2020版高考数学(理)总复习刷题小卷练(含解析)： 推理与证明

2020年高考数学（理）复习【推理与证明】小题精练卷刷题增分练○41 一、选择题1．[2019·重庆马蜀月考]用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a ，b ，c ，d 中恰有一个偶数”时正确的假设为( )A ．自然数a ，b ，c ，d 都是奇数B ．自然数a ，b ，c ，d 都是偶数C ．自然数a ，b ，c ，d 中至少有两个偶数D ．自然数a ，b ，c ，d 中至少有两个偶数或都是奇数 答案：D解析：反证法证明命题时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a ，b ，c ，d 中至少有两个偶数或都是奇数．2．要证明3＋7<25可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) A ．综合法 B ．分析法C ．反证法 D ．归纳法 答案：B解析：综合法一般由已知条件和某些定义、定理等入手开始证明，分析法是从所要证明的结论入手寻找使其成立的条件，反证法一般先假设原命题不成立，然后得出矛盾，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，知本题的证明适合采用分析法．3．[2019·洛阳模拟]下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数B ．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数C ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数D ．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数 答案：B解析：A 中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A 错误；C 、D 都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C 、D 都不正确，只有B 正确，故选B.4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3答案：B解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当n ＝2时，不等式为1＋12＋13<2，故选B.5．[2019·大连调研]某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A ．21B ．34C ．52D ．55 答案：D解析：由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.故选D.6．[2019·安徽联考]某参观团根据下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点：①若去A 镇，也必须去B 镇；②D ，E 两镇至少去一镇；③B ，C 两镇只去一镇；④C ，D 两镇都去或者都不去；⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去．则该参观团至多去了( )A ．B ，D 两镇 B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇 D ．A ，C 两镇 答案：C解析：若去A 镇，根据①可知一定去B 镇，根据③可知不去C 镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E 镇，与⑤矛盾，故不能去A 镇；若不去A 镇，根据⑤可知也不去E 镇，再根据②知去D 镇，再根据④知去C 镇，再根据③可知不去B 镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C ，D 两镇．故选C.7．36的所有约数之和可以按以下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为1＋3＋32＋2＋2×3＋2×32＋22＋22×3＋22×32＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91.参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为()A．435 B．465 C．478 D．496答案：B解析：类比得到36的所有正约数之和的方法知，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465，所以200的所有正约数之和为465.8．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数组成，从第二行起，每一行中的数均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是()2 017 2 016 2 015 2 014……65432 14 033 4 031 4 029…………11975 38 0648 060 (2016128)16 124 (362820)…………………………A．2 017×22 016B．2 018×22 015C．2 017×22 015D．2 018×22 016答案：B解析：由题意知第1行的最后一个数为2×2－1，第2行的最后一个数为3×20，第3行的最后一个数为4×21，……第n行的最后一个数为(n＋1)×2n－2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是2 018×22 015.二、非选择题9．[2019·河北唐山一中调研]用数学归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增加的代数式为________．答案：2(2k＋1)解析：首先写出当n＝k时和n＝k＋1时等式左边的式子．当n ＝k 时，左边等于(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(2k )，① 当n ＝k ＋1时，左边等于(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，②∴从n ＝k 到n ＝k ＋1的证明，左边需增加的代数式是由②①得到(2k ＋1)(2k ＋2)(k ＋1)＝2(2k ＋1)．10．[2019·吉林长春质检]有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．答案：8月4日解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日，5月8日，9月4日，9月6日，9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日，8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．11．[2019·河北联考]在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是________．答案：3 972解析：由题意可设第1组的数为1， 第2组的数为2,4， 第3组的数为5,7,9， ……所以第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n (n ＋1)2个数．由于2 016＝63(63＋1)2<2 018<64(64＋1)2＝2 080，因此，第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9……第n 组最后一个数是n 2，因此，第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.12．[2019·河南商丘实验中学模拟]如图所示，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．答案：S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．刷题课时增分练○41 一、选择题1．[2019·黑龙江哈尔滨模拟]用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n ≥2)”时，由n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1 答案：C解析：当n ＝k ＋1时，左边为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，增加了12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共(2k ＋1－1)－(2k －1)＝2k项，故选C.2．[2019·山东菏泽模拟]设m ，n ，t 都是正数，则m ＋4n ，n ＋4t ，t ＋4m 三个数( )A ．都大于4B ．都小于4C ．至少有一个大于4D ．至少有一个不小于4 答案：D解析：依题意，令m ＝n ＝t ＝2，则三个数为4,4,4，排除A ，B ，C 选项，故选D.3．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a是实数，所以a的绝对值大于0”，你认为这个推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的答案：A解析：大前提是任何实数的绝对值大于0，显然是不正确的．故选A.4．[2019·荆州质检]若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；……按照这样的规律，则2 018所在等式的序号为()A．29 B．30C．31 D．32答案：C解析：由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，其前n项和S n＝n[3＋(2n＋1)]＝n(n＋2)，所以S31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31 2个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中．5．[2019·长春调研]分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”，则索的因应是()A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案：C解析：要证b2－ac<3a，需证b2－ac<3a2，因为a＋b＋c＝0，所以即证(a＋c)2－ac<3a2，即证a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0，即证－2a2＋ac＋c2<0，即证2a2－ac－c2>0，即证(2a＋c)(a－c)>0，即证(a－c)(a －b)>0.故选C.6．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题．甲：“我不会证明．”乙：“丙会证明．”丙：“丁会证明．”丁：“我不会证明．”根据以上条件，可以判断会证明此题的人是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 答案：A解析：四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，由丙、丁的说法知丙与丁中有一个人说的是真话，若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，故选A.7．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆的面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.164D.127 答案：D解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故V 1V 2＝127.8．①已知p 3＋q 3＝2，证明：p ＋q ≤2.用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2.②若a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，且方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个根，求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时，可假设方程的两根的绝对值不都小于1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①的假设正确，②的假设错误C ．①与②的假设都正确D ．①的假设错误，②的假设正确 答案：D解析：对于①，结论的否定是p ＋q >2，故①中的假设错误；易知②中的假设正确，故选D. 二、非选择题9．[2019·四川成都七中模拟]如图，第n 个图形是由正(n ＋2)边形“扩展”而来的，n ∈N *，则在第n 个图形中共有________个顶点．(用n 表示)答案：(n ＋2)(n ＋3)解析：第n 个图形是在第(n ＋2)边形的基础上每条边加上n ＋2个顶点，因此顶点个数为(n ＋2)＋(n ＋2)(n ＋2)＝(n ＋2)(n ＋3)．10．[2019·山东日照模拟]有下列各式：1＋12＋13>1,1＋12＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：________.答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为3,7,15，…，∴可猜想第n 个式子中左边应有2n ＋1－1项，不等式右边分别写成22，32，42，…，∴猜想第n 个式子中右边应为n ＋12，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)．11．[2019·江西临川月考]观察下列等式1＝1； 第一个等式 2＋3＋4＝9; 第二个等式 3＋4＋5＋6＋7＝25; 第三个等式 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49; 第四个等式 照此规律下去… (1)写出第5个等式；(2)你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明你的猜想．解析：(1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜测第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.证明：①当n＝1时显然成立；②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时也成立，即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝(2k－1)2＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2＝[2(k＋1)－1]2，而右边＝[2(k＋1)－1]2，也就是说n＝k＋1时等式也成立．根据①②知，等式对任何n∈N*都成立．。

2020年高考数学（新高考创新题型）之11.推理与证明（含精析）一、选择题。

1．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（ ）A ．由a n =2n ﹣1，求出S 1=12，S 2=22，S 3=32，…，推断：数列{a n }的前n 项和S n =n 2B ．由f （x ）=xcosx 满足f （﹣x ）=﹣f （x ）对R x ∈∀都成立，推断：f （x ）=xcosx 为奇函数C ．由圆x 2+y 2=r 2的面积S=πr 2，推断：椭圆=1的面积S=πabD ．由3222122)13(,2)12(,2)11(>+>+>+，…，推断：对一切*N n ∈，（n+1）2＞2n2．已知111()123f n n=++++（n N *∈），计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，由此推算：当2n ≥时，有（ ）A.21(2)2n f n +>（n N *∈）B.2(1)1(2)2n f n +->（n N *∈）C.21(2)2n n f +>（n N *∈）D.2(2)2n n f +>（n N *∈）3．将2n 个正整数1、2、3、 、2n （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a 、b （a b >）的比值ab,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当2n =时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（ ） A ．3 B ．2 C ．43D ．324．六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。

