高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.已知x是4和16的等比中项，则x＝．【答案】【解析】由x是4和16的等比中项，得【考点】等比中项2.己知等比数列所有项均为正数，首，且成等差数列．(I)求数列的通项公式；(II)数列的前n项和为，若，求实数的值．【解析】(1)等比数列基本量的求解是等比数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换的思想简化运算过程；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用；（3）解题时要善于类比要能正确区分等差、等比的性质，不要把两者的性质搞混了.试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，由条件得成等差数列，所以解得由数列的所有项均为正数,则=2数列的通项公式为=（Ⅱ）记,则若不符合条件；若，则，数列为等比数列，首项为，公比为2,此时又＝,所以【考点】(1)等比数列的通行公式；（2）等比数列的前项和公式.3.已知是等比数列，，则公比q等于（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由得【考点】等比数列的通项4.已知等比数列中，，，则的值（）A．35B．63C．D．【答案】B.【解析】∵等比数列，∴，，∴，.【考点】等比数列的通项公式.5.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63B．108C．75D．83【解析】∵等比数列，，，也成等比数列，即，∴.【考点】等比数列的性质.6.在数列中，若，设，（1）求证：数列是等比数列；（2）分别求，的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2），.【解析】（1）欲证数列是等比数列，只需证明，而条件中给出了数列的一个递推公式，因此需结合，得到数列的递推公式：，即，，从而数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，再由条件即可得.试题解析：（1）∵，∴，又∵，∴，，即数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）由（1）可知，，又∵，∴.【考点】1.等比数列的证明；2.数列的通项公式.7.设首项为l，公比为的等比数列的前项和为，则 ( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】由题意可得数列的通项公式，进而可得其求和公式，即为所求的关系式．【考点】等比数列的前项和．8.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题意知，。

．8等比数列C日到银行存入有两个实根（2）证明：由（1）11123n n a a +=+，得1212()323n n a a +-=-，所以2{}3n a -是等比数列；（3）解析：当176a =时，2{}3n a -是以721632-=为首项，以12为公比的等比数列，1211()322n n a --=⨯，得21()()32n n a n N *=+∈．16.已知数列{}n a 满足：111,1,22,n n na n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； （Ⅲ）求和2462n n T a a a a =+++ 解析：（Ⅰ）2335,,22a a ==-474a =（Ⅱ）当2(21)12112,22(21)22n n n n n b a a a n -+-≥=-=-=+--时222(1)1111[2(22)](21)2[2]222n n n a n n a b ---=--+--=-=∴12122b a =-=-又 ∴1111()()222n n n b -=-⋅=-（Ⅲ）∵22n n a b =+ ∴242n n T a a a =++=12(2)n b b b n ++++ 11[1()]1222()2 1.1212nnn n -=-+=+--17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log=，且.0,6531531==++b b b b b b （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； （3）试比较n a 与n S 的大小. 解析：（1）由已知q a a b b nn n n log log121==-++为常数.故数列{}n b 为等差数列，且公差为.log2q d = （先求q 也可） 4分（2）因0log,11211>=⇒>a b a ，又263531=⇒=++b b b b ，所以.05=b由.291,404,22211513⎩⎨⎧-=⇒-==⇒=+==+=n n S d b d b b d b b n由*511212,221,164log 1log N n a q a a b q d n n ∈=⇒==⇒⎩⎨⎧==-==-. 8分（3）因,0>n a 当9≥n 时，0≤n S ，所以9≥n 时，n n S a >；又可验证2,1=n 是时，n n S a >；8,7,6,5,4,3=n 时，n n S a <. 12分18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知231,,S S S 成等差数列.（1）求{}n a 的公比q ； （2）若331=-a a ，求n S .18.解析：（1）由题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++ ，又0,01≠≠q a ，故.21-=q（2）由已知得.43)21(1211=⇒=--a a a 从而].)21(1[38)21(1])21(1[4nnn S --=----=。

高二数学数列试题答案及解析1.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由题意有，即，解得或故或．（Ⅱ）由，知，，故，于是，①．②①-②可得，故．【考点】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题．2.已知数列的前项和构成数列，若，则数列的通项公式________.【答案】【解析】当时，，当时，，综上所述，，故答案为.【考点】数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用.【方法点睛】本题主要考查数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于难题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.3.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块．【答案】4n+2【解析】第个图案有块，第个图案有块，第个图案有块，所以第个图案有块【考点】观察数列的通项4.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【答案】【解析】由题意可知，解得，所以.【考点】等差数列通项公式．5.在等差数列{an }中，S15>0，S16<0，则使an>0成立的n的最大值为 ()．A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】依题意得S15＝＝15a8>0，即a8>0；S16＝＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使an>0成立的n的最大值是8，选C.6.已知数列是等比数列，，是和的等差中项.（１）求数列的通项公式；（２）设，求数列的前项和．【答案】（１）（２）【解析】（１）求等比数列通项公式，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件，解方程组即可，本题可利用等比数列通项公式广义定义求解，即，而是和的等差中项，都转化为：（２）先代入求解，再根据错位相减法求和，注意项的符号变化，项数的确定.试题解析：（１）设数列的公比为，因为，所以，．因为是和的等差中项，所以．即，化简得．因为公比，所以．所以（）．（２）因为，所以．所以．则，①. ②①－②得，，所以．【考点】等比数列通项公式，错位相减法求和7.等差数列，的前n项和分别为和，若则＝________．【答案】.【解析】根据等差数列的性质，由.【考点】等差数列的性质.8.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设此数列为，其符号为其绝对值为，可得通项公式．选B【考点】数列的通项公式9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为A．8B．9C．10D．11【答案】B【解析】该数列为等差数列，且，即，解得.【考点】等差数列，数学文化.10.等差数列{an}共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n的值是（）A．3B．5C．7D．9【答案】A【解析】利用等差数列的求和公式和性质得出，代入已知的值即可．解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项，其和为S奇===（n+1）an+1=4，①偶数项共n项，其和为S偶===nan+1=3，②得，，解得n=3故选A【考点】等差数列的前n项和．11.数列的一个通项公式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】观察数列的前6项知，该数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以．故选B．【考点】观察法求数列的通项公式．12.数列是等差数列，若，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，值等于( ）A．11B．17C．19D．21【答案】C【解析】由于前项和有最大值，所以，根据，有，，，所以，，结合选项可知，选C.【考点】等差数列的基本性质.13.设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是等差数列，则，又由于为递减数列，所以，故选C.【考点】1.等差数列的概念；2.递减数列.14.设数列{an }，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项的值为()A．0B．37C．100D．－37【答案】C【解析】数列{an }和{bn}都是等差数列，所以是等差数列，首项，所以数列是常数列，所以第37项的值为100【考点】等差数列15.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．16.设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36.则a7＋a8＋a9等于()A．63B．45C．36D．27【答案】B【解析】设公差为d，则解得a1＝1，d＝2，则a7＋a8＋a9＝3a8＝3(a1＋7d)＝45.17.已知等差数列中，，公差，则使前项和为取最小值的正整数的值是（）A．4和5B．5和6C．6和7D．7和8【答案】C【解析】，所以使前项和取最小值的正整数的值为6和7【考点】数列性质18.设是等差数列的前项和，已知，则等于（）A．13B．35C．49D．63【答案】C【解析】依题意有，解得，所以.【考点】等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．19.已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围_________.【答案】【解析】由题意可得，，即求的最大值，所以当n=3时，，所以，填。

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册4.3.2第2课时 等比数列前n 项和公式的应用一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A ．152 B ．314 C ．334 D ．1723．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于( ) A ．150B ．－200C ．150或－200D ．4004．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10 ，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．20 2405．已知公差d ≠0的等差数列{a n } 满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( ) A ．30B ．20C ．10D ．5或406．(多选题)已知S n 是公比为q 的等比数列{a n }的前n 项和，若q ≠1，m ∈N *，则下列说法正确的是( ) A ．S 2m S m ＝a 2ma m ＋1B ．若S 6S 3＝9，则q ＝2C ．若S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则m ＝3，q ＝2D ．若a 6a 3＝9，则q ＝37．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．3n－1 B ．1－(－3)n 2C ．1＋3n 2D ．3n 2＋n 2二、填空题8．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k ＝________. 9．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 10．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和．已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.11．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，则这个等比数列的公比q ＝________，又令该数列的前n 项的积为T n ，则T n 的最大值为________． 12．设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的第n 项为a n ，前n 项和为S n ，则a n ＝________，S n ＝________. 三、解答题13．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．14．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．15．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *. (1)求通项公式a n ；(2)求数列{|a n －n －2|}的前n 项和．参考答案一、选择题 1．答案：C解析：由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2， ∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15.]2．答案：B解析：显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.]解析：依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列， 因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)．即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，解得S 20＝－20或S 20＝30， 又S 20＞0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40， 故S 40－S 30＝80，S 40＝150.故选A. 4．答案：C解析：∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0， ∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.] 5．答案：A解析：设等差数列的公差为d ，因为a 2，a 4－2，a 6成等比数列，所以(a 4－2)2＝a 2·a 6， 即(a 1＋3d －2)2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，即(3d －1)2＝(1＋d )·(1＋5d )，解得d ＝0或d ＝3，因为公差d ≠0，所以d ＝3，所以a m －a n ＝a 1＋(m －1)d －a 1－(n －1)d ＝(m －n )d ＝10d ＝30，故选A.] 6．答案：ABC解析：[∵q ≠1，∴S 2m S m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝1＋q m.而a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1qm －1＝q m ，∴A 正确；B 中，m ＝3，∴S 6S 3＝q 3＋1＝9，解得q ＝2.故B 正确；C 中，由S 2m S m ＝1＋q m ＝9，得q m ＝8.又a 2ma m ＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，得m ＝3，q ＝2，∴C 正确；D 中，a 6a 3＝q 3＝9，∴q ＝39≠3，∴D 错误，故选ABC.]7．答案：A解析：由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n －3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1＞0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n－1.]二、填空题解析：由a n ＋1＝ca n 知数列{a n }为等比数列．又∵S n ＝3n ＋k ， 由等比数列前n 项和的特点S n ＝Aq n －A 知k ＝－1.] 9.答案：2解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.10．答案：2n －1解析：设等差数列{a n }的公差为d ，(d ≠0)， 则S 1＝5－2d ，S 2＝10－3d ，S 4＝20－2d ，因为S 22＝S 1·S 4，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，整理得5d 2－10d ＝0，∵d ≠0，∴d ＝2， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋2(n －3)＝2n －1.] 11．答案：122解析：设数列{a n }共有2m ＋1项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116，S 奇＝a 1＋a 2q ＋…＋a 2m q ＝2＋q (a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝2＋2116q ＝8532， ∴q ＝12，∴T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝232n －n 22，故当n ＝1或2时，T n取最大值，为2.] 12．答案：2n －1 2n ＋1－n －2 解析：因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n－1， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 三、解答题13．解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶， 由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12.故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1.14．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ， 所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝(211－2)＋55 ＝211＋53＝2 101.15．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝4，a 2＝2a 1＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝3.又当n ≥2时，由a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，得a n ＋1＝3a n ，故a n ＝3n －1(n ≥2，n ∈N *)，又当n ＝1时也满足a n ＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *. (2)设b n ＝|3n －1－n －2|，n ∈N *，b 1＝2，b 2＝1.当n ≥3时，由于3n －1＞n ＋2，故b n ＝3n －1－n －2，n ≥3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1＝2，T 2＝3.n ≥3时，T n ＝3＋9(1－3n －2)1－3－(n －2)(3＋n ＋4)2＝3n －n 2－5n ＋112.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝1，3， n ＝2，3n－n 2－5n ＋112，n ≥3.高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元过关平行性测试卷（A 卷）一．单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）“x <0”是“ln(x +1)<0”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件（2）下列命题正确的是（ ）A ． “x =y ”是“sinx =siny ”的充分不必要条件；B ． 命题“p ∧q ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题；C ． “am 2<bm 2”是“a <b ”成立的必要不充分条件；D ． 命题“存在x 0∈R ，使得x 02+x 0+1<0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x +1<0”.（3）对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①“a b =”是“ac bc =”的充要条件②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“a b >”是“22a b >”的充分不必要条件 ④“5a <”是“3a <”的必要不充分条件， 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4（4）有下列结论： ①命题 p:∀x ∈R ，x 2>0为真命题 ；②设p:x x+2>0 ，q:x 2+x −2>0，则 p 是 q 的充分不必要条件 ；③已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的充要条件；④非零向量a ⃑与b ⃑⃑满足|a ⃑|=|b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑与a ⃑+b⃑⃑的夹角为300. 其中正确的结论有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个（5）命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ；∃x 0>0，使得ln x 0=1−x 0，则下列命题中为真命题的是（ ；A ． p ∧qB ． p ∨(¬q )C ． (¬p )∧qD ． (¬p )∧(¬q )（6）设x ∈R ，若“log 2(x −1)<1”是“x >2m 2−1”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ． [−√2,√2]B ． (−1,1)C ． (−√2,√2)D ． [−1,1] 二．多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．(7) 下列说法正确的是( ) A.x >3是x 2>4的充分不必要条件 B.命题“∃x 0∈R ， x 0+1x 0≥2"的否定是“∀x ∈R ， x +1x>2”C.若tan (π+α)=2，则sin2α=±45D.定义在[a,b ]上的偶函数f (x )=x 2+(a +5)x +b 的最大值为30 (8)下列说法正确的有( )A.已知a,b ∈R ，且a −3b +6=0，则2a +18b 的最小值为14B.函数y =sin (2x +π5)的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数在区间[34π,54π]上单调递增C.命题“∀x ≥1,x −1≥0”的否定形式为“∃x ≥1,x −1≤0”D.函数y =log a (x +1)(a >0且a ≠1)恒过定点(1,0) 三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分．（9）已知:40p x m -<，:22q x -≤≤，若p 是q 的一个必要不充分条件，则m 的取值范围为___________.（10）“a =1”是“直线ax −y +2a =0与直线(2a −1)x +ay +a =0互相垂直”的___________条件（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分又不必要”）． （11）已知x ∈R ,则“|x −1|<2成立”是“x x−3<0成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．（12）有下列命题: ；“x >2且y >3”是“x +y >5”的充要条件;；“b 2−4ac <0”是“一元二次不等式ax 2+bx +c <0的解集为R”的充要条件; ；“a =2”是“直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的充分不必要条件; ；“xy =1”是“lgx +lgy =0”的必要不充分条件.其中真命题的序号为____________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （13）（本小题满分16分）已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k．(I)求m的值；(II)当x∈[−1,2]时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A,B，设命题p:x∈A，命题q:x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．(14)（本小题满分18分）设命题p：a>0；命题q：关于x的不等式a−x≥0对一切x∈[−2，−1]均成立。

