第三章 弹性力学空间轴对称问题有限元法

Se σ
e Fσ0 = −2π ∫ BeT σ0 rdrdz Ωe
Fεe0 =
BeT Dε 0 dv ∫
Ve
Fεe0 = 2π ∫ BeT Dε0 rdrdz
Ωe
3.2 三结点环状单元分析
承受内压：1.0e8 Pa
R1=0.3 R2=0.5
受均匀内压的球体计算分析模型
受均匀内压的球体有限元模型
3.2 三结点环状单元分析
0 e δ e Nm
3.2 三结点环状单元分析
二、单元内的应变
∂ ∂r εr 1 ε r εe = θ = εz 0 γ rz ∂ ∂z 0 0 e Ni ∂ 0 ∂z ∂ ∂r 0 N ie N ej 0 0 N ej Ne m 0 0 e δ e Nm
w = α 4 + α5 r + α 6 z
1 α3 r α6 z
Ne j 0 0 Ne m Ne 0 j ui w i 0 uj Ne w j m um w m
a i = rjz m − rm z j bi = z j − z m ci = rm − rj
r uuuuu i, j, m轮换 suuuu u
3.2 三结点环状单元分析
二、单元内的应变
∂u ∂ ∂r ∂r εr u 1 ε r r ε = θ = = ε z ∂w 0 ε rz ∂z ∂u ∂w ∂ + ∂r ∂z ∂z 0 0 u = Lu ∂ w ∂z ∂ ∂r
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 一、柱坐标系 由于轴对称性质，采用柱坐标系（ 由于轴对称性质，采用柱坐标系（ r、θ、z ） 柱坐标系 分析轴对称问题
θ
r
x r cos θ y = r sin θ z z
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 a:通过对称轴的任一平面 a:通过对称轴的任一平面 都是对称平面 b:子午面— b:子午面—通过对称轴的 子午面 任一平面（ 平面） 任一平面（r-z平面） c: 如果以对称轴为z轴， 如果以对称轴为z 则位移、应变、 则位移、应变、应力都仅 的函数而与θ 为r、z的函数而与θ无关 空间的三维问题化为平面的二维问题， 空间的三维问题化为平面的二维问题，即 空间域回转体简化为定义在回转体的某个 子午面平面域上的物体。 子午面平面域上的物体。
a i + b i r + ci z N = 2A
e i
uuuuu r i, j, m suuuu u
∂Nie bi ∂Nie c = 、 = i ∂r 2A ∂z 2A
a i + b i r + ci z fi = r
uuuuu r i, j, m suuuuu u
3.2 三结点环状单元分析
二、单元内的应变
α2 α5
0 Nie
3.2 三结点环状单元分析
e u Ni ue = = w 0 e
0 Nie
Ne j 0
0 Ne m Ne 0 j
ui w i 0 uj Ne w j m um w m
dS = rdθds
上式先对θ积分，化为在子午面上的以下积分
2π ∫ u ∗ frd Ω + 2π ∫ u ∗ trds = 2π ∫ ε ∗ σrd Ω
T T T Ω sσ Ω
在位移中求解时，虚功方程等价于力边界条件与平衡微分 在位移中求解时， 方程。 方程。
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 六、总势能[泛函] 总势能[泛函]
(E是杨氏模量， 为泊松比) (E是杨氏模量，μ为泊松比) 是杨氏模量
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 (10个未知函数在域内的控制方程 个未知函数在域内的控制方程) 三、基本方程 (10个未知函数在域内的控制方程)
∂σ r ∂τ zr σ r − σ θ + + + ∂r ∂z r ∂σ z ∂τ rz τ rz + + + fz ∂z ∂r r
ε = (εr
(3)应力 (3)应力
εθ
εz
γ rz )
T
γθr = γθz = 0
σ = [σ r σ θ
σ z τ rz ]
T
τ θr =τ θz= 0
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程 （1）平衡微分方程 设微元体上作用有体力 f = ( f r
