具有粗糙核的奇异积分算子的加权有界性

Some Weighted Norm Inequalities for the Vector-Valued Singular Integral Operators with Rough
Kernel
作者： 冯文莉;商美娟;刘晓娣
作者机构： 石家庄学院数学与信息科学系,河北石家庄050035
出版物刊名： 石家庄学院学报
页码： 42-44页
年卷期： 2013年 第3期
主题词： 向量值奇异积分算子;粗糙核;加权赋范不等式
摘要：向量值奇异积分算子的核决定着算子的性质和加权不等式．标准核向量值奇异积分算子的研究内容已经日趋完善，弱Dini型核以及粗糙核向量值奇异积分算子也有所研究，但研究内容不够完善，现继续研究粗糙核向量值奇异积分算子，得到了这类算子的几个加权赋范不等式，丰富了向量值奇异积分算子的理论．。

第61卷 第5期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .52023年9月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )S e p2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022452粗糙核M a r c i n k ie w i c z 积分在M o r r e y-A d a m s 空间上的有界性朱小杰,陶双平(西北师范大学数学与统计学院,兰州730070)摘要:借助L e b e s gu e 空间上的有界性,利用函数分解方法和实变技巧,证明粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性,并给出L i p s c h i t z 函数和B MO 函数交换子的相应结果.关键词:M a r c i n k i e w i c z 积分;M o r r e y -A d a m s 空间;交换子;粗糙核中图分类号:O 174.2 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)05-0999-08B o u n d e d n e s s o fM a r c i n k i e w i c z I n t e gr a l w i t h R o u g hK e r n e l o n M o r r e y -A d a m s S pa c e s Z HU X i a o j i e ,T A OS h u a n g p i n g(C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,N o r t h w e s tN o r m a lU n i v e r s i t y ,L a n z h o u 730070,C h i n a )A b s t r a c t :W i t h t h eh e l p o f t h eb o u n d e d n e s so f t h eL e b e s g u es p a c e s ,b y a p p l y i n g t h ed e c o m po s i t i o n m e t h o do ff u n c t i o na n dr e a lv a r i a b l et e c h n i q u e s ,t h eb o u n d e d n e s so f M a r c i n k i e w i c zi n t e gr a lw i t h r o u g hk e r n e l w a s p r o v e d o n M o r r e y -A d a m ss p a c e s .M e a n w h i l e ,t h ec o r r e s p o n d i n g r e s u l to fi t s c o mm u t a t o rw i t hL i ps c h i t z a n dB MOf u n c t i o n sw a s g i v e n .K e y w o r d s :M a r c i n k i e w i c z i n t e g r a l ;M o r r e y -A d a m s s p a c e ;c o mm u t a t o r ;r o u g hk e r n e l 收稿日期:2022-11-18. 网络首发日期:2023-07-10.第一作者简介:朱小杰(1998 ),女,汉族,硕士研究生,从事调和分析的研究,E -m a i l :z h u x j _242@163.c o m.通信作者简介:陶双平(1964 ),男,汉族,博士,教授,博士生导师,从事调和分析及其应用的研究,E -m a i l :t a o s p@n w n u .e d u .c n .基金项目:国家自然科学基金(批准号:12201500).网络首发地址:h t t ps ://k n s .c n k i .n e t /k c m s 2/d e t a i l /22.1340.o .20230707.1455.001.h t m l .1 引言与主要结果设Ω为ℝn 上的零次齐次函数,满足以下消失矩条件:ʏSn -1Ω(x ᶄ)d σ(x ᶄ)=0,(1)其中:x ᶄ=x x,x ʂ0;S n -1表示ℝn (n ȡ2)中的单位球面,d σ(x ᶄ)为其上的L e b e s gu e 测度.