一、单选题1．在等比数列中，，，则等于（ ） {}n a 11a =84a =234567a a a a a a A ．32 B ．64 C ．128 D ．256【答案】B【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】解：在等比数列中，，， {}n a 11a =84a =则，273645184a a a a a a a a ====所以.7323456464a a a a a a ==故选：B2．双曲线上的点到左焦点的距离为9，则点到右焦点的距离为（ ）22:1916x y C -=P P A ．3 B ．15 C ．15或3 D ．10【答案】C【分析】由双曲线的定义求解即可.【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，1F 2F因为双曲线方程为，所以，，，22:1916x y C -=3a =4b =5c ==由双曲线的定义得，则， 122PF PF a -=126PF PF -=126PF PF -=±又因为，所以或，19PF =215PF =3由双曲线的性质可知，到焦点距离的最小值为， P 5323c a -=-=<故选：C3．设函数在点处的切线方程为，则（ ）()f x (1,(1))f 43y x =-()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆A ． B ．C ．D ．4213-【答案】A【分析】根据导数的几何意义可知，再根据导数值的定义即可选出答案. (1)f '【详解】由导数值的定义，，根据导数的几何意义，，即()()11lim(1)x f x f f x∆→+∆-'=∆(1)4f '=.()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆故选：A4．数列满足，，则（ ） {}n a 111n na a +=-13a =2023a =A ．3B ．C ．D ．12-5223【答案】A【分析】根据递推公式求得数列中的前几项，从而得到数列的周期，由此即可求得的值. 2023a 【详解】因为，， 111n na a +=-13a =所以，1132111111111111111111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++------=======---------所以数列是以3为周期的周期数列， {}n a 故. 20231367413a a a +⨯===故选：A.5．已知抛物线，直线l 过定点P （0，1），与C 仅有一个公共点的直线l 有（ ）条 2:4C y x =-A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两种情况分别讨论，(0,1)P 一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切，根据这两种情况进而求解.【详解】过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称(0,1)P l 2:4C y x =-l 轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：当直线与抛物线的对称轴平行时，则直线的方程为：，满足条件；l l 1y =当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相l (0,1)P x 切，易知：是其中一条，0x =不妨设另一条直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得：，则l 1y kx =+l 22(24)10k x k x +++=有，解得：，22(24)40k k ∆=+-=1k =-所以过点的直线的方程为：或或， (0,1)P l 1y =0x =1y x =-+故选：.C 6．已知，，则数列的通项公式是（ ）12a =()1+=-n n n a n a a {}n a n a =A ．n B ． C ．2nD ．1n +1nn n +⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得； 11n n a n a n++=【详解】解：由，得， ()1+=-n n n a n a a ()11n n n a na ++=即， 11n n a n a n++=则，，，…，，11n n a n a n -=-1212n n a n a n ---=-2323n n a n a n ---=-2121a a =由累乘法可得，因为，所以，1na n a =12a =2n a n =故选：C ．7．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（ ） A ．6天 495人 B ．7天 602人 C ．8天 716人 D ．9天 795人【答案】B【分析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数{}n a 165a =列，解方程可得所求值．【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且n n a {}n a ，，123216a a a =++21300n n n a a a --++=∴，， 13002161723n a a ++==107n a =∴天 1177n a a n -=+=则目前派出的人数为人，()17776022a a S +==故选：B ．8．已知圆和两点，若圆上存在点，使得()()22:5121C x y -+-=(0,),(0,)(0)A m B m m ->C P ，则的最小值为（ ）90APB ∠= m A ．14 B ．13 C ．12 D ．11【答案】C【分析】将问题转化为以为直径的圆与圆有公共点的问题来列不等式，解不等式求得的AB O C m 取值范围，由此求得的最小值.m【详解】解：以为直径的圆的方程为，圆心为原点，半径为.圆AB O 222x y m +=1r m =的圆心为，半径为.()()22:5121C x y -+-=()5,12C 21r =要使圆上存在点，使得，则圆与圆有公共点， C P 90APB ∠=︒O C所以，即，1212r r OC r r -≤≤+1m +所以， 11313113113113113m m m m m ⎧-≤-≤-≤⎧⎪⇒⎨⎨+≥+≤-+≥⎪⎩⎩或⇒12141212m m m -≤≤⎧⎨≤-≥⎩或又，所以，所以的最小值为. 0m >1214m ≤≤m 12故选：C二、多选题9．已知等差数列则（ ） 10,7,4,, A ．该数列的通项公式为 313n a n =-+B ．是该数列的第13项 25-C ．该数列的前5项和最大D ．设该数列为，则 {}n a 1238||||||||48a a a a ++++= 【答案】AD【分析】根据首项和公差求出和，利用和计算可得答案.n a n S n a n S 【详解】依题意，所以，故A 正确； 110,3a d ==-1(1)103(1)313n a a n d n n =+-=--=-+由，得，故B 不正确； 31325n a n =-+=-38133n =≠由，得，由，得，所以该数列的前4项和最大，故C 不3130n a n =-+≥4n ≤3130n a n =-+<5n ≥正确；，(1)10(3)2n n n S n -=+⨯-23232n n-+= 123812345678||||||||()a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++ 482S S =-，故D 正确. 223423438238222-⨯+⨯-⨯+⨯=⨯-48=故选：AD10．已知圆，则下列说法正确的是（ ）22230M x y x +--=：A ．点（2，0）在圆M 内B ．圆M 关于对称10x y +-=CD ．直线与圆M 的相交所得弦长为10x +=【答案】ABD【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系判断A ，判断点与直线的位置关系，判断M 10x y +-=B ；配方后得到圆的半径，判断C ；利用弦长公式求弦长判断D. 【详解】整理得：，22230x y x +--=()2214x y -+=因为，时，∴点在圆M 内，A 正确； 2x =0y =222330x y x +--=-<()2,0因为圆心在直线上，所以圆M 关于对称，B 正确； ()1,0M 10x y +-=10x y +-=因为圆M 半径为2，故C 错误；∵圆心到直线的距离为，()1,0M 10x +=1d ==所以直线与圆M 的相交所得弦长为，D 正确. 10x +==故选：ABD.11．已知数列满足，其中，Sn 为数列{}的前n 项{}n a ()12321n a a n a n +++-= ()21nn a b n =+n b和，则下列四个结论中，正确的是（ ） A ．B ．数列{}的通项公式为： 11a =n a 121n a n =+C ．数列{}为递减数列 D ．若对于任意的都有，则 n a *N n ∈n S λ<12λ≥【答案】ACD【分析】令可求；利用已知求的方法求数列通项公式；根据递减数列的定义判断1n =1a n S n a {}n a 数列的单调性，利用裂项相消法求数列的前n 项和，由条件求的范围. {}n b λ【详解】因为，()12321n a a n a n +++-= 所以当时，， 2n ≥()1213231n a a n a n -+++-=- 两式相减得，所以， ()211n n a -=121n a n =-又因为当时，满足上式，1n =11a =所以数列的通项公式为：，故A 正确，B 错误， {}n a 121n a n =-因为，，所以， 121n a n =-N n *∈()()1112021212121n n a a n n n n +-=-=-<+-+-所以，所以数列为递减数列，故C 正确；1n n a a +<{}n a ，()()()111121212122121n n a b n n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭所以 12n n S b b b =+++ ， 11111111111232352212124221n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为对于任意的都有，所以，其中，*N n ∈n S λ<max 21n n λ⎛⎫< ⎪+⎝⎭*N n ∈又，所以，故D 正确. 1121221n n n =<++12λ≥故选：ACD.12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在直线l 上，过点1F 2F 222:1(0)4x yC b b-=>(4,0)M -2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，下列说法正确的是（ ）A ．若直线l 与双曲线左右两支各一个交点，则直线l 的斜率范围为）(,)22b b-B ．点2F C ．若直线AB垂直于x 轴，且△ABM 为锐角三角形，则双曲线的离心率取值范围为 D ．记的内切圆的半径为r 1，的内切圆的半径为，若，则12AF F △1I 12BF F △2I 2r 124r r =b =【答案】ACD【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，根据题意，两交点的横坐标异号，利用韦达定理l 即可求解，判断选项；求出右焦点到渐近线的距离为，进而判断选项；要使为锐角三A bB ABM :角形，则，所以，进行等量代换求出离心率的取值即可判断选项；根据三245AMF ∠<︒24b c a +>C 角形内切圆的特点先求出两圆的内心在上，然后利用三角形相似求出的值，进而求出，即x a =c b 可判断选项.D 【详解】对于，由题意知：直线的斜率存在，设直线的方程为：， A l l (4)y k x =+设直线与双曲线左右两支的交点分别为，，l 11(,)P x y 22(,)Q x y 联立方程组，整理可得：，22214(4)x y b y k x ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩222222(4)326440b k x k x k b ----=则，也即，解得：，故选项正确； 22122264404k b x x b k --⋅=<-2240b k ->22b b k -<<A 对于，设右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，由点到直线的距离公式可得：B 2(,0)F c 0bx ay ±=点到双曲线渐近线的距离错误；2F d b ==≠B 对于，若直线AB 垂直于x 轴，则直线的方程为：，设点，，要使C AB x c =2(,)bA c a2(,b B c a-为锐角三角形，由双曲线的对称性可知：，ABM :245AMF ∠<︒则，即，所以，22F M AF >24b c a+>24b ac a <+又因为，则，也即，整理可得：，则2a =2242b ac a ac a <+=+2222c a ac a -<+2230c ac a --<， 230e e --<e <1e >所以，故选项正确； e ∈C 对于，过分别作的垂线，垂足为，D 1I 1212,,AF AF F F ,,DE F则，因为，1122,,AD AE F D F F F F F E ===122AF AF a -=则，又因，1212()()2AD DF AE EF F F F F a +-+=-=12122F F F F F F c =+=则，所以，即在直线上，同理也在直线上，所以11FF OF OF a c =+=+OF a =1I x a =2I x a =轴，12I I x ⊥因为，1212122221,I F A I F F I F B I F F ∠=∠∠=∠则，所以， 1221212121222I F I F I F F I F F F I A B I ∠∠∠∠∠++==22190I F I ∠=︒由可知：，则，也即，1222I FF F FI :::1222I F F F F FI F=2212IF I F FF ⋅=212()r r c a ⋅=-因为，，所以，，故选项正确，2a =124r r =4c =b ==D故选：.ACD三、填空题13．已知直线l 1，若，则实数a =______. ()210130x ay l a x y +-=+++=：，：12l l ⊥【答案】##12-0.5-【分析】根据若，则，运算求解. 12l l ⊥12120A A B B +=【详解】若，则，解得.12l l ⊥()1110a a ⨯++⨯=12a =-故答案为：.12-14．已知函数，则=______. 2()ln 31f x x x x =+-1f '（）【答案】7【分析】求出的导数，再将代入，即可得答案. ()f x ()f x '1x =【详解】解：因为， 2()ln 31f x x x x =+-所以，1()ln 6ln 61f x x x x x x x'=+⋅+=++所以. (1)ln16117f '=+⋅+=故答案为：715．设椭圆的左、右焦点分别为、，点M 、N 在C 上（M 位于第一象2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 限），且点M 、N 关于原点O 对称，若，则C 的离心率为______.12290,2||||MF N MF NF ︒∠==【分析】根据几何分析确定四边形为矩形，根据勾股定理构造齐次式即可求出离心率. 12MF NF 【详解】依题意，作图如下，因为点关于原点对称，所以为的中点，,M N O O MN且为的中点，，所以四边形为矩形，O 12F F 190N MF ︒∠=12MF NF 由，设 222MF NF =21,2,MF x MF x ==由椭圆的定义知，解得： 212,MF MF a +=2124,,33a a MF MF ==所以()22224233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：，因为， 259e =01e <<所以 e =四、双空题16．已知数列满足，，则______；高斯是德国著名的数学家，近代数学{}n a 11a =12n n a a n ++=3a =奠基者之一，享有“数学王子”的称号，设，用表示不超过的最大整数，称为x ∈R []x x ()[]f x x =高斯函数.设，且数列的前项和为，则______. []1g n n b a ={}n b n n T 2022T =【答案】34956【分析】根据递推公式一一计算即可求出，再归纳出的通项，最后结合高斯函数的定义并项3a {}n a 求和计算可得.【详解】解：因为，， 11a =12n n a a n ++=当时，则， 1n =122a a +=21a =当时，则， 2n =324a a +=33a =当时，则， 3n =346a a +=43a =当时，则，4n =548a a +=55a =，由此可归纳得，当为奇数时，当为偶数时，n n a n =n 1n a n =-显然当时成立，假设当（为奇数）时成立，即，则，即1n =11a =n k =k k a k =12k k a a k ++=也成立，1k a k +=假设当（为偶数）时成立，即，则，即也成立，故归纳成n k =k 1k a k =-12k k a a k ++=11k a k +=+立；因为，[]1g n n b a =当时，则， 110n ≤≤19n a ≤≤[]1g 0n n b a ==当时，则， 11100n ≤≤1199n a ≤≤[]1g 1n n b a ==当时，则， 1011000n ≤≤101999n a ≤≤[]1g 2n n b a ==当时，则，10012022n ≤≤10012021n a ≤≤[]1g 3n n b a ==()232320220101(1010)2(1010)3202210T ∴=⨯+⨯-+⨯-+⨯- 190290031022=⨯+⨯+⨯．4956=故答案为：，．34956五、解答题17．在数列{}中，n a ()*11534N n n a a a n +==-∈，(1)求证：是等比数列： {}2n a -(2)求数列{}的前n 项和. n a n S 【答案】(1)证明过程见详解(2)3(31)22n n S n -=+【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证； (2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【详解】（1）由题意知：，所以， 134n n a a +=-12362(2)n n n a a a +-=-=-即，又， 1222n n a a +-=-1230a -=≠所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.{}2n a -（2）由（1）可知：，所以，23n n a -=23nn a =+所以1221n n n S a a a a a -=+++++1231(2+2+2++2+2)(33333)n n -=++++++ 3(13)213n n -=+-. 3(31)22n n -=+18．如图，正方体ABCD —的棱长为2，P 、Q 分别为BD 、的中点.1111D C B A 1CD(1)证明：PQ 平面；:11BCC B (2)求直线与平面所成角的大小. 1CD 11ABC D 【答案】(1)证明见详解 (2) π6【分析】（1）建系，利用空间向量证明线面平行；（2）先求平面的法向量，再利用空间向量求线面夹角. 11ABC D 【详解】（1）如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，则，()()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,,1,1,0,0,1,10,0,2A B C D P Q 可得，平面的法向量，()1,0,1PQ =-u u u r11BCC B ()0,1,0n = ∵，且平面，1001100PQ n ⋅=-⨯+⨯+⨯=u u u r rPQ ⊄11BCC B ∴PQ 平面.:11BCC B （2）由（1）可得：， ()()()110,2,0,2,0,2,0,2,2AB AD CD ==-=-设平面的法向量为，则， 11ABC D (),,m x y z = 120220m AB y m AD x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩令，则，故，1x =0,1y z ==()1,0,1m =∵，1111cos ,2m CD m CD m CD ⋅===u r u u u ru r u u u ru r u u u r 故直线与平面所成角的正弦值为，则其大小为. 1CD 11ABC D 12π619．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离为，()2202C y px p =<<：1P p ⎛ ⎝32(1)求抛物线的方程：C (2)若直线（为参数）与抛物线C 交于两点，且，求直线的方程 :l y x m =+m ,A B OA OB ⊥l 【答案】(1) 22y x =(2) 2y x =-【分析】（1）利用抛物线的定义，列方程求出即可；p （2）联立直线和抛物线方程，设出，，然后用韦达定1122(,),(,)A x y B x y 12120OA OB x x y y ⊥⇔+=理求解.【详解】（1）根据抛物线的定义，到焦点的距离等于到准线的距离，即，结合题干条P 3122pp =+件，解得，故抛物线方程为：02p <<1p =22y x =（2）设，依题意：1122(,),(,)A x y B x y ()()112212120,,00OA OB OA OB x y x y x x y y ⊥⇔⋅=⇔⋅=⇔+=，联立直线和抛物线：，得到，，解得，由韦达定22y x y x m⎧=⎨=+⎩2220y y m -+=480m ∆=->12m <理：，在抛物线上，故，于是，于是122y y m =1122(,),(,)A x y B x y 21122222y x y x ⎧=⎨=⎩22212124y y x x m ==，解得或，但时，其中一点和重合，不符题意，时，220m m +=0m =2m =-0m =,A B O 2m =-符合判别式条件.综上可知，，此时直线方程为：2m =-2y x =-20．已知数列的前n 项和为，且，______.请在①：②{}n a n S 11n n n S S a +=++*()N n ∈3914a a +=，，成等比数列：③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问2a 5a 11a 844S =题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，设数列{}的前n 项和，求证： 2nn n a b =n b n T 13n T ≤<*()N n ∈【答案】(1) 1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）先根据推出数列为等差数列，公差.若选①，根据等差中项11n n n S S a +=++{}n a 1d =求出，再求出，根据和可得通项公式；若选②，根据等比中项列式求出，可得；若6a 1a 1a d 1a n a 选③，根据等差数列求和公式列式求出，可得. 1a n a （2）利用错位相减法求出，根据为正数，得，根据为递增数列，可得. n T 32n n +3nT <n T 11n T T =≥【详解】（1）由，得，得， 11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-=所以数列为等差数列，公差.{}n a 1d =若选①，因为，所以，， 3914a a +=6214a =67a =所以，， 6157a a d =+=12a =所以，1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选②，因为，，成等比数列，所以，2a 5a 11a 25211a a a =所以，所以，2111(4)()(10)a d a d a d +=++2111(4)(1)(10)a a a +=++所以，所以. 12a =1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+若选③，因为，所以， 81878442S a ⨯=+=12a =所以， 1(1)211n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）知，，则， 1n a n =+12n nn b +=则， 12323412222n nn T +=++++ ， 23411234122222n n n T ++=++++ 所以，23411111111222222n n n n n T T ++-=+++++- 所以， 1111(1)1142112212n n n n T -+-+=+--所以，因为为正数，所以， 332n n n T +=-32nn +3n T <因为， 11433322n n n nn n T T ++++-=--+112642022n n n n n +++--+==>所以，所以数列为递增数列， 1n n T T +>{}n T 所以， 14312n T T ≥=-=综上所述：.13n T ≤<*()N n ∈21．在平面五边形中（如图1），是梯形，，，ABCDE ABCD //AD BC 22AD BC ==AB =，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥90ABC ∠=ADE V ADE V ADEB EC E ABCD-（如图2）且EC =(1)求证：平面平面； EAD ⊥ABCD (2)在棱上有点，满足，求二面角的余弦值. EB F 13EF EB=E AD F --【答案】(1)证明见解析【详解】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：AD O ,OC OE OC OA ⊥OE OA ⊥则 OC AB ==2OE ==折叠后，在图2中，，如图：OE AD ⊥在中，，所以， COE :OC =OE =EC 222EC OC OE =+OE OC ⊥由，，，平面，平面， OE AD ⊥OE OC ⊥OC AD O = OC ⊂ABCD AD ⊂ABCD 得平面，又平面， OE ⊥ABCD OE ⊂EAD 所以平面平面。

