沪教版 平面向量的坐标表示及线性运算

《24.7向量的线性运算》讲义同学们好，咱们现在已经到了九年级啦，在沪教版（上海）的数学教材里，今天咱们要一起学习第二十四章相似三角形里的第四节内容，也就是向量的线性运算。

这部分知识呀，就像打开数学世界里一个新的小宝藏箱，里面有很多有趣的东西等着咱们去发现呢。

那什么是向量呢？我给大家讲个事儿啊。

有一次我去公园遛弯儿，看到一个小朋友在放风筝。

那风筝线就好像是一个向量。

风筝线有长度吧，这就相当于向量的大小；风筝线还有方向，是朝着天上风筝的方向，这就是向量的方向。

所以说向量这个东西啊，就是既有大小又有方向的量。

咱们再来说说向量的表示方法。

通常呢，我们可以用有向线段来表示向量。

就像刚刚说的风筝线，我们可以把它看成是一条有方向的线段。

在纸上画的时候，我们用一个箭头来表示方向，线段的长度就表示向量的大小。

比如说，我们画一个小箭头从点A指向点B，这个就可以表示一个向量，我们可以写成向量AB，这个箭头可不能丢哦，丢了就不知道方向啦。

一、向量的加法运算1、三角形法则咱们先来讲向量加法的三角形法则。

还是拿刚刚放风筝的事儿来说，假如这个小朋友先往东走了一段距离，这可以看成是一个向量，我们就叫向量a吧。

然后呢，他又往北走了一段距离，这就是另一个向量，叫向量b。

那他从最开始的位置到最后的位置这个总的位移呢，就是向量a和向量b的和。

咱们在图上画的时候，就把向量a的终点和向量b的起点连起来，然后从向量a的起点指向向量b的终点的这个向量，就是向量a加向量b。

这就像你要去一个地方，先走了一段路，接着又走了另一段路，总的路程就是这两段路的合成。

2、平行四边形法则除了三角形法则，向量加法还有平行四边形法则呢。

想象一下，你和你的小伙伴一起推一个箱子。

你从箱子的左边往右边用力，这是一个向量，你的小伙伴从箱子的前面往后面用力，这是另一个向量。

那箱子最终移动的方向和距离呢，就是这两个向量的和。

在图上怎么画呢？我们把这两个向量的起点放在一起，然后以这两个向量为邻边作一个平行四边形，那从这两个向量共同的起点指向平行四边形对角顶点的这个向量，就是这两个向量的和。

===3 OA AB BCOC a数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量．实数与向量相乘的运算=ka k a2a=8(3443b a bc --⨯55a -b ．，EF 是梯形中位线，AD2,4,a CB EF ==2,2CB EF aa==备注：老师适当给出标准过程供学生模拟；a b 那么由a b 可知a b b a=b k a =；b ka =-，3参考答案：1．平行； 2．平行 e =C . 设a 是非零向量，且a e ，那么a a e =D . 设a 是非零向量，且a e ，那么a a e =± 参考答案：C 备注：重点强调单位向量的概念； 试一试：假设向量b 与单位向量e 的方向一样，且1||||2b e =，那么b ＝________．〔用e 表示〕 参考答案：12e例题2： 如图，两个不平行的向量,a b ．先化简，再求作：．〔不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量〕解： 如图：,2OA a AB b =-=那么2OB a b =-+为所求备注：老师注意总结引出以下概念：1．向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2．假如,a b 是两个不平行的向量，x 、y 是实数，那么xa yb +叫做,a b 线性组合.例题3：如图，梯形ABCD 中，AB //CD ，E 、F 是AD 、BC 的中点，假设AB a =，CD b =，那么用a 、b 的线性组合表示向量EF = ．13(3)()22a b a b +-+13(3)()22a b a b +-+13322a b a b =+--2a b =-+1(22AB DC a +=注意向量和所求向量的方向，要求学生习惯性在图中标出。

