高一数学人教a版必修1学业分层测评19_幂函数

2022-2023学年人教A 版必修第一册3.3 幂函数课堂练习一、单选题1．设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )=A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+ 2．已知函数()321()1m f x m m x -=--是幂函数，对任意的12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，满足()()12120f x f x x x ->-，若,,0a b R a b ∈+<，则()()f a f b +的值（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断3．若幂函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该函数的图像（ ） A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称 4．已知()()22327m f x m m x-=--是幂函数，且在()0,∞+上单调递增，则满足()11f a ->的实数a 的范国为（ ）A ．(),0-∞B ．()2,+∞C ．()0,2D ．()(),02,-∞+∞ 5．若幂函数()222333m m y m m x +-=++的图象不过原点且关于原点对称，则（ ）A ．2m =-B ．1m =-C ．2m =-或1m =-D ．31m -≤≤-6．定义在R 上的奇函数()f x 在[)0∞+，上单调递减，若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）.A ．[22]-，B ．[11]-，C ．[0]4，D ．[1]3，二、多选题7．函数12()f x x =，则下列说法正确的是（ ）A ．若1x >，则()1f x >B ．若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-C ．若120x x <<，则2112()()x f x x f x ⋅<⋅D ．若120x x <<，则1212()()()22f x f x x x f ++< 8．下列说法正确的是（ ）A ．命题“0x ∃∈R ，200320x x ++≤”的否定是“x ∀∈R ，2320x x ++>” B ．幂函数()()2231mm f x m m x +-=--为奇函数 C ．()1f x x =的单调减区间为()(),00,∞-+∞D ．函数()y f x =的图象与y 轴的交点至多有1个9．已知函数f （x ）=xa 的图象经过点（12，2），则（ ）A ．f （x ）的图象经过点（2，4）B ．f （x ）的图象关于原点对称C ．f （x ）在（0，+∞）上单调递增D ．f （x ）在（0，+∞）内的值域为（0，+∞） 10．若函数y ＝xα的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．311．已知幂函数()f x x α=的图象经过点()2,4，则下列判断中正确的是（ ）A ．函数图象经过点()1,1-B ．当[]1,2x ∈-时，函数()f x 的值域是[]1,4C ．函数满足()()0f x f x +-=D ．函数()f x 的单调减区间为(],0-∞三、填空题12．已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.13．已知幂函数()233m y m m x =--的图象不过原点，则实数m =___________. 14．函数21()(5)m f x m m x +=--是幂函数，且为奇函数，则实数m 的值是_____．四、解答题15．试利用函数的性质，比较a b c ，，的大小：12121.1 1.5 1.2a b c -===，，.16．已知223()m m f x x +-=（m ∈Z ）的图像关于y 轴对称且在(0,)+∞上()f x 随着x 值的增大而减小，求()f x 的解析式及其定义域、值域，并比较(2)f -与(1)f -的大小. 17．已知幂函数()24m m f x x -=（m Z ∈）的图像关于y 轴对称，且()()23f f <. （1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围.参考答案与试题解析1．D2．B3．B4．D5．A6．D7．AD8．ABD9．BD10．BD11．AD12．113．1-14．2-15．b a c >>16．4()f x x -=，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0,)+∞， (2)(1)f f -<-. 17．（1）()4f x x =；（2）1(,)(3,)3-∞-+∞.。

微专题30 幂函数15种常考题型总结题型1 幂函数的概念辨析题型2 求幂函数的解析式或值题型3 根据函数是幂函数求参数值题型4 幂函数的定义域问题题型5 幂函数的值域问题题型6 幂函数的图象及应用题型7 幂函数的图象过定点问题题型8 判断幂函数的单调性题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性题型10 由幂函数的单调性求参数题型11比较幂值的大小题型12 利用幂函数的单调性解不等式题型13 幂函数的奇偶性的应用题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用题型15 幂函数性质的综合应用1、幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．幂函数的特征：（1）x α的系数是1；（2）x α的底数x 是自变量；（3）x α的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y ＝(2x )α，y ＝2x 5，y ＝x α＋6等的函数都不是幂函数．2、五个幂函数的图象与性质（1）在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．注：第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象．（2）五个幂函数的性质y＝xy＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1定义域R R R [0，＋∞){x |x ≠0}值域R [0，＋∞)R [0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减3、一般幂函数的图象特征（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减．（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．（5）在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．4、幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③x α的系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y ＝x α(α为常数)这一形式．5、求幂函数的定义域和值域的方法幂函数的定义域和值域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解．幂函数的定义域由幂指数a 确定：（1）当幂指数a 取正整数时，定义域为R ，当a 为正偶数时，值域为[0,)+¥；当a 为奇数时，值域为R ．（2）当幂指数a 取零或负整数时，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，当0a =时，值域为{}1；当a 为负偶数时，值域为(0,)+¥；当a 为负奇数时，值域为{}0y y ¹．（3）当幂指数a 取分数时，可以先化为根式，再利用根式有意义求定义域和值域．6、幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y ＝x α在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f (x )在其他象限内的图象．7、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y ＝x α(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．8、解决幂函数图象问题应把握的原则(1)依据图象高低判断幂指数的大小，相关结论为：①在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝12y x=或y ＝x 3)来判断．9、比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．10、利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．题型1 幂函数的概念辨析【例1】下列函数是幂函数的是（ ）A ．31y x =B ．2x y =C ．22y x =D ．1y x -=-【答案】A【解析】由幂函数的定义,形如y x a =，R a Î叫幂函数，对A ，331y x x-==，故A 正确；B ，C ，D 均不符合.故选：A ．【变式1】下列函数中幂函数的是（ ）A ．3y x =B ．22y x =+C ．()21y x =+D ．y =【答案】D【分析】根据幂函数的定义直接得出结果.【详解】A ：函数3y x =为一次函数，故A 不符合题意；B ：函数22y x =+为二次函数，故B 不符合题意；C ：函数22(1)21y x x x =+=++为二次函数，故C 不符合题意；D ：函数12y x ==为幂函数，故D 符合题意.故选：D【变式2】现有下列函数：①3y x =；②24y x =；③51y x =+；④()21y x =-；⑤y x =，其中幂函数的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由幂函数的定义即可求解.【详解】由于幂函数的一般表达式为：(),0y x aa =¹；逐一对比可知题述中的幂函数有①3y x =；⑤y x =共两个.故选：C.题型2 求幂函数的解析式或值【例2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则14f æö=ç÷èø．【答案】8【分析】设出解析式，代入点的坐标，求出()32f x x -=，再代入求值即可.【详解】令()f x x a=，由题意得2a =，即132222222a -==，解得32a =-，故()32f x x -=，则()323212284f --æö===ç÷èø．故答案为：8【变式1】函数()2227y k k x =--是幂函数，则实数k 的值是（ ）A ．4k =B ．2k =-C ．4k =或2k =-D ．4k ¹且2k ¹-【答案】C【解析】由幂函数的定义知2271k k --=，即2280k k --=，解得4k =或2k =-．故选：C【变式2】设函数()121,02,0xx x f x x ìï+>=íï£î，则()(4)f f -= ．【答案】54【分析】根据分段函数的知识求得正确答案.【详解】()442f --=，()()()144225(4)221214f f f ----==+=+=.故答案为：54【变式3】已知幂函数()f x 满足(6)4(2)f f =，则13f æöç÷èø的值为（ ）A ．2B ．14C ．14-D ．2-【答案】B【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.【详解】依题意，设()f x x a=，则(6)634(2)2f f aa a ===，所以1111()()3334f a a ===.故选：B【变式4】若函数()log 238a y x =-+（0a >且1a ¹）的图象恒过点P ，且点P 在幂函数()f x 的图象上，则()4f = ．【答案】64【分析】先找到定点P 的坐标，通过P 点坐标求解幂函数()f x x a=的解析式，从而可求()4f ．【详解】对于函数log 238ay x =-+（），令231x -=，解得2x =，此时8y =，因此函数log 238ay x =-+（）的图象恒过定点()2,8P ，设幂函数()f x x a=，P 在幂函数()f x 的图象上，82a \=，解得3a =．()3f x x \=．则()34464==f .故答案为：64题型3 根据函数是幂函数求参数值【例3】已知幂函数()(2)n f x m x =+的图象经过点(4,2)，则m n -=（ ）A ．3-B ．52-C ．