2022-2023学年新高考基地学校高三上学期12月第三次大联考 文科数学试题(含答案) 解析版

2022-2023学年度高三文科数学12月月考试卷（答案在最后）考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每小题5分，共60分）1．设集合{}(){}22N8120log 12A x x x B x x =∈-+<=-<∣，∣， 则A B =（ ） A ．{35}x x <<∣ B ．{25}xx <<∣ C ．{}3,4 D ．{}3,4,52．已知0a >，0b >，则“1a b +≤”是“2a b +≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（ ）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米4．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足()32-f x 为偶函数，()21f x -为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的周期为2B ．函数()f x 关于直线=1x -对称C ．函数()f x 关于点()1,0-中心对称D ．()20231f =5．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（ ）A ．269B ．66C ．579D ．3066．在平行四边形ABCD 中，E ､F 分别在边AD ､CD 上，3AE ED =，,DF FC AF =与BE 相交于点G ，记,AB a AD b ==，则=AG （ ）A ．341111a b + B ．631111a b + C ．451111a b + D ．361111a b + 7．一个几何体的三视图如图，它们为一个等腰三角形，两个直角三角形，则这个几何体的外接球表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π8．()()22sin cos 22sin 218f x x x x m π⎛⎫=+--+-- ⎪⎝⎭在[0,]2π上有两个零点1x ，2x ，则12sin()x x +=（ ） A ．55-B ．255-C ．55D ．2559．已知正四棱锥P ABCD -的侧棱长为(0)a a >，则该正四棱锥体积的最大值为（ ） A ．3239a B ．3439a C ．32327a D ．34327a 10．已知ABC 中，设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，ABC 的面积为S ，若()223sin 2sin sin sin 2sin sin B C A A B C +=+，则2Sb 的值为（ ） A ．14B ．12C ．1D ．2 11．已知函数()ln 1e axxf x x ax =+--有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．[]0,1D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．已知sin12cos1a =+，13b =，1tan 3c =，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c a b >>二、填空题（每小题5分，全科免费下载公众号《高中僧课堂》共20分）13．若,x y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为__________.14．已知圆的圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)，则圆的一般方程为________________.15．已知ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，1,120AB AC BAC ∠===，球O 的体积为32π3，若动点P 在球O 的表面上，则点P 到平面ABC 的距离的最大值为__________.16．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题:①四棱锥 11B BED F -的体积恒为定值; ②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ;③对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG ∥平面1EBD ; ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值. 其中真命题的是_____________ . （填写所有正确答案的序号） 三、解答题（17题10分，其余每小题12分，共70分） 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足433n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 3sin sin 22b A a B a B ππ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求B ；(2)设点D 是边AC 的中点，若6a c +=，求BD 的取值范围.19．如图，在几何体ABCDE 中，AD ⊥平面ABE ，//AD BC ，2AD BC =，AB BE =.(1)证明：平面DCE ⊥平面DAE ；(2)若1AB =，2AE =，三棱锥ABCE 的体积为13，求直线CE 与平面DAE 所成角的正弦值. 20．已知函数()sin f x x ax =-，R a ∈．(1)若2a =，求曲线()y f x =在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程； (2)若()f x a ≥在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数a 的取值范围．21．如图，△ABC 是正三角形，在等腰梯形ABEF 中，AB EF ∥，12AF EF BE AB ===.平面ABC ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AF ，CE 的中点，4CE =.(1)证明：//MN 平面ABC ；(2)求三棱锥N －ABC 的体积.22．已知0a >，函数()()1e ln xf x a ax -=-．(1)当12ea =时，讨论()f x 的单调性； (2)若曲线()y f x =与直线1y =有且只有一个公共点，求a .12月月考试卷参考答案1．C 【详解】由28120x x -+<，得()()260x x --<，解得26x <<，所以{}}{N263,4,5A x x =∈<<=∣，由()2log 12x -<，得()22log 1log 4x -<，解得15x <<，所以{}15B xx =<<∣，所以}{{}{}3,4,5153,4A B x x ⋂=⋂<<=∣， 2．A 【详解】充分性：∵0a >，0b >，1a b +≤，212a b +≤≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，∴211222a b =+++⨯=，当且仅当12a b ==时，等号成立，∴.必要性：当1a =，116b =≤1a b +≤不成立，即必要性不成立，所以“1a b +≤”是≤的充分不必要条件．3．D 【详解】解：根据题意，CDG ABG ∽△△，EFH ABH ∽， 所以22,1643AB AB BD BD ==++，解得63AB =． 4．C 【详解】∵()32-f x 为偶函数，∴()()3232f x f x --=-，∴()()22f x f x --=-，故()()2222f x f x ⎡⎤----=---⎣⎦即()()4f x f x =--，∴函数()f x 的图象关于直线2x =-对称.∵()21f x -为奇函数，∴()()2121f x f x --=--，∴()()11f x f x -=---，所以函数的图象关于点()1,0-对称，故B 错误，C 正确； 由()()4f x f x =--及()()11f x f x -=---知，()()()42f x f x f x =--=---， ∴()()24f f x x -=--，∴()()4244f f x x =-++--，即()()2=-+f x f x ， ∴()()24f x f x +=-+，故()()4f x f x =+∴函数()f x 的周期为4，A 错误，()()()20235064110f f f =⨯-=-=，故D 错误.5．A 【详解】如图，在棱1CC 上取一点F ，使得14CC CF=，取1CC 的中点M ，连接BM ,1,DF A F ，由于,M E 分别是棱11,CC BB 的中点，所以11,//BE C M BE C M =，故四边形1BMC E为平行四边形，进而1//C E BM,又因为,D F 是,BC CM 的中点，所以//DF BM ,所以1//DF C E ，则1A DF ∠或其补角是异面直线1A D 与1C E 所成的角.设2AB =，则11,3,CF C F AD CD ====从而11DF A D A F ===，故13181326cos 92332A DF ∠+-==⨯⨯,故异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是269.6．D 【详解】过点F 作FN 平行于BC ，交BE 于点M ， 因为DF FC =，则F 为DC 的中点，所以MNAE 且11332248MN AE AD AD ==⨯=， 因为NF AD =，所以3588MF NF MN AD AD AD =-=-=，由AEGFMG 可得：AE AGFM FG=，所以364558ADAG AE FG FM AD ===， 因为666136()()11111121111AG AF AD DF AD AB AB AD ==+=+=+， 所以361111AG a b =+，7．C 【详解】由三视图还原原几何体的直观图如下图所示：可以该几何体为三棱锥A BCD -，其中AB ⊥平面BCD ，2AB =，23323BD CD BC ==+==，所以，BCD △为等边三角形，如下图所示：圆柱12O O 的底面圆直径为2r ，母线长为h ，则12O O 的中点O 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则O 为圆柱12O O 的外接球球心，且()2222R r h +可将三棱锥A BCD -置于12O O 内，使得BCD △的外接圆为圆2O ，其中圆2O 的直径为2324sin 60r ==，故三棱锥A BCD -的外接球直径为()222225R r AB =+=，所以，该几何体的外接球的表面积为24π20πS R ==.8．D 【详解】1cos 24()1sin 222212x f x x m π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+-⨯+--1sin 222cos 2214x x m π⎛⎫=+-+-+-- ⎪⎝⎭sin 22cos 24x x m π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭22sin 22cos 2sin 222x x x m ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2cos2x x m =+- 215sin 2cos 255x x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭5sin(2)x m ϕ=+-其中21cos ,sin 55ϕϕ==,不妨设0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为12,x x 是()f x 的两个零点,所以()()125sin 25sin 2x m x m ϕϕ+-=+- 即()()12sin 2sin 2x x ϕϕ+=+结合12,,x x ϕ的范围知1222x x ϕϕπ+++= 所以()1222x x ϕπ++=,即122x x πϕ+=-所以()1225sin sin cos 25x x πϕϕ⎛⎫+=-== ⎪⎝⎭9．D【详解】如图，连结,AC BD 交于O 点，连结PO .根据正四棱锥的性质，可知PO ⊥平面ABCD . 设底面正方形边长为m ，高为PO h =，则2AC m =，2OC =. 在Rt POC △中，有222OP OC PC +=，即22212h m a +=，则22222m a h =-.则21133P ABCD ABCD V S h m h -=⨯⋅=()221223a h h =⨯-322233h a h =-+()0h a <<.设()322233V h h a h =-+，则()22223V h h a '=-+，令()0V h '=，解得33h a =±（舍去负值）.又当303h a <<时，()0V h '>；当33h a >时，()0V h '<. 所以，当33h a =时，()322233V h h a h =-+有唯一极大值，也是最大值34327a .10．B 【详解】已知()2223sin 2sin sin sin 2sin sin B C A A B C +=+⋅由正弦定理可知：222322sin b c a bc A +=+，222322sin b c a bc A ∴+-=，整理得：()2222222sin b c a b c bc A +-++=，两边同除2bc 得：222222sin 22b c a b c A bc bc+-++=， 根据余弦定理得：cos sin 2bc A A c b ++=，即sin cos 2sin 24b c A A A c b π⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭， 0b >，0c >，2222bc b cc b c b∴+≥⋅=，当且仅当2b c c b =，即2c b =时等号成立.又sin cos 2sin 224b c A A A c b π⎛⎫+=-=-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当34A π=时，等号成立. 综上所述：22bc c b +≥且22b c c b +≤，故得：22b c c b+=，此时2c b =且34A π=， 132sin 244S bc bc π∴==，22222124442S bc c b b b ∴=⋅=⋅=⋅=. 11．A 【详解】由题意得()ln ln 1e ln 1,0e x ax ax xf x x ax x ax x -=+--=+--> ,令()e 1t g t t =+- ，()e 10tg t '=+>，该函数在R 上为单调增函数，且(0)0g = ，故函数()ln 1e axxf x x ax =+--有两个不同的零点，即ln t x ax =-有两个不同的零点，令ln 0,(0)t x ax x =-=>即直线y a =与ln (),(0)xh x x x=>的图象有两个不同交点， 又21ln ()xh x x -'=，当0e x <<时，()0,()h x h x >'递增，当e x >时，()0,()h x h x <'递减， 则max 1()e h x =，当0,0x x >→时，ln ()xh x x=→-∞， 作出其图象如图：由图象可知直线y a =与ln (),(0)x h x x x =>的图象有两个不同交点，需有10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12．A 【详解】设()sin 2cos 3x x g x x =-+ ，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 时，有()()()()2'22cos 12cos 11032cos 32cos x x g x x x -+=-=-≤++ ，当且仅当0x = 时，等号成立，所以()g x 是减函数，()()100g g =＜ ， 即sin11sin110,2cos132cos13-++＜＜ ；当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，设()()'2sin 1tan ,10cos cos x f x x x x f x x x=-=-=-＞ ， ()f x 单调递增，()103f f ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭＞ ，即1111tan 0,tan 3333-＞＞ ，即c b a ＞＞ ；13．8【详解】作出可行域，如图OAB 内部（含边界），作直线:230l x y +=，在23z x y =+中，3z是直线的纵截距，向上平移该直线，z 增大，平移直线l ，当它过点(1,2)A 时，238z x y =+=为最大值．14．x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0【详解】方法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得:()()()()2222222325230a b r a b r a b ⎧-+--=⎪⎪--+--=⎨⎪--=⎪⎩,解得：21,2,10,a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10， 即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.方法二：线段AB 的中点坐标为2235,22---⎛⎫⎪⎝⎭，即()0,4-， 直线AB 的斜率为531222-+=--， 所以线段AB 的垂直平分线的斜率为-2，所以线段AB 的垂直平分线方程为42y x +=-，即2x ＋y ＋4＝0，由几何性质可知：线段AB 的垂直平分线与230x y --=的交点为圆心，联立240,230,x y x y ++=⎧⎨--=⎩，得交点坐标()1,2O --， 又点O 到点A 的距离()()22122310d =--+-+=，即半径为10，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10， 即x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. 故答案为：x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0.15．23+【详解】解：因为1,120AB AC BAC ∠===， 所以22211211cos1203BC =+-⨯⨯⨯=，即3BC =.设ABC 的外接圆的圆心为1,O ABC 的外接圆的半径为r ，球O 的半径为R ，则3221,sin sin120BC r r r BAC ∠=⇒=⇒=332π4π233R R =⇒=，因为1OO ⊥平面ABC ，所以11OO O A ⊥，则2213OO R r =-=.延长1O O 与球O 交于点1P ，当点P 与点1P 重合时，点P 到平面ABC 的距离取得最大值23+. 16．①②④【详解】对于①， 由111111B BED E B B F B D F B D V V V ---=+，11CC AA ∥∥平面11BB D ，可得E F ,到平面11BB D 的距离为定值， 所以四棱锥11B BED F -的体积为定值，故①正确;对于②，111BB B D =，得对角面11BB D D 为正方形，所以11B D BD ⊥， 易知DC ⊥平面11BCC B ，而BE ⊂平面11BCC B ， 所以BE DC ⊥，若1BE B C ⊥， 1B CDC C =，1,B C DC ⊂平面1B CD ，所以BE ⊥平面1B CD ，1B D ⊂面1B CD ，所以1B D BE ⊥， 1BD BE B =，1,BD BE ⊂平面1BD E ，所以有1B D ⊥平面1BD E ，故②正确;对于③，可作出过CG 的平面与1EBD 平行，如图所示：当点E 与棱1CC 的中点O 重合时，作1DD 的中点H ，连接,,AH AC CH ， 易知1CH OD ∥，1OD ⊂平面1OBD ，CH ⊄平面1OBD ， 所以CH ∥平面1OBD ，同理AH ∥平面1OBD ，AH CH H =，,AH CH ⊂平面ACH ，所以平面ACH ∥平面1OBD ，易知：当点E 在线段1OC 内时，对应的点G 在棱AD 上， 而当点E 在线段OC 内时，对应的点G 在棱1AA 上，故③错误. 对于④，由面面平行的性质定理可得四边形1BED F 为平行四边形， 所以四边形1BED F 的周长12()L BE D E =+， 将矩形11BCC B 绕棱1CC 向内旋转90度，使矩形11BCC B 和矩形11DCC D 共面，连接1BD 交1CC 于点E ，如下图所示： 此时11BE D E BD +=，四边形1BED F 的周长取得最小值，故存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故④正确. 综上：①②④正确. 故答案为：①②④.17．【详解】（1）433n n S a +=①，当1n >时，11433n n S a --+=②，①-②得1433n n n a a a -=-，即13n n a a -=-，又1n =时，13a =-， ∴{}n a 为首项3-，公比3-的等比数列，故()133n n a -=-⨯-，∴()3nn a =-（2）()3nn b n =- ， ()()()23323333nn T n =-+⨯-+⨯-++⨯-③()()()()23413323333n n T n +-=-+⨯-+⨯-++⨯-④③-④得()()()()()231433333nn n T n +=-+-+-++---()()11334313n n n T n ++---=--+∴()()141331616n n n T ++=---18．【详解】（1）在ABC 中，依题意有2sin 3cos sin b A a B a B -=，由正弦定理得：2sin sin 3sin cos sin sin B A A B A B -=，而0A π<<，即sin 0A >，则有sin 3cos B B =，即tan 3B =，而0B π<<，所以3B π=.（2）在ABC 中，由（1）知，3B π=，又6a c +=，点D 是边AC 的中点，则1()2BD BA BC =+,于是得22222111||()22cos 2223BD BA BC BA BC BA BC a c ac π=+=++⋅=++ 211()3622a c ac ac =+-=-，显然20()92a c ac +<≤=，当且仅当3a c ==时取等号， 因此273636ac ≤-<，33136322ac ≤-<，即33||32BD ≤<， 所以BD 的取值范围是33[,3)2. 19．【详解】（1）若,,F G H 分别为,,DE AE AD 的中点，连接,,,,BG CF FG CH FH ，所以//FG AD 且12FG AD =，又//AD BC ，2AD BC =，故//FG BC 、FG BC =，所以BCFG 为平行四边形，故//CF BG ，且//BC AH 、BC AH =，所以ABCH 为平行四边形，故CH AB BE ==且//CH AB ，而DH AH BC ==，因为AD ⊥平面ABE ，则BC ⊥平面ABE ，,AB BE ⊂平面ABE ，所以AD AB ⊥，即AD CH ⊥，BC BE ⊥，在Rt ,Rt DHC CBE 中，2222CD DH CH BC BE CE ++， 故△DCE 为等腰三角形，则CF DE ⊥，FG ⊥平面ABE ，BG ⊂平面ABE ，故FG BG ⊥，所以FG CF ⊥，FG DE F =，,FG DE ⊂面DAE ，故CF ⊥面DAE ，而CF ⊂面DCE ，所以面DAE ⊥面DCE .（2）由（1）知：CF ⊥面DAE ，故直线CE 与平面DAE 所成角的平面角为CEF ∠， 所以sin CFCEF CE∠=，因为1AB BE ==，AE =222AB BE AE +=，即AB BE ⊥， 所以12ABE S =△，且12CF BG AE ===， 又BC ⊥平面ABE ，故111323C ABE V BC -=⨯⨯=，则2BC =，而CE =所以sin CEF ∠=CE 与平面DAE20．【详解】（1）解：当2a =时，()sin 2f x x x =-，所以1sin 266623f ππππ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭，()cos 2f x x '=-，所以cos 2266f ππ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，故所求切线方程为12y =+．（2）解：因为()f x a ≥()sin sin 11x x a x a x ⇔≥+⇔≤+在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 令()sin 1x g x x =+，5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2cos cos sin 1x x x x g x x +-'=+， 令()cos cos sin h x x x x x =+-，则()sin sin 0h x x x x '=--<，所以()h x 在5,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，因为1066222h ππ⎛⎫=⋅+-> ⎪⎝⎭，5510662h ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理知，存在唯一05,66x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =，所以()g x 在0,6x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在05,6x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 5333min ,min ,6666565g x g g πππππ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎩⎭，从而365a π≤+． 21．【详解】（1）取CF 的中点D ，连接DM ，DN ，∵M ，N 分别是AF ，CE 的中点，∴DM AC ∥，DN EF ∥， 又∵DM ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴DM ∥平面ABC . 又EF AB ∥，∴DN AB ∥，同理可得， DN ∥平面ABC . ∵DM ⊂平面MND ，DN ⊂平面MND ，DMDN D =，∴平面MND ∥平面ABC .∵MN ⊂平面MND ，∴//MN 平面ABC .（2）取AB 的中点O ，连接OC ，OE .由已知得OA ∥EF 且OA =EF ，∴OAFE 是平行四边形，∴OE ∥AF 且OE =AF ∵△ABC 是正三角形，∴OC ⊥AB ，∵平面ABC ⊥平面ABEF ，平面ABC ⋂平面ABEF ＝AB ，∴OC ⊥平面ABEF ， 又OE ⊂平面ABEF ，∴OC ⊥OE .设12AF EF EB AB a ====，3OC a =， 在Rt △COE 中，由222OC OE CE +=，解得2a =，即122AF EF EB AB ====. 由题意∠F AB ＝60°，M 到AB 的距离3sin 602h AM =︒=即为M 到平面ABC 的距离 又//MN 平面ABC ，∴111342323322N ABC M ABC ABC V V S h --==⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=△.22．【详解】（1）解：当12e a =时，()1e ln 2e 2ex xf x -=-，函数()f x 的定义域为()0,∞+， ()12e 1e 12e 2x x f x x x --'=-=-，令()2e 12x h x x -=-，其中0x >，则()22e 102x h x x-'=+>，所以，函数()f x '在()0,∞+上单调递增，且()20f '=．所以当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，当()2,x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增．因此，当12ea =时，函数()f x 的减区间为()0,2，增区间为()2,+∞. （2）解：依题意，0a >，()f x 的定义域为()0,∞+，()111e 1e x x axf x a x x---'=-=. 令()()1e10x g x ax a -=->，()()111e e 1e 0x x x g x a ax a x ---'=+=+>，所以，()g x 在()0,∞+上单调递增，()010g =-<，()111111e 11e 1110aa g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=+-=+->+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故存在010,1x a ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，使得()00g x =.当()00,x x ∈时，()0g x <，则()0f x '<，此时()f x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，则0fx，此时()f x 单调递增，当0x x =时，()f x 取极小值，则0x x =也是函数()f x 唯一的极值点，由()00g x =得010e1x ax -=，即011ex a x -=，① 等式①的两边同时取自然对数，则有00ln 1ln a x x +-=-，则()00ln 1ax x =-+．②由①②得()()0100001e ln 111x f x a ax x x -=-=+-≥=， 当且仅当01x =时，等号成立．当01x =时函数()f x 取最小值1，函数()f x 的图象过点()1,1，函数与1y =有且只有一个交点．由()11f =，可得ln 1a a -=，即ln 10a a --=， 令()ln 1p a a a =--，其中0a >，则()111a p a a a-'=-=.当01a <<时，()0p a '<，此时函数()p a 单调递减，当1a >时，()0p a '>，此时函数()p a 单调递增，所以，()()min 10p a p ==，因此，1a =. 所以曲线()y f x =与直线1y =有且只有一个交点时，1a =。

