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实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。
重复运行计算，直至满足精度为止。
这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。
另外，若将该迭代公式改进为其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：clear%%%给定求解区间b=1.5;a=0;%%%误差R=1;k=0;%迭代次数初值while (R>5e-6) ;c=(a+b)/2;if f12(a)*f12(c)>0;a=c;elseb=c;endR=b-a;%求出误差k=k+1;endx=c%给出解Newton法及改进的Newton法源程序：clear%%%% 输入函数f=input('请输入需要求解函数>>','s')%%%求解f(x)的导数df=diff(f);%%%改进常数或重根数miu=2;%%%初始值x0x0=input('input initial value x0>>');k=0;%迭代次数max=100;%最大迭代次数R=eval(subs(f,'x0','x'));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解while (abs(R)>1e-8)x1=x0-miu*eval(subs(f,'x0','x'))/eval(subs(df,'x0','x'));R=x1-x0;x0=x1;k=k+1;if (eval(subs(f,'x0','x'))<1e-10);breakendif k>max;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值ss=input('maybe result is error,choose a new x0,y/n?>>','s');if strcmp(ss,'y')x0=input('input initial value x0>>');k=0;elsebreakendendendk;%给出迭代次数x=x0；%给出解结果分析和讨论：1.用二分法计算方程在[1，2]内的根。
数值分析上机实验理学院11级统计01班41108030125鲁庆实验报告一一．实验名称误差与误差估计二．实验目的掌握数值运算的误差估计方法三．数学原理 1.绝对误差(*)e x设某一量的准确值为x ，近似值为x*，则x*与x 之差叫做近似值x*的绝对误差(简称误差)，记为*(*)*e e x x x ==- 2.绝对误差限适当小的正数，使|(*)||*|*e x x x ε=-≤则称*ε为近似值 x * 的绝对误差限。
(有时用*x x ε*=±表示近似值x *的精度或准确值的所在范围。
3.相对误差(*)r e x绝对误差与准确值之比*(*)*(*),0r r e x x xe e x x x x-===≠称为x *的相对 误差。
4.相对误差限(*)r x ε若指定一个适当小的正数 (*)r x ε，使|(*)||(*)|(*)||r r e x e x x x ε=≤则称(*)r x ε为近似值 x *的相对误差限。
5.有效数字若近似值x*的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字一共有n 位，则称近似值x*有n 位有效数字，或说x*精确到该位。
6.绝对误差的运算：)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε (f(x))()(x)f x εε'≈四．实验内容1. 计算I n=e 1-⎰10nxe x 2dx (n=0,1,...)并估计误差。
解： >> I0 = exp(-1)*quad('(x.^0).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10));>> vpa(I0,10) ans =.5380795069>> I1= exp(-1)*quad('(x.^1).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I1,10) ans =.3160602794>> I2 = exp(-1)*quad('(x.^2).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I2,10) ans =.2309602465>> I3 = exp(-1)*quad('(x.^3).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I3,10) ans =.1839397206>> I4 = exp(-1)*quad('(x.^4).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I4,10) ans =.1535596302>> I5 = exp(-1)*quad('(x.^5).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I5,10) ans =.1321205588>> I6 = exp(-1)*quad('(x.^6).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I6,10) ans =.1161009245>> I7 = exp(-1)*quad('(x.^7).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I7,10) ans =.1036383235>> I8 = exp(-1)*quad('(x.^8).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I8,10) ans =.9364676413e-1>> I9 = exp(-1)*quad('(x.^9).*exp(x.^2)',0,1,10^(-10)); >> vpa(I9,10) ans =.8544670595e-1 2.计算x255的值。
