数列、函数极限

浅析数列极限与函数极限的异同1 数列极限关于数列极限，先举一个我国古代关于数列的例子。

《庄子—天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”其含义是：一根长为一尺的木棒，每天取下一半，这样的过程可以永远进行下去。

不难看出，其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。

在这一思想的指引下，教材给出了数列极限的精确定义：设{An} 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当nN 时，有∣An-a∣<ε ，则称数列{an} 收敛于a，定数a 称为数列{an} 的极限。

其中ε的作用在于衡量数列通项{an} 与定数a的大小，ε越小，说明{an} 与a 的接近度越好。

由于ε的任意性，可以小到任意小（但须大于0），故可以理解为数列通项{an} 无限地接近定数a；而n的作用在于不管给定多么小的正数ε，总能保证存在大于n后的每一项都和a无限接近，而不在乎前面有限项与a的接近程度，在于刻画n→+∞这一过程。

其中，由于n是正整数，不可能取负值，故其趋近方式只有一种，即趋于+∞，但是极限值可以取实数r，故极限值有a、∞、+∞、—∞这4种值，因此，总的来说，数列极限只有4种类型。

< p></ε>2 函数极限对于函数极限，先分析一下自变量x的趋近方式，由于x是取自全体实数，故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞，还可以是∞、—∞，相比数列极限，更特殊的是还可以趋于某一点x0，或者x0的左侧、右侧（即单侧极限）趋近。

故自变量x的趋近方式共有6种，而极限值和数列极限完全一样，有4种。

因此，函数极限共24种类型。

比如，拿x→+∞，f（x）→a为例，其精确定义如下：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数M ，使得当xM时有|f （x）-a|<ε ，那么常数a就叫做函数f（x）当x→+∞时的极限值。

该定义和数列极限的定义有相同之处，其中的ε也是和数列极限中的ε相同，用于衡量f（x）与a的接近程度；正数m的作用也与数列极限定义中的n相类似，说明x充分大的程度，但这里考虑的是比m 大的所有实数x，而不仅仅是数列极限中的正整数n，这是和数列极限定义中最本质的区别。

关于数列极限和函数极限解法的解析王雅丽摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；另外，对于函数极限的求解，文中列出六种类型，根据函数数列的定义、性质得出相关的定理和法则，对于不同类型，采用不同的方法。

上述方法对函数概念的理解和加强，以及对极限方法的掌握起很大的帮助作用。

ε-定义单调有界收敛无穷小量络必达法则关键词数列极限N早在两千多年前，我们的祖先就已经能够算出正方形，圆形和柱形等几何图形的面积。

公元前3世纪刘徽创立割圆术，就是用圆内接正多边形面积这一思想近似的计算圆周率，并指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以致不可割，则于圆和体而无所失矣”在数学分析中，极限是一个核心内容，同时它本身研究问题的工具。

极限概念与求极限的运算贯穿了数学分析课程的始终，因此全面掌握极限的方法与技巧是学习数学分析的关键。

1 数列极限古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去。

把每天截下部分的长度列出如下（单位为尺）：第一天截下12，第二天截下212……第n 天截下12n,……这样就得到一个数列{12n} 。

只有无穷数列才可能有极限,有限数列无极限.不难看出,数列{12n} 的通项12n随着n 的无限增大而无限地接近于0。

“无限增大”和“无限地接近”是对极限做了定性的描述，无限地接近于0说明了当n 无限的增大时数列的第n 项12n与0的距离102n-要多小有多小。

下面把任意小量化： 对于12，如果要求1110222nn-=<，只需要1n >即可；对于212，如果要求21110222nn-=<， 只需要2n >即可；对于 312，如果要求31110222n n -=<， 只需要3n >即可；...由上可以看出能满足不等式的n 不是唯一的，这就需要一个一般的任意小的正数来代替特殊的，如12，212，312...为此就出现了任意小的正数ε。

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势：.,101,,101,101,10132 n ① .,1,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 nn ③（1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a.（2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。