泸县2020级高三（上）第三次学月考试数 学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表． （ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好 不良好 合计 男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（ ）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >， 所以{|3A x x =<-或2}x >， 所以{|25}A B x x ⋂=<≤， 故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（ ） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ． 【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ． 【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-． 故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（ ） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示， 则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =． 故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数． 反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件． 故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（ ）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-， 当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-， 所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（ ） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（ ） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>， 故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增， 因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ． 【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+． 又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，， 解得π2πZ 6k k φ=+∈，． 由π||2φ<，得π6φ=， 所以()π2sin(26f x x =+）， 所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，． 由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >， 即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈， 解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈， 此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈， 解得()πππZ 3k x k k <<+∈， 此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好 不良好 合计 男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯， 所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=， 当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-， 由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->， 所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点， 根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-， 若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =， 当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证； （2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=， 所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立， 等价于1219x x -++≥， 令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩， 当1x ≥时，393x x ≥⇒≥， 当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去， 当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。

2022-2023学年陕西省部分重点高中高三上学期12月联考文科数学试题及答案解析第I 卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一符合题目要求的.1.已知集合{20},{10}A x x B x x =->=+>∣∣，则A B ⋃=（）A.{2}xx <∣ B.{1}xx >-∣ C.{12}xx -<<∣ D.R2.()()32i 2i --=（）A.47i- B.87i- C.47i+ D.87i+3.若函数()()⎩⎨⎧>+≤+=0,3log 0,122x x x x x f ，则()()2f f -=（）A.1B.2C.3D.44.已知向量()(),2,1,a m b m == ，若a 与b反向共线，则m =（）A.C.2- D.25.《三字经》中有一句“玉不琢，不成器”，其中“打磨玉石”是“成为器物”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-103203y y x y x ，则1-+=y x z 的最大值为（）A.1- B.0C.1D.27.函数()2cos x x f x x-=的图象大致为（）A.B.C.D.8.已知3311log ,,cos222a b c ===，则（）A.a b c << B.c a b<< C.c b a<< D.b c a<<9.若函数32()3f x x bx x =++在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则b 的取值范围是（）A.()5,∞-+ B.()3,∞-+ C.(),5∞-- D.(),3∞--10.在各项不全为零的等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且()99900,90k S S S k ==≠，则正整数k 的值为（）A.11B.10C.9D.811.若定义域为R 的函数()f x 满足()2f x +为偶函数，且对任意[)12,2,x x ∞∈+，均有()()21210f x f x x x ->-，则关于x 的不等式()()7f x f <的解集为（）A.()3,7- B.()0,7 C.()3,5-D .()1,5-12.已知函数()cos2f x x m x =-，若对任意的(),,22k x k Z f x m π≠∈=有解，则m 的取值范围是（）A.[)2,∞+ B.(]0,2 C.][(),22,∞∞--⋃+ D.[)(]2,00,2-⋃第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.在等比数列{}n a 中，372,4a a =-=-，则5a =__________.14.函数()8sin 22f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的极值点为0x ，则0tan 4x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.15.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图2），若P 在弧BC 的中点，则()PA PB PO +⋅=___________.16.函数()2sin2sin f x x x =的值域是__________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知函数()21cos sin cos 2f x x x x =+-.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()f x 的图象向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求不等式()0≥x g 的解集.18.（12分）已知一次函数()f x 满足()()2f f x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的()()0,,x af x ∞∈+>恒成立，求a 的取值范围.19.（12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为111,,,tan tan sin a b c A C B+=.（1）证明：2b ac =，（2）求角B 的最大值并说明此时ABC ∆的形状.20.（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n S a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：132********1111113n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++< .21.（12分）已知函数()32121f x ax x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时，求()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值.22.（12分）已知函数()32ln 13x f x x x x =-+-.（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程；（2）若()f x 在点A 处的切线为1l ，函数()xxg x e e -=-在点B 处的切线为212,l l l ∥，求直线AB 的方程.答案解析1.D 由题意可得{2},{1}A xx B x x =<=>-∣∣，则A B ⋃=R .2.A ()()32i 2i 47i --=-.3.C由题意可得()22(2)15f -=-+=，则()()()225log 83ff f -===.4.A 由题意得22m =，得m =，又a 与b反向共线，故m =.5.B“打磨玉石”不一定“成为器物”，故充分性不成立，但“成为器物”一定要“打磨玉石”，故必要性成立，所以“打磨玉石”是“成为器物”的必要不充分条件.6.D由题画出可行域（图略）知，当直线:10l x y +-=平移到过点()0,3时，z 取得最大值，最大值为2.7.B 根据定义域排除C ，D ，()210f πππ-=<，排除A.故选B.8.C 因为10130211331,01,cos2022a b c ⎛⎫⎛⎫=>=<=<==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以c b a <<.9.A由题可知()23230f x x bx =++>'在1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，即132x b x ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭在1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，所以13323b ⎛⎫+>-⎪⎝⎭，解得5b >-，所以b 的取值范围是()5,∞-+.10.C2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以n S 可看成关于n 的二次函数，由990S =可知二次函数图象的对称轴为992x =，所以9099k +=，解得9k =.11.A由题可知()f x 的图象关于直线2x =对称，且在[)2,∞+上单调递增.令()()2g x f x =+，则()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减.由()()7f x f <，可得()()25g x g -<，所以25x -<，解得37x -<<.12.D由题意可得22cos cos223cos sin x x x m x x x==++.因为,2k x k π≠∈Z ，所以cos 0,tan 0x x ≠≠，所以22243sin cos 43tan 4333cos sin 3tan tan tan x x xm x x x x x===+++.当tan 0x >时，32tan tan 3≥+x x，则2tan tan 3340≤+<x x，即20≤<m ，当tan 0x <时，32tan tan 3-≤+x x，则0tan tan 3342<+≤-x x，即02<≤-m .综上，[)(]2,00,2m ∈-⋃13.-由题可得2537a a a =⋅，且253a a q =⋅，所以5a =-.14.3-由题意得()()8cos cos 80f x x x x x =-+=-='，因为()f x 的极值点为0x，所以000sin tan 2x x x ===，则000tan 1tan 341tan x x x π+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭.15.8取AB 的中点M （图略），则()2228PA PB PO PM PO PO +⋅=⋅== .16.,99⎡-⎢⎣⎦()()2234sin cos 4cos 1cos 4cos 4cos f x x x x x x x ==-=-+.设[]cos 1,1t x =∈-，则()344y g t t t ==-+，故()()22124431g t t t =-+=--'.由()0g t '>，得33t -<<；由()0g t '<，得331-<<-t 或133<<t .则()g t在1,3⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭和,13⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.因为()()110,,3939g g g g ⎛⎫⎛⎫-==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以(),99g t ⎡∈-⎢⎣⎦，即()f x 的值域是,99⎡-⎢⎣⎦.17.解：（1）()21cos sin cos 2f x x x x =+-11cos2sin222x x =+2sin 224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()f x 的最小正周期22T ππ==.（2）()3sin 2sin 224424g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()0≥x g ，所以ππππ+≤+≤k x k 24322，Z k ∈解得883ππππ+≤≤-k x k ，Z k ∈.故不等式()0≥x g 的解集为()3,88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .18.解：（1）设()f x kx b =+，则()()()()22f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=+，所以21,2,k kb b ⎧=⎨+=⎩解得1,1,k b =⎧⎨=⎩所以()f x 的解析式为()1f x x =+.（2）由()()0,,x af x ∞∈+>，可得1a x >+，21111≤+=+xx x x ，当且仅当1x =时，1x +取得最大值，所以12a >，即a 的取值范围为1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.19.（1）证明：因为111tan tan sin A C B +=，所以cos cos 1sin sin sin A C A C B+=，所以cos sin sin cos 1sin sin sin A C A C A C B +=，所以()sin 1sin sin sin A C A C B+=，所以2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =.（2）解：2222221cos 2222a cb ac ac ac ac B ac ac ac +-+--=== ，当且仅当a b =时，cos B 取得最小值12，所以角B 取得最大值3π，此时ABC 为等边三角形.20.（1）解：令1n =，则211122S a a =+，又0na >，得112a =.当2n时，因为222n n n S a a =+，所以211122n n n S a a ---=+，两式相减得2211222n n n n n a a a a a --=-+-，即()()112210n n n n a a a a --+--=.又因为0na >，所以112n n a a --=，则{}n a 是公差为12的等差数列，故()111222n na n =+-⨯=.（2）证明：由（1）可得()21411222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以132********111111n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++ 1111111111111121324354657112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 111121212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭因为*n ∈N ，所以11111221312122n n ⎛⎫⎛⎫+--<+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因此132********1111113n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++< .21.解：（1）()()232438f x ax x x ax =='--.当0a =时，()f x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减.当0a >时，若()80,,0x f x a ⎛⎫⎪⎭'∈< ⎝；若()()8,0,,0x f x a ∞∞⎛⎫∈-⋃+⎝'> ⎪⎭.所以()f x 在80,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()8,0,,a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增.当0a <时，若()()8,0,,0x f x a ∞∞⎛⎫∈-⋃+< ⎪'⎝⎭；若()8,0,0x f x a ⎛⎫⎪⎭'∈> ⎝.所以()f x 在8,0a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()8,,0,a ∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当1a =时，由（1）知，()f x 在(]0,1上单调递减，在[)1,0-上单调递增，所以()f x 在[]1,1-上的最大值为()01f =.因为()()112,110f f -=-=-，所以()f x 在[]1,1-上的最小值为12-.22.解：（1）()11101133f =-+-=-，()222ln 212ln 3f x x x x x =+-+=-+'，则()12f '=，所以曲线()f x 在1x =处的切线方程为()1213y x +=-，即723y x =-.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，令()22ln 3h x x x =-+，则()()()21122x x h x x x x+-=-='.当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<.所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()22ln 3h x x x =-+在1x =时取得最大值2，即()2≤'x f .()22=⋅≥+='--x x x x e e e e x g ，当且仅当0x =时，等号成立，取得最小值2.因为12l l ∥，所以()()122f x g x ''==，得121,0x x ==.即()11,,0,03A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为13y x =-.。

