苏教版必修5《2.3.2等比数列的通项公式》同步作业含答案解析

第10课时 等比数列的概念和通项公式【分层训练】1.下列各组数能组成等比数列的是（ ）A. 111,,369B. lg3,lg9,lg 27C. 6,8,10D. 3,33,9- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ）A. 4B. 2C. 52D. 123. 考察下列数列，①a 1 =1，a n +1 =a n + 21，b 1 =2，b n +1 =b n ·2. ②a n +1 =a n ，b n +1 =2b n . ③a n +1 =a n +n ，b 1 =1，b n +1 =(b n )2 ，则{a n }是等差数列且{b n }是等比数列的有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．0组 4. 等差数列{a n }中，a n -m = A ，a n +m =B .等比数列{b n }中，b n -m = A ，b n +m =B .则有（ ） A ．a n =A + B ，b n =A ·BB ．a n =2B A +，b n =ABC ．a n =2BA +，b n =±ABD ．a 2n =A + B ，b 2n =AB 5.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为23，则项数n 等于 . 6.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 .7.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则222426log log log a a a ++28210log log a a ++= .8.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2na ② {}2na③ 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭④{}lg n a 【拓展延伸】9．某地现有耕地１0000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到１公顷）？（注：粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数）10．如图，正方形ABCD 的边长为3a cm ，分别作边AB ，BC ，CD ，DA 上的三等分点Ａ1，Ｂ1，Ｃ1，Ｄ1，得正方形Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1，再分别取边Ａ1Ｂ1，Ｂ1Ｃ1，Ｃ1Ｄ1，Ｄ1Ａ1上的三等分点Ａ2，Ｂ2，Ｃ2，Ｄ2，得正方形Ａ2Ｂ2Ｃ2Ｄ2，如此继续下去，得正方形Ａ3Ｂ3Ｃ3Ｄ3…… （１）求边Ａ1Ｂ1，Ａ2Ｂ2，Ａ3Ｂ3的长；（２）求正方形Ａn Ｂn Ｃn Ｄn 的边长．学生质疑教师释疑。

2.3.2等比数列的通项公式A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法：①公差为0的等差数列是等比数列；②b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列；③2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 成等差数列；④任意两项都有等比中项．正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：公差为0的非零数列是等比数列，故①不正确；②中只有a ，b ，c 都不为0才正确；④也需要看首项是正还是负．所以只有③正确．答案：B2．在等比数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝64，则a 3等于( )A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－32 解析：因为a 4＝a 1q 3＝8·q 3＝64，所以q 3＝8，q ＝2.所以a 3＝a 1q 2＝8×22＝32.答案：C3．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：由(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)⇒x ＝－3(x ＝－1舍去)．该数列为－3，－6，－12，－24，…. 答案：A4．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为( )①{a 2n }也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个解析：考查等比数列定义，其中①②③为真．答案：B5．已知等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )A ．9B ．3C ．－3D ．－9解析：a 1＝a 2－3，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 2＋3×2＝a 2＋6，由于a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 23＝a 1a 4，所以(a 2＋3)2＝(a 2－3)(a 2＋6)，解得a 2＝－9.答案：D二、填空题6．等差数列{a n }的首项为a 1＝1，a 1，a 2，a 5成等比数列，则d ＝________． 解析：因为a 1，a 2，a 5成等比数列．所以a 22＝a 1a 5，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋4d )．所以(1＋d )2＝1＋4d .所以d ＝0或d ＝2.答案：0或27．在6和768之间插入6个数，使它们组成共8项的等比数列，则这个等比数列的第6项是________．解析：由条件得，768＝6×q 7，解得q ＝2.所以a 6＝6×25＝192.答案：1928．某林场的树木每年以25%的增长率增长，则第10年末的树木总量是今年的________倍．解析：设这个林场今年的树木总量是m ，第n 年末的树木总量为a n ，则a n ＋1＝a n ＋a n ·25%＝1.25a n .则a n ＋1a n＝1.25.则数列{a n }是公式q ＝1.25的等比数列． 则a 10＝a 1q 9＝1.259m .所以a 10a 1＝1.259. 答案：1.259三、解答题9．在等比数列{a n }中：(1)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n ； (2)a 5＝8，a 7＝2，a n >0，求a n .解：(1)法一：因为a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18.所以a 1q 2＋a 1q 5＝36，① a 1q 3＋a 1q 6＝18, ②②①得q ＝12，所以14a 1＋132a 1＝36，所以a 1＝128， 而a n ＝a 1q n －1，所以12＝128×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以n ＝9.法二：因为a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，所以q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12，而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)． 所以a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32. 因为a n ＝a 3q n －3，所以12＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.所以n ＝9. (2)因为a 5＝a 1·q 4＝8，a 7＝a 1·q 6＝2，所以q 2＝14，q ＝±12. 又a n >0，所以q ＝12. 所以a n ＝a 5q n －5＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －5＝28－n .10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项公式a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，即a n ＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋20n ， 即S n ＝－n 2＋20n .(2)因为{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以b n －a n ＝3n －1， 即b n ＝3n －1＋a n ＝3n －1－2n ＋21.B 级 能力提升一、选择题11．已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，故得(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，所以a 3＋a 5＝5. 答案：A12．设{a n }是由正数组成的等比数列，且a 5·a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值是( )A ．5B ．10C ．20D ．40解析：log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·a 3·…·a 10)＝log 3(a 5·a 6)5＝log 3815＝log 3320＝20.答案：C13．在正项等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )A ．4B ．6C ．8D ．4 2解析：因为a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 33＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8. 答案：C二、填空题14.(2014·安徽卷)如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．解析：由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，所以a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：1415．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝____________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1a 2…a 20)＝ln[a 1a 20·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：50三、解答题16．已知等比数列{a n }各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.求{a n }的通项公式．解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 2a 6，2a 1＋3a 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 23＝9a 24，2a 1＋3a 1q ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a 1＝13. 所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．。