表示为a a lin n n2. 数列极限的表示方法：① a a n nlim ②当 n 时，a a n .3. 几个常用极限：①C C nlim （C 为常数）②),(01lim是常数k N k n kn③对于任意实常数， 当1|| a 时，0limnn a当1 a 时，若a ＝1，则1limn n a ；若1 a ，则nn n n a )1(lim lim不存在当1 a 时，nn alim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝1，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝x 1上的极限为0，记作01lim xx（2）当 x 时，类似地可得函数xy 1的值无限趋近于0，就是说，当 x 时，函数xy 1的极限为0，记作01lim x x（3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝x1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01lim x x )函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)＝C (C 为常数,x ∈R),有C x f x)(lim（2）函数xx f 1)(（x ≠0）,有01lim x x .2. x →x 0时，函数)(x f 的极限例1. 考察函数y ＝x 2，当χ无限趋近于2时，函数的变化趋势．①从表一上看：自变量x<2趋近于2(x 2)时，y 4． 从表二上看：自变量x>2趋近于2(x 2)时，y 4．②从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x 从左侧趋近于2(即x 2)和从右侧趋近于2(即x 2)时，y 都趋近于4．③从差式|y －4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)．从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数y ＝x 2的极限是4．记作： 2lim x x 2＝4注意：x 2，包括分别从左、右两侧趋近于2．例2. 考察函数112 x x y (x ≠1),当x 1时的变化趋势.分析：此例虽然在x ＝1处没有定义，但仍有极限．即：2)1(lim 11lim121 x x x x x 定义：一般地，当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋近于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a ．记作a x f x x )(lim 0或当0x x 时，a x f )(.注：当0x x 时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否有定义无关，因为0x x 并不要求0x x ．（当然，)(x f 在0x 处是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关．故函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0x f x x 存在的既不充分又不必要条件．）如1111)(x x x x x P 在1 x 处无定义，但)(lim 1x P x 存在，因为在1 x 处左右极限均等于零．3. 函数)(x f 的左、右极限例3 考察函数f(x)＝x x 01).0(),0(),0(时当时当时当 x x x 当x 0 时，或x 0 时函数的变化趋势．分析： 此例与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x 0处无极限．定义：如果x 从x ＝x 0的单侧无限趋近于x 0时，f(x)无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做f(x)单侧的极限．当x x0时，f(x)的极限a 1叫做左极限，记作1x x a )x (f lim 0；当x x0时，f(x)的极限a 2叫右极限，记作2x x a )x (f lim 0．只有a 1＝a 2时，a x f x x )(lim 0才存在。

高中数学知识点总结数列极限与函数极限高中数学知识点总结：数列极限与函数极限数学是一门基础性的学科，而数学中的数列极限与函数极限在高中阶段被广泛研究和应用。

本文将对高中数学中的数列极限与函数极限进行总结和解析。

以下是各章节的内容：一、数列极限数列极限是高中数学中的重要概念，它在解析几何、微积分等数学领域中都有着重要的应用。

数列极限的定义是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素也趋于某个确定的数。

数列极限可以分为收敛和发散两种情况。

1. 收敛数列收敛数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于某个确定的数。

收敛数列的定义涉及到两个重要概念：极限和无穷大。

在对数列进行分析时，可以通过计算数列的通项公式或者观察数列的性质来确定数列的极限。

2. 发散数列发散数列是指当数列的项趋于无穷大时，数列中的元素趋于无穷大或者无穷小。

发散数列在数学中也有重要的研究价值，它们常常与函数极限或者无穷小量相联系。

二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个值时，函数值趋向于某个确定的数。

函数极限也分为收敛和发散两种情况。

1. 左极限和右极限函数在一点的左极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从左边逼近的极限值。