绝密★启用前2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来12月联考 文科数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}1,3,5,7,9,{25}M N xx ==-<<∣，则M N ⋂=（ ） A.{}1,3 B.{}1,3,5 C.{}1,2,3,4 D.{}1,2,5,7,9 2.设()12i 2i a b ++=-，其中,a b 为实数，则（ ） A.1,1a b ==- B.1,1a b == C.1,1a b =-=- D.1,1a b =-=3.2022年5月，居民消费价格走势为113.52点，同比增长率为2.01%，增速高于平均值1.105%，增速乐观.下表统计了近6年的消费价格走势，令2015年12月时，0x =；2016年6月时，1x =，依次类推，得到x与居民消费价格y （点）的线性回归方程为ˆ99.5 1.1yx =+.由此可估计，2022年6月份的消费价格约为（ ）A.113.5点B.113.8点C.117.3点D.119.1点 4.设向量,a b的夹角的余弦值为4，且2,25a b ==，则()2a b b -⋅=（ ） A.3 B.4 C.10- D.6 5.函数()22sin x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像大致为（ ） A. B.C. D.6.若曲线()()2cos f x x k x =+在点()()π,πf 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则k =（）B.± C.2±D.2π7.已知数列{}n a 中，12a =，()*122n n n a a n a +=∈+N ，则数列1n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和10S =（ ）A.1611 B.1811C.2011 D.28.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A.463 B.212 C.493D.129.已知椭圆222:1(0)4x y C b b +=>，直线:l y x =+C 相切，则椭圆的离心率为（ ）A.13 B.12 D.210.在正方体1111ABCD A B C D -中，已知17AA =，点O 在棱1AA 上，且4AO =，则正方体表面上到点O 距离为5的点的轨迹的总长度为（ ）A.15π2 B.(4π+ C.17π2D.(4π+ 11.已知函数()()πcos 2sin 206f x x x ωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个零点，则ω的取值范围是（ ） A.25,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.25,33⎛⎫⎪⎝⎭ C.17,66⎛⎫ ⎪⎝⎭D.17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12.柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四而体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体.如图，在一个棱长为4dm 的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为（ ）3 3 3 3 二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若,x y 满足约束条件2,2,24,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩则3z x y =-的最大值是__________.14.设点M 在直线10x y +-=上，M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，则M 的半径为__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足24n n S a n =+-，则5a =__________.16.已知直线l 经过双曲线22:13y C x -=的右焦点F ，并与双曲线C 的右支交于,A B 两点，且2FA FB =.若点A 关于原点的对称点为P ，则PAB 的面积为__________.三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，全科免费下载公众号《高中僧课堂》考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）国内某奶茶店以茶饮和甜品为主打，运用复合创新思维顺势推出最新一代立体复合型餐饮业态，在武汉､重庆､南京都有分布，该公司现对两款畅销茶饮进行推广调查，得到下面的列联表；（1）根据上表，分别估计男､女购买这款茶饮，选购A 款的概率； （2）能否有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关？参考公式：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：)2n k0.152.07218.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知122AD AA AB ===，E 为BC 中点，连接1D E ，F 为线段1D E 上的一点，且12D F EF =.（1）证明：DF ⊥平面1AD E ； （2）求三棱锥1D ADD F -的体积. 19.（本小题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 1cos b B a A+=. （1）证明：2B A =； （2）若3(02),22b a ac =<<=，求,a b 的值. 20.（本小题满分12分） 已知函数()21ln 2f x a x ax =+.其中0a ≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设0a <，如果对任意的1x ，()20,x ∈+∞，()()12122f x f x x x -≥-，求实数a 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，过动点,2p M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭作抛物线的两条切线，切点为,P Q ，直线PQ 交x 轴于点A ，且当0m =时，2PA =. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）证明：点A 为定点，并求出其坐标.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是,2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 分别交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()261f x x x =---. （1）求不等式()f x x ≥的解集；（2）若函数()31y f x x =+-的最小值为m ，正实数a ，b 满足12m a b+=，求2a b +的最小值. 2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来12月联考·文科数学 参考答案､提示及评分细则1.【答案】A 【解析】{}{1,3,5,7,9},{|25},1,3M N x x M N ==-<<∴⋂=.故选A.2.【答案】D【解析】()0,12i 2i,22,a b a b a +=⎧++=-∴⎨=-⎩解得1,1.a b =-⎧⎨=⎩故选D.3.【答案】B【解析】把13x =代入，得99.5 1.113113.8y =+⨯=.故选B. 4.【答案】C【解析】由题意可得()2252255,20,22104a b b a b b a b b ⋅=⨯>==∴-⋅=⋅-=-.故选C. 5.【答案】A【解析】由()()22sin xxf x x -=-，可知()()()()()22sin 22sin xx x x f x x x f x ---=--=-=，函数是偶函数，排除选项C.又()00f =，ππ22π2202f -⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，排除选项B ，D.故A.6.【答案】B【解析】∵()()2cos f x x k x =+，∵()()2cos 2sin f x x x k x '=-+，∵()π2f '=-. ∵()()π2πf k =-+，∵切线方程为()()2π2πy k x ++=--，可化为2y x k =--. 令0x =，得y k =-；令0y =，得2k x =-.∵1222k k ⨯-⨯-=，解得k =±.故选B. 7.【答案】C 【解析】∵122n n n a a a +=+，∵1211122n n n n a a a a ++==+，∵11112n n a a +-=. ∵数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为12的等差数列，∵()1111222n n n a =+-⨯=，∵2na n =. ∵()2112111n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， ∵数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和1011111202122223101111S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C. 8.【答案】D【解析】由三视图还原该几何体，得几何体如图所示.则该几何体的体积为1422421122⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选D.9.【答案】B【解析】联立2221,4x y b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()22242840b x b +++-=.()422Δ16470b b b ∴=+-=，即22223. 1.b c a b =∴=-=∴离心率为12c a =.故选B. 10.【答案】C【解析】依题意，∵4OA =，17AA =，5OE OF ==，∵13AE OA ==，14A F OA ==， 且OE OF ⊥.在平面11AA B B 内满足条件的点的轨迹为EF ，长度为5π2； 同理，在平面11AA D D 内满足条件的点轨迹长度为5π2； 在平面1111A B C D 内满足条件的点的轨迹为以1A 为圆心，1A F 为半径的圆弧，长度为2π； 同理，在平面ABCD 内满足条件的点的轨迹为以A 为圆心，AE 为半径的圆弧，长度为3π2. 故轨迹的总长度为17π2.故选C. 11.【答案】D【解析】()πππcos 2sin 2cos 2sin 2cos cos 2sin 666f x x x x x x ωωωω⎛⎫=-+=-⋅-⋅ ⎪⎝⎭1cos 222x x ωω= πcos 23x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2,π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦.∵()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有且仅有1个零点，∵ππ3ππ232ω≤+<，∵1766ω≤<.故选D. 12.【答案】C【解析】如图，设该圆柱的底面半径为r BE =，高2h BC =. 由题可知，2CD =，AD =AC =又AB BEAC CD=，2hr =，)2h r =-. ∵圆柱的体积()22V π2r h rr ==⋅-，()243V r r '=-.可知，当40,3r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0V '>；当4,23r ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，V 0'<. ∵当43r =时，max 27V =. 故选：C13.【答案】2【解析】作出可行域如图所示，则由图可知，当(),x y 取点()2,0时，z 取最大值为2.14.【答案】1或5【解析】由点M 在直线10x y +-=上，设(),1M a a -. 又M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，∴半径r a ==0a <.解得1a =-或5a =-.则M 的半径为1或5.15.【答案】33 【解析】1124,23n n n n S a n S a n ++=+-∴=+-.两式相减，得111221,12n n n n n a a a a a +++=-+∴+=.()111121, 2.1n n n n a a a a ++-∴-=-∴=-又当1n =时，1123a a =-，即112,a -=∴数列{}1n a -是以2为首项，2为公比的等比数列.12n n a ∴-=，即552 1.2133n n a a =+∴=+=.16.【解析】设直线l 的方程为()()11222,,,,x my A x y B x y =+.联立221,32,y x x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩化简，得()22121222129311290.,1331m m y my y y y y m m -++=∴+==--. 2FA FB =，即122y y =-，则22222129,21313m y y m m -==--，即222212912,131335m m m m⎛⎫=∴= ⎪--⎝⎭.12222134PAB OABSSy y m ∴==-===-17.【答案】（1）男性：45；女性：35（2）有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关 【解析】（1）男性中，购买A 款茶饮的概率为80480205=+，.女性中，购买A 款茶饮的概率为60360405=+；（2）由题意，得22200(80402060)2009.52381406010010021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，9.52386.635,>∴有99%的把握认为选购哪款茶饮与性别有关.18.【答案】（1）略（2）49【解析】（1）证明：连接DE .依题意，可知DE AE ==∵222AD DE AE =+，即AE DE ⊥，∵1D D ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∵1D D AE ⊥.又1D D DE D ⋂=，∵1D D ⊂平面1D DE ，DE ⊂平面1D DE ，AE ⊥平面1D DE . ∵DF ⊂平面1D DE ，∵AE DF ⊥，同理，可知1D E ==EF =， ∵1ED ED EF ED=，即1DEF D ED △∽△，∵190DFE D DE ∠=∠=︒.∵1DF D E ⊥. ∵AE ⊂平面1AD E ，1D E ⊂平面1AD E ，且1AE D E E ⋂=，∵DF ⊥平面1AD E ；（2）由题可知111-? 2 3D AD FF ADD E ADD V V V --===三椎三椎三椎棱棱棱 21142213329⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭19.【答案】（1）略（2）812,55a b == 【解析】（1）证明：由正弦定理有sin cos 1sin cos B B A A +=， 可得sin cos sin cos sin B A A B A -=，.可得()sin sin B A A -=，又由0,0A B ππ<<<<，可得B A ππ-<-<，由sin 0A >，可得0B A ->，有0B A π<-<，可得B A A -=或B A A π-+=（舍去），可得2B A =；（2）由2B A =，有sin sin2B A =，可得sin 2sin cos B A A =，有2cos b a A =，又由32b a =，可得3cos 4A =， 在ABC 中，2222cos a b c bc A =+-，有2299442a a a =+-，解得85a =或2a =（舍去）， 可得8,512.5ab ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩20.【答案】（1）详解见解析（2）(],1-∞-【解析】（1）()()21a x a f x ax x x+'=+=，当0a >时，()0f x '>，()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a <时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减；（2）假设12x x ≥，而0a <，由（1）知，()f x 在()0,+∞上单调递减，∵()()12f x f x ≤， ∵()()12122f x f x x x -≥-化简为()()112222f x x f x x +≤+， 令()()2g x f x x =+，则()g x 在()0,+∞上单调递减，∵()20a g x ax x '=++≤，即()22222121211111x x x x a x x x--+-≤=-=-+++， ∵1a ≤-，故实数a 的取值范围是(],1-∞-.21.【答案】（1）24y x =（2）点A 为定点，其坐标为()1,0，证明略 【解析】（1）设过点P 且与抛物线相切的直线为():2p l x k y m =--， 联立()22,,2y px p x k y m ⎧=⎪⎨=--⎪⎩化简得22220y pky pkm p -++=， ()22Δ(2)420pk pkm p ∴=-⨯+=，化简得220pk km p --=， 当0m =时，1k =±.此时， 2.1,22p PA MA PB p ===∴==， ∴抛物线C 的标准方程为24y x =；（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PM 的斜率为PM k ，直线QM 的斜率为QM k ， 由（1）可知，122,2,,1PM QM PM QM PM QM y k y k k k m k k ==+=⋅=-，∴直线PQ 的方程为112121y y x x y y x x --=--.令0y =，得211222121444y x y y y y y --=--， 整理得1222144PM QM k k y y x ⋅=-=-=.故点A 为定点，坐标为()1,0.22.【答案】（1）直线l：10x -=；曲线C ：22430x y y +--=（2）2【解析】（1）∵π2cos 103ρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，∵cos sin 10ρθθ--=， ∵cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩∵直线l的直角坐标方程为10x --=， ∵曲线C的参数方程是,2x y ϕϕ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数），消去参数ϕ，得()2227x y +-=. ∵曲线C 的普通方程为22430x y y +--=；（2）在直线10x -=中，令0y =，得()1,0P ，可设直线l的参数方程为1,2,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22430x y y +--=中，代简，整理可得)2220t t +-=，则)2280∆=+>， 令方程的两个根为1t ，2t ，∵122t t =-，∵122PA PB t t ⋅==. 23.【答案】（1）74x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭（2）94【解析】（1）()()5,1,26137,13,5, 3.x x f x x x x x x x -+≤⎧⎪=---=-+<<⎨⎪-≥⎩当()f x x ≥时，1,5x x x ≤⎧⎨-+≥⎩或13,37x x x <<⎧⎨-+≥⎩或3,5,x x x ≥⎧⎨-≥⎩解得74x ≤，则解集为74x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； （2）()312621y f x x x x =+-=-+-()262226224x x x x =-+-≥---=，∵4m =，124a b+=，∵a ，b 为正实数，∵()1121229225444a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当22,124,a b b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即3,434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立.。