2-D ．32-【答案】D【分析】根据幂函数的定义求解即可》【详解】依题意可得21m +=,所以1m =-,又()nf x x =的图象经过点()4,2,所以42n =,解得12n =,所以13122m n -=--=-.故选：D.【变式1】己知幂函数()(1)af x k x =-×的图象过点12æççè，则()f k = .【分析】先根据幂函数的定义及所过的点求出函数解析式，进而可得出答案.【详解】因为函数()(1)a f x k x =-×是幂函数，所以11k -=，解得2k =，又幂函数()a f x x =的图象过点12æççè，所以12aæö=ç÷èø12a =，所以12()f x x =，所以()()2f k f ==【变式2】已知幂函数()f x k x a=×的图象过点()3,9，则k a +=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义，求得1k =，再由()39f =，求得2a =，即可求解.【详解】由幂函数的定义，可得1k =，又由()39f =，可得39a =，解得2a =，所以3k a +=．故选：C.【变式3】“4m =”是“()22()33m f x m m x +=--是幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.【详解】因为()()2233m f x m m x +=--是幂函数，所以2331m m --=，解得4m =或1m =-，故“4m =”是“()()2233m f x m m x +=--是幂函数”的充分不必要条件.故选：A.题型4 幂函数的定义域问题【例4】下列函数中定义域为R 的是（ ）A ．12y x =B ．54y x =C ．23y x =D ．13y x -=【答案】C【分析】将分数指数幂化为根式，再根据幂函数的图像与性质即可得到答案.【详解】12y x ==[0,)+¥，故A 错误；54y x ==[0,)+¥，故B 错误；23y x ==R ，故C 正确；13y x-=={0}x x ¹∣，故D 错误，故选：C.【变式1】函数()0=f x x 的定义域是（ ）A ．(],2-¥B ．()0,2C ．()(),00,2-¥U D ．()(],00,2-¥È【答案】C【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.【详解】要使函数()0=f x x 有意义，则有200x x ->ìí¹î，解得：2x <且0x ¹，所以函数的定义域为(,0)(0,2)-¥U ，故选：C .【变式2】函数()112f x x x -=+的定义域为（ ）A ．(),-¥+¥B ．()(),00,¥-+¥UC ．[)0,¥+D ．()0,¥+【答案】D【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】因为()1121f x x x x -=+=，则00x x ¹ìí³î，可得0x >，故函数()f x 的定义域为()0,¥+.故选：D.【变式3】已知幂函数()y f x =的图象过点()4,2，则()112f x -的定义域为 ．【答案】1(,)2-¥【分析】首先求幂函数的解析式，再求函数的定义域，根据复合函数的形式，求函数的定义域.【详解】∵()y f x x a==的图象过点()4,2，∴()f x =()112f x =-x 应该满足：120x ->，即12x <，∴()112f x -的定义域为1,2æö-¥ç÷èø．故答案为：1,2æö-¥ç÷èø题型5 幂函数的值域问题【例5】下列函数中，值域为()0,¥+的是（ ）A ．()f xB ．()1(0)f x x x x=+>C ．()f x =D ．()11(1)f x x x=->【答案】C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.【详解】由已知()f x [)0,¥+，故A 错误；()1021x f x x x x >\=+³== ，，时，等号成立，所以()1(0)f x x x x =+>的值域是[)2,+¥，B 错误；()f x =因为定义域为()1,x ¥Î-+0> ，函数值域为(0,)+¥，故C 正确；1()1(1)f x x x =->，()10,1x Î，()11,0x -Î-，所以()()0,1f x Î，故D 错误.故选：C.【变式1】下列四个幂函数：①3y x -=；②2y x -=；③23y x -=；④32y x =的值域为同一区间的是 .（只需填写正确答案的序号）【答案】②③【解析】对于①，331y x x -==，则其值域为{}0y y ¹；对于②，221y x x-==，则其值域为{}0y y >；对于③，23y x-==，则其值域为{}0y y >，对于④，332y x ==，则其值域为{}0y y ³.综上符合题意的是②③.【变式2】在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ）A ．13y x =B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D【解析】由13y x ==x R Î,R y Î，定义域、值域相同；由12y x ==[0,)x Î+¥，[0,)y Î+¥，定义域、值域相同；由53y x ==可知，x R Î,，定义域、值域相同R y Î；由23y x ==x R Î，[0,)y Î+¥，定义域、值域不相同.故选：D【变式3】函数213324y x x =++，其中8x -…，则其值域为.【答案】[)3,+¥/()3y y ³【分析】利用换元法将函数化为2224(1)3y t t t =++=++，结合二次函数的性质即可得出结果.【详解】设13t x =，则2224(1)3y t t t =++=++.因为8x -…，所以2t -…. 当1t =-时，min 3y =.所以函数的值域为[3)+¥，.故答案为：[3)+¥，【变式4】已知函数())2()x a f x x x a ì³ï=í<ïî，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．[1,0)-D ．[1,0]-【答案】D【分析】求出分段函数在各段上的函数值集合，再根据给定值域，列出不等式求解作答.【详解】函数y =[,)a +¥上单调递减，其函数值集合为(,-¥，当0a >时，2y x =的取值集合为[0,)+¥，()f x 的值域(,[0,)R -¥È+¥¹，不符合题意，当0a £时，函数2y x =在(,)a -¥上单调递减，其函数值集合为2(,)a +¥，因函数()f x 的值域为R ，则有2a ³，解得10a -££，所以实数a 的取值范围为[1,0]-.故选：D题型6 幂函数的图象及应用【例6】图中1C 、2C 、3C 为三个幂函数y x a =在第一象限内的图象，则解析式中指数a 的值依次可以是（ ）A ．12、3、1-B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a 的值.【详解】在题给坐标系中，作直线12x =，分别交曲线321,,C C C 于A 、B 、C 三点则A B C y y y <<，又1312111122822-æöæöæö=<=<=ç÷ç÷ç÷èøèøèø则点A 在幂函数3y x =图像上，点B 在幂函数12y x =图像上，点C 在幂函数1y x -=图像上，则曲线123,,C C C 对应的指数分别为11,,32-故选：D【变式1】如图的曲线是幂函数n y x =在第一象限内的图象.已知n 分别取112,,,222--四个值，与曲线1234C C C C 、、、相应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,2,,22--C ．11,,2,222--D ．112,,2,22--【答案】A【解析】由幂函数的单调性可知曲线1234C C C C 、、、相应的n 应为112,,,222--.故选：A【变式2】幂函数2y x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，即可得解.【详解】幂函数()221y f x x x -===定义域为{}|0x x ¹，且()()()2211f x f x x x -===-，所以()2y f x x -==为偶函数，函数图象关于y 轴对称，又当()0,x Î+¥时()2y f x x -==单调递减，则()2y f x x -==在(),0¥-上单调递增，故符合题意的只有C.故选：C【变式3】下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）A ．①3y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -=B ．①2y x =，②13y x =，③12y x =，④1y x -=C ．①2y x =，②3y x =，③12y x =，④1y x -=D ．①13y x =，②12y x =，③2y x =，④1y x -=【答案】A【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.【详解】函数3y x =为奇函数且定义域为R ，该函数图像应与①对应；函数20y x =³，且该函数是偶函数，其图像关于y 轴对称，该函数图像应与②对应；12y x ==[)0,¥+，该函数图像应与③对应；11y x x-==，其图像应与④对应．故选：A ．【变式4】函数()54f x x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】()54f x x =的定义域为R ，且()()5544f x x x f x -=-==，故()54f x x =为偶函数，排除AB ，因为514>，故函数在()0,¥+上增长速度越来越快，为下凸函数，C 正确，D 错误.故选：C 【变式5】已知函数()02,0x f x x x³ï=í<ïî，若()()g x f x =-，则函数()g x 的图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】作出函数()00x f x ³=<的图象如下图所示：因为()()g x f x =-，则将函数()f x 的图象关于x 轴对称，可得出函数()g x 的图象，如下图所示：故选：C.【变式6】【多选】函数()241f x ax x =++与()ag x x =在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据各选项中二次函数图象特征确定a 的正负，再观察幂函数图象判断即得.【详解】对于A ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如2a =，A 可能；对于B ，二次函数开口向下，则0a <，此时存在()ag x x =与图中符合，如1a =-，B 可能；对于C ，二次函数开口向上，则0a >，此时存在()ag x x =与图中符合，如12a =，C 可能；对于D ，二次函数开口向上，则0a >，此时()ag x x =在()0,¥+为增函数，不符合，D 不可能.故选：ABC【变式7】【多选】下列幂函数中满足条件()()()121212022f x f x x x f x x ++æö<<<ç÷èø的函数是（ ）A ．()f x x =B ．()2f x x=C ．()f x =D ．()1f x x=【答案】BD【分析】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线,据此分析各选项中的函数图像是否满足题意即可.【详解】由题意知,当0x >时,()f x 的图象是凹形曲线.对于A,函数()f x x =的图象是一条直线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö=ç÷èø,不满足题意；对于B,函数()2f x x =的图象是凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意；对于C,函数()f x =,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èø,不满足题意；对于D,在第一象限内,函数()1f x x =的图象是一条凹形曲线,则当120x x <<时,有()()121222f x f x x x f ++æö<ç÷èø,满足题意.故选:BD.题型7 幂函数的图象过定点问题【例7】函数()2y x aa =-为常数的图象过定点．【答案】()1,1-【分析】利用11a =求得正确答案.【详解】当1x =时，121y a =-=-，所以定点为()1,1-.故答案为：()1,1-【变式1】【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）A ．2y ax a =+-B ．1a y x =+C ．11(0,1)x y a a a -=+>¹D ．