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3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20=幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛==n tjn n tjn n e n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为TE n Sa T EF n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
第八章习题8.1 图示一反馈系统，写出其状态方程和输出方程。
解由图写出频域中输入、输出函数间的关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)(11)()3(3)(sYssEsssY把此式加以整理可得)(334)1(3)(23sEsssssY++++=故系统的转移函数为334)1(3)(23++++=sssssH根据转移函数，可以用相变量直接写出状态方程和输出方程分别为exxxxxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡143311'''321321[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32133xxxy8.2 写出下图所示三回路二阶系统的状态方程。
解：第一步，选取状态变量。
由于两个储能元件都是独立的，所以选电感电流为状态变量1x，电容电压为另一状态变量2x，如图所示。
第二步，分别写包含有电感电压的回路电压方程和包含有电容电流的节点电流方程。
根据第二个回路的回路方程，并代入元件参数，则有112122'ixxx+--=312'21ixx-=第三步，上两式中1i和3i不是状态变量，要把它们表为状态变量。
由第一个回路有1124xie-=，即112141xei+=由第三个回路有323ix=，即2331xi=把1i和3i分别代入第二步中两式，并经整理，最后得所求状态方程为exxx21'211+--=212322'xxx-=或记成矩阵形式8.3 图示一小信号谐振放大器的等效电路，这里的激励函数)(t e是一压控电流源，输出电压)(t y由耦合电路的电阻L R上取得。
要求写出此电路的状态方程和输出方程。
解：第一步，选状态变量。
因为电感电流和电容电压等三个变量都是独立的，所以选回路电感L中的电流1x、回路电容C上的电压2x、耦合电容c C上的电压3x为状态变量。
第二步，分别写回路方程或节点方程。
由RLC回路有211'xRxLx=+eixxCCx rc-=+++132''RL c i x C ='3第三步，消去非状态变量。
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与系统课后习题参考答案1试分别指出以下波形就是属于哪种信号？题图1-11-2试写出题1-1图中信号得函数表达式。
1-3已知信号与波形如题图1-3中所⽰,试作出下列各信号得波形图,并加以标注。
题图1-3⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼1-4已知信号与波形如题图1-4中所⽰,试作出下列各信号得波形图,并加以标注。
题图1-4⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼1-5已知信号得波形如题图1-5所⽰,试作出信号得波形图,并加以标注。
题图1-51-6试画出下列信号得波形图:⑴⑵⑶⑷1-7试画出下列信号得波形图:⑴⑵⑶⑷⑸⑹1-8试求出以下复变函数得模与幅⾓,并画出模与幅⾓得波形图。
⑴⑵⑶⑷1-9已知信号,求出下列信号,并画出它们得波形图。
1-10试作出下列波形得奇分量、偶分量与⾮零区间上得平均分量与交流分量。
题图1-101-11试求下列积分:⑴⑵⑶⑷⑸⑹1-12试求下列积分:⑴⑵⑴(均为常数)⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻1-14如题图1-14中已知⼀线性时不变系统当输⼊为时,响应为。
试做出当输⼊为时,响应得波形图。
题图1-14 1-15已知系统得信号流图如下,试写出各⾃系统得输⼊输出⽅程。
题图1-151-16已知系统⽅程如下,试分别画出她们得系统模拟框图。
⑴⑵⑶1-17已知⼀线性时不变系统⽆起始储能,当输⼊信号时,响应,试求出输⼊分别为与时得系统响应。
第⼆章习题2-1试计算下列各对信号得卷积积分:。
⑴(对与两种情况)⑵⑶⑷⑸⑹2-2试计算下列各对信号得卷积与:。
⑴(对与两种情况)⑵⑶⑷⑸⑹2-3试计算下图中各对信号得卷积积分:,并作出结果得图形。
题图2-32-4试计算下图中各对信号得卷积与:,并作出结果得图形。
题图2-42-5已知,试求:⑴⑵⑶2-7系统如题图2-7所⽰,试求系统得单位冲激响应。
已知其中各⼦系统得单位冲激响应分别为:题图2-72-8设已知LTI 系统得单位冲激响应,试求在激励作⽤下得零状态响应。
2-9⼀LTI 系统如题图2-9所⽰,由三个因果LTI ⼦系统级联⽽成,且已知系统得单位样值响应如图中。
