2018届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试(11月)数学(理)试卷及答案

北京市清华大学2020届高三数学11月中学生标准学术能力诊断性测试试题 文本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知全集U ＝R ，集合A ＝{x|1x x-≥0}，B ＝{x|y ＝lg(3x －1)}，则A ∩(U ðB)＝ A.(0，1] B.(0，13] C.(13，1] D.(－∞，13] 2.己知a ∈R ，复数z ＝23a i i-+(i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝ A.23 B.23- C.6 D.－6 3.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40～50岁年龄段应抽取的人数是A.7B.8C.9D.104.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是A.y ＝3－xB.y ＝log 0.5xC.21y x =D.12x y x +=+ 5.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝ A.4 B.92 C.132 D.1636.己知1tan()43πα-=-，则sin(2)2sin()cos()2παπαπα+--+= A.75 B.15 C.15- D.3125 7.设变量x 、y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，且z ＝kx ＋y 的最大值为12，则实数k 的值为A.－2B.－3C.2D.38.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，v ，若a ＝1，c ＝bsinA ＝asin(3π－B)，则sinC ＝7 C.12 9.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为l ，则该三棱锥外接球的表面积为A.27πB.28πC.29πD.30π10.函数13cos 6x y x e =-的大致图象是11.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l ：y 与C 交于A ，B 两点，AF ，BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为A.3－＋ 112.在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠A ＝600，M 为△ABC 的外心，若AM AB AC λμ=+，λ，μ∈R ，则4λ＋3μ＝ A.34 B.53 C.73 D.83二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 已知，其中，若对任意的实数b ，c 都有不等式成立，则方程的根的可能性为（ ）A ．有一个实数根B ．两个不相等的实数根C ．至少一个负实数根D ．没有正实数根2.若函数，则下列说法正确的是（ ）A．若，则对于任意函数都有2个零点B ．若，则对于任意 函数 都有4个零点C ．若，则存在 使得函数 有2个零点D ．若，则存在 使得函数有2个零点3. 2020年第三届中国国际进口博览会开幕，时值初冬呼吸系统传染病高发期，防疫检测由上海交通大学附属瑞金医院与上海联通公司合作研发的“5G 发热门诊智慧解决方案”完成.该方案基于5G 网络技术实现了患者体温检测、人证核验、导诊、诊疗、药品与标本配送的无人化和智能化.5G 技术中数学原理之一就是香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度（单位：）取决于信道带宽（单位：）、信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至2000，则大约是原来的（ ）A ．2倍B ．1.1倍C ．0.9倍D ．0.5倍4. 已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ）A ．若，，则B ．若，，则C ．若，则D ．若，则5. 已知， 设集合，，则（ ）A．B．C ．​D ．6. F 1、F 2分别是双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 已知定义域为的偶函数满足，若对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（ ）A．B．C．D．8. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于A．B．C．D．9. 近年来，中国电影行业发展迅猛，消费者追求电影剧情的高质量，重视电影内容正面传达的积极情绪，并且愿意为其买单．某机构调查到观众在观看电影时除了关注电影的剧情、情节外，还会关注电影的幕后团队、精神内涵价值观、参演人员等方面．如图所示为该机构调查的2023年中国网民观看电影时关注方面占比的统计表，则下列结论正确的是（ ）中学生标准学术能力诊断性测试（THUSSAT）2023-2024学年高三上学期11月测试数学试卷中学生标准学术能力诊断性测试（THUSSAT）2023-2024学年高三上学期11月测试数学试卷三、填空题四、解答题A ．2023年中国网民观看电影时超过40%的网民会关注参演人员B ．这8个方面占比的极差是31.77%C ．这8个方面占比的中位数为37.69%D ．2023年中国网民观看电影时至少有10.73%的网民既关注剧情、情节，又关注精神内涵价值观10.如图，已知是边长为4的等边三角形，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，将沿着DE 翻折，使点A 到点P处，得到四棱锥，则（）A ．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3B．存在某个点位置，满足平面平面C ．当时，直线与平面所成角的正弦值为D ．当时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为11.已知等差数列的前n 项和为，等比数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则B．，，成等差数列C．，，成等比数列D ．若，，则使得取得最大值的正整数n 的值为812. 关于函数，，下列说法正确的是（ ）A ．