优化探究高考数学一轮复习 第二章 第二节 函数的单调性与最值课时作业 理 新人教A版

第二节 函数的单调性与最大(小)值题号 12 3 4 5 答案1.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是( ) A ．y ＝log 12x B ．y ＝2x－1C ．y ＝x 2－12D ．y ＝－x 3解析：由所求函数在(－1，1)内是增函数，故排除C ，D ，又选项A 中对数函数的真数x>0，排除A.故选B.答案：B2．(2013·吉林实验中学三模)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ＜0，a x ，x ≥0(a ＞0且a≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0，1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：由f(x)在R 上是减函数得，0＜a ＜1，且－0＋3a≥a 0，由此得a∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.答案：B3．(2013·郑州第一次质检)已知定义在R 上的函数f(x)是增函数，则满足f(x)＜f(2x －3)的x 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)解析：依题意得，不等式f(x)＜f(2x －3)等价于x ＜2x －3，由此解得x ＞3，即满足f(x)＜f(2x －3)的x 的取值范围是(3，＋∞)．答案：D4．(2014·陕西卷)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) A ．f(x)＝x 3B ．f(x)＝3xC ．f(x)＝x 12 D ．f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 解析：依次判断各选项，易知3x ＋y＝3x ·3y 且y ＝3x为增函数，B 项符合条件，故选B.答案：B5．(2013·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1（x ），x ≥0，f 2（x ），x ＜0，下列命题正确的是( )A ．若f 1(x)是增函数，f 2(x)是减函数，则f(x)存在最大值B ．若f(x)存在最大值，则f 1(x)是增函数，f 2(x)是减函数C ．若f 1(x)，f 2(x)均为减函数，则f(x)是减函数D ．若f(x)是减函数，则f 1(x)，f 2(x)均为减函数 解析：可举反例说明选项A 、B 、C 错误．故选D. 答案：D6．若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则f(a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是____________________．解析：∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.答案：f(a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫347．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254 ，－4，则m 的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254.又f(0)＝－4，故由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧32≤m，m －32≤32－0.解得32≤m≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 8．函数y ＝x ＋2x ＋1的最小值为____________． 解析：y ＝x ＋2x ＋1＝(x ＋1)2≥1(∵x ≥0)，∴y min ＝1. 答案：19．已知函数f(x)＝1a －1x (a ＞0, x ＞0)．(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数；(2)若f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． 解析：(1)证明：设x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0，∵f（x 2）－f(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， ∴f(x 2)＞f(x 1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．(2)解析：∵f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f(2)＝2.∴易得a ＝25.10．已知函数f(x)＝a －1|x|.(1)求证：函数y ＝ f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a －1x ，设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0.∴f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2 ＝1x 2 －1x 1＝x 1－x 2x 1x 2＜0. ∴f(x 1)＜f(x 2)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数． (2)解析：由题意知，a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x ＋1x ，则a<h(x)在(1，＋∞)上恒成立．设1＜x 3＜x 4，则x 3－x 4＜0，x 3x 4＞1，0＜1x 3x 4＜1.∴h(x 3)－h(x 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＋1x 4 ＝(x 3－x 4)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 3x 4＜0，∴h(x 3)＜h(x 4)，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∴a≤h(1)，即a≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．。

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.2 函数的单调性与最值课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( )A ．－7B ．1C ．17D ．25解析：依题意，知函数图象的对称轴为x ＝－－m 8＝m8＝－2，即m ＝－16，从而f (x )＝4x 2＋16x ＋5, f (1)＝4＋16＋5＝25.答案：D2．(2014·广东佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增解析：∵y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b2a<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．答案：B3．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上单调”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．答案：A4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：当a ＝1时，验证适合题意，而a <0时，g (x )在[1,2]上为增函数，不适合题意，故选D.答案：D5．(2013·潍坊模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：由已知条件可得x 2>x 1>1时f (x )为减函数，又f (x )向左移一个单位后关于y 轴对称，∴f (x )关于x ＝1对称，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52∵2<52<3，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (3)，因此b >a >c ，选D. 答案：D6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时， f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2解析：不妨令f (x )＝－2x ，可知f (x )为减函数，选C. 答案：C 二、填空题7．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析：y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x x >0，x 2－3x x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 8．函数y ＝3x ＋6－8－x 的值域为________． 解析：定义域为[－2,8]，又f (x )为增函数， ∴y ∈[－10，30]． 答案：[－10，30]9．(2013·东城模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如：函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的编号)． 解析：对于①x 21＝x 22时不一定有x 1＝x 2， ∴①不正确，由定义可知②③④正确． 答案：②③④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时， f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．可证h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3， ∴a 的取值范围为(－∞，3]．11．(2013·上海模拟)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1.(1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (2－x )<2，求x 的取值范围．解析：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵2＝1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，即f [x (2－x )]<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19， 由f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧x >02－x >0x 2－x>19，∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－223，1＋223.12．(2014·安徽池州一中高三月考)已知函数f (x )的定义域为[0,1]，且同时满足以下三个条件：①f (1)＝1；②对任意的x ∈[0,1]，都有f (x )≥0；③当x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时总有f (x ＋y )≥f (x )＋f (y )．(1)试求f (0)的值； (2)求f (x )的最大值；(3)证明：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，恒有2x ≥f (x )．解：(1)令x ∈[0,1]，y ＝0，则有f (x )＝f (x ＋0)≥f (x )＋f (0)，所以有f (0)≤0， 又根据条件②可知f (0)≥0，故f (0)＝0.(也可令x ＝y ＝0)(2)设0≤x 1<x 2≤1，则有f (x 2)＝f (x 2－x 1＋x 1)≥f (x 2－x 1)＋f (x 1)≥f (x 1)，即f (x )为增函数，所以f (x )≤f (1)＝1，故f (x )max ＝1.(3)证明：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，有2x ≥1，又由(2)可知f (x )≤1，所以有2x ≥f (x )对任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立．[热点预测]13．(1)设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时， f (x )＝ln x ，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)D ．f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 (2)(2013·北京昌平期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，1－3x ，x >0，则f []f －1＝________；若f (2a 2－3)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．解析：(1)由f (2－x )＝f (x )可知， f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时， f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1<⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－1<|2－1|，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (2)． (2)因f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以f []f －1＝f (2)＝1－6＝－5；由分段函数图象可知，f (x )在R 上递减，故f (2a 2－3)>f (5a )可得2a 2－3<5a ，解不等式得－12<a <3.答案：(1)C (2)－5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3。

