昆明市高三统测文科数学

云南省昆明市数学高三上学期文数期末监测考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，集合，则等于（）A . {0,1}B . {-1,0,1}C . {0,1,2}D . {-1,0,1,2}2. （2分） (2019高三上·玉林月考) 在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高二下·海南期中) 如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为SA ， SB ，则（）A . ＞，SA＞SBB . ＜，SA＞SBC . ＞，SA＜SBD . ＜，SA＜SB4. （2分）(2016·上海理) 设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件5. （2分） (2018高一下·宜宾期末) 如图，在四边形中，已知，，则的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为（）A .B .C .D .7. （2分）如图，三棱柱A1B1C1—ABC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1 ，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）．A . AE、B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1B . AC⊥平面A1B1BAC . CC1与B1E是异面直线D . A1C1∥平面AB1E8. （2分）(2020·南昌模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A . －2B . －1C . 2D . 39. （2分） (2018高一下·威远期中) 已知，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一上·漳州期末) 函数y=ax﹣b（a＞0且a≠1）的图象如图1所示，则函数y=cosax+b 的图象可能是（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数，区间M=[a,b](a<b)，集合N={y|y=f(x),x M}，则使M=N成立的实数对(a,b)有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 无数个12. （2分）已知椭圆，左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为8，则的值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·临川期中) 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是________．（请填入正确的序号）①对立事件②不可能事件③互斥但不对立事件．14. （1分）(2018高二上·凌源期末) 已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为________．15. （1分） (2016高三上·湖州期末) 已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则其体积是________16. （1分）(2020·化州模拟) 设△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，若△ABC的面积为，则C＝________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高三上·黄冈期中) 在等比数列{an}中，an＞0，（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与a5的等比中项为2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和为Sn，当最大时，求n的值．18. （10分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=BC=2AC=2．（Ⅰ）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；（Ⅱ）在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1﹣CD﹣C1的大小为60°．19. （10分）随机抽取某高中甲、乙两个班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图所示．（1）甲班和乙班同学身高数据的中位数各是多少？计算甲班的样本方差；（2）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于175cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．20. （10分） (2019高二上·南充期中) 已知的三顶点坐标分别为，，．（1）求的外接圆圆M的方程；（2）已知动点P在直线上，过点P作圆M的两条切线PE,PF，切点分别为E,F.①记四边形PEMF的面积分别为S，求S的最小值；②证明直线EF恒过定点.21. （10分）设（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在[)上为减函数，求的取值范围。

云南省昆明市师大实验中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+ B．4+ C．4+D．4+参考答案：A该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分，所以该几何体的体积为．故选A．2. 幂函数的图象经过点（4，），则f（）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B 3. 已知是椭圆和双曲线的公共顶点.过坐标原点作一条射线与椭圆、双曲线分别交于两点，直线的斜率分别记为, 则下列关系正确的是（）A． B．C． D．参考答案：C4. 给出下列四个命题：①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题：任意,都有，则“非”：存在，使；③“”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题：存在，使；命题：△ABC中，，那么命题“‘非’且”为真命题．其中正确的个数是（）A．B．C．D．参考答案：C5. 如图，F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线交于点A、B，若△ABF2为等边三角形，则△BF1F2的面积为（）A．8 B．8C．8D．16参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，可得a=2，即可求出△BF1F2的面积【解答】解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|∴|BF1|﹣|BF2|=2a，即|BF1|﹣|AB|=|AF1|=2a又∵|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|?|AF2|cos120°即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解之得c=a，∴a2+24=7a2，∴a=2，∴△BF1F2的面积为﹣=﹣=8．故选：C．6. 已知函数(a>0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是 ( ）A．0<a<b<1 B．0<b<a<1 C．0<a<1<b D．0<b<1<a参考答案：A7. 已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数g(x)的说法中不正确的是（）A．函数g(x)图象的对称轴方程为B．函数g(x)的最大值为C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l：平行D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为参考答案：C8. 已知函数f（x）= ，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A. （-1，+∞）B. （-1，1]C. （-∞，1）D. [-1，1）参考答案：B9. 曲线f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程是( )A．x=1 B．y=C．x+y=1 D．x﹣y=1参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程．【解答】解：f（x）=的导数为f′（x）=，在点（1，f（1））处的切线斜率为k=0，切点为（1，），即有在点（1，f（1））处的切线方程为y=．故选B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及直线方程的求法，属于基础题．10. 先将函数的图像向右平移个单位长度，再作所得的图像关于y轴的对称图形，则最后函数图像的解析式为（A）（B）（C）（D）参考答案：C考点：三角函数图像变换因为最后函数图像的解析式故答案为：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为参考答案：或圆的圆心坐标（1，2），半径为过点的直线被圆截得的弦长为，∴圆心到所求直线的距离为：，（i）当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足圆心到直线的距离为1．（ii）设所求的直线的向量为，所求直线为：，即，∴，所求直线方程为：，故答案为：或．12. 若等差数列的前5项和=25，且，则=_______参考答案：13. 设，，记函数，的最大值为函数，则函数的最小值为．参考答案：14. 等差数列，的前项和分别为和，若，则．参考答案：15. 给出下列四个命题：①已知都是正数，且，则； ②若函数的定义域是，则；③已知x ∈（0，π），则y =sin x +的最小值为；④已知a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 也成等差数列，则的值等于2.其中正确命题的序号是________． 参考答案： ①，④16. 已知向量，，若，则（ ）A. －4B. －3C. －2D. －1参考答案：B ∵，∴.∴，即，∴.故选B.【考点定位】向量的坐标运算 17. 已知集合，，M∩N 的子集的个数4，则实数的取值范围为 ．参考答案：【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】解析：集合={x|x ＜-2，或x ＞2}，，集合N 在数轴上画 从 3 向两边扩，M∩N 的子集的个数4，即交集中有2个元素，所以3＜≤4，所以．故答案为.【思路点拨】求出集合M ，求出集合N ，然后求出满足题意的N 的表达式的范围，即可得到a 的范围．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第三次综合测试数学（文）试题一、单选题1．设集合A ={ }，B ={ }，则A ∩B =（ ）2|230x x x --<()|ln 2x y x =-A ．{x |＜x ＜2}B ．{x |＜x ＜3}1-1-C ．{x |＜x ＜2}D ．{x |1＜x ＜2}3-【答案】A 【分析】分别求得，B ={}，求交集即可得解.{}|13A x x =-<<|2x x <【详解】由可得或，2230x x --==1x -3x =所以，{}|13A x x =-<<由，可得，20x ->2x <所以B ={}，|2x x <所以A ∩B =，{}|12x x -<<故选：A2．已知，则复数z +5的实部与虚部的和为（ ）2i 12i z=++A ．10B ．C ．0D ．10-5-【答案】A【分析】首先根据复数的运算可得，由即可得解.(12i)(2i)5i z =++=555i z +=+【详解】由可得，2i12i z=++(12i)(2i)5i z =++=，555i z +=+所以的实部与虚部的和为，5z +5510+=故选：A3．图二的程序框图所示的算法来自《九章算术》.若输入的值为16， 的值为24，则执行该程a b 序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【详解】由程序框图，得当输入，则，，输出的值16,24a b ==24168,16b a =-==1688a =-=a 为8；故选C.4．已知数据是某市个普通职工的年收入，如果再加上世界首富的年收入12,,,n x x x *(3,)n n n N ≥∈，则这个数据中，下列说法正确的是（ ）1n x +1n +A ．年收入的平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变；B ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入的平均数大大增加，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入的平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变.【答案】B【分析】根据平均数的意义，中位数的定义，及方差的意义，分析由于加入xn +1后，数据的变化特征，易得年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，方差会变大．【详解】因为数据x 1，x 2，x 3，…，xn 是普通职工n （n ≥3，n ∈N *）个人的年收入，而xn +1为世界首富的年收入则xn +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，xn ，故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大，中位数可能不变，也可能稍微变大，由于数据的集中程度也受到xn +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.故选：B ．5．设，，，则，，的大小关系是（ ）0.32=a 20.3b =()2log 0.3m c m =+(1)>m a b c A ．B ．C ．D ．a b c <<b a c <<c b a<<b<c<a【答案】B【分析】利用指数函数与对数函数的单调性，进行大小比较，从而得出相应答案．【详解】根据指数函数的单调性可得：，即， ，即，00.31222<<12a <<2000.30.31<<=由于，根据对数函数的单调性可得：，即，1m >()22log 0.3log 2m m m m +>=2>c 所以，故答案选B ．【点睛】本题主要考查学生对于对手函数的单调性及其应用这一知识点的掌握程度，指数函数以及对数函数的单调性，取决于底数与1的大小．a 6．将一根绳子对折，然后用剪刀在对折过的绳子上任意一处剪断，则得到的三条绳子的长度可以作为三角形的三边形的概率为A ．B ．C ．D ．16141312【答案】D【详解】试题分析：三边要能成为三角形，那么两边之和大于第三边，所以应在对折过的绳子的中点处和对折点之间的任意位置剪短，所以能构成三角形的概率,故选D.【解析】几何概型7．函数y ＝1＋x ＋的部分图象大致为（ ）2sin x xA ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.8．设等差数列满足，且为其前n 项和，则数列的最大项为( ){}n a 81535a a =10,n a S >{}n S A ．B ．C ．D ．23S 25S 24S 26S 【答案】B【分析】设等差数列的公差为，由，利用通项公式化为，由可{}n a d 81535a a =12490a d +=10a >得，，利用二次函数的单调性即可得出答案0d <()()21162525222n n n d S na d n d -=+=--【详解】设等差数列的公差为，，{}n a d 81535a a = ()()1137514a d a d ∴+=+即12490a d +=，则10a > 0d <等差数列单调递减∴{}n a ()()21162525222n n n d S na d n d -=+=--当时，数列取得最大值25n ={}n S 故选B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，二次函数的单调性，考查了推理n 能力与运算能力，属于中档题．9．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据题意和正三棱锥的性质，得到正三棱锥的底面面积和高，直接列棱锥的体积公式即可计算得到答案.【详解】由已知得，正三棱锥的底面是正三角形，且底面的三个顶点在该球的一个大圆上，所以，该底面的正三角形的外接圆的半径就是球的半径，且该正三棱锥的高也是球的半径，所以，，如1R =1h =图，，且，底面的面积为120AOB ∠=1OA OB R ===21sin1202OAB S R =⨯⨯=△13OAB V S h =⨯=△故选：D10．已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴sin cos y x a x =+3x π=sin cos y a x x =+是（ ）A ．