log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹【答案】ABC【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A ：(1)2y a x =-+必过(1,2)；B ：1a y x =+，由11a =知函数必过(1,2)；C ：11(0,1)x y a a a -=+>¹，由01a =知函数必过(1,2)；D ：log (2)1(0,1)a y x a a =-+>¹，由log 10a =知函数必过(1,1)；∴A 、B 、C 过相同的定点.故选：ABC.【变式2】已知函数y x a =的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0m >，0n >，则11m n+的最小值为 .【答案】4【解析】函数y x a =的图象恒过定点(1,1)A ，所以1m n += ,因为,0m n >，所以1111()()224m n m n m n m n n m +=++=++=+=，当12m n ==时，11m n+的最小值为4.【变式3】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x mm m -=->¹的图象所经过的定点，则b 的值等于（ ）A ．12±B ．C ．2D ．2±【答案】B【分析】先根据幂函数定义得1a =，再确定()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，代入()g x 解得b 的值.【详解】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，则2()g x x =；函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->¹，当x b = 时，11()22b b f b a -=-=，故()f x 的图像所经过的定点为1,2b æöç÷èø，所以1()2g b =，即212b =，解得：b =,故选：B.【变式4】若函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，且()23af x x +=+，则()yg x =必过定点（ ）A ．()4,0B ．()4,1C ．()4,2D ．()4,3【答案】D【解析】()23af x x +=+ ，()()23af x x \=-+，()()33234af \=-+=，所以，函数()y f x =的图象过定点()3,4，又 函数()y f x =与()y g x =图象关于y x =对称，因此，函数()y g x =必过定点()4,3.故选：D.题型8 判断幂函数的单调性【例8】【多选】下列函数中，在区间()0,¥+单调递减的是（ ）A ．21y x =B ．()ln 1y x =+C ．1y x x=+D ．2xy -=【答案】AD【分析】由复合函数的单调性、指数函数、幂函数及对勾函数单调性判断各个选项即可.【详解】对于A 项，由幂函数性质知，221y x x-==在(0,)+¥上单调递减，故A 项正确；对于B 项，令1t x =+（0x >），则ln y t =（1t >），因为1t x =+在(0,)+¥上单调递增，ln y t =在在(1,)+¥上单调递增，所以ln(1)y x =+在(0,)+¥上单调递增，故B 项不成立；对于C 项，由对勾函数性质可知，1y x x=+在(0,1)上单调递减，在(1,)+¥上单调递增，故C 项不成立；对于D 项，因为12(2xx y -==，所以2x y -=在(0,)+¥上单调递减，故D 项正确.故选：AD.【变式1】【多选】下列函数中，满足“x "ÎR ，()()0f x f x --=，且1x "，2(,0)x Î-¥，都有1212()()0f x f x x x ->-”的是（ ）A ．()51f x x =+B ．3()f x x=-C ．4()f x x=D ．2()2022f x x =-+【答案】BD【分析】由题意得函数()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，然后逐个分析判断即可.【详解】由()(),0x f x f x "Î--=R ，知函数()f x 是偶函数，由()12,,0x x ¥"Î-，都有()()12120f x f x x x ->-，知()f x 在(),0¥-上单调递增，所以()f x 在(0,+∞)上单调递减.对于A ：()51f x x =+不满足为偶函数，故A 错误；对于B:()333,0,0x x f x x x x ì£=-=í->î，符合题意，故B 正确；对于C ：4()f x x=不满足为偶函数，故C 错误；对于D:()22022f x x =-+符合题意.故选：BD.题型9 判断与幂函数相关的复合函数的单调性A ．[)2,+¥B ．[)4,+¥C ．(],2-¥D ．(],0-¥【答案】B【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可判断.【详解】令24t x x =-,则y =由240x x -³，解得4x ³或0x £，故函数y ={0x x £或x ≥4}.又函数24t x x =-在(],0-¥上单调递减，在[)4,+¥上单调递增,y 在[)0,+¥上单调递增，则函数y =[)4,+¥上单调递增.故选：B.【变式1】函数y =的单调减区间为 ；【答案】(],5-¥-【分析】先求解原函数的定义域，然后根据复合函数单调性分析求解即可.【详解】解：令245u x x =+-，则y =y =与245u x x =+-复合而成的函数. 令2450u x x =+-³，得5x £-或1x ³.易知245u x x =+-在(],5-¥-上是减函数，在[)1,+¥上是增函数，而y =在[)0,¥+上是增函数，所以y =(],5-¥-.故答案为：(],5-¥-.【变式2】已知幂函数()f x 的图象过点æççè，则函数()22y f x x =+的单调递增区间为（ ）A ．(),2¥--B ．(),1¥--C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)【答案】A【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果．【详解】设()f x x a=，因为()f x 的图象过点æççè，所以2a=，解得12a =-，即()12f x x -=，可得()f x 在(0,+∞)上单调递减，则函数()()122222y f x x x x -=+=+=，由220x x +>，解得2x <-或0x >，则函数22y x x =+在(),2¥--上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以函数()22y f x x =+的单调递增区间为(),2¥--.故选：A.【变式3】【多选】已知幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）A ．()f x 为增函数B ．若120x x >>，则()()121222f x f x x x f ++æö>ç÷èøC ．()f x 为偶函数D ．若1x >，则()1f x >【答案】ABD【分析】根据幂函数经过点(9,3)，求出幂函数的解析式，利用幂函数的性质可直接判断选 项A ，C ，D 正误；对于选项B ，根据函数解析式分别表示出()()1212(),22f x f x x x f ++，再利用不等式的性质比较大小即可.【详解】解：由幂函数()n f x x =的图像经过点(9,3)，得93n =，所以12n =.12()f x x ==[0,)+¥，对于A 选项：因为102>，由幂函数的性质得A 选项正确；对于B 选项：若120x x >>，则12(2x xf +()()12221212[([]222f x f x x x x x f +++-=21204x x -=>（），所以()()122212[()][]22f x f x x xf ++>，又()()1212()0,022f x f x x x f ++=>=>，所以()()1212(22f x f x x xf ++>，故B 选项正确；对于C 选项：由于定义域不关于数字0对称，故C 选项不正确；对于D 选项：因为()f x 为增函数，若1x >，则()(1)1f x f >=，故D 选项正确；故选：ABD.题型10 由幂函数的单调性求参数【例10】已知幂函数()()12232mf x m m x -=-满足()()23f f <,则m =.【答案】13-【分析】根据幂函数的定义,得2321m m -=,解得1m =或13m =-,分别代入()f x 判断函数单调性即可.【详解】由幂函数的定义可知,2321m m -=,即23210m m --=,解得1m =或13m =-.当1m =时,()12f x x -=在()0,¥+上单调递减,不满足()()23f f <；当13m =-时,()56f x x =在()0,¥+上单调递增,满足()()23f f <.综上,13m =-.故答案为：13-.【变式1】幂函数()()2345m f x m m x -=--在()0,¥+上为减函数，则m 的值为．【答案】2-【分析】根据幂函数定义求出m 的值，再利用单调性进行检验即得.【详解】因()()2345m f x m m x -=--是幂函数，则25=1m m --，解得：3m =或2m =-.当3m =时，5()f x x =，此时函数在()0,¥+上为增函数，舍去；当2m =-时，10()f x x -=，此时函数在()0,¥+上为减函数，符合题意.故答案为：2-.【变式2】已知幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，则k = .【答案】1【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为幂函数()1232k y k k x-=-在区间()0,¥+上是严格增函数，所以221103k k k ì-=ïí->ïî，解得1k =.故答案为：1【变式3】已知2311,,,,2,33422a ìüÎ---íýîþ，若幂函数()f x x a=在区间(),0¥-上单调递增，且其图像不过坐标原点，则a = .【答案】23-【分析】根据幂函数的性质分析求解.【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，则0a £，当23a =-，()23f x x -==在区间(),0¥-上单调递增，符合题意；当34a =-，()34-=f x x ()0,¥+，不合题意；当12a =-，()12f x x -==的定义域为()0,¥+，不合题意；综上所述：23a =-.故答案为：23-.【变式4】已知幂函数()()21mf x m m x =+-在()0,¥+上是减函数，则11mx +<的解集为（ ）A ．()0,1B ．()(),01,-¥È+¥C ．()2,0-D ．()0,2【答案】A【分析】根据()f x 是幂函数且在()0,¥+上是减函数求出m 的值，再将所求不等式两边同时平方求出x 的范围.【详解】 ()()21mf x m m x =+-是幂函数，\211m m +-=，解得1m =或2m =-，当1m =时，()f x x =不满足()f x 在()0,¥+上是减函数，当2m =-时，()2f x x -=满足()f x 在()0,¥+上是减函数，\2m =-，将不等式211x -+<的两边同时平方得，24411x x -+<，解得01x <<，\11mx +<的解集为()0,1.故选：A.【变式5】已知函数2295,1()1,1a x ax x f x x x -ì-+£=í+>î，是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．92,2éö÷êëøB ．94,2éö÷êëøC ．[]2,4D ．(]9,2,2æù-¥+¥çúèûU 【答案】C【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】依题意，()f x 在R 上单调递减，所以2291229011511a a a a -ì³ïï-<íï-´+³+ïî，解得24a ££，所以a 的取值范围是[]2,4故选：C题型11比较幂值的大小【例11】设232555322555a b c æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø,，，则,,a b c 大小关系是 .【答案】a c b＞＞【分析】抓住同底与同指构造函数，利用单调性比较大小.【详解】因为()25f x x =在()0,¥+单调增，所以22553255æöæö>ç÷ç÷èøèø，即a c >，因为()25xg x æö=ç÷èø在(),-¥+¥单调减，所以32552255æöæö<ç÷ç÷èøèø，即,c b >综上，a c b ＞＞.