四川省宜宾市2017级高三第一次诊断测试文科数学试题及参考答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1、已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）A 、{1,0}-B 、{0,1}C 、{2,1,0,1}--D 、{1,0,1,2}-2、在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析。

在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是（ ） A 、总体 B 、个体C 、样本的容量D 、从总体中抽取的一个样本3、为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（ ）A 、向左平行移动1个单位长度B 、向右平行移动1个单位长度C 、向左平行移动π个单位长度D 、向右平行移动π个单位长度 4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）（锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3 B 、2 C 、3 D 、1 5、若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）A 、a b d c > B 、a b d c < C 、a b c d > D 、a b c d<6、执行如图的程序框图，如果输入的,x y R ∈，那么输出的S 的最大值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、已知0b >，5log b a =，lg b c =，510d=，则下列等式一定成立的是（ ） A 、d ac = B 、a cd = C 、c ad = D 、d a c =+侧视图俯视图112222118、如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A、1)m B、1)mC、1)m D、1)m9、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、10、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C、8D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所示的答题区域内作答。

四川省宜宾市2024届高三第一次诊断性测试文科数学试题及答案解析（考试时间：120分钟全卷满分：150分）一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1.设集合{}{}3325<<-=<<-=x x B x x A ，，则A B ⋂=（）A.{32}x x -<<∣B.{52}xx -<<∣ C.{33}xx -<<∣ D.{53}xx -<<∣2.已知i 为虚数单位，且32i1i z =+，则z =（）A.1i- B.1i-+ C.1i+ D.1i--3.设函数()13+=x x f ，则()=8log 3f （）A.8B.9C.11D.244.从某中学甲、乙两班随机抽取10名同学的数学成绩，所得数据用茎叶图表示如下.由此可估计甲，乙两班同学的数学成绩情况，则下列结论不正确的是（）A.甲班数学成绩的极差比乙班大B.甲班数学成绩的中位数比乙班大C.甲班数学成绩的平均值比乙班小D.甲班数学成绩的方差比乙班小5.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A.xy = B.3x y = C.xy 2log = D.xy tan =6.已知点(,)x y 满足不等式组21400x y y x y ⎧⎪⎨⎪≥≥+--+⎩≤，则2z x y =+的最小值为（）A.3- B.1- C.5D.77.某种病毒的反之速度快、存活时间长，a 个这种病毒在t 天后将繁殖到t ae λ个.已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍，且再过m 天后病毒的数量达到原来的16倍，则=m （）A.4B.8C.12D.168.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若11a =，()*12N n S a n n ∈=+，则有（）A.数列{}n a 是等差数列B.数列{}n a 是等比数列C.数列{}n S 是等差数列D.数列{}n S 是等比数列9.函数24()exx xf x -=的图象大致是（）10.将函数()cos()(0)6f x x πωω=+>的图像向左平移2π个单位长度后得到曲线C ，若C 关于原点对称，则ω的最小值是（）A.23B.32 C.53D.11311.漏刻是中国古代科学家发明的一种计时系统，“漏”是指带孔的壶，“刻”是指附有刻度的浮箭.《说文解字》中记载：“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器.如图，计时器由三个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，水从最上层的漏壶孔流出，最终全部均匀流入受水壶.当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为0当最上层漏水壶中水全部漏完时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5:2，则当最上层漏水壶水面下降至其高度的三分之一时，浮箭刻度约为（四舍五入精确到个位）（）A.88B.84C.78D.7212.已知函数()x g 的定义域为R ，()11=g 且()()x g x g -=+11，()()13+-=x g x f ，则下列说法正确的个数为（）①(3)(5)g g -=；②(2024)0g =；③(2)(4)4f f +=-；④20241()2024n f n ==∑.A.1B.2C.3D.4二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13.已知(2,1)AC = ，(1,)AB t = ，且3AC AB ⋅=，则t =__________.14.若函数()212ln 2f x x ax x =-+-在1x =处的切线平行于x 轴，则a =__________.15.已知ABC ∆的三个内角A,B,C 所对应的边分别是a,b,c,其中A 、C 、B 成等差数列，22=a ，()B A C cos sin =-，则ABC ∆的面积为__________.16.已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*sin |n S a n =∈N ，若{},S a b =，则22a b +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题：共60分.17.（12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且279a a +=，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）如图所示，△ABC 是正三角形，AE ⊥平面ABC ，AE CD ∥，2AE AB ==，1CD =，且F 为BE 的中点.（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求三棱锥ABD F -的体积.19.（12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人200名，25周岁以下工人100名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，先采用分层抽样的方法，从中抽取了120名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]90，100,分别加以统计得到如图所示的频率分布直方图：（1）从样本中日平均生产件数不低于90件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下”工人的概率；2⨯列（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请根据已知条件填写2联表，并判断是否有90％的把握认为“生产能手”与“工人所在的年龄组”有关？附：20.（12分）已知函数()1ln +=xxx f .（1）求()x f 的极值；（2）证明：当0>x 时，()xe xf x1-≤.21.（12分）已知抛物线()()200:2(0),4,0E y px p P y y =>>为E 上一点，P 到E 的焦点F 的距离为5.（1）求E 的标准方程；（2）设O 为坐标原点，A ，B 为抛物线E 上异于P 的两点，且满足PA PB ⊥.（i ）判断直线AB 是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.（ii ）求FB F A ⋅的最小值.（二）选做题：共10分.请考生在第22､23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）[选修44-：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，射线l 的方程为(0)y x x =≥，曲线C 的方程为2214x y +=.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求射线l 和曲线C 的极坐标方程；（2）若射线l 与曲线C 交于点P ，将射线OP 绕极点按逆时针方向旋转2π交C 于点Q ，求△POQ 的面积.23.（10分）[选修45-：不等式选讲]已知函数()2121f x x x =-++.（1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正实数，且23a b c m ++=，求11a cb c+++的最小值.参考答案一、选择题1.A 解析：利用数轴可得{}23<<-=x x B A .2.B 解析：由题意：()i i i i i i i z +-=+=+=-=1212122.3.D 解析：()24833338log 8log 18log 333=⨯=⨯==+f .4.C解析：A ：甲、乙班数学成绩的极差分别为425193=-，415192=-，故A 正确；B ：甲、乙班数学成绩的中位数分别为7327373=+，5.6927267=+，故B 正确；C ：甲班数学成绩的平均数为：()4.7193828176737363626051101=+++++++++，乙班数学成绩的平均数为：()6.7092838281726763635251101=+++++++++，故C 错误；D ：从茎叶图可以看出，甲班的数学成绩比乙班的数学成绩较为集中，即甲班数学成绩的方差比乙班小，故D 正确.5.B解析：A ：⎩⎨⎧≥<-==0,0,x x x x x y ，在()0，∞-单调递减，[)∞+，0单调递增，且为偶函数，故A 错误；B ：根据幂函数的性质可知，函数3x y =既是奇函数又是偶函数，B 正确；C ：x y 2log =在定义域()∞+，0单调递增，为非奇非偶函数，C 错误；D ：函数x y tan =是奇函数，在区间Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-,2,2ππππ上单调递增，D 错误.6.B解析：作出可行域如图，当目标函数y x z +=2的图象经过点()1,1-A 时，z 有最小值，此时1min -=z .7.C解析：由题可知，24=λe，经过4+m 天，数量变为原来的16倍，即()a ae m 164=+λ，则有()()λλλ164444216e e e m ====+，解得12=m .8.D解析：因()*12Nn S a n n ∈=+①可得，当2≥n 时，12-=n nS a②，①－②得：()n n n n n a S S a a 2211=-=--+，可得31=+nn a a ，因11=a ，在()*12Nn S a n n ∈=+中，取1=n ，可得2212==S a，即3212≠=a a ，∴数列{}n a 的通项公式为⎩⎨⎧≥⋅==-2,321,12n n a n n ，故数列{}n a 既不是等差数列也不是等比数列，选项A ，B 错误；当2≥n 时，11321-+==n n n a S ，又由1=n 时，111==a S ，适合上式，故数列{}n S 是公比为3的等比数列，即选项D 正确，C 错误.9.A解析：令()0>x f ，得4>x 或0<x ；令()0<x f ，得40<<x ，故排除CD，又当+∞→x 时，()042→-=xe xx x f ，故排除B.10.A解析：由题意可知：函数()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛02，π对称，则Z k k ∈+=+,262πππωπ，且0322>+=k ω，解得31->k ，即N k k ∈+=，322ω∴当0=k 时，ω取到最小值是32.11.B解析：有题意可知：最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为a a 25，，高为h ，则体积为()()()()h a h a a a a V 2222213252531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，当最上层漏水壶水面下降到高度的三分之一时，设此时浮箭刻度为x ，∵已漏下去的水组成以上下口径为a a 3,5，高为h 32的圆台，体积为()()()()h a h a a a a V 22222199832353531πππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+=，可得1001399822x h a ha =ππ，解得84≈x .12.C解析：∵()()x g x g -=+11，∴()()x g x g -=+2，又函数()x g 为定义在R 上的奇函数，∴()0=x g ，()()x g x g -=-，∴()()2+-=x g x g ，∴()()42+-=+x g x g ，∴()()()x g x g x g =+-=+24，即()x g 的周期4=T ，将4-=x 代入()()x g x g -=+11得()()53g g =-，①正确；()()()00050642024==+⨯=g g g ，②正确；∵()()13+-=x g x f ，∴()()()()()()2211111142=+-=+-++=+g g g g f f ，③错误；由()()2+-=x g x g 可得()()002=-=-g g ，()()111-=-=-g g ，∴()()()()01012=++-+-g g g g ，∴()()()2024320243202412024120241+--=+-=∑∑∑===n n n n g n g n f ()()()()[]202420241012506=+++-+-⨯-=g g g g ，④正确.