B ．56x π=23x π=C ．D ．3x π=6x π=【答案】D【分析】先由函数的图像关于对称，求出化sin cos y x a x =+π3x =a =sin cos y a x x =+简即可求出.【详解】函数变为，（令）.sin cos y x a x =+()y x θ=+tan a θ=因为函数的图像关于对称，所以,sin cos y x a x =+π3x =Zπ,ππ32k k θ+=+∈解得：.Zπ6π,k k θ=+∈所以.πtan tan π6a k θ⎛⎫==+=⎪⎝⎭所以函数，其中()sin cos cos y a x x x x x ϕ=+=+=+tan ϕ=其对称轴方程,所以.ππ,Z 2x k k ϕ+=+∈ππ,Z2x k k ϕ=+-∈因为，所以.tan ϕ=11ππ,Z3k k ϕ=+∈()1ππππ26x k k k ϕ=+-=-+当时， 符合题意.1k k =π6x =对照四个选项，D 正确.故选：D.11．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆F 28y x =A B 28y x =的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是224120x y x +--=AB x FAB ∆（ ）A ．B ．C ．D ．(6,10)(8,12)[6,8][8,12]【答案】B【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置AF关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.B FAB ∆【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，28y x =()2,0F 2x =-根据抛物线定义可得，2A AF x =+圆，圆心为，半径为，()22216x y -+=()2,04点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.A B 28y x =224120x y x +--=点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心A B AB x x 和半径可知，()2,6B x ∈则的周长为，FAB ∆246A B A BAF AB BF x x x x ++=++-+=+所以，()68,12B x +∈故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.12．函数与函数的图像至少有两个公共点，关于的不等式有解，2y kx =+1||y x =k ()20k a k -->则实数的取值范围是（ ）a A ．B ．C ．D ．1(,3-∞1(1,)3-(,1)-∞-[1,)+∞【答案】A【分析】根据导数的几何意义得出的取值范围，再求出的最大值，进而得出实数的k ()2kg k k =-a 取值范围.【详解】令，1(),0f x x x =>设直线的方程为，且与切于，，1l 12y k x =+1(),0f x x x =>001,A x x ⎛⎫⎪⎝⎭21()f x x '=-则，显然，则，1201k x =-10k<0x =因为，解得，10012k xx =+22k ==11k =-由对称性可知，与相切的直线的斜率，1(),0f x x x =-<2l 21k =因为函数与函数的图像至少有两个公共点，所以，2y kx =+1||y x =11k -≤≤不等式等价为，()20k a k -->2k a k <-令，即函数在上单调递减，即，即()20(),()222k g k g k k k-'=--<=()g k []1,1-max 1()(1)3g k g =-=.13a <故选：A二、填空题13．已知向量，则它们的夹角是______ ；(a b ==【答案】π3【分析】根据向量的夹角公式求得正确答案.【详解】，1cos ,2a b =则为锐角，所以.,a bπ,3a b =故答案为：π314．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于、两点，为的C C C A B ABC实轴长的2倍，则的离心率为_____________．C 【详解】设双曲线的标准方程为，由题意，得，即，22221(0,0)x y a b a b -=>>224b a a =222b a =，所以双曲线的离心率为223c a =e =点睛：处理有关直线和圆锥曲线的位置关系问题时，记住一些结论可减少运算量、提高解题速度，如：过椭圆或双曲线的焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦长为，过抛物线的焦点且与对称轴垂22b a 直的弦长为.2p 15．已知数列中，，为数列的前项和，，且当时，有{}n a 1=1a n S {}n a n 0n S ≠2n ≥成立，则________.221n n n na a S S =-2017S =【答案】11009【分析】根据时满足，结合所给条件可证明为等差数列.再由等差数列定义2n ≥1n n n a S S --=2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭即可求得数列前项和的通项公式，即可代入求解.{}n a n n S 【详解】当时，，代入，2n ≥1n n n a S S --=221nn n na a S S =-化简可得，()()11212n n n n n n n n S S S S S S S S ----=--=-所以，又，1221n n S S -=-122S =所以是以2为首项，1为公差的等差数列，2n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，故，21n n S =+21n S n =+则.201711009S =故答案为：.11009【点睛】本题考查了等差数列中的简单应用，等差数列通项公式的求法，属于基础题.1n n n a S S --=16．如图所示，正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，过直线ABCD A B C D -''''1E F AA 'CC '的平面分别与棱、交于、，设，，给出以下四个命题：EF BB 'DD 'M NBM x =[]0,1x ∈①平面平面；MENF ⊥BDD B ''②当且仅当时，四边形的面积最小；12x =MENF ③四边形周长，是单调函数；MENF ()L f x =[]0,1x ∈④四棱锥的体积为常函数；C MENF '-()V h x =以上命题中真命题的序号为___________.【答案】①②④【分析】对于①根据平面以及，即可由线面垂直证明面面垂直；对于②，AC ⊥BDD B ''//EF AC 四边形是菱形即可作出判断；对于③，根据勾股定理可算菱形的边长，进而根据函数特征MENF 即可判断；对于④，根据四棱锥分割成两个三棱锥，而三棱锥的底面积和高都是定值即可判断.【详解】①连接、，在正方体中，因为且，BD AC ABCD A B C D -''''//AA CC ''AA CC ''=、分别是棱、的中点，则且，E F AA 'CC '//AE CF AE CF =所以四边形是平行四边形，故，EFCA //EF AC 因为四边形为正方形，则，则，ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥因为平面，平面，所以，故，BB '⊥ABCD AC ⊂ABCD '⊥AC BB EF BB '⊥因为，、平面，则平面，BD BB B '⋂=BD BB '⊂BDD B ''EF ⊥BDD B ''又因为平面，所以平面平面，所以①正确；EF ⊂MENF MENF ⊥BDD B ''②连接，因为平面平面，平面平面，MN //AA B B ''CDD C ''MENF ⋂AA B B ME ''=平面平面，所以，，同理可得，MENF ⋂CC D D NF ''=//ME NF //NE MF 所以，四边形是平行四边形，MENF 由平面，平面，所以，EF ⊥BDD B ''MN ⊂BDD B ''EF MN ⊥故四边形为菱形，且对角线是定值，MENF EF 要使四边形面积最小，只需的长最小即可，在棱取，MENF MN DD 'DP BM x ==所以，MN =故当时，最小，因此当为棱的中点时，12x =MN M 即当且仅当时，四边形的面积最小，所以②正确；12x =MENF ③因为，所以四边形是菱形，EF MN ⊥MENF在正方形中，BCC B ''MF =当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦BF 1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦BF 所以周长，不是单调函数，所以③错误；()4L f x MF==[]0,1x ∈④连接、、，把四棱锥分割成两个小三棱锥，C E 'C M 'C N 'C MENF '-它们以为底，、为顶点，C EF ' M N ，平面，平面，则平面，//BB C F '' BB '⊄C EF 'C F '⊂C EF '//BB 'C EF '因为，则到平面的距离为定值，同理，到平面的距离也为定值，M BB '∈M C EF 'N C EF '所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确.C MENF '-()V h x =命题中真命题的序号为①②④．故答案为：①②④．三、解答题17．如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD =1，E 为AC 的中点，AE =，cos B =32∠ADB =．23π(1)求AD 的长；(2)求△ADE 的面积．【答案】(1)2【分析】（1）首先利用同角三角函数可得sin B ==，在中利用正弦定理即可得解；sin sin()BAD B ADB ∠=+∠=ABD △（2）在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD •CDcos ∠ADC ，解得1DC =， 代入即可得解.11sin 24ADE ADC S S AD DC ADC ==⋅∠【详解】（1）在△ABD 中，∵，cos B =(0,)B π∈∴sin B ===∴1sin sin()()2BAD B ADB ∠=+∠=-=由正弦定理，知．sin sin AD BDB BAD =∠·sin 2sin BD BAD BAD===∠（2）由（1）知AD =2，依题意得AC =2AE =3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2=AD 2+DC 2-2AD •CDcos ∠ADC ，即，29422cos3DC CD π=+-⨯⨯∴DC2-2DC -5=0，解得． 1DC =∴11sin 2(122ADC S ADDC ADC =⋅∠=⨯⨯= 从而12ADE ADC S S == 18．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x （°C ）1011131286就诊人数y （个）222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；（附：，）()()()1122211n ni i i i i i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx∧====---==--∑∑∑∑ˆˆa y bx =-【答案】(1)13(2)183077y x =-【分析】（1）由题意知本题是一个古典概型， 从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，抽26C 到相邻两个月的数据的情况有5种，代入公式即可得解；（2）先由数据求得，再由求，再由由求得，即可.11,24x y ==41422144i ii ii x y x yb xx ∧==-=-∑∑b ∧ˆˆa y bx =-ˆa【详解】（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A ，试验发生包含的事件是从6组数据中选取2组数据共有=15种情况，26C 每种情况都是等可能出现的，其中满足条件的事件是抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴P （A ）=，51153=（2）由数据求得，11131282529261611,2444x y ++++++====由公式求得，4142222222141125132912268164112418111312841174i ii ii x y x yb xx ∧==-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===+++-⨯-∑∑所以，182ˆˆ4117ay bx =-=-⨯=307-∴y 关于x 的线性回归方程为.183077y x =-19．如图，四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AB =2CD =AC BD =F ，且△PAD 与△ABD 均为正三角形，E 为AD 中点，G 为△PAD 的重心.(1)求证：GF ∥平面PDC ；(2)求三棱锥G -PCD 的体积.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）设PD 的中点为，连接AH ，CH ．证明GF ∥CH ，然后证明GF ∥平面PDC ．H （2）通过VG ﹣PCD ＝VF ﹣PCD ＝VP ﹣CDF ，转化求解即可．【详解】（1）设PD 的中点为H ，连接AH ，CH ．∵AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝，AC BD F = ∴，2AF ABFC CD ==又∵G 为△PAD 的重心G ，∴，∴GF ∥CH ，2H AGG =又∵GF ⊄面PDC ，CH ⊂面PDC ，∴GF ∥平面PDC ，（2）由（1）知GF ∥平面PDC ，则VG ﹣PCD ＝VF ﹣PCD ＝VP ﹣CDF ，AB =2CD =CD △PAD 与△ABD 均为正三角形，且AB =AD =AB =PE =3，△ABD 的高为3，∵，∴12DF FB =112CDF S ==△∴.133P CDF V -==20．已知椭圆的焦距为22221(0)x y a b a b +=>>（1）求椭圆方程；（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，，(0,)B b k D x E ||BD ||BE 成等比数列，求的值．||DE 2k 【答案】（1）；（2）2214x y +=2k=【分析】（1）由焦距为，列出关于的方程组，求出222a b c =+,,a b c 从而求出椭圆方程；,a b （2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出点D 、E 的坐标，然后利用|BD|，|BE|，|DE |成等比数列，即可求解．【详解】（1）由已知，2c=c a=2a =c =所以2221b ac =-=椭圆的方程为2214x y +=（2）由（1）得过点的直线为，B 1y kx =+由，得，22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()224180k x kx ++=所以，所以，2814D kx k =-+221414D k y k -=+依题意，．0k ≠12k ≠±因为，，成等比数列，所以，||BD ||BE ||DE 2||||||BE BD DE =所以，即，()21D Db y y =-()11D Dy y -=当时，，无解，0D y >210D D y y -+=当，0D y <210DD y y --=D y =所以221414k k-=+2k =所以，当，，成等比数列时，||BD ||BE ||DE 2k =【点睛】方法点睛（1）求椭圆方程的常用方法：①待定系数法；②定义法；③相关点法．（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于（或）的x y 一元二次方程，设出交点坐标），利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式()()1122,,,A x y B x y大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题及，联立即可求解．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运221414D k y k -=+()11D D y y -=算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．属于中档题.21．已知关于的函数x ()(0)e xax af x a -=≠(1)当时，求函数的极值；1a =-()f x (2)若函数没有零点，求实数取值范围.()()1F x f x =+a 【答案】(1)极小值为，无极大值；2e --(2)2()e ,0-【分析】（1）由，求导可得，再根据导数的应用即可得解；1a =-2()e x x f x -'=（2）根据零点存在性定理分和两种情况讨论即可得解.a<00a >【详解】（1），.2e (2)(2)()(e )e x x xa x a x f x ----=='x ∈R 当时，，的情况如下表：1a =-()f x ()f x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '-0+()f x ↘极小值↗所以，当时，函数的极小值为，无极大值；1a =-()f x ()22e f -=-（2）.