广东省广州市普通高中2021届高三数学综合测试试题(一)文

2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷(一模)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 复数z =a+i3−4i ∈R ，则实数a 的值是( )A. −34B. 34C. 43D. −432. 已知集合U =R ，函数y =√1−x 的定义域为M ，集合N ={x|x 2−x ≤0}，则下列结论正确的是( )A. M ∩N =NB. M ∩(∁∪N)=⌀C. M ∪N =UD. M ⊆(∁∪N)3. 已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( )A. x =60tB. x =60t +50tC. x ={60t,(0≤t ≤2.5)150−50t,(t >3.5)D. x ={60t,(0≤t ≤2.5)150,(2.5≤t ≤3.5)150−50(t −3.5),(3.5<t ≤6.5)4. 已知m⃗⃗⃗ ，n ⃗ 为两个非零向量，则“m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ <0”是“m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为钝角”的( ) A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如图所示为某二次函数f(x)的图象，若函数g(x)=f′(x)f(x)，(f′(x)是f(x)的导函数)，则g(x)的图象是( )A.B.C.D.6. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中选出三个数，排成一个三位数．在这个三位数是偶数的条件下，该三位数的三个数字之和为偶数的概率是( )A. 1126B. 1150C. 113D. 9267. 已知直线l 的倾斜角α=30°，则直线l 的斜率k =( )A. √3B. √33C. 12D. √328. 函数y =(1a )x −b 与函数y =log a (x −b)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设抛物线C ：y 2=2px(p >0)的顶点为O ，焦点为F ，准线为l.P(x,y)是抛物线C 上异于O 的一点，过P 作PQ ⊥l 于点Q ，则( )A. |PF|=x +p2B. 线段FQ 的垂直平分线经过点PC. 以为PF 直径的圆与y 轴相切D. 以为PF 直径的圆与准线相切10. 对于函数f(x)={sinx,sinx ≥cosxcosx,sinx <cosx，下列说法中正确的是( )A. f(x)是以2π为最小正周期的周期函数B. 当且仅当x=2kπ+π2(k∈Z)时，f(x)取得最大值1C. 当且仅当x=2kπ+5π4(k∈Z)时，f(x)取得最小值−√22D. 当且仅当2kπ+π<x<2kπ+3π2(k∈Z)时，f(x)<011.已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着AB，BC，CD，DA把△ABF，△BCG，△CDH，△DAE向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则()A. △AEF是正三角形B. 平面AEF⊥平面CGHC. 直线CG与平面AEF所成角的正切值为√2D. 当AB=2时，多面体ABCD−EFGH的体积为8312.已知等差数列{a n}满足a1+a3=8，a4−a2=4.数列{a n}的前n项和为S n，数列{1S n}的前n项和为T n，若T n>99100，则n的可能取值为()A. 98B. 99C. 100D. 101三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.己知a⃗=(1,2)，b⃗ =(x,1).若2a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角是锐角，则x的取值范围______．14.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元) 6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ŷ=b̂x+â，其中b̂=0.76，â=y−−b̂x−，据此估计，该社区一户居民年收入为15万元家庭的年支出为______万元．15.双曲线=1的渐近线方程为________．16.半径为13的球被两个平行平面所截，两个截面圆的面积分别为25π、144π，则两个平行平面间的距离为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在中，角、、所对的边分别为、、，满足．(1)求角；(2)求的取值范围．18.设数列a1，a2，…，a2015满足性质P：a1+a2+a3+⋯+a2015=0，|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a2015|=1．(Ⅰ)(ⅰ)若a1，a2，…，a2015是等差数列，求a n；(ⅰ)是否存在具有性质P的等比数列a1，a2，…，a2015？(Ⅱ)求证：a1+12a2+13a3+⋯+12015a2015≤10072015．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4√5．(Ⅰ)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角A−PB−D的余弦值．20.电动车企业生产每台车的利润与车首次出现故障的时间有关．某厂家生产甲、乙两种型号电动车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种型号电动车中各随机抽取50台，统计数据如下：型号甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤11<x≤2x>2数量(台)23451445每台利润(元)100200300150180290将频率视为概率．(Ⅰ)从该厂生产的甲、乙两种型号电动车中随机各抽取一台，求至少有一台首次出现故障发生在保修期内的概率；(Ⅱ)若该厂生产的电动车均能售出，记生产一台甲型号的车利润为X1，生产一台乙型号的车利润为X2，若该厂预计今后这两种型号电动车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种型号．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种型号的电动车？并说明理由．21. 已知圆F ：x 2+(y −1)2=1，动圆P 与定圆F 在x 轴的同侧且与x 轴相切，与定圆F 相外切．(Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点M(0,2)的直线交曲线C 于A ，B ，若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的方程． 22. 设函数，其中．(1)当时，求在曲线上一点处的切线方程；(2)求函数的极值点。

2021年广州市高三年级调研测试数学（文科）（参考答案及评分标2021年广州市高三年级调研测试-数学（文科）（参考答案及评分标试卷类型：a2021年广州市高三年级调研测试数学（文科）本试卷共4页，共21题，满分150分后。

考试用时120分钟。

2021.01注意事项：1.成绩单前，学生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学生号、试室号、座位号核对在答题卡上，用2b铅笔在答题卡上的适当边线ED79学生号。

用2b铅笔将试卷类型（a）ED79在答题卡适当边线上。

2.选择题每小题挑选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，例如须要改动，用橡皮擦整洁后，出马涂抹其他答案，答案无法答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2b铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

参照公式：锥体的体积公式v?1sh，其中s就是锥体的底面积，h就是锥体的高．3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数g?x??a．xx??3c．xx??3x?3的定义域为b．?xx??3??d．?xx??3?2．已知i为虚数单位,则复数z?i(1?i)在复平面内对应的点位于a．第一象限b．第二象限c．第三象限d．第四象限3．设立向量a?(2,0),b?(1,1),则以下结论中恰当的就是a．|a|?|b|b．a?b?1c．a//bd．(a?b)?b24．未知直线l经过座标原点，且与圆x2?y2?4x?3?0切线，切点在第四象限，则直线l的方程为a．y??3xb．y?3xc．y??33xxd．y?335.甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：平均值环数x甲乙丙丁8.68.98.98.2方差s23.53.52.15.6从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是a．甲b．乙c．丙d．丁6.如果继续执行图1的程序框图，若输出n?6,m?4，那么输入的p等同于a．720b．360c．240d．12027.“x?2”就是“x?3x?2?0”设立的图1a．充分不必要条件b．必要不充分条件c．充要条件d．既不充分也不必要条件8.定义x?y?x3?y,则h??h?h?等于a．?hb．0c．hd．h9.一空间几何体的三视图如图2所示,该几何体的体积为333xx4正视图4侧视图85，则正视图中x的值3a．5b．412??c．3d．210.若把函数y?f?x?的图象沿x轴向左位移个单位,沿y4俯视图图2轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸短至原来的2倍(纵坐标维持维持不变),获得函数y?sinx的图象,则y?f?x?的解析式为a．y?sin?2xb．?1y?sin2x12?4??c．y?sin?1?1x???1d．y?sin?x14?2??2?2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11～13题）11．未知等比数列?an?的公比就是2，a3?3，则a5的值就是.-2-12．△abc的三个内角a、b、c所对边的长分别为a、b、c，未知a?2,b?3，则sina?.sin(a?c)?x??2,x,1?,13.设函数f?x2若f?x??4，则x的取值范围是.x,x?1,??.mb（二）Suippes题（14～15题，学生就可以从中选搞一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，四边形abcd内接于⊙o，andobc就是直径，mn与⊙o切线,切点为a，?mab?35,c?则?d?.15．（坐标系与参数方程选讲Suippes题）未知直线l的参数方程为：?图3?x?2t,（t为弁y14t数），圆c的极坐标方程为??22sin?，则直线l与圆c的位置关系为.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）未知向量a?(sin?,2),b?(cos?,1),且a//b，其中??(0,（1）谋sin?和cos?的值；（2）若sin()??2)．3?,0，求cos?的值．5217.（本小题满分12分）某公司存有一批专业技术人员，对他们展开年龄状况和拒绝接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数原产)如下表中：学历本科研究生35岁以下35～50岁50岁以上80302020xy（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法提取n个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这n个人中随机提取出来1人，此人的年龄为50岁以上的概率为-3-5，谋x、y的值.3918.（本小题满分14分后）如图4，在四棱锥p?abcd中，平面pad?平面abcd，ab∥dc，△pad就是等边三角形，未知bd?2ad?4，ab?2dc?25．p（1）澄清：bd?平面pad；（2）求三棱锥a?pcd的体积．dcab19.（本小题满分14分后）图41x2y2?1a?3的离心率e?.直线x?t（t?0）与曲线e交于已知椭圆e:2?2a3??不同的两点m,n,以线段mn为直径作圆c,圆心为c．（1）求椭圆e的方程；（2）若圆c与y轴平行于相同的两点a,b，谋?abc的面积的最大值.20．（本小题满分14分）未知数列{an}的前n项和为sn，且满足用户sn?1?an(n?n).各项为正数的数列{bn}中，对于一切n?n,存有**?k?1n1bk?bk?1?nb1?bn?1，且b1?1,b2?2,b3?3.（1）谋数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{anbn}的前n项和为tn,求证:tn?2.21.（本小题满分14分后）未知函数f?x??x?a(a?r),g?x??lnx.x（1）求函数f?x??f?x??g?x?的单调区间；（2）若关于x的方程g?x??f?x??2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根,谋a的值.x2-4-2021年广州市高三调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：题号答案1a2b3d4c5c6b7a8c9c10b二、填空题：11．1212．2?13.,?22,14．12515．相交3三、解答题：16．（1）解：∵a?(si n?,2),b?(cos?,1),且a//b，sin?cos??，即sin??2cos?.??2分后2125522∵sin??cos??1,0,?,Champsaursin??,cos??,55?2?∴255.??6分后,cos??553（2）求解:∵0，0，∴.∵sin(???)?,2222542∴cos()?1?sin()?.??8分5∴cos??cos[??()]?cos?cos()?sin?sin()??10分后∴sin25.??12分517．(1)解:用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m，∴30m?,Champsaurm?3.??2分后505∴提取了学历为研究生2人，学历为本科3人，分别记作s1、s2；b1、b2、b3.从中任取2人的所有基本事件共10个:(s1,b1),(s1,b2),(s1,b3),(s2,b1),(s2,b2),(s2,b3),(s1,s2),(b1,b2),(b2,b3),(b1 ,b3).其中至少存有1人的学历为研究生的基本事件存有7个:(s1,b1),(s1,b2),(s1,b3),(s2,b1),(s2,b2),(s2,b3),(s1,s2).??4分后∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为(2)解:依题意得：7.??6分后10105?，Champsaurn?78.??8分后n39482021??∴35～50岁中被提取的人数为78?48?10?20.∴.??10分后80?x5020?y解得x?40,y?5.∴x?40,y?5.??12分18.（1）证明：在△abd中，由于ad?2，bd?4，ab?25，∴ad?bd?ab.?2分后∴ad?bd．又平面pad?平面abcd，平面pad?平面abcd?ad，bd?平面abcd，∴bd?平面pad.??4分（2）解：过p作po?ad交ad于o.又平面pad?平面abcd，∴po?平面abcd．??6分后第1页共4页222。

