【数学】湖北省武汉市2017届高中毕业生二月调研考试试题(文)

武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A.(]1,0- B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,02⎛⎤-⎥⎝⎦D.[)0,12.复数z 满足2352i z z +=-，则z =（）A.B.2C.D.3.已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A.16B.15C.56D.654.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A .7B.8C.9D.105.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（）A.23B.33C.34D.326.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为0P ，记k P 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率112k k k k P T P -==，其中1k =，2，3…n ，为使得202402n P P -≥，则n 的最大值为（）A.31B.32C.63D.647.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222-B.12-C.D.28.在三棱锥-P ABC中，AB =1PC =，4PA PB +=，2CA CB -=，且PC AB ⊥，则二面角P AB C --的余弦值的最小值为（）A.3B.34C.12D.105二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知向量()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，则（）A.若//a b，则4tan 3θ=-B.若a b ⊥，则3sin 5θ=C.a b - 的最大值为6 D.若()0a a b ⋅-=，则a b -=10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为332B.该几何体的体积为6C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线//AD 平面BCE11.已知函数()()1e 1ln e 11xx x f x a x +⎛⎫=+-+ ⎪-⎝⎭恰有三个零点，设其由小到大分别为123,,x x x ，则（）A.实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1230x x x ++=C.函数()()()g x f x kf x =+-可能有四个零点D.()()331e x f x f x '='三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为__________．13.设椭圆22195x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过点2F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，若线段2AF 的中垂线过点1F ，则2BF =__________．14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.各项均不为0的数列{}n a 对任意正整数n 满足：122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-．（1）若{}n a 为等差数列，求1a ；（2）若127a =-，求{}n a 的前n 项和n S ．16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，2AB =，1PD =，点E ，F 分别为AB 和PB的中点．（1）证明：CF PE ⊥；（2）若1PE =，求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值．17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年82023年92023年102023年112023年122024年1月月月月月月月份编号x 123456销售金额y ／万元15.425.435.485.4155.4195.4若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，样本相关系数()()nniii ix x y y x y nxyr---=∑∑参考数据：612463.4iii x y==∑=18.已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．19.已知函数()e 1x f x x-=．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 是其定义域上的增函数；（3）若()xf x a >，其中0a >且1a ≠，求实数a 的值．武汉市2024届高中毕业生二月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.2.28本试题卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2210A x x x =+-<，(){}2lg 1B y y x ==+，则A B = （）A.(]1,0- B.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1,02⎛⎤-⎥⎝⎦D.[)0,1【答案】B 【解析】【分析】由一元二次不等式的解法，对数函数的值域，集合的交集运算得到结果即可.【详解】集合{}21210|12A x x x x x ⎧⎫=+-<=-<<⎨⎬⎩⎭，因为211x +≥，所以()2lg 10x +≥，所以集合(){}{}2lg 1|0B y y x y y ==+=≥，所以10,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭，故选：B.2.复数z 满足2352i z z +=-，则z =（）A.B.2C.D.【答案】C 【解析】【分析】首先待定结合复数相等求得,x y ，结合模长公式即可求解.【详解】由题意不妨设i,,R z x y x y =+∈，所以()()2323552i i i i z z x y x y y x ++=+=-=--，所以55,2x y =-=-，解得1,2x y ==，所以z ==.故选：C.3.已知1ab ≠，log 2a m =，log 3b m =，则log ab m =（）A.16B.15C.56 D.65【答案】D 【解析】【分析】由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.【详解】由换底公式得，11log log 2m a a m ==，11log log 3b m b m ==，所以116log log log log 5ab m m m m ab a b ===+.故选：D.4.将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，则不同的装法种数为（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】先将红球从数量分成()0,1,2，()1,1,1两种类型的分组，在分两类研究以上不同形式下红球放入三个不同的袋中的方法数，最后袋中不重上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个，将两类情况的方法总数相加即可.【详解】将3个红球分成3组，每组球的数量最多2个最少0个，则有()0,1,2，()1,1,1两种组合形式，当红球分组形式为()0,1,2时，将红球放入三个不同的袋中有333216A =⨯⨯=放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.当红球分组形式为()1,1,1时，将红球放入三个不同的袋中有1种放法，此时三个不同的袋中依次补充上黑球，使每个袋子中球的总个数为2个即可.综上所述：将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个球，不同的装法种数为617+=种.故选：A.5.设抛物线22y x =的焦点为F ，过抛物线上点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠=︒，则PQ =（）A.23B.33C.34D.32【答案】A 【解析】【分析】由题意得30QFM ∠= ，结合正切定义以及1FM =可得QF ，进一步即可求解.【详解】如图所示：M 为准线与x 轴的交点，因为30PQF ∠=︒，且PF PQ =，所以30,120PFQ QPF ∠=︒∠=︒，因为//FM PQ ，所以30QFM ∠= ，而3tan 3013QM QM QM MF====，所以233QF =，所以2cos302323QF PF PQ ==÷=÷= .故选：A.6.法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过n 层薄膜，记光波的初始功率为0P ，记k P 为光波经过第k 层薄膜后的功率，假设在经过第k 层薄膜时光波的透过率112k k k k P T P -==，其中1k =，2，3…n ，为使得202402n P P -≥，则n 的最大值为（）A.31B.32C.63D.64【答案】C 【解析】【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得()2024102122nn n P P -+=≥，进一步得()14048n n +≤，结合数列单调性即可得解.【详解】由题意111120111,,,222n n n n n n P P P P P P ----=== ，所以()20241102111122222n n n n n P P --+=⨯⨯⨯=≥ ，所以()120242n n +≤，即()14048n n +≤，显然()()1f n n n =+关于n 单调递增，其中*N n ∈，又()()6340324048644160f f =<<=，所以n 的最大值为63.故选：C.7.如图，在函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象中，若TA AB =，则点A 的纵坐标为（）A.222-B.12-C.D.2【答案】B 【解析】【分析】由题意首先得3π,02T ϕωω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进一步得由TA AB = 得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式即可求解.【详解】由题意3π2x ωϕ+=，则3π2x ϕωω=-，所以3π,02T ϕωω⎛⎫-⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，因为TA AB =，所以21213π222x x y y ϕωω⎧+-⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21213π222x x y y ϕωω⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，所以()122113π3π22sin 2222y y f x f x x ϕωϕωω⎛⎫⎛⎫===-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22111cos 2212sin 12x x y ωϕωϕ=+=-+=-，所以2112210y y +-=，又由图可知10y >，所以1312y -=.故选：B.8.在三棱锥-P ABC中，AB =1PC =，4PA PB +=，2CA CB -=，且PC AB ⊥，则二面角P AB C --的余弦值的最小值为（）A.3B.34C.12D.5【答案】A 【解析】【分析】首先得,P A 的轨迹方程，进一步作二面角P AB C --的平面角为PHC ∠，结合轨迹的参数方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等条件.【详解】因为42PA PB a +==，所以2a =，点P 的轨迹方程为22142x y +=（椭球），又因为2CA CB -=，所以点A 的轨迹方程为221x y -=，（双曲线的一支）过点P 作,PH AB AB PC ⊥⊥，而,,PH PC P PF PC ⋂=⊂面PHC ，所以AB ⊥面PHC ，设O 为AB 中点，则二面角P AB C --为PHC ∠，所以不妨设π2cos ,0,,,2OH PH CH θθθ⎛⎤=∈== ⎥⎝⎦，所以2222cos 2PHC ∠=⋅所以()()222221sin 1cos 2sin 34sin PHC θθθ-∠=⋅-，令21sin ,01t t θ-=<<，所以()()()()222222221sin 1112cos 2214129sin 34sin 1412t t PHC t t t t θθθ-∠=⋅=⋅≥⋅=----+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当221sin 5t θ==-，所以当且仅当1510sin ,cos 55θθ==时，()min2cos 3PHC ∠=.