2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修专题专题18 等比数列(解析版)

模块综合提升1．若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)[提示] “常数”必须强调为“同一个常数”． 2．等比数列{a n }的单调性是由公比q 决定的． (×)[提示] 是由a 1和q 共同决定的．3．数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2． (√) 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．(×) 5．满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列． (×)[提示] 必须强调q ≠0.6．G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab ．(×)[提示] G 2＝ab 不能得出G 是a ，b 的等比中项，如G ＝0，a ＝0，b ＝1. 7．如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列． (×)[提示] 当a n ＞0时，结论才能成立．8．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a．(×)[提示] 公式成立的条件是a ≠0，且a ≠1.9．若数列{a n }的前n 项和满足S n ＝an 2＋bn ＋c ，则该数列一定为等差数列． (×) [提示] c ≠0时不是等差数列．10．在等差数列{a n }中，由m ＋n ＝p ＋q ＋l 可得a m ＋a n ＝a p ＋a q ＋a l ． (×)[提示] 两边项数必须相同才成立．11．若{a n }是等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{|a n |}一定是等比数列．(×) 12．若数列{a n }是等差数列，则S n ，S 2n ，S 3n 也成等差数列． (×)[提示] S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 13．在数列中，若a n ＋1a n是一个常数，则该数列一定是等比数列． (×)[提示] 同一个不为零的常数．14．在等差数列{a n }中，若a 8＞0，a 9＜0，则S 8最大．(×) 15．在等比数列{a n }中，若l ，m ，n 成等比，则a l ，a m ，a n 也成等比．(×)[提示] 若l ，m ，n 成等差，则a l ，a m ，a n 成等比．16．一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度为at 0．(√) 17．导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同．(×)[提示] 如f (x )＝x .定义域为[0，＋∞)，而f ′(x )＝12x ，定义域为(0，＋∞)．18．直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点． (×)[提示] 参照正弦曲线，可以有多个交点． 19．常数函数f (x )＝2 020没有导数． (×)[提示] 常数函数的导数等于零． 20．若y ＝e 3，则y ′＝3e 2． (×)[提示] e 3为常数，其导数为0.21．函数y ＝log 3(2x ＋1)是由y ＝log 3t 和t ＝2x ＋1两个函数复合而成的． (×) 22．函数 f (x )在定义域上都有 f ′(x )＜0，则函数 f (x )在定义域上单调递减．(×)[提示] 如f (x )＝1x ，其导函数f ′(x )＝－1x2＜0.但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是单调递减．23．若函数f (x )在(a ，b )内有极值，则f (x )在(a ，b )内一定不单调． (×) 24．若f (x )＝x 3＋1，则x ＝0是函数f (x )的极值点．(×)[提示] 由f ′(x )＝3x 2≥0，得f ′(x )在x ＝0两侧符号相同，∴x ＝0不是函数的极值点．25．在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合． (×) 26．函数的最大值为a ，则其值域为(－∞，a ]．(×)[提示] 最值和值域是函数的两个不同的概念，如果自变量是整数，则值域不能用区间表示．27．函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．(×) 28．面积为S 的一切矩形中，周长最小的矩形的边长是S ．(√)29．若f (x )是[a ，b ]上的连续函数，且在(a ，b )内可导，则f (x )的最值点一定是极值点．(×)[提示] 如单调函数的最值在端点处取得．30．若a ≥f (x )在[a ，b ]上恒成立，那么a ≥f (x )max ．(√)1．已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．16 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d a 1＋4d ＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝2.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×(－5)＋28×2＝16.]2．曲线y ＝cos x －x2在点(0，1)处的切线方程为________．x ＋2y －2＝0 [由题意，可知y ′＝－sin x －12.因为y ′x ＝0＝－sin 0－12＝－12，所以曲线y ＝cos x －x 2在点(0，1)处的切线方程y －1＝－12x ，即x ＋2y －2＝0.]3．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．(e ，1) [设A (x 0，ln x 0)，由y ＝ln x ，得y ′＝1x，所以y ′|x ＝x 0＝1x 0，则该曲线在点A 处的切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线经过点(－e ，－1)，所以－1－ln x 0＝－e x 0－1，即ln x 0＝ex 0，则x 0＝e.