高中数学 第一章 三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(二)学案 苏教版必修4-苏教版高一必修

1.3.2 三角函数的图象与性质(二)

[学习目标] 1.掌握y＝sin x与y＝cos x的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．

[知识链接]

1．观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？

答 正弦函数y＝sin x的图象关于原点对称，余弦函数y＝cos x的图象关于y轴对称．

2．上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？

答 正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数．根据诱导公式得，sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x均对一切x∈R恒成立．

3．观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少．

答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.

[预习导引]

正弦函数、余弦函数的性质：

函数 y＝sin x y＝cos x

图象

定义域 R R

值域 [－1,1] [－1,1]

对称性 对称轴：x＝kπ＋π2

(k∈Z)；

对称中心：(kπ，0)

(k∈Z) 对称轴：x＝kπ(k∈Z)；

对称中心：kπ＋π2，0

(k∈Z)

奇偶性 奇函数 偶函数

周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π

单调性 在[－π2＋2kπ，π2＋在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减 2kπ](k∈Z)上单调递减

最值 在x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

在x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；

在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1

要点一 求正弦、余弦函数的单调区间

例1 求函数y＝2sinπ4－x的单调递增区间．

解 y＝2sinπ4－x＝－2sinx－π4，

令z＝x－π4，则y＝－2sin z.

因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的递增区间，

即求sin z的递减区间，

即2kπ＋π2≤z≤2kπ＋3π2(k∈Z)．

∴2kπ＋π2≤x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，

2kπ＋3π4≤x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，

∴函数y＝2sinπ4－x的递增区间为

2kπ＋3π4，2kπ＋7π4(k∈Z)．

规律方法 用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间，再将最终结果写成区间形式．

跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：

(1)y＝1＋2sinπ6－x； (2)y＝log12cos x.

解 (1)y＝1＋2sinπ6－x＝1－2sinx－π6.

令u＝x－π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间，

即2kπ＋π2≤u≤2kπ＋32π(k∈Z)，

亦即2kπ＋π2≤x－π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)．

亦即2kπ＋23π≤x≤2kπ＋53π(k∈Z)，

故函数y＝1＋2sinπ6－x的单调递增区间是2kπ＋23π，2kπ＋53π(k∈Z)．

(2)由cos x>0，得2kπ－π2

∵12<1，∴函数y＝log12cos x的单调递增区间即为

u＝cos x，x∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)的递减区间，

∴2kπ≤x<2kπ＋π2，k∈Z.

故函数y＝log12cos x的单调递增区间为

2kπ，2kπ＋π2(k∈Z)．

要点二 正弦、余弦函数的单调性的应用

例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．

(1)sin－π18与sin－π10；

(2)sin 196°与cos 156°；

(3)cos－235π与cos－174π.

解 (1)∵－π2<－π10<－π18

且y＝sin x在[－π2，π2]上是增函数， ∴sin－π18>sin－π10.

(2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，

cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，

∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，

∴sin 16°

从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.

(3)cos－235π＝cos 235π＝cos(4π＋35π)＝cos 35π，

cos－174π＝cos 174π＝cos4π＋π4＝cos π4.

∵0

∴cos 35π

即cos－235π

规律方法 用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．

跟踪演练2 比较下列各组数的大小．

(1)sin－376π与sin493π；

(2)cos 870°与sin 980°.

解 (1)sin－376π＝sin－6π－π6＝sin－π6，

sin493π＝sin16π＋π3＝sin π3，

∵y＝sin x在－π2，π2上是增函数，

∴sin－π6

即sin－376π

(2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(90°＋170°)＝cos 170°，

∵0°<150°<170°<180°，且y＝cos x在[0°，180°]上是减函数，

∴cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°. 要点三 求正弦、余弦函数的最值(值域)

例3 (1)求函数y＝3－2sin x取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；

(2)求函数f(x)＝2sin2 x＋2sin x－12，x∈π6，5π6的值域．

解 (1)∵－1≤sin x≤1，∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋3π2，k∈Z时，y取得最大值5，相应的自变量x的集合为 xx＝2kπ＋3π2，k∈Z.

当sin x＝1，即x＝2kπ＋π2，k∈Z时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为 xx＝2kπ＋π2，k∈Z.

(2)令t＝sin x，y＝f(t)，∵x∈π6，5π6，

∴12≤sin x≤1，即12≤t≤1.

∴y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，∴1≤y≤72，

∴函数f(x)的值域为1，72.

规律方法 (1)形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．

(2)求解形如y＝asin2 x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．

跟踪演练3 求函数y＝sinπ3＋4x＋cos4x－π6的周期、单调区间及最大、最小值．

解 ∵π3＋4x＋π6－4x＝π2，

∴cos4x－π6＝cosπ6－4x

＝cosπ2－π3＋4x＝sinπ3＋4x.

从而原式就是y＝2sin4x＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T＝π2. 当－π2＋2kπ≤4x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为－5π24＋kπ2，π24＋kπ2(k∈Z)．

当π2＋2kπ≤4x＋π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为π24＋kπ2，7π24＋kπ2(k∈Z)．

当x＝π24＋kπ2(k∈Z)时，ymax＝2；

当x＝－5π24＋kπ2(k∈Z)时，ymin＝－2.

要点四 三角函数的奇偶性

例4 判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝sin－12x＋π2；

(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；

(3)f(x)＝1＋sin x－cos2 x1＋sin x.

解 (1)显然x∈R，f(x)＝cos 12x，f(－x)＝cos－12x＝cos 12x＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

(2)由 1－sin x>0，1＋sin x>0，得－1

解得定义域为x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.

∴f(x)的定义域关于原点对称．

又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)

∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]

＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．

∴f(x)为奇函数．

(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，

∴x∈R且x≠2kπ－π2，k∈Z.

∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．

规律方法 判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．