当时，在处的切线方程为B ．当时，存在唯一极小值点且C ．对任意，在上均存在零点D ．存在，在上有且只有一个零点13.由曲线 ，，形成的封闭图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V ＝__________．14.已知数列的通项公式，其前n 项和为，则_____．（用分数作答）15. 设函数的图象过点A (2，1)，且在点A 处的切线方程为，则________．16. 已知函数.（1）求在点处的切线方程,并证明；（2）若方程有两个正实数根，求证：.17.已知函数的图象经过点（1）求;（2）在中，A、B、C的对边为a、b、c，a=，，角C为锐角且，求c边长．18. 设等差数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足，求的前项和.19. 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）求的取值范围．20. 魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的.魔方与华容道､独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为的正方体结构，由个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次秒.（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度(秒)与训练天数(天)有关，经统计得到如下数据：(天)(秒)现用作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度约为多少秒(精确到)？参考数据(其中)（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动，记顶面白色色块的个数为，求的分布列及数学期望.21. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？。

中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试理科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．z 是121izi 的共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．12− B ．12 C ．32−D ．322．全集UR ，集合2018{log (1)}Ax yx ，集合2{48}By y x x ，则U (C )A B =（ ）A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2)3．设p ：角α是钝角，设q ：角α满足2πα，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a ，515S ，则数列11n na a 的前2018项和为（ ）A ．20182019B ．20162018C ．20162017 D ．201920185．已知函数()f x 是奇函数，当0x时，()ln()1f x x x x ，则曲线()y f x 在xe 处的切线方程为（ ）A ．21yxB ．yxeC ．221yx eD ．1yx e6．在[5,5]上随机取一个实数m ，能使函数2()22f x x mx 在R 上有零点的概率为（ ）A ．25B ．35 C ．15D ．3107．已知12,F F 是双曲线2222:1x y E ab ()0,0a b ＞＞的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，211sin 4MF F ，则E 的离心率为（）A B ．32C D ．28．已知ABC 是边长为2a (0a >)的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）A ．22a −B ．232a −C ．243a −D ．2a −9．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，,M N 分别是两圆：22(12)1x y 和22(12)1x y 上的点，则PM PN 的最小值、最大值分别为（ ）A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，2610．已知函数32,0()log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，则函数(())1yf f x 的零点的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,ab c ，若sin()3A C π++=2a c ，则ABC 周长的取值范围是（ ）A ．(2,3]B ．[2+C ．(4,5]D ．[5,6)12．点,,,A B C D 在同一个球的球面上，2ABBC ，2AC，若四面体ABCD 体积的最大值为43,则这个球的表面积为（ ）A ．12516πB ．8πC ．2516πD ．28916π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y ，则2zx y 的最小值为 ．14．每年的9月初是高校新生到校报道的时间，此时学生会将组织师兄师姐做好迎新接待工作，若某学院只有3位师兄在迎新现场，突然来了4位新生,要求一次性派发完迎新指引工作（可以有1位师兄接待2位新生），则安排方案有 种．（用数字作答）15．数列{}n a 的首项12a ，且*132()nn a a n N ．令3log (1)nnb a ，则1220182018b b b +++ = ．16．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ，若对任意实数x ，有()()f x f x ，且2018()f x π为奇函数，则不等式2018()0x f x e π的解集是 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．（10分）在ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，已知2222sin sin sin b c a B Abc C+−−=．（1）求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC 的面积．18．