故A (e ，1)．]4．设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1＝4，b 1＝6，b 2＝2a 2－2，b 3＝2a 3＋4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝1，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，2k＜n ＜2k ＋1，b k ，n ＝2k，其中k ∈N *.①求数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式．②求∑i ＝12na i c i (n ∈N *)．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧6q ＝6＋2d ，6q 2＝12＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.故a n ＝4＋(n －1)×3＝3n ＋1，b n ＝6×2n －1＝3×2n.所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋1(n ∈N *)，{b n }的通项公式为b n ＝3×2n(n ∈N *)． (2)①a 2n (c 2n －1)＝a 2n (b n －1)＝(3×2n＋1)(3×2n－1)＝9×4n－1.所以，数列{a 2n (c 2n －1)}的通项公式为a 2n (c 2n －1)＝9×4n －1(n ∈N *)．②∑i ＝12na i c i ＝∑i ＝12n[a i ＋a i (c i －1)]＝∑i ＝12na i ＋∑i ＝1na 2i (c 2i －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n×4＋2n2n－12×3＋∑i ＝1n(9×4n －1) ＝(3×22n －1＋5×2n －1)＋9×41－4n1－4－n＝27×22n －1＋5×2n －1－n －12(n ∈N *)．5．已知实数a ≠0，设函数f (x )＝a ln x ＋1＋x ，x ＞0. (1)当a ＝－34时，求函数f (x )的单调区间；(2)对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞均有f (x )≤x 2a ，求a 的取值范围． 注：e ＝2.718 28…为自然对数的底数．[解] (1)当a ＝－34时，f (x )＝－34ln x ＋1＋x ，x ＞0.f ′(x )＝－34x ＋121＋x＝1＋x －221＋x ＋14x 1＋x，所以，函数f (x )的单调递减区间为(0，3)，单调递增区间为(3，＋∞)． (2)由f (1)≤12a ，得0＜a ≤24.当0＜a ≤24时，f (x )≤x 2a 等价于x a 2－21＋x a－2ln x ≥0. 令t ＝1a，则t ≥2 2.设g (t )＝t2x －2t 1＋x －2ln x ，t ≥22，则g (t )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫t －1＋1x 2－1＋xx－2ln x . ①当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，＋∞时，1＋1x≤22，则g (t )≥g (22)＝8x －421＋x －2ln x .记p (x )＝4x －221＋x －ln x ，x ≥17，则p ′(x )＝2x－2x ＋1－1x＝2x x ＋1－2x －x ＋1x x ＋1＝x －1[1＋x 2x ＋2－1]x x ＋1x ＋1x ＋1＋2x.故x 17⎝ ⎛⎭⎪⎫17，1 1 (1，＋∞)p ′(x )－ 0 ＋ p (x ) p ⎝ ⎛⎭⎪⎫17单调递减极小值p (1)单调递增所以，p (x )≥p (1)＝0.因此，g (t )≥g (22)＝2p (x )≥0.②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，17时，g (t )≥g ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x＝－2x ln x －x ＋12x.令q (x )＝2x ln x ＋(x ＋1)，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，17，则q ′(x )＝ln x ＋2x＋1＞0，故q (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2，17上单调递增，所以q (x )≤q ⎝ ⎛⎭⎪⎫17.由①得q ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝－277p ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＜－277p (1)＝0.所以，q (x )＜0. 因此g (t )≥g ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝－q x2x＞0. 由①②得对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，t ∈[22，＋∞)，g (t )≥0， 即对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，均有f (x )≤x 2a .综上所述，所求a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，24.。