《信号与系统》课后习题参考答案第二章 连续信号与系统的时域分析2-9、（1）解：∵系统的微分方程为：)(2)(3)(t e t r t r '=+'，∴r(t)的阶数与e(t) 的阶数相等，则h(t)应包含一个)(t δ项。
又∵系统的特征方程为：03=+α，∴特征根3-=α∴)()(2)(3t u Ae t t h t -+=δ∴)]()(3[)(2)(33t e t u e A t t h t t δδ--+-+'=')()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'=-将)(t h 和)(t h '代入微分方程（此时e(t)= )(t δ），得：)()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'-+3)(2)]()(2[3t t u Ae t t δδ'=+-∴A=-6则系统的冲激响应)(6)(2)(3t u et t h t --=δ。
∴⎰⎰∞--∞--==t td ue d h t g τττδτττ)](6)(2[)()(3⎰∞-=t d ττδ)(2⎰∞---t d u e τττ)(63 )()(6)(203t u d e u t t ⎰-∞--=τττ )()3(6)(203t u e t u t --=-τ)()1(2)(23t u e t u t -+=- )(23t u e t -=则系统的阶跃响应)(2)(3t u et g t -=。
2-11、解：①求)(t r zi ： ∵系统的特征方程为：0)3)(2(652=++=++αααα，∴特征根：21-=α，32-=α ∴t t zi e C eC t r 3221)(--+= (t ≥0) ②求)(t r zs ：t t e A eA t h 3221)(--+= (t ≥0)，可求得：11=A ，12-=A （求解过程略） ∴)()()(32t u e e t h t t ---=∴)(*)()(*)()]()[(*)()(*)()(3232t u e t u e t u e t u e t u e e t u e t h t e t r t t t t t t t zs --------=-==)()2121()()(21)()(3232t u e e e t u e e t u e e t t t t t t t -------+-=---= ③求)(t r ：)(t r =)(t r zi +)(t r zs ++=--)(3221t te C e C )2121(32t t t e e e ---+- t tt e C e C e 3221)21()1(21---++-+= (t ≥0) ∵)()(t u Ce t r t -=，21=C 21=C ∴ 011=-C ， ∴ 11=C0212=+C 212-=C ∴=-)0(r 21211)0(21=-=+=+C C r zi ， ='-)0(r 2123232)0(21-=+-=--='+C C r zi 2-12、解：（1）依题意，得：)(2)(*)()(t u e t h t u t r tzi -=+)()()(t t h t r zi δ=+∴)(2)]()([*)()(t u e t r t t u t r t zi zi -=-+δ)(2)()()()1(t u e t r t u t r t zi zi --=-+∴)()12()()()1(t u e t r t r t zi zi -=---，两边求导得：)()12()(2)()(t e t u e t r t r t t zi ziδ-+-=-'-- )(2)()()(t u e t t r t r t zi zi--=-'δ ∴)(11)(112)()()1(t p p t p t t r p zi δδδ+-=+-=- ∴)()(11)(t u e t p t r t zi -=+=δ （2）∵系统的起始状态保持不变，∴)()(t u e t r t zi -=∵)()()(t t h t r zi δ=+，∴)()()(t u e t t h t--=δ∴)]()([*)()()(*)()()(33t u e t t u e t u e t h t e t r t r t t t zi ----+=+=δ )()()(t u te t u e t u e tt t ----+=)()2(t u e t t --= 2-16、证：∑∑∞-∞=--∞-∞=--=-=k k t k t k t u e k t t u e t r )3()3(*)()()3(δ∑∞-∞=--=k k t k t u e e )3(3 ∵当t-3k>0即3t k <时：u(t-3k)为非零值 又∵0≤t ≤3，∴k 取负整数，则：3003311)(---∞=∞=----===∑∑e e e e e et r t k k k t k t 则t Ae t r -=)(，且311--=e A 。