高考数学一轮复习：函数的单调性与最值授课提示：对应学生用书第273页 [A 组 基础保分练]1.下列函数中，在区间（－1，1）上为减函数的是（ ）A.y ＝11－xB.y ＝cos xC.y ＝ln （x ＋1）D.y ＝2－x解析：函数y ＝11－x，y ＝ln （x ＋1）在（－1，1）上都是增函数，函数y ＝cos x 在（－1，0）上是增函数，在（0，1）上是减函数，而函数y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在（－1，1）上是减函数.答案：D2.函数y ＝x 2－2x ＋3有（ ）A.最小值2B.最小值 2C.最大值2D.最大值 2解析：易知y ＝（x －1）2＋2，因为（x －1）2＋2≥2，所以y ≥ 2.答案：B3.函数f （x ）＝11－x （1－x ）的最大值是（ ） A.45 B.54C.34D.43解析：由f （x ）＝1⎝⎛⎭⎫x －122＋34≤43， 则f （x ）max ＝43. 答案：D4.设偶函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞）时，f （x ）是增函数，则f （－2），f （π），f （－3）的大小关系是（ ）A.f （π）＞f （－3）＞f （－2）B.f （π）＞f （－2）＞f （－3）C.f （π）＜f （－3）＜f （－2）D.f （π）＜f （－2）＜f （－3）解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－3）＝f （3），f （－2）＝f （2）.又因为函数f （x ）在[0，＋∞）上是增函数，所以f （π）＞f （3）＞f （2），即f （π）＞f （－3）＞f （－2）. 答案：A5.函数f （x ）＝log a （x 2－4x －5）（a ＞1）的单调递增区间是（ ）A.（－∞，－2）B.（－∞，－1）C.（2，＋∞）D.（5，＋∞）解析：根据题意，得x 2－4x －5＞0，解得x ＜－1或x ＞5，设u ＝x 2－4x －5＝（x －2）2－9，易知u ＝x 2－4x －5的单调递增区间为（2，＋∞），所以f （x ）＝log a （x 2－4x －5）的单调递增区间是（5，＋∞）.答案：D6.已知函数f （x ）＝log 2x ＋11－x，若x 1∈（1，2），x 2∈（2，＋∞），则（ ）A.f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B.f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C.f （x 1）＞0，f （x 2）＜0D.f （x 1）＞0，f （x 2）＞0解析：因为函数f （x ）＝log 2x ＋11－x在（1，＋∞）上为增函数，且f （2）＝0，所以当x 1∈（1，2）时，f （x 1）＜f （2）＝0；当x 2∈（2，＋∞）时，f （x 2）＞f （2）＝0，即f （x 1）＜0，f （x 2）＞0.答案：B7.函数f （x ）＝x x －1（x ≥2）的最大值为__________. 解析：易得f （x ）＝x x －1＝1＋1x －1， 当x ≥2时，x －1＞0，易知f （x ）在[2，＋∞）上是减函数，∴f （x ）max ＝f （2）＝1＋12－1＝2. 答案：28.设函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f （x ）在区间（a ，a ＋1）上是增加的，则实数a 的取值范围是__________.解析：作出函数f （x ）的图像如图所示，由图像可知f （x ）在（a ，a ＋1）上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案：（－∞，1]∪[4，＋∞）9.已知f （x ）＝x x －a（x ≠a ）. （1）若a ＝－2，试证f （x ）在（－∞，－2）上单调递增；（2）若a ＞0且f （x ）在（1，＋∞）上单调递减，求a 的取值范围.解析：（1）证明：设x 1＜x 2＜－2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为（x 1＋2）（x 2＋2）＞0，x 1－x 2＜0，所以f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），所以f （x ）在（－∞，－2）上单调递增.（2）设1＜x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f （x 1）－f （x 2）＞0，只需（x 1－a ）（x 2－a ）＞0恒成立，所以a ≤1.综上所述，a 的取值范围是（0，1].[B 组 能力提升练]1.下列函数f （x ）中，满足“对任意的x 1，x 2∈（0，＋∞）时，均有（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0”的是（ ）A.f （x ）＝12B.f （x ）＝x 2－4x ＋4C.f （x ）＝2xD.f （x ）＝log 12x解析：（x 1－x 2）[f （x 1）－f （x 2）]＞0等价于x 1－x 2与f （x 1）－f （x 2）正负号相同，故函数f （x ）在（0，＋∞）上单调递增.显然只有函数f （x ）＝2x 符合.答案：C2.已知函数f （x ）满足f （x －1）＝f （5－x ），且对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，若p ＝f （log 216），q ＝f （log 47），m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1525，则p ，q ，m 的大小关系为（ ）A.q ＜m ＜pB.p ＜m ＜qC.q ＜p ＜mD.p ＜q ＜m解析：∵f （x －1）＝f （5－x ），∴函数f （x ）的图像关于直线x ＝2对称.又对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞），x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0成立，∴f （x ）在区间[2，＋∞）上单调递减，在（－∞，2）上单调递增.∵log 216＝4，∴f （log 216）＝f （4）＝f （0），又1＜log 47＜log 48＝32，0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1，∴0＜⎝⎛⎭⎫1525＜1＜log 47＜2，∴p ＜m ＜q .答案：B3.定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）x －（2⊕x ），x ∈[－2，2]的最大值等于（ ）A.－1B.1C.6D.12解析：由已知得当－2≤x ≤1时，f （x ）＝x －2，当1<x ≤2时，f （x ）＝x 3－2，因为f （x ）＝x －2在[－2，1]上是增函数，所以f （x ）≤f （1）＝－1，因为f （x ）＝x 3－2在（1，2]上是增函数，所以f （x ）≤f （2）＝6，所以f （x ）max ＝f （2）＝6.答案：C4.（2021·西安模拟）已知函数y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.（0，1]B.[1，2]C.[1，＋∞）D.[2，＋∞）解析：要使y ＝log 2（ax －1）在（1，2）上单调递增，则a ＞0且a －1≥0，∴a ≥1. 答案：C5.（2021·衡阳模拟）若函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝（ ）A.－1B.1C.0D.±1解析：∵函数f （x ）＝2x －a ＋1＋x －a －a ，∴函数f （x ）的定义域为[a ，＋∞）.∵函数f （x ）的定义域与值域相同，∴函数f （x ）的值域为[a ，＋∞）.又∵函数f （x ）在[a ，＋∞）上是单调递增函数，∴当x ＝a 时，f （a ）＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.答案：B6.函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________.解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－（x －1）2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－（x ＋1）2＋4，二次函数的图像如图所示，由图像可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1，0]，[1，＋∞）.答案：[－1，0]，[1，＋∞）7.设f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x ＞0.若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围为__________. 解析：因为当x ≤0时，f （x ）＝（x －a ）2，f （0）是f （x ）的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f （x ）＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f （0）是f （x ）的最小值，需2＋a ≥f （0）＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是[0，2].答案：[0，2]8.已知函数f （x ）＝x 2＋a |x －2|－4.（1）当a ＝2时，求f （x ）在[0，3]上的最大值和最小值；（2）若f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，求实数a 的取值范围.解析：（1）当a ＝2时，f （x ）＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2，x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2，（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2）时，－1≤f （x ）≤0，当x ∈[2，3]时，0≤f （x ）≤7，所以f （x ）在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.（2）因为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2，x 2－ax ＋2a －4，x ≤2， 又f （x ）在区间[－1，＋∞）上单调递增，所以当x ＞2时，f （x ）单调递增，则－a 2≤2，即a ≥－4. 当－1≤x ≤2时，f （x ）单调递增，则a 2≤－1. 即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立，故a 的取值范围为[－4，－2].[C 组 创新应用练]1.定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，若函数f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在（－∞，m ）上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ）A.（－2，＋∞）B.[－2，＋∞）C.（－∞，－2）D.（－∞，－2]解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴f （x ）＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝（x －1）（x ＋3）－2×（－x ）＝x 2＋4x －3＝（x ＋2）2－7，∴f （x ）的单调递减区间为（－∞，－2），∵函数f （x ）在（－∞，m ）上单调递减，∴（－∞，m ）⊆（－∞，－2），即m ≤－2.答案：D2.如果函数y ＝f （x ）在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f （x ）是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数f （x ）＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ）A.[1，＋∞）B.[0，3]C.[0，1]D.[1，3]解析：因为函数f （x ）＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f （x ）在区间[1，＋∞）上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x. 令g （x ）＝12x －1＋32x（x ≥1）， 则g ′（x ）＝12－32x 2＝x 2－32x2， 由g ′（x ）≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]. 答案：D3.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f （x ）满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f （x 1）－f （x 2），且当x ＞1时，f （x ）＞0，f （3）＝1.（1）判断f （x ）的单调性；（2）解关于x 的不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2；（3）若f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.解析：（1）设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1， 因为当x ＞1时，f （x ）＞0，所以f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＞0，所以f （x 1）＞f （x 2），所以函数f （x ）在区间（0，＋∞）上为增函数.（2）在f （x 1）－f （x 2）＝f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2中，令x 1＝9，x 2＝3，所以f （9）－f （3）＝f （3）.又f （3）＝1，所以f （9）＝2.所以不等式f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞2，可转化为f （3x ＋6）＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f （9）， 所以f （3x ＋6）＞f （9）－f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f （9x ）， 由函数f （x ）为（0，＋∞）上的增函数，可得3x ＋6＞9x ＞0，所以0＜x ＜1，所以原不等式的解集为（0，1）.（3）因为函数f （x ）在（0，3]上是增函数，所以f （x ）在（0，3]上的最大值为f （3）＝1，所以不等式f （x ）≤m 2－2am ＋1对所有x ∈（0，3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1，1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1，1]恒成立.设g （a ）＝－2ma ＋m 2，所以需满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）≥0，g （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为（－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞）.。