数值分析第一次上机练习实验报告——Lagrange 插值与三次样条插值一、 问题的描述设()2119f x x =+, []1,1x ∈-,取15iix =-+,0,1,2,...,10i =.试求出10次Lagrange 插值多项式()10L x 和三次样条插值函数()S x (采用自然边界条件),并用图画出()f x ,()10L x ,()S x .二、 方法描述——Lagrange 插值与三次样条插值我们取15i ix =-+,0,1,2,...,10i =，通过在i x 点的函数值()2119i i f x x =+来对原函数进行插值，我们记插值函数为()g x ，要求它满足如下条件：()()21,0,1,2,...,1019i i i g x f x i x ===+ (1)我们在此处要分别通过Lagrange 插值(即多项式插值)与三次样条插值的方法对原函数()2119f x x=+进行插值，看两种方法的插值结果，并进行结果的比较。
10次的Lagrange 插值多项式为：()()10100i i i L x y l x ==∑ (2)其中：()21,0,1,2,...,1019i i iy f x i x ===+ 以及()()()()()()()()()011011......,0,1,2,...,10......i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x i x x x x x x x x -+-+----==----我们根据(2)进行程序的编写，我们可以通过几个循环很容易实现函数的Lagrange 插值。
理论上我们根据区间[]1,1-上给出的节点做出的插值多项式()n L x 近似于()f x ，而多项式()n L x 的次数n 越高逼近()f x 的精度就越好。
但实际上并非如此，而是对任意的插值节点，当n →+∞的时候()n L x 不一定收敛到()f x ；而是有时会在插值区间的两端点附近会出现严重的()n L x 偏离()f x 的现象，即所谓的Runge 现象。
目录1 绪论 (1)2 实验题目(一) (2)2.1 题目要求 (2)2.2 NEWTON插值多项式 (3)2.3 数据分析 (4)2.3.1 NEWTON插值多项式数据分析 (4)2.3.2 NEWTON插值多项式数据分析 (6)2.4 问答题 (6)2.5 总结 (7)3 实验题目(二) (8)3.1 题目要求 (8)3.2 高斯-塞德尔迭代法 (8)3.3 高斯-塞德尔改进法—松弛法 (9)3.4 松弛法的程序设计与分析 (9)3.4.1 算法实现 (9)3.4.2 运算结果 (9)3.4.3 数据分析 (11)4 实验题目(三) (13)4.1 题目要求 (13)4.2 RUNGE-KUTTA 4阶算法 (13)4.3 RUNGE-KUTTA 4阶算法运算结果及数值分析 (14)总结 (16)附录A (17)1绪论数值分析是计算数学的一个主要部分，它主要研究各类数学问题的数值解法，以及分析所用数值解法在理论上的合理性。
实际工程中的数学问题非常复杂，所以往往需要借助计算机进行计算。
运用数值分析解决问题的过程：分析实际问题，构建数学模型，运用数值计算方法，进行程序设计，最后上机计算求出结果。
数值分析这门学科具有面向计算机、可靠的理论分析、好的计算复杂性、数值实验、对算法进行误差分析等特点。
本学期开设了数值分析课程，该课程讲授了数值分析绪论、非线性方程的求解、线性方程组的直接接法、线性方程组的迭代法、插值法、函数逼近与曲线拟合、数值积分和数值微分、常微分方程初值问题的数值解法等内容。
其为我们解决实际数学问题提供了理论基础，同时我们也发现课程中很多问题的求解必须借助计算机运算，人工计算量太大甚至无法操作。
所以学好数值分析的关键是要加强上机操作，即利用计算机程序语言实现数值分析的算法。
本报告就是基于此目的完成的。
本上机实验是通过用计算机来解答数值分析问题的过程，所用的计算工具是比较成熟的数学软件MATLAB。
数值分析上机报告姓名：学号：专业：学院：授课教师：胡杰昆明理工大学2012.01.01《数值分析》实验报告——数值积分问题一、问题的提出在微积分中，积分值是通过原函数的解析式求得的，即依据人们所熟知的微积分基本定理，对于积分：⎰=badx x f ）（I ，只要找到被积函数f （x ）的原函数F(x)，便有下列牛顿——莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式：）（）（）（a b dx x f baF F -=⎰。
然而有的原函数寻找往往比较困难，许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数。
为此研究数值积分问题是非常必要的。