2.3.2 等比数列的通项公式(二)[学习目标] 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断是否成等比数列的方法.知识点一 推广的等比数列的通项公式{a n }是等比数列，首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n－m(m 、n ∈N *，m ≤n ).思考1 如何推导a n ＝a m q n－m?答案 根据等比数列的通项公式， a n ＝a 1q n －1，a m ＝a 1q m －1，∴a n a m＝q n －m ，∴a n ＝a m ·q n －m . 思考2 若已知等比数列{a n }中，q ＝3，a 3＝3，则a 7＝. 答案 243解析 a 7＝a 3·q 4＝3·34＝35＝243. 知识点二 等比数列的性质1.如果m ＋n ＝k ＋l ，则有a m ·a n ＝a k ·a l .2.如果m ＋n ＝2k ，则有a m ·a n ＝a 2k .3.若m ，n ，p 成等差数列，则a m ，a n ，a p 成等比数列.4.在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.5.如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝a k ·a n －k ＋1＝…. 思考 等比数列{a n }中，a 3·a 9a 5＝，a 5·a 11＝.答案 a 7 a 28解析 由等比数列的性质得a 5·a 11＝a 28. a 3·a 9＝a 5·a 7，∴a 3·a 9a 5＝a 7.题型一 等比数列的性质及应用例1 (1)在等比数列{a n }中，若a 3a 6＝9，a 2a 4a 5＝27，则a 2的值为. (2)已知公比为q 的等比数列{a n }中，a 5＋a 9＝12q ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为.答案 (1)3 (2)14解析 (1)因为{a n }为等比数列，所以a 3a 6＝a 4a 5＝9， 又因为a 2a 4a 5＝27，所以a 2＝3. (2)∵a 5＋a 9＝12q ，∴a 4＋a 8＝12，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝()a 4＋a 82＝14. 反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a 1，q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝.(2)已知数列{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝. 答案 (1)32或23 (2)5解析 (1)a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2，∴q 10＝a 14a 4＝32或23，a 20a 10＝q 10＝32或23. (2)由a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，即a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，∵a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0， ∴a 3＋a 5＝5.题型二 灵活设项求解等比数列例2 已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，则此4个数为.答案 8，－2，12，－18或－18，12，－2,8解析 设此4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3. 则a 4q 6＝1， aq (1＋q )＝－32，①所以a 2q 3＝±1，当a 2q 3＝1时，q ＞0，代入①式化简可得q 2－14q ＋1＝0，此方程无解；当a 2q 3＝－1时，q ＜0，代入①式化简可得q 2＋174q ＋1＝0，解得q ＝－4或q ＝－14.当q ＝－4时，a ＝－18；当q ＝－14时，a ＝8.所以这4个数为8，－2，12，－18或－18，12，－2,8.反思与感悟 灵活设项求解等比数列的技巧 (1)三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq ；(2)四数成等比数列，一般可设为a q 3，aq ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3，但前一种设法的公比为q 2(公比大于0)；(3)五数成等比数列，一般可设为a q 2，aq，a ，aq ，aq 2.跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数. 解 由题意设此四个数为bq，b ，bq ，a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 3＝－8，2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.所以这四个数为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.题型三 等比数列的实际应用例3 为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了40%，从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数). 解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2014年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%·a n 的剩余面积92%·a n ，另一部分是新绿化的12%·b n ，所以 a n ＋1＝92%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45(a n －35)，a 1－35＝25－35＝－15，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，∴a n －35＝(－15)(45)n －1，∴a n ＝35－15(45)n －1，则a n ＋1＝35－15⎝⎛⎭⎫45n，∵a n ＋1＞50%，∴35－15⎝⎛⎭⎫45n ＞12，∴⎝⎛⎭⎫45n ＜12，n ＞log 4512＝lg21－3lg2＝3. 则当n ≥4时，不等式⎝⎛⎭⎫45n ＜12恒成立. 所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.反思与感悟 本题将实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列.在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算，避免在运算中出现问题.跟踪训练3 2015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a 和25a ，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)求哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)问两林场木材的总量到2019年能否翻一番？ 解 (1)由题意可得16a (1＋25%)n －1＝25a (1－20%)n －1， 解得n ＝2，故到2017年两林场木材的总存量相等.(2)令n ＝5，则a 5＝16a ⎝⎛⎭⎫544＋25a ⎝⎛⎭⎫454＜2(16a ＋25a )， 故到2019年不能翻一番.1.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝.答案 32解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1， 由a 2·a 8＝6，得a 25＝6. ∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32.2.等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116，则a 3a 6＋a 4a 5的值是.答案 12解析 ∵a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝14，∴a 3a 6＋a 4a 5＝12.3.在正项等比数列{a n }中，3a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 2016－a 2017a 2014－a 2015＝.答案 9解析 由3a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 3＝3a 1＋2a 2，即a 1q 2＝3a 1＋2a 1q ， ∵a 1≠0，∴q 2－2q －3＝0. 解得q ＝3或q ＝－1(舍).∴a 2016－a 2017a 2014－a 2015＝a 2016()1－q a 2014()1－q＝a 2016a 2014＝q 2＝9.4.已知数列：4，a,12，b 中，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则b ＝. 答案 18解析 由题意可得2a ＝4＋12＝16⇒a ＝8，又122＝8b ⇒b ＝18.5.在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为.答案 8解析 设插入的3个数依次为a ，b ，c ，即12，a ，b ，c,8成等比数列，由等比数列的性质可得b 2＝ac ＝12×8＝4，因为a 2＝12b ＞0，∴b ＝2(舍负).所以这3个数的积为abc ＝4×2＝8.1.等比数列的性质及其应用巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点很重要. 2.灵活设项解决等比数列的问题.。