如，在平行四边形ABCD 中，有)(22222AD AB BD AC +=+，那么在图（2）的平行六面体1111D C B A ABCD -中有21212121DB CA BD AC +++等于( )A ．22212()AB AD AA ++ B ．22213()AB AD AA ++C ．22214()AB AD AA ++ D ．223()AB AD +5．对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下： 当n 是偶数时，!!(2)(4)642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅，当n 是奇数时，!!(2)(4)531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅现在有如下四个命题：①(2003!!)(2002!!)20032002321⋅=⨯⨯⨯⨯⨯；②10012002!!210011000321=⨯⨯⨯⨯⨯⨯；③2002!!的个位数是0 ④2003!!的个位数是5。

专题11 不等式、推理与证明、算法初步、复数1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若z =1+i ，则|z 2–2z |= A ．0 B ．1CD ．2【答案】D【解析】由题意可得：2i (2i)(12i)5ii 12i (12i)(12i)5----===-++-，则()222212z z i i -=-+=-. 故2222z z -=-=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2．【2020年高考全国III 卷理数】复数113i-的虚部是 A ．310- B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为i i i i 1131313(13)(i 13)1010z +===+--+， 所以复数113i z =-的虚部为310. 故选：D ．【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3．【2020年新高考全国Ⅰ】2i12i-=+ A ．1 B ．−1 C ．i D ．−i【答案】D【解析】2(2)(12)512(12)(i i i ii i 12)i i 5----===-++- 故选：D【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.4．【2020年高考北京】在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ⋅= A ．1i 2+ B ．2i -+C ．12i -D ．2i --【答案】B【解析】由题意得12i z =+，i i 2z ∴=-.故选：B ．【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题. 5．【2020年新高考全国Ⅰ】已知a >0，b >0，且a +b =1，则 A ．2212a b +≥B ．122a b ->C ．22log log 2a b +≥-D 【答案】ABD【解析】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.6．【2020年高考浙江】若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A ．14 B ．12C ．14D ．12【答案】C【解析】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得b a =负值舍去). 故选：C ．【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 8．【2020年高考浙江】设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T 满足：①对于任意的x ，y ∈S ，若x ≠y ，则xy ∈T ；②对于任意的x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ．下列命题正确的是 A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32ST =，包含5个元素，排除选项C ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A ．【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.9．【2020年高考全国II 卷理数】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.10．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为 . 【答案】1【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.11．【2020年高考全国III 卷理数】若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，，，则32z x y =+的最大值为__________．【答案】7【解析】不等式组所表示的可行域如图因为32z x y =+，所以322x zy =-+，易知截距2z 越大，则z 越大， 平移直线32x y =-，当322x zy =-+经过A 点时截距最大，此时z 最大， 由21y x x =⎧⎨=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，(1,2)A ， 所以max 31227z =⨯+⨯=. 故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.12．【2020年高考全国II 卷理数】设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z，12i z z +=+，则12||z z -=__________．【答案】【解析】方法一：设1,(,)z a bi a R b R =+∈∈，2,(,)z c di c R d R =+∈∈，12()z z a c b d i i ∴+=+++=，1a cb d ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩12||=||=2z z ，所以224a b +=，224cd +=， 222222()()2()4a c b d a c b d ac bd ∴+++=+++++= 2ac bd ∴+=-12()()z z a c b d i ∴-=-+-====故答案为：方法二：如图所示，设复数12z ,z 所对应的点为12Z ,Z ,12OP OZ OZ =+, 由已知1232OZ OZ OP =+===,∴平行四边形12OZ PZ 为菱形，且12,OPZ OPZ 都是正三角形，∴12Z 120OZ ∠=︒，222221212121||||||2||||cos12022222()122Z Z OZ OZ OZ OZ =+-︒=+-⋅⋅⋅-=∴1212z z Z Z -==【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解.13．【2020年高考江苏】已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是 ▲ ．【答案】3【解析】∵复数()()i 12i z =+- ∴2i i i 2i 23z =-+-=+ ∴复数的实部为3. 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．14．【2020年高考江苏】已知22451(,)x y y x y +=∈R ，则22x y +的最小值是 ▲ ．【答案】45【解析】∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴42222221144+5555y y x y y y y -+=+=≥=，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy+的最小值为45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).15．【2020年高考江苏】如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.【答案】3-【解析】由于20x >，所以12y x =+=-，解得3x =-. 故答案为：3-【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题.16．【2020年高考天津】i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 【答案】3i 2-【解析】()()()()828151032222i i i ii i i i 5----===-++-. 故答案为：3i 2-.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题. 17．【2020年高考天津】已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++842a b a b +=+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得22a b ==+，或22a b =+=. 故答案为：4【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.1．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考】设z =，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】1i 21z ===++， ∴在复平面内z对应的点的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭，位于第一象限． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．【辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三6月模拟考试数学】复数()311i iz =--(i 是虚数单位)，则z的共轭复数为 A ．2i -+ B ．2i --C ．23i -+D ．2i +【答案】A【解析】∵()()()()32211i 1i 1ii 21i 2i i i iiz =--=---=--+=--， ∴2i z =-+. 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的四则运算和共轭复数，考查运算求解能力，是基础题.3．【山东省日照五莲县丶潍坊安丘市、潍坊诸城市、临沂兰山区2020届高三6月模拟数学试题】若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z = A ．1- B ．1C ．3455i -+ D ．3455-i 【答案】C【解析】依题意可得22i z =--，所以122i (2i)(2i)34i 2i 555z z ---+===-+--， 故选：C ．【点睛】本题考查了复数的几何意义和复数的乘除法运算，属于基础题.4．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】在复平面内，若复数342i 2iz =++所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第四象限D ．虚轴【答案】C【解析】因为3422=4i i iz =++-,所以在复平面上，复数z 表示的点是()41-，,在第四象限， 故选C ．【点睛】本题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题.5．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】设i 为虚数单位，复数2(i 1)8i 1z -+=+的实部为 A ．5 B ．5-C ．3-D ．3【答案】D【解析】()2i 12i -=-，()()()()82i i 182i 610i35i i 1i 1i 12z ----====-++-，实部为3， 故选：D ．【点睛】本题考查复数的概念和复数的运算，属于基础题.6．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】已知复数2i (2)z =+，则z 的虚部为A ．3B ．3iC ．4D ．4i【答案】C【解析】2(2i)34i z =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题.7．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】设i 是虚数单位，若复数z 满足()i i 11z -=+，则其共轭复数z = A ．i B ．i -C ．1i -+D ．1i --【答案】A【解析】()()()21i 1i2i i i 1i 1i 21z ++===--+=--，所以i z =， 故选：A ．【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于基础题目.8．【河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学】已知复数2(1i)i(1i)z +=-，则下列结论正确的是A ．z 的虚部为iB ．2z =C ．z 的共轭复数1i z =-+D ．2z 为纯虚数【答案】D【解析】()()()222i 1i (1i)12i i 2i 22i====1i i(1i)i+11i 1i 1i 2z -++++==+-++-,z 的虚部为1,z =1i z =-,()22i 12i =z +=.故选:D ．【点睛】本题考查复数的乘除运算,考查复数的概念,难度容易.9．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】已知复数1023i iz =-+(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数是 A ．33i -- B ．33i +C ．1513i 44-- D ．1513i 44+ 【答案】B 【解析】1010(3i)10(3i)2i 2i 2i 3i 2i 33i 3i (3i)(3i)10z --=-=-=-=--=-++-， 33i z ∴=+.故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，还考查了求共轭复数，属于基础题.10．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】已知复数z 满足i 4zi=-(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为 A ．4i B ．4C ．1D ．1-【答案】B 【解析】由i 4iz=-，得2i(4i)4i i 14i z =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】复数23i32iz -=+，则z z ⋅= A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】C【解析】(23i)(32i)13ii (32i)(32i)13z ---===-+-，i z ∴=，∴1z z ⋅=.故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题. 12．【河南省名校联盟2020届高三5月质量检测数学】已知复数z 2ia=+-1(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则实数a = A ．52B ．52-C ．0D ．