一类奇异积分算子的估计

一类奇异积分算子的加权模不等式
赵凯
【期刊名称】《青岛大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1993(006)002
【总页数】4页(P52-55)
【作者】赵凯
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O177.6
【相关文献】
1.关于一类奇异积分算子的加权不等式 [J], 戴龙祥
2.多线性奇异积分算子的加权模不等式 [J], 彭国强;原新凤
3.一类振荡奇异积分算子的加权模不等式 [J], 吴明龙
4.一类粗糙奇异积分算子交换子的加权不等式 [J], 郭景芳;冯文莉;薛丽梅;张东凯
5.一类多线性奇异积分算子的加权不等式 [J], 郭景芳;李刚;薛丽梅
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摘要摘要声学、电磁散射学、断裂力学等诸多物理问题中都会广泛涉及到Hadamard 奇异积分计算问题。

但是Hadamard奇异积分在普遍意义和主值意义下是发散的，这增加了研究的难度。

多年来，人们致力于超奇异积分研究并给出了一些有效计算方法，如牛顿科茨型公式、高斯型求积公式、复合埃尔米特插值型公式等。

通常，高斯积分需要被积函数有较好光滑性，并需要配置高斯节点；牛顿科茨公式由于灵活方便的网格而具有吸引力，不过要得到较高收敛阶需要更多的插值节点。

因此，针对不同的实际问题需要探寻不同的近似计算方法。

本文介绍了Hadamard奇异积分的研究现状，在此基础上讨论了基于三次样条插值逼近的Hadamard奇异积分的计算公式及误差分析，数值算例说明了该算法的可行性和有效性。

全文共分四章。

第一章，介绍了超奇异积分的研究状况、研究意义及国内外发展的一些动态；第二章，介绍Hadamard奇异积分的概念及常见的插值求积分公式；第三章，研究基于三次样条函数插值的Hadamard奇异积分计算公式和误差分析，理论证明该方法的超收敛性，实例验证了该方法的可行性和有效性；第四章，是全文的总结和今后的工作目标。

关键词：Hadamard奇异积分；三次样条插值；超收敛性ABSTRACTAbstractMany physical problem, such as acoustics, electromagnetic scattering and fracture mechanics require an efficient discrete scheme for the Hadamard finite-part integral operator. Hadamard singular integral is divergence in common sense and principal value sense, which increase the difficulty of the research. A related topic is the study quadrature rule for hypersingular integral. Numerous work has been devoted to this area, such as the Gaussian method , the Newton-Cotes type method, the transformation and some other methods. When functions are smooth, Gaussian qudratures are the approach of choice. The Newton-Cotes rule is a commonly used one in many areas due to its ease of implementation and flexibility of mesh. It is need to explore different approximate calculation method in view of the practical problems.In this paper, the background of the Hadamard singular integral and some numerical computation methods are introduced. On this basis we focus on cubic spline rule of Hadamard finite-part integral. We prove both theoretically and numerically cubic spline rule reaching the superconvergence rate based on the literature.This article is divided into four chapters. In the first chapter, it introduces the research status, the research significance and the development trends of domestic and international of hyper-singular integral equation. In the second chapter, it presents the definition of Hadamard and method, and introduces the hyper-singular integral. And it introduces some calculation method of common. In the third chapter, we present cubic spline rule for the Hadamard finite-part integral operator. The superconvergence of cubic spline rule for Hadamard finite-part integral is presented, and we proved that both theoretical and numerical method could reach higher rate of convergence. The examples are presented to confirm our theoretical analysis, and we gave the analysis of data. The last chapter makes a summary and discussion of the full text study, and pointed out the direction for future work.Keywords: Hadamard singular integral; Cubic spline rule; superconvergence目录目录摘要 (I)Abstract (II)第1章绪论 (1)1.1 国内外的研究现状 (1)1.2 选题背景及研究意义 (3)1.3 本文研究的主要内容 (3)第2章预备知识 (5)2.1 Hadamard有限部分积分理论 (5)2.2 牛顿科茨求积公式 (9)2.3 高斯插值求积公式 (10)2.4 埃尔米特求积公式 (12)2.5 本章小结 (19)第3章三次样条求积公式 (20)3.1样条插值函数 (20)3.2 求积公式及误差估计 (20)3.3 数值实验 (26)3.4 本章小结 (28)第4章结论与展望 (29)参考文献 (30)攻读硕士学位期间发表的学术论文 (33)致谢 (34)第1章绪论1.1 国内外的研究现状断裂力学、声学及上面所提到的电磁散射等等诸多的物理问题都会涉及到奇异积分的计算问题[1,2]。