故选：A.【点睛】关键点点睛：关键是用定义法作出二面角的平面角，结合轨迹方程设参即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9.已知向量()cos ,sin a θθ=，()3,4b =- ，则（）A.若//a b，则4tan 3θ=-B.若a b ⊥，则3sin 5θ=C.a b -的最大值为6 D.若()0a a b ⋅-=，则a b -=【答案】ACD 【解析】【分析】根据//a b ，有4cos 3sin θθ=-，可判断A 选项；根据a b ⊥ ，得3cos 4sin 0θθ-+=，可判断B 选项；根据向量减法三角形法则有6a b a b -≤+=，分别求出a ，b ，有a ，b 反向时a b -取得最大值，根据向量的几何意义判断C 选项；根据()0a a b ⋅-= ，得4sin 3cos 1θθ-=，又a b -=，可计算a b -，从而判断D 选项.【详解】若//a b ，则4cos 3sin θθ=-，解得4tan 3θ=-，A 正确；若a b ⊥，则3cos 4sin 0θθ-+=，解得3tan 4θ=，所以3sin 5θ=±，B 错误；因为1a == ，5b == ，而6a b a b -≤+= ，当且仅当a ，b 反向时等号成立，在平面直角坐标系中，设向量a ，b的起点为坐标原点，向量a的终点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上，向量()3,4b =- 终点在第二象限，当a ，b反向，则向量()cos ,sin a θθ=的终点应在第四象限，此时3cos 5θ=，4sin 5θ=-，所以C 正确；若()0a a b ⋅-=，则()()cos cos 3sin sin 40θθθθ++-=，即22cos 3cos sin 4sin 0θθθθ++-=，所以4sin 3cos 1θθ-=，a b -=，所以a b -==，D 正确.故选：ACD10.将两个各棱长均为1的正三棱锥D ABC -和E ABC -的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A.该几何体的表面积为2B.该几何体的体积为6C.过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D.直线//AD 平面BCE 【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B ，首先求得D ABC V -，进一步即可验算；对于C ，证明面ADE ⊥面ABC 即可判断；对于D ，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可.【详解】对于A ，13311224ABD S =⨯⨯⨯= ，所以表面积为642⨯=，故A 对；对于B ，如图所示：设点D 在平面ABC 内的投影为O ，M 为BC 的中点，则由对称性可知O 为三角形ABC 的重心，所以223313323AO AM ==⨯⨯=，又因为1AD =，所以正三棱锥D ABC -的高为63DO ==，所以题图所示几何体的体积为1632223346D ABCV V -==⨯⨯⨯=，故B 错；对于C ，由B 选项可知DO ⊥面ABC ，由对称性可知,,D O E 三点共线，所以DE ⊥面ABC ，而DE ⊂面ADE ，所以面ADE ⊥面ABC ，故C 正确；对于D ，建立如图所示的空间直角坐标系：其中Ox 轴平行BC ，因为3333,3236AO OM ==-=，所以()13136136,,0,,,0,0,0,,1,0,0,,,26263263B C E BC BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，所以01360263x x y z -=⎧⎪⎨---=⎪⎩，不妨取1z =，解得22,0y x =-=，所以取()0,2,1n =-，又36360,,0,0,0,,0,,3333A D AD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而26660333AD n =-+-⋅=≠ ，所以直线AD 与平面BCE 不平行，故D 错.故选：AC.11.已知函数()()1e 1ln e 11xxx f x a x +⎛⎫=+-+⎪-⎝⎭恰有三个零点，设其由小到大分别为123,,x x x ，则（）A.实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1230x x x ++=C.函数()()()g x f x kf x =+-可能有四个零点D.()()331e x f x f x '='【答案】BCD 【解析】【分析】对于B ，()()00f x h x =⇔=，证明函数()11eln 1e 1xxx h x a x +-⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭是奇函数即可；对于C ，将方程等价变形为11e ln 101e 1e xx xx k a x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⎢ ⎪⎥ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由此即可判断；对于D ，由13x x =-，而()()()()333331e e x x f x f x f x f x ''='=⇔-'，进一步求导运算即可；对于A ，通过构造函数可得()()100202p a m <'=='<，由此即可判断.【详解】对于B ，()11e0ln 01e 1xxx f x a x +-⎛⎫=⇔+= ⎪-+⎝⎭，设()11eln 1e 1xxx h x a x +-⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭，则它的定义域为()1,1-，它关于原点对称，且()()11e 11e ln ln 1e 11e 1x xx xx x h x a a h x x x --⎛⎫--+-⎛⎫⎛⎫-=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h x 是奇函数，由题意()0h x =有三个根123,,x x x ，则1230x x x ++=，故B 正确；对于C ，由()()()()110e 1ln e 1e 1ln e 1011x xx x x x f x kf x a a x x --⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⇒+-+++-+= ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()1ln 11e 1e 1ln 01e 1e e 1e x x x xx x x x x a k a x ⎡⎤+⎛⎫⎪⎢⎥+---⎛⎫⎝⎭⎢⎥++-= ⎪-++⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以11e11e ln ln 1e 1e1e 1xxx xx x k x a a x x ⎡⎤+-+-⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪⎢ ⎪⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即11e ln 101e 1e xx xx k a x ⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫+-=⎢ ⎪⎥ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦已经有3个实根123,,x x x ，当0k >时，令10ex k-=，则ln x k =，只需保证123ln ,,k x x x ≠可使得方程有4个实根，故C 正确；由B 可知，13x x =-，而()()()()333331e e x x f x f x f x f x ''='=⇔-'，又()()()()333322331122e lne 1e ,e ln e 111111x x x x xx x f x a a f x a a x x x x ''-+=++--=++---+-，所以()()3333323312e lne 1e 11xx x x f x a a x x +++--'=-()333333233331112lne 11e ln ln e 11111x x x x x x a a a a x x x x -+-=++-+--++--+()()()333333331e e 1lne 1e 1x x x x xf x a f x x +=-++-+='--'，故D 正确；对于A ，11e ln 1e 1x x x a x +-⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，设()()11e ln ,1e 1x xx p x a m x x +-⎛⎫==- ⎪-+⎝⎭，则()()()2222e ,1e 1xx a p x m x x ''==-+，所以()()102,02p a m ==''，从而1102,024a a <<<<，故A 错误.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断B 选项的关键是发现()()00f x h x =⇔=，进一步只需验证()h x 是奇函数即可顺利得解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在ABC 中，其内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC 的面积为__________．【答案】3【解析】【分析】根据3π4B =，6b =，22a c +=，利用余弦定理求得ac =三角形面积公式求解.【详解】解：在ABC 中，3π4B =，6b =，22a c +=，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，43π2cosac =-=，解得ac =所以31sin 12222ABC B S ac ==⨯= ，故答案为：313.设椭圆22195x y +=的左右焦点为1F ，2F ，过点2F 的直线与该椭圆交于A ，B 两点，若线段2AF 的中垂线过点1F ，则2BF =__________．【答案】107【解析】【分析】由椭圆方程确定a ，b ，c 的值，结合已知条件及椭圆定义求出22AF =，在12Rt F F M 中，求出212121cos 4F M F F M F F ∠==，由诱导公式求出121cos 4F F B ∠=-，设2BF m =，则16BF m =-，在12F F B △中由余弦定理构造方程()22166184m m m+--=-，解出m 值即可.【详解】设线段2AF 的中垂线与2AF 相交于点M ，由椭圆22195x y +=方程可知，3a =，b =，2c =；由已知有：11224AF F F c ===，点A 在椭圆上，根据椭圆定义有：1226AF AF a +==，所以22AF =，21AM MF ==，在12Rt F F M 中，212121cos 4F M F F M F F ∠==，1212πF F M F F B ∠+∠=，121cos 4F F B ∠=-，点B 在椭圆上，根据椭圆定义有：1226BF BF a +==，设2BF m =，则16BF m =-，124F F =，在12F F B △中由余弦定理有：()222221221121221661cos 284m m F F BF BF F F B F F BF m+--+-∠===-⋅,解得107m =，即2107BF =.故答案为：10714.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为__________．【答案】1013【解析】【分析】定义从i 出发最终从1号口出的概率为i P ，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.【详解】设从i 出发最终从1号口出的概率为iP ，所以122131232213311110333612P P P P P P P P P ⎧=+⎪⎪⎪=++=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得11013P =.故答案为：1013.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.各项均不为0的数列{}n a 对任意正整数n 满足：122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-．（1）若{}n a 为等差数列，求1a ；（2）若127a =-，求{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）112a =（2）23367n S n n =-+【解析】【分析】（1）由递推关系首先得1111112,222n n n n n n a a n a a a a +++=-⇒-=≥，进一步结合已知{}n a 为等差数列，并在已知式子中令1n =，即可得解.