2020年湖北省武汉市高三二月调考数学试卷(理科)

武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学参考答案及评分细则一、选择题题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C A B C D A B D A C B二、填空题13．131222=−y x 14．[)∞+−，1 15．14.9 16．21− 三、解答题17．（1）由已知条件c b c BA B A −=+−tan tan tan tan 得：c b B A B =+tan tan tan 2， 由正弦定理得C B c b sin sin =，则C B B A B sin sin tan tan tan 2=+， 即B BB A AC B B sin )cos sin cos sin (sin cos sin 2⋅+=⋅，由0sin ≠B ， 整理得：B A B A A C sin cos cos sin cos sin 2⋅+⋅=⋅，……3分即)sin(cos sin 2B A A C +=⋅，……4分即C A C sin cos sin 2=⋅，由0sin ≠C ，故21cos =A ……6分 由（1）知3π=A ，则bc A bc S ABC 43sin 21==Δ， 由余弦定理得：A bc c b a cos 2222−+=，而4=a ，则1622=−+bc c b由bc c b 222≥+得162≤−bc bc ，即16≤bc ，……9分所以34164343sin 21=×≤==Δbc A bc S ABC ， 当c b =时取等号．……12分18．（1）取DC 的中点H ，AB 的中点M ，连接QH ，HL 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD −中，Q 为11D C 的中点，则CD QH ⊥，从而⊥QH 面ABCD ，所以QH ⊥……2分在正方形ABCD 中，H 、L 分别为CD 、BC 所以HL BD //，而BD AC ⊥，则AC HL ⊥, ……4又H HL QH =I ，所以⊥AC 面QHL ，所以QL AC ⊥．……6分（2）连接ML 、MP ，由AC QL ⊥，//ML AC 知ML QL ⊥，则四边形PQLM 为矩形，则点A 到平面PQL 的距离即为点A 到平面PML 的距离，设其值为h ，……8分 在四面体AML P −中，281222121a a a BL AM S AML =⋅⋅=⋅=Δ， 222243)2()2(222121a a a a a PM ML S PML =++⋅⋅=⋅⋅=Δ， 由等体积法可知：PML A AML P V V −−=，即h a a a ⋅⋅=⋅⋅2243318131， 解之得a h 63=，故点A 到平面PQL 的距离为a 63． ……12分 19．（1）)0(22>=p px y 的焦点)0,2(p F ，而)32,2(=，所以点)32,22(+p P ， 又点P 在抛物线px y 22=上，所以)22(2)32(2+=p p ，即01242=−+p p ， 而0>p ，故2=p ，则抛物线的方程为x y 42=． ……4分（2）设),(00y x M ，),(11y x N ，),(22y x L ，则1214x y =，2224x y =，直线MN 的斜率为01202101010144y y y y y y x x y y k MN +=−−=−−=， 则MN l ：)4(420010y x y y y y −+=−，即10104y y y y x y ++=①； 同理ML l ：20204y y y y x y ++=②；将)2,3(−A 、)6,3(−B 分别代入①、②两式得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=−++=−202010********y y y y y y y y ，消去0y 得1221=y y ， ……9分 易知直线214y y k NL+=，则直线NL 的方程为)4(421211y x y y y y −+=−， 即2121214y y y y x y y y +++=，故2121124y y x y y y +++=，所以)3(421++=x y y y ， 因此直线NL 恒过定点)0,3(−．……12分20．（1）依题意0.380101=∑=i i x，则38045433938373633313210=+++++++++x ，解得：4610=x ．……3分（2）（Ⅰ）由居民收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程363ˆ254y x a =+知 254363=b ，即254363101010122101=−−=∑∑==i i i i i x x y x y x b ， 即25436325410340381046128751010=+⋅⋅−+y y ， 解之得：5110=y ．……8分 （Ⅱ）易得38=x ，1.39=y ，代入a x y+=254363ˆ得：a +×=382543631.39， 解得21.15−≈a ，所以21.15254363ˆ−=x y，……10分 当40=x 时，96.4121.1540254363≈−×=y故若该城市居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是96.41万元．……12分 21．（1）2cos 2(cos sin )x y e x x x x ′=−−−x x x e x cos 4sin 2−+=，……2分 因为)2,(ππ−−∈x ，所以0>x e ，0sin 2>x x ，0cos 4>−x ，故()0y x ′>， 所以e 2sin 2cos x y x x x =−−在)2,(ππ−−上单调增．……4分（2）可得：22cos 2)1()(xx x x e x f x −−=′，……5分 令x x x e x g x cos 2)1()(2−−=，则)cos 4sin 2()(x x x e x x g x −+=′， 当)2,(ππ−−∈x 时，由（1）知0cos 4sin 2>−+x x x e x ，则0)(<′x g ，故)(x g 在2,(ππ−−递减， 而0)12()2(2<−−=−−πππe g ，0)1(8)(>+−=−−πππe g ， 由零点存在定理知：存在唯一的)2,(0ππ−−∈x 使得0)(0=x g ……7分 即0cos 4sin 20000=−+x x x e x ，当),(0x x π−∈时，0)(>x g ，即0)(>′x f ，)(x f 为增函数； 当2,(0π−∈x x 时，0)(<x g ，即0)(<′x f ，)(x f 为减函数， 又当)0,2(π−∈x 时，0cos 2)1()(2<−−=′x x x e x f x ， 所以)(x f 在)0,2(π−上为减函数，从而()f x 在)0,(0x x ∈上恒为减函数； 因此()f x 有惟一的极大值点0x .……9分由()f x 在0(,2x π−上单调递减，故0()()2f x f π>− 22e 1(2sin()2022e 22f ππππππ−−=−−=−+>− 故0()0f x > 又0000e ()2sin x f x x x =−，当0(,)2x ππ∈−−时，00e 10x x −<<，002sin 2x <−< 故0()2f x <所以00()2f x <<.……12分22．（1）由⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x ，消去参数θ可得1162522=+y x ……2分 将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入03cos 42=+−θρρ得03422=+−+x y x ．……5分 （2）2C 的圆心为)0,2(M ，则20cos 20cos9)0sin 4()2cos 5(2222+−=−+−=θθθθMP ，……7分 由1cos 1≤≤−θ知，当1cos =θ时，9920209min 2=−+−=MP， 故3min =MP ，……9分 从而2min =PQ ．……10分23．（1）在4=a 时，8342≥−+−x x ， 当3≥x 时，8342≥−+−x x ，解之得5≥x ；当32≤<x 时，8342≥−+−x x ，解之得9≥x ；此时x 无解； 当2≤x 时，8324≥−+−x x ，解之得31−≤x ； 综上[)+∞⎥⎦⎤⎜⎝⎛−∞−∈,531,U x ……5分 （2）①当2≥a 时有21a a ≥−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤−+−−<<−−≥+−=2,12312,11,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，12)2()(min −==a a f x f ，则只需2122a a ≥−，而2≥a ，则φ∈a ； …… 7分②当2<a 时有21a a <−，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−≤−+−<<−−≥+−=1,12321,12,123)(a x a x a x a x a x a x x f 在2a x =时，2112)2()(min a a a f x f −=−==，则只需2212a a ≥−， 即022≤−+a a ，所以12≤≤−a ，而2<a ，故所求a 范围为：12≤≤−a ． 综合以上可知：12≤≤−a ．……10分。

武汉市2020届高中毕业生学习质量检测理科数学武汉市教育科学研究院命制本试卷共5页，23题(含选考题)，全卷满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，请用黑色签字笔填写在答题卡上对应的表格中． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．4．选考题的作答：先把所选题目的题号用黑色签字笔填写在答题卡上指定的位置，答案写在答题卡上对应的答题区域内．5．请学生自行打印答题卡．不能打印的，可在A4白纸上答题，选择题请标明题号，写清答案；非选择题请标明题号，自行画定答题区域，并在相应区域内答题，需要制图的请自行制图．6．答题完毕，请将答案用手机拍照并上传给学校，原则上一张A4拍成一张照片，要注意照片的清晰，不要多拍、漏拍．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z ＝(1+2i )(1+ai )(a ∈R )，若z ∈R ，则实数a ＝( ) A.12B. 12-C. 2D. ﹣2【答案】D 【解析】 【分析】化简z ＝(1+2i )(1+ai )=()()122a a i -++，再根据z ∈R 求解. 【详解】因为z ＝(1+2i )(1+ai )=()()122a a i -++， 又因为z ∈R ， 所以20a +=， 解得a ＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2.已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，N ＝{x |x (x +3)≤0}，则M ∩N ＝( ) A. [﹣3，2) B. (﹣3，2)C. (﹣1，0]D. (﹣1，0)【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x |x (x +3)≤0}={x |-3≤x ≤0}，再根据M ＝{x |﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x |x (x +3)≤0}={x |-3≤x ≤0}， 又因为M ＝{x |﹣1＜x ＜2}， 所以M ∩N ＝{x |﹣1＜x ≤0}. 故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为( ) A.16B.518C.19D.512【答案】A 【解析】 【分析】直接计算概率得到答案.【详解】共有66=36⨯种情况，满足条件的有()()()()()()1,11,21,32,1,2,2,3,1，，，6种情况， 故61366p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力. 4.在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=( ) A. 2 B. 4 C.12D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到4511115a a a q a -=-=，342116a a a q a q -=-=，解得答案.【详解】4511115a a a q a-=-=，342116a a a q a q-=-=，解得11 2a q =⎧⎨=⎩或11612aq=-⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去).故2314a a q==.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为()A. 53B.85C.138D.2113【答案】C【解析】【分析】根据循环结构依次进行，直至不符合4 i≤，终止循环，输出s.【详解】第一次循环，2,1s i==，第二次循环，3,22s i==，第三次循环，5,33s i==，第四次循环，8,45s i==，第四次循环，13,58s i==，此时不满足4i≤，输出138s=. 故选：C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.6.