2023届新高考基地学校高三第三次大联考数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1,2,3,{32}A B xx =-=-<<∣，则()A B ⋂=R ð（）A.{}1,0,1- B.{}3 C.{}2,3 D.{}1,0,1,2-2.若42i z =+，则i 1iz⋅=+（）A.3i +B.13i +C.3i- D.13i-3.已知,a b是单位向量，若()3a a b ⊥+ ，则a b -= （）A. B.263C.8D.834.我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”·刘徽从圆内㧍正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正1536边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n 边形与圆内接正2n 边形分别计算出的圆周率的比值为（）A.180sin n ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.180cos n ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3602sin n ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3602cos n ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.若函数()()2()4f x x a x a =--的极大值点为1-，则a 的值为（）A.13-B.1- C.13-或1- D.3-或1-6.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若江苏省新高考基地学校23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（）A.135 B.105C.23 D.137.若()()1sin22sin cos ααβαβ+=+-，则（）A.2sin 2α= B.2sin 2β=C.tan 1α= D.tan 1β=8.已知0.50.5log ,log 0.5,log bca a abc a ===，则（）A.b a c <<B.c a b <<C.a c b<< D.c b a<<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为()3,02f f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A.6πϕ=B.4x π=是()f x 图象的对称轴C.,04π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心D.()f x 在()0,π上单调递增10.第22届世界杯足球赛于2022年11月20日到12月18日在卡塔尔举行.世界杯足球赛的第一阶段是分组循环赛，每组四支队伍，每两支队伍比赛一场，比赛双方若有胜负，则胜方得3分，负方得0分；若战平，则双方各得1分.已知某小组甲､乙､丙､丁四支队伍小组赛结束后，甲队积7分，乙队积6分，丙队积4分，则（）A.甲､丁两队比赛，甲队胜B.丁队至少积1分C.乙､丙两队比赛，丙队负D.甲､丙两队比赛，双方战平11.已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长都相等，,,M N O 分别是侧面PAB ，侧面PBC 和底面ABCD 的中心，则（）A.PM BN ∥B.MN ∥平面PACC.MN PB⊥ D.OM ⊥平面PAB 12.已知函数()f x 的定义域为1,2f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭R 是偶函数，()2xf x -是奇函数，则（）A.()()5012f f +=B.()()112f f +-=C.()1124f =D.()2101()443nn nk f k +-==-∑三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若526a a =+，则1a =__________.14.过点()1,0作曲线e xy =的两条切线，则这两条切线的斜率之和为__________.15.设抛物线21:2C y x =和22:2(1)C y px p =>的焦点分别为12,F F ，点A 在2C 上，2AF x ⊥轴，线段1AF 交1C 于点B ，且B 为1AF 的中点，则p 的值为__________.16.已知圆柱1OO 的轴截面是边长为8的正方形，,A B 是圆O 上两点，,C D 是圆1O 上两点，且6,AB CD AB CD ==⊥，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________，四面体ABCD 的体积为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）记ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知1cos sin 3cos sin A AB B+=-.（1）证明：3b c a +=；（2）若,53C a π==，求ABC 的面积.18.（12分）已知数列{}n a 满足()()12211,3,222n n n a a na n a n a ++=-==+++.（1）设1n nn a a b n++=，证明：{}n b 是等比数列；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求2n S .19.（12分）已知函数()2cos f x x x =-.（1）设()()g x f x ='，求()g x 在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）讨论()f x 的零点个数.20.（12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面,ABC BE ⊥平面,ABC ABC 和ACD 均为正三角形，4,AC BE ==F 在AC 上.（1）若BF ∥平面CDE ，求CF ；（2）若F 是AC 的中点，求二面角F DE C --的正弦值.21.（12分）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的实轴长为4，左､右顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 与C的右支分别交于,M N 两点，其中点M 在x 轴上方.当l x ⊥轴时，MN =（1）设直线12,MA NA 的斜率分别为12,k k ，求21k k 的值；（2）若212BA N BA M ∠∠=，求1A MN 的面积.22.（12分）已知函数()21ln 2f x a x x x =+-.（1）求()f x 的单调区间；（2）若0a ，证明：135212n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2023届新高考基地学校高三第三次大联考数学-答案与解析一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】R {3B xx =≤-∣ð或(){}R 2},2,3x A B B ≥⋂=ð，选C .2.【答案】A【解析】42i z =+，则()()()i 42i 24i 1i i 24i 42i,1i 1i 1i 2zz -+-+=-===+++()()12i 1i 3i,=+-=+选A .3.【答案】B【解析】()()3,30a a b a a b ⊥+∴+= ，即2130,3a ab a b +⋅=∴⋅=-，263a b -== ，选B.4.【答案】B【解析】正n 边形圆心角212122,sin sin 22n S n r r r n n nπππ=⋅⋅⋅⋅=，正2n 边形圆心角22212,2sin sin 222S n r r nr n n nπππ=⋅⋅⋅=，2212222sin sin cos 2cos , B.sin sin n r nr S n n n S n nr nr n nππππππ===选5.【答案】A【解析】()()()()()224()390f x x a x a x a x a x a =--+-=--='，x a =或3a ，由选项知0a <，则()30,a f x <在()()(),3,3,0,0,a a ∞∞-+ ，()f x ∴极大值为3a ，即31a =-，即13a =-.6.【答案】A【解析】令1213,2,,2a AF m AF a m BF m ==-=-则则212BF a m =+，22,Rt AF AB ABF ⊥ 中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+-∴= ⎪⎝⎭，1264,55a a AF AF ∴==，Rt 12AF F 中，2223616134,25255a a e e =+∴=，选A.7.【答案】D【解析】()()1sin22sin cos ααβαβ+=+-，()()()1sin 2sin cos αβαβαβαβ+++-=+-()()()()()()1sin cos cos sin 2sin cos αβαβαβαβαβαβ++-++-=+-()()()()()()1sin cos cos sin sin sin2αβαβαβαβαβαββ⎡⎤=+--+-=+--=⎣⎦，22,,,tan 1,24k k k ππβπβπβ∴=+∴=+∈∴=Z 选D.8.【答案】B【解析】0.50.5log 0,01,0log 1,0.51a a a a a =>∴<<<<∴<<，()()()0.50.5log 0,1,1,log 0,1,0.5,1,b c c a b a b c a c a a =∈∴<<=∈∴∈<，0.50.5log log ,,a c a c c a b ∴<∴>∴<<，选B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】BD 【解析】()()2223,,sin ,0332T f x x f f πππωϕω⎛⎫⎛⎫==∴==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()f x 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，2,,,346k k Z k k Z ππϕπϕπ⋅+=∈∴=-+∈，,0,,26k A ππϕϕ<∴=∴=-错.()223sin ,,,,363622f x x x k k Z x k k Z ππππππ⎛⎫=--=+∈∴=+∈ ⎪⎝⎭，2,4,4k x x ππ==∴=是()f x 图象的对称轴，B 对.23,,36424x k k Z x k πππππ-=∈=+=-时，13k Z =-∈，,04π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不是对称中心，C 错.()2,,23622x x f x πππππ-<-<-<<∴的一个单调增区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x 在()0,π单调增，D 对，选BD.10.【答案】ACD【解析】甲队积7分331,=++胜两场平一场；乙队积6分330=++，胜两场负一场，负的一场一定是负给甲的，乙队胜了丙､丁两队，C 对.两队积了4分310=++，胜平负各一场，负是输给乙当甲､丙平时，丙胜丁，甲胜丁；当丙､丁平时，芮胜甲不可能.∴甲丙平，甲胜丁，AD 对，选ACD.11.【答案】BCD【解析】取AB 中点,E BC 中点,,F M N 分别为,PAB PBC 的中心MN EF ∴∥，又,,EF AC MN AC MN ∴∴∥∥∥平面,B PAC 对.,AC BD PO AC AC ⊥⊥⇒⊥平面,C PBD AC PB MN PB ⇒⊥⇒⊥对.设2AB =，则331,33OE PO PE ME PEO ∠=====，222212121,,3333OM OM ME OE ME OM =+-⨯⨯=∴+=∴⊥，,,AB OE AB PO AB ⊥⊥∴⊥平面,,POE AB OM AB ME E ∴⊥⋂=，,AB ME ⊂平面,PAB OM ∴⊥平面,D PAB 对，选BCD.12.【答案】ACD 【解析】12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数关于0x =对称，()f x 关于12x =-对称，()()2x g x f x =-为奇函数，()()()()()00020,01,101g f f f f ∴=-=∴=-==，()()()()()()15111120,1122g g f f f f -+=--+-=∴-+=，()()501,A 2f f ∴+=对，B 错.()()()()()311,22224024f g g f f =-+=--+-=()()()()()()1731122122,2,C 424f f f f f f ∴-+==+=+∴=对.()()()()()()110,2,1222xxx x g x g x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+=+-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2011141444114()1111411434314nn nnn k f k =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++=+---⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑111144111443343334n nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⨯-+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，D 对.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】14-【解析】1111114614,,,149366152a d a d a a a d a d d ⎧+=++=-⎧∴∴=-⎨⎨+=+=⎩⎩14.【答案】2e 1-【解析】0x >时，e ,x y =切点()1111,e ,e ,e x x xx y k=='，切线()1111:e exx l y x x -=-过()()1121111,0,e e 1,2,e xx x x k ∴-=-∴==，0x ≤时，e x y -=，切点()2222,e,e,e x x xx y k ---'==-，切线()2222:ee x x l y x x ---=--过()()222221,0,e e 1,0,1x x x x k --∴-=--∴==-，212e 1k k +=-.15.1+【解析】111,,,0,22442p p p A p F B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭在1C 上，212442p p ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭解得1p =+16.【答案】128π；48【解析】方法一：圆柱外接球半径24128R S R ππ==∴==，圆O 上取两点11,C D 使得1111,CC OO DD OO ∥∥，圆1O 上取两点11,A B 使得1111,AA OO BB OO ∥∥，直四棱柱1111AC BD A CB D -的体积16681442V =⨯⨯⨯=，11111111144A BCD B CB D C BC D D A CD A AC D V V V V V -----=----111111111114488883333CB D BC D AC D AC D S S S S =-⨯-⨯-⨯-⨯ ()11111111Δ161616144144333BC D AC D BC D AC D S S S S =--=-+ .11161611441446648332AC BD S =-=-⨯⨯⨯=方法二：（1）显然圆柱底面半径为4，高为8，取1OO 中点O ，则O 为四面体ABCD 球心，,432128OA R S ππ===∴=⋅=表.（2）过C 作CE BA ∥于点,E ∴四边形ABCE 为平行四边形，11166848332A BCD E BCDB CDE ACDE V V V S h ---∴===⋅=⨯⨯⨯⨯=.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为1cos sin 3cos sin A AB B+=-，所以sin cos sin 3sin sin cos B A B A A B +=-，因为()A B C π=-+，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin 3sin B C A +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得3b c a +=.（2）由①得15b c +=，①由余弦定理，得22222cos 255c a b ab C b b =+-=+-，②由①②解得8,7b c ==.所以ABC 的面积为113sin 58222ab C =⨯⨯⨯=.18.【解析】（1）因为()()21222n n n na n a n a ++=+++，所以1121122211n n n n n n n n a a a a a n n b n n ++++++++++==++()()1122221n n n n n n a a a a n b n n+++++===+.又因为1122b a a =+=，所以数列{}n b 是以2为首项2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，2nn b =，所以12nn n a a n ++=⋅，所以()()()()321212342121232212n n n n S a a a a a a n --=++++++=⨯+⨯++-⋅ ，所以()3521241232212n n S n +=⨯+⨯++-⋅ .两式相减，得()()321212312222212n n n S n -+-=⨯+⨯++--⋅ ()()42221212121056221221433n n n n n -++⨯--=+--⋅=-+⋅-，所以2121065299n nn S +-=+⋅.19.【解析】（1）因为()()()2sin ,2cos 0g x f x x x g x x ==--=--'<'，所以()g x 在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以当4x π=时，()g x取最大值422g ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当x π=时，()g x 取最小值()2g ππ=-.（2）先讨论()f x 在[)0,∞+上的零点个数，由（1）可知，()f x '在()0,∞+上递减，()()00f x f ''<=，所以()f x 在()0,∞+上递减，因为()2010,022f f ππ⎛⎫⎛⎫=>=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以以()f x 在[)0,∞+上有唯一零点，因为()f x 是偶函数，所以()f x 在R 上有两个零点.20.【解析】（1）取AC 中点O ，连结OD ，过点F 作FG OD ∥交CD 于点G ，连结EG .因为ACD 是正三角形，所以OD AC ⊥，因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ⋂平面ABC AC =，所以OD ⊥平面ABC .因为BE ⊥平面ABC ，所以BE OD ∥，所以FG BE ∥，所以,,,B E G F 四点共面，因为BF ∥平面,CDE BF ⊂平面BEGF ，面BEGF ⋂平面CDE GE =，所以BF GE ∥.又因为FG BE ∥，所以四边形BEGF 是平行四边形.所以12FG BE OD ===FG 是三角形OCD 的中位线，所以112CF OC ==.（2）如图，以O 为坐标原点，{},,OB OC OD为基底建立空间直角坐标系，因为4BE OD AC ===，所以()()()0,0,0,0,2,0,O A B -，()((0,2,0,,C D E所以((0,,CD CE =-=-，设平面CDE 的一个法向量(),,n x y z = ，则0,0,CD n CE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,y y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则2y z ==，所以()n = .又平面DEF 的一个法向量()0,1,0m =，设二面角F DE C --所成角的大小为α，所以cos m n m n α⋅==所以sin 17α=.即二面角1E AC C --的正弦值为17.21.【解析】法一：（1）因为24a =，所以2a =，令4x =得223y b =，所以MN ==，解得b =，所以C 的方程为22142x y -=显然直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为4x ty =+，联立直线MN 与C 的方程，消去x 得，()2228120t y ty -++=，当22t ≠时，2Δ16960t =+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则121222812,22t y y y y t t +=-=--.因为122212221,222y y x k k x x y +===⋅+-，所以()()()()1212211212226622x x ty ty k k y y y y ++++==()2222212121221248366362232422t t t y y t y y t t y y t -++++--===--.（2）因为212BA N BA M ∠∠=，所以121212tan tan tan21tan BA M BA N BA M BA M ∠∠∠∠==-，又因为1122,tan k BA M k BA N ∠∠==-，所以122121k k k -=-，即122121k k k =-，（※）将213k k =-代入（※）得，1121231k k k -=-，因为M 在x轴上方，所以13k =，所以直线1MA方程为()23y x =+，联立C 与直线1MA 方程，消去y 得，28200x x --=，解得10x =或2x =-（舍），所以(M ，代入4x ty =+，得2t =，所以直线MN方程为42x y =+，联立C 与直线MN 方程，消去x得，25480y --=，解得y =或435y =-，所以1A MN的面积为11211622A B y y ⋅-=⨯=.法二：（1）由题意得242a a b =⎧=⎧⎪⎪⇒∴⎨⎨==⎪⎩⎪⎩双曲线C 的方程为22142x y -=.设MN 方程为()()()()1122124,,,,,2,0,2,0x my M x y N x y A A =+-，()22222428120,2,Δ024x my m y my m x y =+⎧⇒-++=≠>⎨-=⎩，121212,22y y k k x x ∴==+-，()()()2122112212121121226262222y my k y x my y y k x y my y my y y y y +++∴=⋅==-+++-2222222221212662231216422222m m y y m m m m m y y m m m ⋅++--===---⋅+-----.（2）设12,2BA M BA N ∠θ∠θ=∴=，由21tan233tan k k θθ=-⇒=1223tan 1tan 3A M θθ∴=⇒=∴-方程:2x =-，21222024x y y x y ⎧=-⎪⇒-=⇒=⎨-=⎪⎩同理联立22223524x y y x y ⎧=-+⎪⇒=-⎨⎪-=⎩，112163255A MN S y y ∴=⋅⋅-=⋅= .22.【解析】法一：（1）因为()2,0x x a f x x x+='->，①当14a ≥时，()()0,f x f x '≥在()0,∞+上递增；②当14a <时，由()0f x '=得，12114114,22x x -+==，i ）当0a ≤时，120,0x x ≤>，当()20,x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>，所以()f x 在()20,x 上递减，在()2,x ∞+上递增.ii ）当104a <<时，120x x <<，当()()120,,x x x ∞∈⋃+时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x ∞+上递增.综上，当0a ≤时，单调减区间为1140,2⎛ ⎝⎭，单调增区间为114,2∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭；当104a <<时，单调减区间为11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单调增区间为10,2⎛ ⎝⎭和114,2∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭；当14a ≥时，单调增区间为()0,∞+，无减区间.（2）设()()()2,01g x f x f x x =+-<≤，因为()()()()21212a a g x f x f x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=+--+-- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣''⎦'()()()()()()2212121222a x x x x x a x x x x --=+-=⋅-+--.因为0,01a x ≤<≤时，220x x a a -+<≤，所以()()0,g x g x '<在(]0,1上递减，所以()()()121g x g f ≥=.设13521n S f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1213232112n n n S f f f f f f n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1(1)(1)(1)n n -≥-+-++-=-个所以2n S ≥-，即135212n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解析二：（1）()21a x x a f x x x x-+=+-='，令()200,Δ14f x x x a a =⇒-+==-'.①当140a -≤，即14a ≥时，()()0,f x f x '≥在()0,∞+上 (),f x 的单增区间为()0,∞+，无单减区间.②当140a ->，即14a <时，（i ）若0a ≤时，令()11402f x x +=⇒='，()f x 的单增区间为114,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，单减区间为1140,2⎛+ ⎝⎭.（ii ）若104a <<时，令()()102f x x f x '=⇒=的单增区间为1141140,,,;22∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单减区间为114114,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.（2）分析：要证135212n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，121323n n n n n n --+=+= ，先证()()()21,0,2f x f x x +-≥-∈，()()()()22112ln ln 2(2)222f x f x a x x x a x x x +-=+-+-+---()()()221ln 22442ln 222a x x x x a x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-+-=-+-⎣⎦⎣⎦令()22,0,1x x t t -=∈，()()()()2ln 1,21f x f x a t t f x f x ∴+-=->-∴+-≥-对()0,2x ∀∈恒成立，121323211n n n f f f f f f n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++++≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，135212n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，证毕!。

