广东省茂名市2020届高三第二次综合测试数学(文科)试题与答案

绝密★启用前 试卷类型：A 茂名市第二次高考模拟考试 数学试卷（文科） .4【试卷综述】本试卷注重基础知识、基本技能的考查，符合高考命题的意图和宗旨。

注重基础知识的考查。

注重能力考查，要注重综合性，又兼顾到全面，更注意突出重点．试题减少了运算量、加大了思维量，降低了试题的入口难度，突出对归纳和探究能力的考查。

【题文】第一部分 选择题（共50分）【题文】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 【题文】1、已知集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则A B 等于( )A ．{}2-B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}1,1,2-【知识点】交集的运算A1【答案】【解析】C 解析：因为集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则AB ={}1,2,故选C.【思路点拨】直接利用交集的定义即可.【题文】2、复数311(i i -为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（ ）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-- 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义．L4【答案】【解析】B 解析：因为复数1﹣=1+=1﹣i ，在复平面上对应的点的坐标为（1，﹣1）． 故选B ．【思路点拨】通过复数i 的幂运算，化简复数为a+bi 的形式，即可判断复数在复平面上对应的点的坐标．【题文】3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，63=S ，则10a 的值为（ ）A ．1B ．3C ．10D ．55【知识点】等差数列的性质;等差数列的通项公式D2 【答案】【解析】C 解析：因为3236S a ,所以22a ,则321da a ,所以103710a a d ,故选C.【思路点拨】先由3236S a 解得d,再利用等差数列的通项公式即可.【题文】4、已知向量(2,1)=a ，(,2)x =-b ，若//a b ，则+a b 等于（ ） A. （-2，-1） B. （2，1） C. （3，-1） D. （-3，1） 【知识点】向量的运算;向量共线的充要条件F2【答案】【解析】A 解析：因为//a b ,则1220x ,解得4x ,所以2,1a b,故选A.【思路点拨】先利用向量共线的充要条件解得4x,再利用向量的加法进行运算即可.【题文】5、若,x y 满足不等式1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩, 则2x y +的最小值为( )A. 0B. 4-C.4D. 3 【知识点】简单线性规划．E5【答案】【解析】B 解析：由约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，令z=2x y +，化为y=﹣2x+z ，由图可知，当直线y=﹣2x+z 过点A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值．联立，解得：A （﹣1，﹣2），∴z 的最小值等于2×（﹣1）﹣2=﹣4．故选：B ．【思路点拨】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【题文】6、命题“2000,220x R x x ∃∈++≤” 的否定是( )A.2,220x R x x ∀∈++> B.2,220x R x x ∀∈++≥ C. 2000,220x R x x ∃∈++< D. 2000,220x R x x ∃∈++>【知识点】特称命题;命题的否定A2【答案】【解析】A 解析：根据特称命题的否定，既否定量词，也否定结论的原则可得 命题“2000,220x R x x ∃∈++≤”的否定是命题是“2,220x R x x ∀∈++>”故选A. 【思路点拨】特称命题的否定，既否定量词，也否定结论，故否定后的量词为∀，结论为2220x x .【题文】7、已知平面α⊥平面β，=l αβ，点,A A l α∈∉，作直线AC l ⊥，现给出下列四个判断：（1）AC 与l 相交， （2）AC α⊥， （3）AC β⊥， （4）//AC β. 则可能成立的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 【答案】【解析】D 解析：如图在直线l 上取点C ，连接AC ，则AC 与l 相交；（1）成立；A 在平面α内，所以过A 可以做一条直线AC 与α垂直；此时AC ∥β，故（2）（4）正确；过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，因为Aα与β相交l ，所以AC ⊥β；故（3）成立；故选：D ． 【思路点拨】根据面面垂直的性质定理，由A 点不动，C 点位置变化，可以对四个判断进行分析解答．【题文】8、如图所示,程序框图的输出结果是1112s =，那么判断框中应填入的关于n 的判断条件是( )A ．8?n ≤B ．8?n <C ．10?n ≤D ．10?n <【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】B 解析：模拟执行程序框图，可得s=0，n=2 满足条件，s=，n=4;满足条件，s=，n=6;满足条件，s=+=，n=8由题意可得，此时应该满足条件，退出循环，输出s 的值为．结合选项，判断框中应填入的关于n 的判断条件是：n ＜8？故选：B ．【思路点拨】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质．然后对循环体进行分析，找出循环规律．判断输出结果与循环次数以及i 的关系．最终得出选项.【题文】9、已知抛物线24y x =与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点,A B 是两曲线的交点，O 为坐标原点，若()0OA OB AF +⋅=，则双曲线的实轴长为( )A 22B ．12-C ．122-D ．222-【知识点】双曲线的简单性质．H6【答案】【解析】D 解析： 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有相同的焦点F ，F ∴点的坐标为（1，0）， 0)(=•+AF OB OA ，∴AF ⊥x 轴.设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1，2）设左焦点为'F ，则'FF =2,由勾股定理得'AF 22=，由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a .故选D.【思路点拨】求出抛物线的焦点（1，0），即有双曲线的两个焦点，运用向量的数量积的定义可得A 点坐标，再由双曲线的定义可得结论。

2020年广东省茂名市高三第二次综合测试文科数学 2020.5一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={2, 3, 5}，B ={2, 5}，则( )A. A ⊂BB. ∁U B ={1, 3, 4}C. A ∪B ={2, 5}D. A ∩B ={3} 2．若，则复数的虚部为( )A.2B.1C.D.−13．已知函数f (x )在点(1, f (1))处的切线方程为x +2y −2=0，则f (1)+f ′(1) =( )A ．B ． 1C ．D ．04．函数的图象如图所示，则的值为( )A ．B ．1C ．D ．5．下列命题错误的是( )A ．“x ＝2”是“x 2−4x +4＝0”的充要条件B ．命题“若，则方程x 2+x −m ＝0有实根”的逆命题为真命题C ．在△ABC 中，若“A ＞B ”，则“sin A ＞sin B ”D ．若等比数列{a n }公比为q ，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的充要条件 6．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉 为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源。

河图的排列结构如图 所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与 九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为：( )A. B.C.D.7．“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法.如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图.当输入m =2020，n =303时，则输出的m 是( )()i 2i,,R x i y x y -=+∈i x y +i 3212()=sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ+>><()3f π122314m ≥-15625725825xO y26π23π–2第4题图第6题图A. 2B. 6C. 101D. 2028．已知双曲线(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，其一条渐近线被圆(x −m )2+y 2=4(m ＞0)截得的线段长 为2，则实数m 的值为( )A ．B ．C ．2D ．1 9．已知函数是定义在R 上的偶函数，当时，．则使不等式成立的x 取值范围是( )A. B. C. D.10．函数在[−5, 5]的图形大致是( )11．已知三棱锥 中，且 平面P AB ⊥平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A ． B ． C ． D ．12．已知函数，对于函数有下述四个结论：①函数在其定义域上为增函数；②对于任意的，都有成立；③有且仅有两个零点；④若y =e x 在点处的切线也是y =ln x 的切线，则x 0必是零点． 其中所有正确的结论序号是A ．①②③B ．①②C ．②③④D ．②③二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置) 13．已知向量，，若，则 .14. 为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n （n ∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值，则n 等于 . （盈利额=总收入−总成本）15．在棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，则平面A 1EC 截该正方体所得截面面积为： .22221y x a b-=32()f x 0x ≥()1()22xf x =+9(1)4f x -<(,1)(3,)-∞-+∞∪(1,3)-(0,2)(,0)(2,)-∞+∞∪()1+e ()cos 1e xxf x x =⋅-P ABC -2,3,5,4,3APB PA PB AC BC π∠=====16π28π24π32π+1()=e 1x x f x x --()f x ()f x 0a <()1f a >-()f x 00(,e )x x 0(1)x ≠()f x (4,2)a =-r(1,1)b =-r ()b a kb ⊥+rrrk =AO y5 −5 CO y 5 −5 x x BO y 5 −5 x DO y5 −5x否 结束输出m 是r ＞0? r =1开始 输入m , n 求m 除以n 的余数rm =n n =r 第7题图BC AB 1C 1 A 1D D 1E F第15题图16．过点作圆的切线，已知A ，B 分别为切点，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB 方程为 ；椭圆的标准方程是 . （第一空2分，第二空3分）三、解答题：(共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分17．(分)在中，角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求；(2)若，求的面积．18．(分)某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A 、B 两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在[85,115)为一等品，大于115为特等品. 现把测量数据整理如下, 其中B 配方废品有6件.A 配方的频数分布表质量指标值分组[75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数8a36248(1)求a , b 的值；(2)试确定A 配方和B 配方哪一种好？ (说明：在统计方法中，同一组数据常用 该组区间的中点值作为代表)19．(分)如图1，在□ABCD 中，AD =4，AB =2，∠DAB =45°，E 为边AD 的中点，以BE为折痕将△ABE 折起，使点A 到达P 的位置, 得到图2几何体P −EBCD . (1)证明： ；(2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.()11,2P -221x y +=l 12ABC △A B C a b c 2B C =34b c =cos C 3c =ABC △12122PD BE ⊥B 配方的频频率分布直方图 75 85 95 105 115 125 质量指标值O0.0080.006 b 0.022 0.038 第18题图 D P20．(分)已知抛物线C : y 2=2px (p ＞0)与直线l : x +y +1=0相切于点A ，点B 与A 关于x 轴对称.(1)求抛物线C 的方程，及点B 的坐标；(2)设M 、N 是x 轴上两个不同的动点，且满足∠BMN =∠BNM ，直线BM 、BN 与抛物线C 的另一个交点分别为P 、Q ，试判断直线PQ 与直线l 的位置关系，并说明理由. 如果相交，求出的交点的坐标.21．(分)设函数.(1)讨论的单调性；(2)若，当m =1，且时，，求的取值范围.12122()(+)e x f x x m =()f x ()2e 1()x g x nx f x =---0x ≥()0g x ≤n(二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程] (10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C : (θ为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程，点M)在直线l 上，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. (1)求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程； (2)求△OAB 的面积.23．[选修4-5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )=|x +1|−|x −2|.(1)若f (x )≤1，求x 的取值范围；(2)若f (x )最大值为M ，且a +b +c =M ，求证：a 2+b 2+c 2≥3.绝密★启用前 卷类型：A,,x y θθ=⎧⎨=⎩cos()4a πρθ-=4π2020年茂名市高三级第二次综合测试文科数学参考答案及评分标准二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．3 14. 4 15. 16. 2x −y −2=0(2分);(3分). 提示：三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分17. 解：(1)依题意，由正弦定理得：．