故答案为：a c b ＞＞.【变式1】设 1.3 1.4 1.40.9,0.9,0.7a b c ===，则下列不等式中正确的是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c<a<b【答案】B【分析】利用指数函数和幂函数的性质求解即可.【详解】设()0.9xf x =，则由指数函数()0.9xf x =在R 上单调递减，得()() 1.3 1.41.3 1.40.90.9f f a b >Þ=>=，设() 1.4h x x =，则幂函数() 1.4h x x =在()0,¥+上单调递增，得()()1.41.40.90.90.70.7h b c h ==>==，所以a b c >>.故选：B【变式2】设21log 3a =，1312b æö=ç÷èø，1213c æö=ç÷èø，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】D【分析】由对数函数、指数函数以及幂函数的单调性即可比较大小.【详解】2log x y = 在()0,+¥上是增函数，221log log 103a \=<=，12xy æö=ç÷èø在R 是减函数，12y x =在()0,¥+上是增函数，1113221110223b c æöæöæö=>>=>ç÷ç÷ç÷èøèøèø，a c b \<<.故选：D.题型12 利用幂函数的单调性解不等式【例12】不等式()()2233213x x +<-的解为 .【答案】24,3æö-ç÷èø【分析】根据幂函数的性质确定幂函数()23f x x =的奇偶性与单调性即可解不等式.【详解】解：幂函数()23f x x ==R ，且函数在[)0,¥+上单调递增，又()()f x f x -===，则()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0¥-上单调递减，则由不等式()()2233213x x +<-可得213x x +<-，平方后整理得231080x x +-<，即()()3240x x -+<，解得243x -<<，则不等式的解集为24,3æö-ç÷èø.故答案为：24,3æö-ç÷èø.【变式1】实数a 满足3322(21)(1)a a --->+，则实数a 的取值集合为.【答案】1,22æöç÷èø【分析】首先分析出幂函数32y x -=的定义域和单调性，然后可解出不等式.【详解】32x y -=()0+¥，，且在定义域上单调递减，因为3322(21)(1)a a --->+，所以21010211a a a a ->ìï+>íï-<+î，解得122a <<故答案为：1,22æöç÷èø【变式2】已知幂函数14()f x x =，若(102)(1)f a f a -<+，则a 的取值范围是．【答案】(]3,5【解析】因为14()f x x =的定义域为[)0+，¥，且14()f x x =在[)0+，¥上单调递增，所以由(102)(1)f a f a -<+可得：1021102010a a a a -<+ìï-³íï+³î，解得：35a <£【变式3】已知函数21*()(N )m mf x xm +=Î.若该函数图象经过点 ，满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是.【答案】31,2éö÷êëø【解析】由已知212m m +=22m m +=，又m 是正整数，故解得1m =，即12()f x x =，函数定义域是[0,)+¥，易知12()f x x =是增函数，所以由(2)(1)f a f a ->-得210a a ->-³，解得312a £<.【变式4】设函数1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，如果()01f x >，则0x 的取值范围是 .【答案】()(),11,-¥-È+¥【分析】通过分00x <和00x >两种情况进行讨论，从而可求出0x 的取值范围.【详解】因为1221,0(),0x x f x x x -ì-<ï=íï>î，所以000211x x -<ìí->î或012001x x >ìïíï>î，解得01x <-或01x >，所以0x 的取值范围是()(),11,-¥-È+¥.故答案为：()(),11,-¥-È+¥.题型13 幂函数的奇偶性的应用【例13】已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为.【答案】1【分析】根据幂函数定义和奇偶性直接求解即可.【详解】()f x 为幂函数，2331a a \-+=，解得：1a =或2a =；当1a =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2a =时，()3f x x =为奇函数，不合题意；综上所述：1a =.故答案为：1.【变式1】若幂函数()()219mf x m m x =+-的图象关于y 轴对称，则m =（ ）A ．5-或4B ．5-C ．4D ．2【答案】C【分析】根据幂函数的定义与性质分析运算.【详解】若幂函数()()219mf x m m x =+-，则2191m m +-=，解得4m =或5m =-，且幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，则m 为偶数，故4m =.故选：C ．【变式2】幂函数y ＝223m m x --（m ∈Z ）的图象如图所示，则实数m 的值为.【答案】1【分析】根据函数图象可判断单调性，进而可得2230m m --<，m 为整数，由验证是否是偶函数即可求解.【详解】有图象可知：该幂函数在()0+¥，单调递减，所以2230m m --<，解得13m -<<，m Z Î,故m 可取012，，，又因为该函数为偶函数，所以223m m --为偶数，故1m =故答案为：1题型14 幂函数的单调性和奇偶性的综合应用【例14】下列幂函数中，既在区间()0,¥+上递减，又是奇函数的是（ ）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,¥+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,¥+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,¥+为减函数，设()123321f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()()11332211f x f x x x éùæö-===êúç÷èø-êúëû，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,¥+为减函数，设()11331f x x x -æö==ç÷èø，定义域为{}|0x x ¹，()()113311f x f x x x æöæö-==-=-ç÷ç÷-èøèø，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D【变式1】已知幂函数()223m m y x m N --*=Î的图象关于y 轴对称，且在()0,¥+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为 .【答案】()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性得到1m =，代入不等式得到()()1133132a a +<-，根据函数的单调性解得答案.【详解】幂函数()223m m y x m N --*=Î在()0,¥+上单调递减，故2230m m --<，解得13m -<<.*m N Î，故0m =，1，2.当0m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；当1m =时 ，4y x -=关于y 轴对称，满足；当2m =时 ，3y x -=不关于y 轴对称，舍去；故1m =，()()1133132a a --+<-，函数13y x -=在(),0¥-和()0,¥+上单调递减，故1320a a +>->或0132a a >+>-或1032a a +<<-，解得1a <-或2332a <<.故答案为：()23,1,32æö-¥-ç÷èøU 【变式2】若幂函数()22529m m f x x -++=的图象关于y 轴对称，()f x 解析式的幂的指数为整数, ()f x 在(),0¥-上单调递减，则m =（ ）A ．19B ．19或499C ．13-D ．13-或73【答案】D【分析】由题意知()f x 是偶函数，()f x 在(),0¥-上单调递减,可得22529m m -++为正偶数，再根据22529m m -++的范围可得答案.【详解】由题意知()f x 是偶函数，因为()f x 在(),0¥-上单调递减,所以22529m m -++为正偶数，又222534342(1)999m m m -++=--+£，∴234(1)29m --+=，解得73m =或13-．故选：D ．【变式3】函数()2223()1(03,)m m f x m m x m m --=-+££ÎZ 同时满足①对于定义域内的任意实数x ，都有()()f x f x -=；②在(0,)+¥上是减函数，则f 的值为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】B【分析】由m 的值依次求出223m m --的值，然后根据函数的性质确定m ，得函数解析式，计算函数值．【详解】m ÎZ ，03m ££，0,1,2,3m =，代入223m m --分别是3,4,3,0---，在定义域内()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，因此223m m --取值4-或0，2230m m --=时，()f x 在(0,)+¥上不是减函数，只有234-=-满足，此时1m =，4()f x x -=，444f -===．故选：B ．【变式4】已知函数()333x x f x x -=+-，若2(2)(54)0f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(4)(4)-¥-+¥U ，，B ．(41)-，C ．(1)(4)-¥-+¥U ，，D ．(14)-，【答案】B【分析】首先判断()f x 的奇偶性和单调性，由此化简不等式2(2)(54)0f a a f a -+-<，从而求得a 的取值范围.【详解】()f x 的定义域为R ，()()333x x f x x f x --=-+-=-，所以()f x 为奇函数，()3133x xf x x =+-在R 上递增，由2(2)(54)0f a a f a -+-<得()2(2)(54)45f a a f a f a -<--=-，∴2245a a a -<-，2340a a +-<，()()410a a +-<解得41a -<<.故选：B题型15 幂函数性质的综合应用【例15】已知幂函数213()(22)m f x m m x -=-+.(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的定义域、值域；(3)判断()f x 的奇偶性.【答案】(1)2()f x x -=(2)定义域为()(),00,¥-+¥U ，值域为(0,)+¥(3)偶函数【分析】（1）根据幂函数的定义运算求解；（2）根据幂函数解析式求定义域和值域；（3）根据偶函数的定义分析证明.【详解】（1）函数213()(22)m f x m m x -=-+为幂函数，则2221m m -+=，解得1m =，则13132m -=-=-，所以函数2()f x x -=；（2）221()f x x x-==，令20x ¹，解得0x ¹故函数2()f x x -=的定义域为(,0)(0,)A =-¥+¥U ，∵20x >，则21()0f x x =>，故函数2()f x x -=的值域为(0,)+¥；（3）任取x A Î，22()()()f x x x f x ---=-==，所以函数()f x 是定义域上的偶函数．【变式1】已知幂函数()22()55m f x m m x -=-+的图像关于点(0,0)对称．(1)求该幂函数()f x 的解析式；(2)设函数()|()|g x f x =，在如图的坐标系中作出函数()g x 的图像；(3)直接写出函数()1g x >的解集．【答案】(1)1()f x x=(2)图像见解析(3)()()1,00,1-U 【分析】（1）利用幂函数的定义求出m 值，再结合其图像性质即可得解.（2）由（1）求出函数()g x ，再借助反比例函数与偶函数的对称性作出()g x 的图像.（3）根据（2）中图像特征写出函数()g x 的单调区间.【详解】（1）因为()22()55m f x m m x -=-+是幂函数，所以2551m m -+=，解得1m =或4m =，当1m =时，函数11()f x x x-==定义域是(,0)(0,)-¥+¥U ，易得()f x 是奇函数，图像关于原点对称，则1m =满足题意；当4m =时，函数2()f x x =，易知()f x 是R 上的偶函数，其图像关于y 轴对称，关于原点不对称；综上：幂函数()f x 的解析式是11()f x x x-==.（2）因为函数()|()1|||g f x x x ==，定义域为(,0)(0,)-¥+¥U ，且()()11g x g x x x-===-，所以()g x 是(,0)(0,)-¥+¥U 上的偶函数，当0x >时，1()g x x=在(0,)+¥上单调递减，其图像是反比例函数1y x =在第一象限的图像，作出函数()g x 在第一象限的图像，再将其关于y 翻折即可得()g x 在定义域上的图像，如图，（3）观察（2）中图像可得，()1g x >的解集为()()1,00,1-U .。