已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最大值是( ) A.2B. 1C.3D. 2【答案】D 【解析】 【分析】如图所示建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则(1)cos PA PB PC θ⋅+=-u u u r u u u r u u u r，计算得到答案.【详解】如图所示建立直角坐标系，则()1,0A ，13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ，13,22C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设()cos ,sin P θθ，则(1cos ,sin )(12cos ,2si (n ))PA PB PC θθθθ=--⋅--⋅+-u u u r u u u r u u u r222(1cos )(12cos )2sin 2cos cos 12sin 1cos 2θθθθθθθ=---+=--+=-≤.当θπ=-，即()1,0P -时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 7.已知函数f (x )＝sin 2x +sin 2(x 3π+)，则f (x )的最小值为( ) A.12B.14C.34D.22【答案】A 【解析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值.【详解】已知函数f (x )＝sin 2x +sin 2(x 3π+)， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f (x )的最小值为12. 故选：A【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8.已知数列{a n }满足a 1=1，(a n +a n+1-1)2=4a n a n +1，且a n +1>a n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n =( ) A. 2n B. n 2 C. n +2 D. 3n -2【答案】B 【解析】 【分析】1=，故为首项是1，公差为1的等差数列，得到答案.【详解】()21114n n n n a a a a +++-=，故11n n a a ++-=，即21-=，1=，11a =，故为首项是1，公差为1的等差数列.n =，2n a n =.故选：B .1=是解题的关键. 9.已知a =0.80.4，b =0. 40. 8，c = log 84，则( ) A. a<b<c B. a<c<bC. c<a<bD. b<c<a【答案】D 【解析】计算得到555b c a <<，得到答案.【详解】5254582320.80.64,0.40.0256,log 4,0.13173243a b c c =======≈，故555b c a <<. 即b c a <<. 故选：D .【点睛】本题考查了数值的大小比较，计算其五次方是解题的关键.10.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为( ) A.25B.35C.15D.215【答案】A 【解析】 【分析】计算所有情况共有150种，满足条件的共有60种，得到答案.【详解】所有情况共有2133535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种. 满足条件的共有22253260C C A =种，故6021505p ==. 故选：A .【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若P A ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =( )A.12B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫-⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-， 2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故2e =.故选：C .【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12.已知关于x 的不等式3xe x-x - alnx ≥1对于任意x ∈(l ，+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (-∞，1-e]B. (-∞，-3]C. (-∞，-2]D. (-∞，2- e 2]【答案】B 【解析】 【分析】化简得到3ln 1ln x x e x a x---≤，根据1x e x ≥+化简得到答案.【详解】根据题意：33ln 3ln 31111ln ln ln ln xx x x x x e x x e x e e x e x x a x x x x-----------≤===. 设()1xf x e x =--，则()'1xf x e =-，则函数在(),0-∞上单调递减，在[)0,+∞上单调递增，故()()min 00f x f ==，故1x e x ≥+.根据1xe x ≥+，3ln 13ln 113ln ln x x e x x x x x x----+--≥=-，故3a ≤-.故选：B .【点睛】本题考查了根据不等式恒成立求参数，利用不等式1x e x ≥+化简是解题的关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知以x ±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.【答案】221123y x -=【解析】 【分析】设双曲线方程为224x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：224x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.故双曲线方程为：221123y x -=.故答案为：221123y x -=.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为224x y λ-=是解题的关键. 14.若函数f (x )cosx a sinx +=在(0，2π)上单调递减，则实数a 的取值范围为___．【答案】a ≥﹣1． 【解析】 【分析】 将函数f (x )cosx a sinx +=在(0，2π)上单调递减，转化()21cos 0sin a xf x x --'=≤在(0，2π)上恒成立 即1cos a x ≥-在(0，2π)上恒成立 再求1cos x -最大值即可.【详解】因为函数f (x )cosx asinx +=在(0，2π)上单调递减，所以()21cos 0sin a xf x x --'=≤在(0，2π)上恒成立 ，即1cos a x ≥-在(0，2π)上恒成立 ，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()cos 0,1x ∈， 所以1(,1]cos x-∈-∞-， 所以1a ≥-.故答案为：1a ≥-【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 15.根据气象部门预报，在距离某个码头A 南偏东45°方向的600km 处的热带风暴中心B 正以30km /h 的速度向正北方向移动，距离风暴中心450km 以内的地区都将受到影响，从现在起经过___小时后该码头A 将受到热带风暴的影响(精确到0.01)． 【答案】9.14h. 【解析】 【分析】先建立坐标系，设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ．若在点C 处受到热带风暴的影响，则A C ＝450，则有22AD DC +=450，即22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450；两边平方并化简、整理求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系：设风暴中心最初在B 处，经th 后到达C 处．自B 向x 轴作垂线，垂足为D ． 若在点C 处受到热带风暴的影响，则OC ＝450， 22AD DC +=450，22(60045)(6004530)cos sin t ︒+︒-=450； 两边平方并化简、整理得t 2﹣2t +175＝0 ∴t 1025=或25，1024159.≈所以9.14时后码头将受到热带风暴的影响．【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥S- ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，SA 3SB 3表面积为21π，则二面角S-AB-C 的余弦值为____． 【答案】12- 【解析】 【分析】证明CD AB ⊥，2O D AB ⊥，得到2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角，计算故13ODO π∠=，23ODO π∠=，得到1223O DO π∠=，得到答案. 【详解】球的表面积为2421R ππ=，故2R =，222SA SB AB +=，故2SAB π∠=.SAB ∆的外接圆圆心为SB 中点2O，2r = ABC ∆的外接圆圆心为三角形中心1O，12r ==.设球心为O ，则2OO ⊥平面SAB ，1OO ⊥平面ABC ，1CO 与AB 交于点D ， 易知D 为AB 中点，连接DO ，2DO ，易知CD AB ⊥，2O D AB ⊥， 故2CDO ∠为二面角S AB C --的平面角.故132OO ==，232OO ==，113DO CD ==212DO SA ==. 1tan ODO ∠=13ODO π∠=，2tan ODO ∠=23ODO π∠=.故1223O DO π∠=，121cos 2O DO ∠=-. 故答案为：12-.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 - 21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分．17.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =4，tan tan tan tan A B c bA B c--=+.(1)求A 的余弦值；(2)求△ABC 面积的最大值． 【答案】(1)12；(2)3【解析】 【分析】(1)根据正弦定理化简得到()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，得到答案. (2)计算16bc ≤，再利用面积公式计算得到答案. 【详解】(1)tan tan tan tan A B c bA B c --=+，则sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A B A B C B A B A B C--=+，即()()sin sin sin A B A B B -=+-，故sin 2sin cos B B A =，sin 0B ≠，故1cos 2A =. (2)2222cos a b c bc A =+-，故22162b c bc bc bc +-=≥-，故16bc ≤. 当4b c ==时等号成立.1cos 2A =，故3sin A =，1sin 432S bc A =≤ABC 面积的最大值为43【点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.18.如图，在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q ，L 分别为棱A 1D 1，C 1D 1，BC 的中点．(1)求证：AC ⊥QL ；(2)求点A 到平面PQL 的距离． 【答案】(1)证明见解析；(23 【解析】 【分析】(1)作QM CD ⊥于M ，证明AC ⊥平面QML 得到答案.(2)取AB 中点N ，连接,PN LN ，利用等体积法P ANL A PNL V V --=计算得到答案.【详解】(1)如图所示：作QM CD ⊥于M ，易知M 为CD 中点，L 为BC 中点，故AC ML ⊥.QM CD ⊥，故QM ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，故QM AC ⊥. QM ML M =I ，故AC ⊥平面QML ，QL ⊂平面QML ，故AC QL ⊥.(2)取AB 中点N ，连接,PN LN ，易知//PQ LN ，AC QL ⊥，故PQLN 为矩形. 故A 到平面PQL 的距离等于A 到平面PNL 的距离.故31113322224P ANLa a a V Sh a -==⨯⋅⋅⋅=. 22211232222PNLa S NL NP a a ∆=⋅=⋅+=， P ANLA PNL V V --=，即32133424a a d ⋅⋅=，故36d a =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.已知抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 是抛物线Γ上一点，且在第一象限，满足FP =u u u r(2，3) (1)求抛物线Γ的方程；(2)已知经过点A (3，﹣2)的直线交抛物线Γ于M ，N 两点，经过定点B (3，﹣6)和M 的直线与抛物线Γ交于另一点L ，问直线NL 是否恒过定点，如果过定点，求出该定点，否则说明理由． 