（14分）如图，在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面 ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，SA=AB=BC=2，AD=1． （1）若M 为棱SB 的中点，求证：AM ∥平面SCD ；（2）当SM=2MB 时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值； （3）在第（2）问条件下，设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角 为θ，求当sin θ取最大值时点N 的位置．19．（10分）网约车的兴起,丰富了民众出行的选择,为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题，据某著名网约车公司“滴*打车”官网显示，截止目前,该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次.梁某即为此类网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、30(km )，它们出现的概率依次是0.1、0.2、0.3、0.1、t 、2t ． （1）求这一天中梁某一次行驶路程X 的分布列，并求X 的均值和方差；（2）网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km 时，租车费为5元，若行驶路程超过3 km ，则按每超出1 km （不足1 km 也按1 km 计程）收费3元计费．依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差．20．（14分）如图,过抛物线22(0)=>y px p 上一点(1,1)P ，作两条直线分别交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ，若PA 与PB 的斜率满足0+=PA PB k k . （1）证明:直线AB 的斜率为定值，并求出该定值；（2）若直线AB 在y 轴上的截距[0,1]∈b ，求∆ABP 面积的最大值．21．（12分）已知函数()()2ln 1f x x x =+ （1）求函数()f x 的单调区间. （2）若斜率为k 的直线与曲线'()y f x =交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，其中12<x x .求证：122<<x x k． 选考题：共10分．请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1=+⎧⎨=⎩x ty t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为222cos 40(0)ρρθ−+−=>a a a ． （1）若直线l 与圆1C 相切，求a 的值；（2）若直线l 与曲线22cos 3sin x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩： （θ为参数），交于A ,B 两点，点(2,1)C ，求+AC BC ． 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数()13=+++f x x x a ，若()f x 的最小值为1． （1）求实数a 的值；（2）若0>a ，且,m n 均为正实数，且满足2+=am n ，求22+m n 的最小值．。

C．2π，2 - 2 = 1 (a > 0, b > 0)的一条渐近线方程为y = 2x，则C的离心率为（A．30 B． 45 C． 60A．(0, ) B．( ,1)中学生标准学术能力诊断性测试2018年11月测试8．函数f ( x) = sin 2 x + sin x cos x - 12的最小正周期和振幅分别是（）文科数学试卷（一卷）本试卷共150分，考试时间120分钟。

A． π，2 B．2π，222D． π，2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）1．已知集合A = {1,3}，B = {2,3,4}，则（）A．6 +92( 11 + 3)A．A = B B．A B ≠ ∅C．A ⊆ B2．已知a ∈ R，i是虚数单位．若z = a + 2i，z ⋅ z = 5，则a =（）D．B ⊆ AB．6 +92( 11 - 3)A．3或 - 3B．7或 - 7C．3D． - 73．某网络购物平台对某周每天顾客的投诉的次数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数分别是（）C．6 +D．6 +7272( 11 + 3)( 11 - 3)第9 题A．43,51B．43,4210．已知cos α =17, cos(α - β ) =1314，且0 < β < α <π2，则cos β =（）C．42,43D．42,51第 3 题A．33B．32C．12D．664．已知双曲线C：x 2a 2y 2b）11．如图，已知三棱锥P - ABC，PA ⊥平面ABC，D是棱BC上的动点．记PD与平面ABC所成的角为 α，A．B．55C．52D．5与直线BC所成的角为 β，则 α与 β的大小关系是（A． α = β）5．若S n是数列{a n}的前n项和，S n = 2n 2，则{a n}是（）B． α < βA．等比数列，但不是等差数列C．等差数列，而且也是等比数列B．等差数列，但不是等比数列D．既非等比数列，也非等差数列C． α > βD．不能确定第11 题6．设函数f ( x) = x ⋅ ln x，则曲线y = f ( x)在点(1,0)处的切线方程为（）12 ．已知函数y = f ( x)为定义在R上的奇函数，且在(0,+∞)单调递减，当x + y = 2019时，恒有A．y = - x -1 B．y = x + 1 C．y = - x + 1 D．y = x -1f ( x) + f ( 2019) > f ( y)成立，则x的取值范围是（）7．在 ∆ABC中，AC= 2，BC = 1，则∠A的最大值是（）D．901212C．(-∞,0) D．(1,+∞)第1页共4页第2页共4页二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数f ( x) = ⎨3，若f (8) = 3 f (a)，则a = ___________．⎧ x - y ≥ 0⎪⎪a ≤ x ≤ a + 1是___________．且PA = PB = PC = 2．（1）求证：平面ABC ⊥平面BPC；2B两点．AC，求三棱锥D - APB的体积．