高维M a r c i n k i e w i c z 积分μΩ定义为μΩ(f )(x )=ʏɕ0ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f (y )d y 2d s sæèçöø÷31/2.(2)设b 是一个局部可积函数,则由μΩ和b 生成的交换子定义为Copyright ©博看网. All Rights Reserved.μΩ,b (f )(x )=b (x )μΩ(x )-μΩ(b f )(x )=ʏɕ0F Ω,b ,s (f )(x )2d s s æèçöø÷31/2,(3)其中F Ω,b ,s (f )(x )=ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1(b (x )-b (y ))f (y )d y . M a r c i n k i e w i c z [1]首次提出了一维M a r c i n k i e w i c z 算子:μ(f )(x )=ʏ2πF (x +t )+F (x -t )-2F (x )2t3d æèçöø÷t 1/2, x ɪ[0,2π],其中F (x )=ʏxf (t )d t ;之后,Z y g m u n d [2]证明了μ在L e b e s g u e 空间L p (ℝ)(1<p <ɕ)上是有界的;S t e i n [3]给出了高维空间上M a r c i n k i e w i c z 积分的定义如式(2)所示,并证明了当Ω连续且满足L i p s c h i t z 条件时,μΩ在L p (ℝn )(1<p <2)上是有界的;B e n e d e k 等[4]证明了当ΩɪC 1(S n -1)(1<p <ɕ)时,μΩ在L e b e s g u e 空间上是有界的;陶双平等[5]研究了M o r r e y 空间上M a r c i n k i e w i c z 积分算子与具有离散系数的正则有界平均振荡空间生成的交换子的有界性;王静等[6]给出了时空混合M o r r e y 空间的定义,同时证明了R i e s z 位势㊁M a r c i n k i e w i c z 积分算子及交换子在时空混合M o r r e y 空间上的加权有界性.定义1[7] 设0ɤλɤn ,1ɤp <ɕ,M o r r e y 空间定义为L p ,λ(ℝn )=f (x )ɪL p l o c: f L p ,λ=s u p x ɪℝn,r >0r -λ/p f L p (B (x ,r ))<{}ɕ,其中B (x ,r )={y ɪℝn:x -y <r }.定义1中的M o r r e y 范数 ㊃ L p ,λ可写成如下形式: f L p ,λ=s u p x ɪℝn㊃-λ/pf L p (B (x ,㊃)) L ɕ(0,ɕ).M o r r e y [7]在研究二阶椭圆偏微分方程解的局部特征性质时引入了M o r r e y 空间,该类函数空间可视为L e b e s g u e 空间的推广,且在偏微分方程等领域有重要应用.A d a m s [8]用L θ范数 ㊃ L θ(0,ɕ)代替M o r r e y 范数中的L ɕ范数 ㊃ L ɕ(0,ɕ),得到了一种范围更广的M o r r e y 空间L p ,λθ(ℝn ).目前,关于M o r r e y 型空间上算子有界性的研究已得到广泛关注[9-12].S a l i m 等[13]证明了粗糙核分数次积分算子在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性.受文献[5-6,13]研究结果的启发,本文主要讨论粗糙核M a r c i n k i e w i c z 算子及其与L i p s c h i t z 函数和B MO 函数生成的交换子在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性.定义2[13] 设1ɤp <ɕ,λɪℝ,1ɤθ<ɕ,M o r r e y -A d a m s 空间定义为L p ,λθ(ℝn )=f (x )ɪL pl o c : f L p ,λθ=s u p x ɪℝnʏɕ0r -λθ/pfθL p (B (x ,r ))d ()r1/θ<{}ɕ.如果p θ<λ<n +p θ,则L p ,λθ空间是非平凡的.例如,取f (x )=χB (0,r 0),则有 χB (0,r 0) L p ,λθ=c n r (n -λ)/p +1/θ0,其中c n 是正常数,从而f ɪL p ,λθ,且在L p ,λθ空间中λ可以大于函数值域的维数.与L e b e s g u e 空间L θ(0,ɕ)和L ɕ(0,ɕ)之间的关系相似,空间L p ,λθ和L p ,λ之间不存在包含关系.例如,取f (x )=x-(n -λ)/p,则易证函数f 在空间L p ,λ上,但不在空间L p ,λθ上.另一方面,取f (x )=x-(n -λ)/pχB (0,1)(x ),其中λ-p θ<k <n ,则函数f 在空间L p ,λθ上,而不在空间L p ,λ上.