【答案】(1)y 2＝4x ；；(2)直线NL 恒过定点(﹣3，0)，理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据抛物线的方程，求得焦点F (2p，0)，利用FP =u u u r (2，3，表示点P 的坐标，再代入抛物线方程求解.(2)设M (x 0，y 0)，N (x 1，y 1)，L (x 2，y 2)，表示出MN 的方程y 01014x y y y y +=+和ML 的方程y 02024x y y y y +=+，因为A (3，﹣2)，B (3，﹣6)在这两条直线上，分别代入两直线的方程可得y 1y 2＝12，然后表示直线NL 的方程为：y ﹣y 1124y y =+(x 214y -)，代入化简求解.【详解】(1)由抛物线的方程可得焦点F (2p，0)，满足FP =u u u r (2，3)的P 的坐标为(22p +，3，P 在抛物线上， 所以(32＝2p (22p+)，即p 2+4p ﹣12＝0，p ＞0，解得p ＝2，所以抛物线的方程为：y 2＝4x ； (2)设M (x 0，y 0)，N (x 1，y 1)，L (x 2，y 2)，则y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，直线MN的斜率k MN10102210101044y y y yy yx x y y--===--+，则直线MN的方程为：y﹣y0104y y=+(x24y-)，即y01014x y yy y+=+①，同理可得直线ML的方程整理可得y02024x y yy y+=+②，将A(3，﹣2)，B(3，﹣6)分别代入①，②的方程可得01010202122126y yy yy yy y+⎧-=⎪+⎪⎨+⎪-=⎪+⎩，消y0可得y1y2＝12，易知直线k NL124y y=+，则直线NL的方程为：y﹣y1124y y=+(x214y-)，即y124y y=+x1212y yy y++，故y124y y=+x1212y y++，所以y124y y=+(x+3)，因此直线NL恒过定点(﹣3，0)．【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，直线过定点问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.有人收集了某10年中某城市居民年收入(即该城市所有居民在一年内收入的总和)与某种商品的销售额的相关数据：且已知101iix=∑= 380.0(1)求第10年的年收入x10；(2)收入x 与该种商品的销售额y 之间满足线性回归方程$y 363254x =+ˆa . (i )10年的销售额y 10；(ii )居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到0.01)附加：(1)回归方程ˆˆˆybx a =+中，11221ˆni i nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-. (2)1022110254.0ii xx =-=∑，9112875.0i i i x y ==∑，921340.0i i y ==∑【答案】(1)46；(2)1051y =，$41.96y = 【解析】 【分析】 (1)直接根据101380ii x==∑计算得到答案.(2)利用公式计算1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑得到1051y =，得到中心点()38,39.1，代入计算得到答案. 【详解】(1)10101323133363738394345380ii xx ==+++++++++=∑，故1046x =.(2)1011022110363ˆ25410i ii ii x y x ybxx ==-⋅==-∑∑，即10103401287546103836310254254y y ++-⋅⋅=， 解得1051y =，故38x =，2530343739+41+42+44+485139.110y +++++==.将点()38,39.1代入回归方程$$363254y x a =+得到：$15.21a ≈-. 故$36315.21254y x =-，当40x =时，$41.96y =.【点睛】.本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.(1)证明函数2sin 2cos x y e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增；(2)证明函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】(1)求出函数导数，根据导数正负性判断单调性即可证明.(2)根据(1)已有信息，对函数进行二次求导，判断单调性及函数的零点，综合分析，再利用定义域计算函数值的取值范围，即可得证. 【详解】(1)对函数求导，得，'2cos 2cos 2sin 4cos 2sin ,x xy e x x x x e x x x =--+=-+因为任意的x ∈R ,有0x e >，且在区间(,)2ππ--上，1sin 0,1cos 0,x x -<<-<<所以(,),2sin 0,4cos 0,2x x x x ππ-->->∀∈即'4cos 2sin 0xy e x x x =-+>，即函数2sin 2cos xy e x x x =--在区间(,)2ππ--上单调递增.(2)对函数求导，得()()2212cos 'x x e x x f x x --=， 令()()212cos xg x ex x x =--，则()()'2sin 4cos x g x x e x x x =+-当,2x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，由(1)知，4cos 2sin 0xe x x x -+>，则()'0g x < 故()g x 在,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减 而()()2210,12022g e g e πππππππ--⎛⎫⎛⎫-=--<-=-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点存在定理知：存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00g x =，即()()02000012cos x g x ex x x =--当()0,x x π∈-时，()00g x >，即()'0f x >，()f x 为增函数； 当0,2x x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()00g x <，即()'0f x <，()f x 为减函数. 又当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()2212cos '0xx e x x f x x --=<所以()f x 在()0,0x 上恒为减函数， 因此()f x 有唯一的极大值点0x由()f x 在0,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()20212sin 202222e f x f e ππππππ-⎛⎫⎛⎫>-=--=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 即()00f x >又()00002sin ,x e f x x x =-当0,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时， 00010,02sin 2x e x x -<<<-<故()02f x <综上，函数()2sin xe f x x x=-在(-π，0)上有且仅有一个极大值点0,x 且00() 2.f x <<【点睛】导数题是高考中的重难点，通常涉及根据导数分析函数单调性、极值点等，此类证明题多涉及二次求导步骤，根据定义域分析函数值范围等.(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为54x cos y sin αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点P 在曲线C 1上，点Q 曲线C 2上，求|PQ |的最小值．【答案】(1)2212516x y +=，(x ﹣2)2+y 2＝1；(2)2. 【解析】 【分析】(1)由C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数)，消去参数即可转换为直角坐标方程，根据曲线C 2：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．利用cos ,sin x y ρθρθ==转换为直角坐标方程.(2)设点P (5cosθ，4sinθ)，根据点Q 在圆上，先求点P 到圆心的距离，然后减去半径即为最小值. 【详解】(1)曲线C 1的参数方程为5(4x cos y sin ααα=⎧⎨=⎩为参数)，两式平方相加整理得2212516x y +=． 将cos ,sin x y ρθρθ==代入ρ2﹣4ρcosθ+3＝0． 得x 2+y 2﹣4x +3＝0， 整理得(x ﹣2)2+y 2＝1．(2)设点P (5cosθ，4sinθ)在曲线C 1上，圆心O (2，0)，所以：PO === 当cosθ＝1时，|PO |min ＝3， 所以|PQ |的最小值3﹣1＝2．【点睛】本题主要考查了参数方程，普通方程，极坐标方程间的互化及点与圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数f (x )＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． (1)当a ＝4时，求解不等式f (x )≥8；(2)已知关于x 的不等式f (x )22a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围．【答案】(1)[5，+∞)∪(∞，13-]；(2)[﹣2，1].【解析】 【分析】(1)根据a ＝4时，有f (x )＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|，然后利用绝对值的几何意义，去绝对值求解.(2)根据绝对值的零点有a ﹣1和12a ，分a ﹣112a =，a ﹣112a ＞和a ﹣112a ＜时三种情况分类讨论求解. 【详解】(1)当a ＝4时，f (x )＝|2x ﹣4|+|x ﹣3|， (i )当x ≥3时，原不等式可化为3x ﹣7≥8，解可得x ≥5， 此时不等式的解集[5，+∞)；(ii )当2＜x ＜3时，原不等式可化为2x ﹣4+3﹣x ≥8，解可得x ≥9 此时不等式的解集∅；(iii )当x ≤2时，原不等式可化为﹣3x +7≥8，解可得x 13≤-， 此时不等式的解集(∞，13-]，综上可得，不等式的解集[5，+∞)∪(∞，13-]，(2)(i )当a ﹣112a =即a ＝2时，f (x )＝3|x ﹣1|22a ≥=2显然不恒成立， (ii )当a ﹣112a ＞即a ＞2时，()1321211123211x a x a f x x a x a x a x a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=--⎨⎪-+≥-⎪⎪⎩，，＜＜，， 结合函数的单调性可知，当x 12a =时，函数取得最小值f (12a )112a =-， 若f (x )22a ≥在R 上恒成立，则211122a a -≥，此时a 不存在，(iii )当a ﹣112a ＜即a ＜2时，f (x )3211111213212x a x a x a x a x a x a ⎧⎪-+-≤-⎪⎪=-+-⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，，＜＜，若f (x )22a ≥在R 上恒成立，则121122a a -≥，解得﹣2≤a≤1，此时a的范围[﹣2，1]，综上可得，a的范围围[﹣2，1]．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及含有绝对值的不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。