【高考讲坛】 高考数学一轮复习 第2章 第2节 函数的单调性与最值课后限时自测 理 苏教版[A 级 基础达标练]一、填空题1．(2014·北京高考改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________． ①y ＝x ＋1；②y ＝(x －1)2；③y ＝2－x；④y ＝log 0.5(x ＋1)．[解析] ①，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；②，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；③，函数y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故错误；④，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．[答案] ①2．(2014·陕西高考改编)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是________．①f (x )＝x 12；②f (x )＝x 3；③f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ；④f (x )＝3x .[解析] 指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，又f (x )＝3x是增函数． [答案] ④3．给出如下三个函数：①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1；③y ＝x ＋1x.其中在区间(0，＋∞)上为增函数的是________________．(写出所有增函数的序号)[解析] y ＝ln(x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数；y ＝－x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数；y ＝x ＋1x在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．[答案] ① 4．已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[解析] f (x )＝e |x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －ae －x ＋ax ≥a ，x <a .∴f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．从而[1，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. [答案] (－∞，1]5．函数f (x )为减函数，且f (x )>0，则y ＝log 12f (x )是单调________函数．[解析] 由y ＝log 12u (u >0)是减函数，可得复合函数y ＝log 12f (x )为单调递增函数．[答案] 递增6．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．[解析] 令x ＝t 则t ≥0，y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12时，y 有最大值14.[答案] 147．(2014·马鞍山模拟)若函数y ＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a 的取值范围是________．[解析] ∵y ＝ax －1x ＋1＝a ＋－a －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数， ∴－a －1＞0，∴a ＜－1. [答案] (－∞，－1)8．(2014·徐州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x <1，2x，x ≥1的最小值为2，则实数a 的取值范围是________．[解析] 当x ≥1时，f (x )≥2，当x <1时，f (x )>a －1，由题意知a －1≥2即a ≥3. [答案] [3，＋∞) 二、解答题 9．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )，(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2， ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0. ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a >0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数． 又f (x )在(1，＋∞)内单调递减， ∴0<a ≤1，故a 的取值范围为(0,1]．10．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2>0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数．所以f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)． ①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数． 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.∴a ＋3＞0，a ＞－3.∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值范围是(－3,1]．[B 级 能力提升练]一、填空题1．(2014·金华十校调研)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是________． ①y ＝1x－x ；②y ＝x 2－x ；③y ＝ln x －x ；④y ＝e x－x .[解析] ①y 1＝1x 在(0，＋∞)内是减函数，y 2＝x 在(0，＋∞)内是增函数，则y ＝1x－x在(0，＋∞)内是减函数．②在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12内是减函数，⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞内是增函数，③④在(0，＋∞)内的单调性不确定．[答案] ①2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 x <2，满足对任意实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是________．[解析] 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138二、解答题3．(2014·扬州质检)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． [解] (1)由f (0)＝2可知c ＝2，又A ＝{1,2}，故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－ba ，2＝ca ，解得a ＝1，b ＝－2.故m ＝f (1)＝1，M ＝f (－2)＝10.(2)依题设，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两等根x ＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝1－b a ，1＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－2a ，c ＝a .∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]， 其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a，又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，∴M ＝f (－2)＝9a －2；m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a －12a ＝1－14a .g (a )＝M ＋m ＝9a －14a－1，又g (a )在区间[1，＋∞)上为单调递增的， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝314.。