【金版学案】2015-2016高中数学 幂函数的图像、性质与应用练习 新人教A 版必修1基础梳理1．形如y ＝x α(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y ＝x 2，y ＝x 4的幂函数，而函数y ＝2x 2不是幂函数．2．幂函数y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x 3的图象，如下图所示．3．幂函数的性质．(1)过定点：y ＝x α恒过定点______．当α＞0时，所有幂函数都过定点____________．(2)单调性：当α＞0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调____．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y ＝x α为______；当α为整数且为偶数时，y ＝x α为______；当x 为分数时可将y ＝x α化为根式再判断． 基础梳理1．幂函数 3.(1)(1，1) (0，0)和(1，1) (2)递增 递减 (3)奇函数 偶函数,思考应用1．我们知道，形如y ＝x α(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y ＝a x(其中a 是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数m n 的形式，但幂函数y ＝x α中，自变量在底数的位置，而指数函数y ＝a x中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y ＝x α来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y ＝x α过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y ＝x α所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1，1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1，1)；若只告诉幂函数过点(－1，1), 那我们只能判断这个幂指数的图象关于y 轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x ＝t (t >1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评1．下列函数中，定义域是R 的是( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x 12C ．y ＝x 2D ．y ＝x －12．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．正比例函数3．已知幂函数f (x )的图象经过点(2，2)，则f (4)＝____ 自测自评1．解析：函数y ＝x －2，y ＝x －1的定义域为{x |x ∈R，x ≠0}，函数y ＝x 12的定义域为{x |x ≥0}，函数y ＝x 2的定义域为R.故选C.答案：C2．解析：本题考查幂的运算性质f (x )f (y )＝a x a y ＝a x ＋y＝f (x ＋y ). 答案：C3．解析：设f (x )＝x n ，则2＝2n，解得n ＝12.∴f (x )＝x 12，f (4)＝2.答案：2►基础达标1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝x －3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1 1．解析：由幂函数定义知选B. 答案：B2．已知函数：①y ＝x x ，②y ＝－x 2，③y ＝x 0，④y ＝2x ，⑤y ＝x 2＋1，⑥y ＝x ，其中幂函数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．解析：由幂函数定义知③⑥是幂函数．故选A. 答案：A3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )3．解析：∵y ＝x －2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是单调递减函数，∴当x ＝12时，y 有最大值4.答案：C A.14 B ．－14C ．4D ．－44．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：①2.334____2.434； ②0.3165____0.3565；③(2)－32____(3)－32； ④1.1－12____0.9－12.4．①＜ ②＜ ③＞ ④＜5．下图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞15．解析：利用幂函数图象的性质及图象的关系知n ＜－1，0＜m ＜1.故选B. 答案：B6．(2013·某某卷)函数f (x )＝x －12的大致图象是( )6．解析：∵y ＝x －12定义域为(0，＋∞)，故选A.答案：A7．求下列幂函数的定义域：(1)y ＝x 3；(2)y ＝x 13；(3)y ＝x 12；(4)y ＝x －2；(5)y ＝x －12.7．分析：含分数指数幂的要化归为根式的形式．解析：(1)y ＝x 3，定义域是R.(2)y ＝x 13＝3x ，定义域是R.(3)y ＝x 12＝x ，定义域是[0，＋∞)．(4)y ＝x －2＝1x2，定义域是{x |x ∈R，且x ≠0}．(5)y ＝x －12＝1x，定义域是(0，＋∞)．点评：考查函数的定义域要全面，如分母不为零，零次幂的底数不为零，偶次根号下不小于零，等等►巩固提高8．给出两个结论：(1)当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线；(2)幂函数y ＝x α的图象都经过(0，0)和(1，1)点，则正确的判断是( ) A ．(1)对(2)错 B ．(1)错(2)对 C ．(1)(2)都错 D ．(1)(2)都对 8．C 9.C 4，C 2，C 3，C 19．如图所示的曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1，12，2四个值，则相应图象依次为：____________.10．设f (x )＝(a －3)x (a ＋1)(a －2)，当a 为何值时，(1)f (x )为常数函数？ (2)f (x )为幂函数？ (3)f (x )为正比例函数？10．(1){3，－1，2} (2){4} (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－132，1＋1321．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．2．将幂指式x nm 写成m x n可以看出x 的取值X 围．3．比较幂值的大小常利用相关函数的单调性．。

学业分层测评（十九） 幂函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( ) A.12B ．－12C ．2D ．－2【解析】 设log 2f (2)＝n ，则f (2)＝2n ，∴f (x )＝x n ，又∵由幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212⇒n ＝12， 故选A.【答案】 A2．(2016·滨州高一检测)已知幂函数f (x )＝x a ，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＜1C ．a ＞0D ．a ＜0【解析】 当x ＞1时，f (x )＜x 恒成立，即x a －1＜1＝x 0恒成立，因为x ＞1，所以a －1＜0，解得a ＜1，故选B.【答案】 B3．如图2-3-2所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )【导学号：97030119】图2-3-2A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1【解析】 因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．【答案】 B4．已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，则f (x )的增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) 【解析】 设幂函数f (x )＝x n ，则4n ＝2，解得n ＝12，即有f (x )＝x ，则有x ≥0，则增区间为(0，＋∞)．故选C.【答案】 C5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【解析】 由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在它的定义域R 上是减函数， ∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0. 由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525， 故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B.【答案】 B二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是________．【解析】 因为函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎨⎧ m 2－2m －2＝1－4m －2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3或m ＝－1m >－12，解得m ＝3.【答案】 37．0.16－12、0.25－14、6.2514从小到大依次是________．【导学号：97030120】【解析】 ∵0.25－14＝0.5－12<0.16－12，0.25－14＝414<6.2514，6.2514＝2.512＝0.4－12<0.16－12.【答案】 0.25－14<6.2514<0.16－128．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ，则n ＝________. 【解析】 ∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n ， ∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数．又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2.【答案】 －1或2三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)2.334，2.434；(2)(2)－32，(3)－32；(3)(－0.31)65，0.3565.【解】 (1)∵y ＝x 34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334<2.434.(2)∵y ＝x －32为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)－32>(3)－32.(3)∵y ＝x 65为R 上的偶函数，∴(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165<0.3565，即(－0.31)65<0.3565.10．(2016·亳州高一检测)已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18. (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．