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第2章 习题解答2-1 试求图示各杆1-1，2-2，3-3截面的轴力并画出杆的轴力图。
解：（a ）N 1-1 = 50 kN ，N 2-2 = 10 kN ，N 3-3 = -20 kN（b ）N 1-1 = F ，N 2-2 = 0 ，N 3-3 = F（c ）N 1-1 = 0 ，N 2-2 = 4F ，N 3-3 = 3F2-2 图示螺旋压板夹紧装置。
已知螺栓为M20（螺纹内径d ＝17.3mm ），许用应力［ζ］＝50MPa 。
若工件所受的夹紧力为2.5kN ，试校核螺栓的强度。
∑=0BM03=⋅-⨯l F lF A得F = 3 F A243dF A F Aπ==σ233.174105.23⨯π⨯⨯⨯== 31.9 MPa ＜[ζ]安全2-3 图示结构，A 处为铰链支承，C 处为滑轮，刚性杆AB 通过钢丝绳悬挂在滑轮上。
已知F ＝70kN ，钢丝绳的横截面积A ＝500mm 2，许用应力［ζ］＝160MPa 。
试校核钢丝绳的强度。
由AB 杆的平衡条件得：∑=0A M 05s i n 4=⋅α-N F α= 45°，2.7945sin 570445sin 54=︒⨯=︒=F N kN4.158500102.793=⨯==σA N MPa ＜[ζ] ，安全 2-4 图示为一手动压力机，在物体C 上所加的最大压力为150kN ，已知立柱A 和螺杆BB 所用材料的许用应力［ζ］＝160MPa 。
1. 试按强度要求设计立柱A 的直径D ；2. 若螺（a ）（b ）杆BB 的内径d ＝40mm ，试校核其强度。
解：由平衡条件得 752150==A N kN 1. 由立柱的强度条件 24DN A N AA A π==σ≤[ζ] 得 D ≥4.2416010754][43=⨯π⨯⨯=πζA N mm2. 螺杆的应力1194010150423=⨯π⨯⨯==σBB BB A N MPa ＜[ζ] 螺杆强度足够。
2-4. 图示结构中，1、2两杆的横截面直径分别为10mm 和20mm ，试求两杆内的应力。
设两根横梁皆为刚体。
解：（1）以整体为研究对象，易见A 处的水平约束反力为零； （2）以AB 为研究对象由平衡方程知0===A B B R Y X（3）以杆BD 为研究对象由平衡方程求得KNN N NY KNN N mC20010 01001101 021211==--===⨯-⨯=∑∑（4）杆内的应力为MPa A N MPa A N 7.63204102012710410102322223111=⨯⨯⨯===⨯⨯⨯==πσπσ2-19. 在图示结构中，设AB 和CD 为刚杆，重量不计。
铝杆EF 的l 1=1m ，A 1=500mm 2，E 1=70GPa 。
钢杆AC 的l 2=，A 2=300mm 2，E 2=200GPa 。
若载荷作用点G 的垂直位移不得超过。
试求P 的数值。
解：（1）由平衡条件求出EF 和AC 杆的内力P N N N P N N AC EF AC4332 2112=====（2）求G 处的位移22221111212243)ΔΔ23(21)ΔΔ(21Δ21ΔA E l N A E l N l l l l l l A C G +=+=+== （3）由题意kNP P P A E Pl A E Pl mml G 1125.2300102001500500107010009212143435.233222111≤∴≤⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯≤ 2-27. 在图示简单杆系中，设AB 和AC 分别是直径 为20mm 和24mm的圆截面杆，E=200GPa ，P=5kN ，试求A 点的垂直位移。
解：（1）以铰A 为研究对象，计算杆AB 和杆AC 的受力kN N kN N AC AB 66.3 48.4==（2）两杆的变形为()伸长mm πEA l N l ABAB AB AB201.04201020045cos 20001048.42303=⨯⨯⨯⨯⨯==Δ ()缩短mm πEA l N l ACAC AC AC 0934.04241020030cos 20001066.32303=⨯⨯⨯⨯⨯==Δ （3）如图，A 点受力后将位移至A ’,所以A 点的垂直位移为AA ’’mmctg A A l A A AA A A mmA A ctg A A ctg A A A mm AA AA AA AA A A A A l l AB A AB AC 249.00355.0284.0 4545sin /Δ 035.0 4530A 0972.030sin /45sin /AΔΔAA ΔAA 00330043010243434321=-='''-=''-=''=∴='''∴'''+'''==-=-='==δ 又中在图中2-36. 在图示结构中，设AC 梁为刚杆，杆件1、2、3的横截面面积相等，材料相同。