高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。

【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。

5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。

高二数学数列试题1.已知等比数列的前项为，，，则= ．【答案】31【解析】【考点】等比数列通项公式求和公式2.设数列是等差数列，是的前项和，且，则下列结论错误的是A．B．C．均为的最小值D．【答案】D【解析】由，得，则．【考点】等差数列．3.数列满足，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得：，，，，所以数列为周期为4的周期数列．，所以．【考点】1．周期数列；2．数列的递推公式；4.已知等差数列的前n项和为，且=（）A．18B．36C．54D．72【答案】D【解析】,由等差数列的性质可得,所以．故D正确．【考点】1等差数列的性质；2等差数列的前项和．5.设数列中,,，则通项=_____．【答案】【解析】∵，∴，，，，，∴，∴．【考点】累加法求通项公式．【方法点睛】通过分析发现已知条件与等差数列的公差形式差不多，故想到用累加法求解，利用，先写出的表达式，再令这些表达式相加，消去一些项，得出的值，等号右边利用等差数列或等比数列的前n项和公式求和，再求的值．6.（本题满分16分）设数列的前项的和，已知．（1）求的值；（2）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式;（3）证明：对一切正整数，有．【答案】（1）4；（2）；（3）详见解析【解析】（1）令n=1，代入即可求的值；（2）根据递推数列，结合等差数列的定义即可证明数列是等差数列，找到数列的首项和公差，从而得到通项公式，整理得的通项公式；（3）求出的通项公式，利用放缩法以及裂项法，即可证明不等式成立试题解析：（1）解：依题意：当时，解得：… 3分（2）证明：两式相减得：整理得：又对任意都有故数列是以1为首项1为公差的等差数列，所以（3）证明：由（2）得：所以得证．【考点】1．数列的求和；2．等差关系的确定；3．放缩法证明不等式7.等比数列中，，则（）A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】由等比数列性质可知【考点】等比数列性质8.数列，满足，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】，所以数列的前项的和为，故选D【考点】裂项相消法求和9.在2和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为（）A．64B．±64C．16D．±16【答案】A【解析】设中间三数为，由等比数列性质可知【考点】等比数列性质10.已知数列的前项和，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以即，且，所以，即，所以，即，运用累乘法可得，，故应选．【考点】1、由数列的递推公式求数列通项公式．11.在数列中，已知，，且数列是等比数列，则．【答案】【解析】数列中第二项，第三项，所以公比为3，【考点】数列求通项公式12.已知为数列的前n项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）已知条件是数列的项与和的关系求通项公式，常有两种做法：一、消和留项，从而得到数列的递推公式，然后求通项即可；二、当方法一比较困难时，可以消项留和，从而求出的递推公式，进而求出，然后问题等价于已知数列的前n项和求数列通项公式．（2）由（1）可得，，用裂项相消的方法即可求数列的前n项和．试题解析：（1）当时，，可得或（舍），由，两式相减得，∵，∴，数列是以3为首项，2为公差的等差数列，∴．（2）∵，∴．【考点】求数列的通项公式；求数列的前n项和．13.设数列{an }的前n项和为Sn．已知a1＝1，Sn＋1＝4a n＋2．（1）设bn ＝an＋1－2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式．【答案】（1）证明过程详见解析；（2）an＝（3n－1）·2n－2．【解析】（1）运用，并结合Sn＋1＝4a n＋2，得到数列{a n}的递推公式，a n＋2＝4a n＋1－4a n．然后由b n＝a n＋1－2a n，即可证明；（2）由（1）得，a n＋1－2a n＝3×2n－1，于是－＝，从而构造新数列求出通项公式．试题解析：（1）由已知，得a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝3a1＋2＝5，故b1＝a2－2a1＝3．又an＋2＝S n＋2－S n＋1＝4a n＋1＋2－（4a n＋2）＝4a n＋1－4a n，于是an＋2－2a n＋1＝2（a n＋1－2a n），即b n＋1＝2b n．因此数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．（2）由（1）知等比数列{bn }中b1＝3，公比q＝2，所以an＋1－2a n＝3×2n－1，于是－＝，因此数列{}是首项为，公差为的等差数列，＝＋（n－1）×＝n－，所以an＝（3n－1）·2n－2．【考点】①证明数列是等比数列；②构造新数列求数列通项公式．14.设为等比数列{}的前n项和，，则＝（）A．10B．－5C．9D．－8【答案】A【解析】【考点】等比数列通项公式求和公式15.已知数列满足，，，，成等差数列，则数列的通项公式为．【答案】【解析】：∵数列满足，（n∈N*，p为常数），．∵，，成等差数列，∴，∴，解得p=2，∴，∴当n≥2时，．∴【考点】1．等比数列的通项公式及其前n项和公式；2．累加求和16.已知数列的首项，前项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设函数，是函数的导函数，令，求数列的通项公式，并研究其单调性．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），是单调递增数列．【解析】（Ⅰ）根据求得，两式相减求得，判断出是一个等比数列，进而根据首项和公比求得数列的通项公式；（Ⅱ）化简得．用错位相减法得出通项公式，然后利用导数确定其单调性．试题解析：（I）由（）得（）,两式相减得，可得（），又由已知，所以，即是一个首项为，公比的等比数列，所以（）．（II）因为，所以,令，则,所以，作差得，所以,即,而所以，作差得,所以是单调递增数列．【考点】1、数列的递推公式；2、等差数列和等比数列定义及求和；3、数列的求和．【方法点晴】根据题目中的条件，出现时经常会先写出的关系式，两式相减，利用或进行转化，得到关于数列项的递推关系式，判断构造适当的等差或等比数列，进而求出数列的通项公式．当一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到新数列，进行求和时应想到用错位相减法，由乘数列公比得到，相减得到，利用等比数列求和公式运算之后不要忘了除以．17.设为等比数列的前n项和，，则（）A．11B．-8C．5D．-11【答案】D【解析】设等比数列的公比为，首项为，由题意可得解得，故，故选 D．【考点】1、等比数列的通项；2、等比数列的前项和公式．18.（2015秋•如东县期末）已知数列{an }，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=（n∈N*），则b2015= ．【答案】．【解析】由已知条件推导出bn+1=，b1=，从而得到数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，由此能求出b2015．解：∵an +bn=1，且bn+1=，∴bn+1=，∵a1=，且a1+b1=1，∴b1=，∵bn+1=，∴﹣=﹣1，又∵b1=，∴=﹣2．∴数列{}是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，∴=﹣n﹣1，∴bn =．则b2015=．故答案为：．【考点】数列递推式．19.已知正项等比数列，且，，则=A．B．C．D．2【答案】C【解析】【考点】等比数列性质20.已知数列{an }的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，因为，所以当时，；所以当时，；所以当时，；所以，可猜想，故选B．【考点】归纳推理．方法点晴：本题主要考查了数列的递推计算及归纳推理的应用，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，对于归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况法相事物具有某些相同的性质；（2）从已知的相同性中推出一个明确的表达的一般性的命题（猜想），本题的解答中，利用数列的递推关系，求解，进而推出一般性的结论．21.在等差数列{an }中，Sn为其前n项和，已知a6=S6=﹣3；数列{bn}满足：bn+1=2bn，b2+b4=20．（1）求数列{an }和{bn}的通项公式；（2）设，求数列{cn }前n项和Tn．【答案】（1）3﹣n；（2）【解析】（1）设等差数列{an }的公差为d，从而可得，从而求an，再由等比数列的通项公式求bn；（2）化简，从而可得数列{cn}是首项为4，公比为的等比数列，从而求前n项和．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则，解得，；∴an =2﹣（n﹣1）=3﹣n；∵bn+1=2bn，∴数列{bn }是公比为2的等比数列，∵b2+b4=2b1+8b1=20，∴b1=2，∴；（2）∵，∴，∴数列{cn}是首项为4，公比为的等比数列，∴．【考点】数列的求和．22.已知等比数列满足,,则（）A．2B．1C．D．【答案】C【解析】【考点】等比数列通项公式23.数列{an } 满足a1=1，an+1=2an+3（n∈N*），则a4= ．【答案】29【解析】解：∵an+1=2an+3，∴an+1+3=2（an+3），∴数列{an +3}是等比数列，公比为2，首项为4，∴an +3=4×2n﹣1，即an=2n+1﹣3，∴﹣3=29．故答案为：29．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.设等比数列中，前项和为，已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为是等比数列，所以成等比数列，则，即，解得，即，故选A．【考点】等比数列的性质及其应用．25.数列{an }的前n项和为Sn，若an=，则S100等于（）A．B．C．2D．【答案】B【解析】解：∵an==2（﹣），∴S100=2（1﹣+…+）=2（1﹣）=，故选：B【点评】本题主要考查数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．26.等差数列中，已知，，则使得的最小正整数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】因为等差数列中，已知，，所以，由等差数列的性质可得，再由题意可得，此等差数列为递增数列，所以使得的最小正整数为，故选B.【考点】等差数列的性质.27.已知数列满足，则（）A．0B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以，故此数列的周期为，所以．【考点】数列的递推公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，其中解答中根据数列的首项和数列的递推关系式，可计算得出的值，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力，以及学生的应变能力和不完全归纳法，可能大部分学生想直接求解数列的通项公式，然后求解，但此法不通，很难入手，属于易错题型．28.在公差为d的等差数列{an }中有：an=am+（n-m）d （m、n N+）,类比到公比为q的等比数列{b}中有：n【答案】【解析】由题意可得，符合类比的要求；【考点】1.等差，等比数列的通项公式的熟练变形；2.类比变形；29.设数列，都是等差数列，若，则_____________．【答案】【解析】因为数列，都是等差数列，所以数列仍是等差数列，所以.【考点】等差数列的性质.30.设等差数列的前项和，且满足,对任意正整数，都有，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由等差数列的求和公式及性质，可得，所以，同理可得，所以，所以，对任意正整数，都有，则，故选D.【考点】等差数列的求和公式.31.已知数列的前项和，且满足．（1）求证：是一个等差数列；（2）求的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）根据题设条件，化简，即可利用等差数列的定义，证得数列是一个等差数列；（2）根据数列和的关系，即可求解数列的通项公式．试题解析：提示：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2），不适合上式．．．．．．．．．．．．．12分【考点】数列的概念；数列的通项公式．32.设数列前项和为，如果那么_____________．【答案】【解析】由，即，所以当时，，两式相减，可得，即，所以，又因为，所以．【考点】数列通项公式的应用．【方法点晴】本题主要考查了数列通项公式的应用，其中解答中涉及数列的递推关系式的应用、数列的累积法等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中，利用数列的递推关系式，得到，进而得到是解答的关键．33.数列满足并且．则数列的第100项为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】为等差数列，首项为，第二项为【考点】数列求通项公式34.在数列{an }中，若a1＝1，an＋1＝2a n＋3（n≥1），则该数列的通项a n＝_______．【答案】【解析】递推公式an＋1＝2a n＋3转化为为等比数列，首项为4，公比为2【考点】求数列通项公式35.已知数列满足，（），数列前项和为，则．【答案】【解析】当时,,,故应填.【考点】数列求和.36.己知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为成等比数列且，可得，即，解得，所以，所以，利用函数在区间上单调递减，在单调递增，所以当时，有最小值，故选C．【考点】等差数列的通项公式与前项和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式与前项和，其中解答中涉及到等比中项公式的应用，数列的单调性、基本不等式和函数的单调性等知识点的综合考查，试题综合性强，有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，同时掌握函数的性质是解答一个难点．37.已知各项均为正数的等比数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据等比中项，有.【考点】等比数列.38.已知数列的首项，且满足.（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）根据等差数列的定义进行证明即可；（2）利用（1）中求得的数据可以推知．利用错位相减法来求．试题解析：解：（1）………………4分∴数列是以为首项，3为公差的等差数列。