2【答案】B【解析】∵z ()()()2i 2511i 2i 2i 2i 55a a a a ++=+=+=+--+为纯虚数，∴250505a a +⎧=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得a 52=-. 故选B ．【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.13．【广东省深圳外国语学校2020届高三下学期4月综合能力测试数学】已知集合{}2230A x x x =--≥，202x B x x ⎧⎫+=∈≤⎨⎬-⎩⎭Z ，则A B =A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．{}2,1--D ．{}1,2-【答案】C 【解析】{}{22301A x x x x x =--≥=≤-或}3x ≥，{}{}20222,1,0,12x B x Z x Z x x ⎧⎫+=∈≤=∈-≤<=--⎨⎬-⎩⎭，因此，{}2,1A B =--.故选：C ．【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式与分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.14．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】若1,01a c b ><<<，则下列不等式不正确的是A ．20192019log log a b >B ．log log c b a a >C ．()()cbc b a c b a ->-D ．()()cba c a a c a ->-【答案】D【解析】因为1,01a c b ><<<，所以0a c ->，考查指数函数(1)xy a a =>，所以()()c b c ba a a c a a c a ⇔<-<-，所以D 不正确.【点睛】本题考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，求解时注意利用分析法判断不等式的正确性.15．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是 A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】C【解析】由题意知，甲和丙的说法矛盾，因此两人中有一人判断正确，故乙和丁都判断错误，乙获奖，丙判断正确. 故选C ．【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.16．【2020届河南省商丘周口市部分学校联考高三5月质量检测数学】宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长六尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，何日竹逾松长？”如图是解决此问题的一个程序框图，其中a 为松长、b 为竹长，则矩形框与菱形框处应依次填A ．2a a a =+；a b <B ．2aa a =+；a b < C ．2a a a =+；a b ≥ D ．2aa a =+；a b > 【答案】B【解析】松日自半，则表示松每日增加原来长度的一半，即矩形框应填2aa a =+；何日竹逾松长，则表示竹长超过松长，即松长小于竹长，即菱形框应填ab <. 故选：B【点睛】本小题主要考查补全程序框图，属于基础题.17．【河北省正定中学2019-2020学年高三下学期第四次阶段质量检测数学】圆224610x y x y ++-+=关于直线()800,0ax by a b -+=>>对称，则32a b+的最小值是A ．B ．3C ．154D【答案】B【解析】根据圆的方程可知，圆心坐标为()2,3C -，而直线经过圆心，所以2380a b --+=， 得238a b +=，因为0,0a b >>，所以()3213214312312+388289b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯+≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B ．【点睛】本题考查圆的对称性，基本不等式的应用，关键在于巧妙地运用“1”，构造基本不等式，属于中档题.18．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考(三诊)数学】2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么A．国防大学，博士B．国防科技大学，硕士C．国防大学，学士D．军事科学院，学士【答案】A【解析】由①③可知，丙是军事科学院的.进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学.所以甲来自国防大学，学位是博士.故选A．【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题.19．【广西南宁市第三中学2020届高三适应性月考卷】运行如图所示的程序算法，则输出的结果为A．2B．12C．13D．132【答案】A【解析】当2a =时， 1k =；当132a =时，3k =； 当132132a ==时，5k =；…；当132a =时，99k =，当2a =时，101k =，跳出循环； 故选:A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序发现a 值出现的周期性的变化是解题的关键，属于基础题.20．【广西来宾市2019-2020学年高三5月教学质量诊断性联合考试数学】设实数,x y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为 A ．13B ．15C ．13-D ．12-【答案】B【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 目标函数11y z x +=+表示平面区域内的点(,)x y 与(1,1)D --连线的斜率， 则11y z x +=+的最小值为()()011415CDk --==--.故选：B 【点睛】本题考查线性规划问题中分式型目标函数求最值问题，属于简单题.21．【河北省衡水中学2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图所示的程序框图，输出的结果是A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】1i =，12n =， 第一次循环： 8n =，2i =， 第二次循环：31n =，3i =， 第三次循环：123n =，4i =， 第四次循环：119n =，5i =，第五次循环：475n =，6i =，停止循环， 输出6i =. 故选B ．【点睛】本题考查了循环结构流程图和条件结构流程图，属于基础题.22．【广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研数学】执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得k ＝0.4，S ＝0，n ＝1， S 11133==⨯， 不满足条件S ＞0.4，执行循环体，n ＝2，S 11113352=+=⨯⨯(1111335-+-)25=， 不满足条件S ＞0.4，执行循环体，n ＝3，S 11111335572=++=⨯⨯⨯(11111133557-+-+-)37=， 此时，满足条件S ＞0.4，退出循环，输出n 的值为3. 故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.23．【2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学】下列程序框图的算法思想源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入16a =，10b =，则程序中需要做减法的次数为A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C【解析】由16a =，10b =，满足a b ，满足a b >，则16106a =-=；满足a b ，不满足a b >，则1064b =-=； 满足a b ，满足a b >，则642a =-=； 满足a b ，不满足a b >，则422b =-=； 不满足ab ，则输出2a =；则程序中需要做减法的次数为4， 故选：C ．【点睛】本题主要考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．24．【甘肃省西北师大附中2020届高三5月模拟试卷】“辗转相除法”是欧几里得《原本》中记录的一个算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫欧几里得算法．如图所示是一个当型循环结构的“辗转相除法”程序框图．当输入2020m =，303n =时，则输出的m 是A ．2B ．6C ．101D ．202【答案】C【解析】输入2020m =，303n =，又1r =． ①10r =>，202r =，303m =，202n =； ②2020r =>，3032021101÷=，101r =，202m =，101n ；③1010r =>，0r =，101m =，0n =；④0r =，则0r >否，输出101m =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图和计算程序框图的输出值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 25．【重庆市第一中学2019-2020学年高三下学期期中数学】冰雹猜想也称奇偶归一猜想：对给定的正整数进行一系列变换，则正整数会被螺旋式吸入黑洞(4，2，1)，最终都会归入“4-2-1”的模式.该结论至今既没被证明，也没被证伪. 下边程序框图示意了冰雹猜想的变换规则，则输出的i =A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】由题意，第一次循环，12S Z ∉，35116S =⨯+=，011i =+=，1S ≠； 第二次循环，12S Z ∈，11682S =⨯=，112i =+=，1S ≠； 第三次循环，12S Z ∈，1842S =⨯=，213i =+=，1S ≠；第四次循环，12S Z ∈，1422S =⨯=，314i =+=，1S ≠；第五次循环，12S Z ∈，1212S =⨯=，415i =+=，1S =；此时输出5i =. 故选：B【点睛】本题考查循环结构程序框架图的应用，属于基础题.26．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期线上期中数学】若某程序框图如图所示，则输出的S 的值是A ．31B ．63C ．127D ．255【答案】C【解析】第一次运行，1i =，0S =，8i <成立，则2011S =⨯+=，112i =+=； 第二次运行，2i =，1S =，8i <成立，则2113S =⨯+=，213i =+=； 第三次运行，3i =，3S =，8i <成立，则2317S =⨯+=，314i =+=； 第四次运行，4i =，7=S ，8i <成立，则27115S =⨯+=，415i =+=； 第五次运行，5i =，15S =，8i <成立，则215131S =⨯+=，516i =+=； 第六次运行，6i =，31S =，8i <成立，则231163S =⨯+=，617i =+=； 第七次运行，7i =，63S =，8i <成立，则2631127S =⨯+=，718i =+=； 第八次运行，8i =，127S =，8i <不成立， 所以输出S 的值为127. 故选：C ．【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时，一定要注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时，一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.27．【重庆市南开中学2019-2020学年高三下学期第六次教学质量检测数学】数独起源于18世纪初瑞士数学家欧拉等人研究的一种拉丁方阵，是一种运用纸、笔进行演算的数学逻辑游戏.如图就是一个迷你数独，玩家需要根据66⨯盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(32⨯)内的数字均含16-，每一行，每一列以及每一个粗线宫都没有重复的数字出现，则图中的a b c d +++=A ．11B ．13C ．15D ．17【答案】D【解析】由题意，如图，从第二列出发，由于每行每列都有1—6，所以第4行第2列为2，第4行第6列为5，所以4610b d +=+=，第2行第3列为6，第5行第3列为4，第5行第5列为6，第3行第5列为4，第3行第1列为5，所以167a c +=+=， 所以a b c d +++=17. 故选：D【点睛】本题考查推理与证明中的合情推理，考查学生分析，观察，判断等能力，是一道容易题.28．【河北省衡水中学2020届高三下学期(5月)第三次联合考试数学】要使得满足约束条件42y xy x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为 A ．4x y +≤ B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +【答案】C【解析】根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C ．【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题. 29．【2020届华大新高考联盟高三4月教学质量测评数学】执行如图所示的程序框图，设输出数据构成集合A ，从集合A 中任取一个元素m ，则事件“函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数”的概率为A ．14B ．12C ．34D ．35【答案】C【解析】当20x y =-⇒=； 当2111x y =-+=-⇒=-； 当1100x y =-+=⇒=； 当0113x y =+=⇒=； 当1128x y =+=⇒=； 当213x =+=，退出循环. 所以{}0,1,3,8A =-，又函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数，所以002mm -≤⇒≥. 函数()2f x x mx =+在[)0,+∞上是增函数的概率为34. 故选：C ．【点睛】本题主要考查了当型循环结构，以及与集合和古典概型相结合等问题，属于基础题． 30．【江西省景德镇市2019-2020学年高三第三次质检数学】科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是( )(取lg30.4771≈，lg 20.3010≈)A ．16B ．17C ．24D ．25【答案】B【解析】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ， 由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.。