图1乙甲75187362479543685343212021年广东省广州市高三年级调研测试数学(文科)试题2021.1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：如果事件B A ,互斥，那么()()()B P A P B A P +=+．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i 为虚数单位，则（+1i ）（-1 i ）=A ．0B ．1C ．2D ．2i 2．在等比数列｛a n ｝中，已知,11=a 84=a ，则=5aA ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－32 3．已知向量a =（x ，1），b =（3，6），a ⊥b ，则实数x 的值为 A ．12 B ．2- C ．2 D ．21- 4．经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 A ．30x y -+= B ．30x y --= C. 10x y +-= D ．30x y ++=5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，()2xf x =，则(2)f -=A ．14B ．4-C ．41- D ．46. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，图2俯视图侧视图正视图4则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A．62 B．63C．64 D．657. 已知1cos24α=，则2sinα=A．12B．34C．58D．388. 命题“,11a b a b>->-若则”的否命题．．．是A.,11a b a b>-≤-若则B.若ba≥，则11-<-baC.,11a b a b≤-≤-若则D.,11a b a b<-<-若则9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为A．6 B．24C．123D．3210. 已知抛物线C的方程为212x y=，过点A()1,0-和点()3,tB的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11, B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-,2222,C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,22二、填空题:本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11～13题）11.函数22()log(1)f x x=-的定义域为.12．如图3所示的算法流程图中，输出S的值为.图3图4P13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为_________． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PAB 、PCD ，5==AB PA ，3=CD ，则=PC ____________．三、解答题: 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)已知()sin f x x x =∈x (R ). （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值． 17. (本小题满分12分)某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地 在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学 生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分) 的频率为0.05,此分数段的人数为5人. 0(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 图5 18．(本小题满分14分)如图6，已知四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ， ABCD 是直角梯形，BC AD //，BAD ∠=90º，AD BC 2=． （1）求证：AB ⊥PD ；频率分数901001101201300.050.100.150.200.250.300.350.408070（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使AE //平面PCD ， 若存在，指出点E 的位置并加以证明；若不存在，请说明理由. 19. (本小题满分14分)设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =22,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.20．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 244n S n n =-+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2n n n a b =，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：141<≤n T . 21. （本题满分14分） 已知函数()a ax x x x f -+-=2331 (a ∈R )． (1) 当3-=a 时，求函数()x f 的极值；（2）若函数()x f 的图象与x 轴有且只有一个交点，求a 的取值范围．2009年广州市高三年级调研测试数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题． 11．()11,- 12．52 13．7 14．⎪⎭⎫⎝⎛2,2π 15．2 说明：第14题答案可以有多种形式，如可答⎪⎭⎫ ⎝⎛25,2π或∈⎪⎭⎫⎝⎛+k k (22,2ππZ ）等, 均给满分. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．(本小题满分12分) 解：（1）∵()x x x f cos 3sin +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 23sin 212 …… 2分 ⎪⎭⎫⎝⎛+=3sincos 3cossin 2ππx x …… 4分 ⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πx . …… 6分 ∴2T π=. …… 8分 (2) 当13sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx 时, )(x f 取得最大值, 其值为2 . ……10分 此时232x k πππ+=+，即26x k ππ=+∈k (Z ). ……12分17. (本小题满分12分)解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为51000.05=人. ……4分 ∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d , 由4226d ⨯+=100,解得2=d .∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. ……8分(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75.……12分18．(本小题满分14分) 解：（1）∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，FEADBCPF EADBC P∴PA ⊥AB . …… 2分∵ AB ⊥AD ，PA AD A =， ∴ AB ⊥平面PAD ， …… 4分 ∵ PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD . …… 6分（2）法1: 取线段PB 的中点E ，PC 的中点F ，连结DF EF AE ,,,则EF 是△PBC 中位线. ∴EF ∥BC ，BC EF 21=， ……8分 ∵ BC AD //，BC AD 21=， ∴EF AD EF AD =,//.∴ 四边形EFDA 是平行四边形， ……10分∴ DF AE //.∵ AE ⊄平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴ AE ∥平面PCD . ……12分 ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点． ……14分法2: 取线段PB 的中点E ，BC 的中点F ，连结AF EF AE ,,,则EF 是△PBC 的中位线. ∴EF ∥PC ，BC CF 21=， ∵⊄EF 平面PCD , ⊂PC 平面PCD ,∴//EF 平面PCD . …… 8分 ∵ BC AD //，BC AD 21=， ∴CF AD CF AD =,//.∴ 四边形DAFC 是平行四边形， ∴ CD AF //. ∵AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴ AF ∥平面PDC . ……10分 ∵F EF AF = ,∴平面//AEF 平面PCD .∵⊂AE 平面AEF ,∴AE ∥平面PCD . ……12分 ∴ 线段PB 的中点E 是符合题意要求的点． ……14分19. (本小题满分14分)解:(1)依题意知,24, 2.a a =∴= …… 2分 ∵22==a c e , ∴2,222=-==c a b c . …… 4分∴所求椭圆C 的方程为12422=+y x . …… 6分 （2）∵ 点P ()00,y x 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯=+-=⨯--.222,1210101010x x y y x x y y …… 8分解得：001435y x x -=，001345y x y +=. …… 10分 ∴011543x y x -=-. …… 12分∵ 点P ()00,y x 在椭圆C :12422=+y x 上, ∴220≤≤-x , 则105100≤-≤-x .∴1143y x -的取值范围为[]10,10-. ……14分 20. (本小题满分14分)(1) 解：当1n =时，111a S ==. ……1分 当2n ≥时，1--=n n n S S a()()[]41414422+----+-=n n n n52-=n . ……3分∵11=a 不适合上式, ∴⎩⎨⎧≥-==.2,52,1,1n n n a n ……4分（2）证明: ∵1,12252,22n n n nn a b n n ⎧=⎪⎪==⎨-⎪≥⎪⎩.当1=n 时，11,2T =……6分 当2n ≥时，23111252222n n n T --=++++, ① 234111112725222222n nn n n T +---=+++++. ② ①－②得:23111211252()222222n n n n T +-=-+++- 211125(1)222n n n -+-=-- 得211(2)2n nn T n -=-≥， ……8分 此式当1=n 时也适合. ∴∈--=n n T nn (2121N )*. ∵*210()2nn n ->∈Ν， ∴1n T <. ……10分 当2n ≥时，111212123(1)(1)0222n n n n n n n n T T ++++---=---=>， ∴1(2)n n T T n +<≥. ……12分∵12131,1244T T ==-=， ∴21T T <. 故2n T T ≥，即*1()4n T n ≥∈N . 综上，*11()4n T n ≤<∈N ． ……14分 21. (本小题满分14分)解：（1）当3-=a 时，()333123+--=x x x x f ， ∴()x f '()()13322+-=--=x x x x .令()x f '=0, 得 121,3x x =-=. …… 2分当1-<x 时,()0'>x f, 则()x f 在()1,-∞-上单调递增;当31<<-x 时,()0'<x f , 则()x f 在()3,1-上单调递减; 当3>x 时,()0'>x f, ()x f 在()+∞,3上单调递增. …… 4分∴ 当1-=x 时, ()x f 取得极大值为()=-1f 31433131=++--; 当3=x 时, ()x f 取得极小值为()39927313+--⨯=f 6-=. …… 6分 （2） ∵ ()x f '= a x x +-22，∴△= a 44-= ()a -14 .① 若a ≥1，则△≤0， …… 7分 ∴()x f '≥0在R 上恒成立，∴ f （x ）在R 上单调递增 . ∵f （0）0<-=a ，()023>=a f ,∴当a ≥1时，函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点． …… 9分② 若a ＜1，则△＞0，∴()x f '= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x 1，x 2，（x 1<x 2）． ∴x 1+x 2 = 2，x 1x 2 = a ． 当x 变化时，()()x f ,x f '的取值情况如下表：…… 11分∵02121=+-a x x , ∴1212x x a +-=. ∴()a ax x x x f -+-=12131131 =12112131231x x ax x x -++- ()131231x a x -+=()[]2331211-+=a x x . 同理()2x f ()[]2331222-+=a x x . ∴()()()[]()[]23239122212121-+⋅-+=⋅a x a x x x x f x f ()()()()()[]2222122121292391-++-+=a x x a x x x x ()()[](){}22122122922391-+-+-+=a x x x x a a a11 ()33942+-=a a a . 令f （x 1）·f （x 2）＞0, 解得a ＞0．而当10<<a 时,()()023,00>=<-=a f a f ,故当10<<a 时, 函数f （x ）的图象与x 轴有且只有一个交点. …… 13分综上所述，a 的取值范围是()+∞,0． …… 14分2009年广州市高三年级调研测试数 学（文 科）二、填空题: 本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14 ~ 15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分. 把答案填在下面的横线上.11. 12. 13. 14. 15.三、解答题: 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．(本小题满分12分)17．(本小题满分12分)18．(本小题满分14分)19．(本小题满分14分)20．(本小题满分14分)21．(本小题满分14分)。

绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =-≤，则AB =（A ）{}11x x -≤≤（B ）{}01x x ≤≤（C ）{}01x x <≤（D ）{}01x x ≤< （2）已知复数3i1iz +=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z 所对应的点在 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（A ）6（B ）8（C ）10（D ）12 （4）如果函数()sin 6f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭()0ω>的相邻两个零点之间的距离为6π，则ω的值为 （A ）3（B ）6（C ）12（D ）24（5）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且271224a a a ++=，则13S =（A ）52（B ）78 （C ）104（D ）208（6）如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（A ）10n +（B ）20n +（C ）210n +（D ）220n +开始k =23x x =+ 2k k =+ 结束输入x是否输出k 100?x >（7）在梯形ABCD 中，AD BC ，已知4AD =，6BC =，若CD mBA nBC =+(),m n ∈R ，则m n= （A ）3-（B ）13-（C ）13（D ）3 （8）设实数x ，y 满足约束条件10,10,1x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩， 则()222x y ++的取值范围是（A ）1,172⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）[]1,17（C ）17⎡⎤⎣⎦（D ）2172⎣ （9）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A ）20π（B 205πC ）5π（D 55π（11）已知下列四个命题：1p ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2p ：若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； 3p ：若()11f x x x =++，则()00,x ∃∈+∞，()01f x =； 4p ：在△ABC 中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题的个数是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（11）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为 （A ）88246+B ）88226+（C ）2226+D ）126224+（12）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．1 2 3 4 5 … 2021 2021 2021 2021 3 5 7 9 ………… 4027 4029 4031 8 12 16 ………………… 8056 8060 20 28 ………………………… 16116 …………………………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为 （A ）201520172⨯（B ）201420172⨯（C ）201520162⨯（D ）201420162⨯第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，…，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，…，6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是．（14）已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，且0BA BF =，则双曲线C 的离心率为．（15）()422x x --的展开式中，3x 的系数为．（用数字填写答案）（16）已知函数()211,1,42,1x x f x x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()()22xg x f x =-的零点个数为个．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，53AC =5CD =,2BD AD =.（Ⅰ）求AD 的长； （Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所ABCD示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1． （Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．（19）（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，ACBD O =，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角1B OB C --的余弦值．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为()120F -，，点(2B 2,在椭圆C 上，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；1DABCDO1A1B1C（Ⅱ）以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数+3()e x m f x x =-,()()ln 12g x x =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，求实数m 的值； （Ⅱ）当1m ≥时，证明：()3()f x g x x >-.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DECA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =，求线段AC 的长．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程FC D．O ABE在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：33,32x t y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()1f x x a x a =-- （Ⅰ）当1a =时，求不等式()12f x ≥的解集； （Ⅱ）若对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集，求实数b 的取值范围．绝密 ★ 启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题答案及评分参考评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题（1）D （2）D（3）C （4）B（5）C（6）A（7）A （8）A （9）D（10）B（11）A （12）B二．填空题（13）43（1451+ （15）40- （16）2三．解答题（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =．在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以cos CD CDB BD ∠=52x=．………………………………………………………2分 在△ACD 中，因为AD x =，5CD =，53AC =由余弦定理得2222225(53)cos 2AD CD AC x ADC AD CD +-+-∠==⨯⨯ ………4分 因为CDB ADC ∠+∠=π， 所以cos cos ADC CDB ∠=-∠，2225(53)52x x+-=-．………………………………………………………5分解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 解法二： 在△ABC 中，因为2BD AD =，设AD x =()0x >，则2BD x =． 在△BCD 中，因为CD BC ⊥，5CD =，2BD x =， 所以2425BC x =-所以2425cos BC x CBD BD -∠==2分 在△ABC 中，因为3AB x =，2425BC x -53AC =由余弦定理得22222cos 26425AB BC AC CBA AB BC x x +-∠==⨯⨯⨯-．…………4分2425x -=226425x x ⨯-．………………………………………………5分 解得5x =．所以AD 的长为5. …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得315AB x ==，2425BC x =-53=．………………8分所以3cos BC CBD BD ∠==1sin 2CBD ∠=．…………………………10分 所以1sin 2ABC S AB BC CBA ∆=⨯⨯⨯∠ 11753155322=⨯⨯=12分 解法二：由（Ⅰ）求得315AB x ==，2425BC x =-53=．………………8分 因为53AC =ABC 为等腰三角形．因为3cos BC CBD BD ∠==30CBD ∠=．……………………………10分 所以△ABC 底边AB 上的高1532h BC == 所以12ABC S AB h ∆=⨯⨯ 153753152=⨯=12分解法三：因为AD 的长为5， 所以51cos ==22CD CDB BD x ∠=，解得3CDB π∠=．……………………………8分所以12253sin 23ADC S AD CD ∆π=⨯⨯⨯=． 1253sin 232BCD S BD CD ∆π=⨯⨯⨯=．……………………………………10分所以753ABC ADC BCD S S S ∆∆∆=+=12分（18）解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分 因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 P0.0640.2880.4320.216所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）……………12分 （19）（Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ，所以1AO BD ⊥．………………1分 因为ABCD 是菱形，………………………10分1A1B1C1D所以CO BD ⊥．………………2分 因为1AO CO O =，所以BD ⊥平面1A CO ．……………………………………………………………3分 因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，3OA OC ==22111OA AA OA =-=．………………6分则()1,0,0B ，()3,0C ，()0,3,0A -，()10,0,1A ，所以()113,1BB AA ==，()11+1,3,1OB OB BB ==．………………………7分 设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ， 因为()1,0,0OB =，()11,3,1OB =，所以0,30.x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y ，得(0,1,3=-n ．…………………………………………………………9分同理可求得平面1OCB 的法向量为()1,0,1=-m ．………………………………10分 所以36cos ,22<>==n m ．…………………………………………………11分 因为二面角1B OB C --的平面角为钝角，zyx ABCDO1A1B1C1D所以二面角1B OB C --的余弦值为64-．……………………………………12分解法二：由（Ⅰ）知平面1ACO ⊥平面11BB D D ， 连接11AC 与11B D 交于点1，连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ， 所以11CAAC 为平行四边形． 因为O ，1O 分别是AC ，11AC 的中点， 所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =，过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D ．过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则1CK OB ⊥．所以CKH ∠是二面角1B OB C --的平面角的补角．……………………………6分 在1Rt OCO ∆中，1113322O C OC CH OO ⨯⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B ，所以2211115OB OA A B =+=因为11A B CD =，11//A B CD ， 所以221112B C A D AO OD ==+=．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分 所以1123655CB OC CK OB ⨯===⨯9分ABCDO1A1B1C1DKH1O所以2225KH CK CH =-．…………………………………………………10分所以6cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为64-．……………………………………12分（20）（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=．……………………………1分 设椭圆的右焦点为()220F ，，已知点(22B 在椭圆C 上， 由椭圆的定义知122BF BF a +=，所以232242a ==．………………………………………………………2分 所以22a =2b =．………………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 解法二：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为()120F -，，所以224a b -=． ①…………………1分 因为点(22B ,在椭圆C 上，所以22421a b +=． ②…………………2分 由①②解得，22a =2b =．…………………………………………………3分所以椭圆C 的方程为22184x y +=．………………………………………………4分 （Ⅱ）解法一：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()2,0-．…………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()00,E x y （不妨设00x >），则点()00,F x y --．联立方程组22,184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22812x k =+． 所以022212x k=+022212k y k=+所以直线AE 的方程为)222112y x k=+++．……………………………6分因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ，令0x =得222112k y k =++222112k M k ⎛ ++⎝．……………………7分 同理可得点22112kN k ⎛⎫ -+⎝．…………………………………………………8分 所以()22222122222112112k k k MN kkk+==++-+．…………………9分设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为20,P k ⎛- ⎝⎭．…………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为222x y k ⎛++= ⎝⎭()22212k k +， 即22224x y y k++=．…………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法二：因为椭圆C 的左端点为A ，则点A 的坐标为()2,0-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点00(,)E x y ，则点00(,)F x y --．所以直线AE 的方程为002222y x x =++．………………………………6分 因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得002222y x =+，即点002222M x ⎛⎫+⎝．……………………………7分 同理可得点002222y N x ⎛⎫-⎝．……………………………………………………8分所以000200022221682222y y yMN x x x ==-+-．因为点00(,)E x y 在椭圆C 上，所以2200184x y +=． 所以08MN y =．……………………………………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为0020,x P y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为22002x x y ⎛++= ⎝⎭2016y ． 即22022+x x y y y +=4．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分 解法三：因为椭圆C 的左顶点为A ，则点A 的坐标为()22,0-．……………5分因为直线(0)y kx k =≠与椭圆22184x y +=交于两点E ，F ， 设点()22,2sin E θθ（0θ<<π），则点()22,2sin F θθ--．所以直线AE 的方程为2222cos 22y x θ=++．………………………6分因为直线AE 与y 轴交于点M ，令0x =得2sin cos 1y θθ=+，即点2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫⎪+⎝⎭．………………………………7分 同理可得点2sin 0,cos 1N θθ⎛⎫⎪-⎝⎭．