数值积分的至今普遍应用主要有五种：梯形公式、Simpson 公式及其两种算法的复化公式、高斯求积公式。
本实验只要选用复合Simpson 公式及高斯求积公式对特定某个积分，例如：dxdy exy⎰⎰-D，D={0<x<1,0<y<1}进行数值计算，比较分析两种算法的结果，理解数值积分法的意义，明确数值积分精度和步长之间的关系等。
二、目的和意义1、 深刻理解数值积分的意义：在微积分中，积分值是通过原函数的解析式求得的，然而原函数的寻找往往比较困难，许多积分函数甚至找不到用初等函数表示的原函数；另外，当()f x 是由测量或者数值计算给出的一张数据表时，牛顿—莱布尼茨公式也不能直接运用，为此研究数值积分问题是非常必要的。
2、 明确数值积分的精度与步长的关系：复化的求积方法对提高精度是行之有效的，但是在使用求积之前必须给出合适的步长，并且高斯求积公式具有比复化求积公式更高的精度，步长取得太大精度难以保证，步长太小则会导致计算量的增加。
3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题：在微积分中，二重积分的计算是用化为累次积分的方法进行的。
计算二重数值积分也同样采用累次积分的计算过程。
利用二重积分的复化梯形公式设计如下：a,b,c,d 为常数，f 在D 上连续。
数值分析上机实践报告班级：计算机1002姓名：陈斯琪学号：20102686课题三A ． 实验题目：线性方程组的迭代法B ． 实验要求（1） 应用迭代法求解线性方程组，并与直接法作比较；（2） 分别对不同精度要求，如5-4-3-10，10，10=ε，利用所需迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；（3） 对方程组（2），（3）使用SOR 方法时，选取松弛因子=0.8,0.9,1,1.1,1.2等，试观察对算法收敛性的影响，并找出你所选用松弛因子的最佳值；（4） 编制出各种迭代法的程序并给出计算结果。
C ． 目的和意义（1） 通过上机了解迭代法求解线性方程组的特点；掌握求解线性方程组的各类迭代法；（2） 体会上机计算时，终止准则‖X^(k+1)-X^k ‖∞<ε，对控制迭代精度的有效性； （3） 体会初始值和松弛因子的选择，对迭代收敛速度的影响 D ． 实验方程组（1）线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1-421534100368-24-3-81-012029137-2621-234179-11-1003524-31-23-6217758-6233-761-62911-31-512-301-231-2-2010563-5-6000121-3-2416084-0484⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125精确解T x )2,1,1,3,0,2,1,0,1,1(*--=.(2) 对称正定线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡45152211236601924-3-360024-3-36014110-3-5211144-3-310-4221-8-13-4-1-612-53-8-1141-2312-1-204204-2004204-2487654321x x x x x x x x 精确解T *)2,0,1,1,2,0,1,1(--=x . （3）三对角线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡554141262135741-000000001-000000041-0000001-41-0000001-41-0000001-41-0000001-41-0000001-41-0000001-41-0000001-400000001-000000001-410987654321x x x x x x x x x x 精确解T x )1,1,0,3,2,1,0,3,1,2(*---=.E ． 实验程序代码及截图（1） 应用Jacobi 迭代法求解方程组 代码如下：#include<iostream.h> #include<math.h>#define N 10 //十阶矩阵static double A[N][N]={4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1};//方程组左侧系数矩阵 static double B[N]={5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21}; //右侧值。
数值分析上机实验⽬录1 绪论 (1)2 实验题⽬(⼀) (2)2.1 题⽬要求 (2)2.2 NEWTON插值多项式 (3)2.3 数据分析 (4)2.3.1 NEWTON插值多项式数据分析 (4)2.3.2 NEWTON插值多项式数据分析 (6)2.4 问答题 (6)2.5 总结 (7)3 实验题⽬(⼆) (8)3.1 题⽬要求 (8)3.2 ⾼斯-塞德尔迭代法 (8)3.3 ⾼斯-塞德尔改进法—松弛法 (9)3.4 松弛法的程序设计与分析 (9)3.4.1 算法实现 (9)3.4.2 运算结果 (9)3.4.3 数据分析 (11)4 实验题⽬(三) (13)4.1 题⽬要求 (13)4.2 RUNGE-KUTTA 4阶算法 (13)4.3 RUNGE-KUTTA 4阶算法运算结果及数值分析 (14)总结 (16)附录A (17)1绪论数值分析是计算数学的⼀个主要部分，它主要研究各类数学问题的数值解法，以及分析所⽤数值解法在理论上的合理性。