二、填空题13.1解析：32=+=⋅t AB AC ，解得1=t .14.3解析：∵()x ax x x f ln 2212-+-=，∴()xa x x f 2-+-='，则()0211=-+-='a f ，解得3=a .15.33+解析：∵A 、C 、B 成等差数列，∴π==++C B C A 3，即3π=C ，又()()A C B A C +-==-cos cos sin ,∴A A A A cos 21sin 23sin 21cos 23-=-，解得A A cos sin =，则1tan =A ，∵()π,0∈A ，∴4π=A ，∴()4622322212234sin sin sin +=⨯+⨯=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=ππC A B ，又22=a ，∴由正弦定理有A a C c sin sin =，即222223=c ，解得32=c ，∴△ABC 的面积为33462322221sin 21+=+⨯⨯⨯==∆B ac S ABC .16.45（1.25）解析：∵等差数列{}n a 的公差为32π，∴ππ23233+=⨯+=+n n n a a a ，∴()()n n n a a a sin 2sin sin 3=+=+π，∴数列{}n a sin 是周期为3的数列，又{}b a S ,=，故1sin a ，2sin a ，3sin a 中必有两者相等，不妨设()31sin sin ≤<≤=j i a a j i ，则Z k k a a j i ∈+=,2π（舍）或Z k k a a j i ∈+=+,2ππ，而π32=+-j i a a 或π34=+-j i a a ，若π32=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+=,6ππ，Z k k a j ∈+=,65ππ，连续三个中第三数为Z k k a i ∈+=,23ππ或Z k k a i ∈+-=,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .若π34=+-j i a a ，则Z k k a i ∈+-=,6ππ，Z k k a j ∈+=,67ππ，此时这两个数的中间数Z k k ∈+,2ππ，此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=121，S .综上，4541122=+=+b a .三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧=+=+++4536996111d a d a d a ，解得⎩⎨⎧==111d a ，∴n a n =.（2）由（1）得nn n b 2⋅=，nn n T 2222121⋅++⨯+⨯= ，132222212+⋅++⨯+⨯=n n n T ，两式相减得：()()()2212121222222211132-⋅-=⋅---=⋅-++++=-+++n n n n nn n n n T ∴()2211+-=+n n n T .18.解：（1）证明：取AB 中点M ，连接MF 、MC ，则MF ∥AE ，且CD AE MF ===121.又∵AE ∥CD ，∴MF ∥CD ，即四边形MFDC 为平行四边形，∴DF ∥MC .又有⊄DF 平面ABC ，⊂MC 平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .（2）∵⊥AE 平面ABC ，⊂AE 平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面ABC ，∵ABC ∆时是正三角形，G 为AB 中点，∴AB CG ⊥，又∵平面ABE ∩平面ABC AB =，⊂CG 平面ABC ，∴⊥CG 平面ABE .∵DF ∥CG ，∴⊥DF 平面ABE ，易知，322=-==BG BC CG DF ,又1122121=⨯⨯=⨯⨯=∆FG AB S ABF ，∴3331=⋅==∆--DF S V V ABF ABF D ABD F .19.解：（1）由题意抽取120人中25周岁以上（含25周岁）有80200100200120=⨯+人，25周岁以下有40100100200120=⨯+人，则25周岁以上（含25周岁）中日平均生产件数不低于90件的有410005.080=⨯⨯人，25周岁以下中日平均生产件数不低于90件的有210005.040=⨯⨯人，则至少抽到一名“25周岁以下”工人的概率为5326121422=+C C C C ；（2）由题意25周岁以上中的“生产能手”有()201002.0005.080=⨯+⨯人，25周岁以下中的“生产能手”有()15100325.0005.040=⨯+⨯人.列联表如下：∴没有90％的把握认为“生产能手”与“工人所在的年龄组”有关.20.解：（1）函数()1ln +=x x x f 的定义域为()∞+，0，()2ln 1x x x f -='，令()0>'x f ，解得e x <<0，令()0<'x f ，解得e x >，∴函数()x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∴()x f 的极大值为()11+=e ef ，无极小值.（2）若证()x e x f x 1-≤，即证x e x x x 11ln -≤+，即证01ln ≤+-+x xe x x ，设()()0,1ln >+-+=x xe x x x h x ，则()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-+='x x e x x e x x x h 11111，令()()0,1>-=x e x x t x ，则()012<--='x e x x t 恒成立，∴()x e xx t -=1在()+∞,0上单调递减，又0221>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛e t ，()011<-=e t ，∴存在唯一⎪⎭⎫⎝⎛∈1,210x ，使得()0001x e x x t -=，∴当()0,0x x ∈时，()0>x t ，则()0>'x h ，函数()x h 单调递增，当()+∞∈,0x x 时，()0<x t ，则()0<'x h ，函数()x h 单调递减，∴()()0111ln 000000max 0=+-+-=+++==x x e x x x x h x h x ，∴()xe xf x 1-≤.21.解：（1）∵()0,4y P 在抛物线E ：()022>=p px y 上，且P 到E 的焦点F 的距离为5，即5=PF ，∴524=+p ，解得2=p .∴E 的标准方程为x y 42=.（2）（i ）由（1）得P 点坐标为()4,4，由题知直线AB 斜率不为0，设直线AB 为b my x +=，联立⎩⎨⎧+==bmy x x y 42，得0442=--b my y ，()()01616424422>+=-⨯⨯--=∆b m b m ，即02>+b m ，设()()2211,,,y x B y x A ，则m y y 421=+，b y y 421-=，4211y x =，4222y x =，∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4,44121y y P A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4,44222y y PB ，PB P A ⊥，∴()()0444444212221=--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅y y y y PB P A ，即()()()()044161616212221=--+--y y y y ，整理得()()[]()()04416442121=--+--y y y y ，∵B A ,为抛物线E 上异于P 的两点，∴()()04421≠--y y ，∴()()0164421=+--y y ，即()03242121=+++y y y y ，∴032164=++-m b ，得84+=m b ，代入b my x +=得84++=m my x ，即()48+=-y m x ，∴直线AB 过定点()48-，.（ii ）由抛物线定义可得：()()111212121+++=++=⋅x x x x x x FB F A ，()1424144162122122122212221+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++=y y y y y y y y y y 12422+++=b m b ，又∵84+=m b ，∴()()8172201842484222++=+++++=⋅m m m m m FB F A ，由二次函数性质可知，当59-=m 时，FB F A ⋅取得最小值581.此时5484=+=m b ，05416258116>⨯+⨯=∆，故FB F A ⋅取得最小值581.22.解：（1）将θρcos =x ，θρsin =y 代入()0≥=x x y 得θρθρcos sin =，∴1tan =θ，∴射线l 的极坐标方程为04≥=ρπθ，，将θρcos =x ，θρsin =y 代入1422=+y x 得()()1sin 4cos 22=+θρθρ，∴曲线C 的极坐标方程为θρ22sin 314+=（2）由题可知，可以设⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43,4,21πρπρQ P ，，则584sin 314221=+=πρ，5843sin 314222=+=πρ，∴510221==ρρ，∴542sin 2121==∆πρρPOQ S .23.解：（1）由题意可得()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<--≤-=21,42121,221,4x x x x x x f ，不等式()3≥x f 等价于⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥-2134x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥2134x x ，解得43-≤x 或43≥x .即不等式()3≥x f 的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，4343 .（2）由（1）可知，函数()x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21，上单调递减，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21上单调递增，且22121=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f ，即函数()x f 在最小值2=m ，即232=++c b a .()()c b c b c b c c b c b c a +++-=+++--=+++222211322111()()()[]c b c b c b c b +++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=121121，∵()022>+-=+c b c a ，∴10<+<c b .令()1,0,∈+=t c b t ，则()t t t t c b c a +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++12112111()()2231212321121321+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=t t t t t t t t ，当且仅当()t t t t -=-121，即22-=t 时，取等号.即c b c a +++11的最小值为223+.。