专题十三推理与证明挖命题【真题典例】【考情探究】分析解读 1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳—猜想—证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为5分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.破考点【考点集训】考点一合情推理与演绎推理1.(2018山东淄博一模,6)有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点,因为f(x)=x3在x=0处的导数值为0,所以x=0是f(x)=x3的极值点,以上推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确答案A2.(2018山西高考考前适应性测试,7)完成下列表格,据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是( )多面体顶点数V面数F棱数E各面内角和的总和三棱锥46四棱锥55五棱锥6(说明:上述表格内,顶点数V指多面体的顶点数)A.2(V-2)πB.(F-2)πC.(E-2)πD.(V+F-4)π答案A3.(2017山西太原三模,4)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+中“…”代表无数次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+=x求得x=.类比上述过程,…=( )A.3B.C.6D.2答案A考点二直接证明与间接证明1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a<b<c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3c2,则证明的依据应是( )A.c-b>0B.c-a>0C.(c-b)(c-a)>0D.(c-b)(c-a)<0答案C2.(2018吉林梅河口第五中学第三次月考,5)①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q>2;②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于,用反证法证明时可假设|f(1)|≥,且|f(2)|≥,以下说法正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确答案C考点三数学归纳法(2018山东邹城第一中学期中,9)用数学归纳法证明:“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N*)”时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增加的代数式是( )A.2k+1B.C. D.2(2k+1)答案D炼技法【方法集训】方法归纳推理与类比推理的应用1.(2017陕西渭南一模,4)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n},那么a10的值为( )A.45B.55C.65D.66答案B2.(2018湖南模拟,8)天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,……,以此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立80年时为年( )A.丙酉B.戊申C.己申D.己酉答案D3.已知数列{a n}为等差数列,若a m=a,a n=b(n-m≥1,m,n∈N*),则a m+n=-.类比等差数列{a n}的上述结-论,对于等比数列{b n}(b n>0,n∈N*),若b m=c,b n=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到b m+n= .答案-过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2016课标Ⅱ,15,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说:“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是.答案1和32.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案AB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B2.(2015山东,11,5分)观察下列各式:=40;+=41;++=42;+++=43;……照此规律,当n∈N*时,-+-+-+…+--= .答案4n-1考点二直接证明与间接证明1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案A2.(2018江苏,19,16分)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.解析本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f'(x)=1,g'(x)=2x+2,由f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),得-此方程组无解.因此,f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f'(x)=2ax,g'(x)=,设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),得-即-(*)得ln x0=-,即x0=-,则a=-=.当a=时,x0=-满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此,a的值为.(3)f'(x)=-2x,g'(x)=-,x≠0,f'(x0)=g'(x0)⇒b=-->0⇒x0∈(0,1),f(x0)=g(x0)⇒-+a==--⇒a=--,令h(x)=x2---a=--,x∈(0,1),a>0,设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,∴m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点.因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中先利用f'(x0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=-,从而转化为研究-h(x)=--,x∈(0,1),a>0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,由m(0)<0,m(1)>0,可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.C组教师专用题组考点一合情推理与演绎推理1.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人答案B2.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案①Q1②p23.(2015福建,15,5分)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.答案54.(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=2考点二直接证明与间接证明1.(2018北京,20,14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)].(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.解析(1)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2,M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.(2)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B⊆{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.(3)设S k={(x1,x2,…,x n)|(x1,x2,…,x n)∈A,x k=1,x1=x2=…=x k-1=0}(k=1,2,…,n), S n+1={(x1,x2,…,x n)|x1=x2=…=x n=0},所以A=S1∪S2∪…∪S n+1.对于S k(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.所以S k(k=1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=(x1,x2,…,x n)∈S k且x k+1=…=x n=0(k=1,2,…,n-1).令B={e1,e2,…,e n-1}∪S n∪S n+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.2.(2017浙江,22,15分)已知数列{x n}满足:x1=1,x n=x n+1+ln(1+x n+1)(n∈N*).证明:当n∈N*时,(1)0<x n+1<x n;(2)2x n+1-x n≤;(3)-≤x n≤-.证明(1)用数学归纳法证明:x n>0.当n=1时,x1=1>0.假设n=k时,x k>0,那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k=x k+1+ln(1+x k+1)≤0,矛盾,故x k+1>0.因此x n>0(n∈N*).所以x n=x n+1+ln(1+x n+1)>x n+1.因此0<x n+1<x n(n∈N*).(2)由x n=x n+1+ln(1+x n+1)得,x n x n+1-4x n+1+2x n=-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1).记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),f'(x)=+ln(1+x)>0(x>0).函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1)=f(x n+1)≥0,故2x n+1-x n≤(n∈N*).(3)因为x n=x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n≥-.由≥2x n+1-x n得-≥2->0,所以-≥2--≥…≥2n-1-=2n-2,故x n≤-.综上,-≤x n≤-(n∈N*).方法总结 1.证明数列单调性的方法.①差比法:作差a n+1-a n,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号.②商比法:作商,判断与1的大小,同时注意a n的正负.③数学归纳法.④反证法:例如求证:n∈N*,a n+1<a n,可反设存在k∈N*,有a k+1≥a k,从而导出矛盾.2.证明数列的有界性的方法.①构造法:构造函数,求函数的值域,得数列有界.②反证法.③数学归纳法.3.数列放缩的方法.①裂项法:利用不等式性质,把数列的第k项分裂成某数列的相邻两项差的形式,再求和,达到放缩的目的.②累加法:先把a n+1-a n进行放缩.例:a n+1-a n≤q n,则有n≥2时,a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)≤a1+q+q2+…+q n-1.③累乘法:先把进行放缩.例:≤q(q>0),则有n≥2时,a n=a1···…·≤a1q n-1(其中a1>0).-④放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列{a n}放缩成等比数列{b n},求和后,再进行适当放缩.3.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n 对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.证明本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.方法总结数列新定义型创新题的一般解题思路:1.阅读审清“新定义”;2.结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义”的相关知识;3.利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论.考点三数学归纳法1.(2015江苏,23,10分)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n}(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或b 整除a,a∈X,b∈Y n}.令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解析(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n)=-------(t∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+-+-+3=(k+1)+2++,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+-+-+2=(k+1)+2++,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2++-+2=(k+1)+2++,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+-++2=(k+1)+2++,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2++-+1=(k+1)+2++,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.2.(2014重庆,22,12分)设a1=1,a n+1=-+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{a n}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a2=2,a3=+1.由题设条件知(a n+1-1)2=(a n-1)2+1,从而{(a n-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n-1)2=n-1,即a n=-+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=+1,可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜想a n=-+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即a k=-+1,则a k+1=-+1=-+1=+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以a n=-+1(n∈N*).(2)解法一:设f(x)=--1,则a n+1=f(a n).令c=f(c),即c=--1,解得c=.下面用数学归纳法证明命题a2n<c<a2n+1<1.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2<<a3<1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.解法二:设f(x)=--1,则a n+1=f(a n).先证:0≤a n≤1(n∈N*).①当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0≤a k≤1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而0=f(1)≤f(a k)≤f(0)=-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立.再证:a2n<a2n+1(n∈N*).②当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2<a3,即n=1时②成立.假设n=k时,结论成立,即a2k<a2k+1.由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)<f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n∈N*成立.由②得a2n<--1,即(a2n+1)2<-2a2n+2,因此a2n<.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2,所以a2n+1>--1,解得a2n+1>.④综上,由②、③、④知存在c=使a2n<c<a2n+1对一切n∈N*成立.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019届山东日照一中高三第二次质量达标检测,6)由①安梦怡是高三(21)班的学生,②安梦怡是独生子女,③高三(21)班的学生都是独生子女.写一个“三段论”形式的推理,则大前提,小前提和结论分别为( )A.②①③B.③①②C.①②③D.②③①答案B2.(2019届安徽六校教育研究会高三第一次素质测试,8)如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点,第2个图形由正方形扩展而成,共20个顶点,……,第n个图形是由正n+2边形扩展而成,n∈N*,则第n个图形的顶点个数是( )A.(2n+1)(2n+2)B.3(2n+2)C.2n(5n+1)D.(n+2)(n+3)答案D3.(2019届江西九江高三第一次十校联考,11)请观察下列数的排列规律,数字1的位置在第一行第一列,表示为(1,1),数字14的位置在第四行第三列,表示为(4,3),根据特点推算出数字2019的位置为( )A.