第六章随机信号通过非线性系统习题

湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。

解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。

随机信号分析课后习题答案随机信号分析课后习题答案随机信号分析是现代通信系统设计和信号处理领域中的重要基础知识。

通过对随机信号的分析，我们可以更好地理解和处理噪声、干扰等随机性因素对通信系统性能的影响。

下面是一些关于随机信号分析的课后习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 什么是随机信号？随机信号是在时间域上具有随机性质的信号。

与确定性信号不同，随机信号的每个样本值都是随机变量，其取值不是确定的。

随机信号可以用统计特性来描述，如均值、方差、功率谱密度等。

2. 什么是平稳随机信号？平稳随机信号是指在统计性质上不随时间变化的随机信号。

具体来说，平稳随机信号的均值和自相关函数不随时间变化。

平稳随机信号在实际应用中较为常见，因为它们具有一些方便的数学性质，可以简化信号处理的分析和设计。

3. 如何计算随机信号的均值？随机信号的均值可以通过对信号样本值的求平均来计算。

对于离散时间随机信号，均值可以表示为：E[x[n]] = (1/N) * Σ(x[n])其中，E[x[n]]表示信号x[n]的均值，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。

4. 如何计算随机信号的方差？随机信号的方差可以用均方差来表示。

对于离散时间随机信号，方差可以表示为：Var[x[n]] = E[(x[n] - E[x[n]])^2]其中，Var[x[n]]表示信号x[n]的方差，E[x[n]]表示信号的均值。

5. 什么是自相关函数？自相关函数是用来描述随机信号与其自身在不同时间延迟下的相似性的函数。

自相关函数可以用来分析信号的周期性、相关性等特性。

对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = E[x[n] * x[n-m]]其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，E[ ]表示期望运算。

6. 如何计算随机信号的自相关函数？随机信号的自相关函数可以通过对信号样本值的乘积进行求平均来计算。

对于离散时间随机信号，自相关函数可以表示为：Rxx[m] = (1/N) * Σ(x[n] * x[n-m])其中，Rxx[m]表示信号x[n]的自相关函数，N表示信号的样本数，Σ表示求和运算。

第六章 离散系统的Ｚ域分析　６．１学习重点　1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。

2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。

3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。

4、z 域系统函数()z H 及其应用。

5、离散系统的稳定性。

6、离散时间系统的z 域模拟图。

7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。

６．２ 教材习题同步解析　6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。

（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式　【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域 （2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 （5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε， 试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。

目　录第1章　信号与系统1.1　复习笔记1.2　课后习题详解1.3　名校考研真题详解第2章　连续系统的时域分析2.1　复习笔记2.2　课后习题详解2.3　名校考研真题详解第3章　离散系统的时域分析3.1　复习笔记3.2　课后习题详解3.3　名校考研真题详解第4章　傅里叶变换和系统的频域分析4.1　复习笔记4.2　课后习题详解4.3　名校考研真题详解第5章　连续系统的s域分析5.1　复习笔记5.2　课后习题详解5.3　名校考研真题详解第6章　离散系统的z域分析6.1　复习笔记6.2　课后习题详解6.3　名校考研真题详解第7章　系统函数7.1　复习笔记7.2　课后习题详解7.3　名校考研真题详解第8章　系统的状态变量分析8.1　复习笔记8.2　课后习题详解8.3　名校考研真题详解第1章　信号与系统1.1　复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。

根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。

二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。

2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。

图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。

图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。

这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。

3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。

1.判断下列系统的线性、时不变性、因果性和记忆性。

（解析P7） ①()10()()dy t y t f t dt += ②()()(10)dy t y t f t dt+=+ ③2()()()dy t t y t f t dt+= ④2()(10)()y t f t f t =++2.判断下列系统的线性、时不变性和因果性。

（解析P7） ①20()()sin ()y t y t t at f t =+ ②()()()y t f t f t b =⋅−3.某系统，当输入为()tδτ−时，输出为()()(3)h t u t u t ττ=−−−，问该系统是否为因果系统？是否为时不变系统？说明理由。

4.下列信号属于功率信号的是（解析P6） ①cos ()tu t ②()teu t − ③()t te u t − ④te−5. 画出函数波形图：2()(1)f t u t =−（指导P12）6.已知()()2(1)(2)(2),f t tu t u t t u t =−−+−−画出()f t 波形。

（指导P13）7.根据1.10图中(32)f t −+的波形，画出()f t 波形。

（指导P18）8.已知()f t 波形波形如例1.11图所示，试画出1(2)2f t −−的波形。

（指导P19）9.已知(52)f t −的波形如图例1.12图所示，求()f t 波形。

（指导P20）10.求下列函数值 ①432'(652)(1)t t t t dt δ∞+++−∫②3'()te d τδττ−−∞∫ ③'2(9)t dt δ+∞−∞−∫（指导P24）11.求信号0.20.3()j n j n x n ee ππ−=+的周期。