2020届湖北省十二校联考高三第二次调研考试理科数学试题★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan165=( )A ．2-B ．2-C ．2D ．2+2．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5．已知R 上的单调函数log ,3()7,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩满足(2)1f =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3B ．(0,1)C ．3D ． 6．电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则当0.01t =秒时，电流强度是( )A ．5-安B ．5安C ．D ．10安7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是( ) （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-8．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )A ．32ln 24- B ．12ln 24+ C ． 52ln 24- D ．12ln 24-+9．sin 70cos 430-= ( )A ．8B ．8-C ．-D ．10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( ) A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1-=y 对称的点在1)(-=kx x g 的图像上，则k 的取值范围是( )A ．)43,31( B ．)43,21( C ．)1,31( D ．)1,21(12．若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin2α= ．14．已知t a n ()7c o s ()2ππαα-=+，11cos()14αβ+=-，,(0,)2παβ∈，则β= ___ _．15．已知函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18． (本小题12分）已知函数44()2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，若点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法”作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．19．(本小题12分）自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定,k b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 20．(本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ．(1)若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．(本小题12分）已知函数R a ax ax e x x f x∈+++=,221)1()(2. (1)讨论)(x f 极值点的个数；(2)若)2(00-≠x x 是)(x f 的一个极值点，且-2e >)2(-f ，证明: 1<)(0x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m⎧=⎨=⎩，（m 为参数）． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+．23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-．（1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．理科数学试题（参考答案）B C B B C A B A C D D A 13． 35- 14．3π15． (1,0)- 16． 3； [1,4] 17．【解析】若p 真，因为12,x x 是方程220x mx --=的两个实根，所以12x x m +=,122x x ⋅=-所以12x x -==，所以当[1,m ∈-时，12max 3x x -=， ……3分所以由不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，所以6a ≥或1a ≤- ……5分若q 真，则2210ax x ++=的解集为空集，2240a ∆=-<， ………………………7分解得：1a > ………………………8分因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假． ……………………9分若p真q假，则有6a ≥或1a ≤-且1a ≤， 得1a ≤- ……………………10分若p假q真，则有16a -<<且1a >， 得16a << …………………11分综上知，实数a的取值范围是(,1-∞-． ……………………12分18．【解析】(1) 2222()2(cos sin )(cos sin )1f x x x x x x ωωωωω=+-++2cos 212sin(2)16x x x πωωω=++=++ ………………………1分因为点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心， 所以36k ωπππ-+=，k Z∈，所以132k ω=-+，k Z ∈ .………………………2分因为01ω<<，所以10,2k ω==， 所以()6f x π=+.………………………4分 最小正周期2T π= ………………………5分(2)由(1)知，()2sin()16f x x π=++，向左平移6π个单位得2sin()13y x π=++，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变1()2sin()123g x x π=++ ………………………7分当[,3]x ππ∈-时，列表如下： ………………………10分则函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象如图所示： ………………………12分19．【解析】（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k ==………………………6分(2)当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=，所以2(1)(5)tx x --=- ，故211125(5)10x t x x x=+=+-+- ………………………9分 而25()f x x x=+在(0,4]上单调递减，所以当4x =时，()f x 有最小值414此时，112510t x x =++-取得最大值5， ………………………11分 故，当4x =时，关税税率的最大值为500%………………………12分20．【解析】(1)由题知(,0)2p F ，32p FA =+，则(3,0)D p +，FD 的中点坐标为33(,0)24p+， 则33324p +=，解得2p =，故C 的方程为24y x =．…………………………4分 (2)依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y m y x --=， …………………………5分 因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>，124y y m+=，1204y y x ⋅=-， …………………………6分设P 的坐标为(,0)P x ，则22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =--， 由题知//PE PA ，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=，即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， …………………………7分显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=， 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-，01x <， …………………………10分又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d ===t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-，易知4()2f t t t=-在上是减函数，所以2)d ∈． …………………………12分21．【解析】（1）)(x f 的定义域为R ，()(2)()xf x x e a '=++ (1)分若0a ≥，则0x e a +>，所以当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<；当(2,)x ∈-+∞时，()0f x '>，所以)(x f 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞递增所以2x =-为)(x f 唯一的极小值点，无极大值，故此时)(x f 有一个极值点．……………2分若0a <，令()(2)()0xf x x e a '=++=，则12x =-，2ln()x a =-当2a e -<-时，12x x <，则当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………3分当2a e -=-时，12x x =, ()(2)()0xf x x e a '=++≥且恒不为0，此时)(x f 在R 上单调递增，无极值点 ……………………………………………4分当20e a --<<时，12x x >，则当2(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<；当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………5分综上，当2a e -=-时，)(x f 无极值点；当0a ≥时，)(x f 有1个极值点； 当2a e -<-或20e a --<<时，)(x f 有2个极值点．…………………6分(2)证明：若00(2)x x ≠-是)(x f 的一个极值点，由（1）可知22(,)(,0)a e e --∈-∞--又22(2)2f e a e ---=-->，所以2(,)a e -∈-∞-，且02x ≠-，…………………7分则0ln()x a =-，所以201()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a =-=-+--， 令ln()(2,)t a =-∈-+∞，则t a e =-，所以21()(ln())(22)2t g t f a e t t =-=-+-故1()(4)2t g t t t e '=-+ …………………10分又因为(2,)t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =．当(2,0)t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，当(0,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，即()(0)1g t g ≤=，故(ln())1f a -≤，即0()1f x ≤ …………………12分22．【解析】（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=， …………………2分因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =． …………………5分（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得280t --=， …………………7分设点,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=128t t =-，所以1212111||||8t t MA MB t t -+====． …………………10分23．【解析】（1）()3g x …，即|1||1|3x x ++-…， 不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩……或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩…或1113x x x ⎧⎨++-⎩……， 解得32x ≤-或32x ≥， …………………4分 所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …………………5分（2）因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立， 所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-， …………………6分又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-；当222a -<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤， 解得a ≥或a ≤-，所以4a -<≤-或4a ≤<，综上，实数a 的取值范围为(,[22,)-∞-+∞．…………………10分。