宜宾市高2017级第一次诊断测试 (文史类)数学试题参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DADCBBDCCACB二、填空题13．3514．6 15． 210 16． 1a - 三、解答题17．解：（1）∵122n n S +=-，当1=n 时，112S a ==当2≥n 时 122n n S +=-，122n n S -=-两式相减得 1(22)(22)2n n n n a +=---= (2)n ≥ 当1=n 时,满足通项. ∴{}n a 是以首项为2，公比为2的等比数列n n a 2=(n *∈N ) ..........6分（2）由（1）知n n n b 2)12(-=n n n n n T 2)12(2)32(252321132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- 14322)12(2)32(2523212+⋅-+⋅-+⋅+⋅+⋅=n n n n n T两式相减得nn n n T 2)12(22222132⋅--+++⨯+=--）（62)32(2)12(622)12(21)21(22112113---=⋅---=⋅----⋅+=-++++-n n n n n n n n n T62)32(1+-=+n n n T (12)分18．解：（1）55cos ()cos ,sin cos (sin sin )cos 33a Cbc A A C B C A =-∴=-5sin cos cos sin sin cos 3A C A C B A ∴+=，5sin cos sin()sin 3B A A C B ∴=+=3sin 0,cos 5B A ≠∴=，则4sin 5A =， 由正弦定理得，sin 4sin a Ac C==，即4a c =，联立10a c +=，得2c =…………………………………………………………………6分（2）由余弦定理可得，222cos 2b c a A bc +-=，即223516,565550525b b b b+-=--= 得1155b = ，则122sin 25S bc A == …………………………………………12分19.解：（1）由题意得120002.020002.020008.020010.02020008.020006.020002.0=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯a解得012.0=a 设中位数为x +110，则5.0012.020008.020006.020002.0=⋅+⨯+⨯+⨯x解得15=x∴中位数是125........................................... 4分（2）由112)20012.020008.020006.020002.0(200=⨯+⨯+⨯+⨯⨯ ∴估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人........................................... 6分（3） 在区间(]170,150中有3220008.0200=⨯⨯人在区间(]190,170中有820002.0200=⨯⨯人 在区间(]210,190中有820002.0200=⨯⨯人。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合}32|{<<-=x x A ，}05|{2<-∈=x x Z x B ，则=B A （ ）A ．}2,1{B ．}3,2{C ．}3,2,1{D ．}4,3,2{【答案】A2.已知命题p ：01,2>+-∈∀x x R x ，则p ⌝为（ ）A ．01,2>+-∉∀x x R xB ．01,0200≤+-∉∃x x R xC ．01,2≤+-∈∀x x R xD ．01,0200≤+-∈∃x x R x 【答案】D【解析】试题分析：p ⌝为01,0200≤+-∈∃x x R x ，选D. 考点：命题的否定【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p(x 0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p(x 0)成立即可，否则就是假命题.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B考点：等差数列4.若实数y x ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．23 【答案】C【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中11(0,0),(1,0),(,)22A B C ，所以直线y x z +=2过点B 时取最大值2，选C.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.设命题p ：22<x ，命题q ：12<x ，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：命题p ：221x x <⇒<，命题q ：2111x x <⇒-<<，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B.考点：充要关系【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．6.要得到函数)(2cos 32sin )(R x x x x f ∈+=的图象，可将x y 2sin 2=的图象向左平移（ ）A ．6π个单位 B ．3π个单位 C ．4π个单位 D ．12π个单位【答案】A7.三次函数1223)(23++-=x x ax x f 的图象在点))1(,1(f 处的切线与x 轴平行，则)(x f 在区间)3,1(上的最小值是（ ）A ．38B ．611C ．311 D ．35 【答案】D【解析】试题分析：2()332f x ax x '=-+，所以1(1)3103k f a a '==-=⇒=，所以2()32012f x x x x x '=-+=⇒==或，因此，)(x f 在区间(1,2)上单调减，)(x f 在区间(2,3)上单调增，所以最小值是135(2)84221=323f =⨯-⨯+⨯+，选D. 考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．8.2016年国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动.一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券.根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品标价超过100元，则付款时减免标价的10%；优惠券B ：若商品标价超过200元，则付款时减免标价的30元；优惠券C ：若商品标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于（ ）A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元【答案】B【解析】试题分析：设购买的商品的标价为x ，则(200)20%10%;(200)20%30;400,350400x x x x x x -⨯>⋅-⨯>⇒>>⇒>，选B.考点：不等式应用9.已知αθθsin 2cos sin =+，βθ2sin 22sin =，则（ ）A ．αβcos 2cos =B ．αβ22cos 2cos =C ．αβ2cos 22cos =D ．02cos 22cos =+αβ【答案】C考点：三角恒等变换【思路点睛】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等10.已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足)(2)1(x f x f =+，当)1,0[∈x 时，x x x f +-=2)(，设)(x f 在),1[n n -上的最大值为)(*N n a n ∈，则=4a （ ）A ．2B ．1C ．161 D ．321 【答案】A11.在ABC ∆中，81cos =A ，4=AB ，2=AC ，则A ∠的角平分线D A 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．2 D ．1【答案】C【解析】 试题分析：由余弦定理得222142242188BC =+-⨯⨯⨯=，再由角平分线定理得422BD DC DC ===，,2AD =⇒=,选C.考点：余弦定理12.若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)(2,+∞ B ．)(1,+∞ C ．),213(+∞- D ．),212(+∞- 【答案】A考点：不等式恒成立【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若向量)0,1(=，)1,2(=，)1,(x =满足条件b a -3与c 垂直，则=x .【答案】1【解析】试题分析：(3)0(1,1)(,1)01a b c x x -⋅=⇒-⋅=⇒=考点：向量垂直【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.14.在公差不为0的等差数列}{n a 中，831=+a a ，且4a 为2a 和9a 的等比中项，则=5a .【答案】13【解析】试题分析：22242911111(3)()(8)3,03a a a a d a d a d d a d d d a =⇒+=++⇒=≠⇒=，而1318228a a a d +=⇒+=，所以151,3,14313.a d a ===+⨯=考点：等差数列15.函数41)(2+-+=b x a x x f (b a ,是正实数)只有一个零点，则ab 的最大值为 .【答案】161 【解析】试题分析：由题意得14104116a b a b ab ∆=+-=⇒+=≥⇒≤，当且仅当4a b =时取等号 考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16.)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t =考点：不等式恒成立【思路点睛】求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象（部分）如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 在区间]21,21[-上的最大值与最小值.【答案】（1）)6sin(2)(ππ+=x x f （2）最大值是2，最小值是3-．考点：求三角函数解析式，三角函数性质【方法点睛】已知函数sin()(A 0,0)y A x B ωϕω=++>>的图象求解析式 (1)max min max min ,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.18.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知)(12*N n a S n n ∈-=，（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若12log +=n n a b ，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T .【答案】（1）12-=n n a （2）1n n +考点：由和项求通项，裂项相消求和【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1（n －1）（n ＋1）(n ≥2)或1n （n ＋2）. 19.已知ABC ∆的面积为S ，且S =⋅.（1）求A 2tan 的值；（2）若53cos =C ，且2||=-AB AC ，求ABC ∆的面积S . 【答案】（1）43-（2）85考点：向量数量积及三角形面积公式，二倍角公式【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.20.已知函数x x x x f cos sin )(+=.（1）若k x f >)(对任意的),0(π∈x 恒成立，求实数k 的取值范围；（2）判断在)(x f 区间)3,2(上的零点个数，并证明你的结论.（参考数据：4.12≈，4.26≈）【答案】（1）1-<k （2）有且只有1个零点【解析】(2)x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，∴)32(，∈x 时，0cos )(<='x x x f ， ∴函数)(x f 在(2，3)上是减函数．………8分 又02sin )42sin(22sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2)2(>++=++=+=πf ，……10分 ∵75.04263)43sin(312sin 31211sin 33sin 3≈-⨯=-==<ππππ， 95.0426)43cos(12cos 1211cos 3cos ≈+-=--=-=<ππππ， ∴03cos 3sin 3)3(<+=f ，由零点存在性定理，)(x f 在区间(2，3)上有且只有1个零点．…………12分考点：函数零点，利用导数研究不等式恒成立【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.21.已知函数1ln )(2-+=x x x f ，e e x g x-=)(.（1）讨论)(x f 的单调性；（2）若对于任意的),1(+∞∈x ，)()(x f x mg >恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）增函数（2）3m e≥(2)01ln )()()(2>+---⇔>x x e e m x f x mg x ，令=)(x h 1ln )(2+---x x e e m x ，则=')(x h x x me x 21--，令=')1(h 0，即03=-me ，可解得m=e3． ①当m ≤0时，显然=')(x h 021<--x x me x ，此时)(x h 在)1(∞+，上单调递减， ∴)(x h <h(1)= 0，不满足条件． ……………………………………………6分 ②当em 30<<时，令x x q x me x p x 2)(1)(=-=，． 显然x me x p x 1)(-=在)1[∞+，上单调递增，∴2131)1()(min =-⨯<-==e e me p x p ． 由x x q 2)(=在)1[∞+，单调递增，于是2)(min =x q ．∴min min )()(x q x p <． 于是函数xme x p x 1)(-=的图象与函数x x q 2)(=的图象只可能有两种情况： 若)(x p 的图象恒在)(x q 的图象的下方，此时)()(x q x p <，即0)(<'x h ，考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求参数取值范围【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数），设点)1,1(P ，直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求||||PB PA +的值.【答案】（1）24y x =（2）考点：极坐标方程化为直角坐标方程，直线参数方程几何意义23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(|1||1|)(R a a x x x f ∈+--+=.（1）若1=a ，求不等式0)(≥x f 的解集；（2）若方程()f x x =有三个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）)21[∞+-，（2）11a -<< 【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义，将不等式转化为三个不等式组，最后求它们解集的并集得原不等式解集（2）将方程转化为对应函数11+--+=x x x a ，再根据绝对值定义将其转化为分段函数21111121x x a x x x x x x x +<-⎧⎪=+--+=--≤≤⎨⎪->⎩，，，，，，最后结合分段函数图像确定实数a 的取值范围. 试题解析：(1)∵1=a 时，111)(+--+=x x x f ，∴当x ≤-1时，1)(-=x f ，不可能非负．考点：绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．：。