4.3 等比数列(精练)【题组一 等比数列的判断或证明】1(2021·全国)有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；①等比数列中公比的取值范围是(,)-∞+∞；①若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；①若2b ac =，则a ，b ，c 成等比数列.其中说法正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】对于①，因为等比数列中的各项都不为0，所以①不正确； 对于①，因为等比数列的公比不为0，所以①不正确；对于①，若一个常数列是等比数列，则这个常数不为0，根据等比数列的定义知此数列的公比为1，所以①正确；对于①，只有当a ，b ，c 都不为0时，a ，b ，c 才成等比数列，所以①不正确. 因此，正确的说法只有1个， 故选：B.2．(2021·全国高二专题练习)以下条件中，能判定数列是等比数列的有( ) ①数列1，2，6，18，…； ①数列{}n a 中，已知212a a =，322a a =；①常数列a ，a ，…，a ，…；①数列{}n a 中，1(0)n na q q a +=≠，其中*n N ∈.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；①中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； ①中，当0a =时，不是等比数列；①中，数列符合等比数列的定义，是等比数列. 故选：A.3．(2021·全国高二单元测试)已知数列{}n a 是等比数列，则下列数列中：①{}3n a ；①{}2n a ；①12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，等比数列的个数是( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】设{}n a 的公比为q ，则3331n n a q a -=，112112n n a q a -=，故{}3n a 、12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等比数列. 取2n n a =，2n a n b =，则31212324,216,2256a a ab b b ======，此时32124,16b b b b ==，3212b bb b ≠，故{}2n a 不是等比数列， 故选：C.4．(2021·全国)设x R ∈,记不超过x 的最大整数为[]x ，如[]2.52=，[]2.53-=-，令{}[]x x x =-，则⎪⎪⎩⎭，⎣⎦，三个数构成的数列 A ．是等比数列但不是等差数列 B ．是等差数列但不是等比数列 C ．既是等差数列又是等比数列 D ．既不是等差数列也不是等比数列 【答案】A【解析】⎪⎪⎩⎭-,⎣⎦=1,故三个数成等比,选A ．5．(2021·吉林延边二中高二月考)下列命题中正确的是( ) A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列 B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列 C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a ，2b ，2c 是等比数列 D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a ，2b ，2c 是等差数列 【答案】C【解析】若1a b c ===-，则对数无意义，A,B 错误；对C ，若a ，b ，c 是等差数列，则2a c b +=，所以()2222222a c a c b b +⋅===，正确；对D ，若1,2,4a b c ===，则22,24,216a b c ===，显然2222a c b +≠⨯，错误. 故选：C.6(2021·全国高二专题练习)已知不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则一定不可能．．．是等差数列的为( )A ．a ，c ，bB ．2a ，2b ，2cC ．||a ，||b ，||cD ．1a ，1b ，1c【答案】D【解析】因为不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，所以该等比数列的公比1q ≠，显然有0,0a q ≠≠，2,b aq c aq ==， A ：若a ，c ，b 成等差数列，显然2c a b =+成立，即22aq a aq =+，化简为2210q q --=，解得12q =-，或1q =(舍去)，所以假设成立，故a ，c ，b 有可能是等差数列；B ：若2a ，2b ，2c 成等差数列，显然2222b a c =+成立，即222244a q a a q =+，化简为：42410q q -+=，解得：22q =显然q =q =所以假设成立，故2a ，2b ，2c 有可能成等差数列；C ：若||a ，||b ，||c 成等差数列，显然2||b a c =+，即22aq a aq =+，化简为：2210q q -+=，解得1q =，因为1q ≠，所以1q =-，因此假设成立， 故||a ，||b ，||c 有可能 成等差数列；D ：若1a ，1b ，1c 成等差数列，显然1112b a c⋅=+，即21112aq a aq ⋅=+， 化简为：2210q q -+=，解得1q =，而1q ≠，因此假设不成立，故1a ，1b ，1c一定不可能成等差数列，故选：D7．(2021·辽宁阜新·高二期末)(多选)已知等比数列{}n a 中，满足11a =，公比3q =-，则( ) A ．数列{}13n n a a ++是等比数列 B ．数列{}1n n a a +-是等差数列 C ．数列{}1n n a a +是等比数列 D ．数列{}3log n a 是等差数列 【答案】CD【解析】等比数列{}n a 中，满足11a =，公比3q =-，()13n n a -=-.对于A ，()()()()11133331130n n n nn n n a a --+⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-⋅=⎣⎦⎣⎦，不是等比数列，故A 错误； 对于B ，()()()1143333n n nn n a a -+-=---=⋅-，是等比数列，故B 错误；对于C ，()()()1211333n n n n n a a --+=-⋅-=-，是等比数列，故C 正确；对于D ，()133log log 31n n a n -=-=-，是等差数列，故D 正确.故选：CD.8．(2021·全国)(多选)若{}n a 是等比数列，则( )A ．{}2n a 是等比数列B ．{}1n n a a ++是等比数列C ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D ．{}1n n a a +⋅是等比数列【答案】ACD【解析】因为{}n a 是等比数列，所以设其公比为q ，即1n na q a +=． 因为2212n na q a +=，所以{}2n a 是等比数列，所以A 选项正确； 因为11111n n n na a a q a ++==，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，所以C 选项正确；； 因为2211n n n na a q a a +++=，所以{}1n n a a +是等比数列，所以D 选项正确； 当1q =-时，10n n a a ++=，所以此时1{}n n a a ++不是等比数列，所以B 选项错误. 故选：ACD9．(2021·深圳市皇御苑学校)(多选)已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是 A ．1{}na B ．22log ()n a C ．1{}n n a a ++ D ．12{}n n n a a a ++++【答案】AD【解析】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ．10．(2021·全国高二专题练习)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2()1n +a n ，设b n ＝na n.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式.【答案】(1)b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4；(2)是，理由见解析；(3)12n n a n -=⋅.【解析】(1)由条件可得a n ＋1＝2(1)n n+a n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得11n a n ++＝2n an，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n na n-=，所以12n n a n -=⋅. 【题组二 等比数列基本量计算】1．(2021·全国高二课时练习)在数列{}n a 中，11a =，点()1,n n a a +在直线2y x =上，则4a 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．16【答案】B【解析】因为点()1,n n a a +在直线2y x =上，所以12n n a a +=， 因为11a =，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以3341128a a q =⋅=⨯=.故选：B.2．(2021·北京牛栏山一中高二期中)已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，下表给出了S n 的部分数据：那么数列{}n a 的第四项4a 等于( ) A ．81 B ．27 C ．-81或81 D ．-27或27【答案】B【解析】由题意得，等比数列{}n a 中，1545181a S S a =-⎧⎨-==-⎩，故481q =，3q =±， 因为10S <，44110qS q -=->，由410q ->，所以10q ->， 所以3q =-，所以()13n n a -=--，故3341(3)27a a q ==--=． 故选：B ．3．(2021·全国高二课时练习)记正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34a =，425S S =，则6S =( ) A ．2 B ．－21 C ．32 D ．63【答案】D【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 因为34a =，425S S =，所以()()212311111145a q a a q a q a q a a q ⎧=⎪⎨+++=+⎪⎩，即()2123441a q q q q ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，解得121q a =⎧⎨=⎩， 所以()666112216312S ⨯-==-=-.故选：D.4．(2021·全国高二课时练习)在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为___________.【答案】80，40，20，10【解析】不妨设等比数列16{},160,5n a a a ==，公比为q则561a a q =，即 5=160q 5，① q 5=132，① q =12. 故2342131415180,40,20,10a a q a a q a a q a a q ========① 这4个数依次为80，40，20，10. 故答案为：80，40，20，105．(2021·全国高二课时练习)在等比数列{a n }中，若a 3=3，a 10=384，则公比q =___________. 【答案】2【解析】33a =，10384a =，7103a a q ∴=，73843q ∴=，即771282q ==，2q ∴=，故答案为：2．6．(2021·上海市进才中学高二月考)在2，x ，8，y 四个数中，前三个数成等比数列，后三个成等差数列，则x y -=___________ 【答案】8-或24-.【解析】由已知得216,16x x y ==+解得412x y =⎧⎨=⎩或420x y =-⎧⎨=⎩，8x y ∴-=-或24x y -=-.故答案为：8-或24-.7．(2021·全国高二课时练习)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________. 【答案】45【解析】设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则a －1，aq －1，aq 2－4，aq 3－13成等差数列.即 ()()()()()()2232141,24113,aq aq a aq aq aq ⎧-=-+-⎪⎨-=-+-⎪⎩整理得22(1)3,(1)6,a q aq q ⎧-=⎨-=⎩ 解得a ＝3，q ＝2.因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45. 故答案为：458．(2021·全国高二专题练习)等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)若a 1＝－8，a 3＝－2，求S 4； (2)若S 6＝315，q ＝2，求a 1. 【答案】(1)－15或－5；(2)5.【解析】(1)由题意可得2312184a q a -===-， 所以12q =-或12q =.当12q =-时，4418125112S ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭；当12q =时，44181215112S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--； 综上所述，415S =-或45S =-.(2)()6161231512a S -==-，解得15a =.9．(2021·全国高二课时练习)已知数列{}n a 是等比数列． (1)若13a =，2q，6n =，求n S ；(2)若1 2.7a =-，13q =-，190n a =，求n S ；(3)若11a =-，464a =，求q 与4S ； (4)若332a =，392S =，求1a 与q ． 【答案】(1)189； (2)9145-； (3)4q =-，451S =； (4)13,12a q ==或116,2a q ==-. 【解析】(1)因为13a =，2q，6n =，可得6616(1)3(12)189112a q S q -⨯-===--.(2)因为1 2.7a =-，13q =-，且190n a =，所以11112.7()(1)91903111451()3nn n a a q a q S q q--⨯---====-----. (3)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =-，464a =，可得331164a q q =-⨯=， 即364q =-，解得4q =-，所以4414(1)1[1(4)]5111(4)a q S q --⨯--===---. (4)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为332a =，392S =， 当1q =时，可得332n a a ==，此时392S =，满足题意； 当1q ≠时，可得23131332(1)912a a q a q S q ⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得116,2a q ==-. 【题组三 等比数列中项性质】1．(2021·全国)若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =( )A ．8B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】因为1,2,m 为等比数列，故212m=即4m =，故选：B. 2．(2021·全国高二课时练习)在等比数列{}n a 中，已知37,a a 是方程2610x x -+=的两根，则5a = A ．1 B ．1- C ．±1 D ．3【答案】A【解析】在等比数列{}n a 中，因为37,a a 是方程2610x x -+=的两个根，所以373760,10,a a a a +=>⋅=>所以3750,0,0,a a a >>>因为23751,a a a ⋅==所以51,a =选A.3．(2021·全国)在正项等比数列{}n a 中，已知1234a a a =，45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．14 D ．16【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则312324a a a a ==，3456512a a a a ==，所以，395223a q a ==，则1333q =,因为311324n n n na a a a -+==，则3364323248134n n a q a -====，即24333n -=，解得14n =.故选：C. 4．(2021·全国)在等比数列{}n a 中，5673a a a =，67824a a a =，则789a a a 的值为( ) A ．48 B ．72 C ．144 D ．192【答案】D【解析】由5673a a a =，得363a =，由67824a a a =，得3724a =，所以337362483a q a ===， 所以3789678248192a a a a a a q ==⨯=．故选：D5．(2021·新蔡县第一高级中学)已知1k ≠，则等比数列2log a k +，4log a k +，8log a k +的公比为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．以上答案都不对【答案】B【解析】设数列的公比为()0q q ≠，2log a k +，4log a k +，8log a k +的公比相当于2log a k +，21log 2a k +，21log 3a k +的公比，相当于21log a k +，21log 2a k +，21log 3a k +的公比， 令2log a t k =，即相当于1t +，12t +，13t +的公比， ①()211123t t t ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得14t =-，则314t +=，1124t +=， ①公比111243134t q t +===+． 故选：B6．(2021·北京清华附中高二期中)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且33a =，则3132333435log log log log log a a a a a ++++=( )A ．52B ．5C ．10D ．15【答案】B【解析】因为等比数列{}n a 的各项均为正数，且33a =，所以()5313233343531234533log log log log log log log a a a a a a a a a a a ++++=⋅⋅⋅⋅=53log 35==.故选：B.7．(2021·江西省铜鼓中学高二开学考试(文))已知1-，a ，b ，9-成等差数列，1-，c ，d ，e ，9-成等比数列，则b ad-=( )． A ．83B ．89C ．89-D ．89或89-【答案】B【解析】因为1-，a ，b ，9-成等差数列，所以公差'9(1)884133d ----===--, 所以'83b a d -==-，因为1-，c ，d ，e ，9-成等比数列，所以d 是1-和9-的等比中项， 所以21(9)9d =-⨯-=，解得3d =或3d =-， 因为等比数列中奇数项同号，所以3d =-，所以88339b ad --==-， 故选：B【题组四 等比数列的前n 项和性质】1．(2021·安徽宣城·高二期中(文))设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34S =，4566a a a ++=，则96S S =( ) A ．32B ．1910 C ．53D ．196【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则456133a a a a S ++==，矛盾. 所以，1q ≠，故()()33341345631111a q a q q a a a q Sqq--++===--，则332q =， 所以，()()()63113631151112a q a q S q S qq--==+⋅=--， ()()()9311369311191114a q a q S q qS qq--==++=--， 因此，9363192194510S S S S =⋅=. 故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为( ) A ．180 B ．108 C ．75 D ．63【答案】D【解析】由题意得S 7，S 14－S 7，S 21－S 14组成等比数列48，12，3， 即S 21－S 14＝3，①S 21＝63. 故选：D3．(2021·新余市第一中学高二月考)已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( ) A ．7 B ．9C ．63D ．7或63【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ， 则()10102010111220121010S S a a a q a a a q S -=+++=+++=，()20203020212230121010S S a a a q a a a q S -=+++=+++=，所以，()()2202201010103020S S S S S q S -==⋅-，()()21010214921S S -=-， 整理可得21010704410S S -+=，解得107S =或63.当1063S =时，201042S S -=-，则10422633q =-=-，显然不成立，故107S =. 故选：A.4．(2021·全国)设等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 10①S 5=1①2，则S 15①S 5=( ) A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A【解析】:①数列{a n }为等比数列,且其前n 项和记为S n , ①S 5,S 10-S 5,S 15-S 10成等比数列. ①S 10∶S 5=1∶2,即S 10=12S 5, ①等比数列S 5,S 10-S 5,S 15-S 10的公比为1055-S S S =-12. ①S 15-S 10=-12(S 10-S 5)=14S 5.①S 15=14S 5+S 10=34S 5.①S 15①S 5=34.故选：A.5．(2021·全国高二课时练习)已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =( ). A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】B【解析】由题意可得所有项之和S S +奇偶是所有偶数项之和的4倍，①4S S S +=奇偶偶， 设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质可得S qS =偶奇，即1S S q=奇偶， ①14S S S q +=偶偶偶，①0S ≠偶,①解得13q =， 又前3项之积3123264a a a a ==，解得24a =，①2112a a q==. 故选:B.6．(2021·北京海淀·)已知等比数列{}n a 的前n 项和3=+n n S r ，则2a =__________，r =__________． 【答案】6 1-【解析】因等比数列{}n a 的前n 项和3=+nn S r ，于是得113a S r ==+，2221(3)(3)6a S S r r =-=+-+=，32332(3)(3)18a S S r r =-=+-+=，数列公比32123a a q a a ===，解得1r =-， 此时31n n S =-，当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅，12a =满足上式，即123,n n a n N -*=⋅∈，有1123323nn n n a a +-⋅==⋅是非零常数，则{}n a 是等比数列， 所以26,1a r ==-. 故答案为：6；1-.7．(2021·全国高二课时练习)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =，则96SS =______. 【答案】73【解析】1q ≠，否则61316233S a S a ==≠. ①()()6136331111311a q S q q S a q q--==+=--， ①32q ＝.①()()9193962661111271112311a q S q qS q a q q----====----. 故答案为：738．(2021·全国高二课时练习)等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 【答案】16【解析】由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2 其公比6336222S S q S --===，得S 12－S 9＝2×23＝16.故答案为：169．(2021·全国)若数列{}n a 为等比数列，且121a a +=，344a a +=，则910a a +=___________. 【答案】256 【解析】①{}n a 是等比数列，①12a a +，34a a +，56a a +，78a a +，910a a +为等比数列， 且公比34124a a q a a +==+， ①491014256a a +=⨯=. 故答案为：25610．(2021·全国)已知正项等比数列{}n a 共有2n 项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q =______. 【答案】2【解析】设等比数列{}n a 的奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶， 则()24213211321n n n S a a a a q a q a q q a a a qS --=+++=+++=+++=奇偶，由23n S S =奇，得()13S q S +=奇奇，因为0n a >，所以0S >奇，所以13q +=，2q .故答案为：2.11．(2021·全国高二课时练习)已知等比数列{}n a 共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q =________. 【答案】2【解析】由题意, 设奇数项的和为1S ,偶数项的和为2S ,得1211228080240160S S S S S S -==-⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩ 故公比21160280S q S -===- 故答案为212．(2021·全国高二课时练习)设S n 是等比数列{}n a 的前n 项和，若51013S S =，则52010S S S =+________. 【答案】118【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知1q ≠，因为515(1)1a q S q -=-，10551110(1)(1)(1)11a q a q q S q q--+==--，05511113S S q ==+，52q =，1053S S =， 2055105101120555(1)(1)(1)(1)(1)(1)(12)(14)1511a q a q q q S S q q S S q q --++===++=++=--．①55102055131518S S S S S S ==++．故答案为：118． 13．(2021·全国)已知等比数列{}n a 的前n 项和2133n n S t -=⋅-，则实数t 的值为______.【答案】3【解析】由2133n n S t -=⋅-，得13133n n t S ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.当1q =时，1n S na =，不合乎题意.当1q ≠时，()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，令11a A q =-，则()1nn S A q =-， 所以，13t=，解得3t =.故答案为：3.14．(2021·柳州市第二中学(理))已知等比数列{}n a 的前n 项和为13n n S t +=+，则数列的通项公式n a =______________. 【答案】23n ⋅.【解析】由13n n S t +=+得，当1n =时，21139a S t t ==+=+，当2n =时，1232327a a S t t +==+=+，2927t a t ++=+，所以218a =当3n =时，433233354a S S =-=-=，因为数列{}n a 是等比数列，所以3221a a a =，即()1818549t ⨯=⨯+，所以3t =-，16a =，公比213a q a ==， 所以1116323n n n na a q --===⋅⋅.故答案为：23nn a =⋅.15(2021·全国高二专题练习)已知等比数列{}n a 的前n 项和13n n S λ+=+，则1a λ+=______.【答案】3【解析】2n ≥时，11(3)(3)23n n nn n n a S S λλ+-=-=+-+=⨯，又119a S λ==+，数列{}n a 等比数列， ①3212a a a a =，即1854918λ=+，解得3λ=-． ①13a λ+=. 故答案为：3．【题组五 等比数列的单调性】1．(2021·全国)等比数列{}n a 是递增数列，若5160a a -=，4224a a -=，则公比q 为( ) A ．12 B ．2C ．12或2-D ．2或12【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 是递增数列，则数列{}n a 的公比q 满足0q >且1q ≠， 所以，()()421512421116052421a q a a q a a q a q q --+====--，即22520q q -+=，解得12q =或2. 若12q =，则()2421131248a a a q q a -=-=-=，解得164a =-， 此时1111642n n n a a q --==-⨯，此时数列{}n a 为递增数列，合乎题意； 若2q，则()242111624a a a q q a -=-==，解得14a =，此时1111422n n n n a a q --+==⨯=，此时数列{}n a 为递增数列，合乎题意.综上所述，12q =或2. 故选：D.2．(2021·陕西新城·西安中学高三(文))在等比数列{a n }中，279a a =且a 8＞a 9，则使得110n a a ->的自然数n 的最大值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】C【解析】因为279a a =，即()26811a q a q =，所以51a =，又因为89a a >，所以数列{}n a 为单调递减，因为()()44549111110n n n n a a q q a q q q a ---=-=-=->， 所以901n q q ->=，所以9n <.又因为n 为整数，故max 8n =. 故选：C3．(2021·全国高二课时练习)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n +1>S n ”是“{a n }单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n na ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分； 数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要；故选：D 4．(2021·福建省福州第一中学高三开学考试(理))(多选)设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是( ) A ．1q > B ．81a =C ．106T T >D ．7T 与8T 均为n T 的最大值【答案】BD 【解析】由题意知，A ：由67T T <得71a >，由78=T T 得887=1T a T =， 所以87=1a q a <，又0q >，所以01q <<，故A 错误； B ：由78=T T 得887=1T a T =，故B 正确； C ：因为{}n a 是各项为正数的等比数列，(01)q ∈，， 有12789101a a a a a a >>>>=>>>，所以2210789108996=()1T a a a a a a a T ==<， 所以106T T <，故C 错误；D ：1278910T T T T T T <<<<>>>，则7T 与8T 均为n T 的最大值，故D 正确. 故选：BD5．(2021·江苏连云港·高三月考)(多选)设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件()()120202021202020211,1,110a a a a a >⋅>-⋅-<，则下列结论中正确的有( ) A ．1q > B ．20212020S S >C ．202020221a a ⋅<D ．2020T 是数列{}n T 中的最大值【答案】BCD【解析】依题意等比数列{}n a 满足条件： 11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，若1q ≥，则2019202020201202111,1a a qa a q =⋅>=⋅>， 则2020202110,10a a ->->，则()()20202021110a a -->与已知条件矛盾. 所以1q ≥不符合，故A 选项错误. 由于11a >，202020211a a ⋅>，()()20202021110a a --<，所以202020211,01a a ><<，01q <<，0n a >， 则2021202020212020S a S S =+>， 所以B 选项正确，又20202022220211a a a =⋅<.所以C 选项正确.因此，前2020项都大于1， 从第2021项开始起都小于1， 因此2020T 的值是n T 中最大的. 所以D 选项正确.故选：BCD.6．(2021·全国高二课时练习)(多选)关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是( )A ．当101a q >⎧⎨>⎩B ．10a >C ．1q >D ．11nn a a +< 【答案】BCD【解析】A ，当101a q >⎧⎨>⎩时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列{}n a 递增，正确；B ，当10a > ，0q <时，{}n a 为摆动数列，故错误；C ，当10a <，1q >时，数列{}n a 为递减数列，故错误；D ，若10a >，11nn a a +<且取负数时，则{}n a 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD ．7．(2021·全国高二课时练习)若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{}n a 是一个“2020积数列”，且11a >，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的值为________． 【答案】1009或1010【解析】设数列{}n a 的公比为q ． 由题意可得，20201232020a a a a a =⋅⋅⋅⋅，①12320191a a a a ⋅⋅⋅⋅=，①212019220183201710101a a a a a a a ⋅=⋅=⋅===．又11a >，①01q <<，数列{}n a 为递减等比数列， 10091a >，10101a =，10111a <，则当其前n 项的乘积取最大值时，n 的值为1009或1010． 故答案为：1009或10108．(2021·西城·北京育才学校高二期中)等比数列满足如下条件：①10a <；①数列{}n a 单调递增，试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式n a =________. 【答案】12n-(答案不唯一) 【解析】满足上述所有条件的一个数列的通项公式12n na =-. 故答案为：12n-(答案不唯一) 9．(2021·湖北黄州·黄冈中学高三)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，写出{}n a 的一个通项公式n a =________，满足下面两个条件：①{}n a 是单调递减数列；①{}n S 是单调递增数列. 【答案】12n⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)【解析】根据前n 项和数列是单调递增的，可以判定数列的各项，从第二项起，各项都是大于零的，由数列本身为单调递减数列，结合各项的值的要求，可以考虑公比在0到1之间的等比数列的例子，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭就是符合条件的例子， 故答案为：12n⎛⎫⎪⎝⎭(答案不唯一)【题组六 等比数列的实际运用】1．(2021·全国高二课时练习)中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题．若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人．从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%. (1)求实施新政策后第n 年的人口总数a n 的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施．问到2036年是否需要调整政策？【答案】(1)a n ＝*10*450.5,110,500.99,1120,.n n n n N n n N -⎧+≤≤∈⎨⨯≤≤∈⎩；(2)2036年不需要调整政策． 【解析】解:(1)当n ≤10时，数列{a n }是首项为45.5，公差为0.5的等差数列， 所以a n ＝45.5＋0.5×(n －1)＝45＋0.5n .当n ≥11时，数列{a n }是以0.99为公比的等比数列． 又a 10＝50，所以a n ＝50×0.99n －10，因此新政策实施后第n 年的人口总数a n (单位：万人)的表达式为a n ＝*10*450.5,110,500.99,1120,.n n n n N n n N -⎧+≤≤∈⎨⨯≤≤∈⎩(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得 S 20＝S 10＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)()1049.510.9910911045.52210.99-⨯=⨯+⨯+- ＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为2020S =47.54万． 因为47.54＜49，故到2036年不需要调整政策．2．(2021·全国高二课时练习)某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30%的利润； 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5 000元．两种方案的期限都是10年，到期一次性归还本息．若银行贷款利息均以年息10%计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更多？(计算精确到千元，参考数据：1.110≈2.594，1.310≈13.796)【答案】甲方案的获利较多．【解析】根据题意，分析可得甲方案是等比数列，乙方案是等差数列．甲方案获利：1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9 ＝101(1.31)1.31--≈42.65(万)， 而银行的利息成本为10(1＋0.1)10＝25.94万元，那么甲的纯利润为42.65－25.94≈16.7万元；乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利：1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝10(1 5.5)2⨯+＝32.50(万元)，贷款的本利和为：1．1[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9]＝17.534(万元)，①乙方案扣除本利后的净获利为：32.50－17.534≈15.0(万元)．所以，甲方案的获利较多．3．(2021·全国高二课时练习)一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度．(1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？(2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由．【答案】(1)64米；(2)不能超过，理由见解析.【解析】(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成115a =，2d =-的等差数列，则12(1)(1)15(2)2216n n n n n S na d n n n --=+=+⨯-=-+当8n =时，8()64n max S S ==即，飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米．(2)不能超过．由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成115b =，0.8q =的等比数列， 则1(1)15(10.8)75(10.8)7510.2n n n n b q S q --===-<- 所以，这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米．4．(2021·全国高二课时练习)某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x 万元，余下的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2 000万元(扣除消费资金后)，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)【答案】424万元．【解析】设a n 表示第n 年年底扣除消费资金后的资金，则：a 1＝1 000(1＋12)－x ，a 2＝[1 000(1＋12)－x ](1＋12)－x＝1 000(1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 3＝[1 000(1＋12)2－x (1＋12)－x ](1＋12)－x＝1 000(1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 4＝1 000(1＋12)4－x (1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x ，a 5＝1 000(1＋12)5－x (1＋12)4－x (1＋12)3－x (1＋12)2－x (1＋12)－x . 则1 000×(32)5－x [(32)4＋(32)3＋…＋1]＝2 000， ①1 000×(32)5－5312312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-＝2 000.解得x ≈424(万元)．①每年年底扣除的消费资金为424万元．5．(2021·江苏姑苏·苏州中学高二月考)某渔业养殖基地在2020年底共养殖各种鱼共13万尾，为向应国家号召，拟大力发展水产养殖．(1)今年1月份投入鱼苗3万尾，如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多投入鱼苗2000尾，那么今年底共有养殖鱼的数量是多少万尾？(精确到0.1，不计鱼苗损耗，确保成活)(2)现计划今年投入鱼苗60万尾，到2023年底至少养殖800万尾，若今后新投入鱼苗的数量每年比上一年以等比递增，问2022年和2023年至少各投入多少万尾才能完成计划？( 3.5，精确到1万个)【答案】(1)62.2万尾；(2)2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划．【解析】(1)依题意，2021年每月投入的数量构成一个首项为3万，公差为0.2万的等差数列，2021年底一共养殖的数量为12113120.249.22⨯⨯+⨯=万尾， 所以2021年年底共有鱼13+49.2=62.2万尾；(2)依题意，从2021年起，每年新投入的数量构成一个首项为60万的等比数列，设公比为q ，且1q >，于是得260606080013q q ++≥-，即2727060q q +-≥，解得132q ≥≈， 所以2022年至少投入180万尾，2023年至少投入540万尾，才能完成计划.。