2020届湖北省武汉中学高三下学期二模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1.答题前,务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写,要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚,必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草纸上答题无效.第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则A. {|0}A B x x =<B. A B R =C. {|1}A B x x =>D. A B =∅【答案】A【解析】∵集合{|31}x B x =<∴{}|0B x x =<∵集合{|1}A x x =<∴{}|0A B x x ⋂=<,{}|1A B x x ⋃=<故选A2.已知函数1()3()3x x f x =-,则()f x A. 是奇函数,且在R 上是增函数B. 是偶函数,且在R 上是增函数C. 是奇函数,且在R 上是减函数D. 是偶函数,且在R 上是减函数【答案】A 分析：讨论函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的性质,可得答案. 详解：函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为R ,且()()111333,333x x x x x x f x f x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=--=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 即函数()f x 是奇函数, 又1y 3,3xx y ⎛⎫==- ⎪⎝⎭在R 都是单调递增函数,故函数()f x 在R 上是增函数． 故选A. 3.z 是z 的共轭复数,若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ,则z =（ ）A. 1i +B. 1i --C. 1i -+D. 1i - 【答案】D 【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈,依题意有22,22a b =-=, 故1,1,1a b z i ==-=-.4.已知当[0,1]x ∈ 时,函数2(1)y mx =- 的图象与y m = 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是A. (0,1])⋃+∞B. (0,1][3,)⋃+∞C. )⋃+∞D. [3,)⋃+∞ 【答案】B【解析】当01m <≤时,11m≥ ,2(1)y mx =- 单调递减,且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-,y m =单调递增,且[,1]y m m m =+∈+ ,此时有且仅有一个交点；当1m 时,101m << ,2(1)y mx =-在。

2020年2月仿真考试理科数学答案解析一、单选题1．若集合{}1,2,3,4U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则U A B =U ð( ) A ．{}2B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3【答案】C 【解析】【分析】根据补集和并集的定义直接求出即可.【详解】{}1,4U B =ð，{}1,2,4U A B =U ð.故选：C. 2．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，由复数相等可得,a b 的值，进而求出z ，即可得解.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，即(1)ai b a b i -=++，由复数相等可得：1b a a b -=⎧⎨=+⎩，解之得：1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1122z i =-，所以1212z i =+，在复平面对应的点的坐标为11(,)22，在第一象限.故选：A.3．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，5BD =，5BC =所以阴影部分面积11555224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯⨯=.故选：C. 4．已知a ,b R ∈,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】充分性：0a b >>⇒11a b +>+，充分性成立；必要性：当2,1a b =-=-时，11a b +>+成立，但0a b <<，故必要性不成立； 所以“0a b >>”是“11a b +>+”的充分不必要条件.故选：A.5．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】A 【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n ===本题正确选项：A 6．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．26【答案】B 【解析】解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ，其中面积最大的面为： B 23P C S =V .本题选择B 选项.7．等差数列{}n a 中,1a 与4037a 是()4ln mf x x x x=--的两个极值点,则20192log a =( ) A ．1B ．2C ．0D ．12【答案】B 【详解】()222441m x x m f x x x x-+'=-+=，因为1a 与4037a 是()4ln m f x x x x =--的两个极值点,令2()4g x x x m =-+，所以1a 与4037a 是方程240x x m -+=的两个根，即140374a a +=，也即201924a =，所以20192a =，则201922log2log 22a ==.故选：B.8．()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 则3a =( ) A ．40B ．40C ．80D ．80-【答案】C 【详解】Q ()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1=x t -，则=1x t +∴()525012521t a a t t a t a +=++++L ，()521t +展开式的通项为：515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，2r =，所以23335(2)80T C t x ==，所以380a =.故选：C.9．已知i 为虚数单位,执行如图所示的程序框图,则输出的A 值为( )A ．9B ．9iC ．8-D ．8【答案】D 【详解】模拟执行程序框图，得： 当1n =时，A i =； 当2n =时，2A =-；⋅⋅⋅当8n =时，8A =，9n =，循环结束，输出结果. 故选：D.10．已知向量a r ，b r满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10C 10D ．2【答案】B 【详解】b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r r r 0b >r Q cos ,0a b ∴<><r r又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min2b ∴=r 2222223696cos ,9964a b a a b b a a b a b b b -=-⋅+=-<>+=+r r r r rr r r r r r r rmin3946410a b∴-=⨯+=r r，本题正确选项：B11．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ）A ．43y x =±B ．34y x =?C ．35y x =±D ．53y x =±【答案】A 【详解】依据题意作出图象，如下：则1122PF F F c ==，OM a =，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，所以2OM PF ⊥,所以222MF c a b =-=，由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF c a =+，所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+，整理得：2b a c =+，即：2b a c -=将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43b a =，所以C 的渐近线方程为43b y x x a =±=±，故选A 12．已知函数()f x x =,()2g x ax x =-,其中0a >,若[]11,2x ∀∈,[]21,2x ∃∈,使得()()()()1212f x f x g x g x =成立,则a =( )A ．1B ．12C ．23D ．32【答案】D 【详解】由题可得()()22121122x x ax x axx =--，则()1212120ax x ax x x x --=，故1212ax x x x =+，则12121211x x a x x x x +==+，故12111,12a M x x ⎡⎤-=∈=⎢⎥⎣⎦，1111,2a a a N x ⎡⎤-∈--=⎢⎥⎣⎦， 因为1[1,2]x ∀∈，2[1,2]x ∃∈，使得()()()()1212f x f x g x g x =成立，即N M ⊆，故112112a a ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，解得32a =，故选：D.二、填空题13．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为y=250+4x,当施化肥量为50 kg 时,预计小麦产量为_____kg.【答案】450【详解】根据回归方程为y=250+4x ，当施化肥量为50kg ，即x ＝50kg 时,y ＝250+4x ＝250+200＝450kg ，故答案为：45014．函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-互相垂直,则a =_____．【答案】1.【详解】Q 函数x y axe =的图象在0x =处的切线与直线y x =-垂直,∴函数x y axe =的图象在0x =的切线斜率1k =()x xf x ae axe '=+Q ()01f a '∴==，本题正确结果：115．已知正四棱锥的底边边长为2,侧棱长为5,现要在该四棱锥中放入一个可以任意旋转的正方体,则该正方体的体积最大值是________. 【答案】827【详解】设此正方体外接球半径为R ，体积最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S ，连SA SB SC SD SE 、、、、，则把此四棱锥分为五个棱锥，它们的高均为R ，易知四棱锥的32，高为2，∴A BCDE S BCDE S ABC S ABE S ADE S ACD V V V V V V ------=++++， 即1111223224223332R R ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯， ∴3R =， 正方体的体对角线是其外接球直径，故其体对角线为323R =，棱长为23，∴正方体体积的最大值为V=827.故答案为：82716．设()P n 表示正整数n 的个位数字,记()()()32n P nP n ψ=-,M 是(){}n ψ的前4038项的和,函数()1ln 1f x x x =++,若函数()g x 满足()2282Mx Mx f g x Mx Mx ⎡⎤---=⎢⎥+⎣⎦,则数列(){}g n 的前2020项的和为________. 【答案】20202021-【详解】n 的个位数为1时有：()()()321110P nP n ψ=-=-=，n 的个位数为2时有：()()()322844P n P n ψ=-=-=，n 的个位数为3时有：()()()323792P nP n ψ=-=-=-， n 的个位数为4时有：()()()324462P n P n ψ=-=-=-，n 的个位数为5时有：()()()325550P nP n ψ=-=-=，每5个一循环，这10个数的和为：0，40385807÷=余3，余下三个数为：()40360ψ=，()40376ψ=-，()40382ψ=-，∴数列(){}n ψ的前4038项和等于：()()()4036403740388ψψψ++=-,即有8M =-，又(1)2f =，()2282(1)Mx Mx f g x f Mx Mx ⎡⎤---==⎢⎥+⎣⎦，可得()2281Mx Mxg x Mx Mx ---=+， 则()2111()(1)11g n n n n n n n -=-=-=-+++，即有，则数列(){}g n 的前2020项和为，2020111112020(1)()()2232020202012021S ⎡⎤=--+-+⋅⋅⋅+-=-⎢⎥+⎣⎦， 则数列的前2020项和为20202021-.故答案为：20202021-.三、解答题17．已知函数()()222cos 1x R f x x x =-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的值域.【详解】(1) 函数()23sin 22cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-， 令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f (x )的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f (x )取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f (x )取得最大值为3，所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，1AC BC ==，12AA =，点D 是侧棱1AA 的上一点．（1）证明：当点D 是1AA 的中点时，1DC ⊥平面BCD ； （2）若二面角1D BC C --的余弦值为32929，求AD 的长． 