(2)()()e x a x F x f x --=='' ①当时，的情况如下表：a<0(),()F x F x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '-0+()f x ↘极小值↗因为， 若使函数没有零点，需且仅需，(1)10F =>()F x 2(2)10e aF =+>解得，所以此时；2e a >-2e 0a -<<②当时，的情况如下表：0a >(),()F x F x 'x(,2)-∞2(2,)+∞()f x '+0-()f x ↗极大值↘因为，且，(2)(1)0F F >>10110101110e10e 10(1)0eea aaF a------=<<所以此时函数总存在零点.()F x 综上所述，所求实数的取值范围是.a 2()e ,0-22．在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标O x C 方程为，直线的参数方程为：(为参数)，点的极坐标为2410cos ρρθ-+=l x 31y t2⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t A ，设直线与曲线相交于两点．π6l C ,P Q (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；C l (2)求的值．AP AQ OP OQ⋅⋅⋅【答案】（1），（2）122(2)3x y -+=0x =【分析】（Ⅰ） 利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C 的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l 的普通方程；（Ⅱ） 点A 的直角坐标为（3），设点P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，点P ，Q的极坐标分别为（），（）．将（t 为参数）与（x﹣2）2+y 2=3联立，得：16πρ，26，πρ312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 1t 2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．【详解】Ⅰ曲线C 的直角坐标方程为：，即()22410x y x +-+=，直线l 的普通方程为22(2)3x y -+=0x =Ⅱ点A 的直角坐标为，设点P ，Q 对应的参数分别为，，点P ，Q 的极坐标分别为()(1t 2t ，将为参数与联立得：，1,6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,.6πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭3(12x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩)22(2)3x y -+=210t ++=由韦达定理得：，121t t =1AP AQ =将直线的极坐标方程与圆的极坐标方程联立得：()6R πθρ=∈24cos 10ρρθ-+=，由韦达定理得：，即210ρ-+=121ρρ=1OP OQ =所以，12121AP AQ OP OQ t t ρρ==【点睛】本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．23．（1）已知函数，解不等式；()|1|f x x =-2()10f x x +->（2）已知函数，解不等式．()|2||1|f x x x =+--()5f x x ≥【答案】（1）{x |x ＞1或x ＜0}；（2）（-∞，]13【分析】（1）分和两种情况讨论即可；1x ≥1x <（2）分三种情况讨论即可得解.2,21,1x x x >--≤<≥【详解】（1）∵已知函数f （x ）=|x -1|，故不等式f （x ）+x 2-1＞0， 若，|x -1|＞1-x 2，∴x -1＞1-x 2①，1x ≥若，x -1＜-（1-x 2）②． 1x <解①求得x ＞1，解②求得 x ＜0，综上可得，原不等式的解集为 {x |x ＞1或 x ＜0}． （2）已知函数f （x ）=|x +2|-|x -1|，由不等式f （x ）≥5x 可得①，②，③．235x x <-⎧⎨-≥⎩21215x x x -≤<⎧⎨+≥⎩135x x ≥⎧⎨≥⎩解①求得x ＜-2，解②求得-2≤x ≤，解③求得x ∈∅． 13综上可得，不等式的解集为（-∞，].13。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z 满足()25i z -=,则z =（ ）A ．2i +B ． 2i -C ． 2i --D ．2i -+【答案】A【解析】试题分析：因为()25i z -=, 所以()()()()5252522225i i z i i i i ++====+--+，故选A. 考点：复数的基本运算.2.设集合(){}{}|30,|1A x x x B x x =-≥=<,则AB =（ ） A ．(][),03,-∞+∞ B ．()[),13,-∞+∞C ．(),1-∞D ．(],0-∞【答案】D考点：1、集合的表示方法；2、集合的交集.3.已知向量()(),3,3,3a x b ==-,若a b ⊥,则a =（ ）A ． 1B D ．2【答案】D 【解析】试题分析：因为()(),3,3,3a x b ==-,且a b ⊥，所以，330,1a b x x ⋅=-==，a =2=，故选D.考点：1、向量垂直的性质；2、平面向量数量积公式.4.执行如图所示的程序框图,如果输入的1,1a b ==,那么输出的值等于（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89 【答案】C考点：1、程序框图；2、循环结构.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5.已知函数()f x 是奇函数, 当0x >时,()()2log 1f x x =+, 则()3f -=（ ）A ． 2B ． 2-C ．1D ． 1-【答案】B【解析】试题分析：因为函数()f x 是奇函数且0x >时,()()2log 1f x x =+，所以()()()233log 312f f -=-=-+=-，故选B.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及对数的性质.6.如图，某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若府视图中扇形的面积为3π, 则该几何体的体积等于（ ）A ．8πB ．163π C ．4π D ．43π 【答案】A考点：1、几何体的三视图；2、球的体积公式.7.若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,则2z x y =+的最大值为（ ）A ． 3B ． 6C ．7D ．8【答案】C【解析】试题分析：画出约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图，平移直线2x y z +=，直线经过点()1,3B 时，z 取得最大值1237+⨯=，故选C.考点：线性规划．8.为了得到函数sin cos y x x=+的图象, 可以将函数4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平行移动4π个单位 B ．向右平行移动4π个单位 C ．向左平行移动2π个单位 D ．向右平行移动2π个单位 【答案】C考点：1、两角差的正弦公式；2、诱导公式及三角函数图象的平移变换.9.如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形, 在大正方形内随机取一点, 这一点落在小正方形内的概率为15, 若直角三角形的两条直角边的长分别为(),a b a b >,则b a=（ ）A ．13B ．12 CD ．2【答案】B【解析】试题分析：设小正方形的边长为x ，则大正方形边长为x 5，x a b +=，()222222555510b a x b a a b ab +==-=+-，化为()()2222522a b ab a b a b +-=--，因为a b >，所以2b a =，b a =12，故选B. 考点：1、正方形的面积及勾股定理；2、几何概型概率公式.10.点,A F 分别是椭圆22:11612x y C +=的左顶点和右焦点, 点P 在椭圆C 上, 且PF AF ⊥,则AFP ∆的面积为（ ）A ． 6B ．9C ．12D ．18【答案】B考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式.11. 如图, 在正方体1111ABCD A BC D -中,2AB =, 平面α经过11B D ，直线1AC α,则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）A ．C ．D【答案】D【解析】试题分析：设1111B D AC F =，1AA 中点为E ，连接EF ，由中位线定理得1EF AC ， 因为 EF ⊂平面11EB D ，1AC ⊄平面11EB D ，所以1AC 平面11EB D，1112EB D S ∆=⨯=故选D.A 11考点：1、正方体的性质及三角形中位线定理；2、三角形面积公式及线面平行的判定定理.【方法点晴】本题主要考查正方体的性质及三角形中位线定理、三角形面积公式及线面平行的判定定理.属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可根据几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题就是利用方法①先证明1AC 平面11EB D 而后求解的.12.若存在实数a ,当1x ≤时,12x ax b -≤+ 恒成立, 则实数b 的取值范围是（ ）A ． [)1,+∞B ．[)2,+∞C ．[)3,+∞D ．[)4,+∞【答案】A考点：1、分段函数的解析式及图象；2、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法.【 方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、不等式恒成立、数形结合思想及选择题的特殊值法，属于难题.特殊值法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前n 项和公式问题等等.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知数列{}n a 满足: )2111,1n a a +==,则5a = ． 【答案】25【解析】试题分析：因为)2111,1n a a +==，1=，1==为首项，以1()111n n =+-⨯=，225,525n a n a ===，故答案为25. 考点：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式.14.在ABC ∆中,60ABC ∠=, 且5,7AB AC ==,则BC = ．【答案】8考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式.15.已知1,1a b >>,且()22ab a b +=+,则ab 的最小值为 ．【答案】6+【解析】试题分析：因为()22ab a b +=+≥)222≥，因为1,1a b >>，所以26ab ≥+，即ab 的最小值为6+6+考点：1、基本不等式的应用；2、不等式的性质及最值的求法.【方法点睛】本题主要考查基本不等式的应用、不等式的性质及最值的求法，属于难题.求最值的常见方法有 ①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题主要应用方法③求ab 的最小值的.16.函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩,若方程()13f x mx =-恰有四个不等的实数根, 则实数m 的取值范围是 ． 【答案】13⎛ ⎝由BC 绕点C 转至切线BA 过程中，()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩与13y mx =-有四个交点，所以m 的取值范围是13⎛ ⎝，故答案为13⎛ ⎝.考点：1、分段函数的解析式及图象；2、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、导数的几何意、方程的根与函数图象交点的关系及数形结合思想，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度.本题通过()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩与13y mx =-图象交点来解决方程根的个数问题正是体现了这种思想.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且211n n S a n ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =,求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）()2413n n T =-.考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列前n 项和公式.18.（本小题满分12分））如图, 四棱锥P ABCD -中, 平面PAD ⊥平面ABCD , ,,1,4,3,AB CD AB BC CD BC AB PA PD E⊥=====为线段AB 上一点,1,2AE BE F = 为PD 的中点.（1）证明:PE 平面ACF ；（2）求三棱锥B PCF -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23.（2）连接BD ,取AD 的中点G ,连接PG ,由PA PD =得,PG AD ⊥平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面,,,ABCD AD PG AD PG =⊥∴⊥平面ABCD ,在Rt CBE∆中,CE ==在等腰PAD ∆中,2AD PG =∴===.11141423323P BCD BCD V S PG -∆∴==⨯⨯⨯⨯=,112323F BCD BCD V S PG -∆==,23B PCF P BCF P BCD F BCD V V V V ----∴==-=. 考点：1、线面平行的判定定理；2、“等积变换法”及“割补法”求几何体的体积. 19.（本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该公司从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下:假设汽车美容一次, 公司成本为150元, 根据所给数据, 解答下列问题: （1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；（3）设该公司从至少消费两次, 求这的顾客消费次数用分层抽样方法抽出8人, 再从这8人中抽出2人发放纪念品, 求抽出2人中恰有1人消费两次的概率. 【答案】（1）0.4P =；（2）45；（3）47.（2）该会员第1次消费时, 公司获得利润为20015050-=(元), 第2 次消费时, 公司获得利润为2000.9515040⨯-=(元), 所以, 公司这两次服务的平均利润为5040452+=(元). (3) 至少消费两次的会员中, 消费次数分别为1，2，3，4，5的比例为20:10:5:54:2:1:1=,所以抽出的8人中, 消费2次的有4人, 设为1234,,,A A A A ,消费3次的有2人, 设为12,B B ,消费4次和5次的各有1人, 分别设为,C D ,从中取2人, 取到1A 的有:121314111211,,,,,,A A A A A A A B A B AC A D 共7种;去掉1A 后, 取到2A 的有:2324212222,,,,,AA A A AB A B AC AD 共6种; 去掉123412,,,,,A A A A B B 后, 取到C 的有:CD 共1种, 总的取法有765432128n =++++++=种,其中恰有1人消费两次的取法共有：444416m =+++=种， 所以, 抽出2人中恰有1人费两次的概率为164287m P n ===. 考点：1、古典概型概率公式；2、分层抽样的应用及平均值的求法.20.（本小题满分12分）已知点F 是拋物线()2:20C y px p =>的焦点, 若点()0,1M x 在C上, 且054x MF =. （1）求p 的值；（2）若直线l 经过点()3,1Q -且与C 交于,A B (异于M )两点, 证明: 直线AM 与直线BM 的斜率之积为常数. 【答案】（1）12p =；（2）证明见解析.试题解析：（1）由抛物线定义知02p MF x =+,则00524p x x +=,解得02x p =,又点()0,1M x 在C 上, 代入2:2C y px =,得021px =,解得011,2x p ==.（2）由（1）得()21,1,:M C y x =,当直线l 经过点()3,1Q -且垂直于x 轴时,此时((,3,A B ,则直线AM的斜率AM k =,直线BM的斜率BM k =所以12AM BM k k =-=-.