南阳一中2023届高三第三次阶段性测试文数试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．）1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)i z -=，则12z +的值为（）A ．14B ．13C ．12D ．42．若{}2812A x y x x ==--，{}ln(3)2B x x =-≤，则A B ⋂=（）A ．[)2,4B ．(]3,6C ．)22,e ⎡⎣D ．(23,e ⎤⎦3．下列说法错误的是（）A ．若命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝：n ∀∈N ，22nn ≤B ．“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件C ．若命题“()()p q ⌝∨⌝”为真命题，则命题p 与命题q 中至少有一个是真命题D ．“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2”的逆否命题是真命题4．已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，3BAC π∠=，2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+ ，则AP BC ⋅的值为（）A ．116-B ．72C ．4D ．65．若正项数列{}n a 满足11a =，221160n n n n a a a a +++-=，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．41n -B ．1(41)3n-C ．21n -D ．1(21)3n-6．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=︒，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A 66B 33C ．16D ．137．已知函数()sin f x x =，())2ln1g x x x =+，()H x 的解析式是由函数()f x 和()g x 的解析式组合而成，函数()H x 部分图象如下图所示，则()H x 解析式可能为（）A ．()()f x g x +B ．()()f x g x -C ．()()f xg x ⋅D ．()()f xg x 8．已知函数()2π2cos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（）A ．()f x 是奇函数B ．函数()f x 的最小正周期为4πC ．曲线()y f x =关于π2x =对称D ．()()12f f >9．已知圆M 过点()1,3A 、()1,1B -、()3,1C -，则圆M 在点A 处的切线方程为（）A ．34150x y +-=B ．3490x y -+=C ．43130x y +-=D ．4350x y -+=10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为（）A ．12B ．24C ．22D ．3211．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，若AP ∥平面BDEF ，则线段AP 长度的取值范围是（）A ．522]B ．[32452C ．[328，62]D ．[622]12．已知函数()e e cos 2x x f x x -=+-，若()()12f x f x >，则（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在(,0)-∞上为增函数C ．2212x x >D ．12e 1x x ->二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知直线过点()2,3，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的3倍，则此直线的方程为__________．14．圆1C ：2223xy x ++=与圆2C ：2241x y y +-=的公共弦长为______．15．已知0a b >>，且21a b +=，则11a b b+-的最小值为______．16．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为______.三、解答题：（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，23a =，且1(2)(1)1n n n a n a --=--（2n ≥，且n *∈N ）．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．18．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB 3BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．19．在三棱锥-P ABC 中，AC BC =，PA PB =，D 、E 分别是棱BC 、PB 的中点.(1)证明：AB PC ⊥；(2)线段AC 上是否存在点F ，使得//AE 平面PDF ?若存在，指出点F 的位置；若不存在，请说明理由．20．已知点M （1，0），N （1，3），圆C ：221x y +=，直线l 过点N ．(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)若直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：12k k +为定值．21．如图，四棱锥P ABCD -中，DA AB ⊥，PD PC ⊥，PB PC ⊥，1AB AD PD PB ====，4cos 5DCB ∠=．(1)求证：BD ⊥平面PA C ．(2)求四棱锥P ABCD -的体积.22．已知函数()()21ln 2x f x m x m x m =-+++，()f x '为函数()f x 的导函数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()0xfx f x '-≥恒成立，求m 的取值范围．南阳一中2023届高三第三次阶段性测试文数试题参考答案：1．C2．B3．C4．C5．B 6．A 7．A 8．D9．A 10．B11．B12．C13．320x y -=或3110x y +-=1485515．423+16．9112π（选填详解附后）17．解：（1）当2n =时，11a =，由已知1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，则1(1)1(1)n n n a na n +-=-≥，两式相减得112(1)(1)(1)n n n n a n a n a -+-=-+-，即112n n n a a a -+=+，且212a a -=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，则{}n a 的通项公式为21n a n =-；（2）设数列14n n a a +⎧⎫⎨⎩⎭的前n 项和为n S ，∵144112(21)(21)2121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴11111421335212121n n S n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪-++⎝⎭ ．18解：（1）由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝.故PA 72（2）设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin sin150sin(30)αα=︒︒-，3α＝4sin α.所以tan α34即tan ∠PBA ＝3419解：（1）取AB 的中点H ，连接PH ，CH ，如图，因AC BC =，PA PB =，则CH AB ⊥，PH AB ⊥，而CH ⊂平面PHC ，PH ⊂平面PHC ，CH PH H ⋂=，于是得AB ⊥平面PHC ，又PC ⊂平面PHC ，所以AB PC ⊥.（2）当AC 上的点F 满足2CFAF=时，//AE 平面PDF 连接CE 交PD 于G ，连接FG ，D 、E 分别是BC 、PB 的中点，则G 是△PBC 的重心，有2CG GE=，即有CG CFGE AF =，因此//FG AE ，而AE ⊄平面PFD ，FG ⊂平面PFD ，所以//AE 平面PFD ．20（1）解：若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为1x =，此时直线l 与圆C 相切，故1x =符合条件；若直线l 的斜率存在，设斜率为k ，其方程为()13y k x =-+，即30kx y k --+=，由直线l 与圆C 相切，圆心（0，0）到l 的距离为1，2311k k -+=+，解得43k =，所以直线l 的方程为()4133y x =-+，即4350x y -+=，综上所述，直线l 的方程为1x =或4350x y -+=；（2）证明：由（1）可知，l 与圆C 有两个交点时，斜率存在，此时设l 的方程为30kx y k --+=，联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，得()()2222126680k x k k x k k --+++=-，则()()()222226416824320k k k k k k ∆=++----=＞，解得43k >，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k -+=+，（1）所以()()12121212121331111k x k x y yk k x x x x -+-+=+=+----()()12121212323322111x x k k x x x x x x +-=++=+---++，将（1）代入上式整理得121862293--+=+=-k k k k ，故12k k +为定值23-．21解：（1）∵PD PC ⊥，PB PC ⊥，PB =PD ，∴Rt △PDC ≌Rt △PBC ，∴BC =DC ，又PB ∩PD =P ，∴PC ⊥平面PBD ，∵BD ⊂平面PBD ，∴PC ⊥BD ，∵AB =AD ，BC =CD ，∴易知AC ⊥BD ，又∵AC ∩PC =C ，∴BD ⊥平面PAC ；（2）如图，设AC 交BD 于O ，则O 是BD 的中点，连接OP ．由(1)知，BC =CD ，又BD4cos 5DCB ∠=，∴在△BCD 中，由余弦定理得：2222cos BD BC DC BC DC DCB ∠=+-⋅⋅，即2242225BC BC =-⋅，解得BC =∴OC =OAOP ===2PC ===，∵PC ⊥平面PBD ，∴PC OP ⊥，∴11222PCO S OP PC =⋅⋅=由2326PAOPAO PCOS OA S S OC =⇒=⨯ ，∴263PAC PCO PAO S S S =+=+=，∴14223329P ABCD B PAC V V --==⨯⨯=．22解：（1）由题可得2(1)()(1)()(1)m x m x m x m x f x x m x x x -++--'=-++==，①当0m ≤时，(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；②当01m <<时，(0,)x m ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(,1)x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③当1m =时，,()0x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增；④当1m >时，(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；(1,)x m ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(,)x m ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.（2）由()()0xf x f x '-≥恒成立，即2ln 02x m x -≥，2ln 2x m x ∴≥，当1x =时，2ln 2x m x ≥恒成立，当1x >时，22ln x m x ≥，当01x <<时，22ln x m x≤，令2()2ln x g x x=，则2(2ln 1)()2(ln )x x g x x -'=，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减且()0g x <，所以0m ≥当1x >时，()0g x '=得x =1x ∴<<()0g x '<，()g x 单调递减，x >()0g x '>，()g x 单调递增；()e g x g ∴≥=，故em ≤综上，m 的取值范围为0e m ≤≤.附：选填答案：1．C 【详解】由(1i)i z -=得：i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z +-+====-+--+，则11i22z +=，所以1122z +=.故选：C 2．B【详解】若{{}{}2812026A x y x x x x x ==--≥=≤≤，(){}{}{}22ln 3203ln e33e B x x x x x x =-≤=<-≤=<≤+，则{}|36=<≤ A B x x .故选：B.3．C 【详解】对于A ，由特称命题的否定可知：:p n ⌝∀∈N ，22nn ≤，A 正确；对于B ，当0a b <<时，ln ,ln a b 无意义，充分性不成立；当ln ln a b <时，0a b <<，必要性成立；则“a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件，B 正确；对于C ，若,p q 均为假命题，则,p q ⌝⌝均为真命题，()()p q ∴⌝∨⌝为真命题，C 错误；对于D ，原命题的逆否命题为：若,a b 都小于2，则4a b +<，可知逆否命题为真命题，D 正确.故选：C.4．C 【详解】,,D P C 三点共线，111,22λλ∴+==，11,23BC AC AB AP AC AB =-=+ ，221118134263AP BC AC AB AC AB ∴⋅=-⋅-=--= 故选：C5．D 【详解】设等差数列的公差为d ，则11(1)122nn n na S n a dn n -+-==+，因为101221210S S -=-，所以11119()()222a d a d +-+=-，解得2d =-，所以20221202220212022202220202022202120222S a d ⨯=+=⨯-⨯=-，故选：D 6．A【详解】若,,,E F D G 分别是111,,,AC B C AB AC 的中点，连接,ED EF ，则11//,//ED BC EF AB ，∴直线1AB 与1BC 所成角即为DEF ∠或其补角，由111ABC A B C -底面边长和侧棱长都相等且1160BAA CAA ∠=∠=︒，易知：1DGC F 为平行四边形，若H 为BC 中点，连接,HF AH ，则AH BC ⊥且AH 是1AA 在面ABC 上的射影，∴1AA BC ⊥，而111////AA BB CC ，易知：11BCC B 为正方形，若111ABC A B C -棱长为2，则111122ED BC EF ====∴1DF GC ===，在△DEF 中，222cos 2ED EF DF DEF ED EF +-∠==⋅，∴直线1AB 与1BC 故选：A7．A 【详解】(),()f x g x 定义域都为R ，关于原点对称，而()sin()sin ()f x x x f x -=-=-=-，)ln ln ()()g x g x x ⎛⎫-==-⎪-=，所以(),()f x g x 都是奇函数，故()()()()f x f xg x g x ⋅，都是偶函数,因为所给图象关于原点对称，是奇函数，故可排除CD ；当e x =时，sin e e)sin e ln 2e sin e 1ln 20-<-=--<，故排除选项B.故选：A8．D 【详解】因为()2πππ2cos cos 21cos 21sin 21442f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对于A ，ππsin 1242f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，ππsin 1042f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ44f f ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是奇函数，故A 错误；对于B ，2ππ2T ==，故B 错误；对于C ，πsin π1122f ⎛⎫=+=≠ ⎪⎝⎭，即()f x 在π2x =处取不到最值，故()f x 不关于π2x =对称，故C 错误；对于D ，π2π2<<，π42π<<，则sin 20,sin 40><，所以()()()12sin 21sin 41sin 2sin 40f f -=+-+=->，即()()12f f >，故D 正确.故选：D.9．A 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得3100203100D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-+++=⎩，解得125D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以，圆M 的方程为22250x y x y ++--=，圆心为1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AM 的斜率为3141312AM k -==+，因此，圆M 在点A 处的切线方程为()3314y x -=--，即34150x y +-=.故选：A.10．B 【详解】过O 作11A B 的平行线，交11B C 于E ，连结1B C ，则O 到平面11ABC D 的距离即为E 到平面11ABC D 的距离．作1EF BC ⊥于F ，AB ⊥平面11BCC B ，所以1AB B C ⊥，且11B C BC ⊥，1AB BC B=I 所以1B C ⊥平面11ABC D ，1//EF B C ，所以EF ⊥平面11ABC D ，可求得114EF B C =故选：B11．B 【详解】如图所示，分别取棱A 1B 1、A 1D 1的中点M 、N ，连接MN ，连接B 1D 1，∵M 、N 、E 、F 为所在棱的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，又MN ⊄平面BDEF ，EF ⊂平面BDEF ，∴MN ∥平面BDEF ；连接NF ，由NF ∥A 1B 1，NF ＝A 1B 1，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，可得NF ∥AB ，NF ＝AB ，则四边形ANFB 为平行四边形，则AN ∥FB ，而AN ⊄平面BDEF ，FB ⊂平面BDEF ，则AN ∥平面BDEF ．又AN ∩NM ＝N ，∴平面AMN ∥平面BDEF ．又P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一点，且AP ∥平面BDEF ，∴P 点在线段MN 上．在Rt △AA 1M 中，AM 2==，同理，在Rt △AA 1N 中，求得AN =AMN 为等腰三角形．当P 在MN 的中点时，AP当P 与M 或N 重合时，AP 2=．∴线段AP 长度的取值范围是]．故选：B ．12．C 【详解】因为()()()e e cos 2e e cos2x x x x f x x x f x ---=+--=+-=，所以()f x 为偶函数，故A 错误；()e e 2sin2x x f x x -+'=-，当π02x ≤<时，e e 0,2sin20x x x --≥≥，所以()0f x '≥，当π2x ≥时，ππ122e e e e e e 2,2sin22x x x ----≥->->≥-，所以()0f x ¢>，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-上为减函数，故B 错误；因为()()12f x f x >，所以()()12f x f x >，又因为()f x 在[0,)+∞上递增，所以12x x >，即2212x x >，故C 正确；显然120x x ->不一定成立，则12e 1x x ->不成立，故D 错误.故选：C13．320x y -=或3110x y +-=【详解】当此直线过原点时，直线在x 轴上的截距和在y 轴上的截距都等于0，显然成立，所以直线斜率为32且过原点，所以直线解析式为32y x =，化简得；320x y -=，当直线不过原点时，由在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的3倍可设直线方程为13x y a a +=，因为直线过()2,3，所以2313a a +=，解得113a =，化简得：3110.x y +-=故答案为：320x y -=或3110.x y +-=14．5解：圆1C 与圆2C 的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即210x y +-=，因为2223x y x ++=变形为()2214x y ++=，即圆1C 的圆心为()1,0-，半径1r 为2，所以，圆心1C 到x ＋2y －1＝0的距离d ==所以，两圆的公共弦长为==故答案为：5．15．4+21a b +=得：()31a b b -+=，又0a b >>，则11113[()3]()444b a b a b b a b b a b b a b b -+=-++=++≥+=+---当且仅当3b a b a b b -+-，即3,36a b -==时取等号，所以当336a b ==时，则11a b b +-取得最小值4+.故答案为：4+16．9112π【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥S ABC -.如图，设三棱锥S ABC -外接球的球心为O ，连接SO ，OC ，作OO '⊥平面ABC ，连接'CO ，延长'CO 交AB 于点H '，连接SH '，过O 作OH SH '⊥，垂足为H .由题可知，平面SAB ⊥平面ABC ，2AB AC BC SH '====，设OO h '=，则22233h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭()22323h ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭，解得34h =，则222391348h ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，故该几何体外接球的表面积为9112π.故答案为：9112π。