为讨论M a r c i n k i e w i c z 积分算子的交换子μΩ,b 在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性,需介绍粗糙核极大算子M Ω:M Ωf (x )=s u p r >0r -n ʏB (x ,r)Ω(x -y )f (y )d y ,当ΩɪL 1(Sn -1)时,算子M Ω在L p 空间上是有界的,其中p >1.定义3[14] B MO 空间定义为001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.B MO (ℝn )=f ɪL 1l o c (ℝn ): f *=s u p x ɪℝn,r >01B (x ,r )ʏB (x ,r)f (y )-f B (x ,r )d y <{}ɕ,其中f B =1BʏBf (y )d y .定义4[14] 设0<β<1,L i p s c h i t z 空间定义为L i p β(ℝn )=f : f L i p β=s u px ,y ɪℝn ,x ʂy f (x )-f (y )x -y β<{}ɕ. 本文的主要结果如下.定理1 设ΩɪL s (S n -1)(1<s <ɕ)满足式(1),μΩ由式(2)定义.如果λ<n +p θ,p >s ᶄ=s s -1,则存在不依赖于f 的常数C >0,使得μΩ(f ) L p ,λθɤC f L p ,λθ. 定理2 设b ɪL i p β(0<β<1),1<p <ɕ,0<β<m i n1,n ,n -λp +1{}θ,n -γq +1ψ=n -λp +1θ-β, θ(n -λ)ψ(n -γ)=p q ,(4)当ΩɪL s (S n -1)时满足式(1),μΩ,b 由式(3)定义.如果s ȡp ᶄ=p p -1,且λɤγ<n 或n <γɤλ,则存在不依赖于f 的常数C >0,使得μΩ,b (f ) L q ,γψɤC f L p ,λθ. 定理3 设b ɪB MO (ℝn ),ΩɪL s (S n -1)(1<s <ɕ)满足式(1),μΩ,b 由式(3)定义.如果λ<n +p θ,p >s ᶄ=s s -1,则存在不依赖于f的常数C >0,使得 μΩ,b (f ) L p ,λθɤC f L p ,λθ.2 主要结果的证明引理1[13] 若ΩɪL s (S n -1),且s ȡp ᶄ=p p -1,则存在不依赖于f的常数C >0,使得 M Ω(f )L p ,λθɤC f L p ,λθ. 引理2[15]设f ɪB MO (ℝn ),则对ℝn 中的任意球B 和1<p <ɕ,有 f *ʈs u p x ɪℝn ,r >01B (x ,r)ʏB (x ,r)f (y )-f B (x ,r )pd æèçöø÷y 1/p. 引理3 设f ɪL p ,λθ,ΩɪL s (S n -1),s ȡp ᶄ=p p -1,且β<n -λp+1θ,则对几乎处处的x ɪℝn ,存在仅与Ω有关的常数C Ω>0,使得μΩ,b f (x )ɤC Ω b L i p β(M Ωf (x ))ν f 1-ν,其中ν=1-βp θ(n -λ)θ+p .证明:固定x ɪℝn ,R >0,记f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,R ),f 2=f χB (x ,R )c .利用μΩ,b 的线性性质,有μΩ,b f (x )ɤμΩ,b f 1(x )+μΩ,b f 2(x )ʒ=A +B . 对于A ,由M i n k o w s k i 不等式,得A ɤC ʏɕ0ʏ{y :x -y ɤs }Ω(x -y )x -y n -1b (x )-b (y )f 1(y )d æèçöø÷y 2d s s æèçöø÷31/2ɤC b L i p βʏB (x ,R )ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1-βf (y æèçöø÷)2d s s æèçöø÷31/2d y ɤ1001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C b L i pβʏB (x ,R )Ω(x -y )x -y n -βf (y )d y ɤC b L i p βðɕj =1ʏB (x ,2-j+1R )\B (x ,2-j R )Ω(x -y )x -y n -βf (y )d y ɤC R β b L i p βM Ωf (x ). 对于B ,因为β<n -λp+1θ,所以由F u b i n i 定理和H öl d e r 不等式,得B ɤC ʏɕ0ʏB (x ,R )c ɘ{y :x -y ɤs }Ω(x -y )x -y n -1b (x )-b (y )f (y )d æèçöø÷y 2d s s æèçöø÷31/2ɤC b L i pβʏB (x ,R )cΩ(x -y )x -y n -βf (y )dy ɤC b L i pβʏB (x ,R )c Ω(x -y )f (y )ʏɕx -yh β-n -1dh d y ɤC b L i pβʏɕRʏB (x ,h )Ω(x -y )f (y )h β-n -1d yd h ɤC b L i pβʏɕRh β-n -1ʏB (x ,h )Ω(x -y )pᶄd ()y 1/pᶄʏB (x ,h )f (y )pd ()y 1/pd h ɤC b L i pβʏɕRh β-n -1h n /p ᶄ Ω L s (S n -1) fL p (B (x ,h ))d h ɤC b L i pβΩ L s (Sn -1)ʏɕRh β-n /p -1 fL p (B (x ,h ))d h ɤC b L i pβΩ L s (Sn -1)ʏɕRh -λθ/pf θL p (B (x ,h ))d ()h 1/θʏɕR(hβ-(n -λ)/p -1)θᶄd ()h 1/θᶄɤC b L i p βΩ L s (S n -1)R β-(n -λ)/p-1/θ f L p ,λθ.