同理，右极限是指当自变量趋向于这个点时，函数值从右边逼近的极限值。

左极限和右极限在研究函数的连续性和间断点时起着重要的作用。

2. 无穷极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限被称为无穷极限。

无穷极限有正无穷和负无穷两种情况。

通过研究函数的无穷极限，可以了解函数在无穷远处的行为特征。

三、数列极限与函数极限的关系数列极限和函数极限实际上是密切相关的。

当函数的自变量取数列中的元素，并且这个数列收敛时，函数的极限可以与数列的极限相联系。

这种联系在高等数学的各个领域中都有着重要的应用。

综上所述，数列极限与函数极限是高中数学中的重要知识点。

通过深入理解数列极限和函数极限的概念以及它们之间的关系，可以更好地应用于解决实际问题和推导更高级的数学理论。

数列极限与函数极限数列极限与函数极限一、数列极限在数学分析中，数列是一组按照一定规律排列的数。

当数列中的数随着下标的增加趋近于某个确定的值，这个确定的值就叫做该数列的极限。

例如，数列{1, 1/2, 1/3, ... , 1/n}当n趋近于正无穷时，其极限为0。

数列极限的概念具有广泛的应用。

在微积分、实分析和复分析等领域，数列极限是基础性的概念。

我们可以通过研究数列极限性质，研究数学中最基本的概念和问题，如无穷级数、函数极限等。

二、函数极限与数列极限类似，函数极限也是数学分析中的重要概念。

当自变量x趋近于某个确定的值时，函数f(x)的值也随之趋近于某个确定的值，这个确定的值就叫做该函数的极限。

例如，当x趋近于0时，f(x) = 2x的极限为0。

函数极限的研究能使我们更好地理解和准确描述各种自然现象和科学实验。

高等数学中的导数和积分等概念都与函数极限密切相关。

三、函数极限和数列极限的联系函数极限和数列极限是大量数学理论的基础，这两者之间也存在着联系。

我们知道，当自变量x取无穷大或无穷小时，函数的极限可能存在，也可能不存在。

在这些无穷大或无穷小的情况下，函数极限可以用数列极限来表示。

具体来说，当x趋近于正无穷时，我们可以通过构造数列{f(x1), f(x2), f(x3), ...}，其中x1<x2<x3<...，使得该数列趋近于函数的极限L。

同理，当x趋近于负无穷时，我们也可以通过类似的方法得到函数极限。

此外，函数的导数和积分等重要概念也可以通过数列极限的思想表示和求解。

四、结语数列极限和函数极限是数学中极其重要的概念，无论在实际应用还是理论研究中都起着举足轻重的作用。

熟练掌握数列极限和函数极限的概念和性质，对于学习高等数学以及其他数学分支学科都有很大的帮助。

函数的24种极限总结极限是微积分的核心概念之一，它在数学和物理等学科中具有重要的应用价值。

本文将对24种极限进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、极限的基本概念极限是指当自变量趋于某一特定值时，取值逐渐接近于一个确定的值。

可以用数列逼近的思想进行理解。

极限常用的符号表示是“lim”。

二、一元极限1.常数函数极限常数极限是其本身的值，即 lim(a) = a。

2.幂函数极限幂极限取决于指数的大小关系。

当指数小于1时，函数趋于无穷大；当指数等于1时，函数趋于1；当指数大于1时，函数趋于有限值或无穷大。

3.指数函数极限指数极限是通过不同的底数和指数，对数值进行无穷逼近得到的。

例如，底数为e时，指数极限是e；底数为2时，指数极限是2。

4.对数函数极限对数极限是自然对数的极限。

当自变量趋于无穷大时，对数极限趋近于无穷大。

5.三角函数极限三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。

对于正弦函数和余弦函数，它们的极限是区间[-1,1]内的一系列值。

6.反三角函数极限反三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。

对于正切函数和余切函数，它们的极限不存在；而对于正割函数和余割函数，它们的极限是一系列值。

7.指数对数函数极限指数对数极限取决于底数和自变量之间的关系。

当自变量趋于无穷大时，指数对数极限趋近于无穷大。

8.复合函数极限复合极限是通过两个或多个极限运算得到的。

根据复合特性，可以通过分解成多个简单函数，再对每个极限进行计算。

三、多元极限9.二元函数极限二元极限是自变量趋于某个点时，取值逐渐接近于一个确定的值。

常用的符号表示是“lim(f(x,y))”。

10.多元函数序列极限多元函数序列的极限是对每个变量的极限进行运算得到的。

可以通过求极限的方法，得到多元极限。

11.多元孤立点多元孤立点是指在某个点上极限值不存在或无法确定的情况。

针对这种情况，需要进行特殊处理或进行极限的推导。

四、变限积分的极限12.定积分极限定积分的极限是指当积分区间的长度趋于无穷大时，函数在区间上的取值逐渐接近于极限值。