（2）由（1）得*2,N n n ≥∈时，数列是等差数列，故首先求得2a 的值，进一步分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意122311111112n n n a a a a a a a ++++⋯+=-，当*2,N n n ≥∈时，12231111112n n na a a a a a a -++⋯+=-，两式相减得1111112,222n n n n n n a a n a a a a +++=-⇒-=≥，因为{}n a 为等差数列，在式子：12231111112n n na a a a a a a -++⋯+=-中令1n =，得1221112a a a =-，所以21112a a =+，所以2111111222a a a a a -=+-=⇒=-或112a =，若12a =-，则20a =，但这与0n a ≠矛盾，舍去，所以112a =.【小问2详解】因为127a =-，所以271322a =-+=-，而当*2,N n n ≥∈时，12n n a a +-=，所以此时()32227n a n n =-+-=-，所以此时()()213272336727n n n S n n --+-=-+=-+，而1n =也满足上式，综上所述，{}n a 的前n 项和23367n S n n =-+.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA PB =，DA DB ==，2AB =，1PD =，点E ，F 分别为AB 和PB的中点．（1）证明：CF PE ⊥；（2）若1PE =，求直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）277【解析】【分析】（1）取PE 的中点G ，通过证明PE ⊥平面CDGF ，再由线面垂直的性质定理即可得到结果.（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.【小问1详解】取PE 的中点G ，连接,DG FG ,由2DA DB AB ===，易知DAB 为等腰直角三角形，此时1DE =，又1PD =，所以PE DG ⊥.因为PA PB =,所以PE AB ⊥，由//FG EB ，即//FG AB ，所以PE FG ⊥，此时，////CD AB FG ,有,,,C D G F 四点共面，FG DG G = ,所以PE ⊥平面CDGF ，又CF ⊂平面CDGF ，所以CF PE ⊥.【小问2详解】由,,AB PE AB DE ⊥⊥且PE DE E = ,所以AB ⊥平面PDE .由1PE DE PD ===，得PDE △为等边三角形，以E 为原点，,EB ED 所在直线分别为x 轴，y 轴，过E 且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，()()()131130,,,0,1,0,1,0,0,2,1,0,,,22244P D B C F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()10,,,1,1,0,22DP DB ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面PBD 的法向量(),,n x y z = 由00n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即130220y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，取1z =，)n = ，又33,,244FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线CF 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,7n FC n FC n FCθ⋅====⋅,所以直线CF 与平面PBD 所成角的正弦值为277.17.随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．年月2023年8月2023年9月2023年10月2023年11月2023年12月2024年1月月份编号x 123456销售金额y ／万元15.425.435.485.4155.4195.4若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：（1）试求变量y 与x 的样本相关系数r （结果精确到0.01）；（2）试求y 关于x 的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额．附：经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y yx y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，样本相关系数()()nniii ixx y y x ynxyr ---=∑∑参考数据：612463.4iii x y==∑=【答案】17.0.9618.38.348.7y x =-，219.4万元【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得,x y 以及62216i i x x =-∑，进一步代入相关系数公式即可求解；（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得 ˆ,ba ，由此即可得经验回归方程并预测.【小问1详解】123456715.425.435.485.4155.4195.4,85.4626x y ++++++++++====，6221496149162536617.54ii x x =-=+++++-⨯=∑，所以6762463.4685.467020.962035i ix y xyr --⨯⨯=≈⨯∑.【小问2详解】由题意122166762463.4685.42ˆ38.317.56i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯==≈-∑∑，所以 785.438.348.72a=-⨯=-，所以y 关于x 的经验回归方程为38.348.7y x =-，所以预测2024年2月份该公司的销售金额为38.3748.7219.4y =⨯-=万元.18.已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =．（1）求双曲线E 的标准方程；（2）设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．【答案】（1）2213y x -=（2）证明过程见解析【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合,,a b c 之间的平方关系即可求解；（2）设直线AB 的方程为2x my =+，()()()11221,,,,2,0A x y B x y F -，联立双曲线方程结合韦达定理得()121234my y y y =-+，用m 以及,A B 的坐标表示出点P 以及PB 的方程，根据对称性可知，只需在PB 的直线方程中，令0y =，证明相应的x 为定值即可求解.【小问1详解】由题意22222232126a b c c c a b a b a b c ⎧-==⎪⎪=⎧⎪⎪=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎪⎩，所以双曲线E 的标准方程为2213y x -=.【小问2详解】由题意1:2l x =，设直线AB 的方程为2x my =+，()()()11221,,,,2,0A x y B x y F -，()2222231129033x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨-=⎩，所以()()222121222912Δ14436313610,,3131mm m m y y y y m m -=--=+>=+=--，直线1AF 的方程为：()()1111512,,2222y y y x P x x ⎛⎫=+∴ ⎪ ⎪++⎝⎭，所以PB 的方程为()()12222252212y y x y x x y x -+=-+-，由对称性可知PB 过的定点一定在x 轴上，令()()2211222112212111222202524522y x y x x y x x my y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=+=++--+()()21221221324222245y my my my my y y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=++++-222221212122121221324628522285y m y y my my m y y my my y my y y y ⎛⎫-+++++- ⎪⎝⎭=++-12212218122285my y y my y y y --=++-，又()1221212122933112431y y m my y y y my y m ⎧=⎪⎪-⇒=-+⎨-⎪+=⎪-⎩，所以()()12212122121612661422313131385222y y y y y x y y y y y y +--=+=+=-++--，所以直线PB 过定点14,013⎛⎫⎪⎝⎭.19.已知函数()e 1x f x x-=．（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）证明：()f x 是其定义域上的增函数；（3）若()xf x a >，其中0a >且1a ≠，求实数a 的值．【答案】（1）e 2y x =+-（2）证明过程见解析（3）a =【解析】【分析】（1）首先代入1x =到函数表达式得切点坐标，求出切点处的导数值得切线斜率，由此即可得解.（2）对()f x 求导后，令()()1e 1xg x x =-+，对()g x 继续求导发现，对于任意的0x ≠有()0f x ¢>，故只需要证明0x <时，e 11xx-<，0x >时，e 11x x ->即可.（3）由（2）得1a >，进一步令e ,0k a k =>，()()1ee k xkx F x x --=--，结合题意知0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，对k 分类讨论即可求解.【小问1详解】由题意()1e 1f =-，即切点为()()()2e e 11,e 1,11x x x f x k f x-+''-===，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1e 1y x =-+-，即e 2y x =+-；【小问2详解】由()()21e 1x x f x x -+'=，设()()1e 1xg x x =-+，则()e x g x x '=，所以当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，所以对于任意的0x ≠有()0g x >，即()0f x ¢>，因此()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递增，即()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，所以0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()00h x h >=，即1x e x ->，即e 11x x-<，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()00h x h >=，即1xe x ->，即e 11x x->，所以()f x 是其定义域上的增函数.【小问3详解】由（2）可知，0x <时，()1f x <，所以1x a <，故1a >，令e ,0k a k =>，()()1ee k xkx F x x --=--，由题意0x <时，()0F x <，0x >时，()0F x >，若1k ≥，则当1x >时，()()1e e 1e 0k xkx kx F x x x ---=--≤--<，不满足条件，所以01k <<，而()()()11ee 1k xkx F x k k --'=-+-，令()()G x F x '=，则()()()()221221e e e 1e k xkx kx x G x k k k k ---⎡⎤'=--=--⎣⎦，令()0G x '=，得2ln1kx k=-，()F x '在,2ln 1k k ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭单调递减，在2ln ,1k k ⎛⎫+∞⎪-⎝⎭单调递增，若2ln01k k <-，则当2ln 01k x k <<-时，()()00F x F ''<=，()F x 单调递减，此时()()00F x F >=，不满足题意；若2ln01k k >-，则当02ln 1kx k <<-时，()()00F x F ''<=，()F x 单调递减，此时()()00F x F <=，不满足题意；若2ln01kk=-，则当0x <时，()()00F x F ''>=，()F x 单调递增，此时()()00F x F <=，且当0x >时，()()00F x F ''>=，()F x 单调递增，此时()()00F x F >=，满足题意，所以2ln01k k =-，解得12k =，综上所述，a =【点睛】关键点睛：第二问的关键是在得到()f x 在(),0∞-单调递增，在()0,∞+单调递增，之后还要继续说明“左边的函数值”小于“右边的函数值”，由此即可顺利得解.。