高二数学数列试题1.已知等差数列中，前15项之和为，则等于（）A．B．6C．12D．【答案】B【解析】略2.按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是（）A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H12【答案】B【解析】略3.等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝（）A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，∴，∴．【考点】等差数列的性质、等比数列的前n项和．4.已知等差数列满足，则下列选项错误的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据等差数列的性质，可知，，，所以有A,B,D是正确的，只有C是错误的，故选C．【考点】等差数列的性质．5.在一个数列中，如果对任意，都有为常数，那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知数列是等积数列，且，公积为，记的前项和为，则：（1）．（2）．【答案】2；4700【解析】由题意可知，可知数列是以3为周期的循环数列．．【考点】新概念．6.数列{an }中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝__________．【答案】【解析】当时，．当,所以数列的通项公式为【考点】已知数列的前n项和求数列通项公式．【方法点睛】已知数列的前n项和求通项的步骤：•当n=1时，;‚当时，，然后验证n=1是否满足时式子，如果满足合并为一个式子，如果不满足则结果写成分段函数的形式．7.已知等比数列中，，则（）A．-2B．1C．2D．5【答案】D【解析】【考点】等比数列通项公式8.设是等差数列的前项和，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】等差数列性质及求和公式9.已知数列{an }的前n项和Sn＝a n－1（a是不为零的常数），则数列{an}（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既非等差数列，也非等比数列【答案】C【解析】当时，，，∴数列是等差数列．当时，，∴数列是等比数列．综上所述，数列或是等差数列或是等比数列【考点】等差数列等比数列的判定10.在等差数列{an }中，已知a3+a8>0，且S9<0，则S1、S2、…S9中最小的是（）A．S4B．S5C．S6D．S7【答案】B【解析】，数列为递减数列，前5项为负数，因此最小的是【考点】数列性质11.设等差数列满足，且，为其前n项和，则数列的最大项是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意易得数列的公差，可得等差数列前27项为正数，从第28项起为负数，可得答案．设等差数列的公差为d，令∴递减的等差数列前27项为正数，从第28项起为负数，∴数列的最大项为，故选D．【考点】等差数列的函数特征【方法点睛】求等差数列前n项和Sn最值的两种方法（1）函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．（2）邻项变号法：①a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm．12.在等比数列{an}中，各项均为正值，且，，则．【答案】【解析】因为，，所以由等比数列的性质有，，所以，因为等比数列{an}中，各项均为正值，所以．【考点】等比数列的性质．【思路点晴】本题主要考查的是等比数列的性质，属于中档题．解本题需要掌握的知识点是{an}中，若，则，特别地，若，则．解题时要注意整体思想的运用，利用乘法公式，间接求出结果．【易错点晴】本题主要考查等比数列的性质，要注意“等比数列{an}中，各项均为正值”这一条件，否则很容易出现错误．13.（2015秋•宁德校级期中）已知公差不为零的等差数列{an }，若a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =2n，求数列{an+bn}的前n项和Sn．【答案】（1）an =1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）Sn=n2+2n+1﹣2．【解析】（1）通过a2=1+d、a5=1+4d，利用a1，a2，a5成等比数列计算可知公差d=2，进而可得结论；（2）分别利用等差数列、等比数列的求和公式计算，相加即可．解：（1）依题意可知，a2=1+d，a5=1+4d，∵a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1+4d，即d2=2d，解得：d=2或d=0（舍），∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）由（1）可知等差数列{an }的前n项和Pn==n2，∵bn=2n，∴数列{bn }的前n项和Qn==2n+1﹣2，∴Sn=n2+2n+1﹣2．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．14.等差数列中，若，则．【解析】设公差为，，，．【考点】等差数列的通项公式．15.设是等比数列的各项和，则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】时等比数列首项为1，公比为2，项数为，所以【考点】等比数列求和16.设x、、、y成等差数列，x、、、y成等比数列，则的取值范围是（）A．4，＋∞)B．(-∞,0∪4，＋∞)C．0,4）D．(－∞,-4)∪4,＋∞)【答案】B【解析】依题意，，，则，又，若，则，于是，故≥4，当且仅当x=y时取“”号；若，则，于是，故≤0，当且仅当时取“”号，综上所述，的取值范围是．【考点】等差、等比数列的性质及基本不等式的应用．【方法点晴】本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及其有意义、利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，着重考查了转化思想及构造的数学思想方法、分类讨论的思想方法，本题的解答中，由题意，又由可分和两种情况分类讨论，求解取“”号成立的条件是解答本题的关键．17.已知数列{an }的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2Sn=3an﹣3．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn }的通项公式是bn=，前n项和为Tn，求证：对于任意的n∈N*总有Tn＜1．【答案】（I）an=3n（n∈N*）（Ⅱ）证明见解析【解析】（I）由已知得，故2（Sn ﹣Sn﹣1）=2a n=3a n﹣3a n﹣1．由此可求出an=3n（n∈N*）．（Ⅱ），所以Tn =b1+b2+…+bn=1﹣．解：（I）由已知得故2（Sn ﹣Sn﹣1）=2a n=3a n﹣3a n﹣1即an =3an﹣1，n≥2故数列an为等比数列，且q=3又当n=1时，2a1=3a1﹣3，∴a1=3，∴an=3n，n≥2．而a1=3亦适合上式∴an=3n（n∈N*）．（Ⅱ）所以Tn =b1+b2+…+bn==1﹣．【考点】数列的应用；数列的求和；数列递推式．18.已知数列、、、、…根据前三项给出的规律，则实数对（2a，2b）可能是（）A．（，-）B．（19，﹣3）C．（，）D．（19，3）【答案】D【解析】根据前三项的规律判定数列的通项公式是，所以，解得，所以选D.【考点】数列19.已知各项不为零的数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）已知与的关系，可令求得，当时，由可得到数列的递推式：，这正好是一个等比数列，易得通项公式；（2）由于，是一个等差数列与一个等比数列相乘所得，其前项和可用错位相减法求得，即写出，两边乘以公比，得，两式相减后借助等比数列前项和公式可求得．试题解析：（1）当时，当时，………①………②① -②得数列是首项为2，公比为2的等比数列（2）两式相减得【考点】已知与关系，求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法．20.等差数列中，，则的值是（）A．15B．30C．31D．64【答案】A【解析】由题意，根据等差数列的性质得，所以，故选A．【考点】等差数列的性质．21.已知在等差数列中，．（1）求；（2）令，判断数列是等差数列还是等比数列，并说明理由．【答案】（1）；（2）数列是等比数列，理由见解析．【解析】（1）设数列的公差为，根据题设求出，即可求解数列的通项公式．（2）由（1）得，得，所以根据等比数列的定义可判定数列为等比数列．试题解析：（1）设数列的公差是，则，故（2）由（1）可得，所以是一常数，故数列是等比数列【考点】等比数列的定义及等差数列通项公式．22.已知为等差数列，且，则的最大值为（）A．8B．10C．18D．36【答案】C【解析】，设等差数列的公差为，则，即的最大值为，故选C．【考点】1．等差数列的性质；2．二次函数．23.已知数列中，由此归纳．【答案】【解析】由，得，即．又，所以，所以数列是首项为1，公比为2的等数列，所以，所以．【考点】1、递推数列；2、等比数列的定义及通项公式．24.等差数列的前项和为，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，，，故选Ｃ．【考点】１、等差数列的性质；2、等差数列和的性质．25.设数列满足，且．（1）证明：数列为等比数列；（2）求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由,变形为,即可证明；（2）由等比数列的通项公式可得于是,因此,再利用“裂项求和”即可得出．试题解析：（1）证明：因为，所以．又所以数列是公比为3的等比数列．（2）因为数列是首项为，公比为3的等比数列，所以，即，所以，所以，所以．【考点】1、等比数列的证明；2、裂项相消法求数列和．26.已知是奇函数，且当时，有最小值.（1）求的表达式；（2）设数列满足，.令，求证；（3）求数列的通项公式.【答案】（1）;（2）详见解析；（3）.【解析】（1）若函数是奇函数，所以，经过化简整理为对恒成立. ∴有，化简后的函数再根据基本不等式求最小值，得到的取值，最后得到函数的表达式；（2）根据（1）的结果，化简为①，再求得，再将①代入，可证明；（3）根据（2）的证明，两边取对数，可得，说明数列是等比数列，根据的通项求数列的通项公式.试题解析：（1）∵是奇函数，∴有，即有.整理得对恒成立. ∴有，∴.∴.∵，∴当时，，∴，∴.∴．…………4分（2）.∵，∴.（3）∵，∴.取对数得.由得，∴. ∴有为常数.∴数列为等比数列.∵，∴.∴.【考点】1.函数的性质；2.函数与数列的关系；3.数列的递推公式求通项公式.27.已知数列的通项，则（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】由已知条件可推导出数列｛｝的通项公式，由此能求出的值故选D【考点】1.数列求和；2.分类讨论思想。

课时训练13　等比数列的前n项和一、等比数列前n 项和公式的应用1.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项的和等于( )A.31B.33C.35D.37答案:B解析:∵S 5=1,∴a 1(1-25)1-2=1,即a 1=131.∴S 10=a 1(1-210)1-2=33.2.设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( )A .S n =2a n -1B .S n =3a n -2C .S n =4-3a nD .S n =3-2a n答案:D解析:S n =a 1(1-q n)1-q =a 1-a n q 1-q =1-23a n1-23=3-2a n ,故选D .3.(2015福建厦门高二期末,7)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若27a 2-a 5=0,则S 4S 2等于( )A.-27 B.10C.27D.80答案:B解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则27a 2-a 2q 3=0,解得q=3,∴S 4S 2=a 1(1-q 4)1-q ·1-q a 1(1-q 2)=1+q 2=10.故选B .4.(2015课标全国Ⅰ高考,文13)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .答案:6解析:∵a n+1=2a n,即an+1a n=2,∴{a n}是以2为公比的等比数列.又a1=2,∴S n=2(1-2n)1-2=126.∴2n=64,∴n=6.5.设数列{a n}是首项为1,公比为-2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= .答案:15解析:由数列{a n}首项为1,公比q=-2,则a n=(-2)n-1,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=-8,则a1+|a2|+a3+| a4|=1+2+4+8=15.二、等比数列前n项和性质的应用6.一个等比数列的前7项和为48,前14项和为60,则前21项和为( )A.180B.108C.75D.63答案:D解析:由性质可得S7,S14-S7,S21-S14成等比数列,故(S14-S7)2=S7·(S21-S14).又∵S7=48,S14=60,∴S21=63.7.已知数列{a n},a n=2n,则1a1+1a2+…+1an= .答案:1-1 2n解析:由题意得:数列{a n }为首项是2,公比为2的等比数列,由a n =2n ,得到数列{a n }各项为:2,22,…,2n ,所以1a 1+1a 2+…+1a n =12+122+…+12n .所以数列{1a n }是首项为12,公比为12的等比数列.则1a 1+1a 2+…+1a n =12+122+…+12n=12[1-(12)n]1-12=1-12n.8.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n-1=128,S n =126,求n 和q.解:∵a 2a n-1=a 1a n ,∴a 1a n =128.解方程组{a 1a n =128,a 1+a n =66,得{a 1=64,a n =2,①或{a 1=2,a n =64.②将①代入S n =a 1-a n q 1-q=126,可得q=12,由a n =a 1q n-1,可得n=6.将②代入S n =a 1-a n q 1-q=126,可得q=2,由a n =a 1q n-1可解得n=6.综上可得,n=6,q=2或12.三、等差、等比数列的综合应用9.已知数列{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,设c n =a b n ,T n =c 1+c 2+…+c n ,当T n >2 013时,n 的最小值为( )A.7B.9C.10D.11答案:C解析:由已知a n =2n-1,b n =2n-1,∴c n =a b n =2×2n-1-1=2n -1.∴T n =c 1+c 2+…+c n =(21+22+ (2))-n=2×1-2n1-2-n=2n+1-n-2.∵T n>2013,∴2n+1-n-2>2013,解得n≥10,∴n的最小值为10,故选C.10.已知公差不为0的等差数列{a n}满足S7=77,a1,a3,a11成等比数列.(1)求a n;(2)若b n=2a n,求{b n}的前n项和T n.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d(d≠0),由S7=7(a1+a7)2=77可得7a4=77,则a1+3d=11　①.因为a1,a3,a11成等比数列,所以a32=a1a11,整理得2d2=3a1d.又d≠0,所以2d=3a1　②,联立①②,解得a1=2,d=3,所以a n=3n-1.(2)因为b n=2a n=23n-1=4·8n-1,所以{b n}是首项为4,公比为8的等比数列.所以T n=4(1-8n)1-8=23n+2-47.(建议用时:30分钟) 1.在等比数列{a n}中,a1=3,a n=96,S n=189,则n的值为( ) A.5B.4C.6D.7答案:C解析:显然q≠1,由a n=a1·q n-1,得96=3×q n-1.又由S n=a1-anq1-q,得189=3-96q1-q.∴q=2.∴n=6.2.等比数列{a n}的前n项和为S n,若S1,S3,S2成等差数列,则{a n}的公比等于( )A.1B.12C.-12D.1+√52答案:C解析:设等比数列{a n}的公比为q,由2S3=S1+S2,得2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,整理得2q2+q=0,解得q=-12或q=0(舍去).故选C.3.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( )A.2B.12C.4D.14答案:C解析:a3=3S2+2,a4=3S3+2,等式两边分别相减得a4-a3=3a3即a4=4a3,∴q=4.4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=( )A.11B.5C.-8D.-11答案:D解析:设等比数列的首项为a1,公比为q,则8a1q+a1q4=0,解得q=-2.∴S5S2=a1(1-q5)1-qa1(1-q2)1-q=1-q51-q2=-11.5.设{a n}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( )A.X+Z=2YB.Y(Y-X)=Z(Z-X)C.Y2=XZD.Y(Y-X)=X(Z-X)答案:D解析:S n=X,S2n-S n=Y-X,S3n-S2n=Z-Y,不妨取等比数列{a n}为a n=2n,则S n,S2n-S n,S3n-S2n成等比数列,∴(Y-X)2=X(Z-Y),整理得D正确.6.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n (n ∈N *)等于 . 答案:6解析:由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项,2为公比的等比数列,所以S n =2(1-2n)1-2=2(-1+2n )≥100,∴2n ≥51,∴n ≥6.7.已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1a n}的前5项和为　. 答案:3116解析:易知公比q ≠1.由9S 3=S 6,得9×a 1(1-q 3)1-q =a 1(1-q 6)1-q ,解得q=2.∴{1a n }是首项为1,公比为12的等比数列.∴其前5项和为1-(12)51-12=3116.8.在等比数列{a n }中,若a 1=12,a 4=-4,则公比q= ;|a 1|+|a 2|+…+|a n |= .答案:-2　2n-1-12解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,代入数据解得q 3=-8,所以q=-2;等比数列{|a n |}的公比为|q|=2,则|a n |=12×2n-1,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=12(1+2+22+…+2n-1)=12(2n-1)=2n-1-12.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a2=4,a3+a4=17.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=2a n+2,证明数列{b n}是等比数列并求其前n项和T n. (1)解:设等差数列{a n}的公差为d.由题意知{a3+a4=a1+2d+a1+3d=17,a2=a1+d=4,解得a1=1,d=3,∴a n=3n-2(n∈N*).(2)证明:由题意知,b n=2a n+2=23n(n∈N*),b n-1=23(n-1)=23n-3(n∈N*,n≥2),∴bnb n-1=23n23n-3=23=8(n∈N*,n≥2),又b1=8,∴{b n}是以b1=8,公比为8的等比数列.∴T n=8×(1-8n)1-8=87(8n-1).10.已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R),且1a1,1a2,1a4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对n∈N*,试比较1a2+1a22+1a23+…+1a2n与1a1的大小.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意可知(1a2)2=1a1·1a4,即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而a1d=d2,因为d≠0,∴d=a1=a.故通项公式a n=na.(2)记T n=1a2+1a22+…+1a2n,因为a2n=2n a,所以T n=1a(12+122+ (12))=1 a ·12[1-(12)n]1-12=1a[1-(12)n].从而,当a>0时,T n<1 a 1 ;当a<0时,T n>1 a 1 .。

高二数学等比数列习题一、选择题（每小题6分，共42分）1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（）A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则，即b2=ac.2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（）A.120B.240C.320D.480【答案】C【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.∴a5+a6= =320.3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（）A.0B.1C.-1 D.2【答案】C【解析】∵an=要使{an}成等比，则3+a=231-1=230=2,即a=-1.4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（）A.［，2)B.［，2］C.［，1)D.［，1］【答案】C【解析】因f(n+1)=f(1)f(n),则an+1=a1an= an，∴数列{an}是以为首项，公比为的等比数列.∴an=n.Sn= =1-n.∵n∈N*,∴ ≤Sn＜1.5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则的值是( )A. B.C. D. 或【答案】B【解析】∵a3=a2+a1,∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).∴ .6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40a50a60的值为( )A.32B.64C.±64D.256【答案】B【解析】因a1a99=16,故a502=16,a50=4,a40a50a60=a503=64.7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的.前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )A.（SS′B.C.nD.【答案】B【解析】设等比数列的首项为a1,公比q（q≠1）则P=a1a2an=a1n ,S=a1+a2++an= ,S′= ++ ,∴ =(a12qn-1 =a1n =P,当q=1时和成立.二、填空题（每小题5分，共15分）8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.【答案】384【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.知a1=3,q=2,故a8=a1q7=3×27=384.9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，Sn=a1+a2++an,a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an=【答案】（）n-2【解析】∵an+1= Sn,∴an= Sn-1(n≥2).①-②得,an+1-an= an,∴ (n≥2).∵a2= S1= ×1= ,∴当n≥2时，an= （）n-2.10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列④若{an}的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列【答案】②④【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,(1)求证数列{bn}也是等比数列；（2）已知q＞1,a1= ,问n为何值时，数列{an}的前n项和Sn大于数列{bn}的前n项和Sn′.(1)证明：∵ =q,∴ 为常数，则{bn}是等比数列.(2)【解析】Sn=a1+a2++an= ,Sn′=b1+b2++bn= ,当Sn＞Sn′时，又q＞1,则q-1＞0,qn-1＞0,∴ ,即qn＞q7,∴n＞7,即n＞7(n∈N*)时，Sn＞Sn′.12.已知数列{an}:a1,a2,a3,an,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),(an-an-1),此数列是首项为1，公比为的等比数列.(1)求数列{an}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知得an-an-1=n-1(n≥2),a=1,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)= ［1-n］.(2)Sn=a1+a2+a3++an= - ［ +2++n］= - ［1-n］= ×n.13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.(1)求数列{cn}的前n项和Sn.(2)是否存在n∈N*,使得成立？请说明理由.【解析】(1)由已知得∴an=a1qn-1=2n.∴cn=11-log2a2n=11-log222n=11-2n.Sn=c1+c2++cn= =-n2+10n.(2)假设存在n∈N*,使得即 .∴22n+3×2n-3＜0,解得 .∵ =1,而2n≥2,故不存在n∈N*满足 .14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)= ,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2,),且x1=1.(1)设an=|xn- |,证明：an+1＜an;(2)设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜ .证明：（1）an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= . ∵xn＞0,∴an+1＜( -1)|xn- |＜|xn- |=an,故an+1＜an.(2)由（1）的证明过程可知an+1＜( -1)|xn- |＜( -1)2|xn-1- |＜＜( -1)n|x1- |=( -1)n+1∴Sn=a1+a2++an＜|x1- |+( -1)2++( -1)n =( -1)+( -1)2++( -1)n= ［1-( -1)n］＜ .。