………………………………………………………8分所以2sin 2sin 4cos 1cos 1sin MN θθθθθ=-=+-．………………………………………9分 设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为2cos 0,sin P θθ⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………10分 则以MN 为直径的圆的方程为222cos sin x y θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭24sin θ， 即224cos 4sin x y y θθ++=．………………………………………………………11分 令0y =，得24x =，即2x =或2x =-．故以MN 为直径的圆经过两定点()12,0P ，()22,0P -．………………………12分（21）（Ⅰ）解：因为+3()ex mf x x =-，所以+2()e 3x m f x x '=-.……………………………………………………………1分 因为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线斜率为1，所以()0e 1mf '==，解得0m =.…………………………………………………2分（Ⅱ）证法一：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+eln 120x mx -+->．当1m ≥时，()()+1e ln 12e ln 12x m x x x +-+-≥-+-．要证()+e ln 120x m x -+->，只需证明1e ln(1)20x x +-+->.………………4分 以下给出三种思路证明1e ln(1)20x x +-+->． 思路1：设()()1e ln 12x h x x +=-+-，则()11e1x h x x +'=-+. 设()11e 1x p x x +=-+，则()()121e 01x p x x +'=+>+． 所以函数()p x =()11e 1x h x x +'=-+在()1+-∞，上单调递增．…………………6分 因为121e 202h ⎛⎫'-=-< ⎪⎝⎭，()0e 10h '=->，所以函数()11e1x h x x +'=-+在()1+-∞，上有唯一零点0x ，且01,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. ………………………………8分 因为()00h x '=，所以0+101e1x x =+，即()()00ln 11x x +=-+.………………9分 当()01,x x ∈-时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x .………………………………………10分 所以()()()0100=e ln 12x h x h x x +≥-+-()0011201x x =++->+. 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 思路2：先证明1e 2x x +≥+()x ∈R ．……………………………………………5分设()1e2x h x x +=--，则()+1e 1x h x '=-．因为当1x <-时，()0h x '<，当1x >-时，()0h x '>，所以当1x <-时，函数()h x 单调递减，当1x >-时，函数()h x 单调递增．所以()()10h x h ≥-=． 所以1e2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………………………………7分所以要证明1e ln(1)20x x +-+->，只需证明()2ln(1)20x x +-+->．………………………………………………8分 下面证明()ln 10x x -+≥．设()()ln 1p x x x =-+，则()1111xp x x x '=-=++． 当10x -<<时，()0p x '<，当0x >时，()0p x '>，所以当10x -<<时，函数()p x 单调递减，当0x >时，函数()p x 单调递增． 所以()()00p x p ≥=．所以()ln 10x x -+≥（当且仅当0x =时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以1eln(1)20x x +-+->．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 （若考生先放缩()ln 1x +，或e x、()ln 1x +同时放缩，请参考此思路给分！）思路3：先证明1eln(1)20x x +-+->．令1t x =+，转化为证明e ln 2tt ->()0t >．……………………………………5分因为曲线e ty =与曲线ln y t =关于直线y t =对称，设直线0x x =()00x >与曲线e ty =、ln y t =分别交于点A 、B ，点A 、B 到直线y t =的距离分别为1d 、2d ， 则)122AB d d +．其中0012x d =，22d =()00x >．①设()000e x h x x =-()00x >，则()00e 1x h x '=-． 因为00x >，所以()00e 10x h x '=->．所以()0h x 在()0,+∞上单调递增，则()()001h x h >=． 所以00122x d => ②设()000ln p x x x =-()00x >，则()0000111x p x x x -'=-=． 因为当001x <<时，()00p x '<；当01x >时，()00p x '>， 所以当001x <<时，函数()000ln p x x x =-单调递减；当01x >时，函数()000ln p x x x =-单调递增． 所以()()011p x p ≥=． 所以00222d =≥． 所以)122222222AB d d ≥+>+=⎭． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-.……………………………………12分 证法二：因为+3()ex mf x x =-,()()ln 12g x x =++，所以()3()f x g x x >-等价于()+e ln 120x mx -+->．…………………………4分以下给出两种思路证明()+e ln 120x mx -+->．思路1：设()()+e ln 12x mh x x =-+-，则()+1e 1x m h x x '=-+. 设()+1e1x mp x x =-+，则()()+21e 01x m p x x '=+>+． 所以函数()p x =()+1e1x mh x x '=-+在()+∞-1，上单调递增．………………6分因为1m ≥， 所以()()1e +1e 1eee e e 10m mmmm m h ----+-+'-+=-=-<，()0e 10m h '=->.所以函数()+1e1x mh x x '=-+在()+∞-1，上有唯一零点0x ，且()01e ,0m x -∈-+. …………………8分 因为()00h x '=，所以0+01e1x mx =+，即()00ln 1x x m +=--．………………9分 当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>.所以当0x x =时，()h x 取得最小值()0h x ．……………………………………10分 所以()()()0+00e ln 12x mh x h x x ≥=-+-00121x m x =++-+ ()0011301x m x =+++->+． 综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分 思路2：先证明e 1()xx x ≥+∈R ，且ln(1)(1)x x x +≤>-．…………………5分 设()e 1xF x x =--，则()e 1x F x '=-．因为当0x <时，()0F x '<；当0x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增． 所以当0x =时，()F x 取得最小值(0)0F =．所以()(0)0F x F ≥=，即e 1()xx x ≥+∈R ．…………………………………7分 所以ln(1)x x +≤（当且仅当0x =时取等号）．…………………………………8分 再证明()+eln 120x mx -+->．由e 1()xx x ≥+∈R ，得1e 2x x +≥+（当且仅当1x =-时取等号）．…………9分因为1x >-，1m ≥，且1e2x x +≥+与ln(1)x x +≤不同时取等号，所以 ()()+11e ln 12e e ln 12x m m x x x -+-+-=⋅-+-11e (2)2(e 1)(2)0m m x x x -->+--=-+≥．综上可知，当1m ≥时，()3()f x g x x >-．……………………………………12分（22）（Ⅰ）证明：因为AD 是⊙O 的切线，所以DAC B ∠=∠（弦切角定理）．………………1分 因为DECA ，所以DAC EDA ∠=∠．……………………………2分 所以EDA B ∠=∠．因为AED DEB ∠=∠（公共角），所以△AED ∽△DEB ．……………………………………………………………3分 所以DE AE BEDE=．即2DE AE BE =．…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB =（切割线定理）．……………………………………………5分 因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分 由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =．………………………………………8分 因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ………………………………………9分所以BA ACBEED =．所以6438BA EDAC BE⋅⨯===． …………………………………………………10分FCD．O ABE（23）（Ⅰ）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π，可得22sin ρρθ=．…………………………………………………………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，…………………………………………………2分所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分 （Ⅱ）解法一：因为直线的参数方程为33,32x t y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）， 消去t 得直线l 的普通方程为35y x =-+． ……………………………………5分因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆， 设点()00,D x y ，且点D 到直线l ：35y x =-+的距离最短，所以曲线C 在点D 处的切线与直线l ：35y x =-+平行．即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(00131y x -⨯-=-．………………7分 因为()220011x y +-=， 解得03x =或03x = 所以点D 的坐标为312⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或332⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………9分 由于点D 到直线35y x =-+的距离最短，所以点D 的坐标为332⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………………………………10分 解法二：因为直线l 的参数方程为33,32x t y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）， 消去t 得直线l 350x y +-=．……………………………………5分因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆， 因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．………7分 所以点D 到直线l 的距离为3cos sin 4d ϕϕ+-=2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．………………………………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．…………………………………9分 此时D 332⎫⎪⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为332⎫⎪⎪⎝⎭，．……………………………10分（24）（Ⅰ）解：当1a =时，()12f x ≥等价于112x x +-≥．……………………1分 ①当1x ≤-时，不等式化为112x x --+≥，无解； ②当10x -<<时，不等式化为112x x ++≥，解得104x -≤<； ③当0x ≥时，不等式化为112x x +-≥，解得0x ≥．…………………………3分 综上所述，不等式()1≥x f 的解集为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．………………………………4分 （Ⅱ）因为不等式()f x b ≥的解集为空集，所以()max b f x >⎡⎤⎣⎦．…………………5分以下给出两种思路求()f x 的最大值.思路1：因为()1f x x a x a=--()01a ≤≤， 当x a ≤-()1f x x a x a =--1a a=--0． 当1a x a <-<-时，()1f x x a x a =-21x a a =-211a a a 1a a ．当1x a ≥-()1f x x a x a =-1a a =-所以()max f x ⎡⎤⎣⎦1a a =-7分思路2：因为()1f x x a x a =+---1x a x a ≤-1a a =-1a a =- 当且仅当1x a -所以()max f x ⎡⎤⎣⎦1a a =-7分因为对任意[]0,1a ∈，不等式()f x b ≥的解集为空集， 所以max 1b a a ⎡>-⎣．………………………………………………………8分以下给出三种思路求()1g a a a =-. 思路1：令()1g a a a =- 所以()2121g a a a =+-22112a a ≤++-=． 1a a =-12a =时等号成立． 所以()max 2g a =⎡⎤⎣⎦所以b 的取值范围为)2∞，．…………………………………………………10分 思路2：令()1g a a a =-因为01a ≤≤，所以可设2cos a θ=02θπ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭， 则()g a =1cos sin 224a a θθθπ⎛⎫-=+=+≤ ⎪⎝⎭ 当且仅当4θπ=时等号成立．所以b 的取值范围为)2∞，．…………………………………………………10分 思路3：令()1g a a a =- 因为01a ≤≤，设,1,x a y a 则221x y 01,01x y ． 问题转化为在221x y 01,01x y 的条件下， 求z x y 的最大值．利用数形结合的方法容易求得z 2 此时2x y ． 所以b 的取值范围为)2∞，．…………………………………………………10分xy O。