湖北省武汉市2017届高中毕业生二月调研考试试题（理）一、选择题（12×5=60）1．已知全集为R ，集合}0|{≥=x x A ，}086|{2≤+-=x x x B ，则=B C A R （）A ．}0|{≤x xB ．}42|{≤≤x xC ．20|{<≤x x 或}4>xD ．20|{<≤x x 或}4≥x2．函数)2(log )(23x x x f +-=的单调递减区间为（）A ．),1(+∞B ．)2,1(C ．)1,0(D ．)1,(-∞3．已知y x ,为正实数，则（）A ．y x y x lg lg lg lg 222+=+ B ．y x y x lg lg )lg(222⨯=+ C ．y x y x lg lg lg lg 222+=⨯ D ．y x xy lg lg )lg(222⨯=4．对于函数)(x f 在定义域内用二分法的求解过程中得到(2015)0,(2016)0f f << (2017)f 0>，则下述描述正确的是（）A ．函数)(x f 在（2015，2016）内不存在零点B ．函数)(x f 在（2016，2017）内不存在零点C ．函数)(x f 在（2016，2017）内存在零点，并且仅有一个D ．函数)(x f 在（2015，2016）内可能存在零点5．两圆229x y +=和221816450x y x y +-++=的公切线有（）条A ．1B ．2C ．3D ．46．棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的体积比是（）A ．9:1B ．4:1C ．27:1D ．8:17．已知,a b R ∈,直线230ax y +-=与直线(1)20a x by -++=平行，则2a b 的最小值是（）A 、0B 、12-C 、12D 、14-8．已知两条异面直线a,b 所成的角为050，则过空间任意一点P 与a,b 所成的角均为065的直线共有（）条A 、1B 、2C 、3D 、49．过点()2,1作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（）A.20x y +-=B.30x y +-=C.230x y --=D.230x y +-=10．若函数a x x x f +-=24)(有4个零点，则实数a 的取值范围是（）A . )0,4(- B. []4,0 C. )4,0( D. []0,4-11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A.12B. 10C. 8D. 612．已知P 是直线:40l x my ++=上一动点，PA 、PB 是圆22:20C x y x +-=的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB 的最小面积为2，则实数m =( )A 、2或-2B 、2C 、-2D 、无数个取值二、填空题（4×4=16）13．直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长等于；14．在上定义运算：，若不等式()()4x a x a +⊕-<对任意实数都成立，则的取值范围是；15．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为934，底面边长为3，若O 为底面111A B C 的中心，则OA 与平面ABC 所成角的大小为；16．下列命题：①奇函数)(x f 必满足0)0(=f ；②函数()log (32)1a f x x =-+的图象过定点()1,1 R ⊕(1)x y x y ⊕=-xa③,A R B R +==，11:+=→x y x f ，则f 为A 到B 的映射；④在同一坐标系中，x y 2=与2x y -=-的图象关于原点O 对称．其中真命题的序号是(把你认为正确的命题的序号都填上)．二、解答题（第17题10分，其余5题各12分，共计70分）17．（本小题满分 10分） 已知集合{}013A x x =≤-≤,，{}3log 1B x x =>．(1)求B A ，B A ；(2)已知集合{}R a a x x C ∈<<=,1，若A C ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数2()log (21)g x x =-，2()log (2)f x x =+，（1）求不等式)()(x f x g ≥的解集；（2）在（1）的条件下求函数)()(x f x g y +=的值域．19．（本小题满分12分） 如图所示，在三棱锥中，23AB BC ==，平面平面，于点D ，2AD =，4CD =，3PD =．求三棱锥的体积；证明：为直角三角形．20．（本小题满分12分）已知一个圆与x 轴相切，圆心在直线20x y -=上，又圆心为整点（即横纵坐标为整数），且被直线2x =所截得的弦长为2.(1)求此圆的方程；(2)过点（3，3）作此圆的切线，求切线方程.21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB =BC =2，∠ABD =∠CBD =60° .（1）求证：BD ⊥平面P AC ；（2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积是43，∠BCD =90°,求点C 到平面PBD 的距离．22．（本小题满分12分）已知=)(x f 21x a x -+是奇函数，=)(x g 21x bx ++为偶函数. （1）求,a b 的值；（2）对任意R x ∈不等式m x g x g x f -<)()()(2恒成立，求m 的取值范围.参考答案1-5 CBDDB 6-10 CBCAA 11-12BA13．4 14．35(,)22- 15．030 16．②③④ 17．解：(1) {}013A x x =≤-≤{}14x x =≤≤， …………………… 1分 {}3log 1B x x =>{}3x x =>， ………… 3分B A {}14x x =≤≤{}3x x > {}34x x =<≤， …………4分 B A {}14x x =≤≤{}3x x > {}1≥=x x ……… 5分（2）①当1≤a 时，φ=C ，此时A C ⊆,所以符合题意1≤a ；…… 7分②当1>a 时，A C ⊆，则14a <≤；综合①②，可得a 的取值范围是(],4-∞． ………………10分18．解：（1）由)()(x f x g ≥得22log (21)log (2)x x -≥+则有∴不等式)()(x f x g ≥的解集为{}3x x ≥.…………5分（2）=+=)()(x f x g y 22log (21)log (2)x x -++ 2log (21)(2)x x =-+22log (232)x x =+-…………7分令2232t x x =+-，则t y 2log = 由（1）可得{}3x x ≥.，函数2232t x x =+-的对称轴为3[3,)4x =-∉+∞， 所以3t =时，min 25t =，即25t ≥又∵t y 2log =在[25,)t ∈+∞上单调递增，∴当3x ≥时，22log 252log 5y ≥=，∴所求函数的值域为[)22log 5,+∞. ……12分 19．解：（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面．………………1分记边上的中点为，在△中，因为，所以． 因为23AB BC ==，6AC =，3BE =．………3分所以△的面积1332S AC BE =⨯= ……………………4分 因为3PD =，所以三棱锥的体积1333333⨯⨯=．………6分 （2）证明：因为，所以△为直角三角形．因为PD=3,CD=4所以PC=5………7分连接，在△中，因为，3BE =，，所以BD=2……9分由（1）知平面，又平面，所以．在△中，因为，PD=3，BD=2 所以13PB = …………………………………10分在中，因为23BC =，13PB = ,5PC =，所以．所以为直角三角形．…………………………………………………………12分20．解：（1）22(2)(1)1x y -+-= ………………6分（2）3430x y -+=或x=3（过程略）………………12分21．解：（1）证明：在ABC ∆中，因为AB= BC=2，∠ABD=∠CBD=60°,BO AC OC OA ∴⊥=(等腰三角形三线合一)------------3分又 PA ⊥平面ABCDBD PA ∴⊥PA 与AC 交于CBD ∴⊥面PAC-------------------------------------------------------6分（2）因为AB= BC=2，∠ABD=∠CBD=60° ，∠BCD=90°4,23BD AC ∴==1423432ABCD S ∴=⨯⨯= 11434333P ABCD ABCD V S PA PA -∴=⨯⨯=⨯⨯= 3PA ∴= ----------------------------------------------8分OC OA = ,故C 到面PBD 的距离等于A 到面PBD 的距离， 作AH OP ⊥于H ，A 到面PBD 的距离即AH ，在OPA ∆中，,3323PA OA OP AH AH =⨯=⨯32AH ∴= 故C 到面PBD 的距离等于32.---------------------------------------------12分 22．解：（1）1)(2+-=x a x x f 是奇函数， 1(-x)a -x -),()(22+--=-=-∴x a x x f x f 即，0=∴a 又1)(2++=bx x x g 是偶函数，)()(x g x g =-∴，0=∴b .所以0,0==b a ………………………………………………6分（2）由（1）知1)(,1)(22+=+=x x g x x x f . m x x x x x x g x f -+<=++=∴12)1(12)()(2222， 对任意122+-<x x m R x ∈恒成立，又0)1(12x 22≥-=+-x x .∴0<m .………………………………………………………………………12分。