课时分层作业(十) 等比数列的概念及通项公式(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若正数a ，b ，c 组成等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 一定是( )A ．等差数列B ．既是等差数列又是等比数列C ．等比数列D ．既不是等差数列也不是等比数列A [由题意得b 2＝ac (a ，b ，c >0)，∴log 2b 2＝log 2ac ，即2log 2b ＝log 2a ＋log 2c ，∴log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列．]2．等比数列{a n } 中，a 3＝12，a 2＋a 4＝30，则a 10的值为( )A ．3×10－5B ．3×29C ．128D ．3×2－5或3×29D [设公比为q ，则12q ＋12q ＝30，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴a 10＝a 3·q 7＝12·27或12·⎝ ⎛⎭⎪⎫127，即3×29或3×2－5.]3．已知a 是1,2的等差中项，b 是－1，－16的等比中项，则ab 等于() A ．6 B ．－6C ．±6D ．±12C [a ＝1＋22＝32，b 2＝(－1)(－16)＝16，b ＝±4，∴ab ＝±6.] 4．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的( )A ．第2项B ．第4项C ．第6项D ．第8项B [由(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)解得x ＝－1(舍)或x ＝－4，∴首项为－4，公比为32.∴由－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝－1312，解得n ＝4.] 5．在等比数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 2＝2，则公比q 等于( )A ．－2B ．1或－2C ．1D ．1或2B [根据题意，代入公式⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＋a 1q 3＝4，a 1q ＝2， 解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，q ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2.] 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝________.1 [设等比数列{a n }的公比为q ，由已知条件得a 25＝4·a 25q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，∴a 3＝a 1q 2＝2×12＝1.]7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________. 3×2n －3 [由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1q 2＝q 7＝128＝27，故q ＝2. 所以a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3·q n －3＝3×2n －3.]8．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝________. 27 [由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9，∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.]三、解答题9．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？[解] (1)因为2a n ＝3a n ＋1，所以a n ＋1a n＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827， 所以a 21⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，由于各项均为负， 故a 1＝－32，a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项．10．数列{a n }，{b n }满足下列条件：a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，b n ＝a n ＋1－a n .(1)求证：{b n }是等比数列；(2)求{b n }的通项公式．[解] (1)证明：∵2a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝a n ＋a n ＋12－a n ＋1a n ＋1－a n＝－12. ∴{b n }是等比数列．(2)∵b 1＝a 2－a 1＝1，公比q ＝－12，∴b n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. [能力提升练]1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 6＋a 7a 8＋a 9等于( ) A.2＋1B ．3＋2 2C ．3－2 2D ．22－3C [设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2， 所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q .由于a 1≠0，所以q 2＝1＋2q ，解得 q ＝1±2.又等比数列{a n }中各项都是正数，所以q >0，所以q ＝1＋ 2.所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝1(1＋2)2＝3－2 2.] 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C.12D.18C [法一：∵a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 24＝4(a 4－1)，∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3＝a 4a 1＝214＝8， ∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C.法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12，故选C.]3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.23－1 [∵a 2，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 2a 7， ∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，即2d ＋3a 1＝0.①又∵2a 1＋a 2＝1，∴3a 1＋d ＝1.②由①②解得a 1＝23，d ＝－1.]4．设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 64 [设等比数列{a n }的公比为q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1q 3＝5，解得⎩⎨⎧ a 1＝8，q ＝12，∴a 1a 2…a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212n (n －7)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494，当n ＝3或4时， 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最小值－6， 此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －722－494取到最大值26，所以a 1a 2…a n 的最大值为64.] 5．已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，求常数p .[解] 因为数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，所以(c n ＋1－pc n )2＝(c n －pc n －1)(c n ＋2－pc n ＋1)，将c n ＝2n ＋3n 代入上式得，[2n ＋1＋3n ＋1－p (2n ＋3n )]2＝[2n ＋2＋3n ＋2－p (2n ＋1＋3n ＋1)]·[2n ＋3n －p (2n －1＋3n －1)]，整理得16(2－p )(3－p )·2n ·3n ＝0，解得p ＝2或p ＝3.。

