清华大学2020年9月中学生标准学术能力诊断性测试(THUSSAT)文科数学试卷及答案

2020届清华中学生标准学术能力（9月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,0,1},{||1|,}A B y y x x A =-==+∈，则A B =（ ）A.{1,0}-B.{0,1}C.{1,1}-D.{1,0,1}-【答案】B【解析】根据集合A ，可求出集合B 中的具体元素，即可得A B 。

【详解】 解：{1,0,1},{0,1,2}A B =-=∴，{,}01A B ∴=故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题。

2．已知复数123iz i+=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）B.12【答案】A 【解析】求出1710iz +=，即可求出||z 。

【详解】 解：12(12)(3)173(3)(3)10i i i iz i i i ++++===--+，||102z ∴==故选：A 。

【点睛】本题考查复数乘除法及模的计算，是基础题。

3．若向量,a b 满足||1,||2a b ==，且|3|19a b -=，则向量,a b 的夹角为（ ） A.30° B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】将|3|19a b -=两边同时平方，利用数量积的定义，即可求出夹角。

【详解】解：|3|a b -=222(3)9619a b a a b b ∴-=-⋅+=即912cos ,419a b -+=，解得1cos ,2a b =-，向量,a b 的夹角为120°， 故选：C 。

【点睛】本题考查已知向量的模求夹角，属于基础题． 4．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A.向左平移6π个长度单位 B.向右平移6π个长度单位。

C.向左平移12π个长度单位D.向右平移12π个长度单位【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式，将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形为sin(2)6y x π=+，再根据函数图象平移的公式加以计算，即可得到答案． 【详解】解：cos 2sin 2sin(2)3326y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度，即sin 2()sin(2)1236y x x πππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦ 故选：D 。

中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2425−14．46− 15．64316．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）()22111,22n n n n n n S S −−+−+=∴=， ()11,n n n S S n c n n −∴−==>∈N ·································································· 2分又()111,,3nn n c S c n n a ==∴=∈∴=N + ······················································· 3分（2）()()()2212326511313n n n n d n n n n +⎡⎤=⨯++=++⨯−+⨯⎣⎦····························· 7分()()()()2222322213113313213n T =+⨯−+⨯++⨯−+⨯++∴()()()()2221121311311313n n n nn n n n −+⎡⎤⎡⎤+⨯−−+⨯+++⨯−+⨯⎣⎦⎣⎦()()221113113n n +⎡⎤=−+⨯+++⨯⎣⎦()212236n n n +=++⨯− ····································································· 10分18．（12分） （1）()2cos cos cos2c a A B b A A B =−≤，sin 2sin cos cos sin cos 2C A A B B A ∴=− ···················································· 2分 ()sin sin 2cos sin cos2sin 20C A B B A A B ∴=−=−> ··································· 4分又02A B <−<π，则2C A B =−或2C A B +−=π，若2C A B =−，则3A π=； 若2C A B +−=π，则2A B =，又A B ≤，不符合题意，舍去，综上所述3A π= ························································································· 6分 （2）()22222,,33AB ACAB AC BD DC AD AD ⎛⎫++=∴=∴= ⎪⎝⎭···························· 8分 224236b c bc ∴++= ①，又222a b c bc =+− ②，①÷②得：222222242131426c c b b a b c bc c c b c b bc b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==+−⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝········································ 9分 令cx b=，又22222,,,A B a b a b b c bc b ≤≤≤∴+−≤∴∴， ,01cc b x b∴≤∴<=≤， 令()()()222142111,6430f x x f x x x x x x x x +=<≤=+−+−+−+ ······························ 10分令363,6t x t x +−==， ()()()()23636433,4332727t f t t f t t t t t∴=+−<≤∴=+−<≤++，又2712t t +≥或()2273612,17,7,7t f t a t a +<−∴<≤∴≤∴≥， 所以当三角形ABC 为等边三角形时a最小，最小值为7····························· 12分 19．（12分）（1）设事件1A 为A 员工答对甲类问题；设事件2A 为A 员工答对乙类问题；设事件1B 为B 员工答对甲类问题；设事件2B 为B 员工答对乙类问题；设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题； 三人得分之和为20分的情况有：①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则()()()()()121112110.50.40.40.60.048P A A B C P A P A P B P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯= ·············································································································· 2分 ②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.60.50.50.60.09P B B A C P B P B P A P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=·············································································································· 4分 ③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与B 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.40.250.50.40.02P C C A B P C P C P A P B ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=，所以三人得分之和为20分的概率为0.048+0.09+0.02=0.158 ·································· 6分 （2）A 员工得100分的概率为()()()12120.3P A A P A P A ⋅=⋅=，B 员工得100分的概率为()()()12120.3P B B P B P B ⋅=⋅=，C 员工得100分的概率为()()()12120.3P C C P C P C ⋅=⋅=，·············································································································· 9分()~3,0.3X B ∴······················································································ 11分∴()30.30.9E X =⨯= ············································································ 12分20．（12分）（1）取AB 的中点N ，连接MN ，NC ，则线段MN 为三角形SAB 的中位线， MNSA ∴，又,SA BD BD MN ⊥∴⊥ ························································ 2分设直线CN 与直线BD 交于Q 点， 则1,3NQ BQ BNQCDQ NC BD ∆∆∴==，设,,,26AD a CD NC a NQ =∴=∴=∴=，同理,3BD BQ a ==， 又222222632a a a NQ BQ BN +=+== ··························································· 5分 ,BD CN BD ∴⊥∴⊥面,MNC MC BD ∴⊥ ··················································· 6分（2）分别以直线AD ，AB ，AS 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,2,,,A S C B M ， 设SP SC λ=，()()()()2,21,2,21P AP λλλλ∴−∴=− ································· 8分 又()()0,2,1,AM AC ==，设平面AMC 的法向量(),,n x y z =，则(20,2,1,20n AM y z n n AC x ⎧⋅=+=⎪∴=−⎨⋅=+=⎪⎩ ·········································· 10分设直线AP 与平面AMC 所成的角为θ，则sin cos ,10AP n θ===， 11,22SP SC λ∴=∴= ·················································································· 12分 21．（12分） （1）设1122,MF r MF r ==，在12MF F ∆中，设12F MF θ∠=，22221212122cos 4F F r r r r c θ=+−=，22212122cos 4r r r r c θ∴=+−，又()1212MC MF MF =+， ()()2222222212121212121122cos 4422r r MC MF MF MF MF r r r r c θ∴=++⋅=++=+−，()222121222222122254222r r r r r r MC c c a c +−∴=+−=−=−−= ························· 3分 2222229,6,3,3a c a c b ∴−==∴=∴=，所以椭圆C 的方程为：22163x y += ······························································· 4分 （2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，()222221226063x y y t y t x y t λλλ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩， 2121211222226,,,22t t y y y y x y t x y t λλλλλ−∴+=−==+=+++，22121222426,22t t x x x x λλλ−+==++ ································································ 7分 设()()()()()()01020201010201020102y y x x y y x x y y y y x x x x x x x x −⋅−+−⋅−−−+=−−−⋅− ()()()()000121201221201222x y y x x y y t x y y x x x x x x λ−+++−+=−++ ()()()()20000022202212462x y tx y x t p xx t λλλ+−+−==−+−若p 为常数，则02120tx −= ····································································· 10分 即06tx =，而此时()()()000002200042262y x t x y y x t x x t −==−−−，又06x t<<<<，即t >t <综上所述，t >t <存在点6,A t ⎛ ⎝，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值02y x t− ············································································ 12分 22．（12分）（1）()()()2221ln ln 1ln ,1x x x x g x x g x x x x−−+'=+=+= ······································ 1分 令()()211ln ,20h x x x h x x x '=−+=−+>，即2x >，所以函数()h x在区间2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭单调递增，在区间0,2⎛ ⎝⎭单调递减 ················· 3分又()()()min 0,0,02h x h h x g x ⎛⎫'=>∴>∴> ⎪⎪⎝⎭， 所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增 ····························································· 5分 （2）不等式ln e ee 0axxa x−−>等价于1e ln 0ax x x ax −−−> 令()()()()111e ln 01e 1ax ax g x x x ax g x ax x x−−=−−>'=+−， ···························· 7分 设()()()11e 1,1e ax ax h x x h x ax −−=−∴'=+，当()10,0x h x a<<−'>， 所以函数()h x 在10,a ⎛⎫−⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()()2max 11e h x h a a a −⎛⎫∴=−=−+ ⎪⎝⎭，()22max 1e ,e 0a h a a−−<−∴=−+<， 所以函数()g x 在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在10,a⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递减 ··························· 10分 ()2min 2111e ln 1e g x g a a a −−⎛⎫∴=−=−−− ⎪⎝⎭，令21e t a−=，则()()()()()min1ln 10,1,1g t t t m t t m t t =−−=∈'=−， ()m t ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ()()()min 10,0m x m m t ∴==>，()()min 0,0g x g x ∴>∴> ········································································ 12分即2e a −<−时，不等式()0f x >恒成立．。