从而有μΩ,b f (x )ɤC b L i p β(R βM Ωf (x )+R β-(n -λ)/p -1/θ Ω L s (S n -1) f L p ,λθ).由文献[16]中引理4.1的方法可得μΩ,b f (x )ɤC b L i p βs u p R >0m i n {R βM Ωf (x ),R β-(n -λ)/p -1/θ Ω L s (S n -1) f L p ,λθ}=C b L i p β(M Ωf (x ))1-βp θ/((n -λ)θ+p ) f βp θ/((n -λ)θ+p )L p ,λθ Ω βp θ/((n -λ)θ+p )L s (Sn -1).取ν=1-βp θ(n -λ)θ+p,进而有μΩ,b f (x )ɤC Ω b L i p β(M Ωf (x ))νf 1-νL p ,λθ,这里C Ω是指仅依赖于Ω的正常数.证毕.2.1 定理1的证明设z ɪℝn ,任意给定球B (z ,2r )(r >0),把f 分解为f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,2r),f 2=f χB (x ,2r)c ,f 的分解依赖于r .于是ʏɕ0r -λθ/pμΩf θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤʏɕ0r -λθ/pμΩf 1 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θ+ʏɕ0r -λθ/pμΩf 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θʒ=G +H .对于G ,由μΩ在L p(ℝn )空间上的有界性,易得G ɤC Ωʏɕ0r -λθ/pfθL p (B (z ,r ))d ()r1/θɤC Ω f L p ,λθ.对于H ,注意到当x ɪB (z ,r ),y ɪB (z ,2r )c ⊂B (x ,r )c 时,有12z -y ɤx -y ɤ32z -y .因此2001 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.μΩf 2(x )ɤʏz -y0ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f 2(y )d y 2d s sæèçöø÷31/2+ʏɕz -y ʏx -y ɤs Ω(x -y )x -y n -1f 2(y )d y 2d s sæèçöø÷31/2ʒ=I 1+I 2.对于I 1,注意到x -y ʈz -y ,结合中值定理,有1x -y2-1z -y2ɤCx -zx -y 3.再由M i n k o w s k i 不等式,得I 1ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )ʏz -yx -y d s s æèçöø÷31/2d y ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )x -z 1/2x -y 3/2d y ɤC 1z -y 1/2ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )z -y nf (y )d y .对于I 2,同理有I 2ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y n -1f (y )ʏɕz -y d s s æèçöø÷31/2d y ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )z -y nf (y )d y .注意到如果y ɪB (z ,2r )c ,则y ɪB (x ,2j r )\B (x ,2j -1r )(j ȡ1),因此可得μΩf 2(x )ɤC ʏB (z ,2r )c Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)f (y )s ᶄz -y sᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )sd ()y1/s.再利用球坐标变换,有ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )sd ()y1/sɤʏB (x ,2jr )Ω(x -y )sd ()y 1/sɤʏB (x ,2jr +x -y )Ω(u )sd ()u 1/sɤʏB (x ,2j+1r)Ω(u )sd ()u 1/sɤʏSn -1ʏ2j+1rΩ(u ᶄ)sd δ(u ᶄ)ρn -1d ()ρ1/sɤC Ω L s (Sn -1)(2j+1r )n /s.