【详解】（1）证明：由题意：BC AC ⊥且1BC CC ⊥，1AC CC C =IBC ∴⊥平面11ACC A ，则1BC DC ⊥D Q 是1AA 的中点 AC AD ∴=，又90CAD ∠=︒45ADC ∴∠=︒同理1145A DC ∠=︒190C DC ∴∠=︒，则1DC DC ⊥1DC ∴⊥平面BCD（2）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设AD h =，则()1,0,D h ，()0,1,0B ，()10,0,2C ，由条件易知CA ⊥平面1BC C ，故取()1,0,0m =v为平面1BC C 的法向量，设平面1DBC 的法向量为(),,n x y z =v ，则n BD ⊥u u u v v 且1n BC ⊥u u u u v v ()1,1,BD h u u u Q v =-，()10,1,2BC =-u u u u v 020x y hz y z -+=⎧∴⎨-+=⎩，取1z =，得()2,2,1n h =-v由329cos ,m n m n m n ⋅==⋅v vv v v v 12h =，即12AD =19．已知点()0,2P ,点A ,B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,直线BA 交C 于点Q ,ABP△是等腰直角三角形,且35PQ PB =u u u v u u u v.(1)求C 的方程;(2)设过点P 的动直线l 与C 相交于M ,N 两点,O 为坐标原点.当MON ∠为直角时,求直线l 的斜率.【详解】（1）由题意ABP ∆是等腰直角三角形，则()2,2,0a B =，设点00()Q x y ，,由35PQ PB =u u u v u u u v，则065x =，045y =，代入椭圆方程解得21b =，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，令l 的方程为2y kx =+，则()11,M x y ，()22,N x y ，则22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()21416120k x kx +++=，∴()()221648140k k ∆=-⨯+>，解得234k >， ∴1221614k x x k +=-+，1221214x x k=+，当MON ∠为直角时，1OM ON k k ⋅=-，∴12120x x y y +=， 则()()()()212121212121222124x x y y x x kx kx kx xk x x +=+++=++++()222112162401414k k k k k =⎛⎫ ⋅⎪⎝⎭++-+=++，解得24k =，即2k =±，故存在直线l 的斜率为2±，使得MON ∠为直角.20．某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名．其评估成绩Z 近似的服从正态分布2N μσ（，）．现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了如下频率分布直方图：（1）求样本平均数x 和样本方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若学校规定评估成绩超过82.7分的毕业生可参加A 、B 、C 三家公司的面试．用样本平均数x 作为的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ．请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；16112.7≈若随机变量2Z N μσ～（，），则0.6826PZ μσμσ-+=（＜＜），220.9544P Z μσμσ-+=（＜＜）．【详解】（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：样本平均数x ＝45×0.05＋55×0.18＋65×0.28＋75×0.26＋85×0.17＋95×0.06＝70； 样本方差s 2＝（45－70）2×0.05＋（55－70）2×0.18＋（65－70）2×0.28＋（75－70）2×0.26＋（85－70）2×0.17＋（95－70）2×0.06＝161； （2）由（1）可知，ˆ70μ=，2ˆ161σ=，故评估成绩Z 服从正态分布N （70，161）， 所以()()10.682682.70.15872ˆˆP Z P Z μσ->=>+==． 在这2000名毕业生中，能参加三家公司面试的估计有2000×0.1587≈317人． 21．已知函数2()(1)2x f x x e kx =--+ (1)若0k =,求()f x 的极值;(2)若[)0,x ∀∈+∞,都有()1f x ≥成立,求k 的取值范围.【详解】（1）0k =时，()12()x f x x e =-+，()x f x xe '=，令()0f x xex '==，解得0x =， ∴0x =时，函数()f x 取得极小值，(0)1f =；无极大值；（2）()()22x x f x xe kx x e k '=-=-，①当0k ≤时，20x e k ->，所以，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，则()f x 在区间(,0)-∞上是减函数，在区间(0,)+∞上是增函数，所以()f x 在区间[)0,+∞上的最小值为(0)f ，且(0)1f =，符合题意；②当0k >时，令()0f x '=，得0x =或ln 2x k =， 所以，当102k <≤时，ln 20k ≤，在区间(0,)+∞上()0f x '>，()f x 为增函数， 所以()f x 在区间[)0,+∞上的的最小值为(0)f ，且(0)1f =，符合题意； 当12k >时，ln 20k >， 当(0,ln 2)x k ∈时，()0f x '<，()f x 在区间(0,ln 2)k 上是减函数，所以(ln 2)(0)1f k f <=，不满足对任意的[)0,x ∈+∞，()1f x ≥恒成立，综上，k 的取值范围是1(,]2-∞．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M 的极坐标为34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为sin 04ρθπ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． （1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若N 是曲线C 上的动点，P 为线段MN 的中点，求点P 到直线l 的距离的最大值．【详解】（1）因为直线l 的极坐标方程为πsin 04ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得直线l 的直角坐标方程为x －y －4＝0．将曲线C 的参数方程x y sin αα⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数a ，得曲线C 的普通方程为2213x y +=． （2）设Nα，sinα），α∈[0，2π）．点M的极坐标（，3π4），化为直角坐标为（－2，2）．则11,sin 12P αα⎫-+⎪⎪⎝⎭．所以点P 到直线l的距离2d ==≤， 所以当5π6α=时，点M 到直线l的距离的最大值为2． 23．已知函数()2f x ax =-,不等式()4f x ≤的解集为{}26x x -≤≤.(1)求实数a 的值;(2)设()()()3g x f x f x =++,若存在x ∈R ,使()2g x tx -≤成立,求实数t 的取值范围.【详解】(1)由24ax -≤得424ax -≤-≤，即26ax -≤≤， 当0a >时，26x a a -≤≤，所以2266a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a =； 当0a <时， 62x a a ≤≤-，所以2662a a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，无解，所以实数a 的值为1； （2）由已知()()()312g x f x f x x x =++=++-=21,13,1221,2x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，不等式()2g x tx -≤，即()2g x tx ≤+，由题意知()y g x =的图象有一部分在直线2y tx =+的下方，作出对应图象：由图可知，当0t <时，EM t k ≤，当0t >时，FM t k ≥，又因为1EM k =；12FM k =，所以1t ≤-，或12t ≥.。

绝密★启用前2020届湖北省武汉市高三下学期二月调考仿真模拟数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．若集合{}1,2,3,4U =,集合{}1,2A =,{}2,3B =,则U A B =U ð( ) A ．{}2 B ．{}1,3C ．{}1,2,4D ．{}1,2,3答案：C根据补集和并集的定义直接求出即可. 解：{}1,4U B =ð，{}1,2,4U A B =U ð. 故选：C. 点评：本题考查补集和并集的求法，属于基础题.2．已知复数z 满足i i z z ⋅=+,则z 在复平面上对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，由复数相等可得,a b 的值，进而求出z ，即可得解. 解：设(,)z a bi a b R =+∈，由i i z z ⋅=+得：()(1)a bi i a b i +=++，即(1)ai b a b i -=++，由复数相等可得：1b a a b -=⎧⎨=+⎩，解之得：1212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1122z i =-，所以1212z i =+，在复平面对应的点的坐标为11(,)22，在第一象限. 故选：A.点评：本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.3．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45答案：C画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 解：不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =以阴影部分面积115552224BCD S BD BC ∆=⋅=⨯=. 故选：C. 点评：本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.4．已知a ,b R ∈,则“0a b >>”是“11a b +>+”的什么条件( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分别从充分性和必要性入手进行分析即可. 解：充分性：0a b >>⇒11a b +>+，充分性成立；必要性：当2,1a b =-=-时，11a b +>+成立，但0a b <<，故必要性不成立； 所以“0a b >>”是“11a b +>+”的充分不必要条件. 故选：A. 点评：本题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力，属于常考题.5．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12答案：A每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率. 解：派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A ==甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A 点评：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 6．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．26答案：B解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ， 其中面积最大的面为：1232232PAC S V =⨯⨯= . 本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法． 7．等差数列{}n a 中,1a 与4037a 是()4ln mf x x x x=--的两个极值点,则20192log a =( )A ．1B ．2C ．0D ．12答案：B先求导()222441m x x m f x x x x-+'=-+=，再令2()4g x x x m =-+，所以1a 与4037a 是方程240x x m -+=的两个根，可得20191403724a a a =+=，再代入式子进行计算即可. 解：()222441m x x mf x x x x-+'=-+=， 因为1a 与4037a 是()4ln mf x x x x=--的两个极值点, 令2()4g x x x m =-+，所以1a 与4037a 是方程240x x m -+=的两个根， 即140374a a +=，也即201924a =，所以20192a =，则201922log 22a ==.故选：B. 点评：本题考查等差数列的性质与导数的综合，考查逻辑思维能力和计算能力，属于中档题. 8．()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 则3a =( ) A ．40 B ．40 C ．80D ．80-答案：C将()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L 化为()525012521t a a t t a t a +=++++L ，利用展开式的通项求解即可.解：Q ()()()()525012521111x a a x a x a x -=+-+-++-L ，令1=x t -，则=1x t +∴()525012521t a a t t a t a +=++++L ，()521t +展开式的通项为：515(2)1r r r r T C t -+=，令53r -=，2r =，所以23335(2)80T C t x ==，所以380a =.故选：C. 点评：本题考查二项式定理的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.9．已知i 为虚数单位,执行如图所示的程序框图,则输出的A 值为( )A ．9B ．9iC ．8-D ．8答案：D按照所给算法，模拟执行程序框图计算即可. 解：模拟执行程序框图，得： 当1n =时，A i =； 当2n =时，2A =-；⋅⋅⋅当8n =时，8A =，9n =，循环结束，输出结果. 故选：D. 点评：本题考查程序框图的计算问题，属于基础题.10．已知向量a r ，b r满足4a =r ，b r 在a r 上投影为2-，则3a b -r r 的最小值为( )A ．12B ．10C 10D ．2答案：B根据b r 在a r 上投影为2-，以及[)cos ,1,0a b <>∈-rr ，可得min 2b =r ；再对所求模长进行平方运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入minb r 即可求得min3a b -r r.解：b r 在a r 上投影为2-，即cos ,2b a b <>=-r rr0b >r Q cos ,0a b∴<><r r又[)cos ,1,0a b <>∈-rr min2b ∴=r。