一阶微分算子微分算子是微积分中的重要概念，它是指对函数进行微分运算的操作符。

一阶微分算子是指对函数进行一次微分运算的操作符。

在微积分中，一阶微分算子是非常重要的，因为它可以用来描述函数的变化率和斜率。

一阶微分算子的定义一阶微分算子是指对函数进行一次微分运算的操作符。

它可以用符号“d/dx”表示，其中“d”表示微分运算符，“dx”表示自变量x 的微小变化量。

一阶微分算子可以用来计算函数在某一点的斜率，也可以用来计算函数在某一点的变化率。

一阶微分算子的应用一阶微分算子在微积分中有着广泛的应用。

它可以用来求解函数的极值、最大值和最小值，也可以用来求解函数的导数和微分方程。

在物理学中，一阶微分算子可以用来描述物体的运动状态和变化率。

一阶微分算子的性质一阶微分算子具有以下性质：1. 线性性：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意两个常数a和b，有d/dx(af(x)+bg(x))=ad/dx(f(x))+bd/dx(g(x))。

2. 乘法法则：对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x)g(x))=f(x)d/dx(g(x))+g(x)d/dx(f(x))。

3. 链式法则：对于任意两个函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(g(x)))=f'(g(x))d/dx(g(x))。

4. 反函数法则：对于任意一个可逆函数f(x)，有d/dx(f^-1(x))=1/d/dx(f(x))。

5. 常数函数法则：对于任意一个常数c，有d/dx(c)=0。

6. 幂函数法则：对于任意一个正整数n，有d/dx(x^n)=nx^(n-1)。

7. 指数函数法则：对于任意一个正实数a，有d/dx(a^x)=a^xlna。

8. 对数函数法则：对于任意一个正实数a，有d/dx(loga(x))=1/(xlna)。

总结一阶微分算子是微积分中的重要概念，它可以用来描述函数的变化率和斜率。

一阶微分算子具有线性性、乘法法则、链式法则、反函数法则、常数函数法则、幂函数法则、指数函数法则和对数函数法则等性质。

奇异积分在数学中的应用奇异积分是数学中一类独特的积分，它涉及到一些比较特殊的函数形式，因此在数学领域中有着广泛的应用。

本文将从奇异积分的定义和性质入手，探讨其在数学中的一些重要应用。

一、奇异积分的定义和性质奇异积分可以简单地理解为形如 $\int_a^b f(x)g(x)dx$ 的积分，其中 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是连续函数，且 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上有无穷或者发散的某些奇异点。

例如，当 $g(x)$ 在 $x=c$ 处有一个一阶极点 $\frac{1}{x-c}$ 时，我们称 $g(x)$ 在 $x=c$ 处是一个奇异点。

当 $g(x)$ 在某些点奇异时，积分 $\int_a^b f(x)g(x)dx$ 可能无法直接求解，需要采用奇异积分的特殊技巧来求解。

其中一种常用的技巧是奇异点消去法，即将 $g(x)$ 在奇异点处做泰勒展开，然后将其与 $f(x)$ 相乘得到一个新函数，这个新函数是在奇点处解析的，可以通过普通的积分方法求解。

奇异积分有一些特殊的性质，其中最重要的性质是 Cauchy 主值积分。

当 $g(x)$ 在 $x=c$ 处存在奇异点时，积分 $\int_a^bf(x)g(x)dx$ 的 Cauchy 主值定义为：$$\text{p.v.}\int_a^b f(x)g(x)dx = \lim_{\epsilon\to0^+} \int_a^{c-\epsilon} f(x)g(x)dx + \lim_{\epsilon\to0^+} \int_{c+\epsilon}^bf(x)g(x)dx$$当 $\text{p.v.} \int_a^b f(x)g(x)dx$ 存在时，我们称奇异积分$\int_a^b f(x)g(x)dx$ 可积，否则称其发散。