第19 题2 2a b切，则椭圆的方程为____________．若AP = x AB + y AC，则x + y的最大值是____________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12 分）已知等比数列 {a n }各项都是正数，S n为其前n项和，a3 = 8，S3 = 14．（1）当AB的最小值为 4 时，求抛物线C的方程；p23（1）当a = -1时，求函数f (x)的单调区间；（2）若f (x) ≥ 0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10 分）已知在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（1）求数列{a n}的通项公式；⎛⎝π ⎫4 ⎭（2）设 {a n - b n}是首项为1，公差为3 的等差数列，求数列 {b n }的通项公式及其前n项和T n．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；18．（12 分）某公司生产甲、乙两种不同规格的产品，并且根据质量的测试指标分数进行划分，其中分数不小于70 ⎧x = 2 - 2t⎩ y = 4 + 2t（t为参数）的距离的最大值．的为合格品，否则为次品，现随机抽取两种产品各100 件进行检测，其结果如下：23．（10 分）已知不等式2x + 4 + x -1 ≥ m的解集为R．（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a, b满足22a + b+ 1a + 3b= n时，求17a + 11b的最小值．（1）根据表中数据，估计甲、乙两种产品的不合格率；（2）若按合格与不合格的比例抽取 5 件甲产品，再从这 5 件甲产品中随机抽取 2 件，求这 2 件产品全是合格品的概率．第3页15. x + y =1 = 8,S 3 = 14 ，可列方程组 ⎨ 1 由于{a n }各项都是正数，∴q > 0，可得 ⎨(1+ n )n + 2n = 2n +1 3 n 2 + n 2 ............12 分 （1）甲产品的不合格率为P 1 = P 2 = = 30% ............6 分 中学生标准学术能力测试诊断性测试 11 月测试文科数学（一卷）答案一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.B 2.A 3.B4.A5.B6.D7.B8.D9.A10.C11.B12.C二. 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 2 14. 102 2 9 416. 1+2 21 9三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分. 17.（12 分）（1）等比数列{a n }中， a 3⎧a q 2 = 8⎩a 1 + a 1q = 6............3 分⎧a 1 = 2 ⎩q = 2............5 分∴a n = 2n ............6 分（2）2n − b n = 1+(n −1)3，∴b n = 2n 3n + 2 ............8 分∴T n = 21 + 22 + + 2n 3⨯ (1+ 2 + + n ) + 2n= 3⨯1 2 2 2 218. （12 分）9 + 21 1007 +13 100= 20% ，乙产品的不合格率为（2）由题意，若按合格与不合格的比例抽取 5 件甲产品，则其中恰有 1 件次品，4 件合格品，因而可设这 5 件甲产品分别为 a,b,c,d,E ，其中小写字母代表合格品，E 代表次 品，从中随机抽取 2 件，则所有可能的情况为 ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE ，共 10第 1 页 共 4 页= ............12 分 在 ∆PHA 中，AH = 2 ， PH = 2 ， PA = 4 ，V C APB = V A PBC = ⨯ ⨯ S ∆PBC ⨯ AH =（1）当直线 l 的斜率不存在时， A ,p ⎪,B , p ⎪ ，此时 AB = 2 p ............2 分当直线 l 的斜率存在时，设为 k ，此时 l:y = k x ⎪ ，与抛物线方程联立：⎪ y = k x ⎪2 ⎭ ，消去 y ，可得： k 2 x 2 (k 2 p + 2 p )x + k p = 0 ............4 分 ⎩k= p + 2 ∴ AB = x 1 + x 2 + p = 2 p 1+ 2 ⎪ > 2 p ............6 分种，设“这 2 件产品全是合格品”为事件 M ，则事件 M 所包含的情况为 ab,ac,ad,bc,bd,cd ，共 6 种. 由古典概型的概率计算公式，得P (M ) =19.（12 分） 6 10 35（1）PA = PB = PC = 2，又 ∠APC = ∠APB = 60 ，APB 和 ∆APC 都是等边三角形， AB = AC = 2 .取 BC 中点 H ，连接 AH ，∴ AH ∞ BC .∴ AH 2 = AC 2 CH 2 = 2............3 分∠BPC = 90 ，BC = 2 2 ， PH = 22 2 2 ∴ PA 2 = PH 2 + AH 2 ，∴ AH ∞ PH ， PH ⋂ BC = H∴ AH ∞ 平面PBC .AH ⊂ 平面ABC ，平面ABC ⊥ 平面BPC ............6 分第 19 题（2） V D APB = 2 3 2 2 1 3 3 39............12 分20．（12 分）⎛ p ⎝ 2 ⎫ ⎛ p ⎭ ⎝ 2 ⎫⎭⎛ ⎝ p ⎫2 ⎭⎧ ⎛ ⎨ ⎝ ⎪ y 2 = 2 pxp ⎫ 2 24设 A (x 1 ,y 1),B (x 2,y 2 )，根据韦达定理， x 1 + x 2 = k 2 p + 2 p 22 pk⎛ 1 ⎫⎝ k ⎭第 2 页 共 4 页k， N  , ⎪ ............9 分 = ，由于  - ⎪ ⋅ k = 1，∴直线 F N ∞ l ............12 分 f (x ) = x 3-x 2 ln x (x > 0)， f ' (x ) = 3x 2 1 = g (x ) = 2x 2∴ AB min = 2 p = 4 ，则抛物线 C 的方程为： y 2 = 4x ............7 分（如果直接写出AB min = 2 p = 4，没有讨论直线 l 的斜率存在时的情况，只给 3 分）（2）当直线 l 的斜率不存在时，结论显然成立............8 分 当直线 l 的斜率存在时，y 1 + y 2 = kx 1kp 2 + kx 2 kp 2= k (x 1 + x 2 ) kp ，将 x 1 + x 2 = p + 2 p 2 代入可得， y 1 + y 2 =2 pk ⎛ p p ⎫ ⎝ 2 k ⎭k NFp k p 2p 21 ⎛ 1 ⎫ k ⎝ k ⎭ 21．