课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2012天津高考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )．A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x x >1 ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2 x ≤1 是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )．A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)3．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )．A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增4．(2013届湖南雅礼中学高三9月月考)已知函数f (x )＝|x －m |在区间[1,2)上为单调函数，则m 的取值范围是( )．A ．m ≤1或m ≥2B ．1≤m ＜2C ．m ≥2D ．m ≤15．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )．A.25B.12C.22D ．1 6．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)7．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )．A ．[－5，－1]B ．[－2,0]C ．[－6，－2]D ．[1,3]二、填空题8．如果函数f (x )＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．9．函数y ＝3|x |－1的定义域为[－1,2]，则函数的值域为__________．10．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m 的取值范围是__________．三、解答题11．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围． 12．讨论函数f (x )＝x ＋ax(a ＞0)的单调区间．参考答案一、选择题1．B 解析：对于A ，y ＝cos 2x 是偶函数，但在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2内是减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2内是增函数，不满足题意．对于B ，log 2|－x |＝log 2|x |，是偶函数，当x ∈(1,2)时，y ＝log 2x 是增函数，满足题意．对于C ，f (－x )＝e －x －e －(－x )2＝e －x －e x 2＝－f (x )， ∴y ＝e x －e －x 2是奇函数，不满足题意． 对于D ，y ＝x 3＋1是非奇非偶函数，不满足题意．2．B 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2≤a ，即4≤a ＜8，故选B. 3．B 解析：∵函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数， ∴a ＜0，b ＜0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b 2a＜0.∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数，选B.4．A 解析：依f (x )＝|x －m |的图象知f (x )在[1,2)上单调，则m ≤1或m ≥2.5．B 解析：当x ＝0时，y ＝0；当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x， ∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，故0＜f (x )≤12，∴0≤f (x )≤12. 故f (x )的最大值为12.故选B. 6．D 解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，故函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)＞f (0)＝0.所以－f (1)＜0，即f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D.7．A 解析：∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3，－6≤－2f (x ＋3)≤－2，－5≤1－2f (x ＋3)≤－1.∴－5≤F (x )≤－1，即函数F (x )的值域是[－5，－1]．二、填空题8．0≤a ≤14解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋4，函数在定义域R 上单调递减，故在区间(－∞，6)上单调递减．(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝32a. 因为f (x )在区间(－∞，6)上单调递减，所以a ＞0，且32a ≥6，解得0＜a ≤14. 综上所述0≤a ≤14. 9．[0,8] 解析：当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8，故值域为[0,8]．10．(－1,0] 解析：∵f ′(x )＝4(1－x 2)(x 2＋1)2， 令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，∴f (x )的增区间为(－1,1)．又∵f (x )在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，2m ＋1≤1，∴－1≤m ≤0.∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1＞m ，∴m ＞－1.综上，－1＜m ≤0.三、解答题11．解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∵x 2－x 1＞0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，∴1－2a ＜0，a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 12．解：方法一：(定义法)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)·x 1x 2－a x 1x 2. 当0＜x 1＜x 2≤a 时，有0＜x 1x 2＜a ，∴x 1x 2－a ＜0.∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x )在(0，a ]上是减函数． 当a ≤x 1＜x 2时，有x 1x 2＞a ，∴x 1x 2－a ＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )在(－∞，－a ]上是增函数，在[－a ，0)上是减函数．综上所述，f (x )在区间(－∞，－a ]，[a ，＋∞)上为增函数，在[－a ，0)，(0，a ]上为减函数．方法二：(导数法)f′(x)＝1－ax2，令f′(x)＞0，得x＜－a，或x＞a，又函数f(x)在x＝±a处有定义，且连续，∴f(x)在(－∞，－a]，[a，＋∞)上为增函数．令f′(x)＜0，得－a＜x＜0，或0＜x＜a，又函数f(x)在x＝±a处有定义，且连续，∴f(x)在[－a，0)，(0，a]上为减函数．。

第2讲 函数的单调性与最值课时作业1．以下四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1xC ．y ＝lg xD ．y ＝x 3答案 B解析 y ＝－2x ＋1在定义域R 上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域(0，＋∞)上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域R 上为单调递增函数；y ＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在定义域内不单调，应选B ．2．(2022·沧州七校联考)函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 A解析 由易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．3．(2022·长春模拟)函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1.应选A ． 4．(2022·九江模拟)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2] D ．[2，＋∞)答案 A解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．5．假设函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，那么实数m 的值为( ) A ．－3B ．－2C ．－1D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1，∴f (x )在[3，＋∞)上是增函数，f (x )min ＝f (3)＝3＋m ，∵3＋m ＝1，∴m ＝－2.6．(2022·曲阜师大附中质检)函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (a ＋1)>f (a ＋2)，那么f (2x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．(2，＋∞)答案 C解析 因为函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)满足f (a ＋1)>f (a ＋2)，所以0<a <1，那么函数f (x )＝log a x (0<a <1)是减函数，所以f (2x －3)>0可化为0<2x －3<1，求解可得32<x <2，应选C ．7．函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，那么m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)答案 D解析 ∵函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，∴当x ∈(－1，＋∞)时，函数是减函数，又当x ＝2时，y ＝0，∴－1≤m <2，应选D ．8．(2022·西安模拟)函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，那么a >0且a －1≥0，∴a ≥1.应选C ． 9．(2022·长沙模拟)偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，那么f (－1)与f (a 2－2a ＋3)的大小关系是( )A ．f (－1)≥f (a 2－2a ＋3) B ．f (－1)＝f (a 2－2a ＋3) C ．f (－1)>f (a 2－2a ＋3) D ．f (－1)<f (a 2－2a ＋3)答案 D解析 a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，由偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，可得f (－1)＝f (1)<f (a 2－2a ＋3)，应选D ．10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，假设f (0)是f (x )的最小值，那么实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x >0时，f (x )的最小值为f (1)，∴当x ≤0时，f (x )的最小值为f (0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2≤2＋a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－a －2≤0，解得0≤a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，m >0，n <0，且f (m )<f (n )，那么一定有( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．f (－m )>f (－n )D ．f (－m )·f (－n )<0答案 B解析 因为m >0，所以－m <0.由函数f (x )为偶函数，得f (m )＝f (－m )，故不等式f (m )<f (n )可化为f (－m )<f (n )．又函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，－m <0，n <0，所以－m <n ，即m ＋n >0.应选B ．12．(2022·莱州质检)对于每一个实数x ，f (x )是y ＝2－x 2和y ＝x 这两个函数中的较小者，那么f (x )的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－2答案 B解析 解法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x <－2或x >1，x ，－2≤x ≤1.当x <－2时，函数f (x )的值域为(－∞，－2)；当－2≤x ≤1时，函数f (x )的值域为[－2,1]；当x >1时，函数f (x )的值域为(－∞，1)．故函数f (x )的值域为(－∞，1]，所以f (x )max ＝1.应选B ．解法二：画出函数f (x )的图象，如下图：其中A (1,1)，B (－2，－2)，故当x ＝1时，函数f (x )的最大值为1.应选B ．13．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________. 答案 14解析 令t ＝x ，那么t ≥0，y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.14．假设函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，那么a ＝________.答案 4解析 易知f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)， ∴f (x )＝1x在[2，a ]上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 15．函数f (x )＝log 12(－2x 2＋x )的单调递增区间是________；f (x )的值域是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12 [3，＋∞) 解析 令u ＝－2x 2＋x ＝－x (2x －1)，显然u 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12上是减函数，又y ＝log 12 u 是减函数，∴f (x )＝log 12 (－2x 2＋x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12.又u ＝－2x 2＋x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋18≤18，那么y ＝log 12 u ≥log 1218＝3，故f (x )的值域为[3，＋∞)．16．函数y ＝f (x )是R 上的增函数，且y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1,3)，那么不等式|f (2x －1)|<3的解集为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 解析 因为y ＝f (x )的图象经过点A (－2，－3)和B (1，3)，所以f (－2)＝－3，f (1)＝3.又|f (2x －1)|<3，所以－3<f (2x －1)<3，即f (－2)<f (2x －1)<f (1)．因为函数y ＝f (x )是R上的增函数，所以－2<2x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>－2，2x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－12，x <1，所以－12<x <1.17．f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)假设a ＝－2，证明：f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)假设a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.设x 1<x 2<－2， 那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)设1<x 1<x 2， 那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1. 18．函数f (x )＝x 2＋x －14.(1)假设函数f (x )的定义域为[0,3]，求f (x )的值域；(2)假设f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，116，且定义域为[a ，b ]，求b －a 的最大值． 解 因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－12，所以其图象的对称轴为直线x ＝－12.(1)因为3≥x ≥0>－12，所以f (x )的值域为[f (0)，f (3)]，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，474. (2)因为x ＝－12时，f (x )＝－12是f (x )的最小值，所以x ＝－12∈[a ，b ]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f (x )的图象知当a ＝－54，b ＝14时，b －a 取最大值14－⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝32.19．(2022·福建师大附中模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足下面三个条件： ①对任意正数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f (ab )； ②当x >1时，f (x )<0； ③f (2)＝－1. (1)求f (1)的值；(2)试用单调性的定义证明：函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数； (3)求满足f (3x －1)>2的x 的取值集合．解 (1)由f (a )＋f (b )＝f (ab )得f (1)＋f (1)＝f (1)，那么f (1)＝0. (2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2， 那么f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1＝f (x 2)， 那么f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1.由x 2x 1>1得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1<0，那么f (x 2)<f (x 1)， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)∵f (2)＝－1，∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝－2，又f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2. 又f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在其上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －1<14，3x －1>0，解得13<x <512.故满足要求的x 的取值集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，512. 20．(2022·绍兴模拟)函数f (x )＝px ＋q x (p ，q 为常数)，且满足f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求函数f (x )的解析式；(2)假设对任意的x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，关于x 的不等式f (x )≥2－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝52，f (2)＝174，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝52，2p ＋q 2＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝12，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋12x .(2)由(1)可得f (x )＝2x ＋12x.任取x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，且x 1<x 2， 那么f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)＋12x 1－12x 2＝2(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 2－x 1)(1－4x 1x 2)2x 1x 2，∵0<x 1<x 2≤12，∴x 2－x 1>0,0<x 1x 2<14，1－4x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递减． ∴f (x )＝2x ＋12x 在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的最小值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2. 要使对任意的x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，函数f (x )≥2－m 恒成立，只需f (x )min ≥2－m ， 即2≥2－m ，解得m ≥0.∴实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