中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试理科综合试卷本试卷共300分，考试时间150分钟。

可能用到的相对原子质量：Li7N14Cl35.5Cu64Zn65Ag108一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.食盐作为“百味之祖”，是我们最早使用的调味品之一。

钠是食盐的主要成分，它对身体各项生命活动的完成至关重要，但过多食用钠也会危害身体健康。

下列叙述错误的是A．Na+是血红素的组成成分，在红细胞中参与氧气的运输B．胞外的Na+浓度高于胞内，这是神经元发生兴奋的基础C．当钠摄入不足时，肾上腺皮质分泌醛固酮促进其重吸收D．从食物中摄入过多食盐后，下丘脑分泌的抗利尿激素增加2.土壤中水分分布会影响侧根形成。

土壤水含量高时，生长素由根系外侧细胞通过胞间连丝往内侧细胞流动，启动侧根形成。

干旱时，脱落酸从内侧细胞向外侧细胞流动，使胞间连丝关闭，生长素无法往内侧运输，不形成侧根。

下列叙述错误的是A.胞间连丝提供了植物细胞间信息交流的通道B.生长素通过极性运输，导致内侧细胞生长素浓度升高，抑制侧根的形成C．脱落酸合成缺陷突变体在干旱时有利于侧根形成D．上述机制避免了干旱时物质和能量的浪费3.科研人员对蓝星睡莲（一种开两性花的被子植物，2n=28）的基因组和转录组（细胞中所有RNA）进行了测序。

通过分析DNA序列和植物化石，发现被子植物起源于234～263万年前。

另外，在花瓣细胞中NC11基因高表达，其表达产物可催化一种吸引传粉者的芳香味物质产生。

下列说法正确的是A.蓝星睡莲基因组测序需要对28条染色体DNA分子的碱基顺序进行检测B.被子植物的起源研究依据了化石证据和分子生物学证据C．为吸引传粉者，花瓣细胞中的NC11突变为高表达的基因D．蓝星睡莲和其他基因库相近的植物种群之间没有生殖隔离4.在寒冷状态下，人体细胞中线粒体的数量会增多、活性会增强，线粒体中蛋白质的种类和含量也会发生变化，比如线粒体中有一种UCP1蛋白，其作用是使相同量的有机物氧化分解时产生的ATP 显著减少。