77b2．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1,向量a 和b 的起点、终点都是小正方形的顶点.请完成以下问题：〔1〕设1113()4()324m a b a b =---，225()3(6)33n a b a b =+-+，判断向量,m n 是否平行，说明理由； 〔2〕在正方形网格中画出向量：342b a -，并写出342b a -的模．〔不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量〕．解：(1) ∵m a = 13n a =- ∵13n m =- ∵ n m(2) 图略 3452b a -=. 3．如图，12//l l ，点A 、G 、B 、C 分别在1l 和2l 上，25AF AB =． 〔1〕求AGBC的值； 〔2〕假设AB a =，AC b =，用向量a 与b 表示AG ．l 1l 2FABCG解：〔1〕∵12//l l ∵AF AGBF BC=∵25AF AB =∵23AF BF = ∵23AG BC = (2) ∵AB a =，AC b = ∵BC b a =-∵23AG BC = ∵AG =2222()3333BC b a a b -=--=-4．如图，在ABC ∆中，点D 是边AB 的中点，2AB AC =，4BC =.〔1〕求CD 的长；〔2〕设AB a =，AC b =，求向量CD 〔用向量a 、b 表示〕.解：〔1〕∵点D 是边AB 的中点，2AB AC =，∵1222AD AB AC == ∵22AD AC =，1222AC AB ==∵AD ACAC AB=，又A ∠公共．∵ADC ∆∵ACB ∆ ∵CD ACBC AB=，即242CD =，∵22CD = 〔2〕∵点D 是边AB 的中点，∵1122AD AB a == ∵ 12CD AD AC a b =-=-GDBCA课堂回忆：〔此环节设计时间在5－10分钟内〕让学生回忆本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科老师引导为辅，为本次课做一个总结回忆课后作业：【稳固练习】1．如图，在ABC ∆中，点G 是重心， 设向量AB a =，GD b =，那么向量BC = 〔结果用a 、b 表示〕．2．G 是∵ABC 的重心，设AB a =，AC b =，那么AG = 〔用a 、b 表示〕．3．如图，梯形ABCD 中，AB ∵CD ，2AB CD =，AD a = ，AB b =，请用向量a b 、表示向量AC = ．4．在△ABC 中，点D在边BC 上，2CD BD =, AB a =, BC b = ，那么DA = ． 5．如图，点E 是平行四边形ABCD 边BC 上一点，且:2:1BE ED =，点F 是边CD 的中点，AE 与BF 交于点O ，〔1〕设,AB a AD b ==，试用a 、b 表示AE ；〔2〕求:BO OF 的值。

平面向量的坐标表示与运算学习平面向量的坐标表示及其运算法则平面向量的坐标表示与运算平面向量是解析几何学中的重要概念，它可以通过坐标表示和进行各种运算。

本文将介绍平面向量的坐标表示及其运算法则。

一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，一个向量可以用有序实数对（x, y）表示，其中x代表向量在x轴上的投影长度，y代表向量在y轴上的投影长度。

这个有序实数对称为向量的坐标表示。

例如，对于平面上的向量AB，若A点的坐标为（x₁, y₁），B点的坐标为（x₂, y₂），则向量AB的坐标表示为（x₂ - x₁, y₂ - y₁）。

二、平面向量的运算法则1. 加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后将它们的终点连线，新的向量就是连接相接点与连接终点的线段的向量。

对于向量AB和向量CD，它们的和向量为向量AC。

和向量的坐标表示为（x₂ - x₁ + x₄ - x₃, y₂ - y₁ + y₄ - y₃）。

2. 数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

数乘改变了向量的大小，但不改变其方向。

对于向量AB和实数k，向量kAB的坐标表示为（k(x₂ - x₁), k(y₂- y₁)）。

3. 减法：向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。

对于向量AB和向量CD，它们的差向量为向量AD。

差向量的坐标表示为（x₂ - x₁ - x₄ + x₃, y₂ - y₁ - y₄ + y₃）。

4. 模长：向量的模长表示了向量的大小。

在平面直角坐标系中，向量（x, y）的模长表示为√(x² + y²)。

三、平面向量的运算实例例1：已知向量A(3, 4)，向量B(5, 2)，求向量A + 向量B 和向量A - 向量B的坐标表示。

解：向量A + 向量B的坐标表示为（3 + 5, 4 + 2），即(8, 6)。

课 题：平面向量的坐标运算教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。

教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、复习引入：1.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

2．向量加法的交换律：a +b =b +a 3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b的差。

即：a - b = a + (-b )5．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。

6．实数与向量的积：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ（1）|λa ρ|=|λ||a ρ|；（2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 7．运算定律 λ(μa ρ)=(λμ)a ρ，(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ，λ(a ρ+b ρ)=λa ρ+λb ρ8． 向量共线定理 向量b ρ与非零向量a ρ共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b ρ=λa ρ。

9．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ρ，有且只有一对实数λ1，λ2使a ρ=λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ρ，1e ，2e 唯一确定的数量10．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