·····································1分 ∵，∴， ·······················································2分 ∴， ······························································3分 ∴，，··················4分 ∴． ···············5分(2)解法一：由题意得：. ··················································6分 ∵，∴， ··········································7分∴， ···············································8分， ···············································9分∴.···········10分················································11分22154y x +=3sin 4sin B C =2B C =3sin24sin C C =3sin cos 2sin C C C =(0,)C π∈sin 0C ≠2cos 3C =3,4c b ==(0,)C π∈sin C =sin sin 22sin cos B C C C ===221cos cos2cos sin 9B C C C ==-=-sin sin()sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C π=--=+=+2139=-=∴. ·····································12分 解法二：由题意及(1)得：. ··································6分∵，∴， ···········································7分由余弦定理得：， ························8分即， 解得. ···············································9分若，又 则A =C ，又B =2C ，得△ABC 为直角三角形，而三边为的三角形不构成直角三角形，矛盾. ∴. ·················11分∴. ·······································12分18.解：(1)依题意，A 、B 配方样本容量相同，设为n ，又B 配方废品有6件.由B 配方的频频率分布直方图，得废品的频率为， ·················1分 解得n =100. ···················2分 ∴a =100−(8+36+24+8)=24. ···············3分 由(0.006+b +0.038+0.022+0.008)⨯10=1 ······························4分 解得b =0.026.因此a , b 的值分别为24, 0.026； ································5分 (2)由(1)及A 配方的频数分布表得，A 配方质量指标值的样本平均数为····7分质量指标值的样本方差为[(−20)2⨯8+(−10)2⨯24+0⨯36+102⨯24+202⨯8]=112.···8分 由B 配方的频频率分布直方图得，B 配方质量指标值的样本平均数为=80⨯0.06+90⨯0.26+100⨯0.38+110⨯0.22+120⨯0.08=100. ··············9分 质量指标值的样本方差为=(−20)2⨯0.06+(−10)2⨯0.26+0⨯0.38+102⨯0.22+202⨯0.08=104. ········10分综上，＞， ···································11分 即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A 配方质量指标值不够稳定，所以选择B 配方比较好. ···········································································12分 (2)当BC ⊥平面PEB 时，求三棱锥C −PBD 的体积.19. 证明：（1）依题意，在△ABE 中（图1），AE =2，AB =2，∠EAB =45°，由余弦定理得 EB 2=AB 2+AE 2−2AB ·AE cos45°=8+4−2⨯2⨯2⨯=4，·······························································2分 ∴AB 2= AE 2+EB 2， ···········································································3分 即在□ABCD 中，EB ⊥AD . ····································································4分 以BE 为折痕将△ABE 折起，由翻折不变性得，在几何体P −EBCD 中，7514511sin 4322279ABC S bc A ==⨯⨯⨯=V 3,4c b ==2cos 3C =(0,)C π∈25sin 1cos 3C C =-=222=+2cos c a b ab C -229=+1683a a -⨯231621=0a a -+7=3=3a a 或=3a 3,c ==3,4,3abc ==7=3a 5145711sin 422339ABC S ab C ==⨯⨯⨯=V 60.00610n =⨯808902410036110241208=100A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20082002410036==100.100⨯+⨯+⨯21=100As B x 5221()Bi i i s x x p ==-∑A B x x =2A s 2B s 2222E B CA D ⇒第19题图1PEBCD第19题图2EB ⊥PE ，EB ⊥ED . 又ED ∩PE =E ，∴BE ⊥平面PED ， ···························5分 又BE ⊂平面PEB ，∴； ·······················································6分 (2)∵BC ⊥平面PEB ，PE ⊂平面PEB ，∴ BC ⊥PE . ····································7分 由(1)得 EB ⊥PE ，同理可得PE ⊥平面BCE ，·············································8分 即PE ⊥平面BCD ，PE 就是三棱锥P −CBD 的高. ········································9分 又∠DCB =∠DAB =45°，BC =AD =4，CD =AB =2，PE =AE =2，∴S △CBD =⨯BC ⨯CD ⨯sin45°=⨯4⨯2⨯=4. ·································10分 V C −PBD =V P −CBD =S △BCD ⨯PE =⨯4⨯2=.因此，三棱锥C −PBD 的体积为.··························································12分（写出V C −PBD =V P −CBD 得1分，结果正确并作答得1分）20.解： (1)联立·········································1分 消去x 得y 2+2py +2p =0，···········································2分∵直线与抛物线相切，∴△=4p 2−8p =0， 又p ＞0，解得p =2，∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．·········3分 由y 2+4y +4=0，得y =−2，∴切点为A (1, −2)，∵点B 与A 关于x 轴对称，点B 的坐标B (1, 2). ···········4分(2)直线PQ ∥l . ····························5分 理由如下：依题意直线BM 的斜率不为0, 设M (t , 0)(t ≠1), 直线BM 的方程为x =my +t , ·····6分由(1)B (1, 2)，1=2m +t ，∴直线BM 的方程为x =y +t ， ·························7分 代入y 2=4x ．解得y =2(舍)或y =−2t ，∴P (t 2,−2t ). ·······························8分 ∵∠BMN =∠BNM ，∴ M 、N 关于AB 对称，得N (2−t , 0) . ·····················9分 同理得BN 的方程为x =y +2−t ，代入y 2=4x ．得Q ((t −2)2, 2t −4). ···········10分， ·······················································11分直线l 的斜率为−1，因此PQ ∥l . ·······················································12分 21. 解： (1)依题得，定义域为R ，，，··········1分 令，.①若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，.所以在R 上单调递增. ································································2分②若，即，令，得或. 当时，； ····································3分 当时，. ·····················4分 综合上述：当时，在R 上单调递增；当时，在区间上单调递减， 在区间上单调递增. ···················5分 (2)依题意可知： ···················6分 令，可得, ···························································7分 .设，则.·····························8分当时, ，单调递减, ······································9分PD BE ⊥2121222213138383{22,10,y px x y =++=12t -12t -224444144(2)PQ t t k tt t --===----()f x 2()(+2+)e x f x x x m '=e 0x >2()2h x x x m =++=44m -△0≤△1m ≥()0h x ≥()0f x '≥1m =1x =-()0f x '=()f x 0△＞1m ＜()0h x =11x m =---11x m =-+-(11,11)x m m ∈----+-()0'<f x (,11)(11,)x m m ∈-∞----+-+∞U ()0f x '>1m ≥()f x 1m ＜()f x (11,11)m m ----+-()f x (,11),(11,)m m -∞----+-+∞2()21()1x x x g x e nx f x e x e nx =---=---0x =(0)0g =2()(12)(R)x g x x x e n x '=---∈2()(12)x h x x x e n =---2()(41)x h x x x e '=-++0x ≥()0h x '<()g x 'xO yN B M PQ A故. ······················································10分 要使在时恒成立,需要在上单调递减， 所以需要. ······················································11分 即,此时,故.综上所述, 的取值范围是. ······································12分 (二)选考题：共10分请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时， 请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22. 解:(1)将曲线C :消去参数θ得, 曲线C 的普通方程为:.·····1分∵点M)在直线上，∴ (2)分∴, 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 的直角坐标方程为x +y −2=0, ························································4分显然l 过点(1, 1), 倾斜角为.∴直线l 的参数方程为(t 为参数). ······································5分(2)解法一：由(1)，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程得： ， ····························································6分· 整理得，显然△＞0.设A , B 对应的参数为t 1, t 2, 则由韦达定理得，.········7分由参数t 的几何意义得|AB |=| t 1−t 2， ························8分又原点O (0,0)到直线l 的距离为····································9分 因此，△OAB 的面积为.···················10分 (2)解法二: 由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 设，则由韦达定理得，.············· ·········7分 由弦长公式得|AB ， ··········· ·········8分 又原点O (0,0)到直线l 的距离为 ··································9分 因此，△OAB 的面积为. ··················10分 (2)解法三：由(1),联立消去y 得:, 显然△＞0. ····6分 ()(0)1g x g n ''≤=-()0g x ≤0x ≥()g x [0,)+∞()10g x n '≤-≤1n ≥()(0)0g x g ≤=1n ≥n [1,)+∞,,x y θθ=⎧⎨⎩22143y x +=4πcos()=4a πρθ-cos(44a ππ-cos(4πρθ-cos sin ρθρθ+34π1,1,x y ⎧=⎪⎨⎪=+⎩2211(1)(1)143-++=27100t +-=12t t +=12107t t =-=d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =d =1112||722S AB d ===221,43+20,y x x y ⎧⎪+=⎨-=⎪⎩271640x x -+=设，则由韦达定理得，. ·····················7分 ∵直线l 过椭圆右顶点(2,0)，∴，∴······················8分把代入直线l 的方程得，······················9分因此，△OAB 的面积为. ··························10分23．解：(1)由已知·················································1分当x ≥2时，f (x )=3，不符合； ···························································2分 当−1≤x ＜2时, f (x )=2x −1, 由f (x )≤1, 即2x −1≤1, 解得x ≤1, ∴−1≤x ≤1. ······3分 当x ＜−1时，f (x )= −3，f (x )≤1恒成立. · ··················································4分 综上，x 的取值范围是x ≤1. ·····························································5分 (2)由(1)知f (x )≤3，当且仅当x ≥2时，f (x )=3， ········································6分 ∴M = f (x )Max =3.即a +b +c =3， ·······················································7分· ∵a 2+b 2≥2ab ，a 2+c 2≥2ac ，c 2+b 2≥2cb ， ·············································8分 ∴2(a 2+b 2+c 2)≥2(ab +ac +cb )∴3(a 2+b 2+c 2)≥a 2+b 2+c 2+2ab +2ac+2cb =(a +b +c )2=9， ·································9分 因此(a 2+b 2+c 2)≥3. ··············································································10分1122(,),(,)A x y B x y 12167x x +=1247x x =21627x +=227x =227x =2127y =2111212||27722S OA y =⋅=⨯⨯=3,2,21,12,(, 1.)3x x f x x x ≥⎧⎪--≤⎨--⎪⎩=＜＜。