f z )T
∂σ r ∂τ zr σ r − σ θ + + + f r = 0 ∂r ∂z r ∂σ z ∂τ rz τ rz + + + fz = 0 ∂z ∂r r
∂ ∂r 1 r L= 0 ∂ ∂z
0 0 ∂ ∂z ∂ ∂r
有ε θ
u = ，即轴对称的径向位移会引起环向应变 r
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程 （2）应力应变关系 —物理方程
µ µ 1 0 1− µ 1− µ µ σ r µ εr 1 0 σ 1− µ ε 1− µ E (1 − µ ) θ θ ≡ Dε σ= = µ εz σ z (1 + µ )(1 − 2µ ) µ 1 0 1− µ 1− µ τ rz γ rz 1 − 2µ 0 0 0 2 (1 − µ ) 1 A1 A1 0 A 1 A1 0 1 E (1 − µ ) µ 1 − 2µ D = A3 A1 A1 1 0 A1 = 1 − µ ; A 2 = 2 1 − µ ; A 3 = 1 + µ 1 − 2µ ( ) ( )( ) 0 0 A2 0
bi f 1 i e ε = 2A 0 ci = B ie B ej 0 0 ci bi bj fj 0 cj 0 0 cj bj bm fm 0 cm 0 0 e δ cm a i + b i r + ci z fi = bm r
uuuuu r i, j, m suuuuu u
f r、 z 表面力分量 l是边界外法线与 f 表面力分量, 是边界外法线与
夹角的余弦， r 夹角的余弦，
夹角的余弦， n是边界外法线与 k 夹角的余弦，
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 五、虚功方程
u*T fdv + ∫ u*T tdS = ∫ ε*T σdv ∫
V sσ V
因为： dv = rdrdθdz
∂ ∂r εr 1 ε θ r e ε = = εz 0 γ rz ∂ ∂z
0 0 e Ni ∂ 0 ∂z ∂ ∂r
0 N ie
N ej 0
0 N ej
Ne m 0
bi f 1 i e e 为单元应变转换矩阵, B 为单元应变转换矩阵,子块 Bi = 2A 0 环状三角形单元不是常应变单元 ci
1 T Π = ∫ ε σdv − ∫ uT fdv − ∫ uT fdS 2 V V Sσ
Π P = π ∫ ε Dεrd Ω − 2π ∫ f urd Ω − 2π ∫ t urds
T T Ω Ω sσ
T
对稳定的线弹性体的平衡而言， 对稳定的线弹性体的平衡而言，真解使 Π P 取最小值， 取最小值，至少是取驻值。
1 σr µ E (1− µ ) 1− µ σθ σ= = σ z (1+ µ )(1− 2µ ) µ 1− µ τ rz 0
∂u ∂ ∂r ∂r εr u 1 f r = 0 ε ε= θ = r = r ε z ∂w =0 0 ε rz ∂z ∂u ∂w ∂ + µ µ ∂z ∂r ∂z 0 1− µ 1− µ µ εr 1 0 1− µ ε θ ≡ Dε µ ε z 1 0 1− µ γ rz 1− 2µ 0 0 2(1− µ )
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 三、基本方程 （2）应变与位移的关系—几何方程 应变与位移的关系—
∂u ∂ ∂r ∂r εr u 1 ε r θ r ε= = = ε z ∂w 0 γ rz ∂z ∂u ∂w ∂ + ∂z ∂r ∂z 0 0 u = Lu ∂ w ∂z ∂ ∂r
3.1 弹性力学空间轴对称问题的描述 二、基本变量
u(r, z) 或 u r (1)位移矢量 (1)位移矢量 u = = w(r, z) u z
即在子午面（rz面 环向位移 uθ=0 即在子午面（rz面） 上的点无离面位移。 上的点无离面位移。
(2)应变 (2)应变
3.2 三结点环状单元分析
单元结点的位移列阵记为 单元结点的位移列阵记
δ = ( ui
e
wi
uj
wj
um
wm )
T
一、单元位移模式
u = α1 + α 2 r + α3 z
u α1 u= = w α4
e
e u Ni ue = = w 0 e
K =
e
∫B
Ve
eT