平面向量的坐标表示与线性运算平面向量是平面上一个有大小和方向的箭头，它由起点和终点确定。

在数学中，可以通过坐标表示来描述平面向量，这种表示方法可使计算和运算更加方便。

一、平面向量的坐标表示平面中的向量可以由两个有序实数对表示，根据坐标轴的方向，通常用(x, y)表示平面向量。

其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

这种表示方法类似于笛卡尔坐标系中的点的表示方法。

例如，有一个向量a，它的起点在原点(0, 0)，终点在点A(x1, y1)上。

那么这个向量的坐标表示就是(a1, a2) = (x1, y1)。

其中，a1 = x1，a2 =y1。

同样地，对于任意两个平面向量a和b，它们的坐标表示分别为(a1, a2)和(b1, b2)。

二、平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘两种操作。

1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量相加得到一个新的向量。

加法的运算规则如下：(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)通过向量的加法，可以得到一个新的向量，它的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。

这个新的向量叫做"和向量"。

2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。

数乘的运算规则如下：k(a1, a2) = (ka1, ka2)通过向量的数乘，可以得到一个新的向量，它的起点与原向量相同，终点在与原向量方向相同（若k>0）或相反（若k<0）的位置。

这个新的向量也叫做"倍数向量"。

三、例题解析假设有向量a = (3, -2)和向量b = (1, 4)，我们来进行一些常见的线性运算。

1. 向量的加法a +b = (3, -2) + (1, 4) = (3 + 1, -2 + 4) = (4, 2)2. 向量的数乘2a = 2(3, -2) = (2 * 3, 2 * -2) = (6, -4)-3b = -3(1, 4) = (-3 * 1, -3 * 4) = (-3, -12)通过以上例题可以看出，平面向量的坐标表示和线性运算在数学中有着广泛的应用。