2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A=（1，2，5}，∁U B=（1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知非零向量与向量平行，则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或 C．﹣1 D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．6．设数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．807．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．138．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e]C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．31πB．32πC．34πD．36π11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是．14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为．15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．18．2020年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级一级二级三级四级频率0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（1）求m，n的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若，求证f′（u）＜k．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A=（1，2，5}，∁U B=（1，3，5}，则A∩B=（）A．{2}B．{5}C．{1，2，4，5} D．{3，4，5}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5}，∁U B={1，3，5}，所以B={2，4}，所以A∩B={2}，故选：A．2．已知Z=（i为虚数单位），则Z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．【解答】解：∵Z=（i为虚数单位），∴=1﹣i，对应的点为（1，﹣1）在第四象限．故选：D．3．已知非零向量与向量平行，则实数m的值为（）A．﹣1或B．1或 C．﹣1 D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量共线定理的坐标表示，列出方程解方程，求出m的值．【解答】解：非零向量与向量平行，∴﹣2（m2﹣1）﹣1×（m+1）=0，解得m=或m=﹣1（不合题意，舍去）；∴实数m的值为．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．C．D．【考点】程序框图．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选C．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，，且b＜c，则B=（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理可求sinC，利用同角三角函数基本关系式可求cocC=，可得C为或，又b＜c，B为锐角，分类讨论由三角形内角和定理即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，∵a=2，c=2，，a＜c，可得A=，cosA=，∴sinC===，可得cocC=，即C为或，∵b＜c，B为锐角，∴当C=，B=，矛盾，舍去，故C=，∴B=π﹣A﹣C=．故选：A．6．设数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，则a20=（）A．4 B．36 C．﹣74 D．80【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a20．【解答】解：∵数列{a n}是的等差数列，S n为其前n项和．若S6=8S3，a3﹣a5=8，∴，解得a1=2，d=﹣4，∴a20=a1+19d=2﹣4×19=﹣74．故选：C．7．设函数，则f（﹣7）+f（log312）=（）A．7 B．9 C．11 D．13【考点】函数的值．【分析】由﹣7＜1，1＜log312求f（﹣7）+f（log312）的值．【解答】解：∵﹣7＜1，1＜log312，∴f（﹣7）+f（log312）=1+log39+=1+2+4=7，故选：A．8．已知命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，若p是真命题，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．（﹣∞，e]C．（e2，+∞）D．[e2，+∞）【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定．【分析】写出命题的否定命题，利用命题的真假关系，通过函数的最值求解即可．【解答】解：命题￢p：存在x∈（1，2）使得e x﹣a＞0，则命题p为：任意x∈（1，2）使得e x﹣a≤0，因为p是真命题，所以e x﹣a≤0恒成立，即a≥e x，e x＜e2．可得a≥e2．故选：D．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调增区间为（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，求出函数y=Asin（ωx+φ）的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质，即可求得函数g（x）的单调增区间．【解答】解：由图可知A=2，T=4（﹣）=π，∴ϖ==2．∵由图可得点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2×+φ）=2，解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴由|φ|＜，可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．∵若将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的函数解析式为：g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+）．∴由2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数g（x）的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．10．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A．31πB．32πC．34πD．36π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先还原几何体为底面边长为3的正方形，高为4是四棱锥，明确其外接球的半径，然后计算表面积．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体是底面是边长为3的正方形，高为4是四棱锥，所以其外接球的直径为，所以其表面积为34π；故选C．11．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．12．已知抛物线y2=4x的焦点为F，A、B为抛物线上两点，若，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，可得直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出A，B的坐标，即可求出△AOB的面积．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|=2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为，联立直线AB与抛物线的方程可得：，解之得：，，所以，而原点到直线AB的距离为，所以，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故应选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是x﹣y+3=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程求出圆心坐标，由直线垂直的条件求出直线l的斜率，代入点斜式方程再化为一般式方程．【解答】解：由题意得，圆x2+（y﹣3）2=4的圆心为（0，3），又直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率是1，则直线l的方程是：y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故答案为：x﹣y+3=0．14．实数x，y满足，则z=x+y+1的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+y+1，即y=﹣x﹣1+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣1+z经过点B（3，0），和直线x+y﹣3=0平行时，直线y=﹣x﹣1+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=x+y+1得z=3+1=4．即目标函数z=x+y+1的最大值为4．故答案为：4．15．设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【考点】余弦定理．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：16．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的大致图象如图所示：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，S5=30，数列{b n}满足b1+2b2+…+nb n=a n （Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设c n=b n•b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（II）利用递推关系与“裂项求和”即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=4，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴a n=2+2（n﹣1）=2n．（II）∵b1+2b2+…+nb n=a n，∴当n=1时，b1=a1=2；当n≥2时，b1+2b2+…+（n﹣1）b n﹣1=a n﹣1，∴nb n=a n﹣a n﹣1=2，解得b n=．∴c n=b n•b n+1==4．∴数列{c n}的前n项和T n=4++…+=4=．18．2020年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失．某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：等级一级二级三级四级频率0.30 2m m 0.10现从该港口随机抽取了n家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家．（1）求m，n的值；（2）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这n家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）由已知先求出m，由频率=，能求出n．（2）由分层抽样的方法得到消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A，B，C，D，三级的2家公司分别记为a，b，从中抽取2家公司，利用列举法能出抽取的2家公司的消防安全等级都是二级的概率．【解答】解：（1）由已知可得：0.30+2m+m+0.10=1，解得：m=0.20．所以n==100．（2）由（1）知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家．记消防安全等级为二级的4家公司分别为A，B，C，D，三级的2家公司分别记为a，b，则从中抽取2家公司，不同的结果为：（Aa），（Ab），（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab），共15种，记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的结果有：（AB），（AC），（AD），（BC），（BD），（CD），共6种，所以P（M）==．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=1，，求三棱锥A﹣A1BC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【分析】（I）取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B，由CA=CB得CO⊥AB，由△AA1B 是等边三角形得OA1⊥AB，故AB⊥平面COA1，于是AB⊥A1C；（II）根据等边三角形性质求出OC，OA1，由勾股定理逆定理得出CO⊥OA1，求出S，于是V=2V．【解答】（Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接CO，OA1，A1B．∵CA=CB，∴CO⊥AB，∵AB=AA1，∠BAA1=60°．∴△A1AB为等边三角形．∴OA1⊥AB，又∵OC⊂平面COA1，OA1⊂平面COA1，OC∩OA1=O．∴AB⊥平面COA1．又A1C⊂平面COA1，∴AB⊥A1C．（Ⅱ）解：∵AB=BC=AC=1，∴CO=，∵AB=AA1=1，∠BAA1=60°，∴A1O=．∵A1C=，∴CO2+A1O2=A1C2．∴CO⊥A1O．∴S==．∴V=2V=2×=2×=．20．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N 的下方），且|MN|=3．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K AB+K BN=0，可得∠ANM=∠BNM．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r）．∵|MN|=3，∴，解得，故圆C的方程为．（Ⅱ）把x=0代入方程，解得y=1或y=4，即点M（0，1），N（0，4）．（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．