型。输入完毕后，在生成结果表中勾选，点击右下角的计算器计算PI。 2. 二联体（父子）案件PI和父权概率计算 将已知实验结果的图谱进行分析，分别列出复合STR基因座分型结果，打开亲权鉴定软件，点击亲权鉴定菜单，选择二联体和试剂盒型号，按照方法输入父子3人的基因型。输入完毕后，在生成结果表中勾选，点击右下角的计算器计算PI。 注意事项 a. 性别基因座（AMEL）中的X和Y在程序中分别用1和2表示，在设置基因座时，基因座序号X请设为1，Y设为2。 b. 等位基因输入时，分隔符可为'/'、'-'、'+'，"13/15"或"13-15"或"13+15"都是正确的，纯合子可只输入一个等位基因，如"13/13"可输入为"13"，性别基因（AMEL）在输入时可不使用分隔符，如"X/Y"可直接输入为"XY"，"XX"可简化输入为"X"（"YY"或"Y"将不被程序所授），在偶合率计算时，AMEL的Pi值始终为0.5，而在亲权鉴定中，AMEL 不列入计算。 c. 如果出现突变时，需按照司法部颁布的《亲权鉴定技术规》（SF/Z JD0105001-2010）标准方法计算变异PI值。 【实验结果与分析】 三联体（母子亲生关系已经确定）及二联体案件PI和父权概率 2015.5概率统计实验作业题目（任选7题） 1 n 个人中至少有两人生日相同的概率是多少？通过计算机模拟 此结果。 2设X ～),(2σμN ；（1）当5.0,5.1==σ μ时，求}9.28.1{< 7.对于正态总体，当均值已知时，至少用两种方法构造方差的置信度为95%的置信区间，比较两种方法的优劣。 8.设从总体),(~211σμN X 和总体 ),(~222σμN Y 中分别抽取容量为 15,1021==n n 的独立样本，可计算得5.56,822==x s x ，4.52,762==y s y 。 (1) 问这两种样本是否来自同一个正态总体(05.0=α)? 附：统计工具箱与常见命令介绍 为了便于研究概率与统计的计算问题，Matlab 提供了专门的统计工具箱(stastoolbox),其概率计算的主要功能有：计算相应分布的概率、分布函数、逆分布函数和产生相应分布的随机数。工具箱的统计计算主要功能有：统计量的数字特征、统计图形的绘制、参数估计、假设检验、方差分析等。 表1：常见分布名称 在统计工具箱中，Matlab 为每一种分布提供了5类命令函数，其命令字符分别为：pdf 表示概率密度；cdf 表示概率分布函数（累积概率）；inv 表示逆概率分布函数；stat 表示均值与方差；rnd 表示生成相应分布的随机数。这样，当需要一种分布的某一 《概率统计》实验报告 实验人员：系（班）:矿业工程系机械设计制造及其自动化1404班 学号:20141804408 姓名:李君阳 实验地点：电教楼四层三号机房 实验名称：《概率统计》 实验时间：2016.5.10，2016.5.17 16：30——18：30. 实验目的：1.加强学生的动手能力，让学生掌握对MATLAB 软件的应用。 2.为以后的数学计算节省时间，提高精确度，准确度，合理的利用科学技术。 实验内容：（给出实验程序与运行结果） 一、古典概型 2、在50个产品中有18个一级品，32个二级品，从中任意抽取30个，求其中恰有20个二级品的概率. 解：p=C 3220C 1810c 5030=0.2096 >> p=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30) p = 0.2096 二、计算概率 1、某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击200次，试求至少击中两次的概率. 2、一铸件的砂眼（缺陷）数服从参数为0.5的泊松分布，求此铸件上至多有1个砂眼的概率和至少有2个砂眼的概率. 解：1.p=1-c 2000?0.98400-c 2001*0.98199*0.02=0.1458 >> p=binopdf(2,200,0.02) p = 0.1458 2.P(ζ=0)= 5.00 *!05.0-e P(ζ=1)= 5.01*!15.0-e P(ζ1)=0.9098 P(ζ)=0.0902 4、设随机变量()23,2X N ，求()25P X <<；()2P X > 解：P(2 第一章 概率论的基本概念 习题一 随机试验、随机事件 一、判断题 1.()A B B A =?- （ ） 2.C B A C B A =? （ ） 3.() φ=B A AB （ ） 4.若C B C A ?=?，则B A = （ ） 5.若B A ?，则AB A = （ ） 6.若A C AB ?=,φ,则φ=BC （ ） 7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则 （1）事件“含有红球”为必然事件； （ ） （2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ） （3）事件“含有白球”为随机事件； （ ） 8.互斥事件必为互逆事件 （ ） 二、填空题 1. 一次掷两颗骰子， （1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为； （2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为。 2.化简事件()()() =???B A B A B A 。 3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件： （1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为； （2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为； （3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为； （4）A,B,C 都发生或不发生可表示为； （5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为； （6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为； （7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为； （8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为； （9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为； （10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为； 三、选择题 1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。 A 、A 与D 是互不相容的 B 、A 与 C 是相容的 C 、B 与C 是相容的 D 、B 与D 是相互对应的事件 2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ） A 、A ABC =； B 、A C B A =??； C 、A BC ?； D 、C B A ?? Matlab 概率论与数理统计 、matlab 基本操作 1. 画图 【例01.01】简单画图 hold off; x=0:0.1:2*pi; y=sin (x); plot(x,y, '-r'); x1=0:0.1:pi/2; y1=s in( x1); hold on; fill([x1, pi/2],[y1,1/2], 'b'); 【例01.02】填充，二维均匀随机数 hold off ; x=[0,60];y0=[0,0];y60=[60,60]; x1=[0,30];y1=x1+30; x2=[30,60];y2=x2-30; plot(x,y0, 'r' ,y0,x, plot(x1,y1, 'r' ,x2,y2, yr=u nifrnd (0,60,2,100); plot(yr(1,:),yr(2,:), axis( 'on'); axis( 'square' ); axis([-20 80 -20 80 ]); xv=[0 0 30 60 60 30 0];yv=[0 30 60 60 30 0 0]; fill(xv,yv, 'b'); hold on ; 'r' ,x,y60, 'r' ,y60,x, 'r') 'r'); 'm.') 2. 排列组合 k C=nchoosek(n,k) : C C n ，例 nchoosek(5,2)=10, nchoosek(6,3)=20. prod(n1:n2):从 n1 至U n2 的连乘 【例01.03】至少有两个人生日相同的概率 365 364|||(365 rs 1) rs 365 365 364 365 rs 1 365 365 365 rs=[20,25,30,35,40,45,50]; %每班的人数 p1= on es(1,le ngth(rs)); p2=on es(1,le ngth(rs)); %用连乘公式计算 for i=1:le ngth(rs) p1(i)=prod(365-rs(i)+1:365)/365A rs(i); end %用公式计算(改进) for i=1:le ngth(rs) for k=365-rs(i)+1:365 p2(i)=p2(i)*(k/365); end ; end %用公式计算(取对数) for i=1:le ngth(rs) p1(i)=exp(sum(log(365-rs(i)+1:365))-rs(i)*log(365)); end 公式计算P 1 n!C N N n N! 1 (N n)! 1 N n N (N 1) (N n 1)概率统计-习地的题目及答案详解(1)
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