由H öl d e r 不等式,得ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)f (y )s ᶄz -y s ᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄɤC ðɕj =1B (z ,2j +1r )-1ʏB (z ,2jr )f (y )s ᶄd ()y1/s ᶄɤC ðɕj =1B (z ,2j r)-1ʏB (z ,2j+1r)f (y )pd ()y 1/pʏB (x ,2j+1r)d ()y1(p/s ᶄ)ᶄs ᶄɤC ðɕj =1(2j r )n(p /s ᶄ)ᶄs ᶄ-n f L p (B (z ,2j +1r)).所以μΩf 2(x )ɤC Ω L s (S n -1)ðɕj =1(2j r )n(p /s ᶄ)ᶄs ᶄ+ns -n f L p (B (z ,2j +1r ))ɤC Ωðɕj =1(2j r )-n /p f L p (B (z ,2j +1r)). 令t =2j +1r ,由M i n k o w s k i 不等式,可得3001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.ʏɕ0r -λθ/pμΩf 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤC Ωðɕj =12-j n /p (r -λθ/pf θL p (B (z ,2j +1r))d r )1/θɤC Ωðɕj =12j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t ))d t 2æèçöø÷j 1/θɤC Ω f L p ,λθðɕj =12j (λ-n )/p -j /θ.注意到当λ<n +p θ时,级数ðɕj =12j (λ-n )/p -j/θ收敛.定理1证毕.2.2 定理2的证明固定z ɪℝn ,由引理3得ʏɕ0r -γψ/q μΩ,b f ψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψɤC Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q (M Ωf )νψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψ.由已知条件(4)得ν=1-βp θ(n -λ)θ+p =(n -λ)/p +1/θ-β(n -λ)/p +1/θ=(n -γ)/q +1/ψ(n -λ)/p +1/θ=θψ.再由已知条件λɤγ<n 或n <γɤλ以及θ(n -λ)ψ(n -γ)=p q ,可得νɤp q .令l =p νq,结合引理1和H öl d e r 不等式,有ʏɕ0r -γψ/q μΩ,b f ψL q (B (z ,r ))d ()r1/ψɤC Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q (M Ωf )νψL q (B (z ,r))d ()r 1/ψɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q ʏB (z ,r)(M Ωf )νqd ()x ψ/q d ()r 1/ψɤ C Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r -γψ/q ʏB (z ,r)M Ωf νql d ()x ψ/(l q )ʏB (z ,r)d ()x ψ/(l ᶄq )d ()rν/θɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθʏɕ0r ψ(n -γ)/q -n θ/p ʏB (z ,r)M Ωf pd ()x θ/pd ()r ν/θɤ C Ω b L i p βf 1-νL p ,λθʏɕ0r -λθ/pM Ωf θL p (B (z ,r ))d ()r ν/θɤC Ω b L i p β f 1-νL p ,λθ M Ωf νL p ,λθɤC Ω b L i p βf L p ,λθ.定理2证毕.2.3 定理3的证明设z ɪℝn ,对任意给定球B (z ,2r )(r >0),把f 分解为f =f 1+f 2,其中f 1=f χB (x ,2r),f 2=f χB (x ,2r)c ,f 的分解依赖于r .于是ʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f 1 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θ+ʏɕ0r -λθ/pμΩ,b f 2 θL p (B (z ,r))d ()r 1/θʒ=Q +P .对于Q ,由μΩ,b 在L p(ℝn )空间上的有界性,易得Q ɤC Ω b *ʏɕ0r -λθ/pf θL p (B (z ,r))d ()r 1/θɤC Ωb * f L p ,λθ.