（2）当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．联立方程，消去y得，（1+2k2）x2+4kx﹣6=0．设直线AB交椭圆Γ于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则，．∴=0，∴∠ANM=∠BNM．综上所述，∠ANM=∠BNM．21．已知函数f（x）=lnx+ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知a＜0，对于函数f（x）图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x2＞x1，直线AB的斜率为k，记N（u，0），若，求证f′（u）＜k．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，（Ⅱ）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，（Ⅲ）要证：f′（u）＜k．，只需证，构造函数令，通过讨论函数的单调性，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+x2+x，∴，∴f'（1）=4又∵f（1）=ln1+12+1=2，∴函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2=4（x﹣1），即4x﹣y﹣2=0．（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a≥0时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在定义域内单调递增；当a＜0时，令f'（x）=0，解得，，∵x＞0，∴则时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；综上，a≥0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；a＜0时，f（x）的单调递增区间为，f（x）的单调递增区间为（Ⅲ）证明：=，∵，∴x2﹣x1=λ（u﹣x1），∴，又，∴，∴，∵a＜0，x2＞x1，1≤λ≤2，∴要证：f′（u）＜k．，只需证即证：，设令，则，令h（t）=﹣t2+（λ2﹣2λ+2）t﹣（λ﹣1）2，t＞1，1≤λ≤2对称轴．h（t）＜h（1）=0，∴g'（t）＜0，故g（t）在（1，+∞）内单调递减，则g（t）＜g（1）=0，故f′（u）＜k．请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请在答题卡中用2B铅笔把所选做题的后面的方框涂黑，并写清题号再作答．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，求直线的倾斜角α的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，利用即可得出极坐标方程．（II）将代入圆的方程得化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，利用弦长公式，化简即可得出．【解答】解：（1）由，展开为ρ2﹣4﹣1=0，化为﹣1=0，配方得圆C的方程为（2）将代入圆的方程得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=5，化简得t2﹣2tcosα﹣4=0，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，所以，所以4cos2α=2，，．[选修4-5；不等式选讲]24．已知函数（Ⅰ）当时，解不等式f（x）≤x+10；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，取并集即可；（Ⅱ）根据绝对值的意义求出f（x）的最小值，从而求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，①当时，由f（x）≤x+10得﹣2x+3≤x+10，解得，此时；②当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，解得x≥﹣8，此时；．．③当时，由f（x）≤x+10得2≤x+10，解得x≤13，此时；综上，不等式f（x）≤x+10的解集为；（Ⅱ）由绝对值不等式的性质得：，∴f（x）的最小值为，由题意得，解得，∴实数a的取值范围为．2020年8月1日第21页（共21页）。

广东省省际名校（茂名市）高三下学期联考（二）数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合()(){}230A x x x =--<，{26B x x a =<-或}x a >，若A B ⋂=∅，则a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞B ．(],4-∞C ．[]3,4D ．()3,4 2．i 是虚数单位，复数z 满足()113i z i +=+，则z =（ ） A ．12i + B ．2i + C ．12i - D ．2i -3.已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，类比之可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是（ ） A ．各面内某边的中点B ．各面内某条中线的中点C ．各面内某条高的三等分点D ．各面内某条角平分线的四等分点 4.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数 C. ()1y f x =-在R 上为增函数D.()y f x =-在R 上为减函数5.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S .在一次投掷中，已知S 是奇数，则9S =的概率是（ ） A ．16 B ．29 C ．19 D ．156.过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与其对称轴垂直的直线与E 交于,A B 两点，若E 在,A B 两点处的切线与E 的对称轴交于点C ，则ABC ∆外接圆的半径是（ ）A ．)21p B ．p C 2 D ．2p7. 若4cos 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325 B ．2325- C ．725 D ．725- 8. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos 2b C c a +=，且13,3b c ==，则a =（）A．1 B．6 C．22 D．49.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A．323B．643C．16D．1310.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（）A．14B．34C．4πD．14π-11.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组240,4,0x y x y ⎧-≥⎪≤⎨⎪≥⎩的点(),x y 组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为1V ；满足不等式组()222216,4,0x y x y r y ⎧+≤⎪⎪+-≥⎨⎪≥⎪⎩的点(),x y 组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕y 轴旋转180︒，所得几何体的体积为2V .利用祖暅原理，可得1V =（ ）A ．323π B ．643π C ．32π D ．64π 12.若对任意的0x >，不等式()22ln 10x m x m -≥≠恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．{}1 B ．[)1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．[),e +∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知a 为单位向量，()1,3b =，且1a b ⋅=，则a 与b 夹角的大小是 ． 14. 若实数,x y 满足约束条件1,10,326,,,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪-+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩则2z x y =-的最大值是 ．15. 将函数()()2213sin cos f x x x x =---的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，若,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()g x 的单调递增区间是 ．16. 设椭圆()222210b x y a ba +>>=的上顶点为B ，右顶点为A ，右焦点为F ，E 为椭圆下半部分上一点，若椭圆在E 处的切线平行于AB 2，则直线EF 的斜率是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，2416a a a =-，且20a ≠. （1）求1a 与d 的关系式； （2）当29d =时，设1281n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为菱形，且11A AB A AD ∠=∠.（1）证明：四边形11BB D D 为矩形；（2）若1,60AB A A BAD =∠=︒，1A C ⊥平面11BB D D ，求四棱柱1111ABCD A B C D -的体积. 19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩x 与物理成绩y 如下表：数据表明y 与x 之间有较强的线性关系. （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩； （3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据:回归直线的系数()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()()226.6350.01,10.8280.01P K P K ≥=≥=.20. 已知圆()()221:222C x y -+-=内有一动弦AB ，且2AB =，以AB 为斜边作等腰直角三角形PAB ，点P 在圆外. （1）求点P 的轨迹2C 的方程；（2）从原点O 作圆1C 的两条切线，分别交2C 于,,,E F G H 四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S .21.已知函数()()21ln 12f x x x =+-. （1）判断()f x 的零点个数；（2）若函数()g x ax a =-，当1x >时，()g x 的图象总在()f x 的图象的下方，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-，直线l 的参数方程为2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角). （1）若34πα=，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 有两个不同的交点,A B ，且()2,1P 为AB 的中点，求AB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x x =++-. （1）求函数()f x 的最小值a ；（2）根据（1）中的结论，若33m n a +=，且0,0m n >>，求证:2m n +≤.试卷答案一、选择题1-5: CBCDB 6-10: BDDAC 11、12：CA 二、填空题 13.3π 14. 2 15.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（注：写成开区间或半开半闭区间亦可） 2 三、解答题17. 解:（1）因为2416a a a =-，所以()()211135a d a a d +=-+， 即有()()11290a d a d ++=.因为20a ≠，即10a d +≠，所以1290a d +=. （2）因为1290a d +=，又29d =，所以2119n n a -=. 所以()()12211812112921129n n n b a a n n n n +===-----. 所以1231111111197755321129n n S b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112929929nn n -=-=---. 18.（1）证明: 连接AC ，设AC BD O ⋂=，连接111,,A B A D AO . ∵11,A AB A AD AB AD ∠=∠=，∴11A B A D =. 又O 为BD 的中点，∴1,AO BD AO BD ⊥⊥. ∴BD ⊥平面11A ACC ，∴1BD AA ⊥. ∵11//BB AA ，∴1BD BB ⊥.又四边形11BB D D 是平行四边形，则四边形11BB D D 为矩形.（2）解：由12,60AB A A BAD ==∠=︒，可得2AD AB ==，∴23AC =. 由BD ⊥平面11A ACC ，可得平面ABCD ⊥平面11A ACC ，且交线为AC . 过点1A 作1A E AC ⊥，垂足为点E ，则1A E ⊥平面ABCD . 因为1A C ⊥平面11BB D D ,∴11AC BB ⊥，即11AC AA ⊥. 在1Rt AAC ∆中，可得112622,3AC A E ==. 所以四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为132622242223V =⨯⨯⨯⨯⨯=.19. 解:(（1）由题意可知120,90x y ==， 故()()()()()()()()()()()()()()()222221451201109013012090901201201029010512078901001207090145120130120120120105120100120b --+--+--+--+--=-+-+-+-+-50000180400108040.8625100022540013505++++====++++.901200.86a =-⨯=-，故回归方程为0.86y x =-.（2）将110x =代入上述方程，得0.8110682y =⨯-=.（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人， 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人. 于是可以得到22⨯列联表为：于是()2260241812610 6.63530303624K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.20.解：（1）连接11,C A C B ，∵112,2C A C B AB ===，∴1C AB ∆为等腰直角三角形. ∵FAB ∆为等腰直角三角形，∴四边形1FAC B 为正方形. ∴12PC =，∴点P 的轨迹是以1C 为圆心，2为半径的圆， 则2C 的方程为()()22224x y -+-=.（2）如图，,1C N OF ⊥于点N ，连接111,,C E C F C O . 在1Rt OC N ∆中，∵1122,2OC C N ==，∴6ON =. ∴11sin 2C ON ∠=，∴130C ON ∠=︒. ∴OEH ∆与OFG ∆为正三角形.∵11C EN C FN ∆≅∆，且112C E C F ==，∴2NE NF ==. ∴四边形EFGH 的面积()()22336262644OFC CEHS S S ∆∆=-=+--=.21.解:（1）()()21ln 12f x x x =+-的定义域为()0,+∞， 又()11f x x x'=+-， ∵12x x+≥，∴()10f x '≥>， ∴()f x 在()0,+∞上为增函数，又()10f =， ∴()f x 在()0,+∞上只有一个零点. （2）由题意当1x >时，()211ln 20x x ax a --+>+恒成立. 令()()211ln 2h x x x ax a =-+-+，则()11h x x a x'=+--.当1a ≤时，∵()1110h x x a a x'=+-->-≥，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()10h =，∴()0h x >恒成立. 当1a >时，()()211x a x h x x-++'=，令()()211x x a x ϕ=-++，则()()()214310a a a ∆=+-=+->. 令()0x ϕ=的两根分别为12,x x 且12x x <，则∵121210,10x x a x x +=+>⋅=>，∴1201x x <<<， 当()21,x x ∈时，()0x ϕ<，∴()0h x '<，∴()h x 在()21,x 上为减函数，又()10h =，∴当()21,x x ∈时，()0h x <. 故a 的取值范围为(],1-∞.22.解：（1）l 的普通房成为30x y +-=， C 的直角坐标方程为22y x =.（2）把2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入抛物线方程22y x =得()()22sin 2sin cos 30*t t ααα+--=，设,A B 所对应的参数为12,t t ，则()1222sin cos sin t t ααα-+=.∵()2,1P 为AB 的中点，∴P 点所对应的参数为122sin cos 02sin t t ααα+-=-=， ∴sin cos 0αα-=，即4πα=.则()*变为21302t -=，此时26,6t t ==±∴26AB =23.（1）解：()()11112f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当11x -≤≤时取等号， 所以()min 2f x =，即2a =.（2）证明:假设:2m n +>，则()332,2m m n n >->-. 所以()()3323322612n n m n n >-+=+-≥+. ① 由（1）知2a =，所以332m n +=. ②①与②矛盾，所以2+≤.m n。