当直线l 不垂直于x 轴时, 设()()1122,,,A x y B x y , 则直线AM 的斜率111211111111AM y y k x y y --===--+,同理直线BM 的斜率21212121111,1111BM AM BM k k k y y y y y y y =∴==++++++,设直线l 的斜率为()0k k ≠,且经过()3,1Q -,则 直线l 的方程为()13y k x +=-.联立方程()213y k x y x⎧+=-⎪⎨=⎪⎩,消x 得,2310ky y k ---=,所以12121311,3k y y y y k k k++==-=--,故1212111111231AM BM k k y y y y k k===-+++--++,综上, 直线AM 与直线BM 的斜率之积为12-.考点：1、待定系数法求抛物线方程；2、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题. 【方法点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线方程、直线与抛物线的位置关系、韦达定理及定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.本题就是根据方法②求得直线AM 与直线BM 的斜率之积为定制12-的. 21.（本小题满分12分）已知函数()xf x e ax =+,曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（1）求实数a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）若()()0,1b f x b x c >≥-+,求2b c 的最大值.【答案】（1）1a =-，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为(),0-∞；（2）213e .试题解析：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞,因为()'xf x e a =+,由已知得()'00,1f a =∴=-,当0x >时, ()'10xf x e =->,当0x <时, ()'0f x <,所以函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞,单调递减区间为(),0-∞.（2）不等式()()1f x b x c ≥-+转化为xe bx c -≥,令()x g x e bx =-,()'xg x e b =-,由()'0g x >得,()ln ,'0x b g x ><得ln x b <,所以函数()g x 在(),ln b -∞上为减函数, 在()ln ,b +∞上为增函数, 所以()()min ln ln ,ln g x g b b b b c b b b ==-∴≤-,233ln b c b b b ∴≤-,令()33ln h b b b b =-,则()()2'23ln h b b b =-,由()'0h b >得()230,'0b e h b <<<得23b e >,所以函数()h b 在230,e ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函考点：1、导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()'0f x >，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()'0f x <，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图, 在ABC ∆中,90BAC ∠=, 以AB 为直径的O 交BC 于点,D E 是边AC 上一点,BE 与O交于点F ,连接DF .（1）证明:,,,C D F E 四点共圆； （2）若3,5EF AE ==,求BD BC 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）4009. 【解析】试题分析：（1）由直角三角形相识C DAB ∠=∠，圆周角定理得DAB DFB ∠=∠，从而C DFB ∠=∠进而可证结论；（2）先根据射影定理求得253EB =，从而得16,3BF =进而利用相交弦定理可得BD BC 的值. 试题解析：（1）证明: 连接,AD AB 是O 的直径,90,90ADB DAB DBA ∴∠=∴∠+∠=,90,90,BAC C DBA C DAB ∠=∴∠+∠=∴∠=∠,,,180BD BD DAB DFB C DFB DFE DFB =∴∠=∠∴∠=∠∠+∠=, 180,,,,DFE C C D F E ∴∠+∠=∴四点共圆.考点：1、四点共圆的判定；2、圆周角定理及相交弦定理. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程是16cos 2sin 0ρθθρ-++=,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中, 直线l 经过点()3,3P ,倾斜角3πα=.（1）写出曲线C 直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设l 与曲线C 相交于,A B 两点, 求AB 的值.【答案】（1）()()22319x y -++=，132(32x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数)；（2）226210x y x y +-++=,化为标准方程是()()22319x y -++=,直线l 的参数方程为3cos 33sin3x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即 为参数). （2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,得 ,整理得:270t ++=,(247200∆=-⨯=>,则12127t t t t +=-=,所以121248AB t t t =-==-=考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数方程的几何意义的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x m x m=++-,其中0m >. （1）当1m =时, 解不等式()4f x ≤； （2）若a R ∈,且0a ≠,证明:()14f a f a ⎛⎫-+≥⎪⎝⎭.【答案】（1）[]2,2-；（2）证明见解析.()1121411112a m m a a a f a f a a a m a m a ⎫-+++≥+≥⎪⎪⎛⎫⇒-+≥⎬ ⎪⎝⎭⎪--+-≥+≥⎪⎭. 考点：1、绝对值不等式的解法；2、绝对值不等式的证明.。

昆明市2024届“三诊一模”高考模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，已知集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{}1,2 B.{}3,4 C.{}5,6 D.{}3,4,5,62.已知点()1,2A 在抛物线()2:20C y px p =>的图象上，F 为C 的焦点，则AF =（）A.B.2C.3D.3.已知ABC 中，3AB =，4BC =，AC =，则ABC 的面积等于（）A.3B.C.5D.4.某学校邀请,,,,A B C D E 五个班的班干部座谈，其中A 班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则A 班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）A.10B.12C.16D.205.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的必要条件B.若m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”是“m α∥”的充分条件C.若m α⊥，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件D.若m α∥，则“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为35，第二次投篮命中的概率为710，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是p ，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是12p ，则p =（）A.34B.78C.25D.577.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座ABCD 是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 一头连着底座端点，另一头都连在球O 的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球O 的体积为（）A.108π3B.256π3C.500π3D.864π38.函数()y f x =在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ∈，()()f x f y f+=，()11f =，则下列说法正确的是（）A.()22f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在()0,∞+单调递减D.若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个有限样本空间中，事件,,A B C 发生的概率满足()()()13P A P B P C ===，()59P A B = ，A与C 互斥，则下列说法正确的是（）A.()13P AC =B.A 与B 相互独立C.()127P ABC =D.()89P A B C ≤10.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，若曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则下列说法正确的是（）A.π322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数C.π12x =是函数()f x 的一个极值点 D.()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增11.已知12,F F 分别是双曲线2212y x -=的左、右焦点，M 是左支上一点，且在x 在上方，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若12π2MF F ∠=，则直线MN 的斜率为B.若12π2MF F ∠=，则222F M F N ⋅= C.若12MF F α∠=，则1ON =D.若12MF F α∠=，则cos ON α=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 满足i 2i z =-，则z =__________13.过点()1,m 可以向曲线()e xf x x =作n 条切线，写出满足条件的一组有序实数对(),m n __________14.以max A 表示数集A 中最大的数．已知0a >，0b >，0c >，则11max ,,b a M b c c a ac b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭的最小值为__________四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量()()()1222111,1212211n n n n S F n n S ---=-，其中1n 个数据的方差为21S ，2n 个数据的方差为22S ，且2212S S >．若()1201,1n n F F --≥，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若0F 的临界值采用下表中的数据：11n -21n -123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.045 6.61 5.79 5.41 6.19 5.05 4.95 4.88 4.826 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.157 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：()3,5F 对应的临界值0F 为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.16.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，2421n n n S a a =++，2421n n n T b b =++（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足11n n n n n a c b a a ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n H ．17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足EF l ⊥，1EF BB ⊥．（1）证明：EF ⊥平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值为33，求该三棱台的高．18.已知函数()e sin xf x ax =-；（1）当1a =-时，证明：对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >；（2）若0x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值．19.已知曲线C 由半圆()2210x y x +=≤和半椭圆()22102x y x +=>组成，点M 在半椭圆上，()1,0A -，()1,0B ．（1）求MA MB +的值；（2）N 在曲线C 上，若OM ON ⊥（O 是原点）．（ⅰ）求MN 的取值范围；（ⅱ）如图，点N 在半圆上时，将y 轴左侧半圆沿y 轴折起，使点A 到A '，使点N 到N '，且满足2πA OB ∠'=，求MN '的最大值．昆明市2024届“三诊一模”高考模拟考试数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，已知集合{}1,2,3,4A =，{}3,4,5,6B =，则图中阴影部分所表示的集合为（）A.{}1,2 B.{}3,4 C.{}5,6 D.{}3,4,5,6【答案】A 【解析】【分析】结合韦恩图，根据集合的运算和表示法即可求解.【详解】由题可知阴影部分表示的集合为：{x x A ∈且}x B ∉，即{}1,2.故选：A.2.已知点()1,2A 在抛物线()2:20C y px p =>的图象上，F 为C 的焦点，则AF =（）A.B.2C.3D.【答案】B 【解析】【分析】先根据点()1,2A 在抛物线上求出p ，再根据抛物线的定义求出焦半径即可.【详解】将()1,2A 代入22y px =，即2221p =⨯⨯，所以2p =，所以11122pAF =+=+=.故选：B.3.已知ABC 中，3AB =，4BC =，AC =，则ABC 的面积等于（）A.3B.C.5D.【答案】B 【解析】【分析】由余弦定理及同角三角函数的平方关系得出sin B ，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】由余弦定理得，222222345cos 22346AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，因为B 为三角形内角，则11sin 6B ==，所以11sin 34226ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯⨯⨯= ，故选：B ．4.某学校邀请,,,,A B C D E 五个班的班干部座谈，其中A 班有甲、乙两位班干部到会，其余班级各有一位班干部到会，会上共选3位班干部进行发言，则A 班至少选到一位班干部的不同的选法种数为（）A.10B.12C.16D.20【答案】C 【解析】【分析】由分类加法和分步乘法计数原理计算即可．【详解】由题分两类讨论，当A 班选到1位班干部发言有12C 种选法，其余班级有24C 种选法；当A 班选到2位班干部发言有22C 种选法，其余班级有14C 种选法；故共有12212424C C C C 261416+=⨯+⨯=种选法，故选：C ．5.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的必要条件B.若m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”是“m α∥”的充分条件C.若m α⊥，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件D.若m α∥，则“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用线面垂直的性质可判断A ；利用线面平行的判定和性质可判断B ；利用线面垂直的性质和面面平行的判定可判断C ；利用线面平行的性质可判断D.