课时作业(五) 函数的单调性与最值一、选择题1．(2014·陕西)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．f (x )＝3x答案：D解析：根据各选项知，选项C ，D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )．又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确．故应选D.2．(2015·烟台模拟)下列函数中，满足x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案：A解析：由题意可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，结合四个选项可知，A 正确．故应选A.3．(2015·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x 1＋x 2＜0且x 1x 2＜0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．可能为0B ．恒大于0C ．恒小于0D ．可正可负答案：C解析：由x 1x 2＜0，不妨设x 1＜0，x 2＞0. ∵x 1＋x 2＜0，∴x 1＜－x 2＜0.由f (x )＋f (－x )＝0，知f (x )为奇函数． 又由f (x )在(－∞，0)上单调递增，得f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，所以f (x 1)＋f (x 2)＜0.故应选C.4．(2015·潍坊模拟)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：如图所示，在同一坐标系中作出y ＝x ＋2，y ＝2x，y ＝10－x (x ≥0)的图象．根据f (x )定义，f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图实线部分． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，0≤x ≤2，x ＋2，2<x <4，10－x ，x ≥4.令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值f (4)＝6.故应选C. 5．(2015·青岛模拟)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]答案：D解析：由定义知，f (x )＝(x －1)(x ＋3)＋2x ＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，易知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，＋∞)单调递增，由题意m ≤－2，故应选D.二、填空题6．(2015·杭州模拟)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.答案：－6解析：f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ≥－a2，－2x －a ，x <－a2，作出函数图象(图略)，由图象知，函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞，∴－a2＝3，即a ＝－6.7．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.8．若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.答案：14解析：当0<a <1时，f (x )＝a x 在[－1,2]上的最大值为a －1＝4，即a ＝14，最小值为a2＝m ，从而m ＝116，故g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－4×116x ，即g (x )＝34x ，在[0，＋∞)上是增函数．当a >1时，f (x )＝a x 在[－1,2]上的最大值为a 2＝4，解得a ＝2，最小值a －1＝m ，即m ＝12，这时g (x )＝(1－4m )x ＝－x 在[0，＋∞)上为减函数，不合题意，舍去．所以a ＝14.9．设函数f (x )＝x －1x，对任意x ∈[1，＋∞)，不等式f (mx )＋mf (x )<0恒成立的实数m 称为函数f (x )的“伴随值”，则m 的取值范围是______________．答案：(－∞，－1)解析：由题意知，f (x )为增函数且m ≠0.若m >0，由函数的单调性可知，f (mx )和mf (x )均为增函数，此时不符合题意． 若m <0，则f (mx )＋mf (x )<0可化为mx －1mx ＋mx －m x<0，所以2mx －⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m ·1x<0，即1＋1m 2<2x 2，因为y ＝2x 2在x ∈[1，＋∞)上的最小值为2，所以1＋1m2<2，即m 2>1，解得m <－1.三、解答题10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M ，m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 解：(1)由f (0)＝2，可知c ＝2.又A ＝{1,2}，故1和2是方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0的两实根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝1－b a ，2＝ca ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]．当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1. 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10. (2)由题意，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝1－b a ，1＝ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝a ，b ＝1－2a ，∴f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]， 其对称轴方程为x ＝－1－2a 2a ＝1－12a ，又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a －12a ＝1－14a ，g (a )＝M ＋m ＝9a －14a－1，又g (a )在[1，＋∞)上单调递增， ∴当a ＝1时，g (a )min ＝g (1)＝314.11．(2015·湖北模拟)若非零函数f (x )对任意函数x ，y 均有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＜0时，f (x )＞1.(1)求证：f (x )＞0；(2)求证：f (x )为R 上的减函数；(3)当f (4)＝116时，对a ∈[－1,1]时恒有f (x 2－2ax ＋2)≤14，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：证法一：令y ＝0，得f (0)·f (x )＝f (x )， 即f (x )[f (0)－1]＝0，又f (x )≠0，∴f (0)＝1. 当x ＜0时，f (x )＞1，－x ＞0.f (x )·f (－x )＝f (0)＝1，则f (－x )＝1f x∈(0,1)．故对于x ∈R 恒有f (x )＞0.证法二：f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x22≥0，∵f (x )为非零函数，∴f (x )＞0. (2)证明：令x 1＞x 2且x 1，x 2∈R ，有f (x 1)·f (x 2－x 1)＝f (x 2)， 又x 2－x 1＜0，即f (x 2－x 1)＞1， 故f x 2f x 1＝f (x 2－x 1)＞1，又f (x )＞0，∴f (x 2)＞f (x 1)． 故f (x )为R 上的减函数． (3)f (4)＝116＝f (2＋2)＝f 2(2)，故f (2)＝14，则原不等式可变形为f (x 2－2ax ＋2)≤f (2)，依题意有x 2－2ax ≥0对a ∈[－1,1]恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥0，x 2＋2x ≥0，解得x ≥2或x ≤－2或x ＝0.故实数x 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)． 12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， ∴a ≤1.综上，a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．。