广东省广州市天河区2021届高三数学一模试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{1A =-，0，1，2，3}，2{|20}B x x x =->，则(A B = )A ．{3}B ．{2，3}C ．{1-，3}D ．{0，1，2}2．（5分）高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作试验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位；人次/天）分别为1x ，2x ，n x ⋯，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )A ．1x ，2x ，n x ⋯的平均数B ．1x ，2x ，n x ⋯的标准差C ．1x ，2x ，n x ⋯的最大值D ．1x ，2x ，n x ⋯的中位数3．（5分）若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则|3|(ai -= ) AB ．13C ．10 D4．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．605．（5分）已知4cos()25πθ+=，322ππθ<<，则sin 2θ的值等于( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-6．（5分）若实数x ，y 满足001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，则2z y x =-的最小值为( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱)色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2⨯勾⨯股+（股-勾）24=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．1348．（5分）已知121231,,2x ln x e x -==满足3x e lnx -=，则( )A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<9．（5分）如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2a C 2a D 2a 10．（5分）已知函数()3)(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈11．（5分）一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( ) A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]ar r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]ar r r+-+12．（5分）已知函数244()()x f x k lnx k x-=++，[4k ∈，)+∞，曲线()y f x =上总存在两点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，使曲线()y f x =在M ，N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为( ) A ．8(,)5+∞B ．16(,)5+∞C ．8[,)5+∞D ．16[,)5+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）已知向量(3,2)a =-，(,1)b m =．若向量(2)//a b b -，则m = ．14．（5分）已知数列{}n a 满足11a =，111(*,2)n n a a a n N n -=++⋯+∈，则当1n 时，n a = ．15．（5分）如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45︒、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为 ．16．（5分）已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若ABC ∆外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为 ．三、解答题：共70分。

2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（3月份）（一模）一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．707．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题（共4小题）.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2 10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n ＝（n2+3n）D．S n ＝（3n+1+2n﹣3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．参考答案一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}解：因为集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，由补集的定义可知，∁R A＝{x|x≤﹣2或x≥1}．故选：C．3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m解：由题意可得“奋斗者”号的实际下潜深度约为：S＝vt＝1450×3＝4350m，故选：B．4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＞b+1能够推出2a＞2b，由2a＞2b能推出a＞b，不能推出a＞b+1，故a＞b+1是2a＞2b的充分不必要条件，故选：A．5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．解：∵f（1）＝1﹣sin1＞0，∴排除选项A和D，又f（）＝（）3﹣sin＝（）3﹣＜0，∴排除选项B，故选：C．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．70解：根据题意，四个阴数即4个偶数：2、4、6、8，五个阳数即5即奇数：1、3、5、7、9，从中任选3个，使选出的3个数和为奇数，有2种情况，①选出的3个数都是奇数，有C53＝10种选法，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，有C42C51＝30种选法，一共有30+10＝40种选法，故选：B．7．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．解：将点A，B代入直线l的方程，可知点A，B均不在直线l上，设P（x，y），则，又|AB|＝，且|PA|+|PB|＝，所以点P的轨迹为线段AB，因为线段AB的方程为，即y＝2x+2，x∈[﹣1，0]，联立方程组，解得，直线l的斜率为k＝，设l的倾斜角为α，则，因为﹣1≤x≤0，所以，即﹣1≤tanα≤1，α∈（0，π），解得α∈．故选：D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：已知e≈2.71828是自然对数的底数，a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，设f（x）＝﹣，则f′（x）＝﹣，当0≤x≤时，f′（x）＞0，函数f（x）在0≤x≤上是增函数，当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）在x＞上是减函数，a＝f（3），b＝f（2），而＜2＜3，所以b＞a，又因为e x＞x+1，x≠1，为常用不等式，可得，令g（x）＝﹣lnx，g′（x）＝﹣，当x＜e时，g′（x）＜0，函数g（x）在x＜e上是减函数，故g（2）＞g（e）＝0，则＞ln2，即﹣＜﹣ln2，则c＞b，故：a＜b＜c故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4y﹣4＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，x1+x2＝y1+1+y2+1＝6，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4﹣4+1＝﹣7，对于A：|AB|＝＝＝8，故A正确；对于B：•＝（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝﹣7+（﹣4）＝﹣11≠0，故B不正确；对于C：点O到直线AB的距离d＝＝，所以S△AOB＝•|AB|•d＝•8•＝2，故C正确；对于D：线段AB的中点坐标为（，），即（3，2），所以线段AB的中点到直线x＝0的距离为2，故D正确．故选：AC．10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增解：f（x）＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+1＝（sin2x+cos2x）+1＝sin（2x+）+1，A：∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）的最大值为+1，∴A不正确．B：当x＝时，f（）＝sin+1＝+1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称，∴B正确．C：当x＝﹣时，f（﹣）＝sin0+1＝1，∴f（x）的图象关于点（﹣，1）对称，∴C正确．D：∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]上先增后减，∴D不正确．故选：BC．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量解：对于A，当P与点D1重合时，PQ⊥EF，故选项A错误；对于B，由于点P是棱C1D1上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即平面ABC1D1，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（2，0，4），A（4，0，0），B（4，4，0），所以，平面QEF即平面QAB，设平面QAB的法向量为，则，即，令z＝1，则，同理可求得平面ABC1D1的法向量为，设二面角P﹣EF﹣Q为θ，所以，故，故选项B正确；对于C，由于AB⊥平面BB1CC1，又BC1⊂平面BB1CC1，所以AB⊥BC1，所以BC1⊥EF，所以BC1是△PEF的高，所以，故选项C正确；对于D，由于C1D1∥EF，且C1D1⊄平面QEF，EF⊂平面QEF，所以C1D1∥平面QEF，又点P在C1D1上，所以点P到平面QEF的距离为常量，故选项D正确．故选：BCD．12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n＝（n2+3n）D．S n＝（3n+1+2n﹣3）解：由a1＝3+3，a2＝3+3+9，a3＝3+3+9+27，a4＝3+3+9+27+81，，…，a n＝3+31+32+33+…+3n＝3+＝，由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a5有17项，…，故a n有2n+1项．故C错误；所以k+2＝2n+1，即k+1＝2n，故A正确；由a n ＝，可得a n+1＝＝3a n﹣3，故B正确；由S n＝a1+a2+…+a n ＝（32+33+34+…+3n+1）+＝•+＝（3n+1+2n﹣3），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝﹣1．解：∵向量＝（1，m ），＝（2，1）．m 实数，∴2+＝（4，2m+1），∵•（2+）＝7，∴•（2+）＝8+2m+1＝7，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为68．解：由题意可知：＝＝30，＝＝，回归直线方程为＝0.67x+54.9经过样本中心，所以＝0.67×30+54.9，解得a＝68．故答案为：68．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．解：双曲线C的渐近线的方程为y＝±x，由题意可知MN⊥x轴，PQ⊥x轴，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），Q（x2，﹣y2），联立，k＝，得（1+k2）x2﹣2x﹣3＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，又因为|MN|＝2|PQ|，所以△MON∽△POQ，相似比为2：1，所以|x1|＝2|x2|，即x1＝﹣2x2，所以x1+x2＝﹣x2＝，x1x2＝﹣2x22＝，所以﹣2（）2＝，解得k2＝，所以e＝＝＝＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．解：设O为△ABC外接圆的圆心，因为ABC是边长为6的等边三角形，所以，因为OP2+OA2＝PA2，解得OP＝3，设球O1的半径为r，球O2的半径为R，由等体积法可得，＝＝＝，所以＝1，所以球O1的体积为；作截面图如图所示，可知O1O＝O1N＝1，则PN＝1，PO1＝2，PO2＝1﹣R，因为△PO2E∽△PO1F，则，即，解得，所以球O2的表面积为＝．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．解：（1）因为cos2B＝cos（A+C），所以2cos2B﹣1＝﹣cos B，解得，cos B＝或cos B＝﹣1（舍），由B为三角形内角得B＝，（2）因为a sin A+c sin C＝6sin B，由正弦定理得，a2+c2＝6b＝18，因为cos B＝＝＝，故ac＝9，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝18+18＝36，故a+c＝6，所以△ABC的周长a+b+c＝9．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．解：（1）由a2是a1，a5的等比中项，可得a22＝a1a5，即为（a1+d）2＝a1（a1+4d），化为d＝2a1，由S5＝25，可得5a1+10d＝25，即a1+2d＝5，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）S n＝n（1+2n﹣1）＝n2，b n+b n+1＝S n＝n2，①可得b n+1+b n+2＝（n+1）2，②②﹣①可得b n+2﹣b n＝2n+1，则b20＝b2+（b4﹣b2）+（b6﹣b4）+…+（b20﹣b18）＝b2+5+9+…+37＝b2+×9×（5+37）＝b2+189，所以b2﹣b20＝﹣189．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥A1E，又BE∩A1E＝E，BE、A1E⊂平面A1BE，∴DE⊥平面A1BE，∵DE⊂平面BCDE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．（2）解：由（1）知，平面A1BE⊥平面BCDE，∵A1E⊥BE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，∴A1E⊥平面BCDE，以E为原点，ED，EB，EA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，1），C（，2，0），D（，0，0），E（0，0，0），∴＝（，2，0），＝（，0，﹣1），＝（0，﹣2，0），设平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝0，z＝，∴＝（1，0，），设直线CE与平面A1CD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线CE与平面A1CD所成角的正弦值为．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．解：（1）甲在A区每次投篮得分的期望为2×＝，在B区每次投篮得分的期望为3×＝，设甲选择在A区投篮的球数为x个，则x+（5﹣x）≥7，解得x≤3，所以甲选择在A区投篮的球数最多是3个．（2）甲在B区投中0个，在A区投中1，2，3个的概率为[1﹣]×＝，甲在B区投中1个，在A区投中2个或3个的概率（×××+××）×＝，甲在B区投中2个得6分，此时在A区投篮得分不可能高于B区，故甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为+＝．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．解：（1）由已知得，圆O1的圆心为O1（﹣1，0），半径r＝|BO1|＝4，点A（1，0），因为线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，所以|CA|＝|CB|，所以|CA|+|CO1|＝|CB|+|CO1|＝|BO1|＝4＞|O1A|，所以点C的轨迹是以O1，A为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线E的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由题意可得直线l1，l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方程为y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＝（8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144（1+k2）＞0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|MN|＝|x1﹣x2|＝＝＝•＝，由于直线l2过圆O1的圆心，则|PO1|＝|QO1|＝4，且P，Q两点到直线MN的距离相等，设直线l2的倾斜角为θ，则tan（π﹣θ）＝k，即tanθ＝﹣k，又点P到直线MN的距离d＝|PO1||sin2θ|＝4||＝4×＝，则四边形MPNQ的面积S＝2S△PMN＝d×|MN|＝，由于四边形MPNQ的面积为8，则＝8，解得k＝±，所以直线l1的方程为y＝±（x+1）．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．【解答】证明：（1）f′（x）＝xlnx﹣ax2+x＝lnx+1﹣2ax+1＝lnx﹣2ax+2，f′（1）＝2﹣2a，又f（1）＝1﹣a，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（1﹣a）＝（2﹣2a）（x﹣1），即y＝2（1﹣a）（x﹣），当x＝时，y＝0，故直线l过定点（，0）；（2）∵x1，x2是f（x）的两个零点，且x2＞2x1，∴，可得，∴＝＝，令t＝（t＞2），∴lnx1x2+2＝＝，构造函数g（t）＝，g′（t）＝，令h（t）＝t﹣，则h′（t）＝＞0，则h（t）在（2，+∞）上单调递增，而h（2）＝2﹣＝＞0，∴g′（t）＞0，则g（t）在（2，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（2）＝3ln2，可得ln（x1x2）+2＞3ln2，则ln（x1x2）＞，即x1x2＞，则＞＞．。