2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学（文）试题（一卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}14,2P x x Q x x =-<<=<，那么()R P C Q ⋂=（ ） A ．[)2,4B ．()1,-+∞C ．[)2,+∞D ．(]1,2- 2．已知复数z 满足4z i i =-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．4i B ．4 C ．1 D ．1-3．已知实数x ，y 满足约束条件222y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．8D ．124．已知实数a ，b 满足5a b +=，23log log a b =，则ab =（ ）A ．2B ．3C ．5D ．65．已知向量a ，b 满足1a =，2a b -=且a b ⊥，则向量a 与a b -的夹角为（ ） A ．2π3 B ．π3 C ．5π6 D ．π66．已知函数()ln f x x x =，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．RB ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．(),e +∞7．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n =-∈N ，若5p q +=()*,p q ∈N ，则p q a a +=（ ）A ．6B ．8C ．9D ．108．已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知实数0a ≠，则函数()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象一定不可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知x ，y ∈R ，则方程组21y =⎪=+⎩的解(),x y 的个数（ ）A ．0B ．1C ．2D ．411．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若4cos a b C b a+=，且()1cos 6A B -=，则cos C （ ） A ．23 B ．34 C ．23或34- D ．不存在12．已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c ++的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知1F 和2F 是椭圆2213x y +=的两个焦点，则12F F =______． 14．将1名同学和2名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在2名老师中间的概率为______．15．定义在R 上的偶函数()f x 满足()184f x +=()2020f =______．16．已知ABC 中，π2A ∠=，3AB =，4AC =．如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =______时，B C '取到最小值．三、解答题17．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标； （2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 18．某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值和身高在[)160,170内的人数；（2）求这40个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形．梯形ABCD 满足：1BC CD ==，AB ∥CD ，AB BC ⊥．（1）求证：PD AB ⊥；（2）若2PD =，求点D 到平面PBC 的距离．20．如图，已知抛物线C ：24x y =，过直线1y =上一点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点M 为AB 中点、作直线MN AB ⊥交y 轴于点N ．（1）求点N 的坐标；（2）求NAB △面积的最大值．21．已知函数()()1ln f x x x =+．（1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．22．在极坐标系中，已知曲线C ：2221sin ρθ=+，过点()1,0F -引倾斜角为α的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 分别交直线2x =±于A ，B 两点，且PQ 、AF BF -、AB 成等比数列，求cos α的值．23．已知实数a ，b 满足：22a b +=．（1）求证：2821c a b b c +++≥+； （2）若对任意的a ，*b ∈R ，1211c c b a ++-≤+恒成立，求c 的取值范围．参考答案1．A【解析】{}2R C Q x x =≥，所以()[)2,4R P C Q ⋂=，选A.2．B【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】 由4z i i=-，得2(4)414z i i i i i =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．C【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，3z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，作直线30x y +=，讲直线30x y +=平移，当过点(2,2)时，3x y +取得最大值 ()max 33228x y +=⨯+=故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．D【分析】设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，再利用5a b +=即可求出k 的值，进而求出a ，b 的值．【详解】设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，235k k a b ∴+=+=，1k ∴=，2a ∴=，3b =，∴236ab =⨯=故选：D ．【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，以及对数的运算性质，是基础题．5．B【分析】根据()a b b -⊥即可得出()0a b b -=，从而得出·1a b =，进而得出1cos ,2a b <>=，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】 a b ⊥，∴0a b ⋅=∴()21a a b a a b ⋅-=-⋅=设向量a 与a b -的夹角为θ∴()1cos 2a a ba ab θ⋅-==- ∵()0,θπ∈∴3πθ=故选：B ．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，属于中档题． 6．C【分析】求()ln f x x x =的导数()f x '，由()0f x '>，即可求得答案．【详解】()ln 1f x x '=+，令()0f x '>得：ln 1x >-，11x e e-∴>=． ∴函数()ln f x x x =的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题． 7．D【分析】当1n =时，可得1a ，当2n 时，1n n n a S S -=-，验证1n =时是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果．【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n 时，221232(1)3(1)45n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也适合，∴数列{}n a 的通项公式为：45n a n =-∴()454541010p q a a p q p q +=-+-=+-=故选：D ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和通项公式的关系，属中档题．8．C【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】1x y +≤且1x y -≤等价于1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 1x y +≤等价于()()()()10,010,010,010,0x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+≤≥≥⎪-≤≥≤⎪⎨-+≤≤≥⎪⎪--≤≤≤⎩作出两个不等式组对应的平面区域都是以()1,0，()0,1，()1,0-，()0,1-为顶点的正方形∴“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的充要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键．9．A【分析】求函数的导数，判断()0f '的正负情况，即可得出答案.【详解】∵()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴()1cos f x a ax a ⎛⎫'=+⎪⎝⎭ ∴()10cos f a a'=， 观察各选项的图象，判断()0f '的正负情况，得：观察A 选项的图象，得()10sin 0f a=>，34T <<，故234a π<< ∴223a ππ<<，3122a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故A 选项的图象不符合观察B 选项的图象，得()10sin 0f a=>，67T <<，故267a π<< ∴273a ππ<<，3172a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故B 选项的图象符合观察C 选项的图象，得()10sin 0f a=>，69T <<，故269a π<< ∴293a ππ<<，3192a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故C 选项的图象符合观察D 选项的图象，得()10sin 0f a=>，24T <<，故224a π<< ∴2a ππ<<，112a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故D 选项的图象符合故选：A.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，利用导数判断函数的性质，属于中档题．10．B【分析】2=的几何意义知图像是双曲线，化简得2213y x -=，故题目等价于求解直线1y =+与双曲线2213y x -=的交点个数，联立方程组求解即可. 【详解】设()12,0F -，()22,0F ，(),P x y2=等价于212PF PF -=∴动点P 的轨迹是以()12,0F -，()22,0F 为焦点，以2为实轴长的双曲线∴2c =，1a =，b =∴双曲线的标准方差为2213y x -= ∴题目等价于求解直线1y =+与双曲线2213y x -=的交点个数 联立22131y x y⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，求解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∵方程组只有一组解，故直线1y =+与双曲线2213y x -=只有一个交点 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线和直线的位置关系，根据定义判断得到曲线为双曲线是解题的关键. 11．A【分析】由题意，利用余弦定理和正弦定理，化简求得222sin sin 2sin A B C +=，再利用降幂公式与和差化积，以及同角的三角函数关系，求得cos C 的值．【详解】ABC ∆中，4cos b a C a b+=，cos 0C ∴>；2222222cos 2()a b ab c a b c ∴+=⨯=+-， 2222a b c ∴+=，222sin sin 2sin A B C ∴+=， ∴21cos21cos22sin 22A B C --+=， 即22(cos2cos2)4sin A B C -+=；22cos[()()]cos[()()]4sin A B A B A B A B C -++--+--=222cos()cos()4sin A B A B C ∴-+-=， 又1cos()6A B -=，cos()cos A B C +=-， 2212cos 4sin 4(1cos )3C C C ∴+==⨯-， 化简得212cos cos 60C C +-=，解得2cos 3C =或3cos 4C =- ∵4cos 2a b C b a =+≥，1cos 2C ≥ ∴2cos 3C =． 故选：A ．【点睛】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题． 12．D【分析】根据条件建立方程求出m ，n 的值，然后回代，求出p 的范围，结合零点式求出a ，b ，c 的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．【详解】∵()()3112f f -=<，()()022f f =>∴11842m n p m n p p m n p -+-+=+++⎧⎨=+++⎩，即10240n m n +=⎧⎨++=⎩， 得321m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入得323()2f x x x x p =--+， ∵()312f -<，()02f > ∴3311222p p ⎧--++<⎪⎨⎪>⎩，解得23p <<，设三次函数的零点式为()()()()f x x a x b x c =---，比较系数得1ab bc ca ++=-，abc p =-， 故1111ab bc ca a b c abc p ++++==∈11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数m ，n ，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．