2-19、（c ）解： ⎰∞∞--⋅=τττd t f f t f t f )()()(*)(1221 由图得： ① 当t<0时：（图略） 0)(*)(21=t f t f② 当0<t<1时：（图略）)cos 1(2)1(cos 2cos 22sin )(*)(0021t t d t f t f tt -=--=-=⋅=⎰τττ ③ 当1<t<π时：（图略）)]1cos([cos 2cos 22sin )(*)(1121---=-=⋅=--⎰t t d t f t f t t t t τττ]cos )1[cos(2t t --=④ 当π<t<π+1时：（图略）)]1cos(1[2cos 22sin )(*)(1121----=-=⋅=--⎰t d t f t f t t ππτττ)]1cos(1[2-+=t⑤ 当t>π+1时：（图略）0)(*)(21=t f t f则： )cos 1(2t - 0<t<1=)(*)(21t f t f ]c o s )1[c o s (2t t-- 1<t<π )]1cos(1[2-+t π<t<π+1其它t2-20、解：由图得： )(*)(*)()()(3121t h t h t h t h t h +=)]([*)(*)1()(t t u t t u δδ--+=)1()(--=t u t u则总的系统的冲激响应)1()()(--=t u t u t h 。
2-24、解： 依题意，得：)()()()()()()(t p A p B t p H t h t r δδ=== （1）α+=p A p H )(，∴特征根为α-，∴)()(t u Ae t r t α-= （2）2)()(α+=p A p H ，∴特征根为α-（二阶重根），∴)()(t u Ate t r t α-= （3）)11())(()(αββαββααβαβα+-+-=+-++--=++=p p A p Ap A p p A p H ， ∴)()()(t u e e A t r t t αββα----=第三章 傅里叶变换3-1、解：（1）三角形式：∑∞=++=10)2sin()2cos(2)(n n n t Tn b t T n a a t f ππ 由图知：f(t)为奇函数，∴a n =0 (n=0,1,2,…)⎰-=22)2sin()(2T T n dt t T n t f T b π ⎰=20)2sin(24T dt t T n E T π ])2cos([22420Tt T n n T T E ππ-⋅= )]cos(1[ππn n E -= = πn E 2 n=1,3,5, … 0 n=2,4,6, …∴])5sin(51)3sin(31)[sin(2)(111 +++=t t t E t f ωωωπ （Tπω21=） （2）指数形式：∑∞∞-∞=⋅=n t T jn n e Ft f π2)( ∵a n =0，∴n n n n b b a A =+=22 ∵)2cos(sin πθθ-=，∴2πϕ-=n ∴=-===-n j n j n n b j e b e A F n 221212πϕ πn jE - n =±1, ±3, ±5, 0n =±2, ±4, ±6, … ∴ -+-+-=--t j t j t j t j e jE e jE e jE e jE t f 11113333)(ωωωωππππ （T πω21=） 3-16、解：(a) 由图得：)]2()2([2)(T t u T t u t T E t f --+= ∵)2sin(2)2sin(2)](1[)()](1[)2()2(22w T w w T j w jw e e w jw T t u T t u T jw T jw =⋅+=-⋅+↔--+-πδπδ ∴)]2sin(2[)]2()2()[(w T w dw d T t u T t u jt ↔--+- ∴)]2()2[cos(2)]2sin(2[2)(wT sa wT w E j w T w dw d T E j t f -=↔ ∴)]2()2[cos(2)(wT sa wT w E j w F -= (w ≠0) 而02)()0(22===⎰⎰-∞∞-tdt TE dt t fF T T 则：=)(w F )]2()2[cos(2wT sa wT w E j - w ≠0 0 w=03-19、解：(a) 由图得：00)()()(2)(jwt w w j e w Ag e w F w F ⋅==ϕ∵ )()(0200ωωπωw Ag t Sa A ↔， 0)(0jwt e t t ↔+δ ∴)()()]([)(0001t t t w Sa Aw w F T F t f +*==-δπ)]([000t t w Sa Aw +=π3-29、解：（1） ∵ )()(w F t f ↔ ∴)2(21)2(w F t f ↔∴)]2(21[)2()(w F dw d t f jt ↔- ∴dw w dF j t tf )2(2)2(↔ （4） ∵ )()(w F t f ↔ ∴)()(w jwF dtt df ↔ ∴)]([)()(w jwF dwd dt t df jt ↔- ∴dw w dF w w F w jwF dw d j dt t df t )()()]([)(--=↔ （6） ∵ )()(w F t f ↔∴)()(w F t f -↔-∴jw ew F t f --↔-)()1( ∴])([)1()(jw e w F dw d t f jt --↔-- ∴jw jw jw e w F e dww dF j e w F dw d j t tf ----+-=-↔-)()(])([)1( ∴jw jw jw jw e dww dF j e w F e dw w dF j e w F t tf t f t f t ------=-+---↔---=--)(])()([)()1()1()1()1(。