广东省广州市2021届新高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ）A ．14B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥，所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r ， 所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur u u u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B．4C．2log D．2【答案】A 【解析】 【分析】首先()f x 的单调性，由此判断出11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，由()()f a f b =求得,a b 的关系式.利用导数求得2log ab 的最小值，由此求得ab 的最小值. 【详解】由于函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，所以()f x 在1,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在[]1,2上递增.由于()()()f a f b a b =<，()212112log 5,22488f f ⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭，令122log 4x +=，解得14x =，所以11412a b ⎧≤<⎪⎨⎪<≤⎩，且122log 2b a +=，化简得2log 22b a =-，所以2222log log log 22log b ab a b b =+=-+，构造函数()()222log 12xg x x x =-+<≤，()2'112ln 22ln 2ln 2ln 2x xx g x x x -⋅⋅=-+=.构造函数()()212ln 212x h x x x =-⋅⋅<≤，()()'21ln 22ln 20x h x x =-+⋅⋅<，所以()h x 在区间(]1,2上递减，而()2112ln 2120.480.040h =-≈-⨯=>，()2218ln 2180.48 2.840h =-≈-⨯=-<，所以存在()01,2x ∈，使()00h x =.所以()'g x 在()01,x 上大于零，在()02x ,上小于零.所以()g x 在区间()01,x 上递增，在区间()02x ,上递减.而()()2210,222log 21g g ==-+=-，所以()g x 在区间(]1,2上的最小值为1-，也即2log ab 的最小值为1-，所以ab 的最小值为1122-=. 故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.3．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.4．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B 【解析】 【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．5．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >， 0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的图象，求出周期T ，根据周期公式求出ω，求出A ，根据函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭，，求出ϕ，即可求得答案 【详解】 由函数图象可知：311341264T πππ=-= T π=， 21A ω∴==，函数的图象过点16π⎛⎫⎪⎝⎭， 1sin 26πϕ⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭，2πϕ<Q ，则6πϕ=故选D 【点睛】本题主要考查的是()sin y A x ωϕ=+的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果 6．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π；②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③函数()f x 的值域为. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③【答案】C 【解析】 【分析】①用周期函数的定义验证.②当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1()212π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，而()()g x g x π+=，当[0,]x π∈时，1()23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 再求值域. 【详解】 因为1717114sin 4cos 4cos 4sin ()2212212212212f x x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=+++≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误； 当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，1717,231224x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以111()4sin 4cos 2323212f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111,212324πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦x 所以()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确； 函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域等价于函数11()4sin 4cos 22g x x x =+的值域，易知()()g x g x π+=，故当[0,]x π∈时，1()23g x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，故③正确.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.7．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．8πC ．16πD ．20π【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，计算长度，设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，得到答案.【详解】如图所示：P 在平面ABCD 的投影为正方形的中心E ，故球心O 在PE 上，223BD AB ==，故132BE BD ==，223PE PB BE =-=， 设球半径为R ，则()222PE R BE R -+=，解得2R =，故2416S R ππ==. 故选：C .【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（ ）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π【答案】C【解析】 【分析】 令()262x k k Z πππ-=+∈，求出在130,3⎡⎤π⎢⎥⎣⎦的对称轴，由三角函数的对称性可得122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯，将式子相加并整理即可求得123122...2n n x x x x x -+++++的值.【详解】 令()262x k k Z πππ-=+∈，得()123x k k Z π=π+∈，即对称轴为()123x k k Z π=π+∈. 函数周期T π=，令113233k ππ+=π，可得8k =.则函数在130,3x ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦上有8条对称轴. 根据正弦函数的性质可知122315232,2,...,2366n n x x x x x x -πππ+=⨯+=⨯+=⨯， 将以上各式相加得：12312582322...2...26666n n x x x x x -ππππ⎛⎫+++++=++++⨯ ⎪⎝⎭()2238100323+⨯ππ=⨯= 故选:C. 【点睛】本题考查了三角函数的对称性，考查了三角函数的周期性，考查了等差数列求和.本题的难点是将所求的式子拆分为1223341...n n x x x x x x x x -++++++++的形式.9．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案. 【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为21322152πππ⨯⨯+⨯=. 故选：C . 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 10．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在(,)34内增大时，（ ） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大【答案】C 【解析】 【分析】1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-，22()()()D E E ξξξ=-，判断其在23(,)34内的单调性即可．【详解】解：根据题意1121()(1)(1)3333E p p p ξ=-⨯-+=-在23,34p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内递增， 22111()(1)(1)333E p p ξ=-⨯-+=222221121442411()()()(1)()3333999923D E E p p p p p p ξξξ⎛⎫=-=-+--=-++=-- ⎪+⎝⎭，是以12p =为对称轴，开口向下的抛物线，所以在23,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题． 11．曲线(2)x y ax e =+在点(0,2)处的切线方程为2y x b =-+，则ab =（ ） A ．4- B ．8-C ．4D ．8【答案】B 【解析】 【分析】求函数导数，利用切线斜率求出a ，根据切线过点(0,2)求出b 即可. 【详解】因为(2)x y ax e =+， 所以(2)xy e ax a '=++， 故0|22x k y a ='==+=-， 解得4a =-， 又切线过点(0,2)，所以220b =-⨯+，解得2b =， 所以8ab =-， 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则32h a =，故由题设可得12124222a a a +=⨯⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)423V =，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广东省广州市2021年普通高中毕业班综合测试文科数学试卷（一）第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数A．?22的虚部是（） 1?iB．?1C．1D．22．已知集合{x|x2?ax?0}={0,1}，则实数a的值为（） A．?1B．0C．1D．23．已知tan??2，且??(0,)，则cos2??（） A．π24 5B．3 5C．?35D．?454．阅读如图的程序框图．若输入n?5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5?2x?1,x?05．已知函数f(x)??，则f(f(3))?（）?1?log2x,x?0A．4 3B．2 3C．?43D．?3x2y26．已知双曲线C:2??1的一条渐近线方程为2x?3y?0，F1，F2分别是双曲线C的左，右焦点，点a4P在双曲线C上，且|PF1|?2，则|PF2|等于（）A．4B．6C．8D．107．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）1 / 5A．1 4B．7 16C．1 2D．9 168．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（） 83ABCD9．设函数f(x)?x3?ax2，若曲线y?f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x?y?0，则点P的坐标为（） A．(0,0)B．(1,?1)C．(?1,1)D．(1,?1)或(?1,1)10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖��．若三棱锥P?ABC为鳖��，PA?平面ABC，PA?AB?2，AC?4，三棱锥P?ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．8? B．12? C．20? D．24?11．已知函数f(x)?sin(?x??)?cos(?x??)，(??0,0???π)是奇函数，直线y?2与函数f(x)的图?，则（） 2?3??A．f(x)在(0,)上单调递减 B．f(x)在(,)上单调递减884?3??C．f(x)在(0,)上单调递增 D．f(x)在(,)上单调递增8842021kxπ?1f()的值为（） 12．已知函数f(x)??cos(x?)，则?2021k?12x?12象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为A．2 016B．1 008C．504D．0第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本小题共4题，每小题5分．13．已知向量a?(1,2)，b?(x,?1)，若a∥(a?b)，则ab=__________．214．若一个圆的圆心是抛物线x?4y的焦点，且该圆与直线y?x?3相切，则该圆的标准方程是__________．2 / 5感谢您的阅读，祝您生活愉快。