2020年广东省茂名市五校联盟高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|x(x−1)≥0}，N={x|−1<x<1}，则M∩N=()A. |x|−1<x≤0}B. {x|−1≤x≤0}C. {x|0≤x<1}D. {x|0≤x≤1}2.设z=2i1−i+2+i，则复数z的虚部为()A. 2B. 2iC. 1D. i3.若cos(π+α)=−13，则cosα的值为()A. −2√23B. −13C. 13D. 2√234.已知a⃗，b⃗ 为不共线向量，向量8a⃗−k b⃗ 与−k a⃗+b⃗ 共线，则k=()A. 2√2B. −2√2C. ±2√2D. 85.已知点(2,√3)在双曲线x24−y2a=1(a>0)的一条渐近线上，则a=()A. √3B. 3C. 2D. 2√36.某市2015年至2019年新能源汽车年销量y(单位：百台)与年份代号x的数据如表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为ŷ=6.5x+9，则表中m的值为()A. 22B. 25C. 30D. 无法确定7.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2√3π，且短轴长为2√3，则C的标准方程为()A. x212+y2=1 B. x24+y23=1 C. x23+y24=1 D. x216+y23=18.函数f(x)=sinxcosxx2+1的图象大致为()A. B.C. D.9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 610.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图，圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用，山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如图所示。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|5217}A x x =-<+<，{|24}B x x =-<<，则(A B =I ) A ．{|34}x x -<<B ．{|24}x x -<<C ．{|33}x x -<<D ．{|23}x x -<<2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈，若||z =(a = ) A ．4B ．2C ．2±D ．2-3．（5分）小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为( )A ．13B ．23C ．16D ．124．（5分）若x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩„„…，则2z y x =-的最大值是( )A ．9B ．7C ．3D ．65．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺6．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆，则该圆锥的体积为( ) A．BCD7．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-B ．(2,4)-C ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞D ．(4,2)-8．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u rg ，则该双曲线的离心率为( )AB ．2 CD9．（5分）已知数列{}n a 满足1(*)1nn na a n N a +=∈+，且11a =，设1n n nb a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019(S = ) A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．1201910．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在[3π，]2π④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．（5分）已知椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C 的离心，且112PF F F ⊥，△12PF F，则椭圆C 的方程为( ) A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22142x y +=D ．2214x y += 12．（5分）已知函数21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(,0)[1-∞U ，)+∞ C ．(-∞，0][1U ，)+∞ D ．(-∞，1][1-U ，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省茂名市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，3，4，，3，，，则A. B. 3，C. D.2.若，x，，则复数的虚部为A. 2B. 1C. iD.3.已知函数在点处的切线方程为，则A. B. 1 C. D. 04.函数的图象如图所示，则的值为A.B. 1C.D.5.下列命题错误的是A. “”是“”的充要条件B. 命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题C. 在中，若“”，则“”D. 若等比数列公比为q，则“”是“为递增数列”的充要条件6.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.7.“辗转相除法”是欧几里得原本中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入，时，则输出的m是A. 2B. 6C. 101D. 2028.已知双曲线的离心率为2，其一条渐近线被圆截得的线段长为2，则实数m的值为A. B. C. 2 D. 19.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，则使不等式成立的x取值范围是A. B.C. D.10.函数在的图形大致是A. B.C. D.11.已知三棱锥中，，，，，且平面平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.12.已知函数，对于函数有下述四个结论：函数在其定义域上为增函数；对于任意的，都有成立；有且仅有两个零点；若在点处的切线也是的切线，则必是零点．其中所有正确的结论序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则______．14.为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于______盈利额总收入总成本15.在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则平面截该正方体所得截面面积为：______．16.过点作圆的切线l，已知A，B分别为切点，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和下顶点，则直线AB方程为______；椭圆的标准方程是______第一空2分，第二空3分三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求cos C；若，求的面积．18.某种治疗新型冠状病毒感染肺炎的复方中药产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，为了提高产品质量，我国医疗科研专家攻坚克难，新研发出A、B两种新配方，在两种新配方生产的产品中随机抽取数量相同的样本，测量这些产品的质量指标值，规定指标值小于85时为废品，指标值在为一等品，大于115为特等品．现把测量数据整理如下，其中B配方废品有6件．质量指标值分组频数8a36248求a，b的值；试确定A配方和B配方哪一种好？说明：在统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表19.如图1，在▱ABCD中，，，，E为边AD的中点，以BE为折痕将折起，使点A到达P的位置，得到图2几何体．证明：；当平面PEB时，求三棱锥的体积．20.已知抛物线C：与直线l：相切于点A，点B与A关于x轴对称．求抛物线C的方程，及点B的坐标；设M、N是x轴上两个不同的动点，且满足，直线BM、BN与抛物线C 的另一个交点分别为P、Q，试判断直线PQ与直线l的位置关系，并说明理由．如果相交，求出的交点的坐标．21.设函数．讨论的单调性；若，当，且时，，求n的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：，为参数，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程，点在直线l上，直线l与曲线C交于A，B两点．求曲线C的普通方程及直线l的参数方程；求的面积．23.已知函数．若，求x的取值范围；若最大值为M，且，求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：2，3，4，，3，，，，3，，3，，．故选：B．进行交集、并集和补集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集、并集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：，，，的虚部是1，故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得x，y，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：因为切点在切线上，，得，又切线斜率为，．．故选：D．将切点横坐标代入切线方程，可求得，切线的斜率即为切点处的导数值，即．本题考查导数的几何意义，以及利用导数求切线方程的基本思路．属于基础题．4.答案：B解析：【分析】根据函数的图象求得A、T、和的值，写出的解析式，再计算的值．本题考查了的图象与性质，是基础题．【解答】解：根据函数的图象可得，，解得，根据，且，得，，又的图象过点，，即，，，，又因，，，计算．故选：B．5.答案：D解析：解：由，A正确；命题“若，则方程有实根”的逆命题为命题“若方程有实根，则”，方程有实根，B正确；在中，若根据正弦定理，C正确；例如数列，，，是的等比数列，但该数列单调递减；又如数列，，，是单调递增数列，但，因此对于公比为q的等比数列，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，D错误．故选：D．A，用配方法解一元二次方程即可作出判断；B，先写出原命题的逆命题，再根据判别式，解得m的取值范围，即可作出判断；C，先根据大角对大边，再结合正弦定理即可得解；D，列举特殊数列：例如，，，和，，，，可以说明“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件．本题考查命题的真假，涉及原命题与逆命题的关系、充要条件等知识点，考查学生灵活运用知识的能力和推理论证能力，属于基础题．6.答案：A解析：【分析】阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10，从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个，利用列举法求出满足差的绝对值为5的有5个，由此能求出其差的绝对值为5的概率．本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题．【解答】解：因为阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10，所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：个，满足差的绝对值为5的有：，，，，共5个，则．故选：A．解析：解：输入，，又．，，，，；，，，；，．，，；，则否，输出．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.答案：C解析：解：依题意：，可得，双曲线渐近线方程为：．不妨取渐近线：，则圆心到的距离．由勾股定理得，解得，，，故选：C．利用双曲线的离心率，求出a，b关系，得到双曲线的渐近线方程，利用垂经定理，转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．9.答案：A解析：【分析】根据题意，由函数的解析式可得且在上为减函数，结合函数的奇偶性可得，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．【解答】解：根据题意，当时，，则有，且在上为减函数，又由为偶函数，则，解可得：或，即x的取值范围为；10.答案：A解析：解：，函数是奇函数，图象关于原点对称，排除选项D；在y轴右侧第一个零点为．当时，，，，，排除选项B；当时，，，，且，．故选：A．先计算，与进行比较，可判断函数的奇偶性，优先排除选项D，再当时，判断函数每一部分的正负性可排除选项B，最后计算时，可得，从而确定正确的选项．本题考查函数的图象与性质，一般从函数的奇偶性、单调性和特殊点处的函数值等方面着手思考问题，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．11.