第二章轴向拉压一、选择题1．图1所示拉杆的外表面上有一斜线，当拉杆变形时，斜线将( D)A．平动B．转动C．不动D．平动加转动2．轴向拉伸细长杆件如图2所示，其中1-1面靠近集中力作用的左端面，则正确的说法应是( C)A．1-1、2-2面上应力皆均匀分布B．1-1、2-2面上应力皆非均匀分布C．1-1面上应力非均匀分布，2-2面上应力均匀分布D．1-1面上应力均匀分布，2-2面上应力非均匀分布（图1）（图2）3．有A、B、C三种材料，其拉伸应力—应变实验曲线如图3所示，曲线( B)材料的弹性模量E大，曲线( A )材料的强度高，曲线( C)材料的塑性好。
4．材料经过冷作硬化后，其( D)。
A．弹性模量提高，塑性降低B．弹性模量降低，塑性提高C．比例极限提高，塑性提高D．比例极限提高，塑性降低5．现有钢、铸铁两种杆材，其直径相同。
从承载能力与经济效益两个方面考虑，图4所示结构中两种合理选择方案是( A)。
A．1杆为钢，2杆为铸铁B．1杆为铸铁，2杆为钢C．2杆均为钢D．2杆均为铸铁（图3）（图4）（图5）6．在低碳钢的拉伸试验中，材料的应力变化不大而变形显著增加的是（B）。
A. 弹性阶段；B.屈服阶段；C.强化阶段；D.局部变形阶段。
7．铸铁试件压缩破坏（B）。
A. 断口与轴线垂直；B. 断口为与轴线大致呈450~550倾角的斜面；C. 断口呈螺旋面；D. 以上皆有可能。
8．为使材料有一定的强度储备，安全系数取值应（ A ）。
A .大于1； B. 等于1； C.小于1； D. 都有可能。
9. 等截面直杆在两个外力的作用下发生轴向压缩变形时，这对外力所具备的特点一定是等值、( C )。
A 反向、共线B 反向，过截面形心C 方向相对，作用线与杆轴线重合D 方向相对，沿同一直线作用10. 图6所示一阶梯形杆件受拉力Ｐ的作用，其截面1-1，2-2，3-3上的内力分别为N 1，N 2和N 3，三者的关系为( B )。
轴向拉伸和压缩 第二次 作业1. 低碳钢轴向拉伸的整个过程可分为 弹性阶段 、 屈服阶段 、 强化阶段 、 局部变形阶段 四个阶段。
2. 工作段长度100 mm l =，直径10 mm d =的Q235钢拉伸试样，在常温静载下的拉伸图如图所示。
当荷载F = 10kN 时，工作段的伸长∆l = 0.0607mm ，直径的缩小∆d = 0.0017mm 。
则材料弹性模量E = 210 GPa ，强度极限σb = 382 MPa ，泊松比μ = 0.28 ，断后伸长率δ = 25% ，该材料为 塑性 材料。
∆l / mmO0.0607253. 一木柱受力如图所示。
柱的横截面为边长20mm 的正方形，材料的弹性模量E =10GPa 。
不计自重，试求 （1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱端A 的位移。
100kN260kN解：（1）轴力图如图所示 （2）AC 段 310010250MPa 2020NAC AC AC F A σ-⨯===-⨯ CB 段 326010650MPa 2020NCB CB CB F A σ-⨯===-⨯ （3）AC 段 69250100.0251010NAC AC AC AC F EA E σε-⨯====-⨯ CB 段 69650100.0651010NCB CB CBCB F EA E σε-⨯====-⨯ （4）AC 段 0.025150037.5mm NAC ACAC AC AC ACF l l l EA ε∆===-⨯=- CB 段 0.065150097.5mm NCB CBCB CB CB CBF l l l EA ε∆===-⨯=- 柱端A 的位移 37.597.5135mm A AC CB l l ∆=∆+∆=--=-（向下）4. 简易起重设备的计算简图如图所示。
已知斜杆AB 用两根63×40×4不等边角钢组成，63×40×4不等边角钢的截面面积为A = 4.058cm 2，钢的许用应力[σ] = 170 MPa 。
第二章轴向拉(压)变形[习题2-1] 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
（a ）解：（1）求指定截面上的轴力 FN =-11FF F N -=+-=-222（2）作轴力图轴力图如图所示。
（b ）解：（1）求指定截面上的轴力 FN 211=-2222=+-=-F F N （2）作轴力图FF F F N =+-=-2233 轴力图如图所示。
（c ）解：（1）求指定截面上的轴力 FN 211=-FF F N =+-=-222（2）作轴力图FF F F N 32233=+-=- 轴力图如图所示。
（d ）解：（1）求指定截面上的轴力 FN =-11F F a aFF F qa F N 22222-=+⋅--=+--=-（2）作轴力图 中间段的轴力方程为： x aFF x N ⋅-=)(]0,(a x ∈轴力图如图所示。