【市级联考】广东省广州市2019届高中毕业班综合测试（一）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合A ={x|x 2−2x <0}，B ={x|x >0}，则( )A ．A ∩B =⌀ B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B 2．已知a 为实数，若复数()()12a i i +-为纯虚数，则a =（ ）A ．12- B ．2 C ．12 D ．2- 3．已知双曲线C ：2221y x b-=的一条渐近线过点(,4)b ，则C 的离心率为（ ）A B ．32C D ．34．a ，b 为平面向量，已知a ＝（2，4），a －2b ＝（0，8），则a ，b 夹角的余弦值等于（ ）A ．－45 B ．－35 C ．35D ．455．若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中一定成立的( )A ．sin2sin2αβ>B ．sin2sin2αβ<C ．cos2cos2αβ>D ．cos2cos2αβ< 6．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法.如图所示，正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2.现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内（a,b ∈N ∗，b <a ），则圆周率的近似值是（ ）A ．3b aB ．3a bC ．a bD ．b a 7．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则直线CE 与1D F 所成角的大小为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 8．如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．9．函数()5sin sin 1212f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最大值是( )A ．2B ．32CD ．10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方A ．132πB ．7πC ．152πD ．8π11．已知F 为抛物线C ：26y x =的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且3AF BF =，则(AB = )A ．6B ．8C ．10D ．1212．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,]2e -∞B ．(,]2e -∞-C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．已知函数33()log f x x a x =+，若()26f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 14．已知以点()1,2为圆心的圆C 与直线20x y +=相切，则圆C 的方程为______．15．已知关于x ，y 的不等式组210020x y x m y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，表示的平面区域内存在点()00,P x y ，满足0022x y -=，则m 的取值范围是______．16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则ABC 的面积为______．三、解答题17．已知{}n a 是等差数列，且1lg 0a =，4lg 1a =．（1）求数列{}n a 的通项公式（2）若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，求k 的值及数列{}n n a b +的前n 项和．P 是AC 的中点，连接BP ，DP()1证明：平面ACD ⊥平面BDP ；()2若BD =cos BPD ∠=，求三棱锥A BCD -的体积． 19．某网络平台从购买该平台某课程的客户中，随机抽取了100位客户的数据，并将这100个数据按学时数，客户性别等进行统计，整理得到如表；（1）根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，结果保留小数点后两位）；（2）从这100位客户中，对购买该课程学时数在20以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求这2人购买的学时数都不低于15的概率.（3）将购买该课程达到25学时及以上者视为“十分爱好该课程者”，25学时以下者视，为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下22⨯列联表，并判断是否有99．9%的把握认为“十分爱好该课程者”与性别有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为(1,0)F ，点2,33P ⎛ ⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：y x m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，问y 轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.21．已知函数()1x f x e a -=+，()ln g x x =，其中2a >-． ()1讨论函数()y f x =与()y g x =的图象的交点个数；()2若函数()y f x =与()y g x =的图象无交点，设直线y t =与的数()y f x =和()y g x =的图象分别交于点P ，.Q 证明：1PQ a >+．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin .x t y t =⎧=⎨⎩( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()()1sin cos 2a a R ρθθ-=∈． ()1写出曲线1C 的普通方程和直线2C 的直角坐标方程；()2若直线2C 与曲线1C 有两个不同交点，求a 的取值范围．23．已知函数()21f x x a x =+--．()1当1a =时，求不等式()0f x >的解集；()2若0a >，不等式()1f x <对x R ∈都成立，求a 的取值范围．参考答案1．D【解析】【分析】先由二次不等式，得到集合A ，再借助数轴，得到集合A ，B 的关系，以及集合A ，B 的交集和并集．【详解】由x 2−2x <0，得：0<x <2，则集合A ={x|0<x <2}，A 、A ∩B =A ，故本选项错误．B 、A ∪B =B ，故本选项错误．C 、A ⊆B ，故本选项错误．D 、A ⊆B ，故本选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查二次不等式的解法，以及集合的交并集和集合之间的包含关系．2．D【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．【详解】()()12a i i +-＝()212a a i ++-，∵复数是纯虚数，∴20a +=且120a -≠ 得2a =-且a ≠12，即2a =-， 故选D ．【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．3．C【解析】【分析】求得双曲线的渐近线方程，由题意可得2b =，再由离心率公式，计算可得所求值．【详解】 双曲线2221y C x b -=：的渐近线方程为y bx =±， 由题意可得24b =，可得2b =，则双曲线的离心率为c e a === 故选C ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．B【分析】设b ＝(x ，y )，根据a －2b ＝(0，8)，求得向量b ，再利用夹角公式cos 〈a ，b 〉＝||||a b a b ⋅⋅求解.【详解】设b ＝(x ，y )，则a －2b ＝(2，4)－(2x ，2y )＝(2－2x ，4－2y )＝(0，8)， 所以220428x y -=⎧⎨-=⎩， 解得12x y ==-，故b ＝(1，－2)，|b |，a ＝，所以cos 〈a ，b 〉＝||||a b a b ⋅⋅＝＝－35. 故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量夹角的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5．D【解析】【分析】利用二倍角公式，结合不等式的性质进行判断即可．【详解】2cos212sin αα=-，2cos212sin ββ=-，sin sin 0αβ>>，22sin sin 0αβ∴>>，222sin 2sin αβ-<-，则2212sin 12sin αβ-<-，即cos2cos2αβ<， sin 22sin cos ,sin 22sin cos αααβββ==，因为sin sin αβ>，但是cos α和cos β的关系大小不确定，正负也不确定，故sin2α和sin2β的关系也不确定.故选：D ．【点睛】本题主要考查不等式大小的比较，结合二倍角公式进行化简是解决本题的关键． 6．B【解析】【分析】由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：S 正十二边形S 圆=b a ，所以12×12×2×2×sin3004π=b a ，即π=3a b ，得解【详解】解：由几何概型中的面积型可得：S 正十二边形S 圆=b a， 所以12×12×2×2×sin3004π=b a ， 即π=3a b ，故选：B ．【点睛】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，考查计算能力，属中档题 7．D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE 与1D F 所成角的大小．【详解】连接DF ，DF CE O ⋂=在正方形ABCD 中，1tan tan 2CDF ECB ∠=∠=，故得到三角形DCF CBE ≅2CDF CFD π∠+∠=，2ECB COF π∠+∠= 故得到CE DF ⊥，111,DD CE DD DF D CE DD F ⊥⋂=⇒⊥面，所以1CE D F ⊥ 故得到直线CE 与1D F 所成角为2π. 故选D ．【点睛】 本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 8．B【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可．【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ，故选B ．【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键． 9．C 【解析】 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式化简()f x 即可得出结论． 【详解】5sin sin cos 1221212x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()sin cos 1212f x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin coscos sincos cossin sinsin cos sin sin cos cos 1212121212121212x x x x x x ππππππππ⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sincos12121243πππππ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭．().4f x x x x π⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭ ()f x ∴．故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数的最值，属于中档题． 10．B 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可． 【详解】由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：22141212274ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．故选：B ． 【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 11．B 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A ，B 的中点横坐标，即可求出线段AB 的长度. 【详解】抛物线26y x =的焦点坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为32x =-设()11,A x y ，()22,B x y ，则3AF BF =，1233322x x ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，1233x x ∴=+ 123y y =，129x x ∴=，192x ∴=，212x =， 1223822AB x x ⎛⎫⎛⎫∴=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选B ． 【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．12．A 【分析】根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2x ea x≤在(0,)+∞上恒成立，再构造新函数()xe g x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解.【详解】根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 可得函数()f x 在区间(,0)-∞为单调递减函数， 由||2||2()()()x x f x ea x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，当(0,)x ∈+∞时，函数2()x f x e ax =-，可得()2x f x e ax '=-，根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即20xe ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，则()2(1)x e x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =， 所以2(1)a g e ≤=，解得2e a ≤，即实数a 的取值范围是(,]2e-∞. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 13．178【分析】根据题意，由()2f 的值分析可得()328log 26f a =+=，变形可得3log 22a =-，再代入计算可得答案． 【详解】解：函数33()log f x x a x =+，若()26f =，则()328log 26f a =+=，变形可得3log 22a =-， 则333111117()()log log 222288f a a =+=-=；故答案为：178． 【点睛】本题考查函数值的计算，关键是求出函数的解析式，属于基础题． 14．22(1)(2)5x y -+-= 【分析】根据题意，设圆C 的半径为r ，由直线与圆的位置关系可得r ==标准方程分析可得答案． 