（12 分）（1）当 a = -1时，2 x 3x3 x 2 x......2 分f' (x ) = (x 1)(3x 2 + 3x + 2) ............3 分x3x 2 + 3x + 2 > 0恒成立，∴所以当 x ∈(1, + ∞)时， f '(x ) > 0 ， y = f (x ) 单调递增； 当x ∈(0,1)时， f '(x ) < 0 ， y = f (x ) 单调递减............4 分 （2）f (x ) = x 3 + ax 2 ln x ≥ 0 在 (0，+ ∞)上恒成立，∴当 x ∈(0，+ ∞)时，g (x ) = x 2 + a 2 ln xx≥ 0 恒成立............6 分'(ln x )' ⋅ x ln x ⋅ x ' x 2= 2 x 3 + ln x 1 x ............7 分 令 h (x ) = x3 + ln x 1 ，可得 h (x )在 (0，+ ∞)上单调递增，且 h (1) = 0 ∴ x ∈(0,1)时， h (x ) < 0, g ' (x ) < 0, 即 y = g (x ) 单调递减∴ x ∈(1,+ ∞)， h (x ) > 0, g ' (x ) > 0, 即 y = g (x ) 单调递增............10 分 ∴ g (x )min = g (1) = 1+ a ≥ 0 ，可得： a ≥ 1 ............12 分（其它方法酌情给分）第 3 页 共 4 页（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22．【选修4−4：坐标系与参数方程】（10 分）2 2直线l:x+ y 6 = 0 ............6 分⎛⎝52⎫⎭则点M 到直线l 的距离为d = cosθ + sin θ292=⎛⎝2⎪4 ⎭ 2............8 分当θ = 2kπ 34π(k ∈ Z )时，最大距离为1 + 9 24............10 分23．【选修4−5：不等式选讲】（10 分）⎧3x + 3, x ≥ 1⎪⎪ 3x 3, x ≤ 2由不等式2x + 4 + x 1 ≥ m的解集为R 可知，m ≤ 3 ............5 分（2）n = 3，22a + b+1a + 3b= 3当a,b > 0时，17a +11b = 1 ⎛ 23 ⎝ 2a + b+1 ⎫a + 3b ⎭= 31 ⎡2(a + 3b) 8(2a + b) ⎤ 1 25⎧ 2 1当且仅当 ⎨ 2a + b a + 3b⎪⎩a + 3b = 2(2a + b) 25............10 分3 ，即a =1612⎧log 2 x, x > 0⎩ x , x < 014．已知x, y ∈ R，且满足 ⎨ x + y ≥ 0 (a > 0)，当由不等式组确定的可行域的面积为4 时，z = 3x - y的最大值19．12 分）在三棱锥A - PCB中，其中 ∠BPC = 90，∠APC = ∠APB = 60，（（2）D为线段AC上一点，且AD =2320．（12 分）设抛物线C：y = 2 px ( p > 0)，过焦点F的直线l与C交于A，⎩x y15．已知F ( 5 ,0)是椭圆2 + 2 = 1 (a > b > 0)的右焦点，过点F作斜率为2 的直线l使它与圆x 2 + y 2 = b2相的垂线，垂足为N，求证：直线FN ⊥ l．（2）设AB的中点为M，过M作直线x = -16．在 ∆ABC中，AB = 1，AC = 3， ∠A = 60，点P是以C为圆心，1 为半径的圆上的动点，21．（12 分）已知函数f (x) = x + ax - 2 ln x．3 2，- ⎪，曲线C的极坐标方程为ρ 2-4ρ cosθ - 2ρ sinθ +1 = 0．（2）若Q为C上的动点，求PQ的中点M到直线l:⎨ （1）P(3，3)，C： (x 2) + (y 1) = 4 ............4 分（2）设Q(2cosθ + 2,2sin θ +1)，则PQ 的中点M  cosθ + ,sinθ 1⎪2 sin θ +（1）f (x) = 2x + 4 + x 1 = ⎨x + 5, 2 < x < 1，所以f (x)的值域为 [3， ∞)，+⎩⎪[8(2a + b) + (a + 3b)]( )⎢⎣16 + 2a + b + a + 3b +1⎥⎦ ≥ 3 17 + 2 2 ⨯8 = 3 ............8 分第 4页共4 页共4页。

中学生标准学术能力诊断性测试2017年11月测试数学理科试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合(){}2|ln 32M x y x x ==+-，集合{}2|4x N y y -==，则图中阴影部分表示的集合为A.(][)1,03,-+∞ B.[)0,3C.()0,3D.(]()1,03,-+∞2.已知命题p ：若8k <，则方程221358x y k k +=--表示焦点在x 轴上的双曲线；命题q ：在ABC ∆中，若sin sin A B <，则A B <，则下列命题为真命题的是 A.q ⌝ B.()()p q ⌝∧⌝ C.p q ∧ D.()p q ∧⌝3.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术方田章圆填术中指出：“割之弥细，所失弥少。

割之又割，以至于不能割，则与圆周合体而无所失矣。

”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…”代表无限次重复，设121211x =++，则可利用方程121x x =+求得x ，=A.3B.5C.7D.94.如图，在矩形OABC 中的曲线分别是()sin ,cos ,,0,0,12y x y x A C π⎛⎫== ⎪⎝⎭，在矩形OABC 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为A.)41πB.)41πC.)41πD.)41π5.下面的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