2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}4,3,2,1,0=U ,集合{}3,2,1=A ，则=A C U (A) {}4,0(B) {}3,2,1 (C) {}4,3,2,1,0 (D) {}4,3,2,0 2．抛物线24y x =的焦点坐标是 (A) (0,1) (B) (0，-1)(C) (-1,0)(D) (1,0)3. 函数)2sin(x y -=π的图象(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称(D) 关于直线2π=x 对称4.给出下列三个命题：①命题p ：x R ∃∈,使得012<-+x x ， 则p ⌝：x R ∀∈，使得012≥-+x x② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件. ③若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. 其中正确．．命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 35.执行如图所示的程序框图，输出的S 值是(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 166.已知),10(12log ≠><a a a 且则a 的取值范围是 (A) ∞（2,+） (B) (0,1)(C) 12∞U (0,)（2,+）(D) ∞U (0,1)(2,+)7.已知单位向量m 和n 的夹角为60o ,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A) 30o(B) 60o (C) 120o (D) 150o8.一个三棱柱的侧视图、俯视图如图所示，则三棱柱的表面积是 (A) 2616+ (B) 3616+ (C) 2612+ (D) 3614+9.在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为)0(2>c c ，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点)0,2ca （作圆的两条切线互相垂直，则离心率e 为 (A)22(B)21(C)23 (D) 3310.设函数⎩⎨⎧><=0,log 0,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．．a 的最小值是 (A)81 (B) 41 (C) 21(D)2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知i 是虚数单位，则21i i=+▲.12.函数x x x f ln )(2+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲.13.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲.14.如图是一容量为100的样本的重量频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为▲.15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论： ①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立． 则其中所有正确结论的序号是▲.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）已知函数)0(sin cos sin 2cos )(22>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；（II ）当x ∈[20π，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.17.（本题满分12分）某校从高中部年满16周岁的学生中随机抽取来自高二和高三学生各10名，测量他们的身高，数据如下（单位：cm ）高二：166,158,170,169,180,171,176,175,162,163 高三：157,183,166,179,173,169,163,171,175,178（I ）若将样本频率视为总体的概率，从样本中来自高二且身高不低于．．．170的学生中随机抽取3名同学，求其中恰有两名同学的身高低于．．．．．．．．．．．175的概率；（II ）根据抽测结果补充完整下列茎叶图，并根据茎叶图对来自高二和高三学生的身高作比较，写出两个统．．．．．计结论．．．.18.（本题满分12分）如图，一简单几何体的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. （I ）求证: GH //平面ACD ； （II ）若AB =2，BC =1，23tan =∠EAB ,试求该几何体的V.19.（本题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，首项21=a，公差为)0(≠d d ，且1131,,a a a 成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）令2nnn a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（本题满分13分）已知函数b a x x x x f 3)ln()(2++-+=在0=x 处取得极值0. （I ）求实数b a ,的值； （Ⅱ）若关于x 的方程m x x f +=25)(在区间[]20，上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.21.（本题满分14分）已知焦点在x 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为32，长轴长为4.（I ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于,A B 两点.(i) 证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值； （ii ）求的最小值AB .高中2012级一诊测试数学(文史类)参考答案说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 题号 12345678910答案ADBCCDCAAB二、填空题11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13.4π14. 12 15. ①③④ 三、解答题16.解：(1)∵)2sin 222cos 22(22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)42sin(2πω+x ..................................................................（4分） ∵π=T 且ω>， 故1,22==ωπωπ则......................................................................（6分） (2):由(1)知)42sin(2)(π+=x x f∵20π≤≤x ∴45424πππ≤+≤x ................................................................................（7分） ∴1)42sin(22≤+≤-πx . ∴2)42sin(21≤+≤-πx .......................................................................................（9分） ∴当242ππ=+x 时，即8π=x ，y取得最大值为2............................................（12分）17.解：（Ⅰ）高二学生身高不低于170的有170，180，175，171，176有5人，从中抽取3个共有10种抽法；“恰有两名同学的身高低于175”的情况有3种…………………（3分） 故P （“恰有两名同学的身高低于175”）=310 ……………… （6分）（Ⅱ）茎叶图：…………………………………（9分）统计结论：（考生只要答对其中两个即给3分，给出其他合理答案可酌情给分） ①高三学生的平均身高大于高二学生的平均身高； ②高二学生的身高比高三学生的身高更整齐；③高二学生的身高的中位数为169.5cm ，高三学生的身高的中位数为172cm ；④高二学生的身高基本上是对称的，且大体上集中在均值附近，高三学生的身高的高度较为分散； ……………………………………（12分）18. (1)证明：连结GO,OH∵GO//AD,OH//AC...................................................................................................................（2分） ∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O................................................................（4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD..........................................................................................................（6分） (2)法一：∵ACD E ABC E V V V --+=..............................................................................................（8分） ∵AB=2,BC=1. ∵23tan =∠EAB ∴3,322=-==BC AB AC BE .ACD E ABC E V V V --+=21133213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-DE S V ACD ACD E .21313213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-EB S V ACB ACB E .........................................................（11分）8 15 7∴12121=+=+=--ACD E ABC E V V V .............................................................................（12分） 法二：∵DC ⊥平面ABC ∴DC ⊥AC又∵AC ⊥BC ∴AC ⊥平面BCDE.......................................................（8分） ∵AB=2,BC=1. ∵23tan =∠EAB ∴3,322=-==BC AB AC BE ........（10分） ∴13313131=⨯⨯⨯=⋅⋅=-AC S V BCDE BCDE A 矩形................................................（12分）19．（Ⅰ）12a =，设公差为d ，则由1311,a ,a a 成等比数列， 得2(22)2(210)d d +=⨯+， ...................................... （2分 ）解得0d =（舍去）或3d =， .................................... （4分） 所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =- .............................. （6分）（Ⅱ） nn n b 213-=， nn n n n T 2132432825221321-+-+⋅⋅⋅+++=- 143221324328252221+-+-+⋅⋅⋅+++=n n n n n T-得1432213-23232323121+-+⋅⋅⋅++++=n n n n T ------（9分）1121321-1)21-1413121+---⋅+=n n n n T （11213)21-123121+---+=n n n n T （n n n n T 213)21-1321--+=-（nn n n T 21323-321--+=- nn n T 253-5+= ......................... （12分 ）20.