函数的单调性与最值考试要求 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值常用结论1．∀x 1，x 2∈D 且x 1≠x 2，有f x 1－f x 2x 1－x 2>0(<0)或(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)⇔f (x )在区间D 上单调递增(减)．2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y ＝f (x )(f (x )>0或f (x )<0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f x的单调性相反．4．复合函数的单调性：函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )在函数y ＝f (φ(x ))的定义域上，如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相同，那么y ＝f (φ(x ))单调递增；如果y ＝f (u )与u ＝φ(x )的单调性相反，那么y ＝f (φ(x ))单调递减． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若f (x )的定义域为R ，且f (－3)<f (2)，则f (x )为R 上的增函数．( × ) (2)函数f (x )在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3)．( × ) (3)因为y ＝x 与y ＝e x都是增函数，所以y ＝x e x在定义域内为增函数．( × ) (4)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )教材改编题1．下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是( ) A ．y ＝|x ＋1| B ．y ＝2－x C ．y ＝1xD ．y ＝x 2－x ＋1答案 A 2．函数y ＝xx －1在区间[2,3]上的最大值是________．答案 2 解析 函数y ＝xx －1＝1＋1x －1在[2,3]上单调递减，当x ＝2时，y ＝x x －1取得最大值22－1＝2. 3．函数y ＝ax －1在(－∞，1)上为增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，0)题型一 确定函数的单调性 命题点1 求具体函数的单调区间例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．y ＝e x －e －xB ．y ＝|x 2－2x | C ．y ＝x ＋cos x D ．y ＝x 2＋x －2答案 AC解析 ∵y ＝e x 与y ＝－e －x为R 上的增函数， ∴y ＝e x －e －x为R 上的增函数，故A 正确； 由y ＝|x 2－2x |的图象知，故B 不正确； 对于选项C ，y ′＝1－sin x ≥0，∴y ＝x ＋cos x 在R 上为增函数，故C 正确；y ＝x 2＋x －2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D 不正确．命题点2 判断或证明函数的单调性 例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． 解 方法一 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1，由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 方法二 f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝a x －1－ax x －12＝－ax －12.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 教师备选1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是__________．答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数的图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．2．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增．证明 方法一 (定义法)设x 1>x 2>0，f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)＋a x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－ax 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 当x 1，x 2∈(0，a ]时，0<x 1x 2<a ， ∴x 1x 2－a <0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在(0，a ]上单调递减， 当x 1，x 2∈[a ，＋∞)时，x 1x 2>a ， ∴x 1x 2－a >0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， ∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在[a ，＋∞)上单调递增． 方法二 (导数法)f ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax2(x >0)，令f ′(x )>0⇒x 2－a >0⇒x >a ， 令f ′(x )<0⇒x 2－a <0⇒0<x <a ，∴f (x )在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增． 思维升华 确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．跟踪训练1 (1)函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 答案 D解析 f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的定义域为(－1,4)． 令t ＝4＋3x －x 2，对称轴为x ＝32，故单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－1，32， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4， 因为y ＝ln t 为增函数，所以f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4.(2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________． 答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )的大致图象(如图所示)，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]． 题型二 函数单调性的应用 命题点1 比较函数值的大小例3 (2022·成都模拟)已知函数f (x )为R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，若a ＝f (ln 2)，b ＝f (133)，c ＝f (13e )，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b答案 B解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)， 均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减， ∵f (x )是偶函数，∴当x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增， 又f (x )＝13x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增， ∴1<13e <133， 又0<ln 2<1， ∴ln2<13e <133，∴133f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>13e f ⎛⎫⎪⎝⎭>f (ln 2)，即a <c <b .命题点2 求函数的最值例4 (2022·深圳模拟)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．答案 25解析 令x 2＋4＝t ，则t ≥2， ∴x 2＝t 2－4，∴y ＝t t 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t，则h (t )在[2，＋∞)上为增函数， ∴h (t )min ＝h (2)＝52，∴y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 的最大值为25.命题点3 解不等式例5 已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)，若f (a －2)>3，则a 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)知，f (x )在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f (－1)＝3，由f (a －2)>3，得f (a －2)>f (－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2<－1，a －2>－2，解得0<a <1.命题点4 求参数的取值范围例6 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1，且满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[4,8)B ．(4,8)C ．(1,8]D ．(1,8)答案 A解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1满足对任意的实数x 1≠x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，所以函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x <1是R 上的增函数，则由指数函数与一次函数的单调性可知应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得4≤a <8，所以实数a 的取值范围为[4,8)． 教师备选1．(2022·嘉峪关模拟)函数f (x )＝ln(x 2－ax －3)在(1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)答案 A解析 函数f (x )＝ln(x 2－ax －3)为复合函数，令u (x )＝x 2－ax －3，y ＝ln u 为增函数，故只要u (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上单调递增即可，只要⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤1，u 1≥0，解得a ≤－2.2．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______． 答案 1解析 方法一 在同一坐标系中，作函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象为如图所示的实线部分．易知点A (2,1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.方法二 依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 单调递增， 当x >2时，h (x )＝3－x 单调递减， 因此h (x )在x ＝2时取得最大值h (2)＝1.思维升华 (1)比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式，由条件脱去“f ”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 跟踪训练 2 (1)(2022·天津静海区模拟)已知函数f (x )＝e |x |，记a ＝f (log 23)，b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312，c ＝f (2.11.2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C解析 函数f (x )＝e |x |，其定义域为R ， 且f (－x )＝e|－x |＝e |x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝e x，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，0<log 32<log 33＝1,2.11.2>2.11＝2.1>2， ∴2.11.2>log 23>log 32>0， ∴f (2.11.2)>f (log 23)>f (log 32)， 即f (2.11.2)>f (log 23)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312，则b <a <c .(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)答案 D解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4的图象，如图，由图可知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4的单调递增区间为(－∞，2)，(4，＋∞)，∵函数在(a ，a ＋1)上单调递增， ∴a ＋1≤2或a ≥4， ∴a ≤1或a ≥4.(3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，则不等式f (2x －1)>f (x ＋1)的解集为________． 答案 (0,2)解析 依题意f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f (2x －1)>f (x ＋1)⇔(2x －1)2<(x ＋1)2，即4x 2－4x ＋1<x 2＋2x ＋1，即x 2－2x ＝x (x －2)<0⇒x ∈(0,2)．课时精练1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝1x－xB ．y ＝x 2－x C ．y ＝ln x －x D ．y ＝e x答案 A解析 当x ∈(0，＋∞)时，y ＝1x 与y ＝－x 单调递减，∴y ＝1x－x 在(0，＋∞)上单调递减．2．若函数f (x )＝2x 2＋31＋x 2，则f (x )的值域为( )A ．(－∞，3]B ．(2,3)C ．(2,3]D ．[3，＋∞)答案 C解析 f (x )＝2x 2＋31＋x 2＝2＋1x 2＋1， ∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1， ∴0<1x 2＋1≤1， ∴f (x )∈(2,3]．3．(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－2，则满足－2≤f (x －2)≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[1,3] D ．[0,4]答案 C解析 因为f (x )为奇函数， 若f (1)＝－2，则f (－1)＝2， 所以不等式－2≤f (x －2)≤2可化为f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， 所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3.4．(2022·南通模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －e －x ，x >0，－x 2，x ≤0，若a ＝50.01，b ＝log 32，c ＝log 20.9，则有( )A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (a )>f (c )>f (b )D ．f (c )>f (a )>f (b )答案 A解析 y ＝e x 是增函数，y ＝e －x 是减函数，因此在(0，＋∞)上y ＝e x －e －x 单调递增，且此时f (x )>0.f (x )＝－x 2在x ≤0时单调递增，所以f (x )在R 上单调递增．c ＝log 20.9<0，b ＝log 32，所以0<b <1，a ＝50.01>1，即a >b >c ，所以f (a )>f (b )>f (c )．5．(多选)已知函数f (x )＝x －a x (a ≠0)，下列说法正确的是( )A ．当a >0时，f (x )在定义域上单调递增B ．当a ＝－4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C ．当a ＝－4时，f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．当a >0时，f (x )的值域为R答案 BCD解析 当a >0时，f (x )＝x －a x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故A 错误；又x →－∞时，f (x )→－∞，x →0－时，f (x )→＋∞，∴f (x )的值域为R ，故D 正确；当a ＝－4时，f (x )＝x ＋4x ，由其图象(图略)可知，B ，C 正确．6．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x ＋2x ，x >0，21－x，x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )在R 上为增函数B ．f (e)>f (2)C ．若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，则a ≤－1或a ≥0D ．当x ∈[－1,1]时，f (x )的值域为[1,2]答案 BC解析 易知f (x )在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，A 错误，B 正确；若f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，则a ≥0或a ＋1≤0，即a ≤－1或a ≥0，故C 正确；当x ∈[－1,0]时，f (x )∈[1,2]，当x ∈(0,1]时，f (x )∈(－∞，2]，故x ∈[－1,1]时，f (x )∈(－∞，2]，故D 不正确．7．函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析 由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －12＋2，x ≥0，－x ＋12＋2，x <0.画出函数的图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．8．(2022·山东师大附中质检)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －a ，x ≥a ，e a －x ，x <a ，当x ≥a 时，f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以a ≤1.9．已知函数f (x )＝ax －1ax ＋2a(a >0)，且f (x )在(0,1]上的最大值为g (a )，求g (a )的最小值． 解 f (x )＝ax －1ax ＋2a (a >0)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝a ＋1a ，∴g (a )＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a 即a ＝1时取等号，∴g (a )的最小值为2.10．已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的取值范围．解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(2)f (x )在R 上单调递增．证明如下：∵f (x )的定义域为R ，∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a －1221x +－a ＋2221x +＝()()()12122221212x x x x ⋅-++，∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<12x <22x ，∴12x －22x <0,12x ＋1>0,22x ＋1>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在R 上单调递增．(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1.∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2.∴x 的取值范围是(－∞，2)．11．定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ,2x －3,6－x }，则M 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 画出函数M ＝max{2x,2x －3,6－x }的图象(如图)，由图可知，函数M 在A (2,4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M 的最小值为4.12．如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”.函数y ＝x －1－2－x 的值域为________，则与y 是“同域函数”的一个解析式为________． 答案 [－1,1] y ＝2x －3，x ∈[1,2] 或y ＝sin(2πx )，x ∈[1,2]或y ＝3x －1－2，x ∈[1,2](答案不唯一)解析 因为y ＝x －1－2－x ，所以x ≥1且x ≤2，所以函数的定义域为[1,2]．显然，函数y ＝f (x )＝x －1－2－x 在[1,2]上单调递增，所以f (x )∈[－1,1]，所以函数的值域为[－1,1]．只要满足定义域为[1,2]，且值域为[－1,1]的函数均符合题意，例如y ＝sin(2πx )，x ∈[1,2]或y ＝2x －3，x ∈[1,2]或y ＝3x －1－2，x ∈[1,2]． 13．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上单调递增，那么a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a， 定义域为{x |x ≠－2a }，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，a ≥1，所以a ≥1.14．(2022·沧州模拟)设函数f (x )＝x 3－sin x ＋x ，则满足f (x )＋f (1－2x )<0的x 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 f (x )＝x 3－sin x ＋x ，∵f (－x )＝(－x )3－sin(－x )＋(－x )＝－(x 3－sin x ＋x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x 2－cos x ＋1≥0，∴f (x )为R 上的增函数，∴f (x )＋f (1－2x )<0可化为 f (x )<－f (1－2x )＝f (2x －1)，∴x <2x －1，即x >1，∴满足f (x )＋f (1－2x )<0的x 的取值范围是(1，＋∞)．15．(2022·厦门模拟)函数g (x )＝ax ＋2(a >0)，f (x )＝x 2－2x ，对∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)成立，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B ．[1,2) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 C 解析 若对∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使g (x 1)＝f (x 0)成立，只需函数y ＝g (x )的值域为函数y ＝f (x )的值域的子集即可．函数f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[－1,2]的值域为[－1,3]．当a >0时，g (x )＝ax ＋2单调递增，可得其值域为[2－a ,2＋2a ]，要使[2－a ,2＋2a ]⊆[－1,3]，需⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥－1，2＋2a ≤3，a >0，解得0<a ≤12， 综上，a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 16．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，且当x >0时，f (x )>－1.(1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数；(2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4.解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，所以f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数．(2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，因为函数f (x )在R 上是增函数，所以x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。