实际⼯程中的数学问题⾮常复杂，所以往往需要借助计算机进⾏计算。
运⽤数值分析解决问题的过程：分析实际问题，构建数学模型，运⽤数值计算⽅法，进⾏程序设计，最后上机计算求出结果。
数值分析这门学科具有⾯向计算机、可靠的理论分析、好的计算复杂性、数值实验、对算法进⾏误差分析等特点。
本学期开设了数值分析课程，该课程讲授了数值分析绪论、⾮线性⽅程的求解、线性⽅程组的直接接法、线性⽅程组的迭代法、插值法、函数逼近与曲线拟合、数值积分和数值微分、常微分⽅程初值问题的数值解法等内容。
其为我们解决实际数学问题提供了理论基础，同时我们也发现课程中很多问题的求解必须借助计算机运算，⼈⼯计算量太⼤甚⾄⽆法操作。
所以学好数值分析的关键是要加强上机操作，即利⽤计算机程序语⾔实现数值分析的算法。
本报告就是基于此⽬的完成的。
本上机实验是通过⽤计算机来解答数值分析问题的过程，所⽤的计算⼯具是⽐较成熟的数学软件MATLAB。
数值分析上机实践报告班级：计算机1002姓名：陈斯琪学号：20102686课题三A ． 实验题目：线性方程组的迭代法B ． 实验要求（1） 应用迭代法求解线性方程组，并与直接法作比较；（2） 分别对不同精度要求，如5-4-3-10，10，10=ε，利用所需迭代次数体会该迭代法的收敛快慢；（3） 对方程组（2），（3）使用SOR 方法时，选取松弛因子=0.8,0.9,1,1.1,1.2等，试观察对算法收敛性的影响，并找出你所选用松弛因子的最佳值； （4） 编制出各种迭代法的程序并给出计算结果。
C ． 目的和意义（1） 通过上机了解迭代法求解线性方程组的特点；掌握求解线性方程组的各类迭代法；（2） 体会上机计算时，终止准则‖X^(k+1)-X^k ‖∞<ε，对控制迭代精度的有效性； （3） 体会初始值和松弛因子的选择，对迭代收敛速度的影响 D ． 实验方程组（1）线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1-421534100368-24-3-81-012029137-2621-234179-11-1003524-31-23-6217758-6233-761-62911-31-512-301-231-2-2010563-5-6000121-3-20416084-0484⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10987654321x x x x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2119381346323125精确解Tx )2,1,1,3,0,2,1,0,1,1(*--=.(2) 对称正定线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡45152211236601924-3-360024-3-36014110-3-5211144-3-310-4221-8-13-4-1-612-53-8-1141-2312-1-204204-2004204-2487654321x x x x x x x x精确解T*)2,0,1,1,2,0,1,1(--=x .（3）三对角线性方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡554141262135741-000000001-0041-0000001-41-0000001-41-0000001-41-0000001-41-0000001-41-0000001-41-0000001-400000001-000000001-410987654321x x xx x x x x x x精确解Tx )1,1,0,3,2,1,0,3,1,2(*---=.E ． 实验程序代码及截图（1） 应用Jacobi 迭代法求解方程组代码如下： #include<iostream.h> #include<math.h>#define N 10 //十阶矩阵 staticdoubleA[N][N]={4,2,-3,-1,2,1,0,0,0,0,8,6,-5,-3,6,5,0,1,0,0,4,2,-2,-1,3,2,-1,0,3,1,0,-2,1,5,-1,3,-1,1,9,4,-4,2,6,-1,6,7,-3,3,2,3,8,6,-8,5,7,17,2,6,-3,5,0,2,-1,3,-4,2,5,3,0,1,16,10,-11,-9,17,34,2,-1,2,2,4,6,2,-7,13,9,2,0,12,4,0,0,-1,8,-3,-24,-8,6,3,-1};//方程组左侧系数矩阵 static double B[N]={5,12,3,2,3,46,13,38,19,-21}; //右侧值static double Y[N]; //输出比较项static double Y[N];static double X[N]; //输出项static double G[N]; //X = BX' + G的G矩阵int i,j,k; //计数器double eps;int M=100;bool distance(){ //求两输出项的差的范数是否满足精度要求double temp=0;for (i=0;i<N;i++){temp=temp+fabs(X[i]-Y[i]);}if (temp>eps)return false;elsereturn true; //满足精度要求则结束程序}void main(){cout<<"最大迭代次数为100次"<<endl;cout<<"你希望的精度是多少？"