【解】 (1)由题意，得f (2)＝2a ＝18，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)∵f (x )＝x －3＝1x 3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，∴该幂函数为奇函数．当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[能力提升]1．若(a ＋1)－12<(3－2a )－12，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】 令f (x )＝x －12＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎨⎧ a ＋1>03－2a >0a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.【答案】 B2．如图，函数y ＝x 23的图象是( )【解析】 幂函数y ＝x 23是偶函数，图象关于y 轴对称．【答案】 D3．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76＜60.7＜log 0.76B ．0.76＜log 0.76＜60.7C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.7 【解析】 由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1,0＜0.76＜1，log 0.76＜0，∴log 0.76＜0.76＜60.7，故选D.【答案】 D4．已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；【导学号：97030121】②对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足①，②的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．【解】因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0，条件①、②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件①、②都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．。

数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组] 一、选择题1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．12log log a b a < B ．12log log a b a =C ．12log log a b a > D ．12log log a b a ≤4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩二、填空题1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。

2．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。

幂函数的概念①y ＝－x 2；②y ＝2x ；③y ＝x n (n 为常数)；④y ＝(x －1)3；⑤y ＝1x2；⑥y ＝x 2＋1x.A ．①③⑤B ．①②⑤C ．③⑤D ．只有⑤ 答案 C解析 ①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是 x －1 而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．2．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，则m的取值范围为( )A ．－1≤m ≤2 B．m ＝－1或m ＝2 C ．m ＝1 D ．m ＝1或m ＝2 答案 D解析 依幂函数为y ＝x α的形式知m 2－3m ＋3＝1. 又其图象不过原点，则指数m 2－m －2≤0.由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋3＝1，m 2－m －2≤0可得⎩⎪⎨⎪⎧m －m －＝0，m ＋m－得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝2，－1≤m ≤2.故m ＝1或m ＝2.幂函数的图象3．如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12答案 B解析 在第一象限内，直线x ＝1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大，所以选B.幂函数的性质A ．y ＝x －1 B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≥0，x ，x ＜0答案 D解析 显然A ，C 中的函数是奇函数，B 中的函数在(－∞，0]上是减函数，故选D.5．比较下列各题中两个值的大小：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1778与⎝ ⎛⎭⎪⎫1978； (2)3－52与3.3－52；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23与⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (4)0.20.6与0.30.4；(5)9－78与⎝ ⎛⎭⎪⎫8967.解 (1)∵函数y ＝x 78在(0，＋∞)上单调递增，又17>19，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1778>⎝ ⎛⎭⎪⎫1978； (2)∵y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.3，∴3－52>3.3－52；(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23.函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，23>π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23<⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－23； (4)由幂函数的单调性知0.20.6<0.30.6，又由指数函数的单调性知0.30.6<0.30.4，∴0.20.6<0.30.4；(5)∵9－78＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1978<⎝ ⎛⎭⎪⎫1967<⎝ ⎛⎭⎪⎫8967，∴9－78<⎝ ⎛⎭⎪⎫8967.忽视隐含条件导致错误6.已知y ＝(m 2－3m －3)xm 2－1是幂函数，则m 的值为( )A ．4B ．－1C ．－1或4D ．3易错分析 本题往往忽视条件m 12－1对m 的要求而错选C.答案 A正解 由m 2－3m －3＝1得m ＝4或m ＝－1.又∵m 12－1为幂指数，要使式子m 12－1有意义需m ≥0，∴m ＝4.一、选择题1．在函数①y ＝1x，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x－12中，是幂函数的是( ) A ．①②④⑤ B ．③④⑥ C ．①②⑥ D ．①②④⑤⑥ 答案 C解析 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)，①中α＝－1，②中α＝2，⑥中α＝－12，∴①②⑥是幂函数．2．已知幂函数f (x )＝kxα(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 A解析 由已知得k ＝1，f (x )＝xα，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，∴α＝－12，∴k ＋α＝1－12＝12，选A.3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2523，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b ＞a ＞cC ．a <b <cD ．b >c >a 答案 B解析 ∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，即a <b ；又∵y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2523<⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，即c <a ，∴b >a >c . 4．函数y ＝x 13的图象是( )答案 B解析 y ＝x 13是幂函数，过点(1,1)，当x >1时，x >x 13，0<x ＜1时，x ＜x 13，选B.5．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”．那么函数解析式为f (x )＝x 2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A ．7个B ．8个C ．9个D ．无数个 答案 C解析 值域为{1,4}，定义域由1，－1,2，－2组成，有{1,2}，{1，－2}，{－1,2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{1，－1，－2}，{1,2，－2}，{－1,2，－2}，{－1,1，－2,2}共9种情况．二、填空题6．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1235，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1535，c ＝(－2)3，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 a >b >c解析 y ＝x 35是幂函数，在第一象限内递增．∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1235>⎝ ⎛⎭⎪⎫1535>0>(－2)3，∴a >b >c . 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－3，x ≤0，x 12，x >0，若f (a )>1，则实数a的取值范围是________．答案 a <－2或a >1解析 若⎝ ⎛⎭⎪⎫12a－3>1，则a <－2.若a 12>1，则a >1，所以a <－2或a >1.8．已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 4解析 因为幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，所以－m 2＋2m ＋3为偶数．又f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m 2＋2m ＋3＞0，所以－1＜m ＜3.又m ∈Z ，－m 2＋2m ＋3为偶数，所以m ＝1，故所求解析式为f (x )＝x 4.三、解答题9．已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，试确定f (x )的解析式．解由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3≤0，m 2－2m －3是偶数，m ∈Z ，解得m ＝－1,1,3.当m ＝－1和3时，f (x )＝x 0＝1(x ≠0)； 当m ＝1时，f (x )＝x －4.10．已知幂函数y ＝f (x )＝x 1m 2＋m(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， ∴m 与m ＋1中必定有一个为偶数， ∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x 1m 2＋m (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且函数y ＝f (x )在其定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝21m 2＋m ，即212＝21m 2＋m， ∴m 2＋m ＝2，即m 2＋m －2＝0. ∴m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x 12在[0，＋∞)上是增函数．