湖北省武汉市2017届高中毕业生二月调研考试试题（理）一、选择题（12×5=60）1．已知全集为R ，集合}0|{≥=x x A ，}086|{2≤+-=x x x B ，则=B C A R （ ）A ．}0|{≤x xB ．}42|{≤≤x xC ．20|{<≤x x 或}4>xD ．20|{<≤x x 或}4≥x2．函数)2(log )(23x x x f +-=的单调递减区间为（ ）A ．),1(+∞B ．)2,1(C ．)1,0(D ．)1,(-∞3．已知y x ,为正实数，则（ ）A ．y x y x lg lg lg lg 222+=+ B ．y x y x lg lg )lg(222⨯=+ C ．y x y x lg lg lg lg 222+=⨯ D ．y x xy lg lg )lg(222⨯=4．对于函数)(x f 在定义域内用二分法的求解过程中得到(2015)0,(2016)0f f << (2017)f 0>，则下述描述正确的是（ ）A ．函数)(x f 在（2015，2016）内不存在零点B ．函数)(x f 在（2016，2017）内不存在零点C ．函数)(x f 在（2016，2017）内存在零点，并且仅有一个D ．函数)(x f 在（2015，2016）内可能存在零点5．两圆229x y +=和221816450x y x y +-++=的公切线有（ ）条A ．1B ．2C ．3D ．46．棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的体积比是（ ）A ．9:1B ．4:1C ．27:1D ．8:17．已知,a b R ∈,直线230ax y +-=与直线(1)20a x by -++=平行，则2a b 的最小值是（ ）A 、0B 、12-C 、12D 、14-8．已知两条异面直线a,b 所成的角为050 ，则过空间任意一点P 与a,b 所成的角均为065的直线共有（ ）条A 、1B 、2C 、3D 、49．过点()2,1作圆()1122=+-y x 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ）A.20x y +-=B.30x y +-=C.230x y --=D.230x y +-=10．若函数a x x x f +-=24)(有4个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A . )0,4(- B. []4,0 C. )4,0( D. []0,4-11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A. 12B. 10C. 8D. 612．已知P 是直线:40l x my ++= 上一动点，PA 、PB 是圆22:20C x y x +-= 的两条切线，切点分别为A 、B ，若四边形PACB的最小面积为2，则实数m =( )A 、2或-2B 、2C 、-2D 、无数个取值二、填空题（4×4=16）13．直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长等于 ；14．在上定义运算：，若不等式()()4x a x a +⊕-<对任意实数都成立，则的取值范围是 ；15．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为934，底面边长为3 ，若O 为底面111A B C 的中心，则OA 与平面ABC 所成角的大小为 ；16．下列命题：①奇函数)(x f 必满足0)0(=f ；②函数()log (32)1a f x x =-+的图象过定点()1,1R ⊕(1)x y x y ⊕=-xa③,A R B R +==，11:+=→x y x f ，则f 为A 到B 的映射；④在同一坐标系中，x y 2=与2x y -=-的图象关于原点O 对称．其中真命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上)．二、解答题（第17题10分，其余5题各12分，共计70分）17．（本小题满分 10分） 已知集合{}013A x x =≤-≤,，{}3log 1B x x =>．(1)求B A ，B A ；(2)已知集合{}R a a x x C ∈<<=,1，若A C ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知函数2()log (21)g x x =-，2()log (2)f x x =+，（1）求不等式)()(x f x g ≥的解集；（2）在（1）的条件下求函数)()(x f x g y +=的值域．19．（本小题满分12分） 如图所示，在三棱锥中，23AB BC ==，平面平面，于点D ，2AD =，4CD =，3PD =．求三棱锥的体积；证明：为直角三角形．20．（本小题满分12分）已知一个圆与x 轴相切，圆心在直线20x y -= 上，又圆心为整点（即横纵坐标为整数），且被直线2x = 所截得的弦长为2.(1)求此圆的方程；(2)过点（3，3）作此圆的切线，求切线方程.21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB =BC =2，∠ABD =∠CBD =60° .（1） 求证：BD ⊥平面P AC ；（2）若四棱锥P ﹣ABCD 的体积是43，∠BCD =90°,求点C 到平面PBD 的距离．22．（本小题满分12分）已知=)(x f 21x a x -+是奇函数，=)(x g 21x bx ++为偶函数. （1）求,a b 的值 ；（2）对任意R x ∈不等式m x g x g x f -<)()()(2恒成立，求m 的取值范围.参考答案1-5 CBDDB 6-10 CBCAA 11-12 BA13．4 14．35(,)22- 15．030 16．②③④ 17．解：(1) {}013A x x =≤-≤{}14x x =≤≤， …………………… 1分 {}3log 1B x x =>{}3x x =>， ………… 3分B A {}14x x =≤≤{}3x x > {}34x x =<≤， …………4分 B A {}14x x =≤≤{}3x x > {}1≥=x x ……… 5分（2）①当1≤a 时，φ=C ，此时A C ⊆,所以符合题意1≤a ；…… 7分②当1>a 时，A C ⊆，则14a <≤；综合①②，可得a 的取值范围是(],4-∞． ………………10分18．解：（1）由)()(x f x g ≥ 得22log (21)log (2)x x -≥+则有∴不等式)()(x f x g ≥的解集为{}3x x ≥. …………5分（2）=+=)()(x f x g y 22log (21)log (2)x x -++ 2log (21)(2)x x =-+22log (232)x x =+-…………7分 令2232t x x =+-，则t y 2log =由（1）可得{}3x x ≥.，函数2232t x x =+-的对称轴为3[3,)4x =-∉+∞， 所以3t =时，min 25t =，即25t ≥又∵t y 2log =在[25,)t ∈+∞上单调递增，∴当3x ≥时，22log 252log 5y ≥=，∴所求函数的值域为[)22log 5,+∞. ……12分 19．解：（1）证明：因为平面平面，平面平面， 平面，，所以平面．………………1分记边上的中点为，在△中，因为，所以． 因为23AB BC ==，6AC =，3BE =．………3分所以△的面积1332S AC BE =⨯= ……………………4分 因为3PD =，所以三棱锥的体积1333333⨯⨯=．………6分 （2）证明：因为，所以△为直角三角形．因为PD=3,CD=4所以PC=5………7分连接，在△中，因为，3BE = ，，所以BD=2……9分由（1）知平面，又平面，所以．在△中，因为，PD=3，BD=2 所以13PB = …………………………………10分在中，因为23BC =，13PB = ,5PC = ，所以．所以为直角三角形．…………………………………………………………12分20．解：（1）22(2)(1)1x y -+-= ………………6分（2）3430x y -+=或x=3（过程略）………………12分21．解：（1）证明：在ABC ∆中，因为AB= BC=2，∠ABD=∠CBD=60°,BO AC OC OA ∴⊥=(等腰三角形三线合一)------------3分又 PA ⊥平面ABCDBD PA ∴⊥PA 与AC 交于CBD ∴⊥面PAC-------------------------------------------------------6分（2）因为AB= BC=2，∠ABD=∠CBD=60° ，∠BCD=90°4,23BD AC ∴==1423432ABCD S ∴=⨯⨯= 11434333P ABCD ABCD V S PA PA -∴=⨯⨯=⨯⨯= 3PA ∴= ----------------------------------------------8分OC OA = ,故C 到面PBD 的距离等于A 到面PBD 的距离， 作AH OP ⊥于H ，A 到面PBD 的距离即AH ，在OPA ∆中，,3323PA OA OP AH AH =⨯=⨯32AH ∴= 故C 到面PBD 的距离等于32.---------------------------------------------12分 22．解：（1）1)(2+-=x a x x f 是奇函数， 1(-x)a -x -),()(22+--=-=-∴x a x x f x f 即，0=∴a 又1)(2++=bx x x g 是偶函数，)()(x g x g =-∴，0=∴b .所以0,0==b a ………………………………………………6分（2）由（1）知1)(,1)(22+=+=x x g x x x f . m x x x x x x g x f -+<=++=∴12)1(12)()(2222， 对任意122+-<x x m R x ∈恒成立，又0)1(12x 22≥-=+-x x .∴0<m .………………………………………………………………………12分。