13．【分析】求出椭圆的a ，b，再由c 2c ．【详解】 椭圆2213x y +=的a =1b =，∴c ==即有12||F F =故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的方程，主要考查椭圆的焦距的求法，考查运算能力，属于基础题．14．13【分析】用列举法计算总的排法和该名学生恰好在2名老师中间的排法，由概率公式可得．【详解】设学生用a 表示，老师用A 、B 表示1名同学和2名老师随机地排成一排，总的排法有：aAB ，aBA ，AaB ，ABa ，BaA ，BAa ，共6种其中该名学生恰好在2名老师中间的有AaB ，BaA 共2种所以该名学生恰好在2名老师中间的概率为2163P ==. 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查古典概型的计算，属于基础题．15．38+ 【分析】将等式中的x 替换为x -，两式相减得()()88f x f x +=-+，结合()f x 是偶函数，得到函数()f x 的周期8T =，所以()()()202044f f f ==-，令4x =-代入求解即可.【详解】∵()184f x +=……①将①中的x 替换为x -，得()184f x -+=……② ①-②得()()880f x f x +--+=又∵()f x 是偶函数，故()()f x f x -=∴()()()888f x f x f x +=-+=-∴()f x 是周期函数，16T =∴()()()()202012616444f f f f =⨯+==-①式中令4x =-，得()1484f -+=∴()144f =+()()()()()2232424410440144f f f f f ⎧⎪-+=⎪-≥⎨⎪⎪≥⎩解得()348f += ∴()()20204f f ==38+ . 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题.16．157【分析】设BAD ∠=α，作BE AD ⊥或AD 的延长线于E 点，作CF AD ⊥或AD 的延长线于F 点，求出BE、CF 、EF ，表示出B C '=B C '取最小值时，4πα=，在BAD 中利用正弦定理可求BD 的值. 【详解】设BAD ∠=α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作BE AD ⊥或AD 的延长线于E 点，作CF AD ⊥或AD 的延长线于F 点，则ACF BAD α∠=∠=，3sin BE α=，3cos AE α=，4cos CF α=，4sin AF α= ∴4sin 3cos EF AF AE αα=-=-∴B C '==∴当sin21α=，即4πα=时，min B C ' 在Rt ABC 中，4sin 5ABC ∠=，3cos 5ABC ∠= 在BAD 中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠ 即()3sin sin BD ABC αα=∠+ ∴()3sin 3sin 15sin sin cos cos sin 7BD ABC ABC ABC ααααα===∠+∠+∠. 故答案为：157. 【点睛】本题主要考查空间中的线段长计算，考查正弦定理得应用，考查学生的计算能力，属于难题.17．（12）2425- 【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos α、sin α的值，再利用两角和的余弦公式即可求解；（2）根据得2020P 的横坐标4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系和二倍角公式可求2πsin 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 【详解】 （1）因为点034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α，3cos 5α= 根据题意可知点1P 的横坐标为πππ3143cos cos cos sin sin 333525210ααα-⎛⎫+=-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式，属于中档题．18．（1）0.0450；18人，（2）169.25cm ．【分析】（1）根据频率分布直方图和频率的定义可得a 的值，计算身高在[)160,170内的频率，由此能估计身高在[)160,170内的人数；（2）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，直接计算可得平均身高的估计值.【详解】（1）由图可得[)150,160，[)170,180，[)180,190三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250 所以10.12500.30000.12500.045010a ---== 所以身高在[)160,170内的人数为：400.0451018⨯⨯=（人）（2）这40个学生平均身高的估计值为()1155516518175121855169.2540⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 所以这40个学生平均身高的估计值为169.25cm ．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用以及平均数的计算问题，属于基础题.19．（1）见解析（2【分析】（1）证明AB ⊥平面POD ，由PD ⊂平面POD ，从而得到PD AB ⊥；（2）利用等体积法D PBC P DBC V V --=计算即可得结果.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，因为PAB △为边长为2的等边三角形，所以PO AB ⊥，因为1BO CD ==，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 为平行四边形，又因为AB BC ⊥，所以⊥DO AB ．因为DO PO O =，所以AB ⊥平面POD ，所以PD AB ⊥；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，因为1BC DO ==，PO =2PD =，所以DO PO ⊥，又因为⊥DO AB ，所以DO ⊥平面PAB ．由D PBC P DBC V V --=可得，11113232h BC PB PO BC DC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以h =． 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和点到平面的距离计算，利用等体积法是解决点到平面的距离的关键.20．（1）()0,3N （2）9【分析】 （1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，利用点差法得2t k =，写出直线MN 的方程可得N 的坐标；（2）设出直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式得12AB x =-，利用点到直线的距离公式得点N 到直线AB 的距离，进而表示出NAB ∆的面积，利用基本不等式确定三角形面积的最大值．【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，（k 斜率显然存在且不为0）．由21122244x y x y ⎧=⎨=⎩可得()()()1212124x x x x y y -+=-， 所以1212124y y x x x x -+=⨯-，故24t k =，（1）直线MN ：()11y x t k -=--，即()112y x k k-=--，解得点()0,3N ． （2）因为直线AB 经过点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，所以可得直线AB 的方程是：221y kx k =-+， 由22421x y y kx k ⎧=⎨=-+⎩联立可得224840x kx k -+-=， 所以1221224,84,16160,x x k x x k k +=⎧⎪=-⎨⎪∆=-+>⎩，所以12AB x =-=又因为点N 到直线AB的距离为d =，所以NAB △的面积为：2112S AB d ==+=≤= 当213k =时，NAB △ 【点睛】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系的应用，注意韦达定理、弦长公式、不等式等知识的灵活运用，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力，属于中档题． 21．（1）22y x =-（2）见解析【分析】（1）求出原函数的导函数，可得()12f '=，再求出切点为（1，0），利用直线方程的点斜式可得函数的图象在1x =处的切线方程；（2）函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于函数()()1ln 1k x h x x x -=-+的零点个数，通过导数判断函数的单调性，求函数的最值同0进行比较，得到结果.【详解】（1）因为()()1ln f x x x =+，所以()1ln x f x x x+'=+， 所以()12f '=，又因为()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程22y x =-；（2）证明：当2k >时，函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于函数()()1ln 1k x h x x x -=-+的零点个数， 因为()()()()222121211x kx k h x x x x x +-'=-=++，()0,x ∈+∞， 设()()2221g x x k x =+-+， 因为二次函数()g x 在x ∈R 时，()010g =>，()1420g k =-<，所以存在()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，使得()10g x =，()20g x =，所以()h x 在()10,x 单调递增，()12,x x 单调递减，()2,x +∞单调递增．因为()10h =，所以()()110h x h >=，()()210h x h <=，因此()h x 在()12,x x 存在一个零点1x =；又因为当k x e -=，()()()12011k k k k k k e k e h e k e e -------=--=<++，所以()h x 在()1,k e x -存在一个零点； 当k x e =时，()()12011k k k k k e h e k k e e -⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭， 所以()h x 在()2,k x e 存在一个零点；所以，函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.22．（1）2212x y +=；（2）cos 2α=2 【分析】（1）曲线C 的极坐标方程转化为222sin 2ρρθ+=，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）写出直线l 的参数方程，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得()222cos 2cos 10t t αα--⋅-=，由此韦达定理、等比数列的性质，结合已知条件能求出cos α的值．【详解】（1）∵曲线C ：2221sin ρθ=+ ∴222sin 2ρρθ+= ∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ++=，化简得2212x y += （2）直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：()222cos 2cos 10t t αα--⋅-= 设P ，Q 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则 1222cos 2cos t t αα+=-，12212cos t t α-=-∴1222cos PQ t t α=-==- 设直线l 交直线2x =-于A 点，直线l 交直线2x =于B 点，∴1cos AF α=，3cos BF α=，4cos AB AF BF α=+=（2πα≠） ∵PQ 、AF BF -、AB 成等比数列 ∴()2AF BF PQ AB -=⋅代入数据得： 22134cos cos 2cos cos αααα⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭解得：cos 2α=或cos 2α=-.【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查等比数列的性质，考查题目转换能力和运算求解能力，是中档题.23．（1）见解析（2）22c -≤≤【分析】（1）利用基本不等式和绝对值的三角不等式证明；（2）利用基本不等式求出12b a+的最小值，得出114c c ++-≤，再讨论c 的范围解出c . 【详解】（1）证明：因为2224a b b a b +++≥++=，若0c ≤，不等式显然成立;． 若0c >，则288411c c c c=≤=++， 所以2821c a b b c +++≥+，当()()20a b b +⨯+≥，且1c =取到等号； 综上2821c a b b c +++≥+． （2）因为122222422a b a b a b b a b a b a+++=+=++≥， 所以114c c ++-≤，当1c ≤-时，()114c c -++-≤，解得2c ≥-，∴21c -≤≤-；当11c -<<时，1124c c ++-=≤，∴11c -<<；当1c ≥时，114c c ++-≤，解得2≤c ，∴12c ≤≤.综上，解得22c -≤≤.【点睛】本题考查 了不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值的三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题.。