若输入,a b 的分别为98和63，执行该程序框图后，输出a 的值6.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的最长棱为112n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的7.数列{}n a 中，11a =且()1122n n n a a n ---=≥，则数列前n 项和为 A.1121n -- B.11121n +--C.11122n ⎛⎫- ⎪⎝⎭D.1111221n +⎛⎫- ⎪-⎝⎭8.已知双曲线()2221054x y a a -=>的左、右顶点分别为12,A A ，虚轴的两个端点分别为12,B B ，若四边形1122A B A B 的内切圆的面积为18π，则双曲线的离心率为9.已知函数()313sin 6f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则12nx x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 A.-20B.20C.-15D.1510.将函数sin 21y x x =+的图象向左平移12π个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则下面关于函数()y g x =的叙述不正确的是 A.函数()g x 的周期为2πB.函数()g x 的一个对称中心为,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.函数()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增 D.当()42k x k z ππ=+∈时，函数()g x 有最小值-1 11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()42,sin 2f x f x g x x π=--+=+，若函数()f x 的图象与函数()g x 图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，则()1ni i i x y =+=∑A.nB.2nC.3nD.4n12.设点()()()()1122,,,M x f x N x g x 分别是函数()21ln 2f x x x =+和()26g x x =-图象上的点，121,1x x ≥≥，若直线//MN x 轴，则,M N 两点间距离的最小值为A.54B.94C.52D.92二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知,a b 的夹角为4π，且2b a =，则2b a -与a 的夹角的正切值为 . 14.已知变量,x y 满足431,1x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩，则225x xy y xy ++的取值范围为 .15.已知正四面体ABCD 的棱长为，四个顶点都在球心O 的球面上，点P 为棱BC 的中点，过P 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .16.过抛物线24x y =的焦点F 作直线l 与抛物线交于A,B 两点，记抛物线在A,B 两点处的切线12,l l 的交点为P,则ABP ∆面积的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知ABC ∆的面积为S,其外接圆半径为R,三个内角A,B,C 所对的边分别为())22,,,2sin sin sin .a b c R A C b B -=-，（1）求角C;（2）若()222sin sin sin ,4A B C a =--=⎝⎭，求c 及ABC ∆的面积 18.（本题满分12分）如图，多面体A PCBE -中，四边形PCBE 是直角梯形，且,//PC BC PE BC ⊥，平面PCBE ⊥平面,,ABC AC BE M ⊥是AE 的中点，N 是PA 上的点.（1）若//MN 平面ABC ，求证：N 是PA 中点；（2）若13PE BC =，且AC BC PC ==，求二面角E AB C --的余弦值.19.（本题满分12分）某电视厂家准备在元旦期间举办促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出。

月测试11 2018 年中学生标准学术能力诊断性测试理科数学试卷（一卷）参考答案在每小题给出的四个选项中，只有.60 分12 小题，每小题 5 分，共一. 选择题：本大题共. 一项是符合题目要求的D. 4 5 20 . 小题，每小题分二分，共填空题：本大题共13. 214．362019 ．15 2(0, ??)．16三、解答题：共70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答,第22,23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60 分.分．10 17222ca ?b ? 2b a ???[1 分]）由条件和正弦定理可得解: （1b1222b ? a ?c ? ab C=.[2 分]从而由余弦定理得cos整理得2??[4 ．分 ]??C C ∴是三角形的内角又∵[3 分 ] 322222? a ?bb 2 ? abcosC ? ca ? a ?b， 2（）由余弦定理得[5 分]2222? 3ab ? 16 ? 3ab ?b?? ab (a ? b)c?a ? b 4??a，[7 分，]2a ? b ??2?c ?16 ? 3ab ?16 ? 3? 4 ==（当且仅当 [9 分a] b2 时等号成立）．??2 ????1??absin C ? 3 S，故 2的最小值为∴c ] ．[10 分ABC?2第1 页共7 页．14 分181）证明：（EE．]ME,ED [1 取线段SC 的中点分，连接1MEBC ?SBC ?] 在[2 分中，ME 为中位线， 2 1AD?MEADBC ]分[3 2AMED ?]四边形分为平行四边形[4DE AM?]分[5SCD AM ?平面SCDDE ?平面?SCD AM 平面 [6 分]、、A y 轴、为坐标原点，建立分别以AD ABx AS 2（）以点为，，B(0,2,0)A(0,0,0)轴，如图所示的空间直角坐标系，则轴、z，，，]D(1,0,0)[7 S(0,0,2)C(2,2,0)分][8 分为线段SB 近 B 点的三等分点．由条件得M12 ?AM ?AS AB ? = =24 于是4 2 ?)(0, , ，即M,0, ??? 33 3 3 3 3???0AM ? n ??n =?，x,y,z的一个法向量为AMC )，则(设平面AC? n ? 