湖北省武汉市2017届高三数学2月调研考试试题理（扫描版）
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2017年武汉市高三2月调考 理科综合能力测试 物理试题第Ⅰ卷二、选择题：本题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14～17题只有一项符合题目要求，第18～21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14．关于原子结构，下列说法错误．．的是（C ） A ．汤姆孙根据气体放电管实验断定阴极射线是带负电的粒子流，并求出了这种粒子的比荷 B ．卢瑟福α粒子散射实验表明：原子中带正电部分的体积很小，但几乎占有全部质量，电子在正电体的外面运动C ．各种原子的发射光谱都是连续谱D ．玻尔在原子核式结构模型的基础上，结合普朗克的量子概念，提出了玻尔的原子模型15．如图所示，理想变压器原、副线圈的匝数比为12:10:1n n =，a 、b 两点间的电压为u =sin100V πt （），R 为可变电阻，P 为额定电流1A 、用铅锑合金制成的保险丝。

为使保险丝中的电流不超过1A ，可变电阻R 连入电路的最小阻值是（A ）A ．2.2ΩB ．ΩC ．22ΩD ．Ω16．美国加州理工学院天文学家宣称找到了太阳系八大行星之外的第九大行星。

他们通过数学建模和计算机模拟，得出该行星的质量大约是地球质量的10倍，它与太阳的平均距离大约是海王星与太阳之间距离的20倍。

已知海王星的公转周期大约是165年，若将太阳系内所有行星的公转当作圆周运动处理，则可估算第九大行星的公转周期大约是（D ） A ．2年 B ．22年 C ．31.210⨯年 D ．41.510⨯年17．在光滑水平面上，物块a 以大小为v 的速度向右运动，物块b 以大小为u 的速度向左运动，a 、b 发生弹性正碰。

已知a 的质量远远小于b 的质量，则碰后物块a 的速度大小是（C ） A ．v B ．+v u C ．+2v u D ．2u v -18．如图所示，在两根竖直放置的平行长直导线M 、N 中，通过同方向同强度的恒定电流，圆形导线框在图示位置，线框和两导线在同一竖直平面（纸面）内。

湖北省各地2017届高三最新考试数学文试题分类汇编统计与概率2017.02一、选择、填空题1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）从数字1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于20的概率是A．14B．34C．13D．232、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）经统计,用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位:分)近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如下：由表中样本数据求得回归方程为y bx a，则点(,)a b与直线11018=+yx的位置关系是( ）A．点在直线左侧B．点在直线右侧C．点在直线上D．无法确定3、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试)对于一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2,P3，则A．P1= P2＜P3 B．P2= P3＜P1 C．P1= P2=P3D．P1= P3＜P24、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知集合{|28}M x x=-≤≤，2{|320}N x x x=-+≤,在集合M中任取一个元素x,则“x M N∈”的概率为A．110B．16C．310D．125、(天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg)，得到频率分布直方图如下根据上图,可得这100名学生中体重在).,.[564556的学生人数是▲．6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考)从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有2个红球的概率是A. 12B. 25C. 710D。

357、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为,现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2,3，4，5，6,7，8，9表示击中目标，再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为8、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）一个棱长为4的正方体涂上红色后，将其切成棱长为1的小正方体，置于一密闭容器搅拌均匀，从中任取一个，则取到两面涂红色的小正方体的概率为（)A. 18B.38C. 827D。

武汉市2017届高中毕业生调研测试语文试题一、语文基础知识（共15分，共5小题，每小题3分）1．下列各组词语中，加点字的读音全都相同的一组是A．樵夫愀然翘首以待巧言令色B．厘定俚语风光旖旎管窥蠡测C．篆刻杜撰晕头转向有赔有赚D．巡视驯熟循规蹈矩寻章摘句2．下列各组词语中，没有错别字的一组是A．塑身灰烬摆渡车绵里藏针B．砥砺屏蔽拌脚石张皇失措C．签署沉缅莫须有繁文缛节D．和蔼眺望缔造者一偌千金3．依次填入下列横线处的词语，最恰当的一组是①‚新丝绸之路经济带‛的战略构想与古老的丝绸之路，同时，这一构想又充分体现了时代的特点，沿途国家和地区的发展诉求。

②老宅的屋檐下，有燕子飞过。

院子四周有一些花草，如太阳花、满堂红之类，虽不名贵却有着顽强的生命力，它们在墙角处地绽放着。

A．如出一辙聚合忽而惬意B．一脉相承契合倏忽恣意C．一脉相承聚合忽而恣意D．如出一辙契合倏忽惬意4．下列各项中，没有语病的一项是A．乌篷船转了一个弯，前面出现了一个挂满绿藤的石桥。

抬眼望去，仿佛看到有马车的铃声轻轻响过，车内檀香氤氲，轻烟袅袅，徒增了一层古朴与神秘的色彩。

B．随着科技的不断发展进步，3D打印机成了‚万能制造机‛，大到房子，小到微米级的产品，甚至茶杯、拉链、汽车模型等都能打印出来。

C．在互联网时代，年轻人更喜欢能够网络点餐、手机支付的餐饮服务，以麦当劳为代表的传统连锁快餐服务模式正在经历着痛苦的转型。

D．父亲与徐先生在文艺思想上存在较大的分歧，但两个人并未中断友谊。

父亲一方面与徐先生积极沟通，另一方面，徐先生也非常关注父亲的创作。

5．下列有关文学常识和名著阅读的表述，有错误的一项是A．孔子认为：‚君子食无求饱，居无求安，敏于事而慎于言，就有道而正焉，可谓好学也已。

‛大意是说，作为君子不要在意物质享受，而应勤勉做事，谨慎说话，到有道之人那里去匡正自己的言行，这样才说得上是好学。

B．林黛玉年龄不大，但在贾府事事谨慎，处处留心。

湖北省部分学校2017届高三毕业生（二）月调研考试数 学（文 科）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、下列函数中，定义域和值域相同的是（ ）A ．2y x =和2x y =B ．sin y x =和tan y x =C ．3y x =和2log y x =D ．2y x =和y x =2、定义{},x y x y A +B =+∈A ∈B ，设集合{}0,1i M =+，130,2i i --⎧⎫N =⎨⎬+⎩⎭，则集合M +N 中元素的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．13、从区间()3,3-中任取两个整数a ，b ，设点(),a b 在圆223x y +=内的概率为1P ，从区间()3,3-中任取两个实数a ，b ，直线30ax by ++=和圆223x y +=相离的概率为2P ，则（ ）A ．12P >PB ．12P <PC ．12P =PD ．1P 和2P 的大小关系无法确定4、设抛物线1C :22y x =与双曲线2C :22221x y a b-=的焦点重合，且双曲线2C 的渐近线为y =，则双曲线2C 的实轴长为（ ）A ．1 函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移12π，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 为（ ）A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数6、某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（ ）A ．2B ．．3 7、设0x >，则“1a ≥”是“2a x x+≥恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件8、某科研所共有职工20人，其年龄统计表如下：由于电脑故障，有两个数字在表格中不能显示出来，则下列说法正确的是（ ）A ．年龄数据的中位数是40，众数是38B ．年龄数据的中位数和众数一定相等C ．年龄数据的平均数()39,40x ∈D ．年龄数据的平均数一定大于中位数 9、在三角形C AB 中，C 60∠= ，C C 6A +B =，4AB =，则AB 边上的高为（ ）A B ．203C D ．4310、如图所示，若输入的n 为10，那么输出的结果是（ ） A ．45 B ．110 C ．90 D ．55二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．） 11、已知公比为负值的等比数列{}n a 中，154a a =，41a =-，则数列{}n a 的通项公式为 ．12、在三角形C AB 中，A ，B ，C 是三角形C AB 的内角，设函数()22C 2sinsin sin cos 2222f ππB +A A A ⎛⎫⎛⎫A =-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f A 的最大值为 ．13、已知矩形CD AB 中，2AB =，C 1B =，点P 是D B 上任意一点，则()CBP⋅PA +P的取值范围是 ．14、设x ，y 满足约束条件()2log 221x y x y +≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，则z x y =+的最大值为 ．15、若函数()2sin f x x απ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（02απ<<）是奇函数，则方程()lg f x x =解的个数为 ．16、已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是奇函数；③当0a >时，若120x x <，120x x +>，则()()12F F 0x x +>成立；④当0a <时，函数()2F 23y x x =--存在最大值，不存在最小值，其中所有正确命题的序号是 ．17、已知矩形CD AB 的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）18、（本小题满分13分）设函数()()2cos cos cos 2f x x x x a x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的一个零点是12x π=．()1求函数()f x 的周期；()2求函数()f x 单调增区间． 19、（本小题满分12分）农科院分别在两块条件相同的试验田分别种植了甲、乙两种杂粮作物，从两块试验田中任意选取6颗该种作物果实，测得籽重（单位：克）数据如下： 甲种作物的产量数据：111 111 122 107 113 114乙种作物的产量数据：109110124108112115()1计算两组数据的平均数和方差，并说明哪种作物产量稳定；()2作出两组数据的茎叶图．20、（本小题满分12分）如图所示，在矩形CDA=，AB中，D1 AB=，点E是线段AB的中点，把三角形DAE沿D E折起，设折2起后点A的位置为P，F是D P的中点．()1求证：无论P在什么位置，都有F//PE；A平面C()2当点P在平面CDAB上的射影落在线段D E上时，若三棱锥CDP-E的四个顶点都在一个球上，求这个球的体积．21、（本小题满分14分）已知椭圆1C :2241x y +=，焦点在x 轴上的椭圆2C 的短轴长与1C 的长轴长相等，且其离心率为2． ()1求椭圆2C 的方程；()2若点T 满足：2OT =MN +OM +ON，其中M ，N 是2C 上的点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点A ，B ，使TA +TB 为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．22、（本小题满分14分）已知函数()ln 2f x x ax =-+，R a ∈是常数．()1若函数()y f x =的图象在点()(),a f a （0a >）与直线y b =相切，求a和b的值；()2若函数()=有两个零点，求实数a的取值范围．y f x。