中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 已知集合{}{}22,4,10,10,24,25A a a B a a =−−=−+−−，且{}10AB =−，则A ．{}8,2,10A =−−C ．2a =或20B ．{}10,78,25B =−−D ．{}800,16,10,82,25AB =−−2． 已知函数()233,3log ,>3x x x f x x x ⎧−≤=⎨⎩，若0x ∃∈R ，使得()20104f x m m ≤+成立，则实数m 的取值范围为 A ．91,44⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦ C ．91,,44⎛⎤⎡⎫−∞−−+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．5,02⎡⎤−⎢⎥⎣⎦ D ．[)5,0,2⎛⎤−∞−+∞ ⎥⎝⎦3． 已知21sin 75απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么31tan 14απ⎛⎫−= ⎪⎝⎭A ．15−B ．±C D ．4． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n S n n =+，若首项为12的数列{}n b 满足111n n na b b +−=，则数列{}n b 的前2024项和为 A ．10122023B ．20252024C ．20232024D ．202420255． 已知点()()()72,6,2,3,0,1,,62A B C D ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则与向量2AB CD +同方向的单位向量为A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．⎝⎭D ．43,55⎛⎫− ⎪⎝⎭6． 已知圆()22:20>0M x y ax a+−=的圆心到直线22x y +=距离是，则圆M 与圆()()22:211N x y −++=的位置关系是A ．外离B ．相交C ．内含D ．内切 7． 已知213nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为4096，则展开式中6x 的系数为A ．15B ．1215C ．2430D ．818． 设a ∈R ，若复数23i2ia +−（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在直线y x =−上，则a =A ．2−B ．10−C ．25 D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得2分，有错选的得0分. 9． 下列说法正确的是A ．不等式2451>0x x −+的解集是1><14x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 B ．不等式2260x x −−≤的解集是322x x x ⎧⎫≤−≥⎨⎬⎩⎭或C ．若不等式2821<0ax ax ++恒成立，则a 的取值范围是∅D ．若关于x 的不等式223<0x px +−的解集是(),1q ，则p q +的值为12−10．已知m n 、为两条不重合的直线，αβ、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是A ．若,m n αβ⊥⊥且αβ，则m n C ．若,,mn n ααβ⊂，则m β B ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D ．若,,,mn n m ααββ⊥⊥⊄，则m β11．设椭圆22:12516x y C +=的左、右焦点分别为12,F F P 、是C 上的动点，则下列结论正确的是A ．125PF PF +=B ．离心率3e 5=C ．12PF F ∆面积的最大值为12D ．以线段12F F 为直径的圆与圆()()22434x y −+−=相切12．已知函数()3,1log ,>1kx k x f x x x −≤⎧=⎨⎩，下列关于函数()()2y ff x =−的零点个数的判断，其中正确的是A ．当>0k 时，有2个零点 C ．当>0k 时，有1个零点B ．当<0k 时，至少有2个零点 D ．当<0k 时，可能有4个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若变量,x y 满足约束条件21024020x y x y y +−≤⎧⎪−+≥⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值是 ．14．在平面直角坐标系中，已知点()()1,22,4,A B E F −−、、是直线3y x =+上的两个动点，且32EF =AE BF ⋅的最小值为 ．15．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若761311S S =，则1511SS = ． 16．若,a b 是两个夹角为120的单位向量，则向量53a b −在向量a b +方向上的投影向量为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3tan 24C =−．（1）求cos C ；（2）若4c =，求ABC ∆面积的最大值．18．（12分）设数列{}n a 满足：112,244n n a a a n +==+−． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}3n n n a +的前n 项和n S ．19．（12分）已知过点()1,0的动直线l 与圆221:40C x y x +−=相交于不同的两点,A B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．20．（12分）某中外合作办学学院为了统计学院往届毕业生薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷统计了其薪资情况，共有200名毕业生进行了问卷填写．毕业生年薪（单位：万元），以[)[)[)[)[)[)[)10,20,20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80分组的频率分布直方图如图所示，年薪在[)50,60的毕业生人数比年薪在[)10,20的毕业生人数多22人．（第20题图）（1）求直方图中x ，y 的值；（2）①用样本估计总体，比较学院毕业生与同类型合作办学高校毕业生薪资水平，如果至少77%的毕业生年薪高于同类型合作办学高校毕业生平均薪资水平，则说明同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为多少；②若将频率视为概率，现从该学院毕业生中随机抽取4人，其中年薪高于50万的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．21．（12分）已知函数()22exx ax af x −+=，其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； （2）求证：()f x 的极大值恒为正数．22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x E y +=的左、右焦点分别为12F F 、，点A在椭圆E 上且在第一象限内，12AF AF⊥，点A 关于y 轴的对称点为点B ．（1）求A 点坐标；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与直线y =Q ，求OP OQ ⋅的最大值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB ∆与MAB ∆的面积分别为12,S S ，若122S S =，求点M 的坐标．10 20 30 40 50 60 70 80 毕业生年薪情况（单位：万元）中学生标准学术能力诊断性测试2024年3月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．16 14．1858−15．64545116．a b +四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） （1）22tan 3tan 21tan 4C C C ==−− ········································································· 2分解得tan 3C =，故cos 10C =·································································· 4分（2）2222cos 1625a b c ab C ab +=+=+≥ ·············································· 6分解得809ab +≤·················································································· 8分 由（1）知sinC =12 1018．（12分）（1）对于2n ≥时，()()1412824n n n a n a n a n +++=+=+ ······································ 2分 112,416a a =+⨯=，432,324n n n n a n a n +=⨯=⨯− ··································································· 3分 经验算，1a 符合上述结果，故324nn a n =⨯− ················································· 4分 （2）设33643nnnn n b n a n n =+=+⨯−⨯，则()()1816143216nnn n n S n ⨯−+=+−⨯− ························································· 6分设43nn T n =⨯，123438312343n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，23413438312343n n T n +=⨯+⨯+⨯++⨯ ····················································· 7分作差得到123124343434343n n n T n +=−⨯−⨯−⨯−−⨯+⨯ ······························ 8分故()()1161323213313n n n n T n n ++−⨯−=+⨯=−⨯+− ·········································· 10分 ()()18161216nn nn n S T⨯−+=+−−故()21183362132255n n n n n S n +=++⨯−−⨯− ················································ 12分 19．（12分）（1）圆1C 的方程可变形为()2224x y −+= ···························································· 2分 故1C 的圆心坐标为()2,0，半径为2······························································· 4分 （2）设(),M M M x y ，因为点M 是AB 的中点，1C M AB ∴⊥，11 61218由此可得22320M M M x x y −++=··································································· 10分 故轨迹方程为223124M M x y ⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，轨迹是以圆心为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为12的圆 ······· 12分 20．（12分）（1）解：10100.005100.0110100.019100.02100.0271x y +⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=，故0.019x y +=························································································· 1分 200102001022y x ⨯−⨯=，故0.011y x −= ························································································· 2分 解得0.004,0.015x y == ············································································ 3分 （2）①学院毕业生年薪在[)30,80区间的人数比例为：()0.020.0270.0150.010.005++++1077%⨯=，故同类型合作办学高校毕业生平均年薪最高为30万元········································ 5分 ②对于单个毕业生，其年薪高于50万的概率()0.0050.010.015100.3P =++⨯=， 故随机变量3~4,10B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 故()()4010.30.2401P ξ==−= ·································································· 6分 ()()314110.30.30.4116P C ξ==⨯−⨯= ························································ 7分 ()()2224210.30.30.2646P C ξ==⨯−⨯= ······················································ 8分 ()()334310.30.30.0756P C ξ==⨯−⨯= ······················································· 9分()440.30.0081P ξ=== ········································································· 10分ξ的分布列为：ξ的数学期望()0.34 1.2E ξ=⨯= ······························································· 12分21．（12分） （1）()()()()()2224e e 2242e e x x xx x a x ax a x a x af x −−−+−++−'== ······················· 2分当1a =时，()2252exx x f x −+−'=，()02f '=− ············································ 4分 又()01f =，故曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为21y x =−+ ············ 5分（2）()()()()2242220e e x xx a x a x a x f x −++−−+−'===，解得知122,2a x x ==··················································································· 7分 若()>4,a f x 在(),2,,2a ⎛⎫−∞+∞⎪⎝⎭递减，2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增 ······································· 8分极大值2>02e a a af ⎛⎫= ⎪⎝⎭··············································································· 9分 若=4a ，函数单调递减，无极大值 ····························································· 10分 若()<4,a f x 在(),,2,2a ⎛⎫−∞+∞ ⎪⎝⎭递减，,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增 ····································· 11分 极大值()282>0ea f −=············································································ 12分 综上，()f x 的极大值恒为正数． 22．（12分）（1）椭圆22:14x E y +=的左，右焦点分别为())12,F F ，设()12,,A m n AF AF ⊥，故()12,,0AF AF m nm n ⋅=−−−= ··············· 1分即223m n += ··························································································· 2分 221433333 4（2）设P 点坐标为(),0p ，则可得Q 点坐标为(2p ································· 5分()(22,022232OP OQ p p p p ⎛⋅==−+=−−+ ⎝⎭ ················· 7分当2p =时，OP OQ ⋅取最大值，最大值为3 ················································ 8分（3）A 点坐标为⎝⎭，B 点坐标为⎛ ⎝⎭，点O 到线段AB 的距离1h =····································································· 9分若122S S =，则点M 到线段AB 的距离应为2h =故M 点的纵坐标为6或2，代入椭圆方程，解得M 点的横坐标为3±或1± ······························································· 11分故M 点的坐标为：⎛ ⎝⎭或⎛±⎝⎭ ·············································· 12分。

THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试2023-2024学年高三上学期9月测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(1)证明：MC BD ⊥；(2)若SA AD ⊥，2SA =，点1010，求SP SC ．21．已知椭圆222:1(6x y C b +=上的一点满足MF MF ⋅=参考答案：【详解】中点，连接,AE BE ，,,AB BC BD ABC ABD =∠=∠，≌ABD △，AC AD ∴=，AE ∴π,3BD DBC ∠=，BCD ∴△是边长为,26CD BE =，故选：C 8．DGGB选项A ，函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故GGB故选：BCD.12．ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线距离为定值，即可判断A；∠的平分线根据椭圆的对称性，AOB【详解】AI ：如图，作OM AB⊥于M，则点AB斜率不存在时，设直线AB设2AB a =，高PO h =，则2OD a =,在Rt MOD 中，所以正四棱锥的体积13V Sh =2282(4)V h h h h '=-+=--，故当0V '<，函数V 单调递减，因为2SA =，则()0,0,0A 、(S 设平面AMC 的法向量为(m x =则222020m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取设()(2,22,22SP SC λλ==-=()(f x>恒成立．即2a-e<-时，不等式()0。

2020届清华中学生标准学术能力（9月）数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{|2},{|15}A x x B x x =≥=≤≤，则集合()⋂=U C A B （）A.{|12}x x <<B.{|12}x x ≤≤C.{|12}x x <≤D.{|12}x x ≤<【答案】D【解析】求出U C A 后可得其与B 的交集. 【详解】{}|2U C A x x =<，(){}|12U C A B x x ⋂=≤<，故选D.【点睛】本题考查集合的交和补，属于基础题. 2．己知i 为虚数单位，12zi i=-，则复数z 的模为（）C.3D.5【答案】B【解析】利用复数的乘法计算出z 后可计算其模. 【详解】()122z i i i =-=+，故z = B.【点睛】本题考查复数的乘法及复数的模，属于基础题.3．己知函数()f x 满足(2)1f =，设()00f x y =，则“01y =”是“02x =”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用充分条件和必要条件的定义可判断“01y =”与“02x =”的关系. 【详解】若02x =，则()()0021y f x f ===，故“01y =”是“02x =”的必要条件，故“01y =”推不出“02x =”，故“01y =”是“02x =”的不充分条件， 综上，“01y =”是“02x =”的必要不充分条件.故选B. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.4．双曲线22(0,0)y x n m n m-=><的离心率（）A.与m 有关，且与n 有关B.与m 无关，但与n 有关C.与m 有关，但与n 无关D.与m 无关，且与n 无关【答案】C【解析】把方程化成双曲线的标准方程，求出离心率后可得正确的选项. 【详解】双曲线22(0,0)y x n m n m -=><的标准方程为221x y n mn-=--，它的焦点在x 轴上，离心率e==n 无关，与m 有关， 故选C. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程及离心率的计算，属于基础题. 5．已知42(,0)x y x y +=>，则21x y+的最小值为（）A.4B.6C.2+D.3+【答案】D【解析】利用基本不等式可求21x y+的最小值.【详解】2112118x y ⎛⎫⎛⎫因为,x y 都是正数，由基本不等式可以得到8x y y x+≥，所以213x y +≥+当且仅当x =即22,2x y ==时等号成立，故21x y +的最小值为3+故选D. 【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.6．己知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A.1()sin 1x x e f x x e -=⋅+B.1()sin 1xxe f x x e -=⋅+ C.1()cos 1x x e f x x e -=⋅+D.1()cos 1xxe f x x e-=⋅+ 【答案】A【解析】先根据函数的图像关于y 轴对称可得()f x 为偶函数，故排除CD ，再根据在()0,π内恒为正可得正确选项.【详解】因为()f x 的图像关于y 轴对称，故()f x 为偶函数，对于C ，()()11()cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e -----=⋅-=-=-++，故该函数为奇函数，不符合，故C 错；同理D 错.对于A ，令()()()()111sin sin sin 111x x x x x x e e e x x x f x e e f x e -----⋅-=--=⋅=⎡⎤⎣⎦+++-=， 故()f x 为偶函数，当0x >时，令()0f x >，则()2,2,x k k k N πππ∈+∈，对于D ，同理可判断()f x 为偶函数，当0x >时，令()0f x >，则()*2,2,x k k k N πππ∈-∈，这与图像不符合.综上，选A. 【点睛】本题为图像识别题，考查我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从函数的图像中得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值的正负等性质，从而选出正确的函数．7．将函数2()22cos f x x x =-图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度，则所得函数图像的一个对称中心为（） A.(2,1)π- B.(2,1)π--C.(2,0)π-D.(2,0)π【答案】A【解析】先把()f x 化成()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再根据图像变换得到变换后的函数解析式，利用正弦函数的性质可求对称中心. 【详解】2()22cos 2cos 22sin 1612f x x x x x x π=-=-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-，图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不受），再向右平移4π个单位长度， 所得图像的解析式为()222sin 12sin 134633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令2,33x k k Z ππ-=∈，故3,2k x k Z ππ+=∈， 故对称中心3,1,2k k Z ππ+⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当1k =时，对称中心为()2,1π-， 故选A. 【点睛】三角函数的图像往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意左右平移时是自变量x 作相应的变化，而且周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的也有影响，比如sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它可以由sin y x =先向左平移3π个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移6π.求三角函数图像的对称轴、对称中心，应该利用正弦函数、余弦函数的性质来处理. 8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.23B.43C.83D.163【答案】C【解析】根据三视图可得复原后的几何体（如图所示），根据公式可计算其体积. 【详解】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥P ABCD - ， 它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，又2ABCD S ==矩形，P 到底面ABCD ，故1833V =⨯=，故选C.【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．如果复原几何体比较困难，那么可根据常见几何体（如正方体、圆柱、球等）的切割来考虑. 9．设函数()cos ,()2cos(0)xf x xg x t t ππ==⋅-≠，若存在,[0,1]m n ∈，使得()()f m g n =成立，则实数t 的取值范围是（）A.13,00,22⎡⎤⎛⎤-⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦ B.13,00,24⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C.13,00,42⎡⎤⎛⎤-⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D.13,00,44⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】先求出两个函数的值域，利用两个函数的值域的交集非空求实数t 的取值范围. 【详解】因为存在,[0,1]m n ∈，使得()()f m g n =成立， 所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集.又当[]0,1x ∈时，0x ππ≤≤，所以1cos 1x π-≤≤即()f x 的值域为[]1,1-， 若0t >，则()g x 的值域为11,222t t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 考虑()f x 的值域与()g x 的值域交集是空集，则0112t t >⎧⎪⎨->⎪⎩ 或01212t t >⎧⎪⎨-<-⎪⎩， 故32t >，所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集时302t <≤.若0t <，则()g x 的值域为112,22t t ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， 考虑()f x 的值域与()g x 的值域交集是空集，则01212t t <⎧⎪⎨->⎪⎩ 或0112t t <⎧⎪⎨-<-⎪⎩， 故12t <-，所以()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集时102t -≤<. 综上，102t -≤<或302t <≤，故选A.【点睛】函数中的存在性问题，需要结合题设条件进行合理转化，比如存在,m n D ∈，使得()()f m g n =，则需转化为在D 上()f x 的值域与()g x 的值域交集不是空集，又如对任意m D ∈，总存在n D ∈，使得()()f m g n =，则指D 上()f x 的值域是()g x 的值10．设{}n F 是斐波那契数列，则12121,n n n F F F F F --===+.下图是输出斐波那契数列的一个算法流程图，现要表示输出斐波那契数列的前30项，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A.15i ≤B.14i ≤C.29i ≤D.30i ≤【答案】B【解析】根据每次循环输出两个值可知只需执行循环体14次即可，从而可得正确的选项. 【详解】输出两项后1i =，输出4项后2i =时，依次类推，总共输出30项后15i =时，应终止循环，故流程图中的判断框内应填写的条件是14i ≤. 故选B. 【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.11．己知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个篮球，从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中，现从甲盒中取1个球，记红球的个数为1ξ，从乙盒中取1个球，记红球的个数为2ξ，从丙盒中取1个球，记红球的个数为3ξ，则下列说法正确的是（）A.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=>B.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ<<=>C.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=<D.()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ<<=<【解析】算出随机变量1ξ、2ξ、3ξ的分布列后可求各自的期望与方差，从而可得正确的选项. 【详解】随机变量1ξ可取值0,1，其中()12131032P ξ⨯===，()11211332132P ξ=⨯+⨯==，故()123E ξ=，()1242399D ξ=-=.随机变量2ξ可取值0,1， ()22120311323P ξ=⨯+=⨯=，()22131132P ξ⨯===，故()213E ξ=，()2112399D ξ=-=.