0??n -=-]分1,1,(2) [9 将坐标代入得m =][10 分(1,0,0)，的一个法向量为另外易知平面SABn ? m 6 [11 =分]所以平面所成的锐二面角的余弦值为SAB AMC 与平面 6 mn ??10 2 4 2?? , ?x, 2x ??MN 21? x ?N．) M．由于 (0,, 2,0)xx设(3) (,2－，其中，所以??3 ?3 33???????第2 页共7 页MN ? m x 1[12 分]= 所以sin θ= =104 1 40 104 40 1 MN m??2 ??5x ? x 5?2 3 x9x 9 3 40?2615 1 3 ???? x ] θsin ,即有最大值，[13 分时分母有最小值，此时可知当208 15 26 x92226 11 5 ND ?]分.[14 此时N,0)，即点N 在线段CD 上且15 15 1510 分．19t ＝．＋＋＋＋t 2[1 0.2+ 0.3分0.10.11]解：（1）由概率分布的性质有t ? 0.1，所以[2 分]X 的分布列为：∴X 20 22 24 26 28 300.20.20.1P0.30.10.1(写出分布列得[4 分])0.1 ＋22×0.2 ＋24×0.3 ＋26×0.1 ＋28×0.1 ＋30×0.2 ＝25(km)．E(X)＝20×∴222222×0.2 ＝＋5×0.1 ＋310.6.×0.1 ＋31×0.2 ＋××0.3 ＋10.1 D(X)＝5 [6 分]由已知设梁某一天出车一次的收入为元, (2)Y3(X ?3) ?5 －，∈＝，N)则4,(X>3=3X YX[8 分]＝－＝－＝－＝元，)4E(Y)3×25E(3X71(4)43E(X)[9 ∴分]＝－＝＝95.4.D(Y)4)D(3X32D(X) [10 分]20．14 分??22[1x px ?p ? 0 y y? 2 p=P1，即过点 (1,1)，得 2解（1）由抛物线]分1??1 yy 0 ?2 1 0 ?? ] ,[2 分写为? kk 将条件1x ?x ?1 PB PA1 2 1 122??yy ?x x 0 ? ,代入上式得到注意到 , , 11 y ?y ?22 1121第3 页共7 页2 y??y?．[4 分] 通分整理得 2 122k x ?y ? x y AB , ，由的斜率为, 设直线AB2112yy? 1)? x ? (k ?x 12 ]得，[5 分21AB y ?? x xy 21 212 ?y? y?由于，2 11 1 ??]分．[6 k ?将其代入上式得2 AB y? y 1 21 ??y AB （2）因此设直线的方程为b ? x ， 2??b x ?x b ?1?? 0?整理,得y 由，消去12?x ?y1 ?22] ,[8 分4 b?y ?x ??2????0,1?b2??20 ?? b ?1b?，Δ=2 b1), x x ? 4x ? x ? 4(b ?且][10 分，21 125???AB 22?1 5 2b ? x ) ? 4x xx ( 1 21 2 4b3 ? 2,P 到直线AB d=的距离为又点51 1 2b3 ??1?d ??2 5 2b ?? AB ?b 2?3 = S所以[11 ]分 b 21?ABP?22 52????3 ?2x2x( x) ??1 f[0,1]x?][12 分令，，其中1 3?????? 0 f '?x ? 22x ?3x 6?1 x= 得,则由,x= 或 2 61 ????x'f x 0 ?f ,, 时，)单调递增所以当0,(∈x64 第页共7 页1 ????f 0 f 'x?x,所以单调递减, [13 分] ,1)时，x∈(当61 ??? 256f=x)的最大值为故f( ??276 ??1 16 3 ?? f ] [14 分= .故△ABP 面积S 的最大值为??△ABP69 ??12 分21．?????0, 4 x ?) ?f 2ln (f (x) x]分,且的定义域是．[2 解（1）??2??) xf 0 f ((x) ? e?x 0,当,此时单调递减；时, 2?? (x) ? 0 f x ? e ]由得,[3 分??2??) x0 f ((x) ?f ??e,+x ,此时当时, 单调递增；????2?2?) f (x) f (x?0,e ,+e] 的减区间为的增区间为分, .[5 综上,??x? 2ln 2ln (x) xf (x) ? f ??k ）证明（21 12 2 ?]分，[6x x?x? x112 22xx? x ???x ? x ?，即证x ] [7 分，要证明12 21 ln x ln x ? 1 2k 2 1 ?x2?1x x2 ?][8 分，1??1 等价于x2xln 1x 1x ?t 2]分[9 x令<x，知t>1）, （由21x 11 ?t t ?1 ?则只需证1，知ln t>0，，由t>t ln??????*.t ?1? t ln t 1?ln t t－故等价于][10 分1???? 0 ?g 't 1 ?t －1ln g t －? t时，，则当①设t>1 ,－tt)在内是增函数，)(1,+∞(所以g页第5 7 共页????t ? ln 0 g t ? t1g －t 1 ?? t－1－ln ；，所以1 时，当t>????0 ??－1) h ' ln ht t tt? t ln t－(，，则当②设t>1 时，)内是增函数，)在(1,+∞所以h(t??1t ?ln t ? t－1t )(()．=0(t－1)>h，即所以当t>1 时，h1tt =t ln －2<x①②知(*)成立，所以由] 分. <x[12 12k（如果考生证明过程与参考答案不完全一致，但思路正确，逻辑严密，命题老师可酌情给分）1 x－y ?]．[1 分22．解：（1）直线l 的普通方程为224 ?a)? y(x－]分C圆的直角坐标方程为．[2 1a ?1 2 ? 2 ? 2 1a ?．[4 ，由于a>0 分解得]所以,l 与圆C相切因直线 1 22 2xy+? 1 ）曲线C的普通方程为（2,点C(2,1)在直线y=x－1 上, [5 分] 24 3? 2 x ? 2 ?t ? 2??的参数方程可以写为l 所以直线（t 为参数），[6 分]2 ?t ? y ? 1? 22 27 yx?10 2t ? 4 ? 0 1 ?+ [8 分] 得将上式代入2t 4 3 2设A,B 对应的参数分别为t,t, 21820 2??? t ?t ,t t 所以]，[9 分 2 1 1 277 20 2??? t ?t AC ? BC ?| ? t |?－t ]以所分[10 21 2 1 7f (x) ? x ?1 ? 3x ? a：）（123．解≤?, ? 1 ? ?4 3 ) (= {? 1 > ? ，①当> 3 时，即]分[1 1, ? 2 + ?< ?1< 334 + + 1, ≥?1第6 页共7 页aa???? = ??3 ? af （f ??1 ? 32 a ???