“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2022—2023学年第一学期联考高三数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(1)1z i i +=+，则||z =（）A ．i -B ．1i-C D ．12．已知集合{}1log 02≤<=x x A ，{}B x x a =>.若A B A = ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}1a a <B ．{}1≤a a C ．{}2a a ≥D ．{}2a a >3．已知λ为实数，则使命题“0(0,2)x ∃∈，012020<+-x x λ”是假命题的一个充分不必要条件是（）A ．{22≤λλB ．{}31≤≤-λλC ．{}≤λλD ．{}4≥λλ4．若等边三角形ABC 的边长为1，点M 满足2CM CB CA =+，则MA MB ⋅= （）A ．B ．2C ．D ．35．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且12AA AB ==，则下列说法错误的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马”B ．四面体11A C CB 为“鳖臑”C ．四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D ．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF A C ⊥于点F ，则1EF A B⊥6．已知函数2()cos 2sin 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()f x 在区间,4m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的最小值是（）A ．12πB ．6πC ．12π-D ．6π-7．抛物线24x y =的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则AHF ∆的面积是（）A ．B ．4C ．D ．88．艾萨克·牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}n x ：满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数2()f x ax bx c =++（0a >）有两个零点1，2，数列{}n x 为牛顿数列．设2ln1n n n x a x -=-，已知11a =，2n x >，{}n a 的前n 项和为n S ，则20221S +等于（）A ．2022B ．2023C ．20232D ．20222二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知函数()f x 对x R ∀∈都有)2()4()(f x f x f ++=，若函数)3(+=x f y 的图象关于直线3-=x 对称，且对12,[0,2]x x ∀∈，当12x x ≠时，都有()0)()()1212>--x f x f x x （，则下列结论正确的是（）A ．(2)0f =B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期为4的周期函数D ．(3)(4)f f >-10．下列结论中，正确的结论有（）A ．若0a b >>，0m >，则mb ma b a ++>B ．如果01x <≤，那么()43x x -取得最大值时x 的值为1C ．已知1>>b a ，则ab b a ln ln >D ．若2x xy y =-，0x >，0y >，则2x y +的最小值是811．如图，平面四边形ABCD 中，BCD △是等边三角形，AB BD ⊥，且2AB BD ==，M 是AD 的中点．沿BD 将BCD △翻折，折成三棱锥C ABD -，在翻折过程中，下列结论正确的是（）A ．棱CD 上总会有一点N ，使得//MN 平面ABCB ．存在某个位置，使得CM 与BD 所成角为锐角C ．CMB ∠一定是二面角C AD B --的平面角D ．当平面ABD ⊥平面BDC 时，三棱锥C ABD -的外接球的表面积是283π12．在平面直角坐标系xoy 中，已知点(2,1)M -，(2,1)N -，动点P 满足)(22R a a PN PM ∈=-，记点P 的轨迹为曲线C ，则（）A.存在实数a ，使得曲线C 上所有的点到点)4,1(a的距离大于2B.存在实数a ，使得曲线C 上有两点到点)0,5(-与)05(的距离之和为6C.存在实数a ，使得曲线C 上有两点到点)0,5(-与)0,5(的距离之差为2D.存在实数a ，使得曲线C 上有两点到点)0,(a 的距离与到直线a x -=的距离相等第Ⅱ卷（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为.14．若等差数列{}n a 的公差为2-，5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取得最大值时，n的值为.15．已知函数xe x x xf 22)(2-+=，若方程k x f =)(有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是.16．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的一点，且(2Q 满足16F PQ π∠=，22F PQ π∠=，则双曲线C 的离心率为.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且向量),2(b c a m -=与向量)cos ,(cos B C n =共线.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若b =，ABC ∆的面积为433，判断ABC ∆的形状，并说明理由.18．（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且32b a =，73b a =，求数列{}n n a b 的前n 项n T .19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD =（Ⅰ）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若二面角M BQ C --的大小为60，求QM 的长．20．（本题满分12分）疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理．校园内某区域由矩形OABC 与扇形OCD 组成，2m OA =，AB =，π3COD ∠=．消毒装备的喷射角π3EOF ∠=，阴影部分为可消毒范围，要求点E在弧CD 上，点F 在线段AB 上，设FOC θ∠=，可消毒范围的面积为S ．（Ⅰ）求消毒面积S 关于θ的关系式，并求出tan θ的范围；（Ⅱ）当消毒面积S 最大时，求tan θ的值．21．（本题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为点E 在椭圆C 上，12EF EF ⊥，直线1EF 的斜率为bc（c 为半焦距）．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设圆22:2O x y +=的切线2l 交椭圆C 于,A B 两点（O 为坐标原点），求证：OA OB ⊥；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求||||OA OB ⋅的最大值．22．（本题满分12分）已知函数()()()21ln 102f x a x x a x a =+-+>．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设函数()()()3g x a x f x =--有两个极值点1x ，()212x x x <，证明：()()1210ln g x g x a +<-．三校联考高三数学试题参考答案第1页共7页“德化一中、永安一中、漳平一中”三校协作2022—2023学年第一学期联考高三数学试题参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D2．B3．C4．D5．C6．B7．A8．D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

一、单选题二、多选题1. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ）A．B．C．D．2. 若（为虚数单位），则的模为（ ）A．B．C．D．3. 已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是A．B．C．D．4.若曲线在点处的切线与直线平行，且对任意的，不等式恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，其中e 是自然对数的底数，若直线与曲线相切于不同的两点A ，B ，且A ，B 的横坐标分别为，则实数a 的值为（ ）A．B．C．D．6. 已知，是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ）A．B．C．D．7. 设、均为非零实数且，则下列结论中正确的是（ ）A．B．C．D．8. 设集合，，则等于（ ）A．B．C．D．9.已知，关于的下列结论中正确的是( )A．的一个周期为B．在单调递减C．的一个零点为D ．的图象关于直线对称10.已知函数，，则下列说法不正确的有（ ）A ．若，则B．若，则C．函数的单调递增区间为D．若方程有三个不同的解，则或11.有一组样本数据，另一组样本数据，其中，c 为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据平均数相同B ．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等C ．两组样本数据方差相同D ．两组样本数据极差相同河南省（菁师联盟）2022-2023学年高三上学期12月质量监测考试（文科）数学试题三、填空题四、解答题12.设函数满足：①；②；③．当时，函数与函数交点的横坐标从左到右依次构成数列，则下列结论正确的是（ ）A ．函数的值域为B ．函数是偶函数C．对任意的，，数列的前项和D ．当，时，满足的的最小值为1713. 如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为________．14. 已如，则的最小值为______.15.已知函数的部分图像如图所示，则_________．16.设椭圆的左顶点为，左焦点为，离心率为，（为坐标原点）．(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率为正数的直线与椭圆在上方的交点为，为线段的中点，若．求直线的方程．17. 北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？18. 在中，的对边分别为.(1)若，求的值；(2)若的平分线交于点，求长度的取值范围.19. 在中，角所对的边分别为，且满足.(1)判断的形状；(2)求的取值范围.20. 如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，SAD为等腰直角三角形，SA=SD=，AB=2，F是BC的中点，二面角S−AD−B的大小等于120°.(1)在AD上是否存在点E，使得平面SEF⊥平面ABCD，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由.(2)求直线SA与平面SBC所成角的正弦值.21. 已知函数（1）若函数是上的增函数，求的取值范围；（2）证明：当时，不等式对任意恒成立；（3）证明：。