解：（Ⅰ）由题设可知1()21f x x x a'=+-+………………………………（1分） Q 当0x =时，()f x 取得极值0(0)0(0)0f f '=⎧∴⎨=⎩解得1,0a b == ………………………………………（4分） 经检验1,0ab ==符合题意 ………………………………………（5分）（Ⅱ）由（1）知2()ln(1)f x x x x =+-+，则方程5()2f x x m =+即为25ln(1)02x x x x m +-+--=令25()ln(1)2x x x x x m ϕ=+-+--则方程()0x ϕ=在区间[0,2]恰有两个不同实数根.13(45)(1)()2122(1)x x x x x x ϕ+-'=--=++Q ………………………………（8分） 当(0,1)x ∈时，()0x ϕ'<，于是()x ϕ在(0,1)上单调递减； 当(1,2)x ∈时，()0x ϕ'>，于是()x ϕ在(1,2)上单调递增；…………………（10分）依题意有(0)01(1)ln 202(2)1ln 30m m m ϕϕϕ=-≥⎧⎪⎪=---<⎨⎪=--≥⎪⎩ 1ln 21ln 3 (132)m ∴--<≤-（分）21.（Ⅰ） 解224c a == ........................ （2分 ）2,a c == 2221b a c =-=所以椭圆的标准方程为2214x y += . ..................（4分）（Ⅱ）（ⅰ）设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； .................. （6分 ）② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，代入椭圆2214x y +=联立消去y 得：222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k-=+ ..................（ 7分） 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k所以2222222448(1)01414m k m k m k k-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，所以点O 到直线AB 的距离d =综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552.............（10分）（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OB OA AB d ⋅=⋅又因为OB OA ⋅2≤222AB OB OA =+，所以2AB ≥AB d ⋅2所以AB ≥2AB d ≥，当OB OA =时取等号，即AB 的最小值是554………（14分）。

四川省宜宾市2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）tan210°的值是（）A．﹣B．C．﹣D．2．（5分）若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜3．（5分）计算的结果为（）A．B．2C．0D．14．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣5，12），则cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）要得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位6．（5分）等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为a，b，c，则（）A．b+a=c B．b2=ac C．a2+b2=a（b+c）D．（a+b）﹣c=b2 7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=3x+5y的最大值为（）A．0B．5C．3D．178．（5分）利用校园内围墙一角和篱笆围成一个面积为128m2的直角梯形花园，已知两围墙所成角为135°（如图），则所用篱笆总长度的最小值为（）A．16m B．32m C．64m D．16m9．（5分）已知△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为△ABC的重心，且a+b+c=，则△ABC为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为（）A．﹣1 B．0C．1D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知||=12，||=9，，则与的夹角为．12．（5分）在等差数列{a n}中，a2+a7=20，则数列{a n}的前8项之和S8=．13．（5分）若△ABC的三边长分别为5，5，6，设最大内角为α，则tanα=．14．（5分）已知函数f（x）=的定义域为R，则实数k的取值范围为．15．（5分）已知函数①f（x）=3lnx；②f（x）=3e cosx；③f（x）=3e x；④f（x）=3cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一个个自变量x2，使成立的函数序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，且4a2，2a3，a4成等差数列，求数列{a n}的公比及通项公式．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x（x∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（﹣）=，α∈（，π），求tan（α﹣）的值．18．（12分）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），C（1，﹣2），=+λ．（1）当λ=2时，求的坐标；（2）若⊥，且向量=（2+t，），其中t∈（0，+∞），求•的最大值．19．（12分）在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，满足=（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，且点A（a n，a n+1）（n∈N*）在直线y=x+2上，数列{b n}的前n项和为{S n}，且S n=2b n﹣2（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b1，b2的值，并求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）设c n=b n sin2﹣a n cos2（n∈N*），求数列{c n}的前8项和T8．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在上的最小值为，求a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．四川省宜宾市2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）tan210°的值是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：直接利用诱导公式把要求的式子化为tan30°，从而求得它的结果．解答：解：tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=，故选D．点评：本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（5分）若a＞b＞0，c＞d＞0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的基本性质即可得出．解答：解：∵c＞d＞0，∴，又a＞b＞0，∴．故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3．（5分）计算的结果为（）A．B．2C．0D．1考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．解答：解：原式===．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、lg2+lg5=1，属于基础题．4．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣5，12），则cosα=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：根据三角函数的定义进行求解即可．解答：解：r==13，则cosα==﹣，故选：B点评：本题主要考查三角函数的计算，利用三角函数的定义是解决本题的关键．5．（5分）要得到函数y=cos（2x+）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得函数y=cos2（x+）=cos （2x+）的图象，故选：B．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．（5分）等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为a，b，c，则（）A．b+a=c B．b2=ac C．a2+b2=a（b+c）D．（a+b）﹣c=b2考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列为等比数列，可知其第一个n项和，第二个n项和，第三个n项和仍然构成等比数列，结合已知列式得到答案．解答：解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个n项和，第二个n项和，第三个n 项和仍然构成等比数列，则有：a，b﹣a，c﹣b构成等比数列，∴（b﹣a）2=a（c﹣b），即b2﹣2ab+a2=ac﹣ab，∴a2+b2=a（b+c）．故选：C．点评：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的前n项和，是基础题．7．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=3x+5y的最大值为（）A．0B．5C．3D．17考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+5y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（），此时z=2×+5×=17，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．8．（5分）利用校园内围墙一角和篱笆围成一个面积为128m2的直角梯形花园，已知两围墙所成角为135°（如图），则所用篱笆总长度的最小值为（）A．16m B．32m C．64m D．16m考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：先设出BD=x，篱笆长度为y，进而分别表示出CD，AB，进而根据梯形面积公式建立等式，表示出y，利用基本不等式求得y的最小值．解答：解：如图，设BD=x，设篱笆长度为y，则CD=y﹣x，AB=y﹣2x，梯形的面积为=128，整理得y=，当=x等号成立，所以篱笆总长度最小为16m．故选：A．点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键是根据题意建立数学模型．9．（5分）已知△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，G为△ABC的重心，且a+b+c=，则△ABC为（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：G为△ABC的重心，可得，又a+b+c=，可得=，可得a﹣1=b﹣1=c﹣1=0，即可判断出．解答：解：∵G为△ABC的重心，∴，又a+b+c=，∴=，∴a﹣1=b﹣1=c﹣1=0，解得a=b=c=1，∴△ABC是等边三角形．故选：D．点评：本题考查了三角形的重心性质定理、向量基本定理、等边三角形的定义，考查了推理能力，属于中档题．10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的值为（）A．﹣1 B．0C．1D．2考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）满足f（x）=，可得f（﹣1）=log22=1，f（0）=log21=0．f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1﹣0=﹣1，…，可得f（n+6）=f（n），利用其周期性即可得出．解答：解：函数f（x）满足f（x）=，可得f（﹣1）=log22=1，f（0）=log21=0．f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1﹣0=﹣1，f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣1﹣（﹣1）=0，f（4）=f（3）﹣f（2）=0﹣（﹣1）=1，f（5）=f（4）﹣f（3）=1﹣0=1，f（6）=f（5）﹣f（4）=1﹣1=0，f（7）=f（6）﹣f（5）=0﹣1=﹣1，…，∴数列f（n）是以6为周期的数列．