（指导P36）12.设()x t 是复指数信号：0()j tx t eΩ=，其角频率为0Ω，基本周期为02T π=Ω。

如果离散时间序列是通过对()x t 以取样间隔s T 进行均匀取样的结果，即00()()s j nT j n s x n x nT e e ωΩ===。

随机信号分析（第3版）第六章习题及答案6.1 复随机过程0()()j t Z t eω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。

求：（1）[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；（2）信号的功率谱。

解：(1)0000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=?0000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=?[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F eωτωττπδωω*==+==-6.2 6.36.4 已知()a t 的频谱为实函数()A ω，假定ωω>?时，()0A ω=，且满⾜0ωω?，试⽐较：（1） 0()cos a t t ω和0(12)()exp()a t j t ω的傅⽴叶变换。

（2） 0()sin a t t ω和0(2)()exp()j a t j t ω-的傅⽴叶变换。

（3）0()cos a t t ω和0()sin a t t ω的傅⽴叶变换。

解：由傅⽴叶变换的定义可以得到：（1）00000()cos [()()]1()()2FTj t FT a t t A A a t e A ωωπωωωωπωω←?→-++←?→-01()2j t a t e ω的傅⽴叶变换是0()cos a t t ω的傅⽴叶变换的正频率部分。

（2）00000()s i n [()()]()()2FTj t FTa t t A A jj a t e A jωπωωωωωπωω←?→--+-←?→-0()2j t ja t e ω-的傅⽴叶变换是0()sin a t t ω的傅⽴叶变换的正频率部分。

随机信号分析习题一,试证明F(x)是某个随机变的分布函数。

并求卜列概率:< 1), P(1 < ^ < 2) o2. 设的联合密度w 数为求 p{o<x<i ，o<y<i}、3. 设二维随机变g(x ，y)的联合密度函数为fxY^ y) = —exp --(A ：2+2xy + 5y 2) 71 2求：(l)边沿密度八0), f Y (y)(2)条件概率密度人|x (y|x)，A,r (x|y)4. 设离散型随机变的可能取值为1，0，1，，取每个值的概率都为1/4,又设随机变(1) 求r 的可能取值 (2) 确定Y 的分布。

(3)E[Y] o5. 设两个离散随机变量y 的联合概率密度为：fxY J )=2)^(y-l)+|^(x-3)5()’-l) + |<y (x-A)6(y-A)试求：(1) X 与y 不相关吋的所有A 值。

(2)x 与y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量(x, y)满足：X =cos (p Y = sin (p识为在[(),上均匀分布的随机变量，讨论X, r 的独立性与相关性。

7. 已知随机变fix 的概率密度为/(X)，求y=/?X 2的概率密度/(y)。

fxY (^y) =，x>0, y>0 ,other8.两个随机变量12，己知其联合概率密度为/(久七)，求1 + 的概率密度？9.设X足零均值，单位方差的高斯随机变量，：v = 如图，求y二以X)的概率密度人(夕)10.设随机变sw和z是w两个随机变s x和r的函数fw = x2 +r2 [z = x2设x，y是相互独立的高斯变景。

求随机变景w和z的联合概率密度函数。

11.设随# L变量w和z是另两个随# L变量x和r的函数J W = X + Y^z = 2(x+ r)己知，求联合概率密度函数人“耿幻。

12.设随机变量X为均匀分布，其概率密度厶=0, 其它(1)求X的特征函数，外(幼。

填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。

1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。

4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。

5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。

6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。

1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。

随机信号分析习题一1.设函数，试证明是某个随机变量的分布函数。

并求下⎩⎨⎧≤>-=-0, 00 ,1)(x x e x F x )(x F ξ列概率：，。

)1(<ξP )21(≤≤ξP 2.设的联合密度函数为),(Y X ，(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩求。

{}10,10<<<<Y X P 3.设二维随机变量的联合密度函数为),(Y X⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π求：（1）边沿密度，)(x f X )(y f Y （2）条件概率密度，|(|)Y X f y x |(|)X Y f x y 4.设离散型随机变量的可能取值为，取每个值的概率都为，又设随机X {}2,1,0,1-4/1变量。

3()Y g X X X ==-（1）求的可能取值Y （2）确定Y 的分布。

（3）求。

][Y E 5.设两个离散随机变量，的联合概率密度为：X Y )()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1）与不相关时的所有值。