一、单选题二、多选题1. 已知为虚数单位，则（ ）A．B．C．D．2. 已知函数，其中表示不超过x 的最大整数.设，定义函数，则下列说法正确的有（ ）个.①的定义域为；②设，，则；③；④，则M 中至少含有8个元素.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 在△中，，则（ ）A．B．C．D．或4. 在中，则（ ）A．B．C．D．5.是定义在上的增函数，且满足：的导函数存在，且，则下列不等式成立的是（ ）A．B．C．D．6. 已知椭圆：，过中心的直线交于，两点，点在轴上，其横坐标是点横坐标的3倍，直线交于点，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 已知定义域为的奇函数，则的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不能确定8. 已知函数在内有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．9. 下列叙述中不正确的是（ ）A ．若a ，b ，，则“”的充要条件是“”B ．若a ，b ，，则“”的充要条件是“”C ．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D ．“”是“”的充分不必要条件10. 设椭圆C：的左､右焦点分别为､，上､下顶点分别为､，点P 是C 上异于､的一点，则下列结论正确的是（ ）A ．若C 的离心率为，则直线与的斜率之积为四川省绵阳八一中学2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试数学文科试题四川省绵阳八一中学2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试数学文科试题三、填空题四、解答题B．若，则的面积为C ．若C 上存在四个点P 使得，则C的离心率的范围是D．若恒成立，则C的离心率的范围是11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）的最大值为2B ．f （x ）在上单调递增C ．f （x ）在上有4个零点D ．把f （x ）的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称12. 已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，在底面△ABC 中，，若球O 的体积为π，则下列说法正确的是（ ）A ．球O的半径为B ．C ．底面△ABC 外接圆的面积为4πD．13. 在直角坐标系中，矩形的四个顶点都在椭圆上，将该矩形绕轴旋转一周，得到一个圆柱体，当该圆柱体的体积最大时，其侧面积为_______14. 某学校共1000人参加数学测验，考试成绩近似服从正态分布，若，则估计成绩在120分以上的学生人数为______.15. 复数的值是_____________．16. 在如图所示的几何体ABCDE 中，平面ABC ，，，F 是线段AD 的中点，.（1）求证：；（2）若，求三棱锥的体积.17. 为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下：成绩（分）人数242240284(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；(2)以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分，近似为样本方差，若，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”.①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”.附：若，则，，；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分.18. 已知函数，其中为常数，设为自然对数的底数．（1）当时，求的最大值；（2）若在区间上的最大值为，求的值；（3）当时，试推断方程是否有实数解．19. 已知数列满足，且，，.(1)求实数，使得数列为等差数列；(2)在（1）的条件下，设数列的前项和为，求的取值范围20. 在直三棱柱中，，，.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求直线与平面的距离.21. 已知函数.（1）写出函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，若，且，求的值.。

福建省三校2022-2023学年高三上学期12月联考语文试卷温馨提示：考试时间2022年12月5日上午07：30—10:00，本试卷共12页，考试时间150分钟，满分150分，祝同学们考试顺利！注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡交回。

一、现代文阅读(35分)(一)现代文阅读Ⅰ(本题共5小题，17分)阅读下面的文字，完成1-5题。

材料一：①中国式乡愁是农耕文明的产物，土地的坚固和不可动摇，赋予了乡愁同样坚固和不可动摇的性质。

但是，当人体验乡愁的时候，显然是把自己置身于故乡之外的，是把故乡作为一个反观、反思或者是眺望的对象。

这意味着，在中国，虽然传统农耕生活将人固着于土地，但一个悖论仍然存在，即人只有离开故乡才能构成思乡的前提。

②一般而言，乡愁是围绕着个体的情感经验被建构出来的，似乎只关乎个人的经历。

但是，对于一个民族来讲，乡愁的意义绝对不仅止于个体，而是对民族共同体整体有效的情感。

从中国历史看，中华民族之所以有这种恒久的维系自己文明的能力，显然不是因为私人性的对历史的回望，而是在文明的整体进程中，形成了这一民族关于自身历史的共同记忆。

今天，人们习惯于将中华民族称为文化共同体，认为文化价值共识是让大家凝聚在一起的力量，但更深层的原因仍然是存在的，这就是民族共同记忆。

中国文化的乡愁，就是在这种民族共同记忆中得到了奠基。

当然，也正是有这种民族性的乡愁在，中国文明虽然代有变化，但总体上保持了历史连续。

江苏省新高考基地学校2024届高三第三次大联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}3,2,0,2,3M =--，202x N x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A. {}3,2,2,3-- B. {}3,2,3-C. {}3,0,2,3-D. {}3,3-【答案】B 【解析】【分析】先解分式不等式求解集合N ，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为202x x -≥+，所以()()22020x x x ⎧-+≥⎨+≠⎩，所以2x ≥或<2x -， 所以{2022x N x x x x ⎧⎫-=≥=<-⎨⎬+⎩⎭或}2x ≥，又{}3,2,0,2,3M =--，所以M N ⋂={}3,2,3-. 故选：B2. 已知i (i 1)15z +=-+，则z =（ ） A. 23i - B. 23i +C. 32i -D. 32i +【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法法则计算出23i z =+，进而求出共轭复数.【详解】()()()()2215i 1i 1i 5i 5i 46i23i 1i 1i 1i 2z -+--++-+====++--，故23i z =-. 故选：A 3. 已知π1sin sin 33αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos cos 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A.56B.12C.16D. 16-【答案】A 【解析】【分析】应用ππ()33αα+-=，结合两角和的余弦即可求解. 【详解】ππππ1coscos[()]cos cos sin sin 33332αααααα⎛⎫⎛⎫=+-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则πcos cos 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭115236+=. 故选：A4. 已知直线3y kx =-与曲线ln y x =相切，则实数k 的值为（ ） A. e B.1eC. 2eD.21e【答案】C 【解析】【分析】首先设切点为()00,ln x x ，利用导数的几何意义得到01k x =，从而得到直线方程为03xy x =-，再将切点代入直线求解即可.【详解】设切点为()00,ln x x ，1y x'=，则01k x =，所以直线方程为03xy x =-. 又因为()00,ln x x 在直线03xy x =-上，所以0ln 132x =-=-，解得20x e -=. 所以221k e e-==. 故选：C5. 已知AD 是ABC 的边BC 上的高，且(1,3)AB =，)6,3(BC =，则AD =（ ）A. (1,2)-B. (1,2)-C. (2,1)-D. (2,2)-【答案】B 【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m ==，表达出()16,33AD m m =++，根据垂直关系得到方程，求出13m =-，进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m ==，则()()()1,36,316,33AD AB BD m m m m =+=+=++，由0AD BC ⋅=得()016,336()3699,36A m m BC D m m ⋅==++++=+⋅， 解得13m =-， 故()()12,311,2AD =--=- 故选：B6. 设点4(0,A ），抛物线22(0)y px p =>上的点P 到y 轴的距离为d ．若P A d +的最小值为2，则p =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D 【解析】【分析】结合抛物线的定义即可求解. 【详解】抛物线22(0)y px p =>，则焦点(,0)2p F ，准线2px =-，PA d +最小时，即2p PA d ++最小，根据抛物线定义，||2pd PF +=， 所以只需求||||PA PF +的最小值即可，当P 为线段AF与抛物线交点时，||||PA PF +最小，且最小值为||22pAF ==+，解得6p =. 故选：D7. 已知{}n a 是等差数列，且11a =，122389111825a a a a a a +++=，则10a =（ ）A. 15B. 26C. 28D. 32【答案】C 【解析】【分析】设出公差为d ，进而裂项相消法求和得到12238911111811a a a a a a d d ⎪+⎛⎫=-++⎝+⎭，从而得到方程，求出公差，进而求出答案.【详解】设公差为d ，则()()1111n a a n d n d =+-=+-，则()()()111111111111n n a a d n d nd n d nd +⎛⎫==- ⎪ ⎪+-++-+⎡⎤⎝⎭⎣⎦， 所以122389111111111111121718a a a a a d d d dd d a ⎛⎫=-+-++- ⎪+++++++⎝⎭+11118d d ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 故11811825d d ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，解得3d =， 故1019328a =+⨯=. 故选：C8. 若一个小球与一个四棱台的每个面都相切，设四棱台的上、下底面积分别为1S ，2S ，侧面积为S ，则（ ）A.212S S S =B. 12S S S =+C.= D. S =【答案】C 【解析】分析】利用等体积法即得.【详解】设小球半径为R ，因为一个小球与一个四棱台的每个面都相切，所以四棱台的体积等于以球心为顶点，以四棱台的上、下底面和四个侧面为底面的六个四棱锥的体积之和，其高都是球的半径R ，且棱台的高是2R ，则四棱台的体积为(1212111123333V RS RS RS S S R =++=+⋅，得212S S S =++==故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，P 在底面上的射影E 在线段BD 上，则（ ） A. PA PC = B. PB PD = C. AC ⊥平面PBD D. BD ⊥平面PAC【答案】AC 【解析】【分析】A 选项，由线面垂直得到线线垂直，结合勾股定理求出PA PC =；B 选项，由于ED 与EB 不一定相等，故,PB PD 不一定相等；C 选项，由线线垂直得到线面垂直；D 选项，连接PH ，若,E H 不重合，PH 与EH 不垂直，故BD 与PH 不垂直，D 错误.【详解】A 选项，由题意得PE ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形， 连接AC 与BD 交于点H ，则AH CH =，EH ⊥AC ， 因为AE EC =，故AE EC =，又PA PC ==PA PC =，A 正确；B 选项，因为PE ⊥平面ABCD ，所以PD PB ==，由于ED 与EB 不一定相等，故,PB PD 不一定相等，B 错误； C 选项，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ， 又PE ⊥平面ABCD ，AC ⊂， 所以PE ⊥AC ， 因为PEBD E =，,PE BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，C 正确；D 选项，连接PH ，若,E H 不重合，此时Rt PEH △中，PH 为斜边， 故PH 与EH 不垂直，故BD 与PH 不垂直，故此时BD 与平面PAC 不垂直，D 错误.故选：AC10. 设矩形的长是宽的2倍，以该矩形的两个顶点为焦点的双曲线W 经过另外两个顶点，则W 的离心率的可能取值为（ ）A.12+ B.32+ C.D. 2【答案】AD 【解析】【分析】分两种情况，作出图形，得到(),D c c -或(),4D c c -，代入双曲线方程，得到关于,,a b c 的齐次式，求出离心率.【详解】（1）如图1，矩形中，2AB BC =，且,A B 为两个焦点，设O 为AB 中点，如图以O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>， 则OA AD c ==，设(),D c c -，将(),D c c -代入双曲线22221x y a b-=中得，22221c c a b-=，变形得222222b c a c a b -=， 将222b c a =-代入222222b c a c a b -=中得，422430c a c a -+=，方程两边同时除以4a 得42310e e -+=，解得2e =当232e +=时，解得112e =>，负值舍去，当232e -=时，解得12e =<舍去，负值也舍去； （2）如图2，矩形ABCD 中，2BC AB =，且2AB c =，设O 为AB 中点，如图以O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，可设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>， 则(),4D c c -，将其代入双曲线22221x y a b -=中得，2222161c c a b-=，整理得22222216b c a c a b -=，将222b c a =-代入22222216b c a c a b -=中得，4224180c a c a -+=，方程两边同时除以4a 得421810e e -+=，解得29e =±当29e =+21e =>，负值舍去，当29e =-21e =<舍去，负值舍去，或2故选：AD11. 在生物科学和信息科学中，经常用到“S 型”函数：1()1exS x -=+，其导函数为()S x '，则（ ） A. ()S x 有极值点B. 点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y S x =的对称中心C. ()S x '是偶函数D. 0R x ∃∈，001()02S x x ⎡⎤<⎢⎥⎦-⎣ 【答案】BC 【解析】【分析】A ，求导，结合导数求单调性；B ，讨论()()1S x S x -+=即可；C ，结合奇偶性的定义讨论即可；D ，分0x =，0x <，0x >讨论即可.【详解】由函数1()1e x S x -=+，求导得：2(()e )1e x x S x --'=+，R x ∀∈，2e ()0(1e )xx S x --'=>+，函数()S x 是单调增函数，没有极值点，A 错误； 因为11(),1()1e 1ex xS x S x -=-=++， 所以()()1S x S x -+=，所以点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y S x =的对称中心，B 正确；2(()e )1e xx S x --'=+，定义域为R ， ()()()22222e e e e ()(1e 1e e 1e )x x x xx x x x S x S x ----⋅''-====+++，C 正确； 函数()S x 是单调增函数，又011(0)1e 2S ==+， 当则0x =时，1()2S x =，则1()02S x -=，1[()]02S x x -=，则0x <时，1()2S x <，则1()02S x -<，1[()]02S x x ->，则0x >时，1()2S x >，则1()02S x ->，1[()]02S x x ->，则D 错误. 故选：BC12. 某工厂对生产的产品进行质量检测，检测包括两轮，每轮检测有A 和B 两种结果．第一轮是对所有生产产品进行检测，检测结果为B 的产品定等级为乙；检测结果为A 的产品需进行第二轮检测．在第二轮检测中，检测结果为B 的产品定等级为乙；检测结果为A 的产品定等级为甲．在每轮检测中，甲等品检测结果为A 的概率是0.95，乙等品检测结果为A 的概率是0.05．已知该厂生产的产品中甲等品的占比为90%，则（ ）A. 已知一件产品是乙等品，检测后定等级为甲的概率是0.0025B. 已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是0.0025C. 从检测后的产品中随机抽取一件，检测结果是甲等品的概率为0.8125D. 已知一件产品检测结果是甲等品，该产品检测前是乙等品的概率大于0.001 【答案】AC 【解析】【分析】对于A 选项：要使检测后定等级为甲，则两轮检测结果都为A ，用概率乘法公式计算即可; 对于B 选项：要使检测后定等级为乙，则可能为第一轮检测结果为B ，或第一轮检测为A ，但第二轮检测结果为B ，用概率加法公式计算即可;对于C 选项：利用该厂生产的产品中甲等品的占比为90%，计算即可;对于D 选项: 记该产品检测前是乙等品为事件B ，记该产品检测结果是甲等品为事件A ，利用条件概率公式计算即可.【详解】结合题意可得：①若一件产品是甲等品，要使检测后定为等级甲，则两轮检测结果都为A ，即检测后定等级为甲的概率10.950.950.9025P =⨯=；②若一件产品是甲等品，要使检测后定为等级乙，则可能为第一轮检测结果为B ，或第一轮检测为A ，但第二轮检测结果为B ,即检测后定等级为乙的概率为()20.050.9510.950.0975P =+⨯-=，③若一件产品是乙等品，要使检测后定为等级甲，则两轮检测结果都为A ，即检测后定等级为甲的概率30.050.050.0025P =⨯=；④若一件产品是乙等品，要使检测后定为等级乙，则可能为第一轮检测结果为B ，或第一轮检测为A ，但第二轮检测结果为B ,即检测后定等级为乙的概率为40.950.050.950.9975P =+⨯=. 综上所述：对于A 0.0025，故A 选项正确； 对于B 选项：已知一件产品是甲等品，检测后定等级为乙的概率是0.0975，故B 选项错误；对于C 选项: 因为该厂生产的产品中甲等品的占比为90%，所以从检测后的产品中随机抽取一件，要使检测结果是甲等品的概率为50.10.00250.90250.90.8125P =⨯+⨯=，故C 选项正确； 对于D 选项: 记该产品检测前是乙等品为事件B ，记该产品检测结果是甲等品为事件A , 则()50.8125P A P ==,()30.10.10.00250.00025P AB P =⨯=⨯=, 则()()()0.000250.0010.8125P AB P B A P A ==<，故D 选项错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数共有______个． 【答案】15 【解析】【分析】先分类，再分步，结合排列组合知识，利用计数原理求解即得.【详解】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数可分为3类： 第一类，五位数的各个数位上的数字是4个0，1个3组成，则由首位不为0可知，3在首位，其余各位为0，即30000，仅有1种方法； 第二类，五位数的各个数位上的数字是3个0，1个1，1个2组成，则由首位不为0可知，1或2在首位，选1个放在首位，另1个则从其它4个位选1个位放上，其余各位为0， 共有1124C A 8=种方法；第三类，五位数的各个数位上的数字是2个0，3个1组成，则由首位不为0可知，1在首位，在其它4个位中选2个位为1，其余各位为0，共有24C 6=种方法； 所以由分类计数原理可得共有18615++=个这样的五位数. 故答案为：15.14. 已知圆C 的半径为5，圆心C 在第一象限，且直线430x y -=与x 轴截圆C 所得弦长都为6，则圆心C 的横坐标为______． 【答案】8 【解析】【分析】设圆心坐标，利用几何法由直线与圆相交弦长及半径可得圆心至直线的距离，再由点到直线的距离公式待定圆心坐标即可.【详解】设圆心坐标为(,)a b ，圆心C 在第一象限，则0,0a b >> 如图，圆C 与430x y -=及x 轴相交弦长都为6，则半弦长为3，又已知圆的半径为5，则圆心C 到x4=，则4b =， 由0b >，得4b =；且圆C 到430x y -=的距离也为4， 则圆心C 到430x y -=的距离4345a d -===，解得2a =-（舍），或8a =，即圆心的横坐标为8. 故答案为：8.15. 写出同时满足下列条件①②③的一个函数()f x =______． ①()f x 是二次函数；②(1)xf x +是奇函数；③()f x x在(0,)+∞上是减函数． 【答案】22x x -+ 【解析】【分析】写一个满足条件的即可.【详解】因为()f x 是二次函数，所以令2()2f x x x =-+，()0x ≠， 令()()()23(1)121g x xf x x x x x x ⎡⎤=+=-+++=-+⎣⎦，()()()3g x x x g x -=---=-，故满足条件②；令()222()x f x h x x x xx+===-+-在(0,)+∞上是减函数，满足条件③，故答案为：22x x -+16. 把函数sin (0)y x ωω=>的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()f x 的图象．若()f x 的图象关于原点对称，则ω的最小值为______；若曲线()y f x =上存在唯一一点00(,())A x f x ，00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，满足点A 关于原点的对称点B 也在曲线()y f x =上，则ω的取值范围是______． 【答案】 ①. 3 ②. 13ω<< 【解析】【分析】①由函数图像平移和三角函数的对称性可解；②由题意点00(,())A x f x 与点00(,())B x f x --都在函数图像上，可得00ππsin sin 33x x ωω⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭只有一解，即0cos 0x ω=只有一解，从而得解.【详解】函数sin (0)y x ωω=>图象向右平移π3个单位长度，得到函数()f x 的图象，则π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 若()f x 的图象关于原点对称，则π0sin ()(0)3ωω=->， 所以()3,Z k k ω=∈，则ω的最小值为3；又点00(,())A x f x 关于原点的对称点00(,())B x f x --， 由题意0000ππ()sin ,()sin 33f x x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 可得00ππsin sin 33x x ωω⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即0000ππππsin coscos sinsin coscos sin3333x x x x ωωωωωωωω-=+，所以0πcos sin03x ωω=，由题意只有唯一一个00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得上式成立， 所以πsin03ω≠，且0cos 0x ω=只有一解，由00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则00,2x ωπω⎛⎫∈ ⎝， 可得π223π22ωπωπ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得13ω<<.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等比数列{}n a 的公比0q >，且1536a a a =-，616a =．（1）求{}n a 的通项公式； （2）设2log ,1,n n na nb a n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，求{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）22n n a -=（2）2n S 24133n n n =-+-【解析】【分析】（1）应用等比数列的性质及基本量运算即可； （2）应用分组求和及等差等比公式求和即可. 【小问1详解】 由1536a a a =-，得2336a a =-，解得33a =-或32a =，当33a =-时，3363(3)16a a q q ==-=，则3163q =-，则q =0q >，不合舍去；当32a =时，3363216a a q q ==⋅=，则38q =，得2q =；则3323222n n n n a a q---=⋅=⋅=【小问2详解】由2log ,1,n n na nb a n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则13212224()()n n n S b b b b b b -=+++++++212322-1242()log log log )(111n n a a a a a a =++++++++++224222[(12)(32)(212)][(2(2(2)]1)1)1n n ---=-+-++--+++++++0222[13(21)2][(222)]n n n n -=+++--+++++(121)1(14)[2][]214n n n n n +-⋅-=-++-241(2)()33n n n n =-++-24133n n n =-+-18. 某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动，凡购物金额超过m 元的顾客参加一次抽奖．抽奖规则如下：从装有大小、形状完全相同的4个黑球2个红球的盒子中随机取2个小球，若2个小球都为红色，则获100元奖金；若2个小球为1红1黑，则获30元奖金；若2个小球都为黑色，则获10元奖金．（1）记参加抽奖的一名顾客获得奖金为X 元，求X 的概率分布列和数学期望；（2）该超市去年店庆日共有3000名顾客购物，统计购物金额得到如下的频率分布直方图．若今年抽奖活动总奖金预设为12000元，依据去年店庆日的数据，给出合理的m 的值，并说明理由． 【答案】18. 答案见解析. 19. 300m =，理由见解析. 【解析】【分析】（1）先确定随机变量X 的可能取值，在求出对应的概率就可以列出分布列，再根据数学期望公式求期望；（2）先计算可抽奖的顾客的人数，再用去年的频率估计概率，确定m 的值，使得购物金额超过m 的人数与可抽奖的人数一致即可. 【小问1详解】由题意：X 的值可能为：10，30，100，且()2426C 6210C 155P X ====，()114226C C 830C 15P X ===，()2226C 1100C 15P X ===. 所以X 的分布列为：所以：()1030100315153E X =⨯+⨯+⨯=. 【小问2详解】今年预设奖金12000元，故参与抽奖的人数可以为：12000450803=（人）.所以可以参与抽奖的概率为450153000100=.因为()1000.0020.0040.00250.85++=，所以300m =.19. 记ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3c b =，cos 5cos 0B C +=． （1）求cos C ；（2）若D 是边AB 上一点，BC CD ⊥，且CD =ABC 的面积，【答案】（1）14-（2）4【解析】【分析】（1）由余弦定理化角为边，结合3c b =得=a ，再由余弦定理求cos C ；（2）根据题意由cos C 得cos B ，则在Rt DCB △中，由CD 与角B 可得a 。