【详解】根据题意，设圆C 的半径为r ，以点()1,2为圆心的圆C 与直线20x y +=相切，则圆心到直线的距离为半径，则有r ==则圆C 的方程为22(1)(2)5x y -+-=； 故答案为22(1)(2)5x y -+-=． 【点睛】本题考查直线与圆相切的性质，注意直线与圆相切的判定方法，属于基础题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理． 15．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点()00,P x y 满足0022x y -=，则平面区域内必存在一个C 点在直线22x y -=的下方，A 在直线是上方，由图象可得m 的取值范围． 【详解】作出x ，y 的不等式组210020x y x m y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩对应的平面如图：交点C 的坐标为(),2m --， 直线22x y -=的斜率为12，斜截式方程为112y x =-， 要使平面区域内存在点()00,P x y 满足0022x y -=， 则点(),2C m --必在直线22x y -=的下方，即1212m -≤--，解得2m ≤，并且A 在直线的上方；(),12A m m --， 可得11212m m -≥--，解得43m ≤，故m 的取值范围是：4,.3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为：4,.3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．16 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】2b =，3c =，2C B =，∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23sin sin B C =，可得：233sin sin22sin cos B B B B ==，∴可得：3cos 4B =，可得：sin B ==，∴可得：sin sin22sin cos C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=，()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=+=，11sin 2322S bc A ∴==⨯⨯=．故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.17．（1）32n a n =-．（2）()23112,41223n n k S n n ==-+- 【分析】()1直接利用已知条件求出数列的通项公式;()2利用等比数列的性质得到公比以及数列{}n b 的通项，进而{}n n a b +求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和．【详解】()1数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且1lg 0a =，4lg 1a =．则：111310a a d =⎧⎨+=⎩，解得：3d =所以：()13132n a n n =+-=-．()2若1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，则：216k a a a =⋅，根据等差数列的通项公式得到：32k a k =-，代入上式解得：2k =；1a ，2a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，1214a a ==，，所以：等比数列{}n b 的公比为4q =．由等比数列的通项公式得到：14n n b -=． 则1324n n n a b n -+=-+，故：()()()111144324n n S n -=++++⋯+-+，()3141241n n n --=+-，()231141223n n n =-+-． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.18．（1）见证明；（2【分析】()1证明PD AC ⊥，PB AC ⊥，得出AC ⊥平面PBD ，从而证明平面ACD ⊥平面BDP ；()2利用直角三角形以及余弦定理求出AB 的值，计算BPD 的面积和AC 的值，即可求得三棱锥A BCD -的体积． 【详解】()1证明：如图所示，因为ABC 是等边三角形，90BAD BCD ∠=∠=， 所以Rt ABD ≌Rt BCD ，可得AD CD =， 又因为点P 是AC 的中点，则PD AC ⊥，PB AC ⊥， 又PD PB P ⋂=，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 所以平面ACD ⊥平面BDP ；()2设AB a =，在RtABD 中，BD =AD ==在等边ABC 中，22BP AB a ==，在等腰ACD 中，DP ===；在BPD 中，由cos BPD ∠=，得sin BPD ∠=；由余弦定理得2222cos BD BP DP BP BPD =+-⋅⋅∠，即223566244a a ⎛=+-- ⎝⎭，解得2a =；所以BPD 的面积为1sin 2S BP DP BPD =⋅⋅⋅∠=，所以三棱锥A BCD -的体积为1123323BPDV AC S =⋅⋅=⨯⨯=． 【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了空间想象能力和逻辑思维能力，以及三棱锥体积的计算问题，是中档题．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直. 19．（1）平均值为16.92．（2）27（3）见解析 【分析】()1根据平均数的公式进行计算即可;()2利用分层抽样的方法，利用列举法结合古典概型的概率公式进行计算即可;()3完成22⨯列联表，计算2K 的值，利用独立性检验的性质进行判断即可． 【详解】()1由题意知，在100位购买该课程的客户中，男性客户购买该课程学时数的平均值为()17.51812.51217.5922.5927.5632.5437.5216.9260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈； 所以估计男性客户购买该课程学时数的平均值为16.92．()2设“所抽取的2人购买的学时数都不低于15为事件A ，依题意按照分层抽样的方式分別在学时数为[)5,10，[)0,15l ，[)15,20的女性客户中抽取1人(设为)a ，2人(设为A ，)B4人，(设为1c ，2c ，3c ，4)c ，从7人中随机抽取2人所包含的基木事件为：aA ，aB ，1ac ，2ac ，3ac ，4ac ，AB ，1Ac ，2Ac ，3Ac ，4Ac ，1Bc ，2Bc ，3Bc ，4Bc ，12c c ，13c c ，14c c ，23c c ，24c c ，34c c ，共21种，其中事件A 所包含的基本事件为：12c c ，13c c ，14c c ，23c c ，24c c ，34c c ，共6个， 则事件A 发生的概率62217P ==． ()3依题意得22⨯列联表如下则()()()()222()100(48241612)16.66710.82864366040n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯． 故有99.9%6的把握认为“十分爱好该课程者”与性別有关． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键.考查学生的计算能力．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.20．（1）22143x y +=（2）见解析【分析】()1先求出c 的值，再根据2248193a b+=，又22221a b c b =+=+，即可得到椭圆的方程;()2假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ，根据韦达定理求出点N 的坐标，再根据AM BM ⊥，MN l ⊥，即可求出m 的值，可得点M 的坐标【详解】()1由题意可得1c =，点2,33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，2248193a b ∴+=， 又22221a b c b =+=+，解得24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=， ()2假设y 轴上存在点()0,M t ，ABM 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形， 设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为()00,N x y ， 由22143x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得22784120x mx m ++-=， ()()2226428412162130m m m =--=->，解得27m <，1287m x x ∴+=-，2124127m x x -=， 120427x x m x +∴=-=-，0037m y x m =+=， 43,77m m N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭， 依题意有AM BM ⊥，MN l ⊥，由MN l ⊥，可得3711407mt m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得7m t =-， 由AM BM ⊥可得12121y t y t x x --⋅=-， 11y x m =+，22y x m =+，代入上式化简可得()()2121222()0x x m t x x m t +-++-=， 则()222241288()()0777m m m --+=，解得m =当m =0,M ⎛⎝⎭满足题意，当m =时，点M ⎛ ⎝⎭满足题意 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 21．（1）见解析（2）见证明【分析】()1原问题等价于求解方程1ln x e a x -+=根的个数，据此构造函数，分类讨论即可确定交点的个数；()2由()1可知，当函数()y f x =与()y g x =的图象无交点时，1a >-，据此构造函数证明题中的不等式即可．【详解】()1函数()y f x =与()y g x =的图象交点个数即方程1ln x e a x -+=根的个数， 设()1ln x F x e a x -=+-，0x >．则()11x F x e x -='-在()0,∞+上单调递增，且()’10F =． 当()0,1x ∈时，()()’’10F x F <=，则()F x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()’’10F x F >=，，则()F x 在()1,+∞上单调递增．所以，当1x =时，()()1min F x F l a ==+．当10a +>，即1a >-时，函数()F x 无零点，即函数()y f x =与()y g x =的图象无交点；当1a =-时，函数()F x 有一个零点，即函数()y f x =与()y g x =的图象有一个交点； 当21a -<<-时，()10.a a e F e e -=>又()110F a =+<．()2223ln32ln340F e a e e =+->-->->，所以()1ln x F x e a x -=+-在(),1a e 和()1,3上分别有一个零点．所以，当21a -<<-时，()F x 有两个零点，即函数()y f x =与()y g x =的图象有两个交点．综上所述：当1a >-时，函数()y f x =与()y g x =的图象的交点个数为0； 当1a =-时，函数()y f x =与()y g x =的图象的交点个数为1；当21a -<<-时，函数()y f x =与()y g x =的图象的交点个数为2．()2由()1可知，当函数()y f x =与()y g x =的图象无交点时，1a >-． 设(),P m t ，(),Q n t ，由得()1m In t a =+-，由ln t =得tn e =， ()ln 1t PQ n m e t a =-=---．设()()ln 1th t e t a =---， 先证明不等式1t e t ≥+，再证明()1t In t a a --≥+，(),t a ∈+∞．设()1.t p t e t =--则()’1tp t e =-． 当()0,t ∈+∞时，()’10t p t e =->，()1tp t e t =--在()0,∞+上单调递增， 当(),0t ∈-∞时，()’10t p t e =-<，()1tp t e t =--在(),0-∞上单调递减， 所以()()00p t p ≥=，即1e t ≥+．设()()ln 1.q t t t a a =----则()111t a q t t a t a---'==--． 当(),1t a a ∈+时，()’0q t <，()q t 单调递减：当()1,t a ∈++∞时，()’0q t >，()q t 单调递增．所以()()10q t q a ≥+=，即()11t n t a a --≥+．所以()()()()ln 11ln 1ln 1th t e t a t t a t t a a =---≥+---=--≥+． 因为1t a =+时，()ln 1t t a a --≥+中等号成立，0t =时，t e l t ≥+中等号成立， 而10t a =+>，所以等号不能同时成立．所以()()ln 11th t e t a a =--->+．所以1PQ a >+．【点睛】本题主要考查导数研究函数零点的个数，导数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22．（1）1C 的普通方程为()2111y x x =--≤≤，2C 的直角坐标方程为102ax y -+=，（2）11,.22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 ()1利用平方关系消去参数t 可得1C 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=可得2C 的直角坐标方程；()2根据直线的斜率可得．【详解】解：()1曲线1C 的普通方程为()2111y x x =--≤≤，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()1cos sin 2a ρθθ-=， 得直线2C 的直角坐标方程为12y ax -=，即102ax y -+=， ()2由直线2C ：102ax y -+=，知2C 恒过点10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由()2111y x x =--≤≤，当0y =时，得1x =±，所以曲线1C 过点()1,0P -，()1,0Q ，则直线MP 的斜率为11012102k -==--，直线MQ 的斜率21012102k -==--， 因为直线2C 的斜率为a ，且直线2C 与曲线1C 有两个不同的交点，所以21k a k ≤≤，即1122a -≤≤， 所以a 的取值范围为11,.22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了参数方程与直角坐标方程的转化，极坐标方程与直角坐标方程的转化，属中档题． 23．（1）()0,2；（2）102a <<． 【解析】【分析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1()max f x >，由绝对值不等式的性质可得()f x 的最大值，解不等式可得所求范围．【详解】解：()1函数()121f x x x =+--， ()0f x >即为121x x +>-，可得()()1211210x x x x ++-+-+>，即()320x x -<，解得02x <<，则原不等式的解集为()0,2；()2若0a >，不等式()1f x <对x R ∈都成立，即有1()max f x >，由()112122f x x a x x a x x =+--=+---- 11022x a x a ≤+-+-=+，可得()f x 的最大值为1122a a +=+，(0)a >， 则112a +<，解得102a <<． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。