X Y A （2）与统计独立时所有值。

X Y A 6.二维随机变量（，）满足：X Y ϕϕsin cos ==Y X 为在[0，2]上均匀分布的随机变量，讨论，的独立性与相关性。

ϕπX Y 7.已知随机变量X 的概率密度为，求的概率密度。

)(x f 2bX Y =)(y f 8.两个随机变量，，已知其联合概率密度为,求的概率密度？X X (,)f x x X X +9.设是零均值，单位方差的高斯随机变量，如图，求的概率密度X ()y g x =()y g x =()Y f y\10.设随机变量和是另两个随机变量和的函数W Z X Y 222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩设，是相互独立的高斯变量。

填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。

1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。

4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。

5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。

6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。

1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。

第六章 习题及参考答案一、习题1、已知一个由下列差分方程表示的系统，x(n)、y(n)分别表示该系统的输入、输出信号：)1(21)()2(61)1(65)(-+=-+--n x n x n y n y n y （1）画出该系统的直接型结构； （2）画出该系统的级联型结构； （3）画出该系统的并联型结构。

2、已知某系统的系统函数为：)6.09.01)(5.01()9.21)(1()(211211------++-+-+=z z z z z z z H 请画出该系统的级联型结构。

3、已知FIR 滤波器的单位脉冲响应为)(8.0)(5n R n h n =， （1）求该滤波器的系统函数； （2）画出该滤波器的直接型结构。

4、已知滤波器的系统函数为：3213218.09.09.018.04.16.01)(-------+-+--=zz z z z z z H 请画出该滤波器的直接型结构。

5、已知滤波器的系统函数为：)8.027.11)(5.01()44.11)(1(3)(211211------+--+--=z z z z z z z H 请画出该滤波器的级联型结构和并联型结构。

6、已知某因果系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)-25-3求该系统的系统函数和单位脉冲响应。

7、已知某系统的信号流图如下图所示：x(n)y(n)求该系统的系统函数和极点。

8、已知IIR 滤波器的系统函数为：4.035.04.046.16.14)(2323++++--=z z z z z z z H （1）画出级联型网络结构，要求利用MATLAB 分解H(z); （2）用MATLAB 验证所求的级联型结构是否正确。

9、已知IIR 滤波器的系统函数为：3213214.035.04.016.141.158.12.5)(-------++-++=zz z z z z z H （1）画出该系统的并联型网络结构，要求用MATLAB 分解； （2）用MATLAB 验证（1）中所求的并联型结构是否正确。

第十章非线性系统§ 10.1与线性系统的差异线性系统与非线性系统的不同之处在于：1 •非线性系统的运动是由一个非线性微分方程控制的，但是很多非线性方程都不存在精确解。

2. 一个非线性系统可能不只一个平衡点，而平衡点可能是稳定的，也可能是不稳定的。

3. 非线性系统是否存在稳态运动取决于初始条件。

4. 非线性系统的自由振动周期由初始条件决定，这就意味着自由振动的频率依赖于自由振动的振幅。

5. 非线性系统的共振出现在激发频率不同于系统的线性固有频率处，在一个三维非线性系统中，当激发频率为系统线性固有频率的1/3时，产生超频共振；当激发频率为系统线性固有频率近三倍时，就产生亚频共振。

6. 线性叠加原理不能用来分析受多频激励的非线性系统，共振的组合是对应于激发频率的近似组合。

7. 对应于固有频率的近似组合，在多自由度的连续系统中存在内共振。

8. 在非线性系统中，周期激励可能会引起非周期响应，由于一些特定的参数值，这种混沌运动出现在很多非线性系统中。

§10.1定性分析状态平面或相位平面是速度和位移在整个运动过程中的尖系曲线，通过在平衡点的邻域内将控制微分方程线性化，可以检验平衡点的性质及其稳定性（见题10.2），平衡点的各种类型如图10.1所示图 10.1§ 10.3达芬方程达芬方程是一个无量纲方程。

它作为一个模型可用于求解三维非线性系统。

如果 ；为正， 则表示一个硬弹簧的响应；如果；为负，则表示一个软弹簧系统的响应。

一个系统自 由振动的振幅尖系由达分方程决定，它可以用扰动方法近似表示为：3 A 2 0( 2) 8 其中㊂是固有频率的无量纲化(对于线性系统®=1), A 是振幅，分析共振附近 达芬方程的受迫响应可以设：：：；,2」；彳=F sin rt(10.1)(10.2)稳定节点(a)不稳定焦点2)(10.3)则稳态振幅的定义方程就可近似表示为4A2〔」2—叭2〔二F2(10.4)I 8丿」方程(70・4在图10.2中的尖系曲线表示为；• 0时中枢曲线和跳跃现象，对于给定的二值，方程(704有三个正实解，因为A2引起了三种可能的稳态运动，中间解是不稳定的，引起跳跃现象。