[习题2-2] 试求图示等直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
2400mm A =解：（1）求指定截面上的轴力kNN 2011-=- )(10201022kN N -=-=-)(1020102033kN N =-+=-（2）作轴力图轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力MPa mm N A N 504001*********-=⨯-==--σMPa mm N A N 254001010232222-=⨯-==--σMPamm N A N 254001010233333=⨯==--σ[习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
21200mm A =22300mm A =23400mm A =解：（1）求指定截面上的轴力kNN 2011-=-)(10201022kN N -=-=-)(1020102033kN N =-+=-（2）作轴力图轴力图如图所示。
2-1a 求图示各杆指截面的轴力，并作轴力图。
(c ')(e ')(d ')N (kN)205455(f ')解：方法一：截面法（1）用假想截面将整根杆切开，取截面的右边为研究对象，受力如图(b)、(c)、(d)、(e)所示。
列平衡方程求轴力： (b) 图：)(20020011拉kN N NX =→=-→=∑(c) 图：)(5252002520022压kN N NX -=-=→=--→=∑(d) 图：)(455025200502520033拉kN N NX =+-=→=-+-→=∑(e) 图：)(540502520040502520044拉kN N NX =-+-=→=--+-→=∑（2）杆的轴力图如图（f ）所示。
方法二：简便方法。
（为方便理解起见，才画出可以不用画的 (b ‘)、(c ‘)、(d ‘)、(e ‘) 图，作题的时候可用手蒙住丢弃的部份，并把手处视为固定端）（1）因为轴力等于截面一侧所有外力的代数和：∑=一侧FN 。
故：)(201拉kN N =)(525202压kN N -=-=)(455025203拉kN N =+-=)(5405025204拉kN N =-+-=（2）杆的轴力图如图（f ‘）所示。
2-2b 作图示杆的轴力图。
(c)图：(b)图：（3）杆的轴力图如图（d ）所示。
2-5 图示两根截面为100mm ⅹ100mm 的木柱，分别受到由横梁传来的外力作用。
试计算两柱上、中、下三段的应力。
(b)(c)(d)(f)题2-5-N图（kN）6108.5N图（kN）326.5-解：（1）梁与柱之间通过中间铰，可视中间铰为理想的光滑约束。
将各梁视为简支梁或外伸梁，柱可视为悬臂梁，受力如图所示。
列各梁、柱的平衡方程，可求中间铰对各梁、柱的约束反力，计算结果见上图。
（2）作柱的轴力图，如(e)、(f)所示。
（3）求柱各段的应力。
解：（1）用1-1截面将整个杆切开，取左边部分为研究对象；再用x -x 截面整个杆切开，取右边部分为研究对象，两脱离体受力如图(b)、(c)，建立图示坐标。
习题2-1一木柱受力如图示，柱的横截面为边长20cm 的正方形，材料服从虎克定律，其弹性模量MPa ．如不计柱自重，试求：51010.0×=E （1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形．解：（1）轴力图（2）AC 段应力a a ΜΡΡσ5.2105.22.010100623−=×−=×−=CB 段应力aa ΜΡΡσ5.6105.62.010260623−=×−=×−=（3）AC 段线应变45105.2101.05.2−×−=×−==ΕσεN-图CB 段线应变45105.6101.05.6−×−=×−==Εσε（4）总变形m 3441035.15.1105.65.1105.2−−−×=××−××−=ΑΒ∆2-2图(a)所示铆接件，板件的受力情况如图（ｂ）所示．已知：P ＝7kN ，t ＝0.15cm ，b 1＝0.4cm ，b 2=0.5cm ，b 3=0.6cml 。
试绘板件的轴力图，并计算板内的最大拉应力。
解:（2）aΜΡσ4.194101024.015.0767311=×××××=−a ΜΡσ1.311101025.015.0767322=×××××=−a ΜΡσ9.388101026.015.07673=××××=−最大拉应力aΜΡσσ9.3883max ==2-3直径为１cm 的圆杆，在拉力P ＝10kN 的作用下，试求杆内最大剪应力，以及与横截面夹角为＝30o 的斜截面上的正应力与剪应力。