答案：B解析：解：在中，由余弦定理得，又，为直角三角形，，又平面平面ABC且交于AB，平面PAB，设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，，且三棱锥的外接球的球心在过点M的平面PAB的垂线上，如图所示：，因为平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，即，设几何体的外接球半径为R，在中，则，所求外接球的表面积，先求出AB，得到为直角三角形，所以平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，再利用正弦定理求出的外接圆半径为r，利用勾股定理即可求出几何体的外接球半径为R，从而得到外接球的表面积．本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．12.答案：C解析：解：依题意，的定义域为，且，在区间和上都是增函数，但并不能说明其在整个定义域内是增函数，即错误；当时，有，成立，即正确；在区间上单调递增，且，．，即在区间上有且仅有1个零点．在区间上单调递增，且，，，也可以利用当时，，，即在区间上有且仅有1个零点．因此，有且仅有两个零点，即正确；在点处的切线方程l为．又l也是的切线，设其切点为，则l的斜率，从而直线l的斜率，，即切点为，又点A在l上，，，必是零点，即正确．综上，正确的有，故选：C．对函数求导得，只能说明在区间和上都是增函数，但并不能说明其在整个定义域内是增函数；直接计算的值，分离常数后，在的条件下，与比较大小即可作出判断；由可知，在区间和上都是增函数，分别在两个区间上使用零点存在定理进行判断，其中找区间端点值是关键步骤；先写出在点处的切线方程l，再设直线l与相切于点，利用导数求出斜率以及把点A坐标代入切线l的方程，化简整理后可得，故而即可作出判断．本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性和零点问题，有一定的综合性，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于中档题．13.答案：3解析：解：向量，，若，则，，故答案为：3．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得k的值．本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．14.答案：4解析：解：设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且，．所以n年后总营运成本，因此，年平均盈利额为：，当且仅当时等号成立．故答案为：4．设每年的营运成本为数列，依题意该数列为等差数列，且，所以n年后总营运成本，因此，年平均盈利额为：，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：解析：解：如图，在正方体中，平面平面，平面与平面的交线必过C且平行于，故平面经过的中点F，连接，得截面，易知截面是边长为的菱形，其对角线，，截面面积．故答案为：．作出截面截面，F为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可本题考查平面截正方体所得截面的面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16.答案：解析：解：当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为：，切点的坐标；当直线l斜率存在时，设l方程为，根据直线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径1，可以得到切线斜率，即l：直线l方程与圆方程的联立可以得切点的坐标；根据A、B两点坐标可以得到直线AB方程为，或利用过圆外一点作圆的两条切线，则过两切点的直线方程为依题意，AB与x轴的交点即为椭圆右焦点，得，与y轴的交点即为椭圆下顶点坐标，所以，根据公式得，因此，椭圆方程为：．故答案为：；．当过点的直线l斜率不存在时，直线方程为：，切点的坐标；当直线l斜率存在时，设l方程为，利用直线与圆相切，求出，得到l：然后求解；得到直线AB方程为，然后利用椭圆的性质，转化求解a，b，得到椭圆方程．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.答案：解：依题意，由正弦定理得：，，，，，，．由题意得：，，，，，，，．解析：依题意由正弦定理得：，利用二倍角公式结合，，即可求解．由题意得：，，利用同角三角函数基本关系式可求sin C的值，利用二倍角公式可求sin B，cos B的值，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：解：依题意，A、B配方样本容量相同，设为n，又B配方废品有6件．由B配方的频频率分布直方图，得废品的频率为，解得，，由，解得，b的值分别为24，．由及A配方的频数分布表得，A配方质量指标值的样本平均数为：，质量指标值的样本方差为，由B配方的频频率分布直方图得，B配方质量指标值的样本平均数为，质量指标值的样本方差为：，综上，，，即两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，所以选择B配方比较好．解析：、B配方样本容量相同，设为n，B配方废品有6件．由B配方的频频率分布直方图，能求出，从而求出a和b．由A配方的频数分布表能求出A配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差；由B 配方的频频率分布直方图能求出B配方质量指标值的样本平均数和质量指标值的样本方差，由两种配方质量指标值的样本平均数相等，但A配方质量指标值不够稳定，得到选择B配方比较好．本题考查频数和频率的求法，考查平均数、方差的求法及应用，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：证明：依题意，在中，，，，由余弦定理得：，，即在▱ABCD中，，以BE为折痕将折起，由翻折不变性得，在几何体中，，又，平面PED，又平面PEB，．解：平面PEB，平面PEB，，由得，同理可得平面BCE，即平面BCD，PE就是三棱锥的高，又，，，，，．因此，三棱锥的体积为．解析：由余弦定理得，从而，进而，以BE为折痕将折起，由翻折不变性得，，又，从而平面PED，由此能证明．推导出，，从而平面BCE，PE就是三棱锥的高，由，能求出三棱锥的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：联立，消去x得，直线与抛物线相切，，又，解得，抛物线C的方程为，由，得，切点为，点B与A关于x轴对称，点B的坐标．直线，理由如下：依题意直线BM的斜率不为0，设，直线BM的方程为，由，，直线BM的方程为，代入解得舍或，，，、N关于AB对称，得，同理得BN的方程为，代入得，，直线l的斜率为，因此．解析：联立，消去x得，通过直线与抛物线相切，解得，得到抛物线C的方程，然后求解即可．直线，证明直线BM的斜率不为0，设，直线BM的方程为，求出直线BM的方程，代入求出，，然后求解即可．本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于难题．21.答案：解：依题得，定义域为R，，，分令，，若，即，则恒成立，从而恒成立，当且仅当，时，，所以在R上单调递增分若，即，令，得或，当时，，分当时，，分综合上述：当时，在R上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增分依题意可知：分令，可得，分，，设，则，分当时，，单调递减，分故，分要使在时恒成立，需要在上单调递减，所以需要，分即，此时，故，综上所述，n的取值范围是分解析：对求导后，再令，，接下来分及两种情况讨论得出结论；利用导数求出函数的最大值，只需其最大值小于等于0即可，进而求得n的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想，逻辑推理能力，属于中档题．22.答案：解：将曲线C：，为参数，消去参数得，曲线C的普通方程为：．点在直线上，．，展开得，又，，直线l的直角坐标方程为，显然l过点，倾斜角为．直线l的参数方程为为参数．由，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，整理得：，设A，B对应的参数为，，则由韦达定理得，由参数t的几何意义得，又原点O到直线l的距离为．因此，的面积为．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和点到直线的距离公式的应用及三角形面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：由已知分当时，，不符合；分当时，，由，即，解得，分当时，，恒成立分综上，x的取值范围是分证明：由知，当且仅当时，，分即，分，，，分，分因此分解析：分类讨论解不等式，再把每种情况的解集取并集即可；由知，，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想，运算求解能力以及推理论证能力，属于基础题．。

2020年广东省茂名市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设U ={1,2,3,4,5}，，则B⋂(C U A)=( )A. ⌀B. {2}C. {3,4}D. {1,3,4,5}2. 若(x +2i)i =y −1i (x,y ∈R)，则x +y =( )A. −1B. 1C. 3D. −33. 函数y =f(x)的图象在点x =5处的切线方程是y =−x +8，则f(5)+f′(5)等于( )A. 1B. 2C. 0D. 124. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,π2<φ<π)的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的周期为πB. 函数y =f(x −π)为偶函数C. 函数f(x)在[−π,−π4]上单调递增 D. 函数f(x)的图象关于点(5π6,0)对称5. 下列结论中是错误命题的是( )A. 命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式为￢p ：“∀x ∈R ，x 2−2<0”B. 若￢p 是q 的必要条件，则p 是￢q 的充分条件C. “M >N ”是“(23)M >(23)N ”的充分不必要条件6.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A. 12B. 23C. 14D. 137.算法的程序框图如图所示，当输入n=6时，输出的结果是()．A. 35B. 84C. 49D. 258.已知直线l1，l2为双曲线M：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线，若l1、l2与圆N：(x−2)2+y2=1相切，则双曲线M离心率的值为()A. √33B. 2√33C. √3D. 4√339.已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，若f(−2)=0，则满足xf(x)>0的x的取值范围是()A. B.C. D. (−2,0)∪(0,2)10.函数f(x)=e x−e−x2cosx在[−2π,2π]上的大致图象是()A. B.C. D.11.在三棱锥S−ABC中，SC⊥平面ABC，SC=√3，AB=1，BC=√3，AC=√2，则该三棱锥的外接球的表面积为()A. 2πB. 4πC. 6πD. 8π(x∈R)，有下述四个结论：12.关于函数f(x)=x1+|x|①任意x∈R，等式f(−x)+f(x)=0恒成立；②任意x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；③存在m∈(0,1)，使得方程|f(x)|=m有两个不等实数根；④存在k∈(1,+∞)，使得函数g(x)=f(x)−kx在R上有三个零点．其中包含了所有正确结论编号的选项为()A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①②二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(1,3)，c⃗=(k,2)，若(a⃗−c⃗ )⊥b⃗ 则k=______ ．14.已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，n∈N∗.若a3=16，S20=20，则S10的值为_____．15.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点．若AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于______．16.过椭圆x24+y22=1的右顶点A作斜率为−1的直线交椭圆于另一点B，则点B的坐标为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.某高科技公司投入1000万元研发某种产品，大规模投产后，在产品出库进入市场前，需做严格的质量检验．为此，从库房的产品中随机抽取200件，检测一项关键的质量指标值(记为X)，由检测结果得到如下样本频率分布直方图：(1)求这200件产品质量指标值的样本平均数X−、样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；(2)该公司规定：当X>170时，产品为正品；当X≤170时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利80元；若是次品，则亏损20元．①估计这200件产品中正品、次品各有多少件；②求公司生产一件这种产品的平均利润．19.如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠A=60∘，以对角线BD为折痕把△ABD折起，使点A到达如图2所示点E的位置，使EC=√3．(1)求证：BD⊥EC；(2)求三棱锥E−BCD的体积．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)，直线l：y=−2，且抛物线的焦点到直线l的距离为3．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)动点P在直线l上，过P点作抛物线的切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，证明：PQ⊥x轴．21.已知f(x)=e x−mx．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x|+|x+1|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)≥2；(Ⅱ)若a，b，c∈R+，函数f(x)的最小值为m，若a+b+c=m，求证：ab+bc+ac≤13．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查集合的交集、补集运算，属于基础题．解：∵U={1,2,3,4,5}，，∴C U A={3,4}，∴B⋂(C U A)={3,4}．故选C．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得x，y的值，则x+y可求．，得解：由(x+2i)i=y−1i−2+xi=y−−i=y+i，−i2∴x=1，y=−2.则x+y=−1．故选A．3.答案：B解析：解：因f(5)=−5+8=3，f′(5)=−1，故f(5)+f′(5)=2．故选项为B据切点处的导数值为切线的斜率，故f′(5)为切线斜率，又由切线方程是y=−x+8，即斜率为−1，故f′(5)=−1；又f(5)为切点纵坐标，据切点坐标与斜率可求得答案．考查曲线在切点处的导数值为切线斜率．4.答案：C解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题． 根据图象求解析式，即可判断各选项，可得到结论． 解：根据图象，可知A =2，图象过(0,√3)，∴√32=sinφ，∵π2<φ<π，∴φ=2π3．周期12T =5π4−(−π4)=3π2，∴T =3π.可知A 错误； ∴ω=2πT=23． 函数f(x)=2sin(23x +2π3)，f(x −π)=2sin 23x 为奇函数， 可知B 错误； 令2kπ−π2≤23x +2π3≤2kπ+π2，k ∈Z ．得：3kπ−7π4≤x ≤3kπ−π4k ∈Z ，∴函数f(x)在[−π,−π4]上单调递增；C 正确; 令可得D 错误．故选：C ．5.