2.3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点) 2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．()(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．()(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n－1＝3n，∴n＝6.【答案】 6教材整理3等比中项阅读教材P54第11题，完成下列问题．1．若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项，且满足G2＝ab.2．若数列{a n}是等比数列，对任意的正整数n(n≥2)，都有a2n＝a n－1·a n＋1.1．若22是b－1，b＋1的等比中项，则b＝________.【解析】∵(b－1)(b＋1)＝(22)2，∴b2－1＝8，∴b2＝9，∴b＝±3.【答案】±32．若1，a,4成等比数列，则a＝________.【解析】∵1，a,4成等比数列，∴a2＝1×4＝4，∴a＝±2.【答案】±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n ＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…；(2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列．(3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．(1)n 465． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎨⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12. 由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1q n －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________． (2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即 a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0， ∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]探究1 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数． 【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得 q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12. 因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知 b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327.同理，当b ＝－278时，a ＝－23， c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________.【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6. 【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8. 【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数．【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列．设公比为q ，则3＝243·q 5－1， 解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9； 当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9. 因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎨⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6， 所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________. 【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9. 【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________． ①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}． 【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1 二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q . 由已知，得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2， 所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3(q ＝1舍去)， 故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15. 下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316. 【答案】 13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________.【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)，∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为aq，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.(1)若－2为－2q和－2q的等差中项，则2q＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；(2)若－2q为－2q和－2的等差中项，则1q＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－12或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；(3)若－2q为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝2q，∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝ .【解析】 因为⎩⎨⎧ a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎨⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ② 由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于 ．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝ ，ac ＝ .【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝ .【导学号：92862049】【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝ .【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为 ．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}． 【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数．【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为 ．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10.【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝ .【导学号：92862050】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3(q ＝1舍去)，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)．(1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列：由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n .∵a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于 ．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316. 【答案】 13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝ .【导学号：92862051】【解析】∵a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，∴(a3＋a5)2＝25，又∵a n>0，∴a3＋a5＝5.【答案】 53．若数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2S n－3，则{a n}的通项公式是．【解析】由a n＝2S n－3，得a n－1＝2S n－1－3(n≥2)，两式相减得a n－a n－1＝2a n(n≥2)，∴a n＝－a n－1(n≥2)，a na n－1＝－1(n≥2)．故{a n}是公比为－1的等比数列，令n＝1，得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故a n＝3·(－1)n－1.【答案】a n＝3·(－1)n－14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】设这3个数分别为aq，a，aq，则a3＝－8，即a＝－2.(1)若－2为－2q和－2q的等差中项，则2q＋2q＝4，∴q2－2q＋1＝0，解得q＝1，与已知矛盾，舍去；(2)若－2q为－2q和－2的等差中项，则1q＋1＝2q，∴2q2－q－1＝0，解得q＝－12或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1；(3)若－2q为－2q和－2的等差中项，则q＋1＝2q，∴q2＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(与已知矛盾，舍去)，∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

2.3.1 等比数列的概念(二)2．3.2 等比数列的通项公式(二)一、基础过关1．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________.2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为________．3．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为___．4．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________.5．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.6．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________.7．已知数列{a n }成等比数列．(1)若a 2＝4，a 5＝－12，求数列{a n }的通项公式； (2)若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．8．已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.求数列{a n }的通项公式．二、能力提升9．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，则等比数列{a n }的通项a n ＝________. 10．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.11．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________. 12．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：①a 1＋a 6＝11；②a 3·a 4＝329；③三个数23a 2，a 23，a 4＋49依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式．三、探究与拓展13．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?答案1．64 2.27 3.434.5 25.56.－6 7．解 (1)由a 5＝a 2q 3，得－12＝4·q 3， 所以q ＝－12.a n ＝a 2q n －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2. (2)由a 3a 5＝a 24，得a 3a 4a 5＝a 34＝8.解得a 4＝2.又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.8．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q 4＋2a 21q 6＋a 21q 8＝100， ①a 21q 4－2a 21q 6＋a 21q 8＝36. ② 由①－②，得4a 21q 6＝64.所以a 21q 6＝16.③代入①，得16q 2＋2×16＋16q 2＝100.解得q 2＝4或q 2＝14.又数列{a n }为正项数列，所以q ＝2或12.代入③，得a 1＝12或32.所以a n ＝12×2n －1＝2n －2或a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝26－n.9．24－n 10.32 11.3＋2 212．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 6＝11a 1·a 6＝329，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝13a 6＝323或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝323a 6＝13. 当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 6＝323时q ＝2，∴a n ＝13·2n －1. 23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列，∴a n ＝13·2n －1.当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝323a 6＝13时q ＝12，a n ＝13·26－n，23a 2＋a 4＋49≠2a 23，∴不符合题意，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13·2n －1.13．解 设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度 a 1＝1－1a ，设操作n 次后溶液的浓度为a n . 则操作n ＋1次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n (1－1a )，从而建立了递推关系．∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，公比为q ＝1－1a 的等比数列． ∴a n ＝a 1q n －1＝(1－1a )n ，即第n 次操作后酒精的浓度是(1－1a )n .当a ＝2时，由a n ＝(12)n ＜110，解得n ≥4.故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%.。