∴f=f（335×6+4）=f（4）=1．故选；C．点评：本题考查了分段函数的性质、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）已知||=12，||=9，，则与的夹角为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由向量的夹角公式可得cosθ=，代值计算由特殊角的三角函数可得．解答：解：设与的夹角为θ，则cosθ===，∵θ∈，∴θ=故答案为：点评：本题考查向量的夹角公式，属基础题．12．（5分）在等差数列{a n}中，a2+a7=20，则数列{a n}的前8项之和S8=80．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a1+a8=20，代入求和公式计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a8=a2+a7=20，∴数列{a n}的前8项之和S8==80故答案为：80点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．13．（5分）若△ABC的三边长分别为5，5，6，设最大内角为α，则tanα=．．考点：余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由余弦定理可得cosα，可得0＜α，由同角三角函数关系可得tanα=，即可求值．解答：解：∵△ABC的三边长分别为5，5，6，最大内角为α，∴由余弦定理可得：cosα==，可得0＜α，则tanα===．故答案为：．点评：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数关系式的综合应用，属于中档题．14．（5分）已知函数f（x）=的定义域为R，则实数k的取值范围为．考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的定义域得到kx2+kx+1≥0恒成立，对k讨论，当k=0，k＞0且判别式小于等于0，解不等式即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=的定义域为R，∴kx2+kx+1≥0恒成立，当k=0时，不等式等价为1≥0，满足条件；当k≠0时，要使不等式恒成立，则，即，解得0＜k≤4，综上可得0≤k≤4．故答案为：．点评：本题主要考查函数定义域的应用，将函数转化为不等式恒成立是解决本题的关键．注意讨论k=0，属于易错题．15．（5分）已知函数①f（x）=3lnx；②f（x）=3e cosx；③f（x）=3e x；④f（x）=3cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一个个自变量x2，使成立的函数序号是③．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意可知其中对于f（x）定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一个个自变量x 2，使即要判断对于任意一个自变量x，函数都有倒数，所以判断函数恒有倒数即成立．解答：解：根据题意可知：①f（x）=3lnx，x=1时，lnx没有倒数，不成立；②f（x）=3e cosx，任一自变量f（x）有倒数，但所取x】的值不唯一，不成立；③f（x）=3e x，任意一个自变量，函数都有倒数，成立；④f（x）=3cosx，当x=2kπ+时，函数没有倒数，不成立．所以成立的函数序号为③故答案为③点评：考查学生理解函数恒成立时取条件的能力，以及熟悉函数取零点的条件．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）在等比数列{a n}中，a5﹣a1=15，且4a2，2a3，a4成等差数列，求数列{a n}的公比及通项公式．考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a1和q的方程组，解方程组可得a1和q，可得通项公式．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a5﹣a1=15，且4a2，2a3，a4成等差数列，∴a1（q4﹣1）=15，①4a3=4a2+a4，②由①②可得q2﹣4q+4=0，解得q=2，∴a1=1，a n=2n﹣1点评：本题考查等比数列的通项公式和性质，属基础题．17．（12分）已知函数f（x）=sin2x+cos2x（x∈R）（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若f（﹣）=，α∈（，π），求tan（α﹣）的值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；（II）利用（I）可得2sinα=，再利用同角三角函数基本关系式、两角和差的正切公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x=2=2．由，解得（k∈Z）．∴f（x）的单调增区间是（k∈Z）．（Ⅱ）∵f（﹣）=，∴2sinα=，∴sinα=，而α∈（，π），∴，．∴tan（α﹣）===﹣7．点评：本题考查了两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、同角三角函数基本关系式、两角和差的正切公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），C（1，﹣2），=+λ．（1）当λ=2时，求的坐标；（2）若⊥，且向量=（2+t，），其中t∈（0，+∞），求•的最大值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）将λ代入，利用向量相等得到所求；（2）利用⊥，解得λ值，求出•的解析式，利用基本不等式求最大值．解答：解：（1）由已知=（1，2），=（3，3），λ=2，则=+2=（1，2）+2（3，3）=（7，8）．所以=（7，8）；（2）若⊥，，=+λ=（1+3λ，2+3λ）．所以1+3λ﹣2（2+3λ）=0，即λ=﹣1，所以=（﹣2，﹣1），向量=（2+t，），其中t∈（0，+∞），所以•=﹣4﹣2t﹣=﹣4﹣2（t+）≤﹣4﹣4=﹣8，当且仅当t==1时等号成立；点评：本题考查了向量的坐标运算以及向量垂直的性质运用，还有利用基本不等式求最值，属于中档题．19．（12分）在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，满足=（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）运用正弦定理，将角化为边，再由余弦定理，即可得到角C；（Ⅱ）运用三角形的面积公式，可得ab=6，再由余弦定理，配方可得a+b．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理=即为=，即b（a﹣b）=（a+c）（a﹣c），即有a2+b2﹣c2=ab，由余弦定理可得cosC===，由于C为三角形的内角，则C=；（Ⅱ）c2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，即有a2+b2﹣ab=7，即（a+b）2﹣3ab=7，S△ABC=absin60°=，即ab=6，则（a+b）2=7+3ab=7+18=25，则有a+b=5．点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，且点A（a n，a n+1）（n∈N*）在直线y=x+2上，数列{b n}的前n项和为{S n}，且S n=2b n﹣2（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求b1，b2的值，并求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）设c n=b n sin2﹣a n cos2（n∈N*），求数列{c n}的前8项和T8．考点：数列与三角函数的综合．专题：计算题；等差数列与等比数列；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）代入点A（a n，a n+1），由等差数列的通项公式可得；（Ⅱ）由条件先求首项，再令n=2，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1，由等比数列的通项公式即可得到；（Ⅲ）由条件分别求出数列{c n}的前8项，结合等差数列和等比数列的通项，即可计算得到．解答：解：（Ⅰ）点A（a n，a n+1）（n∈N*）在直线y=x+2上，∴a n+1=a n+2，∴{a n}是等差数列，公差d为2，首项a1=1，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1；（Ⅱ）由于S n=2b n﹣2（n∈N*）则当n=1时，b1=S1=2b1﹣2，解得b1=2，由S2=b1+b2=2b2﹣2，得b2=4，同理b3=8，所以当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2b n﹣2b n﹣1，∴b n=2b n﹣1（n≥2），∴{b n}是等比数列，公比为2，首项b1=2∴b n=2n；（Ⅲ）由于c n=b n sin2﹣a n cos2（n∈N*），则c1=b1，c2=﹣a2，c3=b3，c4=﹣a4，c5=b5，c6=﹣b6，c7=b7，c8=﹣a8，∴T8=b1+b3+b5+b7﹣（a2+a4+a6+a8）=2+23+25+27﹣（3+7+11+15）=134．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的通项和前n项和的关系，同时考查三角函数的求值，属于中档题和易错题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在上的最小值为，求a的值；（Ⅲ）若f（x）＜x2在x∈（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）求出当a=﹣1时的f（x）解析式和导数，求得单调区间，注意函数的定义域；（Ⅱ）求出导数，对a讨论，①若a≥﹣1，②若a≤﹣e，③若﹣e＜a＜﹣1，通过单调性求得最小值，解方程可得a的值；（Ⅲ）运用参数分离，可得a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，求得g（x）的值域，即可得到a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=lnx+，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，则当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，即有f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；（Ⅱ）由题可知f′（x）=，①若a≥﹣1则x+a≥0，f（x）在上为增函数，min=f（1）=﹣a=，即为a=﹣（舍去）；②若a≤﹣e，则x+a≤0，f（x）在上为减函数，min=f（e）=1﹣=，a=﹣（舍去）；③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，解得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）在（1，﹣a）上为减函数；当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣a，e）上为增函数．即有min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，解得a=﹣，综上所述，a=﹣；（Ⅲ）f（x）＜x2，即lnx﹣＜x2，又a＞0，a＞xlnx﹣x3，令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=﹣6x=，由x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上是减函数，则h（x）＜h（1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上递减，即有g（x）＜g（1）=﹣1，当a≥﹣1时，f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立．点评：本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用参数分离和函数的单调性是解题的关键．。