<<endl;cout<<"eps=";cin>>eps;//形成迭代矩阵B，存放到A中for (i=0;i<N;i++){if (fabs(A[i][i])<eps){cout <<"打印失败"<<endl;return;}double T=A[i][i];for (j=0;j<N;j++){A[i][j]=-A[i][j]/T;}A[i][i] = 0;G[i]=B[i]/T;}int counter=0;while (counter<M){//迭代for (i=0;i<N;i++){double temp=0;for (j=0;j<N;j++){temp=temp+A[i][j]*Y[j];}X[i]=G[i]+temp;}if (distance()==true)break;else{//交换X，Y向量；for(i=0;i<N;i++){Y[i]=X[i];}}counter++;}//打印Xcout << "迭代次数为："<<counter<<"次。
数值分析上机实验报告《数值分析》上机实验报告1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。
1.1 理论依据：设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件{}αϕ上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号在区间],[0)(3,2,1,0,)(')()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20)()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f ab c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==-==∈≤-≠>+令)9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>⋅''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f故以1.9为起点⎪⎩⎪⎨⎧='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。
当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。
本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。
1.2 C 语言程序原代码：#include<stdio.h>#include<math.h> main(){double x2,f,f1;double x1=1.9; //取初值为 1.9 do{x2=x1;f=pow(x2,7)-28*pow(x2,4)+14; f1=7*pow(x2,6)-4*28*pow(x2,3); x1=x2-f/f1;}while(fabs(x1-x2)>=0.00001||x1<0.1); //限制循环次数 printf("计算结果：x=%f\n",x1);}1.3 运行结果：1.4 MATLAB 上机程序function y=Newton(f,df,x0,eps,M) d=0;for k=1:Mif feval(df,x0)==0d=2;breakelsex1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);ende=abs(x1-x0);x0=x1;if e<=eps&&abs(feval(f,x1))<=epsd=1;breakendendif d==1y=x1;elseif d==0y='迭代M次失败';elsey= '奇异'endfunction y=df(x)y=7*x^6-28*4*x^3;Endfunction y=f(x)y=x^7-28*x^4+14;End>> x0=1.9;>> eps=0.00001;>> M=100;>> x=Newton('f','df',x0,eps,M);>> vpa(x,7)1.5 问题讨论：1.使用此方法求方解，用误差来控制循环迭代次数，可以在误差允许的范围内得到比较理想的计算结果。
此程序的不足之处是，所要求解的方程必须满足上述定理的四个条件，但是第二和第四个条件在计算机上比较难以实现。
2.Newton迭代法是一个二阶收敛迭代式，他的几何意义Xi+1是Xi的切线与x轴的交点,故也称为切线法。
它是平方收敛的，但它是局部收敛的，即要求初始值与方程的根充分接近，所以在计算过程中需要先确定初始值。
3.本题在理论依据部分，讨论了区间(0.1,1.9)两端点是否能作为Newton迭代的初值，结果发现0.1不满足条件，而1.9满足，能作为初值。
另外，该程序简单，只有一个循环，且为顺序结构，故采用do-while循环。
当然也可以选择for 和while循环。
2.已知函数值如下表：试用三次样条插值求f(4.563)及f’(4.563)的近似值。
2.1 理论依据332211111111111()()()()()()()6666j j j j j j j jj j j j j j j j x x x x h x x h x x S x M M y M y M h h h h ---------------=++-+-这里11j j j h x x --=- ，所以只要求出j M ，就能得出插值函数S （x ）。