2.3.1 等比数列的概念(二) 2.3.2 等比数列的通项公式(二)课时目标 1.进一步巩固等比数列的定义和通项公式.2.掌握等比数列的性质，能用性质灵活解决问题．1．一般地，如果m ，n ，k ，l 为正整数，且m ＋n ＝k ＋l ，则有______________，特别地，当m ＋n ＝2k 时，a m ·a n ＝________.2．在等比数列{a n }中，每隔k 项(k ∈N *)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为________数列．3．如果{a n }，{b n }均为等比数列，且公比分别为q 1，q 2，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b na n}，{|a n |}仍是等比数列，且公比分别为1q 1，q 1q 2，q 2q 1，|q 1|.一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝________.2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝________.3．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad ＝________. 4．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 5．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．6．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋cn＝________. 7．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于______________．8．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值是________．10．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.二、解答题11．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．12．设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，c n ＝a n ＋b n ，证明数列{c n }不是等比数能力提升13．若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.14．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．1．等比数列的基本量是a 1和q ，依据题目条件建立关于a 1和q 的方程(组)，然后解方程(组)，求得a 1和q 的值，再解决其它问题．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an 0，an 0＋1，an 0＋2，使a 2n 0＋1≠an 0·an 0＋2. 3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．2．3.1 等比数列的概念(二) 2．3.2 等比数列的通项公式(二)答案知识梳理1．a m ·a n ＝a k ·a l a 2k 2.等比 作业设计 1．4解析 由题意知，q 4＝a 5a 1＝16，∴q 2＝4，a 3＝a 1q 2＝4. 2．11解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1， ∴m －1＝10，∴m ＝11.解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2. 4．－6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6. ∵a 1，a 3，a 4成等比数列， ∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1， 解得a 1＝－8，∴a 2＝－6. 5．8解析 设这8个数组成的等比数列为{a n }， 则a 1＝1，a 8＝2.插入的6个数的积为a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 2a 7)·(a 3a 6)·(a 4a 5)＝(a 1a 8)3＝23＝8. 6．2解析 设等比数列公比为q .由题意知：m ＝a ＋b 2，n ＝b ＋c2，则a m ＋c n ＝2a a ＋b ＋2c b ＋c ＝21＋q ＋2q 1＋q ＝2. 7．5 2解析 ∵a 1a 2a 3＝a 32＝5，∴a 2＝35. ∵a 7a 8a 9＝a 38＝10，∴a 8＝310. ∴a 25＝a 2a 8＝350＝5013，又∵数列{a n }各项为正数，∴a 5＝5016.∴a 4a 5a 6＝a 35＝5012＝5 2.8.43解析 ∵a 4a 6＝a 25，∴a 4a 5a 6＝a 35＝3，得a 5＝313.∵a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43.9.12解析 ∵－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ，则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，∵－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， ∴b 22＝(－1)×(－4)＝4，∴b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2，∴b 2<0.∴b 2＝－2，∴a 2－a 1b 2＝－1－2＝12.10.32解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝(62)2＝32.11．解 设这四个数分别为x ，y,18－y,21－x ， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x 18－y 218－y ＝y ＋21－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝754，y ＝454.故所求的四个数为3,6,12,18或754，454，274，94.12．证明 设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠0，q ≠0，p ≠q ，c n ＝a n ＋b n .要证{c n }不是等比数列，只需证c 22≠c 1·c 3成立即可．事实上，c 22＝(a 1p ＋b 1q )2＝a 21p 2＋b 21q 2＋2a 1b 1pq ，c 1c 3＝(a 1＋b 1)(a 1p 2＋b 1q 2)＝a 21p 2＋b 21q 2＋a 1b 1(p 2＋q 2)．由于c 1c 3－c 22＝a 1b 1(p －q )2≠0，因此c 22≠c 1·c 3，故{c n }不是等比数列． 13．－4解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ， ①a 2＝bc ， ②a ＋3b ＋c ＝10， ③①代入③求得b ＝2.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝4，a 2＝2c⇒a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，c ＝2，即a ＝b ＝c 与已知不符， ∴a ＝－4.14．解 设三个数为a q，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2， ∴三个数为－2q，－2，－2q .(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1q＋1＝2q ，2q 2－q －1＝0，q ＝－12或q ＝1(舍去)，∴三个数为4,1，－2；(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为4,1，－2或－2,1,4.。

第9课时 等比数列的概念和通项公式【分层训练】1.在数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有120n n a a +-=，则123422a a a a ++等于（ ）A 14B 13C 12D 12.{}n a 是公比为2的等比数列，且147a a a ++28100a +=L ,则36930a a a a ++++L 等于（ ）A 25B 50C 125D 400 3.已知,,a b c 依次成等比数列，那么函数()f x 2ax bx c =++的图象与x 轴的交点的个数为（ ）A 0B 1C 2D 1或2 4. 若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ）A.1B. 2C. 3D. 45.设23,26,212a b c===，那么,,a b c（ ）.A 既是等差数列，又是等比数列B 是等差数列，但不是等比数列C 是等比数列，但不是等差数列D 既不是等差数列，也不是等比数列 6.在等比数列{}n a 中，对任意n N *∈，都有12n n n a a a ++=+，则公比q =____. 7.培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这种新品种的种子________粒（保留两个有效数字）. 8.已知数列{}n a 是等比数列，,,m n p N *∈，且,,m n p 成等差数列，求证：,,m n p a a a 依次成等比数列.【拓展延伸】9.有四个数，前三个数成等比数列，它们的和为19，后三个数成等差数列，它们的和为12.求这四个数.10.在数列{}n a 中，其前n 项和322n n n nS -=，()n N *∈,求证数列{}n a 是等比数列.。