第03讲等比数列及其前n 项和(练）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲等比数列及其前n 项和（精练）A 夯实基础一、单选题（2022·全国·高二课时练习）1．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（）A ．860个B ．1730个C ．3072个D ．3900个（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高二阶段练习）2．方程2540x x -+=的两根的等比中项是（）A ．2-和2B ．1和4C ．2和4D ．2和1（2022·辽宁·大连市一0三中学高二期中）3．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（）A ．4B ．8C ．32D ．64（2022·全国·高三专题练习（理））4．在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m 个细菌，在1小时内，有34的细菌分裂为原来的2倍，14的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（）A ．6小时末B ．7小时末C ．8小时末D ．9小时末（2022·全国·高二课时练习）5．在各项均为正数的等比数列中{}n a ，32a =，51a =，则1526372a a a a a a ++=（）A ．1B ．9C ．7D ．9（2022·全国·高三专题练习）6．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·福建龙岩·模拟预测）7．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积约为（）(lg 20.3010)≈A ．30010B ．30110C ．30810D ．31010（2022·安徽·合肥市第十一中学高二期末）8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63:1:2S S =，则93:S S =（）A ．1:2B ．2:3C ．3:4D ．1:3二、多选题（2022·全国·高二单元测试）9．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（）A ．数列{}2n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则1r =-D ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列（2022·吉林·长春十一高高二期末）10．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，下列结论一定成立的是（）A ．若30a >，则20210a >B ．若40a >，则20210a <C ．若30a >，则20210S >D ．若40a >，则20210S >（2022·全国·高三专题练习）11．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n T 是其前n 项的积，且67T T <，789T T T =>，则下列结论正确的是（）A ．1q >B ．81a=C ．106T T >D ．7T 与8T 均为nT的最大值三、填空题（2022·湖北十堰·高二阶段练习）12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34S =，919S =，则6S ，9S 的等差中项为__________.四、解答题（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二开学考试）13．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且252a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若m S ，9a ，15a 成等比数列，求m 的值．（2022·江苏·高二课时练习）14．如图，正三角形ABC 的边长为20cm ，取BC 边的中点E ，作正三角形BDE ；取DE 边的中点G ，作正三角形DFG ……如此继续下去，可得到一列三角形ABC ，BDE △，DFG …，求前20个正三角形的面积和.B 能力提升（2022·河南·模拟预测（文））15．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，下列结论正确的是（）A ．202320211a a >B ．202220211S S ->C ．数列{}n S 存在最大值D ．2021T 是数列{}n T 中的最大值（2022·上海·华师大二附中高二阶段练习）16．以下有四个命题：①一个等差数列{}n a 中，若存在()*10k k a a k N +>>∈，则对于任意自然数n k >，都有0n a >；②一个等比数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；③一个等差数列{}n a 中，若存在0k a <，()10k a k N *+<∈，则对于任意n N *∈，都有0n a <；④一个等比数列{}n a 中，若存在自然数k ，使10k k a a +⋅<则对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<．其中正确命题的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个（2022·全国·高三专题练习）17．等比数列{}n a 的前n 项和为213n n S r -=+，则r 的值为A ．13B ．13-C ．19D ．19-（2022·广东·佛山市顺德区郑裕彤中学高二期中）18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()0n n S a n λλ=≠-.若数列{}1n a +为摆动数列（从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项），则实数λ的取值范围为_________.（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）19．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,),33记为第一次操作；再将剩下的两个区间120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于9,10则需要操作的次数n 的最小值为____．(参考数据：lg 2＝0.3010，lg 3＝0.4771)（2022·浙江·高二阶段练习）20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．C 综合素养（2022·江苏省赣榆高级中学模拟预测）21．1883年，德国数学家康托提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文字描述为：第一步，把闭区间[0,1]平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间1[0,3和2[,1]3；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一段，剩下四段闭区间：1[0,]9，21[,]93，27[,]39，8[,1]9；如此不断的构造下去，最后剩下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历n 步构造后，20212022不属于剩下的闭区间，则n 的最小值是（）．A ．7B ．8C ．9D ．10（2022·全国·高三阶段练习）22．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年（公元1584年）．他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M ，插入11个数后这13个数之和为N ，则依此规则，下列说法正确的是（）．A ．插入的第8B ．插入的第5个数是插入的第1倍C ．3M >D ．7N <（2022·全国·高三专题练习）23．我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高524C C =⋅（4C 称为“中央C ”）.将每个“八度”（如4C 与5C 之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的4A 键调为标准音440Hz 时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz ）的音可以是此时的钢琴发出的音（）（参考数据：122 1.414=，132 1.260=，142 1.189=，152 1.148=，162 1.122=，1122 1.059=）A ．110B ．233C ．505D ．1244（2022·全国·高二单元测试）24．取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段；再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为___________.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）（2022·全国·高三专题练习）25．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪()19061967-也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n 个圆环，用n a 表示按照某种规则解下n 个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列{}n a 满足11a =，22a =，()1223,n n n n a a n *--≥=+∈N ，则10a =_______．参考答案：1．C【分析】根据题意和等比数列的概念可知该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，进而得出首项和公比，即可求出11a .【详解】由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且13a =，公比2q =．由()263460--=，60106=，得1011323072a =⨯=．故选：C ．2．A【分析】先根据韦达定理求出两根之积，再结合等比中项公式计算即可.【详解】由一元二次方程根与系数的关系可知方程2540x x -+=的两根之积为4，又因为()242=±，故方程2540x x -+=的两根的等比中项是2±．故选：A 3．D【分析】依题意5a ，34a ，42a -成等差数列，可求出公比q ，进而由212a =求出4a ，根据等比中项求出17a a 的值.【详解】由题意可知，5a ，34a ，42a -成等差数列，所以45328a a a -=，即233328a q a q a -=，所以2280q q --=，4q =或2q =-（舍），所以2428a a q ==，421764a a a ==，故选：D.4．A【分析】由题意可知每小时末的细菌数构成了等比数列，求出其通项公式，列出相应的不等式，求得答案.【详解】设n a 表示第n 小时末的细菌数，依题意有()11332242n n n a a a n --=⨯=≥，133242a m m =⨯=，则{}n a 是等比数列，首项为32m ，公比32q =，所以32nn a m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.依题意，10n a m >，即3102nm m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭,由于563310,24372932102642⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭=<，又*N n ∈，所以6n ≥，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,故选:A.5．B【解析】利用等比数列的性质：若m n p q r r +=+=+，则m n p q r r a a a a a a == 可解.【详解】因为{}n a 为各项为正的等比数列，32a =-51a =，所以1526373552222335()(2)2219a a a a a a a a a a a a ++=++===+故选：B【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质．6．D【分析】由112n n n S S S -++>可得出1n n a a +>，取10a <，由101n n q a a +<⇔，进而判断可得出结论.【详解】若112n n n S S S -++>，则11n n n n S S S S +-->-，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，若10a <，101n n q a a +<<⇔>，所以，“1q >”是“112n n n S S S -++>”的既不充分也不必要条件.故选：D.7．C【分析】根据题意可知第n 行第i 个数2n i k -的指数为二项式系数，第n 行数字的指数之和为二项式系数之和等于12n -，利用等比数列求和得该“数字塔”前10层的所有数字之积10212T -=，利用对数运算进行计算估计．【详解】根据题意可得，“数字塔”中第n 行第i 个数均为2n i k -的形式，该“数字塔”前10层的所有数字之积()()()()11212210110210101011021010112122......222....22..22kk k k k k k k k k k k------------+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=根据指数运算可知，则n i k -按原位置排列即构成杨辉三角，可得n i k -为二项式系数，则第n 行数字的和为二项式系数之和等于12n -∴前10层的所有数字之和0191022..221+++=-该“数字塔”前10层的所有数字之积10212T -=()102110lg lg 221lg 2308T -==-≈，则30810T ≈故选：C．8．C【分析】利用等比数列前n 项和的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，43k k S S -，L 成等比数列求解.【详解】解：因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列，设3S m =，则62mS =，则632m S S -=-，故633S S S -=966312S S S S -=--，所以964m S S -=，得到934S m =，所以9334S S =.故选：C.9．AD【分析】利用等比数列的定义可判断A ；利用等比数列的通项公式可判断B ；利用等比数列的前n 项和公式可判断C ；由123a a a <<，求出1q >可判断D.【详解】由数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，则222112n n n n a a q a a ++⎛⎫== ⎪⎝⎭是常数，故A 正确；由32a =，732a =，则47316a q a ==，即22q =，所以253248a a q ==⨯=，故B 错误；若数列{}n a 的前n 项和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=，()()332936a S S r r =-=+-+=，123,,a a a 成等比数列，2213a a a ∴=，即()461r =+，解得13r =-，故C 错误；若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故D 正确.故选：AD 10．AC【分析】利用等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可判断出正误即可．【详解】解：A 、若2310a a q =>，则10a >，所以2020202110a a q=>，故本选项正确；B 、3410a a q =>，则无法判定1a 的正负，所以202020211a a q=的正负也无法判定，故本选项错误；C 、2310a a q =>，则10a >，若1q =时，2021120210S a =>；若1q ≠，202112021(1)01a q S q -=>-，故本选项正确；D 、若3410a a q =>，若10a >，1q =时，2021120210S a =>；若1q ≠，202112021(1)1a q S q -=-，当1q <-时，则10a <，所以20210S <，故本选项错误.故选：AC.11．BD【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，A ：由67T T <得71a >，由78=T T 得887=1T a T =，所以87=1a q a <，又0q >，所以01q <<，故A 错误；B ：由78=T T 得887=1T a T =，故B 正确；C ：因为{}n a 是各项为正数的等比数列，(01)q ∈，，有12789101a a a a a a >>>>=>>> ，所以2210789108996=()1T a a a a a a a T ==<，所以106T T <，故C 错误；D ：1278910T T T T T T <<<<>>> ，则7T 与8T 均为n T 的最大值，故D 正确.故选：BD 12．292##14.5【分析】利用等比数列部分和的性质求出6S ，然后利用等差中项求解答案.【详解】设6S x =，因为{}n a 为等比数列，所以3S ，63S S -，96S S -成等比数列.因为34S =，919S =，所以()()24194x x -=-，解得10x =或6x =-（舍去）.所以6S ，9S 的等差中项为292.故答案为：292.13．(1)26n a n =-(2)6m =【分析】（1）由11252102a d a +=+=，求得14a =-，进而得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知26n a n =-，求得25n S n n =-，912a =，1524a =，根据m S ，9a ，15a 成等比数列，列出方程，即可求解.(1)解：因为252a a +=且2d =，可得11252102a d a +=+=，解得14a =-，所以数列{}n a 的通项公式为4(1)226n a n n =-+-⨯=-.(2)解：由（1）知26n a n =-，可得2(4265)2n S n n n n -+-=-=，912a =，1524a =，因为m S ，9a ，15a 成等比数列，所以2915m a S a =，整理得2560m m --=，解得6m =或1m =-，又因为m N *∈，所以6m =.142201)cm 4-.【分析】由题意可知面积成等比数列，则可求总面积．【详解】设第n 个三角形边长为a ，则第n +1个三角形边长为2a，设第n 个三角形面积为n a ，则24n a =，2214216n a a +⎛⎫== ⎪⎝⎭，∵114n n a a +=，2120ABC a S === ，所以这些三角形面积成等比数列，且公比14q =，首项1a =所以前20个正三角形的面积和为：20220201)14)cm 1414S -==--．15．D【分析】根据题意可得20211a >，202201a <<，所以在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0.再分析每一个选项即可求解.【详解】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，且11a >，202120220a a >，()()20212022110a a --<，所以20211a >，202201a <<，所以01q <<，所以在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0.对于A ：因为22023202120221a a a =<，所以202320211a a <，故A 不正确；对于B ：()2022202120220,1S S a -=∈，故B 不正确；对于C ：根据上面的分析，等比数列{}n a 中每一项都为正值，所以n S 无最大值，所以数列{}n S 无最大值，故C 不正确；对于D ：因为在等比数列{}n a 中，从1a 到2021a 的每一项都大于1，从2022a 开始后面所有的项的值都小于1且大于0，所以2021T 是数列{}n T 中的最大值，故D 正确.故选：D.16．D【分析】在等差数列中，由10k k d a a +=->可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比1k ka q a +=知数列各项符号相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误.【详解】对于①，由10k k a a +>>知：公差10k k d a a +=->，∴自第k 项起，数列{}n a 为递增数列，又0k a >，∴对于任意自然数n k >，都有0n a >，①正确；对于②，由0k a <，10k a +<知：公比10k ka q a +=>，∴数列{}n a 各项符号相同，即对于任意n N *∈，都有0n a <，②正确；对于③，若等差数列{}n a 中，21a =-，33a =-，则公差2d =-，110a ∴=>，③错误；对于④，由10k k a a +⋅<知：公比10k ka q a +=<，∴等比数列{}n a 为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同，且奇数项与偶数项异号，∴对于任意n N *∈，都有10n n a a +⋅<，④正确；综上所述：正确的命题的个数为3个.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征.17．B【详解】当1n =时,113a S r ==+,当2n ≥时，212323223221118333(31)8383393n n n n n n n n n a S S --------=-=-=-=⋅=⋅⋅=⋅所以81333r r +=∴=-，故选B.18．()0,1【分析】由退位相减法求得1()1n n n a a a λ-=--，化简整理后得1111n n a a λλ-+=+-，数列{}1n a +是公比为1λλ-的等比数列，要是摆动数列，则有公比小于0，求解即可.【详解】由n n S a n λ=-①，得111(2)n n S a n n λ--=+≥-②，①－②得1()1n n n a a a λ-=--，即()111n n a a λλ--=+，整理得()()()1111n n a a λλ--+=+，当1λ=时，不合题意，当1λ≠且0λ≠时，1111n n a a λλ-+=+-，且1n =时，111S a λ=-，111a λ=-，数列{}1n a +是公比为1λλ-的等比数列，若数列{}1n a +为摆动数列，则有01λλ<-，解得01λ<<.故答案为：()0,1.19．6【分析】根据给定条件，分别计算前面每次操作去掉的区间长度和，进而求出第n 次操作去掉的区间长度和n a ，再求数列{}n a 前n 项和，列不等式求解作答.【详解】设n a 为第n 次操作去掉的区间长度和，113a =，第1次操作后剩下两个长度为13的闭区间，则第2次操作去掉的区间长度和222122()33a =⋅=，第2次操作后剩下4个长度为213的闭区间，则第3次操作去掉的区间长度和3231144333a =⋅⋅=，如此下去，第1(2,N )n n n *-≥∈次操作后剩下12n -个长度为113n -的闭区间，则第n 次操作去掉的区间长度和1111122333n n n n n a ---=⋅⋅=，显然，数列{}n a 是等比数列，首项113a =，公式23q =，其前n 项和12[1()]2331()2313n nn S -==--，由910n S ≥得：21()310n ≤，11 5.6786lg 3lg 20.47710.3010n ≥≈≈--，而N n *∈，则min 6n =，所以需要操作的次数n 的最小值为6.故答案为：620．(1)1(1)2n n a n -=+⋅；(2)不存在，证明见解析.【分析】（1）利用给定的递推公式，结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”变形，构造数列{}nS n即可求解作答.（2）假定存在符合条件的三项，列出等式，结合3()212⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n 的单调性推理作答.【详解】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)-⋅-=+⋅n n n n S S n S ，即121-=⋅-n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n nn S S n -=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22-+⋅==+⋅n nn n S a n n.（2）记231=-+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321-=-⋅+=-+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232-=-+-n n m m p p，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=-∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++-≥-p p n n ，因此()1123232323232++-=-+-≥-+-n n m m p p m m n n ，即332n m m -≥-，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项．21．A【分析】根据三分康托集的构造过程可知：经历第n 步，每个去掉的开区间以及留下的闭区间的区间长度都是13n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据规律即可求出20212022属于1112,133n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，进而根据不等式可求解.【详解】20212022不属于剩下的闭区间，20212022属于去掉的开区间经历第1步，剩下的最后一个区间为2[,1]3，经历第2步，剩下的最后一个区间为8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……，经历第n 步，剩下的最后一个区间为1113n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，去掉的最后开区间为1112,133n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由120111121320223n n⎛⎫⎛⎫-⨯<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4044320223n n ⎧>⎨<⎩，解得7n =故选:A 22．BC【分析】设该等比数列为{}n a ，公比为q ，根据题意11a =，132a =，即可求出122q =，再根据等比数列的性质和等比数列前n 项和公式，逐项判断，即可得到结果.【详解】设该等比数列为{}n a ，公比为q ，则11a =，132a =，故121312a q a ==，所以8128912a a q ===A 错误；因为462a q a ==B 正确；()112111212112112111111212a q M q----====-----，要证3M >，即证11211312-->-，即证1121421>-，即证112524>，即证12524⎛⎫> ⎪⎝⎭，而()1265 1.524⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故C 正确；而3N M =+，因()()12636 1.4 1.925⎛⎫>>> ⎪⎝⎭，所以112625>，1121521>-，所以11211412-->-即4M >,所以7N >，D 错误.故选：BC ．23．ABD 【分析】A.由244042110==可得答案；对于BCD ，通过524C C =⋅求出相邻音阶的公比，逐一检验选项即可.【详解】∵A 4=440，244042110==，故110Hz 是A 4往左两个“八度”A 2键的音，A 正确.设相邻音阶的公比为q ，则12524C q C ==，∴1122q =.而A 3=220，A 4=440，A 5=880，112233 1.0592220q ===，B 正确；155051.1482440n q ==≠（n ∈N *），C 不正确；16212441.4142880q ===，D 正确.故选：ABD.24．8【分析】根据题设可得第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，则有12113360n -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再根据指对数关系及对数运算性质求n 的最大值.【详解】第一次操作去掉的线段长度为13，第二次操作去掉的线段长度之和为2133⨯，第三次操作去掉的线段长度之和为221333⨯⨯，…，第n 次操作去掉的线段长度之和为12133n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，由题意知，12113360n -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，则21330n⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则2lg lg 301lg 33n -=--≥，∴()lg 2lg 31lg 3n -≥--，即1lg 3lg 3lg 2n +-≤，又lg 20.3010≈，lg30.4771≈，可得8n ≤，故最大值为8.故答案为：8.25．682【分析】利用累加法可求得10a 的值.【详解】当3n ≥且n N *∈时，122n n n a a ---=，所以，()()()()()535791024264861082142222268214a a a a a a a a a a -=+-+-+-+-=++++==-.故答案为：682.。

高二数学数列试题1.(满分13分)设正项等比数列的前项和为, 已知，．（1）求首项和公比的值；（2）试证明数列为等差数列.【答案】（1）q="2." a1=1；(2)由（1）知an=2n-1,故bn=logman=(n-1)logm2，而bn+1-bn=logm2(常数)所以数列为等差数列.【解析】（1）因为a3a4a5=a43=29,所以a4=8所以q2=a4÷a2=4,又q>0,所以q=2.且a1=1(2)由（1）知an =2n-1,故bn=logman=(n-1)logm2而bn+1-bn=logm2(常数)所以数列为等差数列.【考点】本题考查了等比数列的性质及等差数列的概念点评：灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，对于等差（等比）数列证明问题，往往转化为定义形式化简即可求解2.(本小题满分12分)已知数列是公差不为零的等差数列，＝1，且成等比数列．(1)求数列的通项；(2)设，求数列的前n项和Sn.【答案】(1) an ＝1＋(n－1)×1＝n. (2)Sn＝2n＋1－2.【解析】(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an }的通项an＝1＋(n－1)×1＝n. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－2. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分【考点】本题考查了数列的通项公式及前N项和点评：掌握等差、等比数列的概念及前N项和公式是此类问题的关键。

3.（本小题满分14分）已知数列前项和.数列满足，数列满足。

（1）求数列和数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围。

【答案】解：（1）由已知和得，当时，……2分又，符合上式。

高二数学数列试题答案及解析1.等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝（）A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，∴，∴．【考点】等差数列的性质、等比数列的前n项和．2.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．【答案】【解析】一个骰子连续抛掷三次它落地时向上的点数情况共有种, 若落地时向上的点数依次成等差数列时情况有: 可能为连续的三个数组成的递增数列,还可能不连续的三个数组成的递增数列, ．同理可得以上两种情况的递减数列,另外还有可能是三个数相同的常数列,所以共有种情况,所以所求概率为．【考点】1排列组合；2概率．3.在等比数列中，对于任意都有，则．【答案】【解析】令，得；由等比数列的性质，得.【考点】1.赋值法；2.等比数列的性质.4.已知数列满足，则= （）A．B．C．D．【答案】【解析】∵，∴，∴，所以数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，又，故，所以．【考点】递推公式，等比数列，分组求和，等比数列的前项和5.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，或．设公比为，当时，，当时，综上可得．故D正确．【考点】1等比数列的通项公式；2等比数列的性质．6.已知数列中，函数．（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明；，且，求证：（2）若正项数列满足（n∈N*），数列的前项和为Tn．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】本题主要考查数列的通项及前n项和等基础知识，考查学生的运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．第一问，通过对两边同时取倒数、变形可知数列是以1为首项、为公比的等比数列，进而计算可得结论；第二问，通过（n∈N*）变形可知，进而累乘得：，进而，通过裂项、放缩可知，并项相加即得结论．试题解析：（1）依题意，，，，由此归纳得出：；证明如下：∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，∴，∴；（2）∵（n∈N*），∴，∴，累乘得：，∴，即，∴，∵，∴．【考点】数列的求和；归纳推理．7.设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和为．求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由可得，，而，则（Ⅱ）由及可得利用错位相减即可求出结果，即可求出结果．试题解析：（Ⅰ）由可得，而，则（Ⅱ）由及可得．．【考点】1．数列的递推公式；2．错位相减法求和．【方法点睛】本题主要考查了利用数列递推公式求出数列的通项公式，在解决此类问题时，一般利用来求数列的通项公式；在数列求和时如果通项公式可换成，其中数列分别是等差数列和等比数列，一般采用错位相减法进行求和．8.（本小题满分12分）已知正项数列的首项为，前项和为满足．（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）当时，由代入已知式分解因式可得，由此可证数列是等差数列，并求出数列的通项公式，再由即可求出数列数列的通项公式；（2）由，即用裂项相消法求出，又可得，解之即可．试题解析：（1）当时，，即，数列是首项为，公差为的等差数列，故，故，当时也成立，（6分）（2）, （8分）（10分）又，，解得或，即所求实数的取值范围为（12分）【考点】1．与关系；2．等差数列的定义与性质；3．裂项相消法求和；4．数列与不等式．【名师】本题主要考查数列中与关系、等差数列的定义与性质、裂项相消法求和以及数列与不等式的综合应用等知识．解题时首先利用与关系进行转化，得到数列前后项之间的关系，从而讲明数列是等差数列，进一步求出数列的退项公式；由于数列是等差数列，所以在求数列的前项和为时，可用裂项相消法求解．9.（本小题满分12分）等差数列的前n项和记为，已知，求n．【答案】【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．利用等差数列的通项公式将和展开，列出方程组，解出和d的值，即得到等差数列的通项公式，由，利用等差数列的前n项和得，解方程求得项数n的值．试题解析：由，得方程组，解得，所以．，得，解得或（舍去）．【考点】等差数列的通项公式及前n项和公式．10.数列1，，，，，，，，，……的前100项之和为（）A．10B．C．11D．【答案】A【解析】观察数列特点可知分母为1的有一项，分母为3的有三项，分母为5的有五项，以此类推分母为的有项，所以，即分母为19的分数写完后刚好100项，因此前100项求和时将分母相同的分组求和可得到和为10【考点】数列求和11.在等比数列{an }中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝（）A．80B．90C．95D．100【答案】B【解析】等比数列中【考点】等比数列性质12.（本题满分13分）设数列和满足：，（1）求数列和的通项公式；（2）当时，不等式恒成立，试求常数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，又因为，所以为首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；由可得当时，两式相减得，，当时也满足，．记，又因为，所以，再将其左右两边同时乘以得，然后利用错位相减得，，可化简得即，，．试题解析：（1），为首项为，公比为的等比数列，又①令令②①-②得，，当时，满足此式。