(45,44)B.(45,43)C.(45,42)D.该数不会出现答案C4.(2018山西孝义模拟,7)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛,今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名,甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜2号,3号,4号都不可能;丁猜是1号,2号,4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对,则猜对者是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案C5.(2017江西南昌调研,11)设等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,前n项之积为T n,并且满足条件:a1>1,a2016a2017>1,-<0,下列结论中正确的是( )-A.q<0B.a2016a2018-1>0C.T2016是数列{T n}中的最大项D.S2016>S2017答案C二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019届湖北重点高中联考协作体高三期中考试,16)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设a ij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2 018,则i+j= .答案817.(2018河北衡水中学第十次模拟考试,16)观察下列各式:13=1;23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……若m3(m∈N*)按上述规律展开后,发现等式右边含有“2017”这个数,则m的值为.答案458.(2017湖北襄阳优质高中联考,15)将三项式(x2+x+1)n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式: (x2+x+1)0=1,(x2+x+1)1=x2+x+1,(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1,(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1,……观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数记为0)的和,第k行共有2k+1个数,若(x2+x+1)5(1+ax)的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为.答案1++是奇函数, 9.(2018河南豫南九校第六次质量考评,15)已知函数f(x)=++,由f(x-1)=-可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g(x)=++…+的图象关于点对称.答案-。

2020 年高考数学（理）总复习：算法、复数、推理与证明题型一复数的观点与运算【题型重点】复数问题的解题思路(1)以复数的基本观点、几何意义、相等的条件为基础，联合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其余知识联合考察，则要借助其余的有关知识解决问题．【例 1】设有下边四个命题()1p1：若复数 z 知足z∈R，则 z∈R；p2：若复数 z 知足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1，z2知足 z1z2∈R，则 z1＝Z2；p4：若复数 z∈R，则 z ∈R.此中的真命题为()A ． p1， p3 B． p1， p4C．p2， p3 D． p2， p4【分析】令 z＝a＋ bi(a， b∈R)，则由1＝ 1 ＝a2－bi2∈R得b＝0，所以z∈R，故z a＋ bi a ＋ bp1正确；当 z＝ i 时，因为 z2＝ i 2＝－ 1∈R，而 z＝ i? R知，故 p2不正确；当z1＝ z2＝ i 时，知足 z1·z2＝－ 1∈R，但 z1≠Z2，知 p3不正确；对于 p4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它自己，也属于实数，故p4正确，应选 B.【答案】 B【例 2】． i 是虚数单位，复数4＋ 2i－ (1－ i) 2－ 4i ＝ ()1－ 2iA ． 0B ． 2C ．－ 4iD ． 4i【分析】4＋2i－ (1－ i) 2－4i ＝4＋2i1＋2i － (1－ 2i － 1)－ 4i ＝2i ＋ 2i － 4i ＝ 0，所以选1－ 2i1－ 2i 1＋ 2iA.【答案】A【例 3】．已知 a ∈ R ，若 a ＋ 2i是纯虚数，则在复平面内，复数z ＝ ai ＋ i 2018 所对应的点4－ i位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】依题意，a ＋ 2i a ＋ 2i 4＋ i 4a － 2＋ a ＋8 i4a － 2＝ 0 1 ＝ ＝ ，故a ＋ 8≠0，解得 a ＝ .4－ i4－ i 4＋ i172故 z ＝ ai ＋i2018＝12i － 1 在复平面内所对应的点为1, 1，位于第二象限，应选 B.2【答案】 B题组训练一复数的观点与运算1．已知 a ∈ R ， i 是虚数单位．若 a － i与 3i － 5i 互为共轭复数，则a ＝ ()2＋i 2－ i11A. 3 B ．－ 3 C ．－ 3D ． 3a － i a － i 2－ i 2a － 1 － a ＋ 2 i 2a － 1 a ＋ 2 5i ＝ 3i【分析】 2＋ i ＝5 ＝ 5 ＝ 5 － 5 i,3i － 2－ i － 5i 2＋ i － 5＋ 10i a － i 5i 2a － 1 a ＋ 2＝3i 与3i ＝－1，解得 a＝ 3.应选 D.【答案】 D2．已知复数 z 的共轭复数为z 在复平面内对应的点z ＝1＋ 3i(i 为虚数单位 )，则复数1＋i位于()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵ z ＝ 1＋3i(i 为虚数单位 )，∴ z＝ 1－ 3i.则复数z ＝ 1－ 3i＝ 1－ 3i 1－ i ＝－ 2－ 4i＝－ 1－ 2i1 ＋ i 1＋ i 1＋ i 1－ i 2在复平面内对应的点(－ 1，－ 2)位于第三象限．应选 C. 【答案】 C3．“z＝ 1 －1 π(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的 ________条件sin θ＋ cos θ·i 2 6()A ．充足不用要B．必需不充足C．充要D．既不充足也不用要【分析】z＝ 1 －1＝ sin θ－1－ icos θ(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．sin θ＋ cos θ·i 2 2则 sin θ－1＝ 0， cos θ≠0，2ππ解得：θ＝ 2kπ＋或θ＝ 2kπ＋π－ (k∈Z )．6 6∴ z＝ 1π－1(此中 i 是虚数单位 )是纯虚数．”是“θ＝＋ 2kπ”的必需不充足条sin θ＋ cos θ·i 2 6 件．应选 B.【答案】 B题型二程序框图【题型重点】解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构，按指向履行直至结束．(2)关注输出的是哪个量，何时结束．(3)解答循环结构问题时，要写出每一次的结果，防备运转程序不完全，同时注意划分计算变量与循环变量．【例 4】履行以下图的程序框图，输出的n 为 ()A ． 1 B． 2C．3 D． 4【分析】当 n＝ 1 时， f(x)＝ 1，知足 f(x)＝ f(－x)，不知足 f(x)＝ 0 有解，故 n＝ 2；当 n ＝2时， f(x)＝2x，不知足 f(x)＝ f(－ x)，故 n＝ 3；当 n＝3 时， f(x) ＝3x2，知足 f(x) ＝f(－ x)，知足 f( x)＝ 0 有解，故输出的n 为 3，应选 C.【答案】 C1＋1＋1＋＋1的值的一个框图，此中菱形判断框内应填【例 5】．如图给出的是计算2 4 620入的条件是 ()A ． i ＞8B． i＞ 9 C．i ＞10D． i＞ 11【分析】经过第一次循环获取S＝1， i ＝ 2，此时的i 应当不知足判断框中的条件21 1经过第二次循环获取S＝＋， i ＝ 3，此时的i 应当不知足判断框中的条件11 1经过第三次循环获取S＝＋＋， i＝ 4，此时的i 应当不知足判断框中的条件经过第十次循环获取S＝12＋14＋16＋＋201，i＝ 11，此时的 i 应当知足判断框中的条件，履行输出故判断框中的条件是i ＞ 10，应选 C.【答案】 C题组训练二程序框图1．以下程序框图输出的 a 的值为 ()A ． 5 B． 0C．－ 5 D． 10【答案】 A2．履行以下图的程序框图，假如输入的x＝ 0，y＝ 1，n＝1，则输出 x，y 的值知足 ()A ． y＝ 2x B． y＝ 3xC．y＝ 4x D． y＝ 5x【分析】输入 x＝ 0， y＝1， n＝ 1，运转第一次，x＝0， y＝ 1，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第二次，x＝12， y＝ 2，不知足x2＋ y2≥ 36；运转第三次，x＝3， y＝ 6，知足 x2＋ y2≥ 36，2输出 x＝3， y＝ 6. 2因为点3,6在直线y＝4x上，应选C. 2【答案】 C题型三推理与证明【题型重点】合情推理的解题思路(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们适合变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象的性质，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．【例 6】我国古代数学著作《九章算术》有以下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第 1 关收税金1，第 2 关收税金为节余2的1，第 3 关收税金为节余的1，第 4 关收税金为节余的1，第 5 关收税金为节余的1，5 关所3 4 5 6收税金之和，恰巧重 1 斤，问本来持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰巧重1 斤，问原本持金多少？”改成“假定这个人本来持金为x，按此规律经过第8 关”，则第 8 关所收税金为____________x.1 1 1 x x【分析】第1 关收税金：2x；第 2 关收税金：3 1 2 x＝6＝2×3；第 3 关收税金：11 1 x ＝x ；412 6x＝12 3×4第 8 关收税金：x＝x. 8×9 721【答案】72【例 7】．已知点A(x1， ax1)、 B( x2， ax2)是函数y＝ a x(a＞ 1)的图象上随意不一样两点，依ax 1＋ ax 2x 1 ＋x 2据图象可知，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图象的上方， 所以有结论＞ a22建立．运用类比思想方法可知，若点A(x 1， sin x 1 )、 B(x 2， sin x 2)是函数 y ＝ sin x[ x ∈(0 ，π )] 图象上的不一样两点，则近似地有 ________建立．xx【分析】 由题意知， 点 A 、B 是函数 y ＝ a (a ＞ 1)的图象上随意不一样两点， 函数 y ＝ a (a ＞1) 图象下凸，线段 AB 老是位于A 、B 两点之间函数图象的上方，所以有结论ax 1＋ ax 2＞2x 1 ＋ x 2a 建立；而函数 y ＝ sin x(x ∈ (0，π))图象上凸，线段 AB 老是位于 A 、B 两点之间函数图 2象的下方，所以可类比获取结论sin x 1＋ sin x 2 ＜ sin x 1＋ x 2. 2 2【答案】sin x 1＋ sin x 2x 1＋ x 22＜ sin2题组训练三 推理与证明1．“已知对于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，解对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋ a>0. ” 给出以下的一种解法：【解】 由 ax 2＋ bx ＋ c>0 的解集为 (1,2)，得 a1x2＋b1＋ c>0 的解集为1,1 ，即x2对于 x 的不等式 cx 2＋ bx ＋a>0 的解集为1,1 .2类比上述解法：若对于x 的不等式 b ＋ x ＋ b1,1∪1,1 ，则对于<0 的解集为x ＋a x ＋ c32bx － bx 的不等式－>0 的解集为 ______________________ ．x － a x － c【分析】依据题意，由 b＋ x ＋ b1,1 1 ，<0 的解集为∪,1x ＋a x ＋ c32得 b ＋ － x ＋ b1,11,1 ，－x ＋ c <0 的解集为∪－ x ＋ a23即 b － x － b1, 11,1 .x － a x －c>0的解集为2 ∪ 3【答案】1,1∪1,1232．学校艺术节对同一类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品展望以下：甲说： “是 C 或 D 作品获取一等奖”；乙说： “B 作品获取一等奖”；丙说： “A，D 两项作品未获取一等奖”；丁说： “是 C 作品获取一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是________．【分析】若 A 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不知足题意，若 B 为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故知足题意，若 C 为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不知足题意，若 D 为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获取一等奖的作品是B.【答案】B题型四 复数代数运算的转变方法【题型重点】(1) 求解复数问题：就是利用复数相等转变为实数问题，此中解法一、二、三用了整体思想，即 x ＋yi 是一个数．(2)解法三是技巧，利用了模的性质：Z 1 Z 1 |z 1·z 2|＝ |z 1| |z ·2|，.Z 2Z 2【例 8】若 i(x ＋ yi) ＝3＋ 4i ， x ， y ∈R ，则复数 x ＋ yi 的模是 ()A ． 2 B． 3 C．4 D． 5 【分析】法一：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 x＋yi ＝3＋4i＝3＋4i －i＝ 4－ 3i，i i － i故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5.法二：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以 (－ i)i( x＋ yi) ＝ (－ i) (3·＋ 4i)＝ 4－ 3i，即 x＋ yi ＝ 4－3i ，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝42＋－3 2＝5. 法三：∵ i( x＋ yi) ＝ 3＋ 4i∴ |i(x＋ yi)| ＝ |3＋4i|∴ |i||x＋ yi|＝ 5，∴ |x＋ yi|＝ 5.法四：因为 i(x＋ yi) ＝ 3＋ 4i，所以－ y＋ xi ＝3＋ 4i，所以 x＝4， y＝－ 3，故 |x＋ yi|＝ |4－ 3i|＝ 42＋－ 3 2＝ 5.【答案】 D题组训练四复数代数运算的转变方法已知 i 是虚数单位，则7＋i＝ ________. 3＋ 4i【分析】7＋ i ＝ 7＋i 3－ 4i ＝ 25－ 25i＝1－i，填1－i.3＋ 4i 25 25【答案】1－ i【专题训练】一、选择题1．设 a， b 是两个实数，给出以下条件：①a＋ b>1；② a＋b＝ 2；③ a＋ b>2；④ a2＋ b2>2；⑤ ab>1.此中能推出：“a，b中起码有一个大于1”的条件是 ()A ．②③B．①②③C．③D．③④⑤【分析】若 a＝1， b＝2，则 a＋b>1 ，但 a<1， b<1，故①推不出；2 3若 a＝b＝ 1，则 a＋ b＝ 2，故②推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 a2＋b2 >2，故④推不出；若 a＝－ 2， b＝－ 3，则 ab>1，故⑤推不出；对于③，即 a＋b>2，则 a， b 中起码有一个大于 1，反证法：假定a≤1且 b≤1，则 a＋ b≤2与 a＋ b>2 矛盾，所以假定不建立，a， b 中起码有一个大于 1.