2022-2022年高二必修五2.3等比数列练习数学带参考答案和解析（苏教版）填空题设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为．【答案】－2【解析】试题分析：Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，所以填空题若一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于后面两项之和，则其公比是__________．【答案】【解析】由题意得，，解得，故答案为.填空题已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝________．【答案】8【解析】在等比数列中，，故答案为解答题在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．【答案】【解析】试题分析：等比数列的公比为,由已知可得，,解方程可求,然后代入等比数列的求和公式可求.试题解析：设该数列的公比为q，则由2a2为3a1和a3的等差中项，可得4a1q＝3a1＋a1q2，即q2－4q＋3＝0，解得q＝3或1.又a2－a1＝2，所以q≠1，公比q＝3，首项a1＝1.所以，数列{an}的前n项和Sn＝.填空题在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝－8，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________．【答案】? -2? 2n－1【解析】是等比数列，，综上所述，答案为.填空题设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2.若a4＝ka1，则k＝________．【答案】8【解析】因成等比数列，其公比为，所以，又已知则，故答案为.填空题若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于__________．【答案】【解析】试题分析：因为，所以等比数列只能是（或），故有，即，又，因此不能是等差数列的中间项，不妨设等差数列是，则，由，且，解得，所以，．填空题已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项和，某同学经计算得S2＝24，S3＝38，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是________，该数列的公比是________．【答案】? S2?【解析】与中必有一个算错了，，算错了，故答案为解答题设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1－3Sn＝1.(1) 求证：数列{an}为等比数列；(2) 数列{an}是否存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*，r≥2)项的和？请说明理由．【答案】(1) 见解析. (2) 见解析.【解析】试题分析：(1)由可得，两式相减化简可得数列{an}为等比数列；(2)假设数列中存在一项恰好可以表示为该数列中连续项的和，利用等比数列求和化简后，导出矛盾即可得结论.试题解析：(1)∵Sn＋1－3Sn＝1，∴n≥2时Sn－3Sn－1＝1，两式相减得an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an(n≥2)．又a1＝1，S2－3S1＝1，∴a2＝3，∴n＝1时an＋1＝3an也成立．∴n∈N*时＝3，数列{an}为等比数列．(2) 解：由(1)知an＝3n－1，若数列{an}中存在一项ak，使得ak ＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1(m∈N*)．(2)∵an＝3n－1，∴{an}为递增数列．∴ak＞am＋r－1，即3k－1＞3m＋r－2，k＞m＋r－1，k≥m＋r.又am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1＝＜≤＜3k－1＝ak与ak＝am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋r－1相矛盾．∴数列{an}不存在一项ak，使得ak恰好可以表示为该数列中连续r(r∈N*，r≥2)项的和．填空题设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为__________．【答案】20【解析】设等比数列的公比，则，当，即取等号，故答案为.【易错点晴】本题主要考查等比数列求和公式及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.填空题已知等比数列{an}，对任意正整数n都有an＜an＋1，2(an＋an＋2)＝5an＋1，且a＝a10，则数列{an}的通项公式是an＝________．【答案】2n【解析】由可得，又，由可得，得，故答案为.填空题在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝2，a3＋a4＋a5＝8，则a5＋a6＋a7＝________．【答案】32【解析】设等比数列的公比为，由，则，即，故答案为.解答题已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1) 求{an}的通项公式；(2) 求证：＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立．【答案】(1) an＝5×(－1)n－2或an＝5×3n－2，n∈N*.(2) 见解析.【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，结合等比数列的通项公式表示已知条件，解方程可求,进而可求通项公式；（2）结合（1）可知是等比数列,结合等比数列的求和公式可求,利用放缩法可得结果.试题解析：(1) 由a1a2a3＝125，得a＝125，即a2＝5.又|a2－a3|＝10，即a2|q－1|＝10得q＝－1或3.所以an＝5×(－1)n－2或an＝5×3n－2，n∈N*.(2) 证明：若q＝－1，则＋＋…＋＝－或0，所以＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立；若q＝3，则＋＋…＋＝＜＜1，所以＋＋…＋＜1对任意正整数m也都成立．综上，＋＋…＋＜1对任意正整数m都成立．。

等比数列的通项公式
教学目标：
1 掌握通项公式，并能应用公式解决有关问题；
2 理解等比数列的性质，并学会其简单应用；
3 会求两个正数的等比中项，能利用等比中项的概念解决有关问题，提高分析、计算能力；
4 通过学习推导等比数列的通项公式，掌握“叠乘法” ．
教学重点：
等比数列的通项公式．
教学难点：
等比数列的有关性质及灵活应用．
教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法．
2． 问题1：以上是我们学过的什么数列你能说出它们的定义及其数学语言吗 问题2:等差数列:2,4,6,8,10……写出它的第10项
等比数列2,8,16,……写出它的第10项
等比数列1{},,,n a a q 首项为公比为你能写出它的第n 项吗？ 二、建构数学
通过对引例的讲解使学生了解“叠加法”，引导学生自己总结得出等差数列的通项公式． 111(4)(_),,,,(_)4816
三、数学运用
1．等比数列基本量的求解
例 在等差数列{}n a 中，已知13,2,a q ==，求6a ． 已知424,2,a q ==，求n a ． 问：你还能出什么样类似的题目？（知二求一） 已知3612,96,a a ==，求4a ．
已知13,96,2n a a q ===，求n ．
2．练习
课本P54习题13,4,5,6,9,10．．
四、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
五、 要点归纳与小结
1 等比数列通项公式的推导方法“叠乘法” 2求解等比数列的通项公式“知二求一”。

