苏教版数学高一必修4学案 1. 3.2 三角函数的图象与性质

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高中数学 1．3.2 三角函数的图象与性质

情景：前面我们学习了三角函数的诱导公式，我们是借助于单位圆推导出来的．

思考：我们能否借助三角函数的图象来推导或直接得出三角函数的一些性质呢？

1．“五点法”作正弦函数图象的五个点是__________、________、________、________、________．

答案: (0，0) π2，1 (π，0) 32π，－1 (2π，0)

2．“五点法”作余弦函数图象的五个点是__________、________、________、________、________．

答案: (0，1) π2，0 (π，－1) 32π，0 (2π，1)

3．作正、余弦函数图象的方法有二：一是________；二是利用________来画的几何法．

答案: 描点法 三角函数线

4．作正弦函数的图象可分两步：一是画出_________________________________________________________

的图象，二是把这一图象向________连续平行移动(每次平移2π个单位长度)．

答案: y＝sin x，x∈ 左右

5．正弦曲线关于________对称；正弦函数是________；余弦曲线关于________对称，余弦函数是________．

答案: 原点 奇函数 y轴 偶函数

6．正弦函数在每一个闭区间________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间________________上都是减函数，其值从1减小到－1.

答案: 2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z) 2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)

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高中数学 7．余弦函数在每一个闭区间________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间________________上都是减函数，其值从1减小到－1.

答案: (k∈Z) (k∈Z)

8．正弦函数当且仅当x＝____________时取得最大值1，当且仅当x＝____________时取得最小值－1.

答案: 2kπ＋π2(k∈Z) 2kπ－π2(k∈Z)

9．余弦函数当且仅当x＝____________时取得最大值1，当且仅当x＝____________时取得最小值－1.

答案: 2kπ(k∈Z) 2kπ＋π(k∈Z)

10．正切函数y＝tan x的定义域是______________，值域为________；正、余弦函数的定义域是________，值域是________．

答案: xx≠kπ＋π2，k∈Z R R

11．正切函数为________函数(填“奇”或“偶”)．

答案: 奇

12．正切函数y＝tan x在每一个区间________内均为________．

答案: －π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z) 增函数

13．利用正切线可以得到y＝tan x在________内的图象，把所得图象左右连续平移________个单位，可得y＝tan x在整个定义域内的图象．

答案: －π2，π2 π

14．正切曲线的简图可以用“三点两线法”，这里的三个点为__________、________、________；两直线为________、________．

答案: kπ－π4，－1 (kπ，0) kπ＋π4，1(k∈Z)

x＝kπ＋π2 x＝kπ－π2(k∈Z)

15．正切函数y＝tan x的对称中心为________． 打印版本

高中数学 答案: kπ2，0(k∈Z)

16．正、余弦函数的图象是连续的，而正切函数的图象不连续，它被无数条垂直于x轴的直线________________分隔开来．

答案: x＝kπ＋π2(k∈Z)

17．正、余弦函数既有单调递增区间又有单调递减区间，而正切函数在每一个_______________________________________________上都是增函数．

答案: kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)

五点法画图

函数y＝sin x在x∈的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：

(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．

事实上，描出这五个点后，函数y＝sin x在x∈的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可得到正弦函数的简图．今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”．

同样，在函数y＝cos x，x∈的图象上，起着关键作用的点是以下五个：

(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．

与画函数y＝sin x，x∈的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y＝cos x在x∈的简图．

正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x，x∈R的性质：

(1)定义域．

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R.

(2)值域．

正弦函数、余弦函数的值域都是． 打印版本

高中数学 正弦函数当且仅当x＝π2＋2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时取得最小值－1；而余弦函数当且仅当 x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝－π＋2kπ(k∈Z)时取得最小值－1.

(3)周期性．

正弦函数、余弦函数都是周期函数，并且周期都是2π.

(4)奇偶性．

正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，其图象关于y轴对称．

(5)单调性．

正弦函数在每一个闭区间－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上都是单调增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上都是单调减函数，其值从1减小到－1.

类似地，余弦函数在每一个闭区间(k∈Z)上都是单调增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间(k∈Z)上都是单调减函数，其值从1减小到－1.

正切函数的图象与性质

正切函数y＝tan x，x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z的图象，叫做正切曲线．如下图所示．

正切函数的性质：

(1)定义域为xx∈R，且x≠π2＋kπ，k∈Z.

(2)值域为实数集R.

(3)周期性．正切函数是周期函数，周期是π.

(4)奇偶性．奇函数，图象关于原点对称．

(5)单调性．每个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)都是函数y＝tan x的单调增区间．

难点释疑：正切曲线是被相互平行的直线x＝π2＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，直线x＝π2＋kπ，k∈Z是图象的渐近线．

由于正切函数的定义域必须去掉x＝π2＋kπ，k∈Z各点，故正切函数图象与直线x＝π2＋kπ，k∈Z无交点；又由于正切函数的值域为R，无最大值、最小值，故其图象向上、下无限延伸；由于周期是π，所以图象每隔π长度重复出现；因为正切函数的单调性表现为在每一个单调区间内只增不减，故图象是由一系列重复出现的上升曲线构成，而在－π2，π2内，当x向右无限接近于x＝π2时，函数值不断增大，趋于正无穷大，图象无限接近于x＝π2，但永不相交；当x向左无限接近于x＝－π2时，打印版本

高中数学 函数值不断变小，趋于负无穷大，图象无限接近于x＝－π2，但永不相交，故x＝±π2为正切函数图象的渐近线，由周期性知，直线x＝π2＋kπ，k∈Z是图象的渐近线．

基础巩固

1．下列函数的图象相同的是( )

A．y＝sin x与y＝sin(π＋x)

B．y＝sinx－π2与y＝sinπ2－x

C．y＝sin x与y＝sin(－x)

D．y＝sin(2π＋x)与y＝sin x

答案：D

2．函数y＝1－sin x，x∈上的大致图象是( )

答案：B

3．把函数y＝sin x的图象向________平移________个单位长度可得y＝cos x的图象．

答案：左 π2

4．函数f(x)＝sin2x＋3π2的奇偶性为________．

答案：偶函数

5．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．

答案：0

6．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是( )

A.π4 B.π2 C．π D.3π2 打印版本

高中数学 答案：C

7．y＝3tan12x＋π3的一个对称中心是( )

A.π6，0 B.2π3，－33

C.－2π3，0 D．(0，0)

答案：C

8．函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )

A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3

答案：A

9．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝π4所得线段长为π4，则fπ4的值是( )

A.π4 B．0

C．1 D．2

解析：∵y＝tan ωx的周期T＝πω，

∴y＝π4与y＝tan ωx的图象的交点中相邻两点间的距离为πω，故πω＝π4，ω＝4，∴f(x)＝tan 4x.

∴fπ4＝tan4×π4＝tan π＝0，故选B.

答案：B

10．函数y＝sin x＋tan x的定义域为________．

答案：x|2kπ≤x＜2kπ＋π2，k∈Z∪{}x|x＝2kπ＋π，k∈Z

11．函数y＝lg tan x＋16－x2的定义域为________．

答案：－π，－π2∪0，π2∪(π，4]

能力升级

12．已知f(x)＝x·sin x，x∈R.则f－π4，f(1)及fπ3的大小关系为______________．

解析：f－π4＝－π4sin－π4＝π4sinπ4

fπ3＝π3sinπ3>sinπ3.