答案：C解析：解：对于A ：命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式为￢p ：“∀x ∈R ，x 2−2<0”，故A 正确；对于B ：若￢p 是q 的必要条件，则￢q 是p 的必要条件，即p 是￢q 的充分条件，故B 正确 对于C ：若M >N ，则(23)M <(23)N ”，不能得到“(23)M >(23)N ”，即充分性不成立；反之，若“(23)M >(23)N ”，则M <N ，即必要性也不成立，∴“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的既不充分又不必要条件，故C 错误． 故错误的是：C ． 故选：C ．A ，写出命题p ：“∃x ∈R ，x 2−2≥0”的否定形式，再判断正误即可；B ，利用原命题与其逆否命题的等价性可知：￢q 是p 的必要条件，即p 是￢q 的充分条件；C ，利用充分必要条件的概念及指数函数的单调性质可判断“M >N ”是“(23)M >(23)N ”的既不充分又不必要条件．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定及等价命题的应用，考查充分必要条件的概念及应用，属于中档题．6.答案：D解析：本题考查古典概型公式，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4，6和2，8，由此能求出能使这两数与居中阳数之和等于15的概率． 解：四个阴数分别为2，4，6，8，阳数为5，从四个阴数中随机抽取2个数，有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共计6种取法． 其中满足题意的取法有两种：(4,6)和(2,8)，∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率p =26=13． 故选D ．7.答案：A解析：本题考查了利用程序框图求和的问题，解题时应模拟程序框图的运行情况，得出正确的结论，是基础题．根据题意，模拟程序框图的运行过程，求出程序输出的结果．解：根据算法的程序框图，是计算S =1×1+3×3+5×5+⋯的值；当i =5+2=7>6时，输出S =1×1+3×3+5×5=35．故选A ．8.答案：B解析：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和直线和圆相切的条件：d =r ，考查运算能力，属于中档题．求出双曲线的渐近线方程，求得圆的圆心为(2,0)，半径为1，运用直线和圆相切的条件：d =r ，化简整理可得a 2=3b 2，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算可得所求值．解：双曲线M:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线为 y =±b a x ，即为bx ±ay =0，由渐近线与圆(x −2)2+y 2=1相切，可得√b 2+a 2=1， 化为a 2=3b 2，由c 2=a 2+b 2=43a 2，可得e =ca =2√33故选B ．9.答案：A解析：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是分析函数的符号．根据题意，由函数的奇偶性的性质可得f(2)的值，结合函数的单调性可得函数f(x)的符号，进而由xf(x)>0，可得{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0；分析可得x 的范围，即可得答案． 解：根据题意，函数f(x)为偶函数，若f(−2)=0，则有f(2)=0，若函数f(x)在[0,+∞)单调递减，则在[0,2)上，f(x)>0，在(2,+∞)上，f(x)<0，函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，则在(−∞,−2)上，f(x)<0，在(−2,0)上，f(x)>0，又由xf(x)>0，则有{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0； 解可得x <−2或0<x <2；即x 的取值范围为(−∞,−2)∪(0,2)；故选：A ．10.答案：A解析：解：函数f(−x)=e −x −e x 2cos(−x)=−e x −e −x 2cosx =−f(x)，即f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2π)=e 2π−e −2π2cos2π=e 2π−e −2π2>0，排除B ，故选：A ．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值的对应性进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系以及利用特殊值进行排除是解决本题的关键．11.答案：C解析：根据ABC 的边长可得外接圆的半径r ，设球心到圆心距离为x ，构造直角三角形，即可求出三棱锥S −ABC 的外接球的半径，从而求解表面积．解：SC ⊥平面ABC ，SC =√3，AB =1，BC =√3，AC =√2，由余弦定理可得，，可得ABC 的边长可得外接圆的半径：r =√32，设球心到圆心距离为x ，球的半径为R ，根据球心与圆心构成直角三角形：可得 x 2+r 2=(√3−x)2+r 2=R 2，解得：x =√32，R =√62， 外接球表面积为．故选C ．12.答案：B解析：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，零点，全称量词命题与特称量词命题等知识点，难度中档．由函数的奇偶性定义判断①；先求出x ≥0时的单调性，再由奇偶性判断②；令m =12，可解得x =1或x =−1判断③；判断g(x)的奇偶性和在x >0时的函数值的正负即可判断④．解：对于①，∵函数f(x)=x 1+|x|(x ∈R)是奇函数，∴任意x ∈R ，等式f(−x)+f(x)=0恒成立，故①正确；对于②，当x ≥0时，f(x)=x 1+x =1−1x+1，故原函数在[0,+∞)单调递增，f(x)是奇函数，故函数在R 上单调递增，故②正确．对于③，令m =12，|f(x)|={x 1+x ,x ≥0x x−1,x <0, 则由|f(x)|=12，可解得x =1或x =−1，故③正确；对于④，易知g(x)是定义域为R 的奇函数，当x >0时，g(x)=f(x)−kx =x 1+x −kx =(1−k )x−kx 21+x <0，没有零点，所以g(x)在x <0时也无零点，又g(0)=0，所以g(x)只有一个零点，故④错误，故正确的为①②③，故选：B ． 13.答案：0解析：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．求出a ⃗ −c ⃗ ，利用(a ⃗ −c ⃗ )⊥b ⃗ 可得(a ⃗ −c ⃗ )⋅b ⃗ =0，求出k 的值．解：a⃗ −c ⃗ =(3−k,−1)， 因为(a ⃗ −c ⃗ )⊥b ⃗ ，所以(a ⃗ −c ⃗ )⋅b ⃗ =0，(3−k,−1)⋅(1,3)=3−k −3=0，所以k =0故答案为0．14.答案：110解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为D.a 3= a 1+2 d =16，S 20=20 a 1+20×192 d =20，∴{a 1+2d =162a 1+19d =2，解得d =−2，a 1=20．∴ S 10=10 a 1+10×92 d =200−90=110．15.答案：18解析：本题考查截面面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 推导出EF//平面BCC 1，过EF 且过B 的平面与面BCC 1的交线l 平行于EF ，则l 即为BC 1，由此能求出过点B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面面积S ．解：如图，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AD 、DD 1的中点，∴EF//AD 1//BC 1，∵EF ⊄平面BCC 1，BC 1⊂平面BCC 1，∴EF//平面BCC 1，由线面平行性质定理，过EF 且过B 的平面与面BCC 1的交线l 平行于EF ，则l 即为BC 1． 由正方体的棱长为4，可得BE =C 1F =2√5，BC 1=2EF =4√2，截面是等腰梯形，其高为ℎ=√(2√5)2−(√2)2=3√2，其面积为S =(EF+BC 1)2ℎ=2√2+4√22⋅3√2=18．故答案为18．16.答案：(23,43)解析：本题考查直线与椭圆的位置关系，设出直线方程，和椭圆联立，利用韦达定理即可求出答案，属中档题．解：椭圆x 24+y 22=1的右顶点A (2,0)，则过A 且斜率为−1的直线方程y =−x +2，联立{y =−x +2x 24+y 22=1得：3x 2−8x +4=0， 则2+x B =83，x B =23，所以y B =−23+2=43．故B (23,43)．故答案为(23,43)．17.答案：解：(Ⅰ)∵b a+c =a+b−c a+b ，整理可得：b 2+c 2−a 2=bc ，∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(Ⅱ)∵A=π3，a=15，b=10，a>b，∴B为锐角，∴sinB=b⋅sinAa =10×√3215=√33，可得：cosB=√1−sin2B=√63．解析：本题主要考查了余弦定理，大边对大角，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．(Ⅰ)由已知整理可得：b2+c2−a2=bc，利用余弦定理可求cosA=12，结合范围A∈(0,π)，可求A 的值；(Ⅱ)利用大边对大角可求B为锐角，利用正弦定理可求sinB=b⋅sinAa，进而利用同角三角函数基本关系式可得cos B的值．18.答案：解：(1)取每个区间中点值为区间代表计算平均数为：x−=140×0.02+160×0.08+180×0.24+200×0.33+220×0.22+240×0.09+260×0.02= 200，方差为：s2=(−60)2×0.02+(−40)2×0.08+(−20)2×0.24+0×0.33+202×0.22+402×0.09+602×0.02=600；(2)①由题意知，产品是正品的频率为1−(0.001+0.004)×20=0.9，则200件产品中是正品的件数为200×0.9=180(件)，是次品的件数为20件；②由题意知，生产一件产品的平均利润为0.9×80−0.1×20=70(元)．解析：(1)根据题意计算平均数和方差即可；(2)①计算产品是正品的频率以及200件产品中是正品的件数，和次品的件数；②由题意计算生产一件产品的平均利润值．本题考查了频率分布直方图与平均数和方差的计算问题，是基础题．19.答案：(1)证明：在图1中，连接AC，设AC交BD于点O，∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，则BD⊥OA，BD⊥OC，由图2可知，BD⊥OE，BD⊥OC，又OE∩OC=O，OE，OC⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC，又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC．(2)解：由四边形ABCD为菱形，AB=2，∠A=60°，可得OA=OC=√3，∴OE=OC=√3，又EC=√3，∴三角形EOC为等边三角形，∴S△EOC=12×3×√32=3√34．∴V E−BCD=2V B−EOC=2×13S△EOC⋅BO=2×13×3√34×1=√32．解析：本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．(1)在图1中，连接AC，设AC交BD于点O，即可得到图2中BD⊥OE，BD⊥OC，由线面垂直的判定可得BD⊥平面EOC，进一步得到BD⊥EC；(2)由四边形ABCD为菱形，AB=2，∠A=60°，可得三角形EOC为等边三角形，求出三角形EOC 的面积，由V E−BCD=2V B−EOC，求解三棱锥E−BCD的体积．20.答案：解：(Ⅰ)由抛物线C：x2=2py焦点F(0,p2)，准线方程：y=−p2，抛物线的焦点到直线l的距离为3，即p2−(−2)=3，解得：p=2，∴抛物线的方程x2=4y；(Ⅱ)证明：设A(x1,x124)，B(x2,x224)，线段AB的中点Q(x0,y0)，x1+x22=x0，y0=y1+y22=x12+x228，∵y=14x2，则y′=12x，∴抛物线x2=4y在A(x1,x124)点处的切线斜率为12x1，在B(x2,x224)点处的切线斜率为12x2，∴切线PA：y=12x1(x−x1)+x124；切线PB：y=12x2(x−x2)+x224，联立可得P(x1+x22,x1x24)，由P的横坐标与Q的横坐标相等，∴PQ⊥x轴．解析：(Ⅰ)求得抛物线的焦点及准线方程，由p2−(−2)=3，即可求得p的值，求得抛物线的方程；(Ⅱ)设A，B点坐标，利用中点坐标公式，求得中点Q点坐标，利用导数求得切线的斜率，求得PA 及PB的方程，联立即可求得P点坐标，由由P的横坐标与Q的横坐标相等，PQ⊥x轴．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线相切位置关系的判断，导数与曲线的切线斜率之间的关系，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=e x−mx，∴f′(x)=e x−m，①当m≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增，②当m>0时，令f′(x)>0，则x>lnm，即函数f(x)的递增区间是(lnm,+∞)，同理，由f′(x)<0得函数f(x)的递减区间是(−∞,lnm)；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当m≤0时，函数f(x)单调递增，与条件不符，当m>0时，函数f(x)在(lnm,+∞)上单调递增，在(−∞,lnm)上单调递减，∴f(x)min=f(lnm)=m(1−lnm)，由条件可得m(1−lnm)<0，解得m>e，∵f(0)=1>0，∴f(x)在(0,lnm)上存在唯一零点，f(2lnm)=m2−2mlnm=m(m−2lnm)，令g(m)=m−2lnm，则g′(m)=1−2m，∴当m>e时，g(m)单调递增，则g(m)>g(e)>0，∴f(2lnm)=m2−2mlnm=m(m−2lnm)>0，即f(x)在(lnm,+∞)上存在唯一零点，综上可得m>e．解析：(Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，求出函数的最小值，再构造函数令g(m)=m−2lnm，根据导数求出函数的单调性求出g(m)的最小值，从而求出m的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，函数的零点，考查导数的应用，属于中档题．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l1的极坐标方程ρsin(θ−π4)=√22，得ρsinθ+ρcosθ=1，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得l1的直角坐标方程为x+y−1=0；(2)由l1⊥l2，得直线l2的斜率k l2=−1k l1=1，所以l2的倾斜角为π4，又l2过圆心(−1,0)，所以l2的方程为y=x+1，与x+y−1=0联立，得AB的中点M(0,1)，故l2的参数方程为{x=tcosπ4y=1+tsinπ4,(t为参数)，即{x=√22ty=1+√22t,(t为参数)，代入(x+1)2+y2=4中，化简、整理得t2+2√2t−2=0，设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则由韦达定理得t1·t2=−2，又线段PQ为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)f(x)≥2即|x|+|x +1|≥2，可得{x ≥0x +x +1≥2或{−1<x <0−x +x +1≥2或{x <−1−x −x −1≥2， 解得x ≥12或x ∈⌀或x ≤−32，则原不等式的解集为{x|x ≥12或x ≤−32}；(Ⅱ)证明：f(x)=|x|+|x +1|≥|x −x −1|=1，当且仅当x(x +1)≤0，即−1≤x ≤0时，上式取得等号，可得函数f(x)的最小值为1，则a +b +c =1，且a ，b ，c ∈R +，由(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ≥ab +bc +ca +2ab +2bc +2ca =3(ab +bc +ca)，可得3(ab +bc +ca)≤1，当且仅当a =b =c =13取得等号，即ab +bc +ac ≤13．