2．3.2 等比数列的通项公式1.掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题． 2．理解等比数列的性质，能熟练运用等比数列的性质解决有关问题．, [学生用书P31])1．等比数列的通项公式(1)通项公式：设数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1．(2)通项公式的变形：设a n ，a m 分别是等比数列{a n }的第n 项和第m 项，数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)．2．等比数列的性质若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1)a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)；(2)若m ＋n ＝s ＋t ＝2k (m ，n ，s ，t ，k ∈N *)， 则a m ·a n ＝a s ·a t ＝a 2k ； (3){c ·a n }(c 是非零常数)是公比为q 的等比数列； (4){|a n |}是公比为|q |的等比数列；(5)若{b n }是公比为q 2的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为q ·q 2的等比数列．1．等比数列{a n }中，a 1＝3，q ＝2，则a 4＝________，a n ＝________．解析：a 4＝a 1q 3＝3×23＝24，a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1.★答案☆：24 3×2n －12．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝6，则a 9＝________． 解析：因为a 7＝a 5q 2， 所以q 2＝32.所以a 9＝a 5q 4＝a 5(q 2)2＝4×94＝9.★答案☆：93．在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为________． 解析：因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝25. ★答案☆：25等比数列的通项公式及其应用[学生用书P32]已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．【解】 (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a 1和q 的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a 1，q 的方程组，求出a 1，q 后再求a n ，这是常规方法．因为方程组中含有指数式，通常采用相除消元法求a 1和q .(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q 后，再求a 1，最后求a n ，这种方法具有一定的技巧性，能简化运算．1.(1)若等比数列{a n }的前三项分别为5，－15，45，则第5项是________．(2)已知a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________． 解析：(1)因为a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，所以a 5＝405.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，①a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，②由②①，得q ＝12，从而a 1＝32.又a n ＝1，所以32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝1，即26－n ＝20，故n ＝6. ★答案☆：(1)405 (2)6等比数列的性质及应用[学生用书P32]已知等比数列{a n }中，a 2a 6a 10＝1，求a 3·a 9. 【解】 法一：根据等比数列的性质得 a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 26， 由a 2·a 6·a 10＝1得a 36＝1，故a 6＝1，所以a 3·a 9＝a 26＝1. 法二：根据等比数列的通项公式得： a 2·a 6·a 10＝(a 1q )(a 1q 5)(a 1q 9)＝a 31·q 15＝(a 1q 5)3＝1，所以a 1q 5＝1，所以a 3·a 9＝(a 1q 2)(a 1q 8)＝(a 1q 5)2＝1.解决此类问题时，应用等比数列的性质，会简化运算过程．要注重领会整体思想，观察整体特征，找到它们的内在联系，选取合适的方法．2.(1)已知数列{a n }为等比数列，a 3＝3，a 11＝27，求a 7.(2)已知{a n }为等比数列，a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q .解：(1)法一：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3，a 1q 10＝27相除得q 8＝9.所以q 4＝3，所以a 7＝a 3·q 4＝9.法二：因为a 27＝a 3a 11＝81，所以a 7＝±9， 又a 7＝a 3q 4＝3q 4>0，所以a 7＝9. (2)因为a 2·a 8＝36＝a 3·a 7， 而a 3＋a 7＝15，所以a 3＝3，a 7＝12或a 3＝12，a 7＝3. 所以q 4＝a 7a 3＝4或14，所以q ＝±2或q ＝±22.1．用函数的观点看等比数列的通项等比数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1，还可以改写为a n ＝a 1q q n ，当q >0且q ≠1时，y ＝q x 是一个指数函数，而y ＝a 1q ·q n 是一个不为0的常数与指数函数的积．因此等比数列{a n }的图象是函数y ＝a 1q·q x 的图象上一些孤立的点．2．等比数列的通项公式与指数函数(1)等比数列的通项公式a n ＝a 1·q n －1可以看作是指数型函数y ＝cq x .(2)等比数列增减性：①当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，等比数列{a n }是递增数列． ②当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，等比数列{a n }是递减数列． ③当q ＝1时，等比数列{a n }是常数列． ④当q <0时，等比数列{a n }是摆动数列．已知{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0，求{a n }的通项公式．[解] 因为(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0， 所以(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋1a n ＝nn ＋1，即a n ＋1＝nn ＋1a n ，所以a n ＝n －1n a n －1＝n －1n ·n －2n －1a n －2＝n －1n ·n －2n －1·…·23·12a 1＝n －1n ·n －2n －1·…·23·12·1＝1n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n.(1)本题易出现以下错解：因为(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0， 即(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，所以(n ＋1)a n ＋1＝na n ，所以a n ＋1a n ＝n n ＋1，所以{a n }是以1为首项，n n ＋1为公比的等比数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫n n ＋1n －1.以上错解中n n ＋1不是常数，不能作为等比数列的公比．(2)由a n ＋1a n＝q 得{a n }为等比数列中的q 必须是一个非零常数．1．在等比数列{a n }中，a 5＝8，a 7＝2，且该数列的各项都为正数，则通项公式a n ＝________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4＝8，a 1q 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝14，a 1＝128，因为a n >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝128，所以a n ＝128×⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －8.★答案☆：⎝⎛⎭⎫12n －82．在等比数列{a n }中，若a 6＝6，a 9＝9，则a 3＝________． 解析：因为a 9＝a 6q 3，所以9＝6q 3，解得q 3＝32.所以a 3＝a 6q －3＝6q 3＝4.★答案☆：43．在等比数列{a n }中，a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11＝________．解析：因为a 3a 11＝a 5a 9＝a 27， 由a 3a 5a 7a 9a 11＝243， 得a 57＝35，所以a 7＝3，所以a 29a 11＝a 9·a 7q 2a 9·q 2＝a 7＝3.★答案☆：34．已知三个数成等比数列，其积为1，第2项与第3项之和为－32，则这三个数依次为________．解析：设这三个数分别为aq ，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝1，a ＋aq ＝－32，解得a ＝1，q ＝－52，所以这三个数依次为－25，1，－52.★答案☆：－25，1，－52, [学生用书P91(单独成册)])[A 基础达标]1．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，则{a n }的通项公式为________． 解析：由等比数列的定义可知{a n }是等比数列，且q ＝2，所以a n ＝2n . ★答案☆：a n ＝2n 2．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程2x 2＋7x ＋6＝0的两个根，则a 1a 3a 5a 7a 9＝________． 解析：因为a 3，a 7是方程2x 2＋7x ＋6＝0的两根， 所以a 3a 7＝3>0，a 3＋a 7＝－72<0，所以a 3<0，a 7<0， 所以a 5＝a 3q 2<0，又a 25＝a 3a 7＝3，所以a 5＝－3， 所以a 1a 3a 5a 7a 9＝a 55＝－9 3. ★答案☆：－9 33．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________． 解析：因为a 3＝3，a 10＝384，设公比为q (q ≠0)， 所以a 10＝a 3·q 7，即384＝3·q 7，所以q ＝2，a 1＝34，即等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1·q n －1＝3×2n －3.★答案☆：3×2n －34．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．解析：因为a 4a 6＝a 25，所以a 4a 5a 6＝a 35＝3， 解得a 5＝313.因为a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. ★答案☆：435．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________． 解析：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， 所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.所以⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.★答案☆：－76．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________．解析：因为b n ＝a n ＋1a n ，且b 10·b 11＝2，又{b n }是等比数列，所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2，则a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a 21a 20＝b 1b 2b 3…b 20＝210，即a 21a 1＝1 024， 从而a 21＝1 024a 1＝1 024. ★答案☆：1 0247．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________．解析：由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，所以a 27＝4a 7.因为a 7≠0，所以a 7＝4，所以b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8. ★答案☆：88．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.★答案☆：3或27 9．已知数列{a n }中a 2n ＋1＝4a n ，a 1＝1，a n >0，求其通项公式． 解：因为a n >0，对a 2n ＋1＝4a n ，两边取对数， 得2log 2a n ＋1＝log 2a n ＋2.令b n ＝log 2a n ，则2b n ＋1＝b n ＋2，即2(b n ＋1－2)＝b n －2. 令C n ＝b n －2，则C n ＋1＝12C n ，且a 1＝1，所以b 1＝0，C 1＝－2， 所以{C n }为等比数列， 所以C n ＝－2⎝⎛⎭⎫12n －1＝－22－n . 所以b n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －2，a n ＝22－22－n .10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)求证：{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1知，a 1＋1＝2，这时a n ＋1≠0， 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)得a n ＋1＝2·2n －1＝2n ， 所以a n ＝2n －1.[B 能力提升]1．某轿车的售价为36万元，年折旧率约为10%(就是说这辆车每年减少它的价格的10%)，那么从购买当年算起，大约在购车后的第________年，价格是原来的一半．解析：设轿车每年的价值构成数列{a n }，根据题意分析可知数列{a n }是首项为36，公比为0.9的等比数列，则a n ＝36×(0.9)n －1，根据题意有a n ≤18，则36×(0.9)n －1≤18， 即(0.9)n ≤0.45，因为y ＝(0.9)n 关于n 单调递减，又|0.97－0.45|>|0.98－0.45|，故n ＝8. ★答案☆：82．已知四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积是－80，则这四个数为______________．解析：由题意设此四个数分别为bq，b ，bq ，a ，则b 3＝－8，解得b ＝－2，q 与a 可通过解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2bq ＝a ＋b ，ab 2q ＝－80求出，即为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10，b ＝－2，q ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8，b ＝－2，q ＝52，所以此四个数为1，－2，4，10或－45，－2，－5，－8.★答案☆：1，－2，4，10或－45，－2，－5，－83．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝1－23a n ，求a n .解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－23a n －⎝⎛⎭⎫1－23a n －1 ＝－23a n ＋23a n －1，则53a n ＝23a n －1，所以a n a n －1＝25， 所以数列{a n }为等比数列． 令n ＝1，则S 1＝1－23a 1，即a 1＝1－23a 1，所以a 1＝35，所以a n ＝35×⎝⎛⎭⎫25n －1.4．(选做题)若数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正数，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ， 所以a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)． 因为a 2＝2S 1＋1＝3， 所以a 2＝3a 1.故数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1.(2)设数列{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d .又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，所以(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2. 解得d 1＝2，d 2＝－10.因为等差数列{b n }的各项为正数，所以d >0，所以d ＝2，所以b 1＝3.所以T n ＝3n ＋n （n －1）2×2＝n 2＋2n .。