【详解】对于A ，若m α⊥，则“n α∥”是“m n ⊥”的充分不必要条件，故A 错误；对于B ，m α⊄，n ⊂α，则“m n ∥”⇒“m α∥”⇒“m ，n 平行或异面，所以m n ∥是m α∥的充分条件，故B 正确；对于C ，m α⊥，则“m β⊥”⇔“αβ∥”，则“m β⊥”是“αβ∥”的充要条件，故C 正确；对于D ，m α∥，则“m n ∥”⇒“n α∥或n ⊂α”，“n α∥”⇒“m ，n 相交、平行或异面”，所以“m n ∥”是“n α∥”的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：A .6.在定点投篮练习中，小明第一次投篮命中的概率为35，第二次投篮命中的概率为710，若小明在第一次命中的条件下第二次命中的概率是p ，在第一次未命中的条件下第二次命中的概率是12p ，则p =（）A.34B.78C.25D.57【答案】B 【解析】【分析】利用全概率公式即可求解.【详解】设事件A 表示“小明第一次投篮命中”，事件B 表示“小明第二次投篮命中”，则()()()()371,,,5102P A P B P B A p P B A p ====，所以()()()()()3317155210P B P A P B A P A P B A p p ⎛⎫=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，解得78p =.故选：B .7.某艺术吊灯如图1所示，图2是其几何结构图．底座ABCD 是边长为的正方形，垂直于底座且长度为6的四根吊挂线1AA ，1BB ，1CC ，1DD 一头连着底座端点，另一头都连在球O 的表面上（底座厚度忽略不计），若该艺术吊灯总高度为14，则球O 的体积为（）A.108π3B.256π3C.500π3D.864π3【答案】C 【解析】【分析】由题意做出该艺术吊灯的主视图，确定正方形1111D C B A 的外接圆圆心为1O ，连接1OO ，由勾股定理及球体积公式计算即可．【详解】如图，作出该艺术吊灯的主视图，由已知得四边形1111D C B A 为正方形，则118B D =，设正方形1111D C B A 的外接圆圆心为1O ，连接1OO 交球面于点E ，如图所示，则111OO B D ⊥，所以11114D O B O ==，因为该艺术吊灯总高度为14，116DD BB ==，所以18O E =，设球半径为R ，则18OO R =-，在11Rt OO B 中，()22284R R -+=，解得5R =，所以球O 的体积为3344500πππ5333R =⨯=，故选：C ．8.函数()y f x =在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，对任意x ，R y ∈，()()(22f x f y fx y +=+，()11f =，则下列说法正确的是（）A.()22f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在()0,∞+单调递减D.若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-【答案】D 【解析】【分析】由已知条件，通过赋值法求出(0),(1),(2)f f f 及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性，即可得出判断．【详解】令0x y ==得，2(0)(0)f f =，则(0)0f =；对于A ，令1x y ==，有()212f f =，则22f =，令2x y ==，有()222ff =，则()242f =≠，故A 错误；对于B ，令0y =，则(),0()0,0,(),0f x x f x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，故()f x 为偶函数，故B 错误；对于C ，因为()f x 在R 上的图象是一条连续不断的曲线，且与x 轴有且仅有一个交点，(0)0,(1)10f f ==>，所以当0x >时，()0f x >，设120x x <<，令22121,0x x y x x ==-，则222221211212()))()f x f x x f x x x f x +-=+-=，即222121()())0f x f x f x x -=->，所以()f x 在()0,∞+单调递增，故C 错误；对于D ，由上述结论得，()f x 为偶函数，且在()0,∞+单调递增，(0)0,(2)4f f ==，所以若()4f x ≤，则[]2,2x ∈-，故D 正确；故选：D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一个有限样本空间中，事件,,A B C 发生的概率满足()()()13P A P B P C ===，()59P A B = ，A与C 互斥，则下列说法正确的是（）A.()13P AC =B.A 与B 相互独立C.()127P ABC = D.()89P A B C ≤【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，根据互斥得到()0P AC =，()()()13P AC P A P AC =-=；B 选项，根据()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂求出()19P A B ⋂=，故()()()P A B P A P B ⋂=，B 正确；C 选项，A 与C 互斥，故AB 与C 互斥，故C 正确；D 选项，根据()()8899P A B C P BC ⋃⋃=-≤求出D 正确.【详解】A 选项，A 与C 互斥，故A C ⋂=∅，()0P AC =，则C 包含事件A ，故()()13P AC P A ==，A 正确；B 选项，()()()()P A B P A P B P A B ⋃=+-⋂，即()115339P A B +-⋂=，故()19P A B ⋂=，故()()()P A B P A P B ⋂=，A 与B 相互独立，B 正确；C 选项，A 与C 互斥，故AB 与C 互斥，故()()0P ABC P AB C ⎡⎤=⋂=⎣⎦，C 错误；D 选项，()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ⋃⋃=++---+()()111118333339P BC P BC =++-⨯-=-，因为()0P BC ≥，故()()8899P A B C P BC ⋃⋃=-≤，D 正确.故选：ABD10.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，若曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则下列说法正确的是（）A.π322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.π12y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数C.π12x =是函数()f x 的一个极值点 D.()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】ABC 【解析】【分析】由最小正周期大于π2，关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，可知()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，直接代入函数解析式求解即可；对于B ，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于C ，通过求导，令导函数为0，求得x 的值，并判断π12x =左右两端函数的单调性即可判断；对于D ，通过求函数的单调递增区间即可求解.【详解】因为()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期大于π2，所以2ππ2ω>，即04ω<<，又()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以()πππZ 33k k ω+=∈，所以13k ω=-+，因为04ω<<，所以当1k =时，2ω=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，对于A ，ππππ3sin 2sin 22332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ，ππππsin 2sin 2cos 2121232f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()cos 2cos 2x x -=且x 是全体实数，所以π12y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数，故B 正确；对于C ，()π2cos 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭'，令()0f x '=得ππ12x k =+，Z k ∈，当5ππ,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当π7π,1212x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以π12x =是函数()f x 的极大值点，故C 正确；对于D ，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，函数的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当1k =时，7π13π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然函数在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故D 不正确.故选：ABC .11.已知12,F F 分别是双曲线2212y x -=的左、右焦点，M 是左支上一点，且在x 在上方，过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线，垂足为,N O 是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若12π2MF F ∠=，则直线MN 的斜率为B.若12π2MF F ∠=，则222F M F N ⋅= C.若12MF F α∠=，则1ON =D.若12MF F α∠=，则cos ON α=【答案】AC 【解析】【分析】根据垂直关系以及角平分线可得22π3MOF ∠=，即可求解斜率，判断A ，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B ，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC.【详解】1,a b c ===M 在第二象限，当12π2MF F ∠=时，则112MF F F ⊥，则())12,F F ，故()2M ，122F F c ==，24MF ==,故12π3F MF ∠=,21π6MF F ∠=，由于NM 是12F MF ∠的角平分线，所以2π6NMF ∠=,进而可得22π3MOF ∠=,故斜率为A 正确，由于2NM F N ⊥ ，所以222222142F M F N F N MF ⎛⎫⋅=== ⎪⎝⎭,B错误，延长2F N ,1MF 交于点H ，连接HM ,由于NM 是12F MF ∠的角平分线，2NM F N ⊥，所以2MNH MNF ≅ ,故N 是2HF 的中点，2HM F M =,由双曲线定义可得2111222F M F M a HM F M a HF a -=⇒-=⇒=，又O 是12F F 的中点，1112ON HF a ===,故C 正确，D 错误，故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z 满足i 2i z =-，则z =__________【答案】【解析】【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.【详解】因为复数z 满足i 2i z =-，所以2i12i iz -==--，所以z ==.13.过点()1,m 可以向曲线()e xf x x =作n 条切线，写出满足条件的一组有序实数对(),m n __________【答案】()e,1（答案不唯一）【解析】【分析】设切点坐标为()000,ex x x ，利用导数表示出切线方程，代入点()1,m ，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对m 的取值范围进行讨论，得到0x 解的个数，可得对应的切线条数.【详解】()e xf x x =，()()e e 1e xxxf x x x =+=+'，设所求切线的切点坐标为()000,e x x x ，则切线斜率为()001e x k x=+，得切线方程为()()00000e1e x x y x x x x -=+-，由切线过点()1,m ，有()()00000e 1e 1x x m x x x -=+-，化简得()02001e xm x x =+-，设()()21e xg x x x=+-，则()()22exg x x x -'=-，()0g x '<，解得<2x -或1x >；()0g x '>，解得2<<1x -，()g x 在(),2∞--和()1,∞+上单调递减，在()2,1-上单调递增，极大值()1e g =，极小值()252eg -=-，且12x -<或x >()0g x <，151522x -+<<时，()0g x >，()g x 的函数图象如图所示，则当e m >时，0x 无解，0n =；当e m =或25em <-时，0x 有一个解，1n =；当25e m =-或0e m ≤<时，0x 有两个解，2n =；当250em -<<时，0x 有三个解，3n =.故答案为：()e,1（答案不唯一）14.以max A 表示数集A 中最大的数．已知0a >，0b >，0c >，则11max ,,b a M b c c a ac b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭的最小值为__________【答案】2【解析】【分析】根据题意求出M 所满足的不等式，再结合基本不等式求解即可.【详解】由题意可知11,,b aM M b M c c a ac b≥+≥+≥+,所以有,2112a a bc b c b ac b c aM M ≥++++++≥，因为0,0,0a b c >>>所以14a c b b ac +++≥，当且仅当11,,a b c a b ac a ===，即1a b c ===时取等号，另外14a b c b c a +++≥，当且仅当1,a b c b a c==即,1a b c ==时取等号，综合上述，所以有24M ≥即2M ≥，当且仅当1a b c ===时取等号.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙两位同学组成学习小组进行项目式互助学习，在共同完成某个内容的互助学习后，甲、乙都参加了若干次测试，现从甲的测试成绩里随机抽取了7次成绩，从乙的测试成绩里随机抽取了9次成绩，数据如下：甲：93958172808292乙：858277809486928485经计算得出甲、乙两人的测试成绩的平均数均为85.（1）求甲乙两位同学测试成绩的方差；（2）为检验两组数据的差异性是否显著，可以计算统计量()()()1222111,1212211n n n n S F n n S ---=-，其中1n 个数据的方差为21S ，2n 个数据的方差为22S ，且2212S S >．若()1201,1n n F F --≥，则认为两组数据有显著性差异，否则不能认为两组数据有显著性差异.若0F 的临界值采用下表中的数据：11n -21n -123456781161200216225230234237239218.519.019.219.219.319.319.419.4310.19.559.289.129.018.948.898.8547.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.045 6.61 5.79 5.41 6.19 5.054.954.88 4.8265.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.157 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.7385.324.464.073.843.693.583.503.44例如：()3,5F 对应的临界值0F 为5.41.请根据以上资料判断甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果是否有显著性差异.【答案】（1）24327S =甲，22309S =乙（2）没有显著性差异【解析】【分析】（1）根据数据求出两位同学的均值，再结合均值用方差公式求解即可；（2）根据题意求出()6,8F 的近似值，比较()6,8F 的临界值即可求解.【小问1详解】依题意：93958172808292857x ++++++==甲，858277809486928485859x ++++++++==乙，所以，()2143264100161692594977S =++++++=甲，()21230096425811491099S =++++++++=乙.