绵阳市高中2017级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ADCBC DBCAD AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π15． 16．0<a <1或3ea >三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x=−− 212sin cos 2sin x x x=−− cos 2sin 2x x=−)4x π+， ……………………………………………4分 ∴ T =22ππ=， 即()f x 的最小正周期为π. ……………………………………………………5分 ∵ cos y x =的单调递减区间为[2k π，2k ππ+]，k ∈Z ，∴ 由2k π≤2x +4π≤2k ππ+，k ∈Z ，解得8k ππ−≤x ≤38k ππ+，k ∈Z ， ∴ ()f x 的单调递减区间为[8k ππ−，38k ππ+]，k ∈Z ． ……………………7分（2）由已知0()=1f x −，可得0)14x π+=−， ………………………10分即0cos(2)4x π+=， 再由0()2x ππ∈−−，，可得0732()444x πππ+∈−−，， ∴ 05244x ππ+=−， 解得 03=4x π−．………………………………………………………………12分18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则a 2=a 1+d ，a 5=a 1+4d ， ………………1分∵ a 1，a 2，a 5成等比数列，∴ a 22=a 1a 5，即(a 1+d )2=a 1(a 1+4d )，整理得d 2=2a 1d ，解得d =0（舍去）或d =2a 1=2，∴ a n =a 1+(n -1)d =2n -1.…………………………………………………………4分 当1n =时，12b =，当n ≥2时，1122(22)n n n n n b S S +−=−=−−−1222222=n n n n n +−=⨯−=.∴ 数列{}n b 的通项公式为2n n b =．……………………………………………8分（2）由（1）得，212n n c n −=+，………………………………………………9分 3521(21)(22)(23)(2)n n T n −=++++++++ 3521(2222)(123)n n −=+++++++++ 2(14)(1)142n n n −+=+− 2122232n n n +−+=+． ………………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得 cos B =sin B +1． …………………………………………………3分 两边平方可得2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据sin 2B +cos 2B=1，可整理为3sin 2B+2sin B -1=0， 解得1sin 3B =或sin B =-1（舍去）．……………………………………………5分 ∴ 1sin 3B =．……………………………………………………………………6分 （2）由2C A π−=，且A B C π++=，可得22A B π=−，C 为钝角，∴ sin 2cos A B =，又b =由正弦定理得sin sin a b c A C===，∴a A =，c C =．又C 为钝角，由（1）得cos 3B =． ………………………………………9分∴ △ABC 的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯ 99sin sin()sin cos 222A A A A π=+=999sin 2cos 444A B ====综上所述，△ABC 的面积为2． …………………………………………12分 20．解：（1）当a =1时，31()23f x x x =−+，则2()1(1)(1)f x x x x '=−=−+， 由()f x '>0，得x <-1或x >1；由()f x '<0，得-1<x <1， ……………………3分 ∴ ()f x 在(1)−∞−，上单调递增，(-1，1)上单调递减，(1)+∞，上单调递增． ∴ ()f x 的极小值为4(1)=3f ，极大值为8(1)=3f −． …………………………5分 （2）()()(1)f x x a x '=−+当a ≤1时，()f x 在[12]，单调递增，∴ ()f x 最大值为20(2)=423f a −=， 解得7=6a （舍）； ………………………………………………………………7分 当1<a <2时，()f x 在[1)a ，上单调递减，在(2]a ，上单调递增， ∴ ()f x 最大值为(1)f 或(2)f ，由173(1)262a f =−=，解得59a =（舍）， 由(2)2f =，解得76a =． ……………………………………………………10分 当a ≥2时，()f x 在[12]，单调递减，∴()f x 最大值为173(1)262a f =−=， 解得59a =（舍）． 综上所述：76a =． ……………………………………………………………12分 21．解：（1）由题意得e ()e 2(2)x x f x ax x a x '=−=−，令e ()xh x x=， 则2e (1)()x x h x x−'=． ……………………………………………………………2分 ∴ 当0<x <1时，得()h x '<0，此时()h x 单调递减，且x →0，()h x →+∞， 当x >1时，得()h x '>0，此时()h x 单调递增，且x →+∞，()h x →+∞， ∴ ()h x min =h (1)=e ．①当2a ≤e ，即a ≤e 2时，()f x '≥0，于是()f x 在(0，+∞)上是增函数， 从而()f x 在(0，+∞)上无极值．②当2a >e ，即a >e 2时，存在0<x 1<1<x 2，使得1()f x '=2()f x '=0， 且当x ∈(0，x 1)时，()f x '>0，()f x 在(0，x 1)上是单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '<0，()f x 在(x 1，x 2)上是单调递减；当x ∈(x 2，+∞)时，()f x '<0，()f x 在(x 2，+∞)上是单调递增，故x 2是()f x 在(0，+∞)上的极小值． 综上，e 2a >． …………………………………………………………………6分 （2）由(1)知，f (x )的极大值为M =f (x 0)>f (0)=1． …………………………8分 又M =f (x 0)=00002200000e e e e (1)(01)22x x x x x ax x x x −=−⨯=−∈，，， 令()e (1)(01)2x x g x x =−∈，，， 则1()(1)e 02x g x x '=−>， ……………………………………………………10分 ∴ g (x )在区间(0，1)上单调递增，∴ 2)1()(e g x g =<． ∴ 12e M <<． ………………………………………………………………12分22．解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=，∴ 曲线C 的普通方程为224x y +=． …………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． ………………………………5分（2）把=3πθ代入ρcos(6πθ−)=3中，可得ρcos(36ππ−)=3，解得ρ=，即B 点的极径B ρ=，由（1）易得A ρ=2，∴ |AB |=|A ρ-B ρ|=-2． ………………………………………………10分23．解：（1）当m =2时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当x ≤-1时，()(2)(1)50f x x x =−−−+−≥，解得x ≤-2； ……………………………………………………………………1分 当-1<x <2时，()(2)15f x x x =−−++−≥0，无解．…………………………3分 当x ≥2时，()215f x x x =−++−≥0，解得x ≥3； ……………………………………………………………………4分综上，原不等式的解集为(2][3)−∞−+∞，，． ………………………………5分 （2）∵()|||1|5f x x m x =−++−≥|()(1)|5x m x −−+−|1|5m =+−≥-2，∴ |1|m +≥3， …………………………………………………………………8分 ∴ m +1≥3或m +1≤-3，即m ≥2或m ≤-4，∴ 实数m 的取值范围是(−∞，-4][2)+∞，． ……………………………10分。

四川省宜宾市2017届高三上学期期中考试（零诊）文数试题一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}01|{≤-=x x P ,}20|{≤<=x x Q ,则=Q P C R )(（ ） A ．)1,0( B ．(0,2] C ．[1,2] D ．(1,2] 【答案】D考点：集合的运算. 2.已知i 为虚数单位，则21ii-=+（ ） A ．i +1 B ．1 C ．2 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：21ii-==+,故选C.考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.3. 下列函数中 ，即是奇函数，又在),0(π上单调递增的是（ ） A ．x y tan = B ．xe y = C ．x y lg = D ．3x y = 【答案】D 【解析】试题分析：四个函数中，其中x y tan =、3x y =是奇函数，x y tan =在区间(,)()22k k k Z ππππ-++∈上单增，3x y =在区间(,)-∞+∞上单调递增，所以在区间),0(π上单调递增，故选D.考点：1.基本初等函数的性质；2.函数的单调性与奇偶性. 4. 设命题p ：“1,12<<∀x x ”,p ⌝为（ ）A ．1,12<≥∀x x B ．1,12≥<∃x x C ．1,12≥<∀x x D ．1,12≥≥∃x x 【答案】B 【解析】试题分析：根据特称命题与全称命题否定的写法可知，命题p ：“1,12<<∀x x ”,p ⌝为“1,12≥<∃x x ”，故选B. 考点：特称命题与全称命题. 5. 为了得到函数3cos 3sin3x x y -=的图象，只需把函数3sin 2xy =的图象上所有的点（ ）A ．向左平移2π个单位B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移2π个单位 D ．向右平移6π个单位【答案】C考点：1.三角恒等变换；2.函数图象的平移变换.6. “1>a ”是“函数x ax x f sin )(-=在R 上是增函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为()cos f x a x '=-，所以当1a >时，则()cos 0f x a x '=->，这时“函数x ax x f sin )(-=在R 上是增函数”，若“函数x ax x f sin )(-=在R 上是增函数”时，()cos 0f x a x '=->，这时1a ≥，所以“1>a ”是“函数x ax x f sin )(-=在R 上是增函数”的充分不必要条件，故选A.考点：1.导数与函数的单调性；2.充分条件与必要条件. 7. 已知菱形ABCD 的对角线2=AC ，则=⋅（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．22 【答案】C考点：向量数量积的几何意义.8. 在ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，若0s i n 2s i n =+A b B a ，c b 3=，则=ac（ ） A ．1 B ．33 C ．22 D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：由0sin 2sin =+A b B a 得2sin cos sin 0a B B b A +=，由正弦定理得2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=，所以1cos 2B =-，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-即2223c a c ac =++，2210c ca a⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解之得1c a =，故选A.考点：1.二倍角公式；2.正弦定理与余弦定理.9. 设函数)('x f 是偶函数)(x f 的导函数，当0≠x 时，恒有0)('>x xf ，记),2(log ),5(log ),3(log 325.0f c f b f a ===则c b a ,,的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c << 【答案】C 【解析】试题分析：因为当0≠x 时，恒有0)('>x xf ，所以当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，又)(x f 是偶函数，0.522(log 3)(log 3)(log 3)a f f f ==-=，3220log 21log 3log 5<<<<，所以c a b <<，故选C.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数的奇偶性；3.对数函数的性质. 10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱的长度为（ ）A ．4B ．23C ．22D ．32 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，由图可知其中最长棱为PC ，因为22222228PB PA AB =+=+=，所以22228212,PC PB BC PC =+=+== D.考点：三视图.【名师点睛】本题考查空间几何体的三视图，意在考查考生的识图能力、空间想象能力以及计算能力，属中档题；根据三视图判断几何体的结构特征，画出几何体，根据几何体的特征，进行计算得出结果，是高考常考题型.11. 如图，等腰梯形的下底边2=AB ，上底边1=CD ，两腰1==BC AD ，动点P 从点B 开始沿着边BC ，CD 与DA 运动，记动点P 的轨迹长度为x ，将点P 到B A ,两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f 的图象大致为（ ）【答案】BA当点P 在线段CD 上时，12x <<，1PC x =-，1151,2222BE x x AE BE x =+-=-=-=-，PE =PB PA ====()f x =15()x x f x --'=，3()02f '=,当312x <<时，()0,()f x f x '<单调递减，当322x <<时，()0,()f x f x '>单调递增，且函数图象为曲线，不是直线，由此可知应选B.A考点：1.