【答案】 C2．若复数z＝1－3i(i 为虚数单位 )，则 |z＋ 1|＝() 1＋ iA ． 3 B． 2 C. 2 D. 5【分析】z＝ 1－3i ＝ 1－ 3i 1－i＝－ 1－2i1＋ i 1＋ i 1－ i 所以 |z＋ 1|＝ 2，应选 B.【答案】 B1，则 z－ |z|对应的点所在的象限为 ()3．已知复数 z＝1－iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】∵复数 z＝ 1 ＝1＋ i 1＋1 i ，＝1－ i 1－ i 1＋ i 2 22 2 2＋1 i ，∴ z－ |z|＝1＋1i － 1 1 ＝ 1－2 2 2 2 2 2其对应的点 1 2 , 1 所在的象限为第二象限．应选B.2 2【答案】 B4．复数 z＝m－2i( m∈R， i 为虚数单位 )在复平面上对应的点不行能位于() 1＋ 2iA ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由已知 z＝m－2i＝m－2i1－2i ＝1[(m－ 4)－ 2(m＋1)i] 在复平面对应点假如1＋ 2i 1＋2i 1－ 2i 5在第一象限，则m－ 4＞ 0，而此不等式组无解，即在复平面上对应的点不行能位于第一象m＋ 1＜ 0，限．应选 A.【答案】 A5．履行以下图的程序框图，若输入m＝ 1， n＝3，输出的 x＝ 1.75 ，则空白判断框内应填的条件为 ( )A ． |m－ n|＜ 1B． |m－ n|＜C．|m－ n|＜D． |m－ n|＜【分析】当第一次履行， x ＝ 2,2 2－3>0， n ＝ 2，返回，第二次履行 3 3 2－3<0 ，x ＝ ， ()22m ＝ 3，返回，第三次， x ＝3＋ 4＝，(7)2－ 3>0，n ＝ 7，要输出 x ，故知足判断框，此时 m2444－n ＝ 3－ 7＝－ 1，应选 B.244 【答案】B6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生认识考试状况，四名学生回答以下：甲说：“我们四人都没考好 ”；乙说： “我们四人中有人考得好 ”；丙说： “乙和丁起码有一人没考好 ”；丁说： “我没考好 ”．结果，四名学生中有两 人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙【分析】 假如甲对， 则丙、丁都对， 与题意不符， 故甲错， 乙对； 假如丙错， 则丁错， 所以只好是丙对，丁错，应选D.【答案】D7.定义：若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对应函数的值域与 f(x)的值域同样，则称变换 T 是 f(x)的 “同值变换 ”．下边给出四个函数及其对应的变换 T ，此中不属于 f(x)的 “同值变换 ”的是 ()A ． f(x)＝ (x － 1)2， T ：将函数 f(x)的图象对于 y 轴对称B ．f(x)＝ 2x ＋ 3， T ：将函数 f(x)的图象对于点 ( －1,1)对称C ．f(x)＝ 2x －1－ 1，T ：将函数 f(x)的图象对于 x 轴对称D ． f(x)＝ sin x， T ：将函数 f(x)的图象对于点 (－ 1,0)对称3【分析】A ． f(x)＝ (x － 1)2 对于 y 轴对称的函数是 y ＝ (x ＋ 1)2，值域 (0，＋ ∞)同样；B ．f(x)＝ 2x ＋ 3 对于点 (－ 1,1)对称的函数为 f(x)＝ 2x ＋3，值域 R 同样；C ．f(x)＝ 2x －1－ 1＞－ 1，对于 x 轴对称的函数是 y ＝－ 2x － 1＋ 1＜1，值域不一样；D． f(x)＝ sin x对于(－1,0)对称的函数是y＝－ sin 2 x，值域[－1,1]相3 3同，应选 C.【答案】 C8．履行以下程序框图，若输出i 的值为 3，则输入x 的取值范围是()A ． 0<x<3B． 1<x<3C．1≤x<3D． 1<x≤3【分析】该程序框图履行以下程序：i ＝ 1， x＝ 2x＋ 1； i ＝ 2， x＝ 2(2x＋ 1)＋ 1＝ 4x＋ 3； i ＝ 3， x＝ 2(4x＋ 3)＋ 1 ＝ 8x＋ 7 则由8x＋ 7>15可得 1<x≤3.4x＋ 3≤ 15应选 D.【答案】 D9．“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创办的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动．已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”．规定每一项运动的前三名得分都分别为a， b，c(a＞ b＞ c 且 a，b，c∈N* )，选手最后得分为各项得分之和．已知甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，且乙的马术竞赛获取了第一名，则游泳竞赛的第三名是()A ．甲B．乙C．丙D．乙和丙都有可能【分析】∵甲最后得22 分，乙和丙最后各得9 分，∴5(a＋ b＋c)＝ 22＋ 9＋9? a＋ b＋ c＝ 8即每个项目三个名次总分是8 分．每个项目的三个名次的分值状况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分；对于状况① 5 分、 2 分、 1 分：乙的马术竞赛获取了第一名， 5 分，余下四个项目共得 4 分，只好是四个第三名；余下四个第一名，若甲得三个第一名，15 分，还有两个项目得7 分不行能，故甲一定得四个第一名，一个第二名，余下一个第三名，四个第二名恰巧切合丙得分，由此可得乙和丙都有可能得第三名．对于状况② 4 分、 3 分、 1 分；同上剖析，应选 D.【答案】 D10．以下图将若干个点摆成三角形图案，每条边(包含两个端点)有 n(n＞ 1， n∈N )个点，相应的图案中总的点数记为a n，则9 ＋9＋9＋＋9＝()a2a3a3a4a4a5a2 015a2 0162 012 2 013A.2 013 B.2 0122 014 2 014C.2 015 D.2 013【分析】每条边有 n 个点，所以三条边有3n 个点，三角形的 3 个极点都被重复计算了一次，所以减 3 个极点，即 a ＝ 3n－ 3，那么9 ＝9 ＝ 1 ＝1－1，则9n a n a n＋1 3n－ 3 ×3n n－ 1 n n－ 1 na2 a3 ＋9 ＋9 ＋＋9a3a4 a4a5 a2 015a2 016＝11 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2014 2015＝ 1－ 1 ＝2 014 ，应选 C.2 015 2 015【答案】 C11．以下数表的结构思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字构成，从第 2 行起，第一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为()2 015 2 014A．2 017 ×2 B． 2 017 ×22 015 2 014C．2 016 ×2 D． 2 016 ×2【分析】由题意知数表的每一行都是等差数列，且第 1 行数的公差为1，第 2 行数的公差为 2，第 3 行数的公差为4，，第 2 015行数的公差为22 014，第 1 行的第一个数为 2×2－1，第 2 行的第一个数为 3×20，第 3 行的第一个数为 4×21，第 n 行的第一个数为 (n＋ 1) ×2n－2，【答案】 B二、填空题12．有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上同样的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上同样的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【分析】由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和 2”或“1和 3”，又乙说“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，所以乙只可能为“2和 3”，所以由甲说“我与乙的卡片上同样的数字不是 2”，所以甲只好为“1和 3”．【答案】 1和 3z13．设复数 z 的共轭复数为z ，若 z＝ 1－ i(i 为虚数单位 )，则z＋ z2的虚部为 ________．16【分析】∵ z＝1－ i(i 为虚数单位 )，z 1＋i＋ (1－ i)2＝ 2 － 2i ∴＋ z2＝1＋ iz 1－ i 1－ i 1＋ i＝2i－ 2i＝－ i，故其虚部为－ 1. 2【答案】－ 114．履行以下图所示的程序框图，则S 的值为 ()A．16 B． 32C．64 D． 128【分析】模拟程序的运转，可得i＝ 1， S＝ 1，履行循环体，S＝ 2， i＝ 2，知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 8， i ＝ 4.知足条件 i ≤4，履行循环体，S＝ 128， i ＝8.此时，不知足条件i ≤4，退出循环，输出S 的值为 128.故答案为 D.【答案】 D15． 2016 年夏天大美青海又迎来了旅行热，甲、乙、丙三位旅客被咨询能否去过陆心之海青海湖，海北百里油菜花海，茶卡天空之境三个地方时，甲说：我去过的地方比乙多，但没去过海北百里油菜花海；乙说：我没去过茶卡天空之境；丙说：我们三人去过同一个地方．由此可判断乙去过的地方为____________ ．【分析】由乙说：我没去过茶卡天空之境，则乙可能去过陆心之海青海湖或茶卡天空之境，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过海北百里油菜花海，则乙只好是去过陆心之海青海湖，茶卡天空之境中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一个地方，则由此可判断乙去过的地方为陆心之海青海湖．【答案】陆心之海青海湖16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261 年 )一书中，用以以下图 1 所示的三角形，解说二项和的乘方规律．在欧洲直到1623 年此后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作 (1655 年 )介绍了这个三角形．最近几年来外国也渐渐认可这项成就属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinesetriangle) 如图 1,17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”以以下图 2.在杨辉三角中相邻两行知足关系式：r r＋1 r＋1C n＋C n ＝ C n＋1，此中 n 是行数， r∈N.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行知足的关系式是________．1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1C n0 C n1 C n r C n n－1 C n n图 11 12 21 1 13 6311 1 14 12 12 41 1 1 1 1520 3020 51 1 1 1 1 16 30 60 60 30 6111 1r1110 111n －11nC n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1C n C n ＋1 C n C n ＋1C n图 2【分析】 类比察看得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数11，而相邻两项之C n ＋1和是上一行的二者相拱之数， 所以类比式子 C r n ＋ C n r ＋ 1＝C nr ＋＋11，有 1 1 r＝11 r ＋ 1 1r ＋ 1.C n ＋1C nC n ＋ 2C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1【答案】1＝ 1 1 11r r ＋ 1r ＋1C n ＋1C n C n ＋2 C n ＋ 1 C n ＋ 2C n ＋ 1。

数学《推理与证明》知识点练习一、选择题1．对于实数a ，b ，已知下列条件：①2a b +=；②2a b +>；③2a b +>-；④1ab >；⑤log 0a b <．其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件为（ ） A ．②③④ B ．②③④⑤ C ．①②③⑤ D ．②⑤【答案】D 【解析】 【分析】根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可． 【详解】①当a ＝b ＝1时，满足a +b ＝2，但此时推不出结论，②若a ≤1，b ≤1，则a +b ≤2，与a +b ＞2，矛盾，即a +b ＞2，可以推出，③当a 12=，b 12=时，满足条件a +b ＞﹣2，则不可以推出， ④若a ＝﹣2，b ＝﹣1．满足ab ＞1，但不能推出结论，⑤由log a b ＜0得log a b ＜log a 1，若a ＞1，则0＜b ＜1，若0＜a ＜1，则b ＞1，可以推出结论．故可能推出的有②⑤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．2．我国南宋数学家杨家辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表，我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.( )从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数a ，则a 的值为( )A ．100820182⨯B ．100920182⨯C ．100820202⨯D ．100920202⨯【答案】C 【解析】 【分析】根据每一行的第一个数的变化规律即可得到结果. 【详解】解：第一行第一个数为：0112=⨯； 第二行第一个数为：1422=⨯； 第三行第一个数为：21232=⨯； 第四行第一个数为：33242=⨯；L L ，第n 行第一个数为：1n 2n n a -=⨯；一共有1010行，∴第1010行仅有一个数：10091008a 1010220202=⨯=⨯； 故选C ． 【点睛】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．观察下列等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，若()225f n =，则正整数n 的值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可 【详解】由已知等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =. 故选：D 【点睛】本题考查归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考查观察转化能力，是基础题4．已知数列{}n a 满足132n n a -=⨯，*n N ∈，现将该数列按下图规律排成蛇形数阵（第i行有i 个数，*i N ∈），从左至右第i 行第j 个数记为(),i j a （*,i j N ∈且j i ≤），则()21,20a =（ ）A ．20932⨯B ．21032⨯C ．21132⨯D ．21232⨯【答案】C 【解析】 【分析】由题可观察得到第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则先求得前20行的数的个数,再加2即为()21,20a 对应的数列的项,即可求解. 【详解】由题可知,第i 行有i 个数,当i 为奇数时,该行由右至左i 逐渐增大,()21,20a 表示第21行第20个数,即为第21行倒数第2个数,则前20行共有()1+2020=2102⨯个数,即第21行倒数第1个数为211a,所以()21121221,2032a a ==⨯,故选:C 【点睛】本题考查合情推理,考查归纳总结能力,考查等差数列求和公式的应用.5．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .6．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．7．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x R B ．2123kcq x x R - C ．21232kcq x x R D ．