4.3 等比数列考点一 等比数列基本量计算【例1】（1）（2020·四川仁寿一中开学考试）在等比数列{}n a 中，126a a +=，33a =，则公比q 的值为（ ）A ．12-B ．12-或1 C ．－1D ．12-或－1 （2）（2020·哈密市第十五中学月考）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．2（3）（2020·四川省内江市第六中学开学考试（理））等比数列{}n a 的前n 项和131n n S a -=⋅+，则a =（ ）A ．-1B ．3C ．-3D ．1【答案】（1）B （2）C （3）C【解析】（1）由题意112163a a q a q +=⎧⎨=⎩，解得131a q =⎧⎨=⎩或11212a q =⎧⎪⎨=-⎪⎩．故选：B ．【答案】C（2）设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．（3）因为数列是等比数列故满足2213a a a ，111a S a ==+ ，232,6.a a a a ==代入2213a a a 得到 3.a =- 故答案选C ．【一隅三反】1．（2020·石嘴山市第三中学月考）已知{}n a 是等比数列，a 1=2,a 4=14,则公比q =（ ） A ．12-B ．-2C ．2D ．12【答案】D【解析】∵{}n a 是等比数列，∴34111428a q a ===，∴12q =．故选：D ．2．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高一期末（文））已知数列{}n a 满足112n n a a +=，若48a =，则1a 等于 A ．1 B ．2C ．64D ．128【答案】C【解析】因为数列{}n a 满足112n n a a +=，所以该数列是以12为公比的等比数列，又48a =，所以188a =，即164a =；故选C.3．（2020·合肥市第十一中学高二开学考试）各项都是正数的等比数列{}n a 中，2311,,2a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）AB．12CD【答案】B【解析】由题得2231211112,,102a a a a q a a q q q ⨯=+∴=+∴--=，所以q = 因为{}n a 是各项都是正数的等比数列，所以0q >，所以2q =.故选：B4．（2020·全国高二月考（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a ，且13213,,22a a a 成等差数列，则4567a a a a ++的值是（ ） A ． B ．16C ．D ．19【答案】D【解析】各项均为正数的等比数列{}n a 的公比设为q ，则q >0， 由13213,,22a a a 成等差数列，可得31232a a a =+，即211132a q a a q =+， 所以2230q q --=，解得3q =或1q =-（舍），所以34344511565623267111119a a a q a q q q q a a a q a q q q q q q ++++======++++.故选：D. 5．（2020·贵州省思南中学月考）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，10103020102(21)0S S S -++=，则公比q 等于（ ） A ．12B ．13C ．14D ．2【答案】A【解析】因为10103020102(21)0S S S -++=，所以()()103020201020S S S S ---=所以302010201012S S S S -=-，即102122301011122012a a a q a a a +++==+++ 因为0n a >，所以12q =故选：A 考点二 等比数列中项性质【例2】（1）（2020·自贡市田家炳中学开学考试）等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+（2）（2020·河南高二月考）在等比数列{}n a 中，若1358a a a =，则42a a =（ ） A ．2B ．4C ．2±D ．4±【答案】（1）B （2）B【解析】（1）由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=则()5313231031103log log log log 5log 910a a a a a +++===故选B.（2）由等比中项的性质可得313538a a a a ==，解得32a =，因此，2224324a a a ===.故选：B.【一隅三反】1．（2020·安徽滁州·期末）在等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的根，则1179a a a = A． B ．2 C ．1 D ．2-【答案】A【解析】由题得3153156,8a a a a +=⎧⎨=⎩所以211798a a a ==，因为3153156080a a a a +=>⎧⎨=>⎩，所以315990,0,0,a a a a >>∴>∴=所以1179a a a==故答案为A 2．（2019·福建高三学业考试）若三个数1，2，m 成等比数列，则实数m =（ ）A ．8B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】因为1,2,m 为等比数列，故212m=即4m =，故选：B. 3．（2020·宁夏二模（理））已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为A B ．2 C 或2 D ．2【答案】A【解析】∵1，m ，9构成一个等比数列，∴m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2x m +y 2=1；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1．故选A ． 考点三 等比数列的前n 项和性质【例3】（2020·赣榆智贤中学月考）已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3=4，a 4＋a 5＋a 6=8，则S 12= A ．40 B ．60 C ．32 D ．50【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6−S 3，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，即数列4,8，S 9−S 6，S 12−S 9是等比数列，因此S 12=4＋8＋16＋32=60，选B ． 【一隅三反】1．（2020·赣榆智贤中学月考）已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ） A ．48 B ．90C ．105D ．106【答案】C【解析】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=.故选：C2．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高一期中）等比数列{} n a 的前n 项和为n S ，若63:3:1S S =，则93:S S =（ ） A ．4:1 B ．6:1C ．7:1D ．9:1【答案】C【解析】因为数列{} n a 为等比数列，则3S ，63S S -，96S S -成等比数列， 设3S m =，则63S m =，则632S S m-=，故633S S S -=96632S S S S -=-，所以964S S m -=，得到97S m =，所以937S S =.故选：C. 3．（2020·眉山市彭山区第一中学高二开学考试）若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝10，S 10＝30，则S 20＝（ ） A ．80 B ．120C ．150D ．180【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，故可得510515102015,,,S S S S S S S ---依然成等比数列， 因为51010,30S S ==，故可得10520S S -=，故该数列的首项为10，公比为2，故可得()420101215012S-==-.故选：C .4．（2020·运城市景胜中学高二开学考试）设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ）A ．12B ．24C ．30D ．32【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q qq++=++=++==.故选：D.考点四 等比数列的单调性【例4】（2020·上海市青浦高级中学高一期末）已知数列{}n a 满足156a =，()*11133n n a a n N +=+∈. （1）求证：数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）1123n na =+. 【解析】（1）()*11133n n a a n N +=+∈，111111111132332362111132222n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫-+---⎪⎝⎭∴====----， 因此，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由于115112623a -=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以13为首项，以13为公比的等比数列，111112333n n na -⎛⎫∴-=⨯=⎪⎝⎭，因此，1123n n a =+. 【一隅三反】1．（2020·湖北高一期末）已知{}n a 为等比数列，13527a a a =，246278a a a =，以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】{}n a 为等比数列，3135327a a a a ==，32464278a a a a ==， 33a ∴=，432a =，4312a q a ∴==，112a =，543·14a a q ==<． 故{}n a 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1， 以n T 表示{}n a 的前n 项积，则使得n T 达到最大值的n 是4， 故选：A ．2．（2020·四川成都·高一期末（文））已知单调递减的等比数列{}n a 中，10a >，则该数列的公比q 的取值范围是（ ） A ．1q = B ．0q < C ．1q > D ．01q <<【答案】D【解析】因为等比数列{}n a 单调递减，所以0q >，()11111110nn n n n a a a q a qa q q --+-=-=-<，因为10a >，所以()110n q q --<，又因为1n ≥，所以10,10n qq ->-<，所以01q <<，故选：D3．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（理））若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是递增数列，则10,0a q << B ．若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C ．若0q >，则4652S S S +>D ．若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D【解析】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.4．（2020·宁夏兴庆·银川一中期末）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，并且满足条件11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-．给出下列结论： ①01q <<；②9910110a a ->；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【解析】①9910010a a ->，219711a q ∴>，9821()1q a q ∴>．11a >，0q ∴>．又99100101a a -<-，991a ∴>，且1001a <．01q ∴<<，即①正确；②299101100100·01a a a a ⎧=⎨<<⎩，9910101a a ∴<<，即9910110a a -<，故②错误； ③由于10099100T T a =，而10001a <<，故有10099T T <，故③错误；④中9919812198119821979910099100()()()()1T a a a a a a a a a a a =⋯=⋯=>，199121991199219899101100()()()1T a a a a a a a a a a =⋯=⋯<，故④正确．∴正确的为①④，故选：B ．考点五 证明判断等比数列【例5】（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 等差中项.（1）证明数列{}n a 等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）13-=n n a【解析】（1）因为数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，所以11133log log 1n n a a +-=-， 故113log 1n n a a +=-，所以13n n a a +=，所以数列{}n a 是公比为3的等比数列.（2）因为22a +是13,a a 的等差中项，所以()21322a a a +=+，所以()1112329a a a +=+，解得11a =，数列{}n a 的通项公式为-13n n a =.【一隅三反】1．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高一月考）数列0,0,0,...,0,...（ ）A ．既不是等差数列又不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．是等差数列但不是等比数列【答案】D【解析】数列0,0,0,...,0,...是无穷数列，从第二项开始起，每一项与它前一项的差都等于常数0，符合等差数列的定义，所以数列0,0,0,...,0,...是等差数列，根据等比数列的定义可知，等比数列中不含有为0的项，所以数列0,0,0,...,0,...不是等比数列，故选D. 2．（2020·山东省泰安第二中学高三月考）已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n a C ．1{}n n a a ++ D ．12{}n n n a a a ++++【答案】AD 【解析】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列，1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}n a 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ．3．（2020·浙江金华·期中）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+．设n n a b n=． （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）详见解析；（2）12n n a n -=⋅． 【解析】（1）()121n n na n a +=+，n n a b n =，由条件可得121n n a a n n +=+，即12n n b b +=，又111b a ==， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． （2）由（1）可得12n n b -=，12n n a n -=，所以12n n a n -=⋅．。

专题4. 3等比数列（A 卷基础篇）（人教A 版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末）各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，则3a =（ ）A ．2B ．-2C D ．【答案】A 【解析】因为各项均为正数的等比数列{}n a 中，11a =，54a =，所以23154a a a =⨯=，所以32a =（负值舍去）故选：A.2．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）等比数列{}n a 中，已知12a =，416a =，数列{}n a 的公比为（ ）. A ．12B ．2-C ．2D ．12-【答案】C 【解析】数列{}n a 是等比数列，则11n n a a q -=⋅，（q 为数列{}n a 的公比），则3341162a a q q =⋅⇒=⋅，解得2q.故选：C.3．（2020·山东省济南回民中学高二期中）在等比数列{}n a 中，11a =，2q ，则数列的前5项和等于（ ）A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】A 【解析】因为等比数列{}n a 中，11a =，2q ，所以数列的前5项和()()55151********a q S q-⨯-===--，故选：A .4．（2020·全国高二课时练习）2与2+ ） A ．1B ．1-C ．2D ．1-或1【解析】由题意可设2与2+m ，则2(21m =-+=，解得1m =-或1m =. 故选：D.5．（2020·江阴市华士高级中学高二期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏 B ．9盏C ．27盏D ．81盏【答案】C 【解析】根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，13为公比的等比数列， 则有51(1)3363113x S ⨯-==-，解可得：243x =，所以中间一层共有灯21243()273⨯=盏. 故选：C6．（2020·江苏省锡山高级中学高二月考）在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11,,232n q a ==则项数n 为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】由题意可得等比数列通项5111122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5n =故选：C7．（2020·江苏南通市·高二期中）已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定【解析】由题意知：216x =，且若令公比为q 时有20x q =>，∴4x =， 故选：A8．（2020·云南高二学业考试）已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．15【答案】B 【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q，所以211a a q==，又因为1111nn a q S q q，所以()551123112S -==-.故选：B.9．（2020·河南南阳市·高三期中（理））公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】D 【解析】等差数列{}n a 中,31172a a a +=,故原式等价于27a -740a =解得70a =或74,a =各项不为0的等差数列{}n a ,故得到774a b ==，数列{}n b 是等比数列，故2687b b b ==16.故选：D.10．（2020·上海市嘉定区第一中学高二月考）标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，此表中各行均为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的 4.2的视标边长为a ，则视力5.1的视标边长为（ ）A ．91010a-B ．4510a-C ．4510aD ．91010a【答案】A 【解析】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -由题意可得：10110111100nn n n a a a a ---=⇔= 则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列即101191010101010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力5.1的视标边长为91010a - 故选：A第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·河南高三月考（理））已知等比数列{}n a 满足3432a a =且22a =，则1a =________.【答案】43【解析】因为3432a a =，所以4332a q a ==. 故由等比数列的通项公式得2124332a a q ===.故答案为：4312．（2020·上海市建平中学高三期中）已知公比为q 的等比数列{}n a 满足2432a a a +=，则q =__________________．【答案】1 【解析】因为{}n a 为等比数列，且2432a a a +=，所以321112a q a q a q +=，即212q q +=，解得1q =，故答案为：113．（2020·湖北省孝感市第一高级中学高一期中）从盛有1L 纯酒精的容器中倒出1L 3，然后用水填满，再倒出1L 3，又用水填满…….连续进行了n 次后，容器中的纯酒精还剩下32L 243，则n =________. 【答案】5 【解析】根据题意，连续进行了n 次后，容器中的纯酒精的剩余量组成数列{}n a ， 则数列{}n a 是首项为23，公比为23的等比数列，则1222()()()333n nn a -=⨯=，若连续进行了n 次后，容器中的纯酒精还剩下32243L ，即232()3243n =， 解得5n =， 故答案为：5．14．（2020·浙江高二单元测试）在正项等比数列{}n a 中，若126a a +=，38a =，则q =___________；n a =___________．【答案】2 2n 【解析】由题意可知0q >，由题意可得()1212311680a a a q a a q q ⎧+=+=⎪==⎨⎪>⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩， 111222n n n n a a q --∴==⨯=.故答案为：2；2n .15．（2020·全国高三专题练习）我国古代著作《庄子天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的长度是_________尺；要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过________次截取. 【答案】16411 【解析】记第n 天后剩余木棍的长度{}n a ，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列， 所以12n n a =，所以6611264a ==， 由1122018n n a =<得10n >，所以n 的最小值为11.所以第6天截取之后，剩余木棍的长度是164尺，要使剩余木棍的长度小于12018尺，需要经过11次截取.故答案为：164；11.16．（2020·江苏南通市·）n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】2 3 【解析】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩. 故答案为：2；3.17．（2020·全国高三专题练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，36S a =，且3a ，6a ，k a 成等比数列，则n S =________，k =________．【答案】22n n+ 12 【解析】设等差数列的公差为d ，则由36S a =得11335a d a d +=+，即3315d d +=+，解得1d =，则n a n =，(1)2n n n S n -=+=22n n+． 由3a ，6a ，k a 成等比数列得263k a a a =⋅，即263k =，解得12k =．故答案为：22n n+；12三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·全国高二）已知数列{}n a 的通项公式()26*n a n n N =-∈. （1）求2a ，5a ；（2）若2a ，5a 分别是等比数列{}n b 的第1项和第2项，求数列{}n b 的通项公式.【答案】（1）22a =-，54a =；（2）(2)n n b =-.【解析】（1）因为()26*n a n n N =-∈，所以22a =-，54a =， （2）由题意知：等比数列{}n b 中，122b a ==-，254b a ==， 公比212b q b ==- ∴等比数列{}n b 的通项公式111(2)(2)(2)n n n n b b q--=⋅=-⋅-=-19．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高二月考）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，38a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）*2,n n a n N =∈；（2）1*22,n n S n +=-∈N .【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则223128a a q q ===，所以2q或2q =-（舍），所以112n nn a a q -==，*n N ∈.（2）由（1）得2nn a =，所以()()11121222112n n n n a q S q+--===---.20．（2020·广西桂林市·桂林十八中高二月考（文））在正项等比数列{}n a 中，416a =，且2a ，3a 的等差中项为12a a +．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和为n S ．【答案】（1）2n n a =；（2）()11222n n n nS ++⋅=+-.【解析】（1）设正项等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，由题意可得3121111162()a q a q a q a a q ⎧=⎨+=+⎩，解得122a q =⎧⎨=⎩． ∴数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=⨯=；（2）()()()()()1121221211222122n n n n a a a n n nn nS +-+⋅=++++++⋅=+=++-+-.21．（2020·贵州贵阳市·高三其他模拟（理））已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =，（2）1n n S n =+ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），因为11a =，且139,,a a a 成等比数列，所以2319a a a =，即2(12)1(18)d d +=⨯+，解得0d =（舍去）或1d =， 所以n a n =， （2）由（1）可得11111(1)1n n a a n n n n +==-⋅++，所以111111+2231n n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++ 22．（2020·安徽高三其他模拟（文））设{}n a 是等比数列，其前n 项的和为n S ，且22a =，2130S a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值. 【答案】（1）12n n a ；（2）6.【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，因为2130S a -=，所以2120a a -=，所以212a q a ==， 又22a =，所以11a =，所以1112n n n a a q --==.（2）因为()11211n n n a q S q-==--，所以11212321n n n n n S a --+=-+=⋅-，由132148n -⋅->，得13249n -⋅>，即14923n ->，解得6n ≥， 所以n 的最小值为6.。