随机变量3ξ可取值0,1，当30ξ=时，丙盒中无红球或有一个红球， 无红球的概率为1233⨯，有一个红球的概率为22199⨯+， 故()3122211101339922P ξ⨯⎛⎫==⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭，()3111122P ξ==-=， 故()312E ξ=，()3111244D ξ=-=. 综上，()()()()()()132123,E E E D D D ξξξξξξ>>=<，故选C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和数学方差的计算，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等），考查运算能力和逻辑思维能力.12．如图，已知等边三角形ABC 中，AB AC =，O 为BC 的中点，动点P 在线段OB 上（不含端点），记APC θ∠=，现将APC ∆沿AP 折起至APC '∆，记异面直线BC '与AP 所成的角为α，则下列一定成立的是（）A.θα>B.θα<C.2πθα+>D.2πθα+<【解析】【详解】 设正三角形的边长为2a ，如图，在等边三角形ABC 中，过C 作AP 的垂线，垂足为E ， 过B 作BF CE ⊥，垂足为F ，因为APC θ∠=，则,32ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且PD =，故CP a =+，所以)sin sin sin CE CP a a θθθθ⎫=⨯=+⨯=+⎪⎪⎝⎭，2sin CF a θ=，故()sin EF a θθ=-，又2cos BF a θ=.将APC ∆沿AP 折起至APC '∆，则2sin C F C E EF CF a θ''<+==. 因C E AP '⊥，EF AP ⊥，EF C E E '=，故AP ⊥平面C EF '，因BFAP ，故BF ⊥平面C EF '， C F '⊂平面C EF '，所以BF C F '⊥，又C BF '∠为异面直线BC '、AP 所成的角， 而2sin tan tan tan 2cos C F a C BF BF a θαθθ''=∠=<=，因,0,2πθα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故θα>， 故选A. 【点睛】折叠过程中空间中角的大小比较，关键是如何把空间角转化为平面角，同时弄清楚在折叠过程各变量之间的关系（可利用解三角形的方法来沟通），此类问题为难题，有一定的综合度.二、填空题13．已知5810a b ==，则31a b+=_______________.【解析】用对数表示,a b 后可求31a b+的值. 【详解】因为5810a b ==，故58log 10,log 10a b ==， 故31lg5,lg8a b ==，所以()313lg5lg8lg 1258lg10003a b+=+=⨯==，故填3. 【点睛】本题考查指数式和对数式的互化以及对数的运算，属于基础题. 14．己知数列{}n a 满足11(2)32,(1)1n n a n n a a n n ++++==+++,数列{}n a 的通项公式为n a =___________.【答案】22313n n ++ 【解析】把11(2)32,(1)1n n a n n a a n n ++++==+++化为()()()()()1212(1)233n n a a n n n n n n +=+++++++，利用累加法和裂项相消法可求通项公式. 【详解】 因为1(2)3(1)1n n a n n a n n ++++=+++，所以1311n n n a a n +++=+， 两边同时除以()()23n n ++得到()()()()()1212(1)233n n a a n n n n n n +=+++++++，整理得到：()()()1112(1)2323n n a a n n n n n n +-=-++++++即()()1112(1)112n n n a a n n n n n --=-+++++，累加得到()1112(1)3322n a a n n n -=-+++⨯即()()21212(1)3232n a n n n n n +=-=++++，所以()()221123+133nn n n n a +++==，其中2n ≥，又1n =时，12a =符合，故数列{}n a 的通项公式为223+13n n n a +=，故填22313n n ++.【点睛】给定数列的递推关系求数列的通项时，我们常需要对递推关系做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系、变形方法及求法如下： （1）()1n n a a f n --=，用累加法. （2）11n n n pa a qa p --=+，取倒数变形为111n n q a a p --=，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，利用公式可求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，从而可求{}n a 的通项公式. （3）()10n n a q p p q a -+≠=，变形为()110,1n n n n n a qpq p p pa p --+≠≠=，利用累加法可求n n a p ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，也可以变形为111n n a q p p a q p --⎛⎫= ⎪⎝--⎭-，利用等比数列的通项公式求1n q p a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的通项公式，两种方法都可以得到{}n a 的通项公式. 15．己知边长为2的正方形ABCD ，,E F 分别是边,BC CD 上的两个点，AE AF xAB y AD +=+，若3x y +=，则||EF 的最小值为_____________.【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，用,x y 表示,E F 的坐标后可求出||EF 的表达式，消元后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】以A 为原点，AB 所在的直线建立如图所示的平面直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,2,2,2A B D C ，设()()2,,,2E m F n()()2,0,0,2AB AD ==，()()2,,,2AE m AF n ==， 由AE AF xAB y AD +=+可得2222n xm y +=⎧⎨+=⎩，故2222n x m y =-⎧⎨=-⎩.(2EF ===进一步化简可得8EF x ==当32x =时，EF 有最小值且为.【点睛】平面向量中向量的模的计算，可以把欲求的向量表示为题设中给出的基底向量的线性表示，利用基地向量的模和夹角来计算，也可以根据图形建立合适的平面直角坐标系，将模的计算归结为向量坐标的计算.16．已知椭圆22:15x C y +=，过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于M 点，且点B 在线段FM 上，则MB MABF AF-=______________. 【答案】10-【解析】设:2AB y kx k =-，()()1122,,,A x y B x y ，可用,A B 的横坐标坐标表示MB MA BF AF -，联立直线AB 的方程和椭圆的方程后消去y ，利用韦达定理化简MB MA BFAF-可得所求的值.【详解】设:2AB y kx k =-，()()1122,,,A x y B x y ， 则21121221121222222422MB MA x x x x x x BF AF x x x x x x +--=-=----+， 由22255y kx k x y =-⎧⎨+=⎩可得()22221+5202050k x k x k -+-=， 所以222222222222220205224040101515102020520440205421515k k MB MA k k k k k k BF AFk k k k k -⨯-⨯-+++-===--+-+--⨯+++， 故填10-.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.三、解答题17．已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且cos sin 222A A -=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当)a A C =+=，求c 的值. 【答案】（Ⅰ）6A π=；（Ⅱ）4c =【解析】（Ⅰ）对等式cossin 22A A -=1sin 2A =，结合角A 是三角形的内角和cos sin 222A A -=，可以确定角A 的取值范围，最后求出角A ；（Ⅱ）由三角形内角和定理和sin()14C A +=，可以求出sin 14B =，运用正弦定理，可以求出b =c 的值.【详解】（Ⅰ）由sin cos 222A A -=得21cos sin 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112sin cos 222A A -=，1sin 2A =， 又0A π<<，cossin 022A A ->，cos sin sin 2222A A A π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，222A A π->，2A π<，所以6A π=.（Ⅱ）由sin()14C A +=，得sin 14B =，由正弦定理：sin sin a b A B=，得b = 由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，得2733c c =+-，4c =或1c =-（舍去）， 所以4c =. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式、正弦定理、余弦定理，考查了数学运算能力. 18．如图，在四楼锥P ABCD -中，BC ⊥面PCD ，CDAB ，22,AB CD BC PC PD AB ====⊥.（1）求PD 的长.（2）求直线AD 与面PAB 所成角的正弦值.【答案】（1）1PD =（2）3【解析】（1）可证PD ⊥平面ABCD ，从而得到PD DC ⊥后可计算PD 的长.（2）在直角梯形中可计算出AD =，再利用等积法求出D 到平面PAB 的距离（可转化C 到平面PAB 的距离），从而可得线面角的正弦值. 【详解】 解：（1）BC ⊥平面PCD ，BC PD ∴⊥，又,PD AB AB BC B ⊥⋂=，PD ∴⊥平面ABCD ，,PD DC PDC ∴⊥∴∆是直角三角形，由已知1PC CD ==，1PD ∴=.（2）解法1：BC ⊥平面PCD ，,BC CD BC PC ∴⊥⊥，如图，在直角梯形ABCD 中，过D 作DE AB ⊥，交AB 于E .故1DE BC AE ===，所以AD =设D 到平面PAB 的距离为d ，直线AD 与平面PAB 所成的角为θ 则sind AD θ==. AB CD ∥，CD ⊄面PAB ，AB Ì面PAB ，CD ∴平面PAB ，∴C 到平面PAB 的距离也为d .在三棱锥B PAC -中，C P A ABC P B V V --=，PD ⊥平面ABCD ，,2PD AD PA ∴⊥∴=.又,2BC PC BC PC PB ==⊥∴=，111123323p ABC ABC V PD S -∴=⨯=⨯⨯⨯=133C PAB PAB V dS d -∆==，sin 3d d AD θ∴=∴=== 即直线AD 与面PAB所成角的正弦值为3. 解法2：由（1）知PD ⊥平面ABCD ，过D 作DE AB ⊥于E ，则PD DE ⊥， 如图以D 为原点，,,DC DP DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(1,0,0),(1,0,(1,0,(0,1,0)C A B P -，则(2,0,0),(1,1,2),(1,0,AB AP DA ===- 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则由00AB n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得00x x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 令1z =.可得(0,2,1)n =-. 设直线AD 与面PAB 所成角为θ. 则2sin |3||||n DA n DA θ⋅==，即直线AD 与面PAB 所成角的正弦值为3【点睛】线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.线面角的计算，可以利用空间向量计算直线的方向向量和平面的法向量的夹角，也可以利用斜线段的长和斜线段的端点到平面的距离来计算，后者可用等积法来计算. 19．若数列{}n a 前n 项和为{}n S ，且满足()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设1n n b S =-，且数列{}n b 为等比数列，令3log n n n c a b =，.求证：1232n c c c ++⋯+<. 【答案】（1）2nn a t =（2）详见解析【解析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 的递推关系，从而可求其通项. （2）由{}n b 为等比数列可得13t =，从而可得{}n c 的通项，利用错位相减法可得{}n c 的前n 项和，利用不等式的性质可证1232n c c c ++⋯+<. 