求j M 的方法为：00111122112122212N N N N M d M d M d μλμλμλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这里10000011111111116()6()(1,2,,1)61[()]1j j j j j j j j j N N N N N N j jj j j j j j j y y d y h hy y y y d j N h h h h d y y y h h h h h h h h μλμ+----------⎧'=-⎪⎪⎪--=-=-⎪+⎪⎨⎪'=--⎪⎪⎪==-=⎪++⎩最终归结为求解一个三对角阵的解。
用追赶法解三对角阵的方法如下：11112221222111111111n n n n n nnn n b c a b c l A LU l b c a l a b γβγββγβ-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1,,,n L d LUx d L d Ux δδδδδδ⎡⎤=⎧⎢⎥===⎨⎢⎥=⎩⎢⎥⎣⎦即若记则由得 112111nn n d l l d δδ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ， 111111n n n n n x x βγδβγβδ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦综上可得求解方程Ax=d 的算法：1111111111111,,,,1,2,3,,1,,1,,2,1i i i i i i ii i i in i i i n i n i b d l b l c d l i n c xx x i n αβδββδδδδββ+++++++++⎧====-⎪⎪⎪=-=-⎨⎪-⎪===-⎪⎩2.2 C 语言程序代码：#include<stdio.h>#include<math.h>void main() {int i,j,m,n,k,p;double q10,p10,s4,g4,x0,x1,g0=1,g9=0.1;; double s[10][10];double a[10],b[10],c[10],d[10],e[10],x[10],h[9],u[9],r[9];double f[10]={0,0.69314718,1.0986123,1.3862944,1.6094378, 1.7917595,1.9459101,2.079445,2.1972246,2.3025851}; printf("请依次输入xi:\n"); for(i=0;i<=9;i++)scanf("%lf",&e[i]); //求h矩阵for(n=0;n<=8;n++)h[n]=e[n+1]-e[n];d[0]=6*((f[1]-f[0])/h[0]-g0)/h[0];d[9]=6*(g9-(f[9]-f[8])/h[8])/h[8];for(j=0;j<=7;j++)d[j+1]=6*((f[j+2]-f[j+1])/h[j+1]-(f[j+1]-f[j])/h[j])/(h[j]+h[j+1]); for(m=1;m<=8;m++)u[m]=h[m-1]/(h[m-1]+h[m]);for(k=1;k<=8;k++)r[k]=h[k]/(h[k-1]+h[k]);for(i=0;i<=9;i++) //求u矩阵for(p=0;p<=9;p++){s[i][p]=0;if(i==p)s[i][p]=2;}s[0][1]=1;s[9][8]=1;for(i=1;i<=8;i++){s[i][i-1]=u[i];s[i][i+1]=r[i];}printf("三对角矩阵为:\n");for(i=0;i<=9;i++)for(p=0;p<=9;p++) //求r矩阵{ printf("%5.2lf",s[i][p]);if(p==9){printf("\n");}}printf("根据追赶法解三对角矩阵得：\n");a[0]=s[0][0];b[0]=d[0];for(i=1;i<9;i++){c[i]=s[i][i-1]/a[i-1]; //求d矩阵a[i]=s[i][i]-s[i-1][i]*c[i];b[i]=d[i]-c[i]*b[i-1];if(i==8){p10=b[i];q10=a[i];}}x[9]=p10/q10;printf("M[10]=%lf\n",x[9]);for(i=9;i>=1;i--){x[i-1]=(b[i-1]-s[i-1][i]*x[i])/a[i-1];printf("M[%d]=%lf\n",i,x[i-1]);}printf("可得s(x)在区间[4,5]上的表达式;\n");printf("将x=4.563代入得：\n");x0=5-4.563;x1=4.563-4;s4=x[3]*pow(x0,3)/6+x[4]*pow(x1,3)/6+(f[3]-x[3]/6)*(5-4.563)+(f[4]-x[4]/6)*(4.563 -4);g4=-x[3]*pow(x0,2)/2+x[4]*pow(x1,2)/2-(f[3]-x[3]/6)+(f[4]-x[4]/6);printf("计算结果：f(4.563)的函数值是：%lf\nf(4.563)的导数值是：%lf\n",s4,g4);} 2.3 运行结果：2.4 问题讨论1. 三次样条插值效果比Lagrange插值好，没有Runge现象，光滑性较好。