2.3.2等比数列的通项公式
一．填空题
1、数列，，，，……．中，是这个数列的第项
2、等比数列中，，，那么它的公比
3、在等比数列{}中，如果，，那么为
4、已知是等比数列，>，如果，那么
5、公比q≠1的等比数列{}中，若，则
6、ac=b2是a、b、c成等比数列的的条件
7、若是等差数列，公差，成等比数列，则公比为
8、等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数等于.
9、如果将20，50，100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为。

10、在等比数列中，>，且，则
.
二．解答题
1、等比数列中，已知，，求.
2、已知等比数列的公比为，它的第项为，第项为，求此数列的通项公式。

3、已知四个数，前三个数成等比数列，和为，后三个数成等差数列，和为，求此四个数.
4、已知在数列{}中，，，成等差数列，，，成等比数列，，，的倒数成等差数列，证明：，，成等比数列。

参考答案
一．填空题
1. 15
2.2
3. 4
4. 5
5.
6. 必要条件
7.3
8、。

9、。

10、5．
二．解答题
1、4．
2、，。

3、∵后三个数成等差数列，和为，∴四个数中的第三个为4。

设第二个数为，则为，，4，。

∵，∴或。

当时，四个数为：9，6，4，2；
当时，四个数为：25，-10，4，18。

4、提示：依题意得到三个等式，消去，即可。