【详解】（1）由题意，得：()21n n tS a t =--（t 为常数，且0,1t t ≠≠）， 当1n =时，得()1121tS a t =--，得12a t =. 由()()11212(2)1n n n n t S a t t S a n t --⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-≥⎪-⎩，故()111n n n n n tS S a a a t ---==--，1(2)n n a ta n -∴=≥，故2n n a t =. （2）由()()211221111nn n n t t b S t t t t =-=--=----， 由{}n b 为等比数列可知：2213b b b =，又22312312,122,1222b t b t t b t t t =-=--=---，故()()()2223122121222t t t t t t --=----，化简得到3262t t =，所以13t =或0t =（舍）.所以，12,33nn n n b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则3212log 333nn n n n c ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭=. 设{}n c 的前n 项和为n T .则12242333nn nT =++⋯+ 23112423333n n nT +=++⋯+，相减可得 1232332232n n n n T c c c +=+++=-<⋅ 【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 20．设函数()x exf x e=，若存在()()12f x f x t ==（其中12x x <） （1）求实数t 的取值范围， （2）证明：12122x x x x <+.【答案】（1）01t <<（2）详见解析【解析】（1）先利用导数的符号讨论函数的单调性，根据题设条件可得函数的最大值为正，再分0t ≤和0t >两种情况讨论，前者无两个不同的零点，后者可利用零点存在定理证明函数有两个零点.（2）根据（1）可把要证明的不等式转化为证明212121x x x <<-，根据函数的单调性及()()12f x f x =可把前者转为()22221x x f x f ⎛⎫⎪-⎝⎭<， 构建新函数11()ln 2u u u uϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1u >可证明该不等式.【详解】解：（1）令()x exg x t e =-，则(1)()xe x g x e-'= 1x ∴<时，()0g x '>时；当1x >，()0g x '<，()g x ∴在(,1)-∞递增，(1,)+∞递减，且max ()(1)1g x g t ==-，由题设，()g x 有两个不同的零点，故10t ->即1t <. 若0t ≤，则当1x >时，()0x exg x t e=->，故()g x 在()1,+∞无零点； 而()g x 在(,1)-∞递增，故()g x 在R 上至多有一个零点，故0t ≤不符合；若0t >，则()00g t =-<，2221e ette e t g e t t tt ---⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 考虑()22ln e h t t t =--，因为01t <<，故()22220e e th t t t t-'=-=>， ()h t 为()0,1上的增函数，故()()120h t h e <=-<即0e g t ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因()g x 在(,1)-∞递增，(1,)+∞递减，且(1)0g >，结合零点存在定理可知()g x 有两个不同的零点，故01t <<.（2）由（1）知：212201,0121x x x x <<<∴<<-，要证：12122x x x x <+成立，只需证：212121x x x <<-，()f x 在(,1)-∞递增，故只需证：()()221221x f x f x f x ⎛⎫=< ⎪-⎝⎭即证()()2211212212210x x ex ----->.只需证：1120(1)u u eu u ⎛⎫- ⎪⎝⎭->>，即证：11ln 0(1)2u u u u ⎛⎫--<> ⎪⎝⎭. 令2211(1)()ln ()022,u u u u u u u ϕϕ-⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭， ()u ϕ∴在(1,)+∞上单调递减,()(1)0u ϕϕ∴<=.证毕【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明，注意需选择特殊点的函数值，使得其函数值的符号符合预期的性质，选择特殊点的依据有2个方面：（1）与极值点有明确的大小关系；（2）特殊点的函数值较易计算.与零点有关的不等式问题，可依据零点的性质及函数的单调性构建新函数来证明.21．如图，己知抛物线24x y =，直线1y kx =+交抛物线于,A B 两点，P 是抛物线外一点，连接,PA PB 分别交地物线于点,C D ，且CDAB .（1）若1k =，求点P 的轨迹方程.（2）若2PC CA =，且PA 平行x 轴，求PAB ∆面积. 【答案】（1）2(11)x y =-<<（2）121【解析】（1）设()()()112200,,,,A x y B x yP x y ，根据向量关系可用,A P 的坐标表示C的坐标，利用C 在抛物线可得P 的坐标满足的方程，同理利用D 在抛物线也可得P 的坐标满足的方程，联立直线方程和抛物线方程结合韦达定理可得P 的横坐标为2.也可以利用,C D 在抛物线上及CD AB k k =得到4C D x x +=，利用P 、AB 的中点、CD 的中点共线得到P 的横坐标为2.（2）根据（1）的相关结果可用k 表示P 的坐标、C 的坐标及AB 中点M 的坐标，根据C 在抛物线上可得k 的值并求出A 的坐标，最后利用公式120012PAB S x x y y ∆=-⋅-可求面积. 【详解】（1）解法1：CD AB Q P ，设()()()112200,,,,,,PD DB A x y B x y P x y λ=， 则()()0011,,,C C C C PC x x y y CA x x y y =--=--，由PC CA λ=可得()01C C x x x x λ-=-，故011C x x x λλ+=+，同理20141C y x y λλ+=+， 故201014,11y x x x C λλλλ⎛⎫+ ⎪+ ⎪++ ⎪⎝⎭，代入抛物线得：2201014411y x x x λλλλ++⎛⎫=⋅ ⎪++⎝⎭， 化简得：221010024(1)0x x x y x λλλ-++-=，同理得：222020024(1)0x x x y x λλλ-++-=，所以12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根， 又由12221241440,44x x k y kx x kx x x x y ⎧+==+⎧⎪⇒--=∴⎨⎨⋅=-=⎪⎩⎩， 将1k =代入1200244,2x x x k x +===∴=且200124(1)4y x x x λλ+-==-①，将02x =代入①，得044121(0)4(1)11y λλλλλλ--===-+>+++，故0(1,1)y ∈-. 故点P 的轨迹方程为2(11)x y =-<<.解法2：同解法1知124x x +=1,44D c D C CD AB C D D C y y x x k k x x x x -+====∴+=-， 设线段,AB CD 的中点分别为,M N ，易知,,M N P 三点共线，MN MP μ∴=（μ为实数），所以02N M x x x ===. 以下同解法1.（2）由12,x x 为方程2200024(1)0x x x y x λλλ-++-=的两根，可得：120024,2x x x k x k +==∴=.由（1）得200124(1)4y x x x λλ+-==-，因为2PC CA =，所以2λ=，故20233k y =-. AC x 轴且,A C 在抛物线上，∴,A C 关于y 轴对称. 0112213C x x k x x λλ++==+，11223k x x +∴=-及125k x =-， 222,533k k C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭且2225k x =. ∵C 在抛物线上,22224533k k ⎛⎫⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得22511k =. 设AB 的中点为M ，则()2221212212211212424M x x x x x x y k +-⎛⎫+=⋅=⋅=+ ⎪⎝⎭，所以()22001022=13M y y y y k -=-+，而21020111210(1)2253121PAB k S x x y y k ∆=-⋅-=⋅⨯+=. 【点睛】 直线与抛物线的位置关系中的一些长度、面积等计算问题，一般可通过联立直线方程和抛物线方程，消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要计算的目标表示为关于两个交点的横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理可求这个几何量，有时还可根据题设条件构建关于两个交点的横坐标或纵坐标的方程，再利用韦达定理化简目标关系式进而求出几何量的值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+ （1）求曲线C 的直角坐标方程：（2）设曲线C 与直线l 交于点,A B 两点，求AB 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）⎣ 【解析】（1）把极坐标方程的3化为223sin 3cos θθ+，再利用cos ,sin x y ρθρθ==可求曲线C 的直角坐标方程.（2）设,A B 对应的参数分别为12,t t ，将直线的参数方程代入椭圆方程后可得()2223cos 4sin 8sin 80t t ααα++⋅-=，则12,t t 是该方程的两个根，而12AB t t =-，利用韦达定理可得23sin AB α+=，换元后可求其取值范围. 【详解】解：（1）由22123sin ρθ=+，可得()223sin 12ρθ+=， 223412x y +=即曲线C 的直角坐标方程为：22143x y +=. （2）将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入22143x y +=，可得： ()2223cos 4sin 8sin 80t t ααα++⋅-=，()22264sin 323cos 4sin 0ααα∆=++>.设,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则122212228sin 3cos 4sin 83cos 4sin t t t t ααααα-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，12||AB t t =-===，,[1s s =∈，则21||223s AB s s s⎡==∈⎢+⎣+，当s =AB取最大值1s =时，AB. 【点睛】极坐标转化为直角坐标，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而直角坐标转化为极坐标，关键是222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．23．己知正数a ，b ，c 满足1a b c ++=.求证：（1）19abc bc ca ab ≤++ （2）若存在非零实数t .使得不等式|||21||1||23|tx t t t tx t ---≥-++成立，求实数x 的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）[]3,1--【解析】（1）利用柯西不等式可证原不等式.（2）原不等式有解可化为|21||1||1||23|||t t x x t -+---+≥有解，利用绝对值不等式可求右式的最小值，从而得到|1||23|1x x --+≥，分类讨论后可得x 的取值范围.【详解】（1）证明：1111abc bc ca ab a b c=++++， 而2111111()(111)9a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当13a b c ===时，“=”成立， 111119a b c∴≤++，19abc bc ca ab ∴≤++. （2）解：依题意得：存在非零实数t 使不等式|21||1||1||23|||t t x x t -+---+≥成立， |21||1||211|1||||t t t t t t -+--+-≥=，∴只需|1||23|1x x --+≥ 当32x ≤-时，原式1231x x -++≥，.即3332,x x ≥-∴-≤≤- 当312x -<<时，原式1231x x ---≥，即31,12x x ≤-∴-<≤- 当1x ≥时，原式1231x x ---≥，即5,x x ≤-∴∈∅，综上所得，x 的取值范围为[]3,1--.【点睛】不等式的证明常常需要根据不等式的结构特点选取常见不等式（如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等）帮助证明.含参数的不等式有解问题，可参变分离后转化为不含参数的函数的最值问题.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法和利用绝对值的几何意义来处理.。