第二节 函数的单调性与最值考试要求：1．借助函数图象，会用数学语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义． 2．理解单调性、最值及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现 1．单调递增、单调递减一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ：(1)如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递增．(2)如果∀x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就称函数f (x )在区间D 上单调递减．2．增函数、减函数(1)当函数f (x )在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． (2)当函数f (x )在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．1．单调递增(减)函数定义中的x 1，x 2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x 1<x 2(或x 1>x 2)；三是同属于一个单调区间．三者缺一不可．2．增、减函数定义的等价形式对于∀x 1，x 2∈I ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0(<0)或f x 1－f x 2x 1－x 2>0(<0)，则函数f (x )在I 上单调递增(减)．3．单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能随意取并集．例如，函数f (x )在区间(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递减，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是单调递减．前提 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 (1)∀x ∈I ，都有f (x )≤M ． (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)∀x ∈I ，都有f (x )≥M ． (2)∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为函数y ＝f (x )的最大值 M 为函数y ＝f (x )的最小值二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞， 0)∪(0, ＋∞)．( × )(2)若函数f (x )在[1，＋∞)上单调递增，则函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．( × )(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数．( × ) (4)所有的单调函数都有最值．( × )2．(多选题)已知f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以判定f (x )是增函数的是( )A ．对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )B ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≥x 2，都有f (x 1)≥f (x 2)C ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0D ．对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0CD 解析：根据题意，依次分析选项：对于选项A ，对任意x ≥0，都有f (x ＋1)>f (x )，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B ，当f (x )为常数函数时，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，都有f (x 1)＝f (x 2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1－x 2<0，都有f (x 1)－f (x 2)<0，符合题意；对于选项D ，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)，设x 1>x 2，若f x 1－f x 2x 1－x 2>0，必有f (x 1)－f (x 2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．3．函数y ＝x 2－6x ＋6在区间[2,4]上( ) A ．单调递减 B ．单调递增C ．先单调递减再单调递增D ．先单调递增再单调递减C 解析：画出函数y ＝x 2－6x ＋6在区间[2,4]上图象，观察图象可知，该函数在[2,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增．4．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 2 25 解析：画出函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]的图象，观察图象可知，该函数在[2,6]上单调递减，所以f (x )的最大值为f (2)＝22－1＝2，最小值为f (6)＝26－1＝25．5．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． －6 解析：由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a2，＋∞．令－a2＝3，得a ＝－6．考点1 确定函数的单调性(区间)——基础性1．函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)C ．(－∞，1]和⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32和[2，＋∞) B 解析：y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－x 2＋3x －2，1<x <2.如图所示，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32和[2，＋∞)．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)B 解析：因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0． 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a ． 因为a <0，所以g (x )的单调递增区间是(－∞，2)．3．函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)D 解析：函数y ＝x 2－2x －8＝(x －1)2－9图象的对称轴为直线x ＝1．由x 2－2x －8>0，解得x >4或x <－2，所以(4，＋∞)为函数y ＝x 2－2x －8的单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间为(4，＋∞)．4．试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．解：(方法一：定义法)设∀x 1，x 2∈(－1,1)且x 1<x 2，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1x 1－1x 2－1．因为－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0．故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增． (方法二：导数法)f ′(x )＝ax ′x －1－ax x －1′x －12＝a x －1－ax x －12＝－ax －12．当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．1．解决这类问题要优先考虑用函数图象法解决，二是可以利用定义法判断，也可以利用导函数与函数单调性的关系求解．2．有些题目，如第3题还可以利用复合函数的单调性求解．考点2 求函数的最值(值域)——综合性(1)若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1B 解析：因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上单调递增，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2．故选B ．(2)函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为________．[－1,1) 解析：由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y ．由x 2≥0，知1＋y 1－y≥0，解得－1≤y <1．故所求函数的值域为[－1,1)．(3)函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为__________．2 解析：由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1．令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为2．求函数的最值(值域)的5种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)分离常数法：求形如y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． (5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用均值不等式求出最值．1．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为______，单调递增区间为________． 14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，所以当t ＝12时，y max ＝14．t ＝x 为增函数，y ＝t －t 2在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递增，所以单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14．2．(2021·天水模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1． 因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1，x ＝－5时，f (x )取最大值37．(2)由题意可知f (x )的对称轴为x ＝－a ． 因为f (x )在[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．考点3 函数单调性的应用——应用性考向1 比较函数值的大小(1)设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)A 解析：因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)单调递增．所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．(2)已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立．设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD 解析：因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52．当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜52＜e ，所以f (2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f (e)，所以b ＞a ＞c ．在本例(2)中，若将“[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0”改为“[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0”，结果如何？解：因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52．当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＞0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递增．因为1＜2＜52＜e ，所以f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (e)，所以b ＜a ＜c ．利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．考向2 解函数不等式(1)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23D 解析：因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23．(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x 1≠x 2时，有[f (x 1)－f (x 2)]·(x 1－x 2)<0恒成立．若f (3x ＋1)＋f (2)>0，则x 的取值范围是________．(－∞，－1) 解析：根据已知条件，当x 1≠x 2时，有[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)<0恒成立，所以函数f (x )是定义在R 上的减函数．又因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以－f (2)＝f (－2)，故f (3x ＋1)＋f (2)>0等价于f (3x ＋1)>－f (2)＝f (－2)，所以3x ＋1<－2，即x <－1．解函数不等式的方法1．若f (x )在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2(x 1>x 2)． 2．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f ”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行．3．若不等式一边没有“f ”，而是常数，应将常数转化为函数值． 考向3 利用函数的单调性求参数(范围)(1)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是___________．(－∞，3) 解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数f (x )在区间(－2，＋∞)上单调递增，需使a －3<0，解得a <3．(2)(2021·聊城模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≥0，mx ＋m －1，x ＜0在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是_________．(0,3] 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1≤20＋1，解得0＜m ≤3．利用函数的单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)需注意，若分段函数在R 上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．1．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，－1] C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)A 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x ＜－a ，由题意知－a ≥－1，即a ≤1．故选A ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4ax ＋2，x <1，a x，x ≥1，对于任意两个不相等实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，35C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，35 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B 解析：因为对于任意的两个不相等实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，所以函数f (x )是R 上的减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥1，0<a <1，1－4a ＋2≥a ，解得12≤a ≤35．故选B ．3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，用定义证明函数的单调性并求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2＝x 1－x 22x 1x 2－12x 1x 2． 因为1≤x 1<x 2，所以x 1x 2>1，所以2x 1x 2－1>0．又x 1－x 2<0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72．(2)因为在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax>0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a >0，x ≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－x 2＋2x ，x ≥1.等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．因为φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x ＝1时，φ(x )取最大值为φ(1)＝－3，所以a >－3．故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．。