射洪中学2022-2023学年高三上期第三次月考文科数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

每个小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。

）1.已知集合{}{}3,1,2,4,6,0.52.5A B x x =--=-<<，则A B =（ ）A.{}1,2,4-B.{}2C.{}1,2-D.{}2,42.()i 23i +=( )A.32i -B.32i +C.32i --D.32i -+3.AQI 的数值越小，表明空气质量越好，当AQI 的数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地3月1日到12日AQI 的数值的统计数据，图中点A 表示3月1日的AQI 的数值为201，则下列叙述不正确的是（ ）A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是3月9日C.从3月9日到12日，空气质量越来越好D.从3月4日到9日，空气质量越来越好 4.设等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，4564a a a ++=，则101112a a a ++=（ ）A.6B.8C.10D.125.若m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下面命题正确的是( )A.若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥αB.若m ⊥β，m ∥α，则α⊥βC.若α∩γ=m ，β∩γ=n ，则α∥βD.若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ6.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A.-2B.-6C.-8D.-12 7.已知向量()1,1a =，6a b ⋅=，2b =，则向量a ，b 的夹角为（ ）A.6πB.4πC.3πD.23π8.已知角α的终边上有一点，则sin2α=（）9.下面有四个命题：①“x∀∈R，e0x>”的否定是“0x∃∈R，00xe≤”；②命题“若6πθ=，则cosθ=的否命题是“若6πθ=，则cosθ≠③“ln lnm n<”是“m ne e<”的必要不充分条件：④若命题p为真命题，q为假命题，则p q∨为真命题.其中所有正确命题的编号是( )A.①②④B.①③C.①④D.②④10.已知函数()f x是定义在R上的偶函数，若函数()f x满足1x∀，2x≥，且12x x≠，()()1212f x f xx x-<-.若()π3a f=，21log4b f⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5c f=-，则a，b，c三者的大小关系为（）A.a c b<< B.c b a<<C.b<c<aD.c<a<b11.已知直线l为曲线1lny x x=++在()1,2A处的切线，若l与二次曲线()221y ax a x=+++也相切，则=a（）A.0B.4-C.4D.0或412.定义在R上的奇函数()f x满足(2)()f x f x-=，且在[0,1]上单调递减，若方程()1f x=-在[0,1)上有实数根，则方程()1f x=在区间[1,7]-上所有实根之和是（）A.30B.14C.12D.6第II卷（非选择题）二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.设椭圆标准方程为2212516x y+=，则该椭圆的离心率为______.14.已知实数,x y满足22210x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则32z x y=-的最大值为_________.15.将函数()2sin203f x xπωω⎛⎫=->⎪⎝⎭（）的图象向左平移6πω个单位长度，得到函数()y g x=的图象，若()y g x=在[0，4π]上为增函数，则ω的最大值为___________.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，M、N、P分别是1AA，1CC，11C D的中点，Q是线段11D A上的动点，则下列命题：①不存在点Q，使PQ∥平面MBN；②三棱锥B CNQ-的体积是定值；③直线1B D⊥平面PMN④经过C、A、B、N四点的球的表面积为9π.正确的是______.三、解答题（共70分。

青海师范大学附属实验中学2022-2023学年度第一学期教学质量检测高三文科数学一、单选题：本题12小题，共60分。

1．已知全集{}1,0,1,2,3,4,5,6U =-，{}0,2,3A =，{}1,4,6B =，则()UA B =（ ）A ．{}1,0,2,3,5-B ．{}0,1,2,3,4,6C ．{}0,2,3D ．{}2,32．已知复数12,3iz i+=则z 的共轭复数z =（ ） A ．2133i -B ．2133i --C ．2133i -+D ．2133i +3．在区间()0,3上随机地取一个数,k 则事件“直线y kx =与双曲线22:1C x y -=有两个不同的交点”发生的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．14．已知()(00)p x y x y ≠≠，，是椭圆22:1168x y C +=上的动点，12F F 、分别为C 的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且10F M PM ⋅=，则||OM 的取值范围是（ ）A ．(0B ．(03)，C ．D ．5．若,p q 都为命题，则“p 或q 为真命题”是“p ⌝且q 为真命题”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数212x y x+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若231,,,4a a 成等差数列；2341,,,,4b b b 成等比数列，则233a ab -等于（ ） A ．12B ．12-C ．12±D ．148．如图所示，点P 是函数2sin()y x ωϕ=+（x ∈R ，0ω>）的图像的最高点，M 、N 是该图像与x 轴的交点，若△PMN 是等腰直角三角形，则ω=A ．8π B ．4π C ．2π D ．π9．设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且f(0)＝0为函数的极值，则有( ) A ．c≠0 B ．b ＝0C ．当a>0时，f(0)为极大值D ．当a<0时，f(0)为极小值10．已知双曲线22221x y a b -=的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的方程为（ ） A ．2212x y -=B ．2214x y -=C ．2221x y -=D ．2241x y -=11．下列说法正确的是（ ） A ．“2019x =”是“x =2019”的充分条件 B ．“x =-1”的充分不必要条件是“2230x x --=”C ．“m 是实数”的充分必要条件是“m 是有理数”D ．若0b a <<，则11a b <12．已知曲线()32f x x x =+-在P 点处的切线平行于直线41y x =-，则P 点的坐标为（ ）A ．()1,0或()1,4--B ．()0,1C ．()1,0-D ．()1,4二、填空题：本题5小题，共20分。