高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.3 正切函数的图象与性质学案 苏教版必修4(2021年整理)

2016-2017学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.3 正切函数的图象与性质学案 苏教版必修4

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2016-2017学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.3 正切函数的图象与性质学案 苏教版必修4

2 第3课时 正切函数的图象与性质

1．了解正切函数图象的画法,理解掌握正切函数的性质．(重点）

2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．（难点、易错点)

［基础·初探］

教材整理 正切函数的图象与性质

阅读教材P32～P33的全部内容,完成下列问题．

解析式 y＝tan x

图象

定义域 错误!

值域 R

周期 π

奇偶性 奇函数

单调性 在开区间错误!（k∈Z)上都是增函数

对称性 无对称轴，对称中心为错误!（k∈Z)

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

(1）正切函数在定义域上是单调递增函数．( ）

（2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋错误!，k∈Z.( )

(3）正切函数的对称中心为（kπ，0)，k∈Z.（ )

【解析】 （1）×.正切函数在错误!，k∈Z上是单调递增函数． 2016-2017学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.3 正切函数的图象与性质学案 苏教版必修4

3 （2)×。正切函数不是轴对称图形．

（3）×.正切函数的对称中心为错误!，k∈Z。

【答案】 (1)× （2）× （3）×

［质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们"探讨交流：

疑问1：

解惑:

疑问2:

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

正切函数的定义域

求下列函数的定义域．

（1）y＝错误!；

(2）y＝错误!。

【精彩点拨】 （1）分母不为0，且tan错误!有意义；

(2)被开方数非负，且tan x有意义．

【自主解答】 (1）若使得y＝错误!有意义，

则错误!

∴错误!

∴函数y＝错误!的定义域为

错误!.

（2)由题意得错误!tan x－3≥0，

∴tan x≥3,

∴kπ＋错误!≤x＜kπ＋错误!(k∈Z),

∴y＝错误!的定义域为

错误!。 2016-2017学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.3 正切函数的图象与性质学案 苏教版必修4

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求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义,即x≠kπ＋错误!k∈Z，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解。

［再练一题]

1．求函数y＝错误!的定义域。 【导学号:06460027】

【解】 （1）要使函数y＝错误!有意义，

则有错误!

∴错误!

∴错误!

∴函数y＝错误!的定义域为

错误!。

正切函数的单调性及应用

(1）比较下列两个数的大小(用“〉"或“<"填空)．

①tan 2π7________tan 10π7；

②tan 错误!________tan错误!。

(2）求函数y＝tan错误!的单调增区间．

【精彩点拨】 （1)把各角化归到同一单调区间内再利用函数的单调性进行比较．

（2)把错误!x＋错误!视为一个整体，利用y＝tan x的单调区间求解．

【自主解答】 (1）①tan 错误!＝tan错误!＝tan 错误!,

∵0＜错误!

∴tan 错误!

②tan 错误!＝tan错误!＝tan 错误!，tan错误!＝tan 错误!，

∵0＜错误!

【答案】 ①＜ ②＜

（2)由kπ－错误!

5 所以函数y＝tan错误!的单调增区间为错误!(k∈Z）．

1．求y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间,可先用诱导公式把ω化为正值,由kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋错误!求得x的范围即可．比较两个同名函数的大小,应保证自变量在同一单调区间内．

2．运用正切函数单调性比较大小时,先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小．

[再练一题］

2．求函数y＝3tan错误!的单调区间．

【解】 y＝3tan错误!＝－3tan错误!。

由kπ－错误!＜错误!x－错误!＜kπ＋错误!（k∈Z）,

得2kπ－错误!＜x＜2kπ＋错误!π(k∈Z），

∴函数y＝3tan错误!的单调递减区间是

错误!（k∈Z)．

[探究共研型］

正切函数的图象及应用

探究1 如何由y＝tan x的图象画出y＝|tan x|的图象？

【提示】 只须保持y＝tan x的图象在x轴上方的不动，x轴下方的关于x轴对称便可得出y＝|tan x|的图象．

探究2 如何由y＝tan x的图象画出y＝tan|x|的图象．

【提示】 把y＝tan x（x≥0)的图象关于y轴对称便可以得出y＝tan|x｜的图象．

根据函数y＝｜tan x|的图象,判断其单调区间、奇偶性、周期性．

【精彩点拨】 画y＝tan x图象→y＝|tan x|图象→错误!