平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容．在八年级下学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此基础上．本讲主要讲解实数与向量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是在几何图形中对目标向量进行线性表示．1、平面向量的相关概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．平面向量的线性运算内容分析知识结构模块一：实数与向量相乘知识精讲2、 平面向量的加减法则（1） 几个向量相加的多边形法则； （2） 向量减法的三角形法则； （3） 向量加法的平行四边形法则． 3、 实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作ka ． （1） 如果0k ≠，且0a ≠，那么ka 的长度ka k a =；ka 的方向：当k > 0时ka 与a 同方向；当k < 0时ka 与a 反方向．（2） 如果k = 0或0a =，那么0ka =． 4、 实数与向量相乘的运算律设m 、n 为实数，则 （1） ()()m na mn a =； （2） ()m n a ma na +=+； （3） ()m a b ma mb +=+． 5、 平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =． 6、 单位向量单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设e 为单位向量，则1e =． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量a ，与它同方向的单位向量记作0a ． 由实数与向量的乘积可知：0a a a =，01a a a =．例题解析【例1】下列命题中的假命题是（）（A）向量AB与BA的长度相等（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同（C）只有零向量的长度等于0（D）平行的单位向量都相等【难度】★【答案】D【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时是相反向量．【总结】此题主要考查向量的相关概念．【例2】填空：++=；+=；AB BC CAAB BC++=；AB BC BA++=；AE FC EFAB AC BC+-=．-+=；OA BC OC【难度】★【答案】AC；0；BC；AC；0；BA．【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如AB AC CB-=是利用减法法则，箭头指向被减数，同时AB AC AB CA CA AB CB-=+=+=，这样运算复杂了，但也是一种思路．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．ABDOA BCDEF G H O【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ．设OA a =，OB b =，试用a 、b 表示下列向量：OC ，OD ，AB ，BC ，CD ，DA ．【难度】★【答案】OC a OD b AB b a BC b a CD a b DA a b =-=-=-=--=-=+；；；；；． 【解析】利用平行四边形对边平行且相等,对角线互相平分的性质来求解以上向量:OC OA a =-=-；OD OB b =-=-；AB OB OA b a =-=-；BC OC OB a b =-=--；CD AB a b =-=-；DA BC a b =-=+．【总结】此题主要考查向量的加减运算法则．【例4】 已知非零向量a ，求作75a ，3a -．【难度】★【答案】略【解析】75a 与a 方向相同，长度是a 的75倍；3a -方向与a 相反，长度是a 的3倍，作图略．【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量．【例5】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点，EG 与FH 相交于点O ．设AB a =，AD b =，试用向量a 或b 表示向量OE 、OF ，并写出图中与OG 相等的向量． 【难度】★【答案】11;22OE a OF b =-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；．【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，所以利用平行四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以1111;2222OE AB a OF AD b ==-=-=-=-，与OG 相等的向量有EO AF FB DH HC ；；；；五个．【例6】 计算：()35a -⨯=；()()743a b a b a +--+= ；()()1123a b a b +--=．【难度】★【答案】151561166a ab a b -++；；．【解析】（1）()3515a a -⨯=-；（2）()()74377443611a b a b a a b a b a a b +--+=+-++=+； （3）()()1111111523223366a b a b a b a b a b +--=+-+=+． 【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则．【例7】 用单位向量e 表示下列向量：（1）a 与e 方向相同，且长度为9； （2）b 与e 方向相反，且长度为5； （3）c 与e 方向相反，且长度为35．【难度】★【答案】3955a eb ec e ==-=-；；．【解析】此题主要考查用单位向量e 来表示已知向量,3955a eb ec e ==-=-；；．【例8】 已知非零向量a ，求作（1）22+3a a ；（2）4-25a a ．【难度】★★ 【答案】略【解析】28233a a a +=方向与a 相同，长度是a 的83倍；46255a a a -=-方向与a 相反，长度是a 的65倍，作图略．ABCDE【例9】 如图，已知点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，DE //BC ，AD = 4，BD = 7，试用向量BC 表示向量DE ． 【难度】★★ 【答案】411DE BC =． 【解析】∵47AD BD ==，，∴411AD AB =， 又∵//DE BC ， ∴DE ADBC AB=．∴411DE BC =． 【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向量表示未知向量时一定要注意方向是否相同．【例10】下列说法中，正确的是（ ）A ．一个向量与零相乘，乘积为零B ．向量不能与无理数相乘C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反【难度】★★ 【答案】D【解析】A 选项向量与零相乘，结果是零向量；B 选项向量可以与任何实数相乘；C 选项非零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定． 【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则． 【例11】如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，且AF a =，AE b =，用a 、b 表示DB ，其结果是．【难度】★★【答案】22DB b a =-．【解析】222222DB DA AB FA AE AE AF b a =+=+=-=-． 【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则．【例12】 如果5OA =，3OB =，那么AB 的取值范围是 ．【难度】★★ 【答案】28AB ≤≤．【解析】AB OA OB =-,当O 、A 、B 三点共线时，OA OB -分别取最大值与最小值，,OA OB 同向时取最小值2，方向相反时取最大值8，所以28AB ≤≤． 