2017年湖北省武汉市二月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i2．设集合M={x|0≤x≤3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}，则M∩N=（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）C．[0，3]D．[﹣1，4]3．命题“y=f（x）（x∈M）是奇函数”的否定是（）A．∃x∈M，f（﹣x）=﹣f（x） B．∀x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∀x∈M，f（﹣x）=﹣f（x）D．∃x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x）4．非零向量满足，且与的夹角为，则=（）A．B．C．D．25．设x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为（）A．4 B．C．D．26．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填入（）A．n≤8？B．n＞8？C．n≤7？D．n＞7？7．已知直线l：mx+y﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x+2y+1=0的对称轴，过点A（﹣2，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|为（）A．4 B．C．D．38．从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有2个红球的概率是（）A．B．C．D．9．为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=cos2x﹣sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位10．已知直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，则（）A．B．2 C．D．11．如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（）A．2 B．C．D．12．若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）=的定义域为．14．在△ABC中，角C=60°，tan+tan=1，则tan•tan=．15．在平面直角坐标系中，设A、B、C是曲线y=上三个不同的点，且D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，则过D、E、F三点的圆一定经过定点．16．若函数f（x）=ln（ax2+x）在区间（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，满足．（1）求a1及通项公式a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，为CC1的中点．（1）求证：DB1⊥平面ABD；（2）求点A1到平面ADB1的距离．19．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数（1）求甲组工人制造零件的平均数和方差；（2）分别从甲、乙两组中随机选取一个工人，求这两个工人制造的零件总数不超过20的概率．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知Γ上存在一点P，使得直线PF1，PF2分别交椭圆Γ于A，B，若，求直线PB的斜率．21．已知函数f（x）=xe x﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：f（x2）＞﹣．四．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．选修4-4：参数方程与极坐标系22．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为，⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．（1）求直线l和⊙C的普通方程；（2）若直线l与圆⊙C交于A，B两点，求弦AB的长．23．（1）求函数y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；（2）若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．2017年湖北省武汉市二月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．复数z满足（z+2i）i=1+i，则z=（）A．1+3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（z+2i）i=1+i，得，∴z=1﹣3i．故选：B．2．设集合M={x|0≤x≤3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}，则M∩N=（）A．[﹣1，3]B．（﹣1，3）C．[0，3]D．[﹣1，4]【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M和N，由此利用交集定义能求出M∩N．【解答】解：∵集合M={x|0≤x≤3}，N={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，∴M∩N={x|0≤x≤3}=[0，3]．故选：C．3．命题“y=f（x）（x∈M）是奇函数”的否定是（）A．∃x∈M，f（﹣x）=﹣f（x） B．∀x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∀x∈M，f（﹣x）=﹣f（x）D．∃x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x）【考点】命题的否定．【分析】根据命题的否定命题的解答办法，解得即可．【解答】解：命题“y=f（x）（x∈M）是奇函数”的否定，∃x∈M，f（﹣x）≠﹣f（x），故选：D．4．非零向量满足，且与的夹角为，则=（）A．B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件便可得出，进行数量积的运算，便可得到，从而可求出的值．【解答】解：∵，且；∴=；又；∴；∴．故选B．5．设x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为（）A．4 B．C．D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（﹣2，﹣2），化目标函数z=x﹣3y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣2+6=4．故选：A．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为80，则判断框内应填入（）A．n≤8？B．n＞8？C．n≤7？D．n＞7？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1，a=3执行循环体，S=3，a=5不满足条件，执行循环体，n=2，S=8，a=7不满足条件，执行循环体，n=3，S=15，a=9不满足条件，执行循环体，n=4，S=24，a=11不满足条件，执行循环体，n=5，S=35，a=13不满足条件，执行循环体，n=6，S=48，a=15不满足条件，执行循环体，n=7，S=63，a=17不满足条件，执行循环体，n=8，S=80，a=19由题意，此时满足条件，退出循环，输出的S结果为80，则判断框内应填入n＞7？故选：D．7．已知直线l：mx+y﹣1=0（m∈R）是圆C：x2+y2﹣4x+2y+1=0的对称轴，过点A（﹣2，m）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|为（）A．4 B．C．D．3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：mx+y﹣1=0经过圆C的圆心（2，﹣1），求得m的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x+2y+1=0，即（x﹣2）2+（y+1）2 =4，表示以C（2，﹣1）为圆心、半径等于2的圆．由题意可得，直线l：mx+y﹣1=0经过圆C的圆心（2，﹣1），故有2m﹣1﹣1=0，∴m=1，点A（﹣2，1）．∵AC=，CB=R=2，∴切线的长|AB|==4．故选A．8．从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有2个红球的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==10，再求出所取的3个球中至少有2个红球包含的基本事件个数m==7，由此能求出所取的3个球中至少有2个红球的概率．【解答】解：从装有3个红球和2个白球的袋中任取3个球，基本事件总数n==10，所取的3个球中至少有2个红球包含的基本事件个数：m==7，∴所取的3个球中至少有2个红球的概率：p==．故选：C．9．为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数y=cos2x﹣sin2x的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由和差角的公式化简函数解析式，由三角函数图象变换的规则即可得解．【解答】解：∵y=sin2x+cos2x=（sin2x+cos2x）=cos2（x﹣）y=cos2x﹣sin2x=（cos2x﹣sin2x）=cos2（x+）=cos2[（x+）﹣]，∴只需将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向右平移个单位可得函数y=sin2x+cos2x 的图象．故选：A．10．已知直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x交于A，B两点，O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k1，k2，则（）A．B．2 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x联立，求出A，B的坐标，即可求出．【解答】解：直线y=2x﹣3与抛物线y2=4x联立，可得y2﹣2y﹣6=0，∴y=1±，∴A（2+，1+），B（2﹣，1﹣），∴=+=，故选A．11．如图是某个几何体的三视图，其中正视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的直径为（）A．2 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三视图复原的几何体的形状，几何体外接球为正方体外接球，通过三视图的数据求解该几何体外接球的直径为即可．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体如图：四棱锥S﹣BCDE，是正方体的一部分，正方体的棱长为2；所以几何体外接球为正方体外接球，该几何体外接球的直径为2．故选D．12．若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．B． C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ae x﹣x﹣2a的导函数f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln，函数在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，f（x）的最小值为f（ln）=1﹣ln﹣2a=1+lna﹣2a＜0即可，【解答】解：函数f（x）=ae x﹣x﹣2a的导函数f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=ln，函数在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，所以f（x）的最小值为f（ln）=1﹣ln﹣2a=1+lna﹣2a，令g（a）=1+lna﹣2a，（a＞0），g′（a）=，a，g（a）递增，a递减，∴∴f（x）的最小值为f（ln）＜0，函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点；综上实数a的取值范围是：（0，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）=的定义域为 [0，1] ．