由f (2－a )>f (a －1)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32.故m 的值为1，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a <32.。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！§3．3 幂函数限时作业一．选择题1．给出下列函数：4．函数13y x =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--6．已知幂函数()f x x a =的图像过点(8,4),则()f x x a = 的值域是( )A ．(),0-¥B ．()(),00,-¥+¥U C ．()0,+¥D ．[)0,+¥7．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D8．若幂函数m n y x =（*,m n ÎN 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m 、n 是偶数，且1m n >二．填空题9．比较下列各式的大小(1) 0.525æöç÷èø 0.513æöç÷èø； (2) 123-æö-ç÷èø 135-æö-ç÷èø．10．已知幂函数()21()*()m m f x x m N Î－＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围 ．三．解答题11．已知幂函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >．（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围．12．已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．§3．3 幂函数限时作业【参考答案】一．选择题1．给出下列函数：【答案】B　4．函数13y x=的图象是（）A．B．C．D ．【答案】B5．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（ ）A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--【答案】A6．已知幂函数()f x x a =的图像过点(8,4),则()f x x a = 的值域是( )A ．(),0-¥B ．()(),00,-¥+¥U C ．()0,+¥D ．[)0,+¥【答案】D 7．函数121y x =-的图象关于x 轴对称的图象大致是( )A B C D【答案】B8．若幂函数m ny x =（*,m n ÎN 且,m n 互素）的图象如下图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．0<1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m 、n 是偶数，且1m n>【答案】D二．填空题9．比较下列各式的大小(1) 0.525æöç÷èø 0.513æöç÷èø； (2) 123-æö-ç÷èø 135-æö-ç÷èø．【答案】,>>10．已知幂函数()21()*()m m f x x m N Î－＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a >－－的实数a 的取值范围 ．【答案】 ∵()f x 的图象过点21()2m m -+=，∴22m m +=，又*m N Î，∴1m =．即12()f x x =，其定义域为0x ³，且在定义域上函数为增函数，∴由(2)(1)f a f a ->-得012a a £-<-，解得312a £<．三．解答题11．已知幂函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >．（1）求m 的值及函数()f x 的解析式；（2）若()()212+<-f a f a ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）由题意，函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，且()()23f f >，所以在区间(0,)+¥为单调递减函数，所以240m m -<，解得04m <<，又由m Z Î，且函数()24-=m m f x x （实数m Z Î）的图像关于y 轴对称，所以24m m -为偶数，所以2m =，所以()4f x x -=．（2）因为函数()4f x x -=图象关于y 轴对称，且在区间(0,)+¥为单调递减函数，所以不等式()()212+<-f a f a ，等价于122a a -<+且120,20a a -¹+¹，解得1132a -<<或132a <<，所以实数a 的取值范围是111(,(,3)322-U ．12．已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ：(1)是幂函数；(2)是正比例函数；(3)是反比例函数；(4)是二次函数．【答案】(1)m ＝2或m ＝－1．(2)m ＝－45 ．(3)m ＝－25．(4) m ＝－1． (1)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1．(2)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－．此时m2－m－1≠0，故m＝－．(3)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－，此时m2－m－1≠0，故m＝－．(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1．。

3.3 幂函数选题明细表基础巩固1.已知幂函数f(x)=k ·x α的图象过点(12，√22)，则k+α等于( C )A.12B.1C.32D.2解析:由幂函数的定义，知{k =1,√22=k ·(12) α.所以k=1，α=12，所以k+α=32.故选C.2.函数y=x 12-1的图象关于x 轴对称的图象大致是( B )解析:y=x 12的图象位于第一象限，且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y=x 12-1的图象可看作由y=x 12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图所示)，将y=x 12-1的图象关于x 轴对称后即为选项B.故选B.3.幂函数f(x)=(m 2-2m+1)x 2m-1在(0，+∞)上单调递增，则实数m 的值为( D )A.0B.1C.1或2D.2解析:因为函数f(x)是幂函数，所以m2-2m+1=1，解得m=0或m=2，因为函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以2m-1>0，即m>12，故m=2.故选D.4.(多选题)下列命题中是真命题的有( BD )A.幂函数的图象都经过点(1，1)和(0，0)B.幂函数的图象不可能过第四象限C.当n>0时，幂函数y=x n是增函数D.当n<0时，幂函数y=x n在第一象限内函数值随x值的增大而减小解析:由于幂函数f(x)=x-1的图象不经过点(0，0)，所以A不正确;根据幂函数的定义，当x>0时，y不可能小于0，因此幂函数的图象不可能过第四象限，所以B正确;如幂函数f(x)=x 23在其定义域上不是单调函数，所以C不正确;根据幂函数的图象与性质，可得当n<0时，幂函数y=x n在第一象限内单调递减，所以D是正确的.故选BD.5.幂函数f(x)=x m-2(m∈N)在(0，+∞)上单调递减，且f(-x)=f(x)，则m等于.解析:因为f(x)=x m-2(m∈N)在(0，+∞)上单调递减，所以m-2<0，故m<2.又因为m∈N，所以m=0或m=1，当m=0时，f(x)=x-2，f(-x)=f(x)，符合题意;当m=1时，f(x)=x-1，f(-x)≠f(x)，不符合题意.综上知，m=0. 答案:06.已知幂函数f(x)的图象经过点(4，2)，则函数f(x)= ，若f(2-a)>f(a-1)，则实数a 的取值范围是 .解析:设幂函数f(x)=x α，由f(4)=4α=2，得到α=12，于是f(x)=x 12=√x .若f(2-a)>f(a-1)，则√2-a >√a -1，所以{2-a >a -1,2-a ≥0,a -1≥0,解得 1≤a<32.答案:√x [1，32)能力提升7.如图是幂函数y=x m 与y=x n 在第一象限内的图象，则( B )A.-1<n<0<m<1B.n<-1，0<m<1C.-1<n<0，m>1D.n<-1，m>1解析:由幂函数的图象特征可知n<-1，0<m<1.故选B.8.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(18，√24)，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论正确的是( BC )A.x 1f(x 1)>x 2f(x 2)B.x 1f(x 1)<x 2f(x 2)C.f (x 1)x 1>f (x 2)x 2D.f (x 1)x 1<f (x 2)x 2解析:因为f(x)为幂函数，故可设f(x)=x α，又它的图象经过点(18，√24)，可由√24=(18)α得出α=12，所以f(x)=√x .设g(x)=xf(x)=x √x =x 32，它在[0，+∞)上为增函数，若0≤x 1<x 2，则有g(x 1)<g(x 2)，故A ，B 中只能选择B.设h(x)=f (x )x =√x x =√x，它在(0，+∞)上为减函数，若0<x 1<x 2，则有h(x 1)>h(x 2)，故C ，D 中只能选择C.故选BC. 9.已知幂函数f(x)的图象为曲线C.有下列四个性质: ①f(x)为偶函数; ②曲线C 不过原点O;③曲线C 在第一象限呈上升趋势; ④当x ≥1时，f(x)≥1.写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数 . 解析:常见的幂函数有y=x ，y=x 2，y=x 3，y=x -1，y=√x ， y=x 2满足性质①③④. 答案:f(x)=x 2(答案不唯一)10.已知点(√2，2)在幂函数f(x)的图象上，点(-2，14)在幂函数g(x)的图象上.问当x 为何值时: (1)f(x)>g(x); (2)f(x)=g(x); (3)f(x)<g(x).解:设f(x)=x α，由题意得，(√2)α=2⇒α=2， 所以f(x)=x 2.同理可得g(x)=x -2.在同一平面直角坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的大致图象，如图.由图象可知.(1)当x>1或x<-1时，f(x)>g(x).(2)当x=±1时，f(x)=g(x).(3)当-1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x).11.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)x m2-4m+2在(0，+∞)上单调递减.(1)求m的值;(2)试判断是否存在a>0，使得函数g(x)=(2a-1)x-af(x)+1在(0，2]上的值域为(1，11]?若存在，求出a的值;若不存在，请说明理由.解:(1)由题意知，{m2-2m-2=1,m2-4m+2<0,解得m=3.(2)由(1)可得f(x)=x-1，所以g(x)=(2a-1)x-ax+1=(a-1)x+1，假设存在a>0，使得g(x)在(0，2]上的值域为(1，11].①当0<a<1时，a-1<0，此时g(x)在(0，2]上单调递减，不符合题意;②当a=1时，g(x)=1，显然不成立;③当a>1时，a-1>0，g(x)在(0，2]上单调递增，故g(2)=2(a-1)+1=11，解得a=6.综上所述，存在a=6使得g(x)在(0，2]上的值域为(1，11].应用创新12.已知f(x)=(m2-m-1)x4m9-m5-1是幂函数，对任意的x1，x2∈(0，+>0，若a，b∈R，且a+b>0，ab<0，则∞)，且x1≠x2，满足f(x1)-f(x2)x1-x2f(a)+f(b)的值( A )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断解析:由题意知，m2-m-1=1，解得m=-1或m=2，又对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，>0，满足f(x1)-f(x2)x1-x2所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.当m=-1时，4m9-m5-1=-4+1-1=-4<0，不合题意，当m=2时，4m9-m5-1=4×29-25-1=2 015>0，满足题意，所以f(x)=x2 015，f(x)是奇函数，所以f(x)在R上是增函数.a+b>0，ab<0，不妨设a>0，b<0，则a>-b>0，所以f(a)>f(-b)，即f(a)>-f(b)，所以f(a)+f(b)>0.故选A.。