【总结】此题主要考查向量的模的概念． 【例13】计算：（1）3322a b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）()()32523a b a b +--； （3）()1123322a b c b c ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）1322a b --；（2）17b ；（3）32a b c -+．【解析】（1）333313222222a b a a b a a b ⎛⎫--=--=-- ⎪⎝⎭；（2）()()325236156217a b a b a b a b b +--=+-+=；（3）()1113332333222222a b c b c a b c b c a b c ⎛⎫+---=+--+=-+ ⎪⎝⎭． 【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例14】设a 、b 是已知向量，解关于向量c 的方程42307c a b +-=．【难度】★★【答案】2372c b a =-．【解析】解：∵42307c a b +-=，∴4237c b a =-，∴2372c b a =-．【总结】此题主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量．a【例15】 已知向量a 、b 满足()3132525a b a b a b +--=+，求证：向量a 和b 平行． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】()3132525a b a b a b +--=+ 去分母：2(3)5()2(32)a b a b a b +--=+ 去括号：265564a b a b a b +-+=+ 移项合并得：79b a = 系数化1：97b a =所以，向量a 和b 平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行． 【例16】已知324a b c +=，25a b c -=，其中0c ≠，那么向量a 与b 是否平行？【难度】★★ 【答案】平行．【解析】联立方程组：32425a b c a b c⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a cb c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以，向量a 与b 平行．【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行． 【例17】如图，已知a ，求作13a -【难度】★★★ 【答案】略【解析】AD a =作，过点D 作线段BC ，使得D 是BC 中点，联结、AC ．取AC 中点，则AD 、BE 分别是三角形ABC 心的性质可知：13DG a =-为所求作向量.【总结】此题主要是利用重心的性质定理来求作一个向量．CA【例18】 已知梯形ABCD 中，AD //BC ，且AD = 2AB = 2CD ，60B ∠=︒． （1）若AD kBC =，求实数k 的值；（2）若0xAB BC yDC ++=，求实数x 、y 的值．【难度】★★★ 【答案】（1）23k =；（2）3,3x y ==-. 【解析】（1）如图，过点A 、D 分别作梯形的高AE 、DF ，设AB ＝CD ＝a ，则2AD EF a ==，∵∠B ＝60°，∴∠BAE ＝30°，∴2a BE =，同理2aCF =，可得3BC a =，∵AD BC ，∴22,33AD BC k ==即.（2）延长BA 、CD 相交于点G ，易得BCG 、ADG 是等边三角形，所以3GB GC a ==，根据三角形法则，0GB BC CG ++=，又∵3,3GB AB CG DC ==-，∴33033AB BC DC x y +-===-，即，.【例19】a 、b 是已知向量，且a 、b 不平行，c 是未知向量，且1230a b c -+=，表示13a 、4b -、c 的有向线段能构成三角形吗？ 【难度】★★★ 【答案】能构成三角形.【解析】因为1230a b c -+=,两边同时除以3,得1403a b c -+=,因为a 、b 不平行，所以13a 、4b -、c 不共线，即13a 、4b -、c 能构成三角形.【总结】在三角形ABC 中，0,AB BC CA ++=同理若0a b c a b c ++=，，不共线，且，则表示a b c ，，的三条有向线段能构成三角形.【例20】 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--． 求证：四边形ABCD 为梯形．【难度】★★★ 【答案】略【解析】∵245382AD AB BC CD a b a b a b a b =++=+----=--，4BC a b =--，∴2(4)2AD a b BC =--=， ∴//AD BC ．∴四边形ABCD 是梯形．【总结】本题主要考查平行向量与两条直线平行的关系．1、 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算．如25a b +、3a b -、()23a b +、3553a a b ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭等，都是向量的线性运算．一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么c 可以用a 、b 表示，并且通常将其表达式整理成c xa yb =+的形式，其中x 、y 是实数． 2、 向量的合成与分解如果a 、b 是两个不平行的向量，c ma nb =+（m 、n 是实数），那么向量c 就是向量ma 与nb 的合成；也可以说向量c 分解为ma 、nb 两个向量，这时，向量ma 与nb 是向量c 分别在a 、b 方向上的分向量，ma nb +是向量c 关于a 、b 的分解式．平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解．【例21】 如图，已知非零向量a 、b ，以点O 为起点，求作向量322a b -+．【难度】★ 【答案】略【解析】作法（作图过程略）：以O 为起点，作2OA a =-，以A 为起点，作32AB b =，联结OB ．则322OB a b =-+，为所求作图形．【总结】本题主要是通过向量的线性运算表示出向量之后，再利用向量的加减运算法则来作图．模块二：向量的线性运算知识精讲例题解析ab O【例22】 计算：（1）111252324a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12513362a b a b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★【答案】（1）28134a b --；（2）1726a b --． 【解析】（1）11125281252103243434a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-+=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）12511251173362336226a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫--+=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”．【例23】 已知向量a 、b 不平行，x 、y 是实数，且()31xa yb ya x b +=-+，求x 、y 的值． 【难度】★【答案】∵()31xa yb ya x b +=-+，∴3(1)x yy x =⎧⎨=-+⎩．解得：3414x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法．【例24】如图，已知向量OA 、OB 和a 、b ，求作： （1）向量a 分别在OA 、OB 方向上的分向量； （2）向量b 分别在OA 、OB 方向上的分向量．【难度】★★ 【答案】略【解析】作法（作图略）：（1）以a 的起点，分别作OB 、OA 的平行线OC 、OD ，以a 的终点分别作OC 、OD 的平行线，交于E 、F 两点，则OE OF a OA OB ，是在，方向上的分向量． （2）作法同（1）．