对于P ,由定理1的证明,可得μΩ,b f 2(x )ɤC ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y n f (y )b (x )-b (y )d y ɤC ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y n f (y )b (x )-b B (z ,r )d y +C ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y nf (y )b B (z ,r )-b (y )d y ʒ=J 1+J 2.对于J 1,有J 1ɤC b (x )-b B (z ,r)ʏB (z ,2r)c Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤ4001吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.C Ωb (x )-b B (z ,r)ðɕj =1(2jr )-n /pf L p (B (z ,2j +1r)).令t =2j +1r ,由引理2,得ʏɕ0r -λθ/pJ 1 θL p (B (z ,r ))d ()r 1/θɤC Ωʏɕ0r -λθ/pðɕj =1(2j r )-n f pL p (B (z ,2j +1r))ʏB (z ,r)b (x )-b B (z ,r)pd ()x θ/pd ()r1/θɤC Ωðɕj =12-j n /p r -λθ/pf θL p (B (z ,2j +1r ))1B (z ,r )ʏB (z ,r )b (x )-b B (z ,r )p d æèçöø÷x θ/p d æèçöø÷r 1/θɤ C Ω b *ðɕj =12j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t))d t 2æèçöø÷j 1/θɤ C Ω b * fL p ,λθðɕj =12j (λ-n )/p -j/θ.对于J 2,有J 2ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )b B (z ,r )-b B (z ,2j +1r )d y +C ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j -1r )Ω(x -y )x -y n f (y )b B (z ,2j+1r )-b (y )d y ʒ=J 21+J 22.注意到当b ɪB MO (ℝn )时,有b B (z ,2j +1r )-b B (z ,r )ɤC (j +1) b *,则J 21ɤC ðɕj =1b B (z ,r )-b B (z ,2j +1r )ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y ɤC b *ðɕj =1(j +1)ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -y nf (y )d y .对于J 22,由Höl d e r 不等式,得J 22ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )x -ynf (y )b B (z ,2j+1r )-b (y )d y ɤC ðɕj =1ʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r )(f (y )b B (x ,2j +1r)-b (y ))s ᶄz -y s ᶄn d æèçöø÷y 1/s ᶄʏB (x ,2j r )\B (x ,2j-1r)Ω(x -y )s d ()y1/sɤC Ωðɕj =1(2jr )n /s -n ʏB (z ,2j+1r)f (y )s ᶄb B (z ,2j +1r )-b (y )s ᶄd ()y1/s ᶄɤC ðɕj =1(2jr )n /s -n ʏB (z ,2j+1r)f (y )pd ()y1/pʏB (z ,2j+1r)b B (z ,2j +1r )-b (y )s ᶄ(p/s ᶄ)ᶄd ()y1s ᶄ(p/s ᶄ)ᶄɤC b * Ω L s (S n -1)ðɕj =1B (x ,2j r )1s ᶄ(p /s ᶄ)ᶄ+1s -1 f L p (B (z ,2j +1r ))ɤC Ω b *ðɕj =1(2j r )-n /p f L p (B (z ,2j +1r)).令t =2j +1r ,由M i n k o w s k i 不等式,得ʏɕ0r -λθ/pJ 2 θL p (B (z ,r ))d ()r 1/θɤC Ω b *ðɕj =1(j +1)2-j n /p r -λθ/p f θL p (B (z ,2j +1r))d ()r 1/θɤC Ω b *ðɕj =1(j +1)2j (λ-n )/p ʏɕ0t -λθ/p f θL p (B (z ,t))d t 2æèçöø÷j 1/θɤC Ω b * fL p ,λθðɕj =1(j +1)2j (λ-n )/p -j/θ.5001 第5期朱小杰,等:粗糙核M a r c i n k i e w i c z 积分在M o r r e y -A d a m s 空间上的有界性 Copyright ©博看网. 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