【小问2详解】由于22S S >甲乙，则2214327S S ==甲，17n =，2222309S S ==乙，29n =，则()()()22116,821224328712887 2.502301115699n n S F n n S ⨯⨯-===≈-⨯⨯，查表得()6,8F 对应的临界值为3.58，则()6,8 2.50 3.58F ≈<，所以甲、乙两位同学进行项目式互助学习的效果没有显著性差异.16.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，2421n n n S a a =++，2421n n n T b b =++（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）已知数列{}n c 满足11n n n n n a c b a a ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n H ．【答案】（1）21n a n =-；()11n n b -=-（2）111,221111,221n n n H n n ⎧⎛⎫- ⎪⎪+⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪+⎝⎭⎩为偶数为奇数【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，结合等差数列和等比数列的定义、通项公式，可得所求；（2）求得n c 后，讨论n 为奇数或偶数，由数列的裂项相消求和，即可得到所求.【小问1详解】当1n =时，2111421S a a =++，即2111421a a a =++，()2110a -=，所以11a =，同理11b =．当2n ≥时，()()221111142n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-+-，化简得：()()111204n n n n a a a a --+--=，因为0n a >，所以12n n a a --=，即12n n a a --=，故2d =，又11a =，所以21n a n =-．同理，10nn b b -+=或12n n b b --=，因为{}n b 是等比数列，所以10n n b b -+=，即1q =-，所以()11n n b -=-．【小问2详解】由（1）知()()()()()11111121111212122121n n n n n n n a n c a a n n n n ---+-+⎛⎫=-⋅=-⋅=+ ⎪-+-+⎝⎭，所以当n 为奇数时，12n nH c c c =++⋅⋅⋅+111111111233523212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋅⋅⋅++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，111221n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，同理当n 为偶数时，111221n H n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．所以111,221111,221n n n H n n ⎧⎛⎫- ⎪⎪+⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+ ⎪⎪+⎝⎭⎩为偶数为奇数.17.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上、下底面是边长分别为2和4的正三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足EF l ⊥，1EF BB ⊥．（1）证明：EF ⊥平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的正弦值为33，求该三棱台的高．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据面面平行的性质定理及线面平行的性质定理可得//l BC ，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面11BCC B 与平面ABC 的法向量，利用线面角的向量求法可得结果.【小问1详解】证明：由三棱台111ABC A B C -知，11//B C 平面ABC ，因为11B C ⊂平面11AB C ，且平面11AB C 平面=ABC l ，所以11B C l ∥，又11B C BC ∥，所以//l BC ，因为EF l ⊥，所以EFBC ⊥，又1EF BB ⊥，1BC BB B = ，且BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以EF ⊥平面11BCC B ．【小问2详解】以A 为原点建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h ，则()2,B，()1B h，()2,C -，()4,0,0CB =，()11,BB h =- ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则40x x hz =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令y h =，则z =，所以平面11BCC B的一个法向量(0,n h =，易得平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，设EF 与平面ABC 夹角为θ，由（1）知//EF n，所以由已知得sin cos ,3m n m n m nθ⋅===⋅，解得h =．18.已知函数()e sin xf x ax =-；（1）当1a =-时，证明：对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >；（2）若0x =是函数()f x 的极值点，求实数a 的值．【答案】（1）证明见解析（2）1【解析】【分析】（1）求导得到函数的单调区间，求出()π6π1e 062f x f -⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭，结合对数的运算可得结果；（2）求导得到函数的单调区间，可得()f x 在π,06⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在()0,∞+单调递增，满足0x =是()f x 的极值点，进而求出结果即可.【小问1详解】当1a =-时，()e sin x f x x =+，()e cos xf x x =+'，当()0,x ∈+∞时，e 1sin x x >≥-，则()0f x >；当π,06x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，cos 0x >，e 0x >，故()0f x ¢>，所以()f x 在π,06⎛⎤- ⎥⎝⎦单调递增，因为e 2.8<<，所以π4e e 64<<，所以π6ln2<，所以πln26<，所以π6e 2<，故()π6π1e 062f x f -⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭；综上，对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0f x >．【小问2详解】x ∈R ，()e cos x f x a ax =-'，因为0x =是()f x 的极值点，所以()010f a '=-=，即1a =．当1a =时，()e sin x f x x =-，令()()e cos x g x f x x =-'=，则()e sin xg x x '=+，由（1）可知，对任意π,6x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '>，故()g x 在π,6∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，又()00g =，故当π,06x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，即()0f x '<，当()0,x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x ¢>，故()f x 在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在()0,∞+单调递增，满足0x =是()f x 的极值点，综上，实数a 的值为1．【点睛】关键点点睛：第二问由极值点求参数可先分析单调性，再由极值点处导数为零求参数即可.19.已知曲线C 由半圆()2210x y x +=≤和半椭圆()22102x y x +=>组成，点M 在半椭圆上，()1,0A -，()1,0B ．（1）求MA MB +的值；（2）N 在曲线C 上，若OM ON ⊥（O 是原点）．（ⅰ）求MN 的取值范围；（ⅱ）如图，点N 在半圆上时，将y 轴左侧半圆沿y 轴折起，使点A 到A '，使点N 到N '，且满足2πA OB ∠'=，求MN '的最大值．【答案】（1）MA MB +=（2）（ⅰ）；（ⅱ【解析】【分析】（1）,A B 是椭圆2212x y +=的左、右焦点，由椭圆的定义求MA MB +的值；（2）（ⅰ）OM ON ⊥，222MN OM ON =+，,M N 两点的位置，分类讨论,OM ON 的值，利用换元法和二次函数的性质可求MN 的取值范围；（ⅱ）过N '作N E '垂直y 轴，垂足为E ，设N Oy ∠α'=，把,ME NE 表示为α的函数，利用换元法和三角函数的性质求MN 的取值范围.【小问1详解】由题意知，,A B 是椭圆2212x y +=的左、右焦点，由椭圆的定义知：MA MB +=．【小问2详解】（ⅰ）由题意知，OM ON ⊥，则222MN OM ON =+，当M为半椭圆右顶点时，MN ==当M 不为半椭圆右顶点时，设直线OM 方程为()0y kx k =≠，联立2212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得22221M x k =+，222221M k y k =+，故2222221k OM k +=+，①若点N 在半圆上，则21ON=，所以2222221122121k MN k k +=+=+++，所以()22122,321MN k =+∈+，所以MN ∈，②若点N 在半椭圆上，因为OM ON ⊥，设直线ON 的方程为1=-y x k ，同理可得222222k ON k +=+，所以()()()222222222612222212212k k k MN k k k k +++=+=++++，令211k t +=>，则()()()()()222222226166611211212119224k t MN t t k k t t t +====-+++⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭，因为1t >，故101t <<，所以2268,3311924MN t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，所以263MN ⎡∈⎢⎣，综上所述，所以MN ∈．（ⅱ）过N '作N E '垂直y 轴，垂足为E ，设N Oy ∠α'=，则sin ,cos N E OE αα=='，π2MOE α∠=-，所以222π2cos 2ME OM OE OM OE α⎛⎫=+-''- ⎪⎝⎭，即2222222222cos cos sin 2121k k ME k k ααα++=+-++，2πA OB ∠'=，则半圆所在平面与半椭圆所在平面垂直，两平面交线为y 轴，则有N E EM '⊥，所以22222222222222222221cos sin sin2121212121k k k k MN ME N E k k k k ααα++++=+=+-=-+++++''，(2222221k m k +=∈+，22sin2132sin23MN m m αα=-+≤-≤'，当且仅当2m =0α=时，MN '3综上所述MN '3【点睛】方法点睛：折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系；折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材；解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化，这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据，而表面展开问题是折叠问题的逆向.。

云南省昆明市第一中学2025届高三下学期联合考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件2．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）A ．37B ．13C D 3．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 4．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.365．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．16．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π；②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②C ．②③D ．③7．阅读下侧程序框图，为使输出的数据为，则①处应填的数字为A ．B ．C ．D ．8．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>9．已知:|1|2p x +> ，:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．3a ≤-C ．1a ≥-D ．1a ≥10．设全集U =R ，集合{}02A x x =<≤，{}1B x x =<，则集合A B =（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．(],2-∞D ．(],1-∞11．已知集合2{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则 A ．{|0e}A B x x =<< B ．{|e}A B x x =< C ．{|0e}A B x x =<<D ．{|1e}AB x x =-<<12．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF =，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024届云南省云南师范大学附属中学高三第二次教学质量监测（数学试题文）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．22．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y y x y kx +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．53C ．2D ．733．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对4．已知直线1:240l ax y ++=，2:(1)20l x a y +-+=，则“1a =-”是“12l l ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12BCD6．已知,a b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则|3|a bi +=（ ）7．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=8．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．459．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a =，则下列结论正确的是（ ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉10．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．10511．已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．13．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA PB PC ==，2AB =，5BC =，3AC =，E ，F分别为AC ，PB 的中点，32EF =，则球O 的体积为______. 14．已知函数f(x)＝322{102x x x x ≥，，（－），＜＜，若关于x 的方程f(x)＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．15．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为_____．16．已知实数x 、y 满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，且可行域表示的区域为三角形，则实数m 的取值范围为______，若目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m 等于______.三、解答题：共70分。