2023-2024学年高二年级12月三校联合调研测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知等比数列{}n a 中，11a =，48a=−，则公比q =（ ）A. 2B. 4−C. 4D. 2−【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的知识求得正确答案.【详解】依题意33418,2a a q q q ===−=−. 故选：D2. 已知过(,2),(,1)A m B m m −−两点的直线的倾斜角是45 ，则,A B 两点间的距离为（ ）A. 2B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】利用倾斜角求出1m =，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，12tan 451m m m−−=°=−−， 解得1m =，故(1,2),(1,0)A B −，则,A B 故选：C3. 直线320x my m +−=平分圆C ：22220x x y y ++−=，则m =（ ）A.32B. 1C. -1D. -3【答案】D 【解析】【分析】求出圆心，结合圆心在直线上，代入求值即可.【详解】22220x x y y ++−=变形为()()22112x y ++−=，故圆心为()1,1−，由题意得圆心()1,1−在320x my m +−=上，故320m m −+−=，解得3m =−.故选：D4. 设双曲线()222210,0x y a b a b−=>>的虚轴长为2，焦距为 ）A. y =B. 2y x =±C. y x =±D. 12y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到1b =，c =a =.【详解】由题意得22b =，2c =1b =，c =故a故双曲线渐近线方程为b y x x a=±. 故选：C5. 椭圆22192x y +=中以点()21M ，为中点的弦所在直线斜率为（ ） A. 49−B.12C.D. −【答案】A 【解析】【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】设弦的两端点为()11A x y ，，()22B x y ，，代入椭圆得22112222192192x y x y += += ， 两式相减得()()()()12121212092x x x x y y y y −+−++=，即()()()()1212121292x x x x y y y y −+−+=−，即()()1212121229x x y y y y x x +−−=+−， 即12122492y y x x −×−=×−， 即121249y y x x −=−−，∴弦所在的直线的斜率为49−， 故选:A ．6. 已知()1,0F c −，()2,0F c 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆C 上存在一点P 使得212PF PF c ⋅=，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】设点P .【详解】设()00,P x y ，则()22002210x ya b a b +=>>，∴2220021x y b a=−， 由212PF PF c ⋅=，∴()()20000,,c x y c x y c −−−⋅−−=， 化为2222x c y c −+=，∴22220212x x b c a+−=， 整理得()2222023a x c a c=−， ∵220x a ≤≤，∴()2222203a c a a c≤−≤，e ≤≤，故选：B7. 过动点(),P a b （0a ≠）作圆C：(223x y +−=的两条切线，切点分别为A ，B ，且60APB ∠=°，则ba的取值范围是（ ）A.B.C. , −∞+∞D.(),−∞∪+∞【答案】D 【解析】【分析】求出PC =，确定动点(),P a b 的轨迹方程，从而结合ba表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率，利用距离公式列出不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知圆C：(223x y +−=因为A ，B 分别为两条切线PA ，PB 的切点，且60APB ∠=°，则30APC BPC ∠=∠=°，所以2PC AC ==，所以动点(),P a b在圆(2212x y +−=上且0a ≠，b a表示圆(2212x y +−=上的点与坐标原点连线的斜率， 设bk a=，则直线y kx =与圆(2212x y +−=有公共点，≤，解得k ≤k ≥，即ba的取值范围是(),−∞∪+∞， 故选：D8. 已知数列{}n a 满足()2123111N 23n a a a n n na n +++++=+∈ ，设数列{}nb 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A. 1,4+∞B. 1,4+∞C. 3,8∞+D. 38 +∞,【答案】D 【解析】【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最后利用函数的单调性求出结果.【详解】数列{}n a 满足212311123n a a a a n n n++++=+ ，① 当2n ≥时，()2123111111231n n a a a a n n −++++−−=+− ，②①−②得，12n a n n=，故22n a n =， 则()()2222121211114411n n n n n b a a n n n n +++===− ++， 则()()22222211111111114223411n T n n n=−+−++−=− ++，由于()N 1n nT n n λ+<∈+恒成立，故()2111411nn n λ −< ++， 整理得：()21144441n n n λ+>=+++，因()11441n ++随n 的增加而减小， 所以当1n =时，()11441n ++最大，且38， 即38λ>. 故选：D二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）为9. 下列说法正确的是（ ）A. 直线20x y −−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B. 点()0,2关于直线1y x =+的对称点为()1,1 C. 过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x −−=−− D. 已知点()1,2P，向量()m =，过点P 作以向量m为方向向量的直线为l ，则点()3,1A 到直线l的距离为1【答案】ABD 【解析】【分析】由直线方程，求得在坐标轴上的截距，利用面积公式，可判定A 正确；根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标，可判定B 正确；根据直线的两点式方程的条件，可判定C 错误；根据题意，求得直线l 的方程，结合点到直线的距离公式，可判定D 正确.【详解】对于A 中，令0x =，可得=2y −，令0y =，可得2x =，则直线20x y −−=与两坐标轴围成三角形的面积12222S =××=，所以A 正确； 对于B 中，设()0,2关于直线1y x =+对称点坐标为(),m n ，则212122n mn m − =−+ =+ ，解得1,1m n ==，所以B 正确； 对于C 中，直线的两点式使用的前提是1212,x x y y ≠≠，所以C 错误；对于D中，以向量()m =为方向向量的直线l的斜率k =，则过点P 的直线l的方程为)12y x −+，即10x +−−=， 则点()3,1A 到直线l的距离1d −，所以D 正确． 故选：ABD ．的10. 已知椭圆221259x y +=上一点P ，椭圆的左､右焦点分别为12,F F ，则（ ）A. 若点P 的横坐标为2，则1325PF = B. 1PF 的最大值为9C. 若12F PF ∠为直角，则12PF F △的面积为9D. 若12F PF ∠为钝角，则点P的横坐标的取值范围为 【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，可直接解出点P 坐标，求两点距离； 对B ，1PF 最大值为a c +对C ，设1PF x =，则210PF x =-，列勾股定理等式，可求面积；对D ，所求点P 在以原点为圆心，4c =为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.【详解】椭圆的长半轴为5a=，半焦距为4=c ，∴()()124,0,4,0F F −对A ，2x =时，代入椭圆方程得，=，1175PF ==，A 错； 对B ，1PF 的最大值为9a c +=，B 对；对C ，12F PF ∠为直角，设1PF x =，则210PF x =-，则有()222210810180x x x x +-=⇒-+=，则12PF F △的面积为()11810922x x −==，C 对； 对D ，以原点为圆心，4c =为半径作圆，则12F F 为圆的直径，则点P 在圆内时，12F PF ∠为钝角，联立2222125916x y x y += +=，消y得x =，故点P的横坐标的取值范围为 ，D 对. 故选：BCD11. 已知数列{}n a 满足12a =，12,2,n n na n a a n ++ = 为奇数，为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则（ ）A. 520a =B. 32nn b =×C. 12632n n T n +=−−+×D. 2261232n n S n +=−−+×【答案】ACD 【解析】【分析】分析1n a +与n a 的递推关系，根据数列{}n a 的奇数项、偶数项以及分组求和法求得2,n n T S .【详解】依题意，2132435424,28,210,220a a a a a a a a =+====+===，A 选项正确. 112432b a ==≠×，所以B 选项错误.当n 为偶数时，2111222n n n n a a a a ++++==+=+，所以()2222n n a a ++=+，而226a +=，所以1122262,622nn nn a a −−+=×=×−，所以12242662622nn nT a a a n − ++++×++×−()16122263212n n n n +−=−=−−+×−，所以C 选项正确.当n 为奇数时，()211122224n n n n n a a a a a ++++++，所以()2424n n a a ++=+，而146a =，所以11122462,624n n nn a a +−−+=×=×−，所以1213521662624n n a a a a n −−+++++×++×−()16124463212n n n n +−=−=−−+×−，所以()()11224632263261232n n n n S n n n +++=−−+×+−−+×=−−+×，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】求解形如()11n n a pa q p +=+≠的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为()1n n a p a λλ++=+的形式，再结合等比数列的知识来求得n a .求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解.12. 画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C 的蒙日圆，其圆方程为2222x y a b +=+．已知椭圆C，点A ，B 均在椭圆C 上，直线:40l bx ay +−=，则下列描述正确的为（ ） A. 点A 与椭圆C 的蒙日圆上任意一点的距离最小值为bB. 若l 上恰有一点P 满足：过P 作椭圆C 的两条切线互相垂直，则椭圆C 的方程为2213x y +=C. 若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，则01b <<D. 若1b =，椭圆C 的蒙日圆上存在点M 满足MA MB ⊥，则AOB【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆上点到原点最大距离为a ，蒙日圆上的点到椭圆上点的距离最小值为半径减去a 可判断A ，利用相切列出方程即可求得椭圆的方程，可判断B ，分析可得点Q 应在蒙日圆外，解不等式从而判断C ，依据题意表示出面积表达式并利用基本不等式即可求出面积最大值，可判断D.【详解】由离心率c e a ==，且222a b c =+可得223a b ， 所以蒙日圆方程2224x y b +=； 对于A ，由于原点O 到蒙日圆上任意一点的距离为2b ，原点O到椭圆上任意一点的距离最大值为a ，所以椭圆C 上的点A 与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为(2b −，即A 错误；对于B ，由蒙日圆定义可知：直线:40l bx ay +−=与蒙日圆2224x y b +=相切， 则圆心到直线l422b b=，解得1b =； 所以椭圆C 的方程为2213x y +=，即B 正确；对于C ，根据蒙日圆定义可知：蒙日圆上的点与椭圆上任意两点之间的夹角范围为π0,2，若若l 上任意一点Q 都满足0QA QB ⋅>，可知点Q 应在蒙日圆外，所以此时直线l 与蒙日圆2224x y b +=422b b >，解得11b −<<， 又0a b >>，所以可得01b <<，即C 正确.对于D ，易知椭圆C 的方程为2213x y +=，即2233x y +=，蒙日圆方程为224x y +=， 不妨设()0,Mx y ，因为其在蒙日圆上，所以22004xy +=，设()()1122,,,A x y B x y ，又MA MB ⊥，所以可知,MA MB 与椭圆相切，此时可得直线MA 的方程为1133x x y y +=，同理直线MB 的方程为2233x x y y +=； 将()00,M x y 代入,MA MB 直线方程中可得101020203333x x y y x x y x +=+= ，所以直线AB 的方程即为0033x x y y +=， 联立00223333x x y y x y +=+=，消去y 整理可得()2222000036990x y x x x y +−+−=； 由韦达定理可得200121222220000699,33x y x x x x x y x y −+==++, 所以()20202122y AB y +=+， 原点O 到直线AB的距离为d，因此AOB 的面积()2020********AOBy S AB d y +=⋅=×=+333222==≤=；，即201y =时等号成立， 因此AOBD 正确； 故选：BCD的【点睛】方法点睛：在求解椭圆中三角形面积最值问题时，经常利用弦长公式和点到直线距离公式表示出三角形面积的表达式，再利用基本不等式或函数单调性即可求得结果.三、填空题（本大题共4小圆，每小题5分，共20分）13. 在等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，7825a a =+，则11S =_________. 【答案】55 【解析】【分析】根据下标和性质求出6a ，再根据等差数列前n 项和公式及下标和性质计算可得.【详解】在等差数列{}n a 中7825a a =+，又7862a a a =+，所以65a =， 所以()111611611112115522a a a S a +×====. 故答案为：5514. 已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为_____【解析】【分析】首先求12,PF PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解．【详解】因为12||||26PF PF a +==，12||2||PF PF =，所以12||4,||2PF PF ==， 212954,||24c F F c −====，则121||||4F F PF ==，等腰12PF F △边2PF 上的高h =，所以12122PF F S =×= ，设22PF F 的内切圆半径为r ，则121211(||||||)1022PF PF F F r r ++×=××=所以r =15. 已知圆M经过((()2,,1,0,A C B −．若点()3,2P ，点Q 是圆M 上的一个动点，则MQ PQ ⋅的最小值为__________．【答案】4−【解析】【分析】先利用待定系数法求出圆的方程，再利用数量积的运算律转化结合数量积的定义求出. 【详解】设圆M 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由于圆经过(2,A，(B ，()1,0C −，所以有72072010D F D F D F ++=++=−+=，解得203D E F =− = =− ， 所以圆M 的一般方程为22230x y x +−−=，即标准方程为()2214x y −+=. 则圆M 的圆心()1,0M ，半径2==r MQ ，且=MP，因为()2424 ⋅=⋅−=−⋅≥−×=−MQ PQ MQ MQ MP MQ MQ MP ，当且仅当MQ 与MP同向时，等号成立，所以MQ PQ ⋅的最小值为4−.故答案为：4−.16. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b−=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作倾斜角为30 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点P ，Q ，若()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，则C 的离心率为______．【解析】【分析】由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=，2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直，结合图像，根据双曲线的定义，找出各边的关系，列出等式，求解.【详解】依题意，由()2222220F P F Q F P F Q F P F Q+⋅−=， 得22220F P F Q QP F P F Q+⋅=，即2PF Q ∠的平分线与直线PQ 垂直， 如图，设2PF Q ∠的平分线2F D 与直线PQ 交于点D ，则22PF D QF D ∠=∠，2290F DP F DQ ∠=∠= ，又22DF DF =， 所以22PDF QDF ≌△△2QF ．由题得()1,0F c −，()2,0F c ，设2DF h =，2QF s =，1PF t =，在12Rt DF F △中，1290F DF ∠=，1230DF F ∠=，则h c =，1DF =，由双曲线的性质可得122122QF QF PQ t s a PF PF s t a −=+−=−=−= ，解得4PQ a =，则2PDQD a ==，所以在2Rt QDF△中，s=又12t DF PD a =−=−，2s t a −=)22a a −−=，，整理得222ac =，所以cea==四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知数列{}n a 满足：122,4a a ==，数列{}n a n −为等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求和：12nn S a a a =++⋅⋅⋅+． 【答案】（1）12n n −+ （2）2112122n n n ++− 【解析】【分析】（1）首先求出11a −，22a −，即可求出等比数列{}n a n −的通项公式，从而求出{}n a 的通项公式；（2）利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】因为12a =，24a =，数列{}n a n −为等比数列，所以111a −=，222a −=2=，即{}n a n −是以1为首项，2为公比等比数列， 所以12n n a n −−=，则12n n a n −=+. 【小问2详解】12n n S a a a =++⋅⋅⋅+01211222322n n −=++++++++()()01211232222n n −=+++++++++()2112112121222n n n n n n +−=+=++−−. 18. 已知圆()()22:121M x y ++−=，直线l 过原点()0,0O ． （1）若直线l 与圆M 相切，求直线l 的方程；（2）若直线l 与圆M 交于P ，Q 两点，当MPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．的【答案】（1）0x =或34y x =− （2）y x =−或7y x =−．【解析】【分析】（1）根据直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，结合圆心到直线的距离等于半径来求得直线l 的方程.（2）设出直线l 的方程，由点到直线的距离公式、弦长公式求得三角形PQM 面积的表达式，结合二次函数的性质求得MPQ 的面积最大时直线l 的方程. 【小问1详解】①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =，显然符合直线与圆相切， ②当斜率存在时，设直线为y kx =，圆M 的圆心坐标()1,2-，圆心到直线的距离d由题意得：直线l 与圆M1，解得：34k =−，所以直线l 的方程为：34y x =−， 综上所述，直线l 的方程为：0x =或34y x =− 【小问2详解】直线l 的斜率不存在时，直线l 为0x =与圆相切，不符合题意，故直线l 斜率必存在， 设直线l 的方程为：y mx =， 圆心到直线的距离d，弦长PQ ==，所以12PQM S PQ d =⋅⋅=△当212d =时，面积S 最大，12=，整理得2870m m ++=，解得7m =−，或1m =−，所以直线l 的方程：y x =−或7y x =−．19.如图，已知A ，(0,0)B ，(12,0)C，直线:(20l k x y k −−=．（1）证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标； （2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；（3）若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程． 【答案】（1）证明见解析，定点坐标为(2,； （2170y +−=； （3）2100x −=． 【解析】【分析】（1）整理得到(2))0k x y −+−=，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S =得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D 点坐标，得到直线方程；（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到12P P k =由对称性得PK k =写成直线方程. 【小问1详解】直线:(20l k x y k +−−=可化为(2))0k x y −+−=，令200x y −= −=，解得2x y = = l经过的定点坐标为(2,；【小问2详解】因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12ABAC BC ===， 由题意得直线AB方程为y =，故直线l经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM ==，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =××，所以3||||94AD AC ==， 设00(,)D x y ，所以34AD AC = ，即003(6,(6,4x y −−=−，所以0212x =，0y =D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =， 所以直线l 170y+−=； 【小问3详解】设P 关于BC 的对称点1(2,P −，关于AC 的对称点2(,)P m n ， 直线AC12612x −=−，即)12y x −，直线AC的方程为12)y x −，所以(12122m =−+ =− ，解得14,m n ==2P ， 由题意得12,,,P K I P四点共线，12P P k =PK k =， 所以入射光线PK的直线方程为2)y x −−，即2100x +−=．20.已知两定点()()12,2,0F F ，满足条件212PF PF −=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1y kx =−与曲线E 交于A ，B （1）求曲线E 的方程； （2）求实数k 的取值范围；（3）若||AB =AB 的方程． 【答案】20. ()2210x y x −=<21. ()1−22.10x y ++= 【解析】【分析】（1）由双曲线的定义得其方程为()2210x y x −=<；（2）由于直线和双曲线相交于左支，且有两个交点，故联立直线的方程和双曲线的方程，消去y 后得到关于x 的一元二次方程的判别式大于零，且韦达定理两根的和小于零，两根的积大于零，由此列不等式组，求解k 的取值范围； （3）由AB =，利用弦长公式，结合韦达定理列出关于k 的方程，解方程即可得结果. 【小问1详解】由双曲线定义可知，曲线E是以()1F，)2F为焦点的双曲线的左支，且c =由2122PF PF a −==，所以1a =，1b ，所以曲线E 的方程为()2210x y x −=<.故曲线E 的方程为：()2210x y x −=<.【小问2详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意联立方程组2211x y y kx −= =− ，消去y 得()221220k x kx −+−=， 又因为直线与双曲线左支交于两点，有()()222122122102810201201k k k k x x k x x k −≠ ∆=+−> − +=< −− => −，解得1k <<−. 故k的取值范围为()1−. 【小问3详解】因为2AB x =−====，整理化简得422855250k k −+=，解得257k =或254k =， 因为1k<<−，所以k =AB 10x y ++=. 故直线AB 10x y ++=. 的【点睛】关键点睛：（2）（3）中根据直线与曲线联立后利用韦达定理，再结合弦长公式从而求解. 21. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n n S a +=−，数列{}n b 满足2log 1nn a b n =+，其中*N n ∈. （1）证明2n n a为等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n+的前n 项和为n T ；（3）求使不等式1321111111n m b b b −+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥n 都成立的最大实数m 的值.【答案】（1）证明见解析；(1)2nn a n =+⋅ （2）188(4)4339n n T n =+⋅− （3【解析】【分析】（1）根据数列递推式可得122nn n a a −−=，整理变形结合等差数列定义即可证明结论，并求得数列的通项公式；（2）利用错位相减法即可求得答案； （3）将原不等式化为()111111321n+++≥ −调性，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，即可求得答案. 【小问1详解】当1n =时，11124a S a ==−，则14a =， 当2n ≥时，11,22nn n n n n a S S a a −−∴=−−=，即11122n n n n a a −−−=，即2n n a 是以122a =为首项，公差为1的等差数列， 故(1,22)1n n n n a n a n =++⋅∴= 【小问2详解】由（1）可得2(1)41n n a n n =+⋅+， 故22434(1)4n n T n =×+×+++⋅ ，故231424344(1)4n n n T n n +=×+×++⋅++⋅ ，则231324444(1)4n n n T n +−=×++++−+⋅14(14)884(1)4(4)41433n n n n n +−=+−+⋅=−+⋅−， 故188(4)4339n n T n =+⋅−； 【小问3详解】22log log 21n n n a b n n ===+，则1321111111n m b b b − +⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+≥即()111111321n+++≥ −即11321n m −≤对任意正整数n 都成立，令()11111?·1321n f n +++−=则()111111?·11321211n n f n  ++++−++故()()11f n f n +=>， 即(),N f n n +∈随着n 的增大而增大，故()()1f n f ≥m ≤， 即实数m【点睛】关键点睛：第三问根据数列不等式恒成立问题求解参数的最值问题时，要利用分离参数法推得111111321n m +++−≤ 对任意正整数n 都成立，之后的关键就在于构造函数，并判断该函数的单调性，从而利用最值求得答案.22. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，两焦点12,F F 在x 轴上，离心率为12，点P 在C 上，且12PF F △的周长为6．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()4,0M 的动直线l 与C 相交于A ，B 两点，点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴的交点为E ，求ABE 的面积的最大值． 【答案】（1）22143x y += （2【解析】【分析】（1）根据题意得到22212226c a a c a b c = +==+，再解方程组即可. （2）首先设出直线l 的方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理、点,B D 关于x 轴对称、,,A E D 三点共线得到()1,0E ，从而得到ABES = ，再利用换元法求解最值即可. 【小问1详解】由题知：2221222261c a a a c b a b c c == +=⇒ =+=， 所以椭圆22:143x y C += 【小问2详解】如图所示：设直线():40l x ty t =+≠，()()1122,,,A x y B x y . ()222243424360143x ty t y ty x y =+ ⇒+++= += . ()()2224434360t t ∆−+×>，解得24t >.1222434t y y t −+=+，1223634y y t =+. 因为点,B D 关于x 轴对称，所以()22,D x y −. 设()0,0E x ，因为,,A E D 三点共线，所以AE DE k k =. 即121020y y x x x x −=−−，即()()120210y x x y x x −=−−. 解得()()()12211212122101212124424y ty y ty ty y y y y x y x x y y y y y y ++++++===+++ 2364124t t×=−+=. 所以点()1,0E 为定点，3EM =.1212ABE AME BME S S S EM y y =−=⋅−=令0m =>，则()22181818163163443ABE m m S m m m m===≤++++△ 当且仅当163m m =，即m =时取等号. 所以ABE。