21232kcq x x R- 【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过北京时，小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ） A ．小钱 B ．小李C ．小孙D ．小赵【答案】A 【解析】由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.9．现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是( ) A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B 【解析】 【分析】结合题意分类讨论甲乙丙丁获奖的情况，然后考查说真话的人的个数即可确定获奖的人. 【详解】结合题意分类讨论：若甲获奖，则说真话的人为：甲乙丙，说假话的人为：丁，不合题意； 若乙获奖，则说真话的人为：丁，说假话的人为：甲乙丙，符合题意； 若丙获奖，则说真话的人为：甲乙，说假话的人为：丙丁，不合题意； 若丁获奖，则说假话的人为：甲乙丙丁，不合题意； 综上可得，获奖人为乙. 故选：B. 【点睛】本题主要考查数学推理的方法，分类讨论的数学思想，属于中等题.10．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --L ，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．910【答案】B 【解析】 【分析】设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），由等差数列求和得：a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 再进行简单的合情推理得：a 20010102010111==-+，得解．【详解】由题意有，第n 组中有数n 个，且分子由小到大且为1，2，3…n ，设a 200在第n 组中，则()()1120022n n n n -+≤＜（n ∈N *），解得：n ＝20，即a 200在第20组中，前19组的数的个数之和为：19202⨯=190， 即a 200在第20组的第10个数，即为10102010111=-+，a 2001011=， 故选B ． 【点睛】本题考查了阅读理解及等差数列求和与进行简单的合情推理能力，属中档题．11．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++【答案】B 【解析】分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

2020年新课标高考数学23道题必考考点各个击破（按题号与考点编排）副题07 推理与证明【副题考法】本副题考题类型为选择填空题，并与平面几何、立体几何、解析几何、三角函数、数列等相结合考查归纳推理、类比推理合情推理思想与演绎推理思想，考查分析法、综合法、反证法等分析问题解决问题的思想方法的，考查对新概念的理解和新概念的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、阅读理解新概念及应用新概念解决问题能力、转化与化归思想，其难度较多是中等题，分值为5分.【主题考前回扣】1.推理推理分为合情推理与演绎推理，合情推理包括归纳推理和类比推理；演绎推理的一般模式是三段论．合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论2．证明方法(1)分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．推理模式：框图表示Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．推理模式框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论)．(3)反证法一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．【易错点提醒】1.应用合情推理应注意的问题：(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．注意：归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．2.应用分析法时，忽视①每一步要找的是上一步成立的充分条件，②要注意书写格式这两点致错.3.应用反证法是要假设结论的反面成立，将结论的反面作为条件进行推理导出矛盾，因结论反面考虑不全致错.【副题考向】考向一归纳推理【解决法宝】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先把已知的部分个体适当变形，再通过对这些个体的观察、分析、比较，发现它们的相同性质或变化规律，找出它们之间的联系，从这些相同性质或变化规律推出一个明确表述的一般命题，从而归纳出一般结论，对所得的一般性命题进行检验，归纳推理关键是找规律．例1几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，求满足如下条件的最小四位整数：第2017行的第项为2的正整数幂.已知，那么该款软件的激活码是（ ）A. 1040B. 1045C. 1060D. 1065【分析】观察数表发现，每一行都是等差数列，第行的公差为， 记第行的第个数为，根据题意即可写出f(n,1)的递推关系，从而求出通项公式，由题意即可得出第2017行第N 个数满足的条件，即可求出N 。

同步测试卷理科数学(十一) 【p 305】 (推理证明及数学归纳法) 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ②垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行； ④垂直于同一个平面的两个平面互相平行． 则正确的结论是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④【解析】由平面中线的性质，可类比空间中面的性质，即为②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行．①在空间中易得反例(可相交)，④反例为(相交)． 【答案】C2．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】用三段论形式推导一个结论成立， 大前提应该是结论成立的依据，∵由“四边形ABCD 为矩形”，得到“四边形ABCD 的对角线相等”的结论， ∴大前提一定是“矩形的对角线相等．” 【答案】B3．用反证法证明命题“若x ，y>0，且x ＋y>2，则1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是( )A ．假设1＋x y ，1＋yx 都小于2 B ．假设1＋x y ，1＋y x都大于2C ．假设1＋x y ，1＋yx都大于或等于2 D ．以上都不对【解析】由于“1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于 2 ”的反面是：“1＋x y ，1＋yx 都大于或等于2 ”，故用反证法证明命题：“若x>0，y>0 且x ＋y>2，则1＋x y ，1＋yx 中至少有一个小于2”时，应假设1＋x y ，1＋y x 都大于或等于2，故答案为1＋x y 和1＋yx都大于或等于2.【答案】C4．数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n －1)(n∈N *)成立时，从n ＝k 到n ＝k ＋1右边需增加的乘积因式是( )A ．2(2k ＋1) B.2k ＋1k ＋1C ．2k ＋1 D.2k ＋3k ＋1【解析】当n ＝k 时，左边＝2k×1×3×…×(2k －1)，当n ＝k ＋1时，左边＝2k ＋1×1×3×…×(2k －1)×[2(k ＋1)－1]＝2k ＋1×1×3×…×(2k －1)×(2k ＋1)．【答案】A5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1（n －1）（n ＋1）B.12n （2n ＋1）C.1（2n －1）（2n ＋1）D.1（2n ＋1）（2n ＋2）【解析】由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）.【答案】C6．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x 1，x 2，x 3，x 4，大圆盘上所写的实数分别记为y 1，y 2，y 3，y 4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i (i ＝1，2，3，4)次，每次转动90°，记T i (i ＝1，2，3，4)为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如T 1＝x 1y 2＋x 2y 3＋x 3y 4＋x 4y 1. 若x 1＋x 2＋x 3＋x 4<0, y 1＋y 2＋y 3＋y 4<0，则以下结论正确的是( )A ．T 1，T 2，T 3，T 4中至少有一个为正数B ．T 1，T 2，T 3，T 4中至少有一个为负数C ．T 1，T 2，T 3，T 4中至多有一个为正数D ．T 1，T 2，T 3，T 4中至多有一个为负数【解析】根据题意可知：(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)(y 1＋y 2＋y 3＋y 4)>0，又(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)(y 1＋y 2＋y 3＋y 4)去掉括号即得：(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)(y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＝T 1＋T 2＋T 3＋T 4>0，所以可知T 1，T 2，T 3，T 4中至少有一个为正数．【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．给出下列演绎推理：“整数是有理数，________，所以－3是有理数．”如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写________．【解析】由演绎推理三段论可知，整数是有理数，－3是整数，所以－3是有理数． 【答案】－3是整数8．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 边的边长为a i (i ＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P 到第i 边的距离记为h i (i ＝1，2，3，4)，若a 11＝a 23＝a 35＝a 47＝k ，则h 1＋3h 2＋5h 3＋7h 4＝2Sk .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 面的面积记为S i (i ＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 面的距离记为H i (i ＝1，2，3，4)，若S 11＝S 23＝S 35＝S 47＝k ，H 1＋3H 2＋5H 3＋7H 4＝____________．【解析】因为平面上的边长与空间中的面积、平面上的面积与空间中的体积可以对应并进行类比，所以运用类比推理的思维方式可得：H 1＋3H 2＋5H 3＋7H 4＝3V k.【答案】3Vk9．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．【答案】1和310．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是____________ .【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列， 且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…， 第2 015行公差为22 014，故第1行的第一个数为：2×2－1， 第2行的第一个数为： 3×20， 第3行的第一个数为： 4×21， …第n 行的第一个数为： (n ＋1)×2n －2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是2 018×22 015.【答案】2 018×22 015三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)(1)已知x∈R，a ＝x 2－1，b ＝2x ＋2.求证：a 、b 中至少有一个不小于0.(2)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .【解析】(1)假设a <0且b <0， 由a ＝x 2－1<0得－1<x <1， 由b ＝2x ＋2<0得x <－1， 这与－1<x <1矛盾， 所以假设错误，所以a 、b 中至少有一个不小于0. (2)因为m >0，所以1＋m >0，所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0， 即证(a －b )2≥0， 而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 12．(16分)是否存在常数a ，b ，c 使等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n （n ＋1）12(an2＋bn ＋c )对一切正整数n 都成立？若存在，用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解析】把n ＝1，2，3代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝24，4a ＋2b ＋c ＝44，9a ＋3b ＋c ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝11，c ＝10，猜想：等式1·22＋2·33＋…＋n (n ＋1)2＝n （n ＋1）12(3n 2＋11n ＋10)对一切n ∈N *都成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，由上面的探求可知等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k (k ＋1)2＝k （k ＋1）12(3k 2＋11k ＋10)，当n ＝k ＋1时，1·22＋2·32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k （k ＋1）12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k （k ＋1）12(3k ＋5)(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝（k ＋1）（k ＋2）12[k (3k ＋5)＋12(k ＋2)]＝（k ＋1）（k ＋2）12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，∴由(1)(2)知猜想成立，即存在a ＝3，b ＝11，c ＝10使命题成立．13．(18分)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝13a 3n ＋23a n ，n ∈N *.(1)求证：12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1≤a n ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N *；(2)求证：当n ∈N *时，1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n ≥a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3＋…＋a n ＋1a n ＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n . 【解析】(1)∵a n ＋1a n ＝13a 4n ＋23a 2n 且a 1>0，∴a n >0.∵a n ＋1－1＝13a 3n ＋23a n －1＝13(a n －1)(a 2n ＋a n ＋3)，又a 2n ＋a n ＋3>0，∴a n ＋1－1与a n －1同号． ∵a 1－1<0，∴a n <1.