分段函数建模问题；2.导数与函数的单调性.【名师点睛】本题考查分段函数的建模问题、导数函数的单调性、函数图象，属难题；在一个分段函数中，当自变量取值范围不同时，函数对应关系不一样，因此研究分段函数的策略就是分段讨论,命题角度主要有:1.根据分段函数的解析式求函数值；2.已知函数值（或函数值的取值范围）求自变量的值(或范围); 3.确定分段函数的图象.12. 若函数bx x x a x f 221ln )(2++=在]2,1[上单调递增，则b a 4+的最小值是（ ） A ．3- B ．4- C ．5- D ．415-【答案】B 【解析】试题分析：函数bx x x a x f 221ln )(2++=在]2,1[上单调递增,所以22()20a x bx af x x b x x++'=++=≥在]2,1[上恒成立，即220x bx a ++≥在]2,1[上恒成立，令2()2h x x bx a =++，其对称轴为x b =-，当1b -≤即1b ≥-时，220x bx a ++≥在]2,1[上恒成立等价于1(1)210b h a b ≥-⎧⎨=++≥⎩，由线必规划知识可知，此时()max 43a b +=-；当2b -≥即2b ≤-时，220x bx a ++≥在]2,1[上恒成立等价于2(2)440b h a b ≤-⎧⎨=++≥⎩，44a b +≥-，即()max 44a b +=-；当12b <-<即21b -<<-时，220x bx a ++≥在]2,1[上恒成立等价于221()0b h b a b -<<-⎧⎨-=-≥⎩，此时()max 44a b +=-； 综上可知，()max 44a b +=-，故选B.考点：1.导数与函数的单调性；2.线性规划；3.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、线性规划、函数与不等式等知识，旨在考查学生综合运用数学知识的能力、运算能力以及逻辑思维能力，属难题；利用导数求单调性问题时应注意：()0f x '>（或()0f x '<）是函数单调递增（递减）的充分条件，而不是必要条件，当函数在某个区间上单调递增（或递减）时，()0f x '≥（或()0f x '≤）. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知点)1,1(--A ，)3,1(B ，),2(λC ，若//AB AC ，则实数=λ . 【答案】5考点：1.向量的坐标运算；2. 向量共线的条件.14. 已知函数)(x f 是周期为2的奇函数，当01≤≤-x 时，x x x f +=2)(，则=)22017(f . 【答案】14【解析】试题分析：因为函数)(x f 是周期为2的奇函数，所以22017111111()(5042)()()()()2222224f f f f ⎡⎤=⨯+==--=--+-=⎢⎥⎣⎦，即应填14. 考点：函数的周期性与奇偶性.15. 已知三棱锥ABC S -的各顶点都在一个表面积为π4的球面上，球心O 在AB 上，⊥SO 平面ABC ，2=AC ，则三棱锥ABC S -的表面积为 .【答案】2考点：1.球的切接问题；2.多面体的表面积与体积.【名师点睛】本题考查球的切接问题、多面体的表面积与体积，属中档题；与球有关的组合体是高考的重点题型，若解决球与旋转体的组合体问题，通常作出它们的轴截面解题；若解决球与多面体相关的组全体问题，通常过多面体的一条侧棱和球心，或切点、接点、作出截面图，把空间问题转化为平面问题.16. 已知函数|ln |)(x x f =，关于x 的不等式)1()1()(-≥-x c f x f 的解集为),0(+∞，则实数c 的取值范围是 . 【答案】[]1,0-考点：1.导数的几何意义；2.函数与不等式.【名师点睛】本题考查导数的几何意义、函数与不等式，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.三、解答题 （本大题共5小题，每题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知R x x x x x f ∈+=),cos (sin sin 2)( （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若4543,5231)2(παπα<<+=f ，求αcos 的值.【答案】(1) Z k k k ∈++-],83,8[ππππ；（2）10-. 【解析】试题分析：(1)由三角恒等变换公式化简函数解析式得())14f x x π=-+，解Z k k x k ∈+≤-≤+-,224222πππππ可得函数的单调递增区间；(2)由52311)4sin(2)2(+=+-=πααf 可得53)4sin(=-πα，54)4cos(-=-πα，用,44ππα-表示α即由 cos cos()44ππαα=-+展开求之即可.考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，属基础题；已知三角函数求单调区间：1.求函数单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；2.求形如sin()(0,0)y A x A ωφω=+>>的单调区间时，要视x ωφ+为一个整体，通过解不等式求之.18. 如图，四棱锥ABCD P -的底面为矩形，⊥PA 底面ABCD ，F E ,分别为PC AB ,的中点，AD AB 2=.（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）求证：PC DE ⊥.【答案】(1)(2)均见解析.试题解析： （1）记PD 中点为H ，连接FH AH ,，∴F H ,分别为PC PD ,的中点， ∴CD HF CD HF 21,//=，∵CD AE //，CD AE 21=，∴AE HF //，AE HF =，由此可得，四边形AEFH 为矩形，∴AH EF //.又∵⊂AH 平面PAD 且⊄EF 平面PAD ，所以//EF 平面PAD . （2）∵⊥PA 底面ABCD ，⊂DE 底面ABCD ，∴PA DE ⊥，设a AD AB 22==，由此可知a AE a BC AD ===,2，所以在DAE Rt ∆与ABC Rt ∆中，2==BCAB AEDA ，∴DAE Rt ∆∽ABC Rt ∆，∴B C AA E D ∠=∠，又∵90=∠+∠BCA BAC ，∴ 90=∠+∠AED BAC ，由此可得AC DE ⊥，又∵A PA AC = ，∴⊥DE 平面PAC ，∴PC DE ⊥.考点：1.线面平行的性质与判定；2.线面垂直的性质与判定.【名师点睛】本题考查线面平行的性质与判定、线面垂直的性质与判定以及空间想象能力、逻辑思维能力，属中档题；空间判定线面平行的方法有：1.利用定义，即证明直线和平面无公共点；2.利用线面平行的判定理；3.利用面面平行的性质，即若两个平面平行，一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面；4.利用面面平行的性质定理；5.利用线面垂直的性质定理.19. 已知函数2)2()()(-++=x b e a x x f x，曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程为5-=y .（1）求b a ,的值； （2）求)(x f 的极值. 【答案】（1）21,3-=-=b a ；(2) 5)0()(-==f x f 极大值，2)2()(e f x f -==极小值.试题解析： （1）)2(2)1()('-+++=x b a x e x f x，∵在0=x 处的切线方程为5-=y ，∴54)0(-=+=b a f 且041)0('=-+=b a f ，∴21,3-=-=b a . （2）由（1）可知2)2(21)3()(---=x e x x f x ，∴)1)(2()2()2()('--=---=x x e x x e x x f ，由0)1)(2()('=--=x e x x f ，得0=x 或2=x .当x 变化时，)(x f 与)('x f 的变化情况如下表：∴5)0()(-==f x f 极大值，2)2()(e f x f -==极小值.考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的极值. 20. 如图，圆内接四边形ABCD 中，2,1==AD AB . （1）若7=BD ，求角C ；（2）若4,3==CD BC ，求四边形ABCD 的面积.【答案】(1)3π；(2).试题解析： （1）在ABD ∆中，由余弦定理得，212cos 222-=⋅-+=AB AD BD AB AD A ，又π<<A 0，∴32π=A .因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴3ππ=-=A C . （2）因为A A AD AB AD AB BD cos 45cos 2222-=⋅-+=，且A A CD CB CD CB BD cos 2425)cos(2222+=-⋅-+=π，∴75cos -=A .又π<<A 0，∴762cos 1sin 2=-=A A ， ∴62)sin(21sin 21=-⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆A CD CB A AD AB S S S CBD ABD ABCD π. 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角基本关系；3.圆内接四边形的性质.21. 如图，三棱锥ABC O -中，平面⊥OAC 平面OAB ，OA OC ⊥，且2===OC OB OA ，M 为ABC ∆内部一点，点P 在OM 的延长线上，且PB PA MP OM ==,31.（1）证明：⊥AB 平面POC ；（2）已知45=∠AOB ，求三棱锥PBC A -的体积.【答案】(1)见解析；(2) 22. 【解析】试题分析：(1) 由已知可知⊥OC 平面OAB ，可得OC AB ⊥，所以要证⊥AB 平面POC ，只要证OP AB ⊥即可，取AB 中点为H ，连接HP OH ,，证明⊥AB 平面OHP 证明OP AB ⊥；（2）由MP OM 31=可得ABC O ABC P PBC A V V V ---==3，由13O ABC C OAB OAB V V S OC --∆==⋅求之即可.试题解析： （1）证明：记AB 中点为H ，连接HP OH ,，∵PB PA OB OA ==,，∴HP AB OH AB ⊥⊥,，又∵H HP OH = ，∴⊥AB 平面OHP ，由此可得OP AB ⊥，∵平面⊥OA C 平面OA B 且OA OC ⊥，∴⊥OC 平面OA B ，由此可得OC AB ⊥，∵O OB OP = ，∴⊥AB 平面POC .考点：1.线面垂直的判定与性质；2.多面体的表面积与体积.22. 已知函数ax x x x f -+=2ln 2)(. （1）当5=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线)(x f y =图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率1>k 恒成立，求实数a 的取值范围.(3)设函数()f x 有两个极值点12,x x ，12x x <且2x e >，若12()()f x f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) )(x f 的单调增区间为)21,0(，),2(+∞；单调减区间为)2,21(；(2) 3≤a ； (3)4122--≤ee m .【解析】试题分析：（1）当5=a 时，2(21)(2)'()25(0)x x f x x x x x--=+-=>，分别解不等式()0f x '>与()0f x '<可得函数()f x 的单调递增区间与递减区间；（2）1)()(1212>--x x x f x f 221121[()][()]0()()f x x f x x g x f x x x x ---⇔>⇔=--在),0(+∞上单调递增，由()0g x '≥在),0(+∞恒成立，求a 的范围即可；（3）由12,x x 是方程()0f x '=可得1,22121=⋅=+x x ax x ，12211),(2x x x x a =+=，用1x 表示12()()f x f x -得221211211()()2ln f x f x x x x -=-+，令x x =21，则210e x <<，构造函数x x x x g ln 21)(+-=（210e x <<），求()g x 的导数，研究其单调性得)(x g 在)1,0(2e 上单减，∴41)1()(222--=>e e e g x g ，可求得4122--≤ee m . 试题解析： (1) )0()2)(12(252522)('2>--=+-=-+=x xx x xx x x xx f ，令0)('>x f ，∴2>x 或210<<x ，∴)(x f 的单调增区间为)21,0(，),2(+∞；单调减区间为)2,21(.（3）2222()2x ax f x x a x x-+'=+-=，因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以12,x x 是方程()0f x '=的两个根，即，所以12,x x 是方程2220x ax -+=的两个根， 所以有1,22121=⋅=+x x ax x ，12211),(2x x x x a =+=，∴)ln 2()ln 2()()(2222112121x ax x x ax x x f x f +--+-=-212121212122212221222121212221ln 21ln 2ln2)(2)()ln (ln 2)()(x x x x x x x x x x x x x x x x a x x +-=+-=+---=-+---= 令x x =21，则210e x <<，设x x x x g ln 21)(+-=（210ex <<）， ∴0)1(12211)('22222<--=-+-=+--=xx x x x x x x g ， ∴)(x g 在)1,0(2e 上单减，∴41)1()(222--=>e e e g x g ，故4122--≤ee m .。