α解:（1）最大剪应力a d ΜΡππΡστ66.6310101102212672241max =××××===−（2）界面上的应力°=30α()a ΜΡασσα49.952366.632cos 12=×=+=a ΜΡαστα13.5530sin 66.632sin 2=×=×=°2-4图示结构中ABC 与CD 均为刚性梁，C 与D 均为铰接，铅垂力P ＝20kN 作用在C 铰，若（1）杆的直径d 1=1cm ，（2）杆的直径d 2=2cm ，两杆的材料相同，E ＝200Gpa ，其他尺寸如图示，试求（1）两杆的应力；（2）C 点的位移。
第2章 轴向拉伸和压缩
主要知识点：（1）轴向拉伸（压缩）时杆的内力和应力；
（2）轴向拉伸（压缩）时杆的变形；
（3）材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能；
（4）轴向拉压杆的强度计算；
（5）简单拉压超静定问题。
轴向拉伸（压缩）时杆的变形
4. 一钢制阶梯杆如图所示。
已知沿轴线方向外力F 1=50kN ，F 2=20kN ，各段杆长l 1=100mm ，l 2=l 3=80mm ，横截面面积A 1=A 2=400mm 2，A 3=250mm 2，钢的弹性模量E=200GP a ，试求各段杆的纵向变形、杆的总变形量及各段杆的线应变。
解：（1）首先作出轴力图如图4-11所示，
由图知kN F N 301-=，kN F F N N 2032==。
（2）计算各段杆的纵向变形
m m EA l F l N 5693
311111075.31040010200101001030---⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==∆ m m EA l F l N 5693
32222100.210
4001020010801020---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∆
(3)杆的总变形量m l l l l 53211045.1-⨯=∆+∆+∆=∆。
(4)计算各段杆的线应变 45
1111075.310
.01075.3--⨯-=⨯-=∆=l l ε 45
222105.208
.0100.2--⨯=⨯=∆=l l ε 45
333100.408
.0102.3--⨯=⨯=∆=l l ε
材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能
5. 试述低碳钢拉伸试验中的四个阶段，其应力—应变图上四个特征点的物理意义是什么？
答：低碳钢拉伸试验中的四个阶段为弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。
在弹性阶段，当应力小于比例极限σp 时，材料服从虎克定律；当应力小于弹性极限σe 时，材料的变形仍是弹性变形。
屈服阶段的最低点对应的应力称为屈服极限，以σs 表示。
强化阶段最高点所对应的应力称为材料的强度极限，以σb 表示，它是材料所能承受的最大应力。
m m EA l F l N 56
93
33333102.3102501020010801020---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∆
轴向拉压杆的强度计算
6. 如图所示三角架，杆AB 及BC 均为圆截面钢制杆，杆AB 的直径为d 1=20mm ，杆BC 的直径为d 2=40mm ，设重物的重量为G=20k N ，钢材料的[σ]=160MPa ，问此三角架是否安全？
解：（1）求各杆的轴力
假定AB 、CB 两杆均受拉力，对B 点作用力分别为F 1、F 2。
取节点B 为研究对象，作出其受力图如右图所示，
由平衡方程 030cos ,
0211
=︒--=∑=F F F n i ix （a ） 030sin ,021
=︒--=∑=F G F n i iy
（b ） G=20kN 为已知，由(b)式可解得kN F 402-=，代入(a)式解得kN F 6.341=。
故圆截面钢制杆AB 受到kN F N 6.341=的拉力，BC 杆受到kN F N 402=的压力。
（2）两杆横截面上的应力分别为 a N N d F A F MP =⨯⨯=⨯==1104
020.0106.34423
211111ππσ（拉应力） a N N d F F MP =⨯⨯=⨯==8.314
040.01040423
222222ππσ（压应力） 由于][],[21σσσσ<<，故此三角架结构的强度足够。
7. 如图所示三角形构架ABC ，由等长的两杆AC 及BC 组成，在点C 受到载荷G=350kN 的作用。
已知杆AC 由两根槽钢构成，[σ]AC =160MPa ，杆BC 由一根工字钢构成[σ]BC =100MPa ，试选择两杆的截面。
解：由于已知[σ]AC =160MPa 、[σ]BC =100MPa ，故只要求出AC 杆
和BC 杆的轴力F AC 和F BC ，即可由AC C AC F ][σA ≥
A ，BC BC BC F ][σ≥A 求解,确定两杆的截面。
（1） 求两杆的轴力
取节点C 研究，受力分析如图4-13b ，