∴a n ＋1－a n ＝13a n (a 2n －1)≤0，则0<a n ＋1≤a n ≤a 1＝12.∴a n ＋1a n ＝13a 2n ＋23∈⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34. 当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，且a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1>12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，又12×⎝ ⎛⎭⎪⎫230≤a n ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫340， ∴12×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1≤a n ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，n ∈N *. (2)∵1－a n ＋11－a n －a n ＋1a n ＝a n －a n ＋1a n （1－a n ）＝13(1＋a n )，又a n ＋1＋1＝13(a 3n ＋2a n ＋3)＝13(a n ＋1)(a 2n －a n ＋3)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝13(a 2n －a n ＋3)≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12＋3＝1112. 当n ≥2时，a n ＋1＝(a 1＋1)·a 2＋1a 1＋1·a 3＋1a 2＋1·…·a n ＋1a n －1＋1≥32·⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1. 又a 1＋1＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫11121－1，∴13(a n ＋1)≥12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1.∴⎝⎛⎭⎪⎫1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n＝13[(a 1＋1)＋(a 2＋1)＋…＋(a n ＋1)] ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1112＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n －1＝12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n1－1112＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n . ∴1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n ≥a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n ＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1112n .。

专题十算法、复数、推理与证明1、设复数z满足1iz=-，则z的共轭复数的虚部为( )A.-1B.1C.-iD. i2、复数2(2)izi-=(i为虚数单位)，则z=()A. 25B.5C.D.3、运行如图所示的程序框图，输出的n等于（）A．27 B．28 C．29 D．30 4如图所示的程序框图输出的结果是( )A．34 B．55 C．78 D．895、把11化为二进制数为( )A ．(2)1011B ．(2)11011C ．(2)10110D ．(2)01106、用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )A.3B.9C.17D.517、如果甲去旅游,那么乙、丙和丁将一起去.据此,下列结论正确的是( )A.如果甲没去旅游,那么乙、丙、丁三人中至少有一人没去.B.如果乙、丙、丁都去旅游,那么甲也去.C.如果丙没去旅游,那么甲和丁不会都去.D.如果丁没去旅游,那么乙和丙不会都去.8、某种树的分枝规律如图所示,则预计到第6年树的分枝数为( )A.5B.6C.7D.89、用数学归纳法证明1111(N ,1)2321n n n n +++++<∈>-时，第一步应验证不等式（ ）A. 1122+<B. 111323++<C. 111223++<D. 11113234+++< 10、如下图是一个算法流程图,则输出S 的值是__________.11、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 12、已知复数117z i =+,224z i =--,则12z z +=__________13、245与75的最小公倍数为__________.A.720B.360C.240D.120答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：B解析：3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：B5答案及解析：答案：C解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：D解析：由题意得，这种树从第1年往后每年的分枝数分别是1,1,2,3,5,,⋅⋅⋅则211,312,523=+=+=+，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第6年树的分枝数是358+=，故选D.9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：25解析：由流程图可知:第一次循环, 1,3S n ==;第二次循环, 4,5S n ==,第三次循环, 9,7S n ==;第四次循环, 16,9S n ==;第五次循环, 25,11S n ==,退出循环.故输出25S=.11答案及解析：答案：6解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭. 12答案及解析：答案：13i -+解析：13答案及解析：答案：3675 解析：。

【关键字】练习（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题11 算法、复数、推理与证明第80练推理与证明练习理1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…照此规律，第五个不等式为__________________________________________________．2．已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.类比上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝____________.3．(2016·合肥二模)正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则所有这些正六边形的面积和是________．4．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：______________________.5．下面是一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9…6．(2016·苏北联考)若直角三角形的两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则＝＋.类比以上结论，如图，在正方体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为该棱锥的高，记M＝，N＝＋＋，那么M，N的大小关系是M________N．(填＞，＜或＝)7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若存在正整数m，n(m＜n)，使得Sm＝Sn，则Sm＋n＝0.类比上述结论，设正项等比数列{bn}的前n项积为Tn，若存在正整数m，n(m＜n)，使得Tm＝Tn，则Tm＋n＝________.8．我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为________．①S2＝S＋S＋S；②S2＝＋＋；③S＝S1＋S2＋S3; ④S＝＋＋.9．设数列{an}的首项a1＝，前n项和为Sn，且满足2an＋1＋Sn＝3(n∈N*)，则满足＜＜的所有n的和为________．10．(2016·湖南师大附中月考三)将正整数按如图方式排列，其中处在从左到右第m列，从下到上第n行的数记为A(m，n)，如A(3,1)＝4，A(4,2)＝12，则A(1，n)＝____________，A(10,10)＝________.………………………………28 ……………………………21 27 …………………………15 20 26 ………………………10 14 19 25 ……………………6 9 13 18 24 …………………3 5 8 12 17 23 ………………1 2 4 7 11 16 22 ……………11．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1或者由1变为0)．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k＝________.12．(2016·武昌调研)如图，在圆内画1条线段，将圆分红2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则(1)在圆内画5条线段，将圆最多分割成________部分；(2)在圆内画n条线段，将圆最多分割成________部分．13．(2016·江西联考)“求方程()x＋()x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝()x＋()x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，方程x6＋x2＝(x＋2)3＋x＋2的解集为________．14．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第1件首饰是1颗珠宝，第2件首饰是由6颗珠宝构成的如图1所示的正六边形，第3件首饰是由15颗珠宝构成的如图2所示的正六边形，第4件首饰是由28颗珠宝构成的如图3所示的正六边形，第5件首饰是由45颗珠宝构成的如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件的基础上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断：(1)第6件首饰上应有________颗珠宝；(2)前n(n∈N*)件首饰所用珠宝的总颗数为________．(结果用n表示)答案精析1．1＋＋＋＋＋<2.3.解析在Rt△A1B1A2中，∠A1B1A2＝30°，A1B1＝1，∴A1A2＝＝A2B2，又易知这些正六边形的边长成等比数列，公比为，∴这些正六边形的面积成等比数列，公比为q＝，又∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积S1＝6×1××＝，故所有这些正六边形的面积和为S＝li ＝＝＝.4.＝5．n2－2n＋3解析设第n(n≥2)行的第2个数为a n，则a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，a n－a n－1＝2(n－1)－1＝2n－3，由累加法得a n－a2＝[2n－3＋3]n－2＝n2－2n，所以a n＝n2－2n＋a2＝n2－2n＋3(n≥2)．26．＝解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2△ABC ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC ，S △ABC ·PO ＝12·PA ·PB ·PC ， 所以M ＝1PO 2＝S 2△ABC S 2△ABC PO 2 ＝S 2△ABP ＋S 2△PBC ＋S 2△APC 14PA 2·PB 2·PC 2＝1PA 2＋1PB 2＋1PC 2＝N .即M ＝N .7．1解析 因为T m ＝T n ，所以b m ＋1b m ＋2…b n ＝1，从而b m ＋1b n ＝1，T m ＋n ＝b 1b 2…b m b m ＋1…b n b n ＋1…b n ＋m －1b n ＋m＝(b 1b n ＋m ).(b 2b n ＋m －1)...(b m b n ＋1).(b m ＋1b n ) (1)8．①解析 如图，作OD ⊥BC 于点D ，连结AD ，由立体几何知识知，AD ⊥BC ，从而S 2＝(12BC ·AD )2＝14BC 2·AD 2＝14BC 2·(OA 2＋OD 2)＝14(OB 2＋OC 2)·OA 2＋14BC 2·OD 2＝(12OB ·OA )2＋(12OC ·OA )2＋(12BC ·OD )2＝S 21＋S 22＋S 23. 9.7解析 由2a n ＋1＋S n ＝3，得2a n ＋S n －1＝3(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n ≥2)，即a n ＋1a n ＝12(n ≥2)，由已知求出a 2＝34，易得a 2a 1＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝32[1－12n ]1－12＝3[1－(12)n ]， S 2n ＝3[1－(12)2n ]，代入1817＜S 2n S n ＜87，可得117＜(12)n ＜17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7.10.n n ＋12 181解析 由题图得A (1，n )＝n n ＋12，∴A (1,10)＝10×112＝55，∴A (10,10)＝55＋10＋11＋…＋18＝181.11．5解析 ①x 4x 5x 6x 7＝1101＝1，②x 2x 3x 6x 7＝1001＝0；③x 1x 3x 5x 7＝1011＝1.由①③知x 5，x 7有一个错误，②中没有错误，∴x 5错误，故k 等于5.12．(1)16 (2)1＋n n ＋12解析 (1)设在圆内画n 条线段将圆最多可分成a n 部分，则a 1＝2，a 2＝4，a 3＝7，a 4＝11， 所以a 5＝a 4＋5＝11＋5＝16，即在圆内画5条线段，将圆最多分割成16部分．(2)因为a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2，所以将上述式子累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，则a n ＝2＋2＋3＋…＋n ＝1＋n n ＋12，n ≥2，显然当n ＝1时上式也成立，故在圆内画n 条线段将圆最多可分割成1＋n n ＋12部分． 13．{－1,2}解析 令f (x )＝x 3＋x ，则f (x )是奇函数，且为增函数，由方程x 6＋x 2＝(x ＋2)3＋x ＋2， 得f (x 2)＝f (x ＋2)，故x 2＝x ＋2，解得x ＝－1或2，所以方程的解集为{－1,2}．14．(1)66 (2)n n ＋14n －16，n ∈N *解析 (1)设第n 件首饰上的珠宝颗数为a n ，则a 1＝1，a 2＝6，a 3＝15，a 4＝28，a 5＝45，∵a 2－a 1＝4×1＋1，a 3－a 2＝4×2＋1，a 4－a 3＝4×3＋1，a 5－a 4＝4×4＋1，∴猜想a n －a n －1＝4(n －1)＋1＝4n －3，∴推断a 6＝a 5＋4×5＋1＝66.(2)由(1)知a n －a n －1＝4n －3，则a n －1－a n －2＝4(n －1)－3，…，a 2－a 1＝4×2－3，以上各式相加得a n －a 1＝4(n ＋n －1＋…＋2)－3(n －1)＝4n ＋2n －12－3(n －1) ＝2n 2－n －1，∴a n ＝2n 2－n ，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋…＋n ) ＝2×n n ＋12n ＋16－1＋n n 2 ＝n n ＋14n －16，∴前n 件首饰所用珠宝的总颗数为n n ＋14n －16，n ∈N *.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。