云南省昆明市（新版）2024高考数学部编版质量检测(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，，平面平面，且该四棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．第(2)题已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(3)题某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁第(4)题函数的大致图象可能为（）A．B．C．D．第(5)题艾溪湖大桥由于设计优美，已成为南昌市的一张城市名片.该大桥采用对称式外倾式拱桥结构，与桥面外伸的圆弧形人行步道相对应，寓意“张开双臂，拥抱蓝天”，也有人戏称：像一只展翅的蝴蝶在翩翩起舞（如图）.其中像蝴蝶翅膀的叫桥的拱肋（俗称拱圈），外形是抛物线，最高点即抛物线的顶点在桥水平面的投影恰为劣弧的中点（图2），拱圈在竖直平面内投影的高度为，劣弧所在圆的半径为，拱跨度为，桥面宽为，则关于大桥两个拱圈所在平面夹角的余弦值，下列最接近的值是（）（已知A．B．C．D．第(6)题已知数列满足，，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．第(7)题在直角坐标平面上，点的坐标满足方程，点的坐标满足方程则的取值范围是A．B．C．D．第(8)题已知，集合，，. 关于下列两个命题的判断，说法正确的是（）命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.A．①真命题；②假命题B．①假命题；②真命题C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知为坐标原点，分别为双曲线的上下焦点，是上下顶点，点是双曲线上异于顶点的任意一点，下列说法正确的是（）A．双曲线的焦点坐标为B．以为圆心且与渐近线相切的圆的方程为C．若点到的两条渐近线的距离分别为，则D．直线的斜率之积是定值第(2)题已知函数有唯一零点，则实数的值可以是（）A．B．C．0D．1第(3)题如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（）A．若P为正方体表面上一点，则满足的面积为的点有12个B．动点F的轨迹是一条线段C．三棱锥的体积是随点F的运动而变化的D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设集合，集合，则________．第(2)题已知曲线与的两条公切线的夹角余弦值为，则_________．第(3)题____________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知a，b，c为正数，且满足．(1)证明：；(2)证明：第(2)题如图，在三棱锥中，底面，，，将绕着逆时针旋转到的位置，得到如图所示的组合体，为的中点.(1)当为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；(2)当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.第(3)题英语老师要求学生从周一到周四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）．(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有2个是后两天学习过的单词的概率；(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从周二到周四三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望．第(4)题如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．(1)求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）；(2)求数列的前n项和．第(5)题已知函数（为自然对数的底数，为实数）.(1)当时，求函数在区间上的最值；(2)若，，求实数的取值范围.。

2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷1. 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.下列说法错误的是（ ）A. 若随机变量()2,X N μσ~，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分布比较集中B. 在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型的回归效果，若2R 越大，则说明模型拟合的效果越好C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强D. 对于一组数据1x ，2x ，…，n x ，若所有数据均变成原来的2倍，则2s 变为原来的2倍【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A 正确；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B 正确，C 正确；根据方差的性质，可判定D 错误.【详解】对于A 中，若随机变量()2~,X N μσ，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分布比较集中，所以A 正确；对于B 中，在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型回归效果，2R 越大，说明模型拟合的效果越好，所以B 正确；对于C 中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，所以如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强，所以C 正确；对于D ，若所有数据均变成原来的2倍，则2s 变为原来的4倍，所以D 正确.故选：D ．2. 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）A. 第3项 B. 第4项C. 第5项D. 第6项【答案】C 【解析】【分析】由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得17C C n n =，求出8n =，即可求得展开式中系数最大的项.【详解】由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第8项的系数相等，由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和项的系数相等，所以17C C n n =，所以8n =，则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，故选：C ．3. 函数()()e 1cos e 1xxx f x +=-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域，特殊值，奇偶性，即可判断选项.【详解】()()e 1cos e 1xxx f x +=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，排除D ；因为()20f <，所以排除C ；因为()()()()()e 1cos 1+e cos e 1e1xxxxx x f x fx --+-=-=-=---，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B.故选:A4. 已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，且12AA =，则长方体1111ABCD A B C D -外接球体积的最小值为（ ）A.25π6B.C.D. 125π【答案】C 【解析】【分析】设,AB x BC y ==，结合题意可得8xy =，进而结合长方体外接球半径及基本不等式求得min R ，再根据球的体积公式计算即可.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，设,AB x BC y ==，因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，12AA =，所以216xy =，即8xy =，所以2R =≥==当且仅当x y ==min R =所以长方体1111ABCD A B C D -外接球体积的最小值为34π3⨯=.故选：C.5. 在平面内，设n 是直线l 的法向量（直线的法向量：直线l 的方向向量为a ，若向量n a ⊥ ，则向量n叫做直线l 的法向量），,M N 是平面内的两个定点，M l ∈，N l ∉，若动点P 满足PM n PN n⋅=.则动点P 的轨迹为（ ）A. 圆 B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的定义求解．【详解】PM n n⋅ 表示动点P 到直线l 的距离，PN表示动点P 到定点N 的距离，因为PM n PN n⋅=，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选：D ．6. 已知α，()0,πβ∈，tan α，tan β是方程240x -+=的两个根，则αβ+=（ ）A.π3B.2π3C.4π3D.π3或2π3【答案】B 【解析】【分析】借助韦达定理可得tan +tan αβ、tan tan αβ，再结合α、β所处象限即可得αβ+范围，再利用两角和的正切公式计算即可得解.【详解】因为tan α，tan β是方程240x -+=的两个根，所以tan +tan 0αβ=>，tan tan 40αβ=>，所以tan 0,tan 0αβ>>，因α，()0,πβ∈，所以ππ0,022αβ<<<<，0παβ<+<，因为()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-2π3αβ+=.故选：B.7. 已知曲线Γ的方程为()()222222220x y x yxy x y ++++--=，若经过点()4,2A --的直线l 与曲线Γ有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A. 711,,12322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 177,,172323⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 7,123⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】易得曲线Γ表示以()1,1M --，()1,1N为半径的两个圆，计算可得两圆外切，设过点A 且与圆N 相切的直线方程并借助点到直线的距离公式计算，可得两切线斜率，再排除直线AO 的斜率即可得解.【详解】如图，曲线Γ表示以()1,1M --，()1,1N为半径的两个圆，由MN =设过点A 且与圆N 相切的直线方程为()42y k x =+-，则点N到该直线的距离1d ，解得11k =，2723k =，即图中直线AC 的斜率为1，直线AD 的斜率为723，又直线AO 的斜率为12，所以直线l 斜率的取值范围为711,,12322⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.为故选：A ．8. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i 项为()1,2,,7i a i =⋅⋅⋅，若123a a a <<，345a a a >>，567a a a <<，则这样的数列共有（ ）A. 70个B. 71个C. 80个D. 81个【答案】B 【解析】【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解.【详解】若51a =，则这样的数列有2263C C 45=个；若52a =，则这样的数列有2152C C 20=个；若53a =，则这样的数列有24C 6=个，所以满足条件的数列共有4520671++=个，故选：B ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数z 不为0，其共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ）A. 22z z=B. 复平面内，z 与z 所对应的点关于实轴对称C. z z +，z z -与z z ⋅都是实数D. 若1z z=，则z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的运算，几何意义，定义，即可判断选项.【详解】设()i R z a b a b =+∈，且,a b 不同时为0，则i z a b =-，由()2222i z a b ab =-+，222z a b =+，故A 错误；i z a b =+，对应的点为(),a b ，i z a b =-，对应的点为(),a b -，对应的点关于实轴对称，故B 正确；i z a b =+，i z a b =-，2z z a +=，为实数，2i z z b -=，只有当0b =的时候才是实数，22z z a b ⋅=+，为实数，故C 错误；若1z z=，即21zz z ==，即1z =，所以z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆，故D 正确.故选：BD10. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，8b =，45C =︒.若三角形有两解，则边c 的取值可以是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】BC 【解析】【分析】由余弦定理以及方程22640a c -+-=有两个正根1a ，2a ，从而列出关于c 的不等式即可求解.【详解】由余弦定理得222828cos 45c a a =+-⨯⨯⨯°，即22640a c -+-=.因为三角形有两解， 所以方程22640a c -+-=有两个正根1a ，2a ，由120a a +=>，212640a a c =->，Δ=(2−4(64−c 2)>0得8c <<，故选：BC.11. 已知双曲线2213y x -=，过原点的直线AC ，BD 分别交双曲线于A ，C 和B ，D 四点（A ，B ，C ，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为13-，则tan AOB ∠的可能值为（ ）A. B.C.D. 【答案】AC 【解析】【分析】分点A 位于第一象限时，点B 位于第二象限，和点A 位于第四象限，点B 位于第一象限两种情况结合双曲线的对称性和性质以及对勾函数的单调性求解即可.【详解】如图，当点A 位于第一象限时，点B 位于第二象限，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为13k-，因为渐近线方程为y =，所以(k ∈，()13k-∈，所以k ∈，因为1313tan 12313kk AOB k k --⎛⎫∠==-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，因为函数13y k k =+在上单调递减，在上单调递增，所以函数3123y k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在上单调递增，在上单调递减，而k =时，y =；k =y =；k =y =，所以tan AOB ∠的取值范围为⎛ ⎝；当点A 位于第四象限，点B 位于第一象限，同理可得tan AOB ∠的取值范围为．综上所述，tan AOB ∠的取值范围为⎛ ⎝ .故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合双曲线的对称性和性质得到(k ∈，()13k-∈，进而求得k 的取值范围，从而结合对勾函数的单调性确定tan AOB ∠的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列{}()16,n a n n *≤≤∈N是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______.【答案】25##0.4【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解.【详解】不妨设0d >，则126a a a <<⋅⋅⋅<，其极差为61a a -．若随机删除两项后极差不变，则删除的两项必存在于第2项至第5项，则有24C 种删除方法，所以2426C 2C 5P ==．故答案为：25.13. 若函数()()2f x x x a =+在1x =-处有极小值，则a =______.【答案】3【解析】【分析】首先求函数的导数，根据()10f '-=，求a 的取值，再代入验证，即可求解.