＞0- ）（ -1）=3 33 ] [2 分a??）- f＞? f （?1 3a = 1 ) ? 1 ? = ?4 (? )( ?时，= 则当x3 3][3 分∴a=6≤?1 1 ? , ?4 ? < ? + 1, ?1 < ?2 ? < ? 1 < 3 时，即?②当) ( {, = ] 分[4 3 3 ≥? + 1, 4 + 3aa????a= ?3 ?f1 （f ?? 2 3 ? a???＞0 +1）=- ）（-3 3 3a?? - ）f? f ＞?1（3a= 1) + 1 + ?(?= 4 )( = 时，则当x 33] 分∴a=0[5③当= 3 1 = ?时，即?||() , + 1= 4 3不满足题意(x)=0 当= ?1 时，min][6 分综上= 0 或= 60 n ?m ? 0, 3 ??m n ，2）由题意知，，∵（??????2??22222222?? 2?mmn? n?n m? n? m ??2mn m ? n ]∴分[71?? 222nm ? nm ??]即分,[8 2 3 m=n= 当且仅当“=”．时取 299 22 n ? m ?2 2]，∴m+n的最小值为．∴[10 分 22页第7 7 共页。

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 北京市清华大学2020届高三数学11月中学生标准学术能力诊断性测试试题 文本试卷共150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知全集U ＝R ，集合A ＝{x|1x x-≥0}，B ＝{x|y ＝lg(3x －1)}，则A ∩(U ðB)＝ A.(0，1] B.(0，13] C.(13，1] D.(－∞，13] 2.己知a ∈R ，复数z ＝23a i i-+(i 为虚数单位)，若z 为纯虚数，则a ＝ A.23 B.23- C.6 D.－6 3.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40～50岁年龄段应抽取的人数是A.7B.8C.9D.104.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是A.y ＝3－xB.y ＝log 0.5xC.21y x =D.12x y x +=+ 5.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，若|AF|＝3|BF|，则|AB|＝A.4B.92 C.132 D.1636.己知1tan()43πα-=-，则sin(2)2sin()cos()2παπαπα+--+= A.75 B.15 C.15- D.31257.设变量x 、y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，且z ＝kx ＋y 的最大值为12，则实数k 的值为A.－2B.－3C.2D.38.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，v ，若a ＝1，c ＝23，bsinA ＝asin(3π－B)，则sinC ＝A.37B.217C.2112D.5719 9.某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为l ，则该三棱锥外接球的表面积为A.27πB.28πC.29πD.30π 10.函数13cos 6x y x e =-的大致图象是11.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，直线l ：y 3与C 交于A ，B 两点，AF ，BF 的中点分别为M ，N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为A.333－3＋3 112.在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠A ＝600，M 为△ABC 的外心，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，λ，μ∈R ，则4λ＋3μ＝A.34B.53C.73D.83二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

中学生标准学术能力诊断性测试2018年9月测试理科数学试卷 参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．A 4．D 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．2 14．n 2+n 15．3016．()1,∞−三、解答题：共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分。

17．（12分）（1） 3=AB ，1=AC ， 60=∠A ，所以由余弦定理可知，22231-231cos60BC ，7BC .......3分.根据正弦定理，14213sin ,237s 3=∠∴=∠ACB ACB in ........6分 （2）222AB AC BC ，ACB 为钝角，则147142131c 2−=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−=∠ACB os ......8分 71,2AC CD，在ACD ∆中，根据余弦定理，2227771-21-2214AD .....10分 求得13AD....12分18.（12分）（1）取PC 中点F ， E 是PD 的中点，∴CD EF //，又由题意知Q 是FC 的中点，M 是EC 的中点，∴QM EF //，..........2分∴AB CD QM ////.又QM PAB ⊄平面,AB PAB ⊂平面， ∴PAB QM 平面// ............4分方法一：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。

..........5分 理由如下：由（1）知，当F 为PC 中点时，AB EF //. PAABCD 平面,AB PA ⊥∴.又 四边形ABCD 为矩形，∴AD AB ⊥，∴PAD AB 平面⊥，∴PAD EF 平面⊥.............8分 BC PA ⊥，BC AB ⊥，∴PAB BC 平面⊥，∴PAB PBC 平面平面⊥，∴PBA ∠为AB 与平面PBC 所成角，∴45PBA............12分方法二：（2）当45=∠PBA 时，存在线段PC 上的中点F ，使得EF //平面P AD ，且EF 与平面PBC 所成角为45°同时成立。