【全程复习方略】（广东专用）2014年高考数学第二章第二节函数的单调性与最值课时作业理新人教A版一、选择题1.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( )(A)(-∞,0],(-∞,1] (B)(-∞,0],[1,+∞)(C)[0,+∞),(-∞,1] (D)[0,+∞),[1,+∞)2.给定函数①y=错误!未找到引用源。

,②y=lo错误!未找到引用源。

(x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上是单调递减的函数的序号是( )(A)①②(B)②③(C)③④(D)①④3.函数f(x)=1-错误!未找到引用源。

( )(A)在(-1,+∞)上单调递增(B)在(1,+∞)上单调递增(C)在(-1,+∞)上单调递减(D)在(1,+∞)上单调递减4.(2013·佛山模拟)若函数y=ax与y=-错误!未找到引用源。

在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( )(A)增函数(B)减函数(C)先增后减(D)先减后增5.已知函数f(x)=错误!未找到引用源。

若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是( )(A)(-∞,-1)∪(2,+∞)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)6.(2013·汕头模拟)函数f(x)=log a(2-ax)在(0,1)上为减函数,则实数a的取值范围是( )(A)[错误!未找到引用源。

,1) (B)(1,2)(C)(1,2] (D)(错误!未找到引用源。

,1)7.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数,且f(x+2)的图象关于x=0对称,则( )(A)f(-1)<f(3) (B)f(0)>f(3)(C)f(-1)=f(3) (D)f(0)=f(3)8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在[a,b]上有( )(A)最小值f(a) (B)最大值f(b)(C)最小值f(b) (D)最大值f(错误!未找到引用源。