【详解】()2234f x x ax a =++'，因为()f x 在1x =-处有极小值，所以()10f '-=，即2430a a -+=，解得1a =或3a =；当1a =时，()()()2341131f x x x x x =++=++'，当1x <-或13x >-时，f ′(x )>0，当113x -<<-时，f ′(x )<0，函数()f x 在1x =-处取得极大值；故1a =不成立，当3a =时，()()()313f x x x +'=+，当3x <-或1x >-时，f ′(x )>0，当31x -<<-时，f ′(x )<0，函数()f x 在1x =-处取得极小值，所以3a =.故答案：314. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ≤），π8x =-为()f x 的零点，π8x =为()f x 图象的为对称轴，且()f x 在ππ,186⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小值为______.【答案】10【解析】【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于ω的关系式，再根据单调区间与周期的关系，再得到ω的范围，再验证，即可求解.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为π8x =-为()f x 的零点，π8x =为()f x 图象的对称轴，所以ππ8842T kT ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()()21π212πZ 444k T k k ω++==⋅∈，所以()()22142Z k k k ω=+=+∈.因为()f x 在ππ186⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，所以ππ6182T ->，所以π12π92ω>⨯，解得9ω>.当10ω=时，由π8x =-为()f x 的零点可得π10π8k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，()5ππ+Z 4k k ϕ=∈，因为π2ϕ≤，所以π4ϕ=.因为()πsin(104f x x =+在ππ186⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，所以ω的最小值为10.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为1:3，男生中“运动达人”占12，女生中“运动达人”占34.（1）根据所给数据完成下面的22⨯列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？女生男生合计运动达人非运动达人合计（2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为34与23，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()2P K k≥0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析，有90％的把握认为“运动达人”和性别有关； （2）47.【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值并作答.（2）利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得.【小问1详解】抽取80人中，女生与男生的人数比为1:3，则女生有20人，男生有60人，男生中“运动达人”占12，女生中“运动达人”占34，则得如下22⨯列联表：女生男生合计运动达人153045非运动达人53035合计206080显然2280(30)803.810 2.706155303520604521K ⨯-⨯⨯⨯>⨯==≈，的所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关.【小问2详解】由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1，记“恰有两人闯关成功”为事件A ，“有女生闯关成功”为事件B ，则232()()(1263327(1)434341P A =⨯-+⨯-⨯⨯=，3321(14434()2P AB ⨯-=⨯⨯=，于是()()()1447716P AB P B A P A ===，所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为47.16. 已知数列{}n a 满足12a =，()()12n n n a n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足21n n b a -=.（1）求2b ，3b 的值；（2）证明：数列{}n b 是等差数列；（3）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】（1）24b =，36b =（2）证明见解析 （3）2222n S n n =+【解析】【分析】（1）根据1,n n b a +的定义即可计算求解；（2）根据等差数列的定义证明即可；（3）由分组求和法以及等差数列求和公式即可求解.小问1详解】由已知得：2321224b a a a ==+=+=，354321222246b a a a a a ==+=+=++=+=.【小问2详解】证明：因为2122n n a a +=+，221n n a a -=，所以()12121212112n n n n n n b b a a a a +-+-+--=-=-=，而112b a ==，所以{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列.【小问3详解】21232n n S a a a a =++++ ，因为21a a =，43a a =，221n n a a -= ，由（2）得2n b n =，所以()()()2213211222222222n n n n n S a a a b b b n n -+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅=+.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是等边三角形，四边形ABCD 是梯形，且//AB CD ，2AD BD ==，12DC AB ==G 是PAD △的重心，AC 与BD 交于点M .（1）证明：//GM 平面PCD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）连接AG 并延长，交PD 于点N ，首先根据题中的条件证明AG AMGN CM=，得到//GM NC ，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线为x 轴， y 轴，过点D 且与PH 平行的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求面面角.【小问1详解】连接AG 并延长，交PD 于点N ，连接CN ，【因为点G 是PAD △的重心，所以N 是PD 的中点，且2AGGN= ，在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，且12DC AB =，所以AMB ∽CMD △,则2AM ABCM CD==，所以AG AMGN CM=，所以//GM NC ，又因为NC ⊂平面PCD ，GM ⊄平面PCD ， 所以//GM 平面PCD ；【小问2详解】取AD 的中点H ，连接PH ，在PAD △中，2PA PD AD ===，所以PH AD ⊥且PH =，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，在ABD △，2AD BD ==，AB =222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，则以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与PH 平行的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C -，(1,P ，所以(1,BP =- ，()1,1,0BC =--，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，令1x =，则1y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故(1,1,n =- ，又()0,2,0DB =为平面PAD 的一个法向量，设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，所以cos cos ,n DB n DB n DBθ⋅=〈===⋅〉所以平面PBC 与平面PAD18. 已知F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π4.（1）求抛物线C 的方程；（2）设()2,1A ，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线2y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，求点F 到直线BN 的距离d 的取值范围.【答案】（1）24x y =（2）⎡⎣【解析】【分析】（1）由题意知圆心必在直线4py =上，由相切即可知34p r =，结合已知圆的面积即可求出2p =，进而可求出抛物线的方程.（2）设211,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，写出直线AB 的方程与2y x =-联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点；则当直线BN 过点F 时，直线BN 与直线FQ 垂直时，d 分别求得最小值和最大值，即可求得点F 到直线BN 的距离d 的取值范围.【小问1详解】设OFM △外接圆的半径为r ，图象如图所示：由图象可知，圆心必在直线4py =上，故3=424p p p r =+，所以239π=π44p ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24x y =.【小问2详解】由（1）知，抛物线C 的方程为：24x y =，则()0,1F ，设211,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()2,1A ，则直线AB 的方程为：()21114122x y x x --=--，化简得：()1+2124x y x -=-，与2y x =-联立得：11282p x x x -=-，把()11242p x x x -=-代入2=4x y 得：21142N x y x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，即()21111244,22x x N x x ⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则直线BN 的方程：()()221121111114422442x x x x y x x x x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-=----，化简得()111141+422x x x y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，当2x =，2y =时恒成立，所以直线BN 恒过定点()2,2Q .当直线BN 过点F 时，点F 到直线BN 的距离d 取得最小值，即0d =；当直线BN 与直线FQ 垂直时，d FQ ===即点F 到直线BN 的距离d ，所以，点F 到直线BN 的距离d 的取值范围是⎡⎣.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线AB 和直线2y x =-求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程，判断出直线BN 恒过定点.19. 已知函数()23ln f x x x a x =-+，a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[]1,2x ∈上的最小值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，求a 的取值范围；（3）若函数()g x 的图象上存在两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <，使得()()1212122g x g x x x g x x -+⎛⎫'=⎪-⎝⎭，则称()y g x =为“拉格朗日中值函数”，并称线段AB 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数()f x 是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数()f x 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.【答案】（1）2 （2）2a ≤-（3）当0a =时，函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()f x 不是“拉格朗日中值函数”；理由见解析.【解析】【分析】（1）利用导数得出函数的单调性，进而得函数的最小值；（2）利用导数的几何意义可得()2230x x af x x-+'=≤在[]12，上恒成立，参变分离可得()2min23a x x≤-+即可，求223y x x =-+在[]12，上的最小值即可得解；（3）假设函数()f x 是“拉格朗日中值函数”， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是()f x 上不同的两点，且120x x <<，代入()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫= ⎪'-⎝⎭，当0a ≠时，整理得21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，设21x t x =()1t >，上式化为4ln 21+=+t t ，然后构造函数()4ln 1h t t t =++，根据导数研究此方程是否成立，从而可确定假设是否成立.【小问1详解】由题意可知当1a =时，()23ln f x x x x =-+，f ′(x )≥0，且[]1,2x ∈所以f ′(x )≥0，()f x 在区间[]1,2x ∈上为增函数，所以函数()f x 的最小值为()12f =- ；【小问2详解】由题意可得()22323a x x af x x x x='-+=-+，若函数()f x 在区间[]12，上单调递减，则2230x x a -+≤在[]1,2x ∈恒成立，即223a x x ≤-+在[]1,2x ∈恒成立，只需()2min23a x x≤-+即可，又因为当[]1,2x ∈时[]2232,1y x x =-+∈-，所以2a ≤-.【小问3详解】假设函数()f x 是“拉格朗日中值函数”，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是()f x 上不同的两点，且120x x <<，由题意可得()211113ln f x x x a x =-+，()222223ln f x x x a x =-+，则()()()()()222121212121212121213ln ln ln ln 3AB f x f x x x x x a x x a x x k x x x x x x x x ----+--===+-+---，函数()f x 在拉格朗日平均值点处的切线斜率121212232x x a k f x x x x +⎛⎫==+-+⎪+⎝⎭'，由AB k k =整理可得()212112ln ln 2a x x ax x x x -=-+，当0a =时，()212112ln ln 2a x x ax x x x -=-+恒成立，则函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()212112ln ln 2a x x a x x x x -=-+即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，令21x t x =()1t >，上式化为()214ln 211t t t t -==-++，即4ln 21+=+t t ，令()4ln 1h t t t =++，则()()()()22211411t h t t t t t -=-=+'+，因为1t >，所以()0h t '>恒成立，所以()h t 在(1,+∞)上单调递增，()()12h t h >=恒成立，所以在(1,+∞)上不存在t 使得4ln 21+=+t t ，即不存在这样的,A B 两点使得()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫= ⎪'-⎝⎭；综上所述，当0a =时，函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()f x 不是“拉格朗日中值函数”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到：当0a ≠时，21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，设21x t x =()1t >，上式化为4ln 21+=+t t ，然后构造函数()4ln 1h t t t =++，利用导数研究方程的根，由此即可顺利得解.。