幂函数层级(一) “四基”落实练1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2,则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R,α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2,∴k ＝1,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2,即α＝－12,∴k ＋α＝12.2．若f (x )＝x-12,则函数f (4x －3)的定义域为( )A ．(－∞,＋∞)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞解析：选D 易知f (x )＝x －12的定义域为(0,＋∞),则4x －3∈(0,＋∞),即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞,故选D.3．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z)在(0,＋∞)上单调递增,则n 的值为( )A ．－1B ．1C ．－3D ．1和－3解析：选C 由于幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn 2－3n (n ∈Z), 所以n 2＋2n －2＝1,解得n ＝1或－3.当n ＝1时,f (x )＝x －2在(0,＋∞)单调递减,舍去； 当n ＝－3时,f (x )＝x 18在(0,＋∞)单调递增．故选C.4．已知幂函数y ＝x a,y ＝x b,y ＝x c的部分图象如图,则点(ab －b ,c 2－c )所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选C 根据幂函数y ＝x a ,y ＝x b ,y ＝x c的部分图象,可得a 为正偶数,a ＞1,b 为奇数且b ＜0,0＜c ＜1,∴ab －b ＜0,且 c 2－c ＜0,故点(ab －b ,c 2－c )在第三象限．5．(多选)若幂函数f (x )＝(m 2＋m －11)x m ＋7在(－∞,0)上单调递增,则( )A ．m ＝3B ．f (－1)＝1C ．m ＝－4D ．f (－1)＝－1解析：选CD ∵幂函数f (x )＝(m 2＋m －11)xm ＋7在(－∞,0)上单调递增,∴m 2＋m －11＝1,求得m ＝－4或m ＝3.当m ＝－4时,f (x )＝x 3,满足在(－∞,0)上单调递增；当m ＝3时,f (x )＝x 10,不满足在(－∞,0)上单调递增,故m ＝－4,f (x )＝x 3,f (－1)＝－1.6．已知2.4α＞2.5α,则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5,而2.4α＞2.5α, 所以y ＝x α在(0,＋∞)上为减函数,故α＜0. 答案：(－∞,0)7．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3,则使f (x )＝x α为奇函数且在(0,＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f (x )＝x α为奇函数,所以α＝－1,1,3.又因为f (x )在(0,＋∞)上为减函数,所以α＝－1.答案：－18．比较下列各组数的大小．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623；(3)4.125和3.8-43.解：(1)函数y ＝在(0,＋∞)上为减函数,又3＜3.2,所以＞.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323,⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623, 函数y ＝x 23在(0,＋∞)上为增函数,而23＞π6,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623. (3)4.125＞125＝1,0＜3.8-43＜1-43＝1,所以4.125＞3.8-43.层级(二) 能力提升练1．(多选)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,＋∞),且x 1≠x 2,满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0.若a ,b ∈R,且f (a )＋f (b )的值为负值,则下列结论可能成立的有( )A ．a ＋b ＞0,ab ＜0B ．a ＋b ＜0,ab ＞0C ．a ＋b ＜0,ab ＜0D ．a ＋b ＞0,ab ＞0解析：选BC ∵函数f (x )＝(m 2－m －1) x m 2＋m －3幂函数,∴m 2－m －1＝1,求得m ＝2 或m ＝－1.对任意x 1,x 2∈(0,＋∞),且x 1≠x 2,满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0,故f (x )在(0,＋∞)上是增函数,∴m 2＋m －3＞0,∴m ＝2,f (x )＝x 3.已知a ,b ∈R,且f (a )＋f (b )＝a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)的值为负值．若A 成立,则 f (a )＋f (b )＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞0,不满足题意；若B 成立,则 f (a )＋f (b )＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋3b 24＜0,满足题意；若C 成立,则 f (a )＋f (b )＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＜0,满足题意；若D 成立,则 f (a )＋f (b )＝(a ＋b )(a 2－ab＋b 2)＝(a ＋b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋3b 24＞0,不满足题意． 2．已知函数f (x )＝x2－m 是定义在区间[－3－m ,m 2－m ]上的奇函数,则f (m )＝________.解析：由题意得,m 2－m ＝3＋m , 即m 2－2m －3＝0,∴m ＝3或m ＝－1. 当m ＝3时,f (x )＝x －1,此时x ∈[－6,6], ∵f (x )在x ＝0处无意义,∴不符合题意； 当m ＝－1时,f (x )＝x 3,此时x ∈[－2,2], 函数f (x )在[－2,2]上是奇函数,符合题意, ∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1. 答案：－13．已知幂函数f (x )＝x 12,若f (10－2a )<f (a ＋1),则a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x 12＝x (x ≥0),易知f (x )在(0,＋∞)上为增函数, 又f (10－2a )<f (a ＋1),所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，a >3，所以3<a ≤5. 答案：(3,5]4．已知幂函数f (x )＝(k 2－4k ＋5)x －m 2＋4m (m ∈Z)的图象关于y 轴对称,且在(0,＋∞)上单调递增．(1)求m 和k 的值；(2)求满足不等式(2a －1)－3<(a ＋2)－3m2的a 的取值范围．解：(1)∵幂函数f (x )＝(k 2－4k ＋5)x －m 2＋4m ,∴k 2－4k ＋5＝1,解得k ＝2. 又∵幂函数f (x )在(0,＋∞)上单调递增, ∴－m 2＋4m ＞0,解得0＜m ＜4, ∵m ∈Z,∴m ＝1或m ＝2或m ＝3.当m ＝1或m ＝3时,f (x )＝x 3,图象关于原点对称,不合题意； 当m ＝2时,f (x )＝x 4,图象关于y 轴对称,符合题意． 综上,m ＝2,k ＝2,f (x )＝x 4. (2)由(1)可得m ＝2,∴不等式即 (2a －1)－3＜(a ＋2)－3.而函数y ＝x －3在(－∞,0)和(0,＋∞)上均单调递减, 且当x ＞0时,y ＝x －3＞0,当x ＜0,y ＝x －3＜0,∴满足不等式的条件为0＜a ＋2＜2a －1或a ＋2＜2a －1＜0或2a －1＜0＜a ＋2, 解得－2<a <12或a ＞3,故满足不等式(2a －1)－3<(a ＋2)－3m2的a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，12∪(3,＋∞)．5．已知f (x )＝(m 2－2m －7)x m －2是幂函数,且在(0,＋∞)上单调递增．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝f (x )－(2a －1)x ＋1在区间[2,4]上的最小值h (a )． 解：(1)∵f (x )＝(m 2－2m －7)xm －2是幂函数,∴m 2－2m －7＝1,解得m ＝4或m ＝－2； 又f (x )在(0,＋∞)上单调递增, ∴m －2＞0,∴m 的值为4.(2)函数g (x )＝f (x )－(2a －1)x ＋1＝x 2－(2a －1)x ＋1,当a ＜52时,g (x )在区间[2,4]上单调递增,最小值为h (a )＝g (2)＝7－4a ；当52≤a ≤92时,g (x )在区间[2,4]上先减后增,最小值为h (a )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －12＝－2a －124＋1；当a ＞92时,g (x )在区间[2,4]上单调递减,最小值为h (a )＝g (4)＝21－8a .综上可知,h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧7－4a ，a ＜52，－2a －124＋1，52≤a ≤92，21－8a ，a ＞92.层级(三) 素养培优练1.幂函数y ＝x α(α≠0),当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x m,y ＝x n的图象三等分,即有BM ＝MN ＝NA ,则mn 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定解析：选A 由条件知,M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13, ∴13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23m ,23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13mn ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23m ＝13,∴mn ＝1.故选A. 2．有四个幂函数：①f (x )＝x －1；②f (x )＝x －2;③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 13.某同学研究了其中一个函数,并给出这个函数的三个性质：(1)是偶函数；(2)值域是{y |y ∈R,且y ≠0}； (3)在(－∞,0)上单调递增．若给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是________(填序号)． 解析：对于函数①,f (x )＝x－1是一个奇函数,值域是{y |y ∈R,且y ≠0},在(－∞,0)上单调递减,所以三个性质中有一个正确；对于函数②,f (x )＝x －2是一个偶函数,其值域是{y |y ∈R,且y >0},在(－∞,0)上单调递增,所以三个性质中有两个正确,符合条件；对于③,f (x )＝x3是奇函数,值域为{y |y ∈R},在(－∞,0)上单调递增,所以三个性质中有一个正确；对于函数④,f (x )＝x 13是奇函数,值域为{y |y ∈R},在(－∞,0)上单调递增,三个性质中有一个正确．故只有②符合条件．答案：②。