2020届湖北省武汉市高三起点调研考试数学（理）试题一、选择题 1．设集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】本题选择C 选项. 2．设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限. 本题选择D 选项.3．已知等比数列{}n a 中， 23a ， 32a ， 4a 成等比数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于（ ）A. 139B. 3或139C. 3D. 79【答案】B【解析】因为23a ， 32a ， 4a 成等比数列， 3224311134,34a a a a q a q a q +=∴+=，整理可得，2430,q q -+=， 1q ∴=或3q =，当1q =时，则33333S a a a ==，当3q =时，则3131131399S a a a ==，故选B.4．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程210ax bx ++=有实数解的概率是（ ）A. 736B. 12C. 1936D. 518【答案】C【解析】若方程210ax bx ++=有实根，则必有240b a ∆=-≥，若1a =，则2,3,4,5,6b =；若2a =，则3,4,5,6b =；若3a =，则4,5,6b =；若4a =，则4,5,6b =若5a =，则5,6b =；若6a =，则5,6b =， ∴事件“方程210ax bx ++=有实根”包含基本事件共54332219+++++=， ∴事件的概率为1936，故选C. 5．函数()()2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（ ） A. (),2-∞- B. (),1-∞- C. ()2,+∞ D. ()5,+∞ 【答案】D【解析】由函数()()2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >，根据题意，设245u x x =--，则()229u x =--，图象开口向上，因函数()()2log 45a f x x x =--为单调增函数，由1a >得： ()log a f x u =也是增函数，又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D.6．一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（ ）A. 28B.C.D.【答案】D 【解析】如图所示，三视图所对应的几何体是长宽高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱：ABIE-DCJH ，该几何体的表面积为：.本题选择D 选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．7．已知,x y R ∈，且0x y >>，若1a b >>，则一定有（ ） A.a bx y> B. sin sin ax by > C. log log a b x y > D. x y a b > 【答案】D【解析】对于A ，当3,2,3,2a b x y ====时不成立，排除A ；对于B ， 30,20,,24a b x y ππ====时，不成立，排除B ；对于C ， 3,2,3,2a b x y ====时不成立，排除C ，故选D.8．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克， B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗,A B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为（ ）A. 1800元B. 2100元C. 2400元D. 2700元 【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为x 桶， y 桶，利润为z 元，则根据题意可得2212{212 ,0,,x y x y x y x y N+≤+≤≥∈ ， 300400z x y =+作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线:3004000L x y +=，然后把直线向可行域平移，可得0,6x y ==，此时z 最大2400z =，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(),P x y到直线y =和直线y =的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A. ()2,0 B. ()3,0 C. ()0,2 D. ()0,3 【答案】A【解析】直线y =与y =夹角为60，且2230x y ->， PA ∴与PB 夹角为120，2234x y PA PB -==，)221312032PAB S PA PB sin x y ∆==-=，即P 点轨迹方程为22113x y -=，半焦距为2c =， ∴焦点坐标为()2,0，故选A. 10．执行下面的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x 、y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x = 【答案】C【解析】试题分析：运行程序，0,1x y ==，判断否，12,,22n x y ===，判断否，33,,62n x y ===，判断是，输出3,62x y ==，满足4y x =.【考点】程序框图.11．已知,A B 分别为椭圆22219x y b+=（03b <<）的左、右顶点， ,P Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，若点A到直线y =的距离为1，则该椭圆的离心率为（ ） A.1213【答案】B【解析】设()00,P x y ，则()00,Q x y -， 0000,33y y m n x x -==-+， 20209y mn x =--，又()222009,99b b y x mn ∴=--∴=，点A到y =的距离为1d ===，解得263,834c b c e ====，故选B. 【 方法点睛】本题主要考查双曲线的方程以及几何性质、离心率的求法，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．12．设点M 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，点P 在面11BCC B 所在的平面内，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则点P 到点1C 的最短距离是（ ）A.5B. 2C. 1D. 3【答案】A【解析】设P 在平面ABCD 上的射影为',P M 在平面11BB C C 上的射影为'M ，平面1D PM 与平面ABCD 和平面11BCC B 成的锐二面角分别为,B α，则111''cos ,cos PM C DP MD PM D PMS S B S S α∆∆∆∆==， 1''cos cos ,DP M PM C B S S α∆∆=∴=，设P 到1'C M 距离为d，则1112,22d d =⨯⨯=点P 在与直线1'C MP ∴到1C的最短距离为d =，故选A.【方法点晴】本题主要考查的是正方体的性质、二面角的求法、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于难题．解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误，求二面角的常见方法有：1、利用定义找到二面角的平面角，根据平面几何知识求解；2、利用公式'cos S Sθ= ，求出二面角的余弦，从而求得二面角的大小；3、利用空间相夹角余弦公式．二、填空题13．设向量(),1a m =， ()1,b m =，且3a b a b +=-，则实数m =__________． 【答案】2【解析】()()()(),1,1,,1,1,1,1a m b m a b m m a b m m ==∴+=++-=--，由3a b a b +=-，得()()22223,2161a b a b m m +=-∴+=-，解得2m =±，故答案为23.14．123312x x ⎛⎫- ⎪展开式中2x 的系数为__________．（用数学填写答案）【答案】552-【解析】12的二项展开式的通项公式为122311212rrr r T C x -+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令12223r -=，求得3r =，故展开式中2x 的系数为31215582C -⨯=-，故答案为552-.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15．设等差数列{}n a 满足3736a a +=， 46275a a =，且1n n a a +有最小值，则这个最小值为__________．【答案】-12【解析】因为数列{}n a 是等差数列，且3736a a +=，所以4636a a +=， 4646275,,a a a a =∴是一元二次方程2362750t t -+=的二根，由2362750t t -+=得()()25110t t --=， 125t ∴=或211t =，当4625,11a a ==时， 6411257642a a d --===--， ()44753n a a n d n ∴=+-=-+，当10,0n n a a +><时， 1n n a a +取得最小值，由()7530{71530n n -+>-++<解得465377n <<， 7n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()781min 4,3,12n n a a a a +==-=-，当4611,25a a ==时，6425117642a a d --===-， ()44717n a a n d n ∴=+-=-，当10,0n n a a +时， 1n n a a +取得最小值，由()7170{71170n n -<+->解得101777n <<， 2n ∴=时， 1n n a a +取得最小值，此时()231min 3,4,12n n a a a a +=-==-， 故答案为12-.16．已知函数()()sin f x x πωϕ=+（0a ≠， 0ω>， 2πϕ≤），直线y a =与()f x 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：①该函数在[]2,4上的值域是a ⎡⎤⎣⎦；②在[]2,4上，当且仅当3x =时函数取最大值；③该函数的最小正周期可以是83；④()f x 的图象可能过原点.其中的真命题有__________（写出所有真命题的序号） 【答案】③【解析】对于①，a 符号不确定， ∴该函数在[]2,4上的值域不一定是a ⎡⎤⎣⎦，故①错误；对于②， 3x =时函数也可能取最小值，故②错误；对于③，由32k ππωϕπ+=+，令,04k πϕ=-=，可得328,3434T πωπ===，故③正确；对于④， ()f x 过原点与()()24f f a==相矛盾，④错误，故答案为③.三、解答题 17．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，，，.（1）若，求的通项公式； （2）若，求.【答案】(1)；(2)或.【解析】试题分析：(1)由题意可得数列的公比为2，则数列的通项公式为.(2)首先由题意求得数列的公差，然后结合等差数列前n 项和公式可得或.试题解析： （1）设的公差为，的公比为，则，.由，得 ① 由，得②联立①和②解得（舍去），或，因此的通项公式.（2）∵，∴，或，∴或8.∴或.18．