由030cos 30cos ,
01
=︒-︒-=∑=BC AC n i ix F F F 得：BC AC F F -= （a ） 由030sin 30sin ,
01
=-︒-︒=∑=G F F F BC AC n i iy 得：G F F BC AC 2=- （b ） 联立(a)、（b ）二式得到F AC =G=350kN(拉)、F BC = -F AC = -350kN(压)。
故AC 杆受拉、BC 杆受压，轴力大小为kN F F NBC NAC 350==。
（2） 设计截面，确定槽钢、工字钢号数。
分别求得两杆的横截面面积为
22426
39.21109.211016010350][cm m m F AC NAC AC =⨯=⨯⨯=≥A -σ 2242633510351010010350][cm m m F BC NBC BC
=⨯=⨯⨯=≥A -σ （3） AC 由两根槽钢构成，故每根槽钢横截面面积为
2112
1cm AC ≥A ，查表后确定选用10号热轧槽钢。
杆BC 由一根工字钢构成，故横截面面积为235cm BC ≥A ，查表后确定选用20a 号工字钢。
8. 刚性杆AB 由圆截面钢杆CD 拉住，如图所示，设CD 杆直径为d=20mm ，许用应力[σ]=160MP a ，求作用于点B 处的许用载荷F 。
解：（1）先求出DC 杆的轴力F N 与许用载荷F 的关系，
设DC 杆对刚性杆AB 拉力为F DC ，如右图所示，
将研究刚性杆AB 对A 点列平衡方程
05.21sin =⨯-⨯F F DC α， 75.0tan =α 故F F F DC 17.4sin /5.2==α。
DC 杆对刚性杆AB 的拉力为F DC ，在数值上等于DC 杆的轴力F N ，
即 F F N 17.4= （a ）
（2）求许可的最大载荷F 将kN N A F D C N 2.5010160020.014.3][62=⨯⨯⨯=≤σ，代入(a)式得到许可的最大载荷kN F F N 1217.4/==。
9. 如图所示结构中，梁AB 可视为刚体，其弯曲变形可忽略不计。
杆1为钢质圆杆，直径d 1=20mm ，其弹性模量E 1=200GPa ，杆2为铜杆，其直径d 2=25mm ，弹性模量E 2=100GPa ，不计刚梁AB 的自重，试求：
（1） 载荷F 加在何处，才能使刚梁AB 受力后保持水平？
（2） 若此时F =30kN ，求两杆内横截面上的正应力。
图5-10
解：（1）为了使刚梁AB 受力后保持水平，要求杆1的变形1
1111A E l F l N =∆等于杆2的变形2
2222A E l F l N =∆，即： =⨯⨯⨯⨯291020.0414.3102005.1N F 2
92025.04
14.3101001⨯⨯⨯⨯N F 整理得到杆1、2轴力之间的关系为： 21853.0N N F F = (a)
设杆1、2对刚梁AB 的拉力为21F F 、，如图5-9所示。
21F F 、、F 构成平行力系，有独立的平衡方程：
⎩⎨⎧⨯==+)(2)(221c F Fx b F F F
拉力21F F 、分别与21N N F F 、在数值上相等，由式（a ）、（b ）、（c ）得到：
m x 08.1=,F F F F F F N N 540.0461.02211====，
(2) 当kN F 30=时，两杆内横截面上的正应力。
a a N MP P d F d F 9.43020.04
14.31030461.04461.042
321211
1=⨯⨯⨯===ππ
σ a a N MP P d F d F 0.33025.01030540.0540.02
3
222222=⨯⨯⨯==⨯=πσ
简单拉压超静定问题
10．横截面面积为A =10cm 2的钢杆，其两端固定，杆件轴向所受外力如图所示。
试求钢杆各段内的应力。
解：假设A 、B 处的约束反力如图5-10所示，
据此列出平衡方程：
0150100=+--B A F kN kN F （a ）
由于上式中含有两个未知量，不能解出，还需列
一个补充方程。
由于约束的限制，杆件各段变形后总长度保持不变，
故变形谐调条件为0=∆+∆+∆DB CD AC l l l ，
由此，根据胡克定律，得到变形的几何方程为
04.0)150100(3.0)100(5.0=⨯--+⨯-+⨯EA
kN kN F EA kN F EA F A A A 整理后得01302.1=-kN F A ，即kN F A 3.108=，代入（a ）式得到kN F B 7.141=。
钢杆各段内的应力
a a A NAC AC MP P A F A F 3.1081010103.1084
3=⨯⨯===-σ a a A NCD CD MP P A F A F 38101010100103108101004
333..=⨯⨯-⨯=⨯-==-σ a a A NDB DB
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