【考点】函数的定义域及其求法． 【分析】利用根式函数的意义求解．【解答】解：要使函数有意义，则x ﹣x 2≥0，即x 2﹣x ≤0，解得0≤x ≤1， 即函数的定义域为[0，1]． 故答案：[0，1]．14．在△ABC 中，角C=60°，tan +tan =1，则tan •tan = 1﹣ ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用三角形内角和定理，构造思想，可得cot =tan （）=即可求出．【解答】解：由题意：角C=60°，tan +tan =1，根据cot =tan （）=，可得： =，解得：tan •tan =故答案为：115．在平面直角坐标系中，设A 、B 、C 是曲线y=上三个不同的点，且D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，则过D 、E 、F 三点的圆一定经过定点 （1，0） ．【考点】圆的标准方程．【分析】曲线y=的对称中心为（1，0），取过对称中心直线与曲线交于A ，B ，A ，B 中点为对称中心（1，0），即可得出结论．【解答】解：曲线y=的对称中心为（1，0），取过对称中心直线与曲线交于A，B，A，B中点为对称中心（1，0），∴过D、E、F三点的圆一定经过定点（1，0）．故答案为（1，0）．16．若函数f（x）=ln（ax2+x）在区间（0，1）上单调递增，则实数a的取值范围为a≥﹣．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据复合函数的单调性得到函数g（x）=ax2+x在（0，1）递增，通过讨论a的范围结合函数g（x）的性质确定a的范围即可．【解答】解：若函数f（x）=ln（ax2+x）在区间（0，1）上单调递增，即函数g（x）=ax2+x在（0，1）递增，a=0时，g（x）=x在（0，1）递增，符合题意，a＞0时，g（x）的对称轴x=﹣＜0，g（x）在（0，1）递增，符合题意，a＜0时，需满足g（x）的对称轴x=﹣≥1，解得：a≥﹣，综上，a≥﹣，故答案为：a≥﹣．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，满足．（1）求a1及通项公式a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）推导出a1+a2+a3=4a1+6，a1+a2+a3+a4=4（a1+a2）+6，由此求出q=2，从而得到a1=2，由此能求出．（2）T n=，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，满足，∴n=1时，S3=4S1+6，∴a1+a2+a3=4a1+6，①n=2时，a1+a2+a3+a4=4（a1+a2）+6，②由②﹣①，得，∴q2=4，∵q＞0，∴q=2，由①式知，∴a1（1+2+4）=4a1+6，3a1=6，解得a1=2，∴．（2）∵，∴T n=，③∴=，④由③﹣④，得：=﹣=﹣=1﹣﹣，∴T n=2﹣．18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，为CC1的中点．（1）求证：DB1⊥平面ABD；（2）求点A1到平面ADB1的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出B1D⊥BD，AB⊥DB1，由此能证明DB1⊥平面ABD．（2）对于四面体A1﹣ADB1，A1到直线DB1的距离即A1到面BB1C1C的距离，设A1到面B1D的距离为h，由=，能求出点A1到平面ADB1的距离．【解答】证明：（1）在平面四边形BCC1B1中，∵BC=CD=DC1=1，∠BCD=60°，∴BD=1，∵B1D=，BB1=2，∴∠BDB1=90°，∴B1D⊥BD，∵AB⊥面BB1C1C，∴AB⊥DB1，∴B1D与平面ABD内两相交直线AB和BD同时垂直，∴DB1⊥平面ABD．解：（2）对于四面体A1﹣ADB1，A1到直线DB1的距离即A1到面BB1C1C的距离，A1到B1D的距离为2，设A1到面B1D的距离为h，△ADB1为直角三角形，==，∴=，∵==2，D到平面AA1B1的距离为，∴==，∵=，∴，解得h=．∴点A1到平面ADB1的距离为．19．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组5名工人制造某种零件的个数（1）求甲组工人制造零件的平均数和方差；（2）分别从甲、乙两组中随机选取一个工人，求这两个工人制造的零件总数不超过20的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（1）甲组工人制零件数为：9，9，10，10，12，由此能求出甲组工人制造零件的平均数和方差．（2）甲组中5名工人分别记为a，b，c，d，e，乙组5名工人分别记为A，B，C，D，E，利用列举法能求出这两个工人制造的零件总数不超过20的概率．【解答】解：（1）甲组工人制零件数为：9，9，10，10，12，∴甲组工人制造零件的平均数：=（9+9+10+10+12）=10，方差为S2= [（9﹣10）2+（9﹣10）2+（10﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2]=．（2）由题意甲、乙两组工人制造零件中的个数分别是：甲：9，9，10，10，12；乙：8，9，9，10，11，甲组中5名工人分别记为a，b，c，d，e，乙组5名工人分别记为A，B，C，D，E，分别从甲、乙两组中随机选取1个工人，共有25种方法，制造零件总数超过20的有：eB，eC，eD，eE，dE，cE，共6种，∴这两个工人制造的零件总数不超过20的概率：p=1﹣=．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为．（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）已知Γ上存在一点P，使得直线PF1，PF2分别交椭圆Γ于A，B，若，求直线PB的斜率．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的离心率和右焦点F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长，列出方程组求出a、c的值，再求出b的值，即可写出椭圆Γ的标准方程；（2）设点P、A和B的坐标，写出直线l PA的方程，并与椭圆方程组成方程组，消去x，得关于y的一元二次方程，由根与系数的关系，结合题意求出点P的坐标，即可求出直线PB的斜率值．【解答】解：（1）椭圆的离心率为，∴=，…①右焦点F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为，即a﹣c=﹣1；…②由①②解得a=，c=1，∴b==1；∴椭圆Γ的标准方程是+y2=1；（2）设点P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l PA的方程为：x=my﹣1；由，消去x，得（m2+1）y2﹣2my﹣1=0；则y0•y1=﹣，又=，∴m=；∴=﹣=﹣=（m2+2）=[+2]=+2=+2﹣；∴=3+2x0，∴2+2x0=2，解得x0=﹣，∴P（﹣，±），∴K PB===；故直线PB的斜率为±．21．已知函数f（x）=xe x﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）求证：f（x2）＞﹣．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，根据函数恰有两个极值点得到关于a的不等式，求出a的具体范围即可；（2）求出f（x2）=（x2﹣1），其中x2＞ln，根据函数的单调性得到f（x2）＞f（ln）=﹣，令g（a）=﹣，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x+1﹣2ae x），要使f（x）恰有2个极值点，则方程x+1﹣2ae x=0有2个不相等的实数根，令g（x）=x+1﹣2ae x，g′（x）=1﹣2ae x；（i）a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在R递增，不合题意，舍，（ii）a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=ln，当x＜ln时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，ln）递增，且x→﹣∞时，g（x）＜0，x＞ln时，g′（x）＜0，g（x）在（ln，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）＜0，∴g（x）max=g（ln）=ln+1﹣2a•=ln＞0，∴＞1，即0＜a＜；（2）证明，由（1）知：x1＜ln＜x2，且x1，x2满足x+1﹣2ae x=0，∴x2+1﹣2a=0，即2a=x2+1，∴f（x2）=（x2﹣1），其中x2＞ln，∴f′（x2）=•x2，∵0＜a＜，∴x2＞ln＞0，∴f′（x2）＞0，∴f（x2）在（ln，+∞）递增，∴f（x2）＞f（ln）=（ln﹣1）=﹣，令g（a）=﹣，则g′（a）=，∵0＜a＜，∴ln2a＜0，∴g′（a）＜0，∴g（a）在（0，）递减，∴g（a）＞g（）=﹣，故f（x2）＞g（a）＞﹣，∴f（x2）＞﹣．四．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑．选修4-4：参数方程与极坐标系22．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为，⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．（1）求直线l和⊙C的普通方程；（2）若直线l与圆⊙C交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将利用和差公式打开；根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得直线l和⊙C的普通方程．（2）利用圆截直线的弦长公式求|AB|即可【解答】解：（1）直线l的方程为，可得：ρsinθcos﹣ρcosθsin=﹣⇔﹣y﹣x=即：．⊙C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．可得：ρ2=4ρcosθ+2ρsinθ，⇔x2+y2=4x+2y即：x2+y2﹣4x﹣2y=0，故得直线l的普通方程为：；⊙C的普通方程为：x2+y2﹣4x﹣2y=0．（2）由x2+y2﹣4x﹣2y=0，可知圆心为（2，1），半径r=，那么：圆心到直线的距离d=，∴|AB|=2故得直线l与圆⊙C交于A，B两点间的弦AB长为．23．（1）求函数y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|的值域；（2）若不等式2|x﹣1|﹣|x﹣a|≥﹣1在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）通过讨论x的范围求出函数f（x）的分段函数的形式，从而求出f （x）的值域即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵y=2|x﹣1|﹣|x﹣4|==，故函数的值域是[﹣3，+∞）；（2）f（x）=2|x﹣1|﹣|x﹣a|，①a≥1时，f（x）==，而2a﹣2＞1﹣a，此时f（x）的最小值是1﹣a，故只需1﹣a≥﹣1，∴1≤a≤2；②a＜1时，f（x）==，此时a＜1时，﹣1+a＜2﹣2a，f（x）的最小值是a﹣1，只需a﹣1≥﹣1，0≤a＜1，综上，a的范围是[0，2]．2017年3月15日。