课时功课(八) 等比数列的性子及应用[练根底]1．已知等比数列{a n } , a 1＝1 , a 3＝19, 那么a 5即是( ) A ．±181 B ．－181C.181 D ．±122．已知等比数列{a n }中 , a n >0 , a 1 , a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根 , 那么a 40a 50a 60的值为( )A ．32B ．64C ．256D ．±643．已知数列 : 4 , a,12 , b 中 , 前三个数成等差数列 , 后三个数成等比数列 , 那么b 即是( )A ．20B ．18C ．16D ．144．已知正项等比数列{a n } , 知足a 2·a 27·a 2 020＝16 , 那么a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017C ．41 018D ．21 0185．在12和8之间插入3个数 , 使它们与这两个数挨次构成等比数列 , 那么这3个数的积为________．6．等差数列{a n }中 , a 4＝10 , 且a 3 , a 6 , a 10成等比数列 , 求数列{a n }前20项的和S 20.[提本领]7．(多项选择题)设{a n }(n ∈N *)是各项为正数的等比数列 , q 是其公比 , K n 是其前n 项的积 , 且K 5<K 6 , K 6＝K 7>K 8 , 那么以下选项中建立的是( )A ．0<q <1B ．a 7＝1C ．K 9>K 5D ．K 6与K 7均为K n 的最大值8．等比数列{a n }是递减数列 , 前n 项的积为T n , 假设T 13＝4T 9 , 那么a 8a 15＝________.9．已知数列{a n }和{b n }划分知足 :⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2 a n ＋1＝2a n 和⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝5 b n ＋1＝b n ＋3. 试证实数列{a n }与{b n }的大众项由小到大构成的数列{c n }是等比数列．[战疑难]10．在等差数列{a n }中 , 假设a 10＝0 , 那么有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19 , n ∈N *)．类比上述性子 , 响应地 , 在等比数列{b n }中 , 假设b 9＝1 , 那么有等式________________建立．课时功课(八) 等比数列的性子及应用1．剖析 : 凭据等比数列的性子可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a 1＝181.应选C.谜底 : C 2．剖析 : 由题意得 , a 1a 99＝16 , ∴a 40a 60＝a 250＝a 1a 99＝16 , 又∵a 50>0 , ∴a 50＝4 , ∴a 40a 50a 60＝16×4＝64.应选B.谜底 : B3．剖析 : 由题意可得2a ＝4＋12＝16⇒a ＝8 , 又122＝8b ⇒b ＝18.应选B.谜底 : B4．剖析 : 由a 2·a 27·a 2 020＝16可得(a 7a 1 011)2＝16 , 以是a 7a 1 011＝4 , a 509＝2 ,以是a 1·a 2·…·a 1 017＝(a 7a 1 011)508·a 509＝21 017.应选B.谜底 : B5．剖析 : 设插入的3个数挨次为a , b , c , 即12, a , b , c,8成等比数列 , 由等比数列的性子可得b 2＝ac ＝12×8＝4 , 由于a 2＝12b >0 , ∴b ＝2(舍负)．以是这3个数的积为abc ＝4×2＝8. 谜底 : 86．剖析 : 设数列{a n }的公差为d ,那么a 3＝a 4－d ＝10－d ,a 6＝a 4＋2d ＝10＋2da 10＝a 4＋6d ＝10＋6d由a 3 , a 6 , a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2清算得10d 2－10d ＝0解得d ＝0或d ＝1当d ＝0时 , a 1＝a 4＝10 , ∴S 20＝20×10＝200 ;当d ＝1时 , a 1＝a 4－3d ＝10－3＝7∴S 20＝20×7＋20×192×1＝330. 7．剖析 : 凭据题意 , 剖析选项．对付B , 假设K 6＝K 7 , 那么a 7＝K 7K 6＝1 , B 准确 ; 对付A , 由K 5<K 6可得 , a 6＝K 6K 5>1 , 那么q ＝a 7a 6∈(0,1) , 故A 准确 ; 对付C , 由{a n }是各项为正数的等比数列且q ∈(0,1)可得数列单调递减 , 那么有K 9<K 5 , 故C 错误 ; 对付D , 联合K 5<K 6 , K 6＝K 7>K 8 , 可得D 准确．应选ABD.谜底 : ABD8．剖析 : ∵T 13＝4T 9 ,∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9 ,∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15 ,∴(a 8·a 15)2＝4 , ∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列 , ∴q >0 , ∴a 8a 15＝2.谜底 : 29．证实 : 由题设有a n ＝2n , b n ＝3n ＋2 ,经过视察 , 轻易发明c 1＝a 3＝b 2＝8 ,设c n ＝a m ＝b k , 那么c n ＝2m ＝3k ＋2 ,又∵a m ＋1＝2m ＋1＝2·2m ＝2·(3k ＋2)＝3·(2k ＋1)＋1 ,∴a m ＋1∉{b n } ,∵a m ＋2＝2m ＋2＝4·2m ＝4·(3k ＋2)＝3·(4k ＋2)＋2 ,∴a m ＋2∈{b n } ,∴c n ＋1＝2m ＋2＝4·2m ＝4·c n .∴c n ＋1c n＝4. 由此可见 , {c n }是以8为首项 , 公比为4的等比数列．10．剖析 : 对应于等差数列和的性子 , 等比数列具有响应积的性子 , 剖析已知前提 , 注重1＋19＝2×10 , 又1＋17＝2×9 , 猜想 : b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17 , n ∈N *)．究竟上 , 当n ≤8时 , 17－n ≥9 ,有b 1b 2…b 17－n b 1b 2…b n＝b n ＋1b n ＋2…b 8b 9b 10…b 17－n ＝(b n ＋1b 17－n )(b n ＋2b 16－n )…(b 8b 10)b 9＝b 29b 29…b 29b 9＝1 ,∴b 1b 2…b 17－n ＝b 1b 2…b n (n <17 , n ∈N *)．同理 , 当n >8时 , 17－n <9 ,有b 1b 2…b n b 1b 2…b 17－n＝b 18－n b 19－n …b n＝(b18－n b n)(b19－n b n－1)…(b8b10)b9＝b29b29…b29b9＝1. ∴也有b1b2…b17－n＝b1b2…b n(n<17 , n∈N*)．综上所述 , 猜想建立．谜底 : b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17 , n∈N*)。