【总结】本题主要考查求一个向量的分向量的方法．ABCD EO【例25】若()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，其中a 、b 、c 为已知向量，求未知向量x ． 【难度】★★【答案】4112177x a b c =-+．【解析】∵()1123032x a b c x b ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，∴321122322x x a b c +=-+．∴4112177x a b c =-+． 【总结】本题考查解向量方程，思想类比普通方程的解法：去分母→去括号→移项→合并化简→系数化1. 【例26】已知O 为ABC ∆内一点，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且12AD DB =，DE //BC ．设OB b =，OC c =，试用b 、c 表示DE ．【难度】★★【答案】1133DE b c =-+.【解析】∵BC BO OC b c =+=-+，又∵DE //BC ，12AD DB =， ∴13DE BC =，即13DE BC =． ∴1133DE b c =-+．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助三角形一边平行线的性质定理求解向量．A BC DNMABCDE【例27】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别为DC 、BC 的中点，已知AM m =，AN n =，试用m 、n 表示AB 和AD ．【难度】★★【答案】42334233AB n m AD m n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.【解析】由题意得，AB BN AN AD DM AM⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 即1212AB AD n AD AB m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解方程组，得42334233AB n m AD m n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题主要是将向量与几何图形结合，借助平行四边形的性质以及向量的加减法则来表示向量．【例28】如图，在ABC ∆中，D 是AB 边的中点，E 是BC 延长线上一点，且BE = 2BC ． （1）用BA 、BC 表示向量DE ； （2）用CA 、CB 表示向量DB ．【难度】★★【答案】（1）12;2DE BA BC =-+（2）1122DB CB CA =-.【解析】（1）∵DE DB BE =+，D 是AB 边的中点，且BE ＝2BC∴122DE BA BC =-+；（2）∵12DB AB =， ∴111()222DB AC CB CB CA =+=-． 【总结】平面向量的分解，关键点是将已知向量用向量的加减法则改写成分解式，再乘以相关的系数来完成各个方向的分解.FA B CE GHABCDNM【例29】 如图，平行四边形ABCD 中，点M 、N 是边DC 、BC 的中点，设AB a =，AD b =，分别求向量MN 、BN 关于a 、b 的分解式． 【难度】★★【答案】111;222MN a b BN b =-=.【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,AD BC AB DC ==．又∵M 、N 是边DC 、BC 的中点， ∴11()22MN MC CN AB AD =+=+-． 即1122MN a b =-， 11=22BN BC b =．【总结】本题一方面考查向量在某个方向上的分向量的概念，另一方面与几何图形结合，利用相关性质完成求解过程．【例30】已知平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，分别求向量OC 、OD 、AB 、BC 关于a 、b 的分解式． 【难度】★★【答案】OC a OD b AB a b BC b a =-=-=-+=--；；；. 【解析】本题考查平面向量的分解，结合平行四边形性质应用.【例31】如图，在ABC ∆中，G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，CA a =，BC b =，写出AB 、EF 、GH 关于a 、b 的线性组合，并通过向量证明EF 、GH 、AB 之间的位置关系．【难度】★★★ 【答案】EF GH AB .【解析】∵AB AC CB a b =+=--，又∵G 、E 为AC 的三等分点，F 、H 为BC 的三等分点，∴2233GH GC CH a b =+=--，1133EF EC CF a b =+=--，∴21,33GH AB EF AB ==．即EF GH AB ．【总结】本题主要是考查如何在几何图形中借助几何图形的性质来表示未知向量．ABCDE F ONM【例32】 已知点A 、B 、C 在射线OM 上，点D 、E 、F 在射线ON 上，1OB OEk OA OD==，2OC OFk OA OD==．设OA a =，OD b =． （1）分别求向量AD 、BE 、CF 关于a 、b 的分解式； （2）判断直线AD 、BE 、CF 是否平行．【难度】★★★【答案】（1）12()()AD a b BE k b a CF k b a =-+=-=-；；； （2）直线AD 、BE 、CF 两两平行． 【解析】（1）AD AO OD a b =+=-+；∵1OB OE k OA OD ==，2OC OFk OA OD==， ∴1122OB k OA OE k OD OC k OA OF k OD ====，，，． ∴111()BE BO OE k OA k OD k b a =+=-+=-．同理2()CF k b a =-；（2）∵12;BE k AD CF k AD ==，∴直线AD BE CF 、、两两平行．【总结】本题考查利用向量证明直线平行位置关系．【习题1】以非零向量a为参照，分别说出向量3a、53a-、()5a--的方向和长度．【难度】★【答案】3a与a方向相同，长度是a的3倍；5 3 a-与a方向相反，长度是a的53；5()5a a--=方向与a相同，长度是a的5倍.【解析】本题主要考查共线向量的方向和大小问题．【习题2】已知非零向量k，2a k=-，5b k=，用a表示b，其结果是．【难度】★【答案】52b a =-.【解析】∵2a k=-，5b k=，∴52ba=．又∵b a与方向相反，∴52b a =-．【总结】本题一方面考查向量的线性运算，一方面考查了相反向量的概念，注意两个向量互为相反向量时的符号关系．【习题3】已知不平行的两个向量a、b，求作向量2a b-+．【难度】★【答案】略【解析】作法:以O为起点,作OA b=,以O为起点,作2OB a=,则=2OA OB BA b a-=-.所以BA为所求作图形.【总结】本题主要考查如何根据已知向量求作未知向量．随堂检测【习题4】 下列命题中，错误的个数是（）○1若a 、b 都是单位向量，则a b =； ○2若m = 0或0a =，则0ma =； ○3设m 、n 为实数，则()m n a ma na +=+； ○4任意非零向量a ，与a 同方向的单位向量是0a ，则0a a =． （A ）1个（B ）2个 （C ）3个 （D ）4个【难度】★★ 【答案】C【解析】选项①：单位向量的方向是任意的；选项②：零与向量相乘的结果是零向量，而不是零；选项④：只能判断方向，大小不确定，所以错误的个数有3个. 【总结】本题主要是考查与向量有关的概念，解题时要注意认真辨析．【习题5】 已知，在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB AD =，那么四边形ABCD 是．【难度】★★ 【答案】菱形． 【解析】∵AB DC =，∴AB CD AB CD =且． ∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵AB AD =，∴AB ＝AD ．∴四边形ABCD 是菱形．