【自主解答】 由y＝|tan x|得,

y＝错误!

其图象如图． 2016-2017学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2.3 正切函数的图象与性质学案 苏教版必修4

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由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，

单调递增区间为错误!(k∈Z)，

单调递减区间为错误!(k∈Z）,周期为π。

作由正切函数复合而成的简单函数图象可用两种方法： 1直接描点法，要注意定义域; 2图象变换法，即以y＝tan x的图象为基础，采用反转对称平移等变换，作出函数的图象.

[再练一题］

3．将本例中的函数y＝｜tan x｜改为y＝tan ｜x｜解答同样的问题．

【解】 由y＝tan |x|得

y＝错误!

根据y＝tan x的图象，作出y＝tan ｜x｜的图象如图:

由图象可知，函数y＝tan |x|是偶函数，单调增区间为错误!,错误!（k＝0，1，2,…）；

单调减区间为错误!,错误!(k＝0，－1,－2,…),不具有周期性．

［构建·体系］

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1．函数y＝4tan错误!的最小正周期为________．

【解析】 T＝错误!＝2π.

【答案】 2π

2．函数y＝tan错误!的定义域是________．

【解析】 解x－错误!≠kπ＋错误!（k∈Z)得

x≠kπ＋错误!π（k∈Z）．

【答案】 错误!

3．函数y＝tan x在错误!上的值域为________．

【解析】 ∵－错误!≤x≤错误!，∴－1≤tan x≤错误!。

【答案】 [－1,错误!]

4．不等式tan x≥1的解集是________．

【解析】 由正切函数图象(图略)可知，

kπ＋错误!≤x＜kπ＋错误!（k∈Z）．

【答案】 错误!（k∈Z）

5．求下列函数的单调区间:

（1)y＝tan错误!；

(2）y＝错误!tan 2x＋1。 【导学号：06460028】

【解】 （1)由－错误!＋kπ＜x－错误!＜错误!＋kπ（k∈Z）,

解得－错误!＋kπ＜x＜错误!π＋kπ(k∈Z)，

∴函数y＝tan错误!的单调增区间是－错误!＋kπ，错误!＋kπ（k∈Z)．

（2)令－错误!＋kπ＜2x＜错误!＋kπ（k∈Z），

∴－错误!＋错误!＜x＜错误!＋错误!（k∈Z）,

∴函数y＝错误!tan 2x＋1的单调增区间是－错误!＋错误!，错误!＋错误!(k∈Z）．

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我还有这些不足：

(1）

（2）

我的课下提升方案：

（1）

(2)

学业分层测评（十) 正切函数的图象与性质

（建议用时:45分钟）

［学业达标］

一、填空题

1．下列正确命题的序号为________．

①y＝tan x为增函数；

②y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0)的最小正周期为错误!;

③在x∈［－π,π]上y＝tan x是奇函数;

④在错误!上y＝tan x的最大值是1,最小值为－1。

【解析】 函数y＝tan x在定义域内不具有单调性,故①错误；函数y＝tan（ωx＋φ）(ω＞0)的最小正周期为错误!,故②错误；当x＝－错误!，错误!时，y＝tan x无意义，故③错误;由正切函数的图象可知④正确．

【答案】 ④

2．比较大小：tan 错误!________tan 错误!。

【解析】 tan 错误!＝tan错误!＝tan 错误!.

∵y＝tan x在错误!上是增函数且0＜错误!＜错误!＜错误!，

∴tan 错误!＜tan 错误!，即tan 错误!＜tan 错误!。

【答案】 ＜