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，满足cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求角A 的值；（2）若b =b a ≤，求a 的取值范围. 【答案】(1) 3A π=；(2) )a ∈.【解析】试题分析：（1）根据余弦的二倍角公式以及两角和与差的余弦公式化简cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知cos2cos22cos cos 066A B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2222312sin 2sin 2cos sin 044B A B B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭化简得sin A =，又三角形ABC 为锐角三角形，故3A π=.（2）∵b a =≤，∴c a ≥，∴32C ππ≤<，63B ππ<≤由正弦定理得：sin sin a bA B=即：=32sin a B =由1sin 2B ⎛∈ ⎝⎦知)a ∈. 19．甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人6次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90 （1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）；（2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高于85分的次数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X .【答案】(1) 故选乙；(2) ()13?13E X ==， ()1223?•333D X ==.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图的定义，观察数据的平均值以及数据分散与集中程度可得结果；（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是13，成绩高于85分的次数为X 服从二项分布，从而可得分布列，利用二项分布的期望与方差公式可得结果. 试题解析：（1）由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙．（2）甲运动员每次测试高于85分的概率大约是13，成绩高于85分的次数为X 服从二项分布，()13?13E X ==， ()1223?•333D X ==20．如图1，在矩形ABCD 中， 4AB =， 2AD =， E 是CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -，其中平面1D AE ⊥平面ABCE .（1）设F 为1CD 的中点，试在AB 上找一点M ，使得//MF 平面1D AE ； （2）求直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值.【答案】（1）14AM FL AB ==；(2) 正弦值为3. 【解析】试题分析：（1）取1D E 中点L ，连接AL ，由等比例定理及平行线的性质可得//MF 平面1AD E ，则//MF AL ，∴AMFL 为平行四边形，所以14AM FL AB ==；（2）由等积变换可求出点B 到平面1CD E 的距离，又知1D B =，从而可得直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值.试题解析：（1）14AM AB =取1D E 中点L ，连接AL ，∵//FL EC ， //EC AB ，∴//FL AB 且14FL AB =，所以,,,M F L A 共面，若//MF 平面1AD E ，则//MF AL ，∴AMFL 为平行四边形，所以14AM FL AB ==（2）设点B 到1CD E 的距离为d ，由11B BCD D BCE V V --=可得1•CED d S ∆=.设AE 中点为H ，作HG 垂直直线CE 于G ，连接DG ，∵1D E ⊥平面AECB ∴1D G EC ⊥，则1DG = 1D B =，∴111••2CED S EC D G ∆==3d =，所以直线1BD 与平面1CD E 所成的角的正弦值为3. 21．已知抛物线2:2C x py =（0p >）和定点()0,1M ，设过点M 的动直线交抛物线C 于,A B 两点，抛物线C 在,A B 处的切线交点为N .（1）若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；（2）若三角形ABN 的面积最小值为4，求抛物线C 的方程.【答案】(1) 2p =；(2) 24x y =.【解析】试题分析：（1）设出直线方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，导数的几何意义，结合,A B 处的切线斜率乘积为1221x x p=-可得结果；（2）根据弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可以得到1••42ABN S AB d ∆==≥=，从而可得结果.. 试题解析：（1）可设:1AB y kx =+， ()11,A x y ， ()22,B x y ，将AB 方程代入抛物线C 方程得2220x pkx p --=则122x x pk +=， 122x x p =- ①又22x py =得x y p '=，则,A B 处的切线斜率乘积为12221x x p p=-=- 则有2p =（2）由①可得122N x x x pk +==21AB x =-=点N 到直线AB的距离d ==1••2ABN S AB d ∆==≥∴4=，∴2p =，故抛物线C 的方程为24x y =22．已知函数()1x f x e ax =--（a R ∈）（ 2.71828e =…是自然对数的底数）.（1）求()f x 单调区间；（2）讨论()()1•2g x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,1内零点的个数. 【答案】(1) 当0a ≤时， ()0f x '>， ()f x 单调增间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时， ()f x 单调减间为(),ln a -∞，增区间为()ln ,a +∞(2) 所以1a ≤或1a e>-或)21a =时， ()g x 有两个零点； 当11a e <≤-且)21a ≠时， ()g x 有三个零点 【解析】试题分析：(1) 求出()'f x ， 讨论0a ≤， 0a >两种情况，分别令()'0f x >得增区间， ()'0f x <得减区间；(2)要求()()1•2g x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,1内零点的个数，考虑()f x 在区间[]0,1的零点个数，利用导数研究函数的单调性，分三种情况1a ≤， a e ≥ ， 11a e <≤-，分别求出零点个数即可.试题解析：（1）()x f x e a '=-当0a ≤时， ()0f x '>， ()f x 单调增间为(),-∞+∞，无减区间；当0a >时， ()f x 单调减间为(),ln a -∞，增区间为()ln ,a +∞（2）由()0g x =得()0f x =或12x = 先考虑()f x 在区间[]0,1的零点个数当1a ≤时， ()f x 在()0,+∞单调增且()00f =， ()f x 有一个零点；当a e ≥时， ()f x 在(),1-∞单调递减， ()f x 有一个零点；当1a e <<时， ()f x 在()0,ln a 单调递减， ()ln ,1a 单调递增.而()11f e a =--，所以1a ≤或1a e >-时， ()f x 有一个零点，当11a e <≤-时， ()f x 有两个零点而12x =时，由102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭得)21a =所以1a ≤或1a e >-或)21a =时， ()g x 有两个零点；当11a e <≤-且)21a ≠时， ()g x 有三个零点. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间.。

2020 届 高 三 第 二 次 联 考数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．)(N M C x U ⋂∈成立的充要条件是（ ）A ．U x C M ∈B ．U xC N ∈C ．U x C M ∈且U x C N ∈D ．U x C M ∈或U x C N ∈2．设复数11z i =+，2z x i =-（x R ∈），若12z z ⋅为实数，则x 等于 （ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．23．已知a r 、b 是不共线的向量，AB a b λ=+u u u r r r ，AC a b μ=+u u u r r r(,)R λμ∈，则A 、B 、C三点共线的充要条件是：（ ）A ．1λμ+=B ．1λμ-=C ．1λμ=-D ．1λμ=4．设映射2:2f x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．(1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(],1-∞5．等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，12008a =，20072005220072005S S -=，则2008S 的值为（ ）A ．-2020B ．2020C ．-2020D ．20206．已知函数()()212xx f x e e -=+（1x <）（其中e 是自然对数的底数）的反函数为()1f x -，则有 （ ）A ．1113()()22ff --< B ．1113()()22ff -->C ．113()(2)2f f --<D ．113()(2)2f f -->7．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为 （ ）A ．42105615C C C ⋅ B ．33105615C C C ⋅ C ．615615C AD ．42105615A A C ⋅ 湖北省八校黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学孝感高中 襄樊四中 襄樊五中 鄂南高中8．半径为1的球面上有A ，B ，C 三点，其中点A 与B 、C 两点间的球面距离均为2π，B 、C 两点间的球面距离为3π，则球心到平面ABC 的距离为 （ ）A．14B．7C．7D．79．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,)x R ω>∈，对定义域内的任意x ，都满足条件)2()1()(+-+=x f x f x f ．若sin(9)A x ωϕω=++，sin(9)B x ωϕω=+-，则有（ ）A ．AB >B ．A B =C ．A B ≥D ．A B <10．已知3211()(1)(1)132f x x a x a b x =++++++，若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ） A ．3a b -<- B ．3a b -≤- C ．3a b ->- D ．3a b -≥-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设实数x 、y 满足2025020x y x y y --⎧⎪+-⎨⎪-⎩≤≥≤，则22x y u xy +=的取值范围是__________.12．设n a是(3n的展开式中x 项的系数（2n =、3、4、…），则2323333n n n lim a a a →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭L _____________. 13．已知函数()()f x sinx cos x t =++为偶函数，且t 满足不等式23400t t --<，则t 的值为_____________.14．在Rt ABC ∆中，1AB AC ==，以点C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 边上，且这个椭圆过A 、B 两点，则这个椭圆的焦距长为_____________.15．设a 、b 、c 依次是ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边，若1004tanA tanBtanC tanA tanB⋅=+，且222a b mc +=，则m =_____________. 三、解答题（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知向量()(),2a sin x ωϕ=+r ，()()1,b cos x ωϕ=+r （0ω>，04πϕ<<）.函数()()()f x a b a b =+⋅-r r r r，()y f x =的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且过点71,2M ⎛⎫⎪⎝⎭.（Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）当11x -≤≤时，求函数()f x 的单调区间。