【总结】本题主要是根据向量之间的关系判断出向量所对应的线段的位置及数量关系，从而得到几何图形的具体特征．【习题6】 设a 、b 、c 是向量，m 、n 是实数，化简：（1）()()()()m na b c n ma b c n m b c +--+-+--； （2）()()2222mna mb nc m na b nc +--++．【难度】★★【答案】（1）0；（2）0．【解析】（1）去括号：()()mna mb mc mna nb nc n m b m n c =+---++-+-化简合并：000a b +=；（2）方法同上．【总结】本题考查向量的化简合并，在去括号时要注意变号问题．【习题7】 M 、N 是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点，若AB a =，AC b =，用a ，b 表示MN ． 【难度】★★【答案】当M 点靠近B 点时，1133MN b a =-；当M 点靠近C 点时，1133MN a b =-.【解析】本题考查向量的分解，此题容易漏解,M 、N 是ABC ∆的一边BC 上的两个三等分点，有两种位置关系，当M 点靠近B 点时，1133MN b a =-；当M 点靠近C 点时，1133MN a b =-.【习题8】 已知ABC ∆的边BC 的中点为O ，设OA a =，OB b =，分别求向量AB 、AC 、BC 关于a 、b 的分解式．【难度】★★【答案】2AB b a AC a b BC b =-=--=-；；. 【解析】AB OB OA b a =-=-；因为O 为边BC 的中点，所以OC OB =-，即AC OC OA b a =-=--；2BC b =-．【总结】本题主要考查向量分向量的相关作图及概念．ABCD E F G【习题9】 已知向量a 、b 不平行，点A 、B 、C 共线，且2AB a kb =+，4AC a b =-，求实数k 的值． 【难度】★★★ 【答案】8k =-．【解析】∵点A 、B 、C 共线，∴()AB AC λλ=为实数．∵122()2AB a kb a kb =+=+ ，4AC a b =-，∴2142k λ=⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴8k =-．【总结】本题主要考查向量的线性运算以及当两个向量共线时所具有的性质．【习题10】 如图，已知平行四边形ABCD ，点E 、F 分别是边BC 、DC 的中点，G 为交点，若AB a =，AD b =，试以a 、b 表示DE 、BF 、CG ． 【难度】★★★【答案】11112233DE a b BF b a CG a b =-=-=--；；．【解析】（1）11()22DE DC CE AB AD a b =+=+-=-；（2）11()22BF BC CF AD AB b a =+=+-=-；（3）联结BD ．∵E 、F 分别是边BC 、DC 的中点， ∴G 是三角形BCD 的重心，∴12FG GB =． ∵1111111()()()()2323232CG CF FG a FB a BF a b a =+=-+=--=---，∴1133CG a b =--．【总结】本题主要考查平行四边形背景中平面向量的线性运算,其中第三问重心的应用非常巧妙．【作业1】 已知，向量AB 的方向是东南方向，且5AB =，那么向量2AB -的方向是；2BA -=．【难度】★【答案】西北方向；10．【解析】本题考查共线向量的方向和大小．【作业2】 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设CG a =，CH b =，试用a 、b 表示向量DC 、FH 和BD ．【难度】★【答案】2222DC b FH a BD b a =-=-=-；；． 【解析】∵H 是CD 中点，∴22DC CH b =-=-．∵E 、F 、G 、H 分别为平行四边形各边的中点， ∴利用平行四边形的性质，可得：22FH CG a =-=-；22BD CD CB b a =-=-．【总结】本题主要是在平行四边形的背景下，利用平行四边形的相关性质用已知向量来表示未知向量．【作业3】 下列说法正确的有（）个（1）零向量是没有方向的向量； （2）零向量的方向是任意的； （3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线．（A ）1（B ）2（C ）3（D ）以上都不对【难度】★ 【答案】B【解析】本题考查零向量的概念，零向量的方向是任意的，与任何向量共线．课后作业A BCDEFGH O【作业4】 已知不平行的两个向量a 、b ，求作向量()51222a b a b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭．【难度】★★【答案】化简结果得3522a b -+，作图略．【解析】本题考查向量的合成，利用三角形法则或者平行四边形法则完成作图即可．【作业5】 下列结论中，正确的是（）（A ）2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量 （B ）若AB 是单位向量，则BA 不是单位向量（C ）若O 是直线l 上一点，单位长度已选定，则l 上只有两点A 、B ，使得OA 、OB 是单位向量（D ）计算向量的模与单位长度无关 【难度】★★ 【答案】C【解析】选项A 是错误的，因为单位向量是相对向量，1个单位长度不代表就是1厘米或者1米，如果把2004厘米长的有向线段作为基准的话，它本身就是单位向量．【作业6】 若31122202245p q m q p m ⎛⎫⎛⎫---++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中p 、q 为已知向量，求未知向量m ． 【难度】★★ 【答案】4157m p q =-+. 【解析】去括号：3311120244210p q m q p m --+-+=； 去分母：30155102400p q m q p m --+-+=；（可以不去分母） 移项合并：35285m p q =-+； 系数化1：4157m p q =-+． 【总结】本题考查解方程的步骤，需要熟练的计算能力．ABCDPQR【作业7】 如图，四边形ABCD 中，点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点．设AD a =，BC b =，试用a 、b 表示向量PQ ．【难度】★★【答案】1122PQ a b =-．【解析】∵点P 、Q 、R 分别是对角线AC 、BD 和边AB 的中点，∴RQ PR BAD ABC 、分别是和的中位线． ∴12RQ AD RQ AD =，；12RP BC RP BC =，． ∴1122RQ AD RP BC ==；． 又∵PQ RQ RP =-， ∴1122PQ a b =-．【总结】本题主要结合三角形中位线考查向量的分解．【作业8】 已知ABC ∆中，点M 在A B 上，点N 在AC 上，13AM AB =，13AN AC =． 求证：13MN BC =．【难度】★★ 【答案】略【解析】∵MN MA AN =+，13AM AB =，13AN AC =， ∴1133MN AB AC =-+1()3AC AB =- 13BC =． 【总结】本题主要考查向量的线性运算．aABCDEFM【作业9】 如图，点M 是的重心，则MA MB MC +-为（）（A ）0（B ）4ME（C ）4MD（D ）4MF【难度】★★★ 【答案】D【解析】延长MF 到点G ，使得MF ＝FG ，联结AG ，易证MFB GFA ≅．∴,MB AG MB AG =，∴2MA MB MA AG MG MF +=+==． 又∵点M 是三角形的重心， ∴2CM MF =，即2CM FM =．∴MA MB MC +-=4MF ．【总结】本题结合三角形重心考查向量的线性运算，另外我们可证+0MA MB MC +=．【作业10】 如图，已知a ，求作3a （提示：利用勾股定理）． 【难度】★★★ 【答案】略 【解析】作法：（1）作OA a =，过点O 作OA 的垂线，截取OB ＝OA ；（2）以点B 为顶角，作∠OBD ＝60°，交OA 的延长线于点D ；（3）设a 的模长为m ，根据含30°角的直角三角形性质及勾股定理，得3OD m =； （4）3OD a a 与方向相同，长度是 的倍； （5）所以，=3OD a ，为所求作向量．【总结】本题主要是借助几何图形的性质来求作向量．。