解析：(Ⅰ)由绝对值的意义去绝对值，解不等式，求并集可得所求解集；(Ⅱ)运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最小值m ，再由三个数的完全平方公式和基本不等式，结合不等式的性质即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质的运用，考查不等式的证明，注意运用均值不等式和不等式的性质，考查化简运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020年广东省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D.2.已知复数为虚数单位，，若，则A. 4B. 2C.D.3.小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为A. B. C. D.4.若x，y满足约束条件，则的最大值是A. 9B. 7C. 3D. 65.周髀算经是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度，夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺6.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为A. B. C. D.7.已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为A. B.C. D.8.已知双曲线的右焦点为F，过点F分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，若，则该双曲线的离心率为A. B. 2 C. D.9.已知数列满足，且，设，记数列的前n项和为，则A. B. C. 2019 D.10.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，关于的说法有：函数的图象关于点对称；函数的图象的一条对称轴是；函数在上的最上的最小值为；函数上单调递增，则以上说法正确的个数是A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个11.已知椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，则椭圆C的方程为A. B. C. D.12.已知函数，若函数有唯一零点，则a的取值范围为A. B. ，C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记等比数列的前n项和为，若，，则公比______．14.已知向量，，且向量与的夹角为，则______．15.对于任意实数a，b，定义，函数，，，若函数有两个零点，则k的取值范围为______．16.如图，在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接C.若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．求角A的大小；若，且AB边上的高等于，求sin C的值．18.如图，四棱锥中，四边形ABCD是边长为4的菱形，，，E是BC上一点，且，设．证明：平面ABCD；若，，求三棱锥的体积．19.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．质量指标频数2820302515合计100请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表单位：件，并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．已知每件产品的纯利润单位：元与产品质量指标值的关系式为，若每台新设备每天可以生产100件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本．20.已知曲线C上每一点到直线l：的距离比它到点的距离大1．求曲线C的方程；曲线C任意一点处的切线不含x轴与直线相交于点M，与直线l相交于点N，证明：为定值，并求此定值．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若，求函数在点处的切线方程；若函数的极小值为，求a的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求直线l的直角坐标方程；已知P是曲线C上的一动点，过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，若的最大值为6，求a的值．23.已知函数．解不等式：；若a，b，c均为正数，且，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：集合，，．故选：D．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：C解析：解：因为复数，所以，即，所以．故选：C．根据复数的基本运算法则进行化简，再由模长公式列方程求解即可．本题主要考查复数的乘法法则和模的计算，比较基础．3.答案：A解析：解：小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，小青不站在两边的概率为．故选：A．基本事件总数，小青不站在两边包含的基本事件个数，由此能求出小青不站在两边的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为直线方程的斜截式：．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，Z有最大值为；故选：D．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．5.答案：D解析：解：夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，，，即．解得，．立秋的晷长．故选：D．由夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，可得：，，即解出利用通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，其内接圆柱的体积为，，解得，圆锥的高，该圆锥的体积为：．故选：C．设内接圆柱的高为h，则圆锥的高，由内接圆柱的体积为，求出，从而圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥、圆柱的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.答案：B解析：解：根据题意，函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，又由，则，解可得：，即不等式的解集为；故选：B．根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及分析可得：等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8.答案：D解析：解：如图，由，得，即，，即．则．故选：D．由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题．9.答案：B解析：解：数列满足，整理得：，所以：，故，由于且，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．故：，所以．设，所以．所以．故选：B．首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：把函数的图象向右平移个单位长度，得，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变得到函数的图象，则，函数的图象不关于点对称，故错误；，函数的图象的一条对称轴是，故正确；当时，，则，即函数在上的最上的最小值为，故正确；当时，，可知函数在上不单调，故错误．正确命题的个数为2．故选：C．通过平移变换与伸缩变换求得函数的解析式．由判断错误；由求得最小值判断正确；由x的范围求得函数值域判断正确；由x的范围可知函数在上不单调判断错误．本题考查命题的真假判断与应用，考查型函数的图象与性质，是中档题．11.答案：A解析：解：椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点．若椭圆C的离心率为，且，的面积为，可得：，解得，，所以：椭圆方程为：．故选：A．利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a、b；即可得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，基础题．12.答案：B解析：解：当时，，显然此时函数的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程有唯一解，即函数与函数的图象有唯一交点，当时，如图，函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项D；当时，如图，由二次函数的性质可知，函数的开口向下，且a越大，函数的开口越小，由图可知，此时函数与函数的图象显然只有唯一交点，符合题意，故可排除选项A；故选：B．当，由余弦函数的周期性可知，此时函数的零点不唯一，当时，问题等价于函数与函数的图象有唯一交点，分及三种情况讨论，结合图象即可得出结论．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.答案：或2解析：解：由，，，化为：．解得或2．故答案为：或2．由，，可得：，化简解出即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：，，，．故答案为：2．根据向量的坐标即可求出，进而求出的值，进而得出的值，从而得出．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：因为单调递减，单调递增，且，故，作出函数的图象如下：函数有两个零点等价于函数与直线图象有2个交点，由图可知，；故答案为：．根据题意得到解析式为，作出其图象，数形结合即可本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16.答案：解析：解：在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边DE上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面BCDE时体积最大，此时三棱锥的高等于：；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥的外接球球心在OH上；三棱锥外接球的体积为；所以球半径；如图：；；即：；；联立可得；故答案为：．要想体积最大，需高最大，当面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论．本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型．17.答案：解：，，由正弦定理可得，，，，解得，．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理，可得，在中，根据正弦定理，可得．解析：利用二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，，可得cos A，进而可求A的值．设AB边上的高为CD，在中，可得，可得，在中，根据勾股定理可得BC，在中，根据正弦定理可得sin C的值．本题主要考查了二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦函数公式化以及勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：四边形ABCD是菱形，，O是AC的中点，，，平面PAC，平面PAC，，，O是AC的中点，，，平面ABCD．解：由四边形ABCD是菱形，，得和都是等边三角形，，是BD的中点，，在中，，在中，，取BC的中点F，连结DF，则，在中，，在中，由余弦定理得，，，，，，三棱锥的体积．解析：推导出，，从而平面PAC，，推导出，由此能证明平面ABCD．取BC的中点F，连结DF，则，由余弦定理得，，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：；根据题目所给数据得到如下的列联表：非优质品优质品合计新设备产品3070100旧设备产品4555100合计75125200由列联表可知：，有的把握认为“产品质量高与新设备有关”；新设备所生产的产品的优质品率为，每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有件优质品，有件合格品，估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为元，天，估计至少需要生产471天方可以收回设备成本．解析：根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；根据题目所给的数据填写列联表，计算K的观测值，对照题目中的表格，得出统计结论；根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．20.答案：解：由题意可知，曲线C上每一点到直线的距离等于该点到点的距离，由抛物线的定义可知，曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，曲线C的方程为：；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，代入得：，由得，整理得：，故切线m的方程可写为，分别令，得点M，N的坐标为，，，，，即为定值0．解析：利用抛物线的定义可得曲线C是顶点在原点，y轴为对称轴，为焦点的抛物线，从而求出曲线C的方程；依题意，切线m的斜率存在且不等于0，设切线m的方程为：，与抛物线方程联立，利用得到，故切线m的方程可写为，进而求出点M，N的坐标，用坐标表达出和，即可证得为定值．本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.答案：解：，，则，，又，所求切线方程为，即；函数的定义域为R，，当时，对任意都成立，在R上递减，此时无极值；当时，令，解得，当时，，当时，，在递减，在递增，当时，取得极小值，，即，令，则，，，在上递增，又，．解析：将代入，求导，进而求得切线斜率，再求出切点坐标，利用点斜式方程即得解；分及两种情形讨论，当时显然不合题意，当时，利用导数可求得当时，取得极小值，进而得解．本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，属于中档题．22.答案：解：由，得，即．，，直线l的直角坐标方程为，即；依题意可知曲线C的参数方程为为参数．设，则点P到直线l的距离为：．，当时，．又过点P作直线交直线于点A，且直线与直线l的夹角为，，即．的最大值为，即．，解得．解析：把展开两角差的余弦，结合，可得直线l的直角坐标方程；依题意可知曲线C的参数方程为为参数设，写出点P到直线l的距离，利用三角函数求其最大值，可得的最大值，结合已知列式求解a．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，训练了利用三角函数求最值，是中档题．23.答案：解：函数．当时，，解得，故．当时，，恒成立．当时，，解得，故，所以不等式的解集为．证明：由知：，所以：，所以，所以，所以当且仅当时，等号成立．故：．解析：直接利用分段函数的解析式和零点讨论法的应用求出结果．直接利用基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：分段函数的性质的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．。