8.1（1）向量的坐标表示及其运算（1）一、教材分析作为本章的第一课时，本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算.它是本章重要的基础性与前提性内容，它引入了将向量问题代数化的基本手段与方法——向量的坐标表示. 本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后，通过任意向量都可以正交分解为基本单位向量的线性组合，在向量的正交分解的基础上抽象概括出向量的坐标表示形式，并依据向量的正交分解的本质得到向量坐标形式下的运算法则. 本节课要着力解决三个问题：一是要解决引入向量的坐标形式的必要性的问题，以引起学生学习的动机，二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐标形式或者说是如何让学生理解向量坐标的本质的问题，三是要解决引入向量坐标形式以后如何以坐标形式进行运算的问题.作为本节课(本章的第一个课时)来说，第二个问题是重中重之中，因为如果学生不能理解向量的坐标是怎么来的，它的本质是什么，就会对后继学习带来一定的困难.因此，我们在课上要对这一点特别的重视.二、教学目标设计：教学目标1.了解基本单位向量、位置向量、向量的正交分解等概念；2.会用坐标表示向量；3.掌握向量加法、减法及实数与向量的乘法的坐标表示法。

教学重点:如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用；教学难点:平面向量坐标的意义教学过程一、复习回顾1、向量：既有大小又有方向的量2、向量的模：向量AB的大小，即线段AB的长度3、相等向量：两个向量的模相等且方向相同4、向量加减法：平行四边形法则、三角形法则λ与a方向相同，模是a模的λ倍5、实数λ与向量a的乘积：a6、单位向量：模为1的向量叫作单位向量【说明】复习初中所学的向量知识，为本堂课的学习做铺垫。

这部分可作为学生的预习作业，上课时快速复习一下。

二．学习新课（一）引入（紧接复习回顾） 练习：如图，已知,i j 为单位向量且i j ⊥，3,2OA OB ==问题1：如何用,i j 表示,OA OB ？答：3,2OA i OB j ==问题2：试作出向量+OA OB ，并用,i j 表示答：由平行四边形法则，+32OCOA OB i j ==+教师将图补成平面直角坐标系，点C 即为(3,2)，而32OC i j =+，将点C 与OC 相联系，引发学生思考。