二、奇异积分在微积分中的应用奇异积分在微积分中有着重要的应用，尤其是在求解某些复杂函数的积分时。

其中最为典型的例子是柯西主值积分定理，它用于求解具有简单极点的复杂函数积分。

用同伦摄动法求解第一类超奇异积分方程汪菊玲;汪文帅【摘要】大量的物理学问题和工程问题等都可以用超奇异积分方程描述,但此类方程解析解的求解非常困难.因此相关领域的研究者将其目光投向了对其数值解的研究上.文中采用同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程,并运用数值算例验证了所用方法的有效性,最后将该方法应用到了断裂力学问题的求解中,且将得出的裂纹尖端应力强度因子的解与其解析解进行对比.由对比结果可知该方法在求解含裂纹的断裂力学问题时是非常有效的.%A large number of physical and engineering problems can be described by hypersingular integral equations,but it is difficult to solve the analytical solutions of suchequations.Therefore,researchers have paid their attentions to study the numerical solutions of the hypersingular integral equations.In this paper,the hypersingular integral equation of the first kind is solved by the homotopy perturbation method,and the numerical examples are used to verify the validity of the method.Finally,the method is applied to solve the fracture mechanics problem,and the value of the stress intensity factors of the crack tips is given.The comparison between the numerical solution and the analytical solution shows that the homotopy perturbation method is very effective in solving the fracture mechanics problems with cracks.【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】5页(P38-41,47)【关键词】同伦摄动法;超奇异积分方程;裂纹;应力强度因子【作者】汪菊玲;汪文帅【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021【正文语种】中文【中图分类】O175.5超奇异积分方程是一种具有高阶奇异性的积分方程，发展很缓慢，但其广泛地应用在物理和工程问题中，如数学物理方程中的水波散射[1]和断裂力学[2—3].超奇异积分方程的解析解很难求解，甚至有些超奇异积分方程的解析解不能求解，因此高精度的超奇异积分方程数值解法受到了很多学者的关注.就超奇异积分方程的数值解而言，Golberg[4]使用伽辽金方法和配置法求解了超奇异积分方程.Mandal等[5]采用Chebyshev多项式逼近法求解了边界值为零的第一类超奇异积分方程的数值解.Mahiub等[6]采用Chebyshev多项式逼近法求解了第一类超奇异积分方程的数值解.Chen 等[7]对文献[5]中传统的方法进行了改进，使其更适用于求解第一类超奇异边界积分方程.秦彪[8]采用改进的线元配置法，求解了第一类超奇异积分方程的数值解，但其精度并不高.同伦摄动法是将同伦技术与摄动技术相结合，将复杂问题简单化而得到的一种新的摄动理论.1998年，何吉欢[9]首次提出了同伦摄动法,与传统的摄动方法不同，它不依赖于小参数，而是通过构造一个含嵌入参数的方程来解决问题.从常微分方程[10]到偏微分方程[11]，同伦摄动方法的应用很广泛，可以应用于由微分[11]、积分[12]、积分微分[13]等形式组成的线性、非线性方程(方程组)描述的数学物理模型的问题中.为了提高同伦摄动的效率，很多学者对同伦摄动法进行了改进.Javidi 等 [14]为了获得非线性Fredholm 积分方程的近似数值解，给扰动方程添加了嵌入参数.Eshkuvatov等[15]采用改进的同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程，只讨论了具有二阶奇异性的情况.基于此，本文讨论具有更高阶奇异性的第一类超奇异积分方程，采用同伦摄动法求解了此类方程的数值解，并用该方法求解了含裂纹的断裂力学问题.1 同伦摄动法求解超奇异积分方程考虑如下的超奇异积分方程p≥1，p∈R+, -1<x<1,(1)其中：φ(x) 是关于x的未知函数；K(s,t)和L1(s,t)是D={(s,t)∈R2|-1≤s,t≤1}上的平方可积核.假设K(s,t)=c0+(t-x)pK1(x,t)，K1(x,t)=Q(x)+(t-x)Q1(x,t)，其中c0是非零常数，Q(x)是光滑函数，K1(x,t)和Q1(x,t)是平方可积核.根据超奇异积分方程主部分析的结果，方程(1)的解可以表示为[15](2)其中u(x)为[-1,1]上待求解的有界函数.将(2)式代入(1)式可得p≥1, p∈R+, -1<x<1,(3)其中L(x,t)=Q1(x,t)+L1(x,t).由文献[16]可知p≥1, p∈R+, -1<x<1.(4)令p≥1, p∈R+,则有从而第一类超奇异积分方程(3)可以写成算子形式：Hp+1u+Cu+Lu=f.(5)对于方程(5)，在凸同伦的形式下做一摄动，可得H*(v,θ)=(1-θ)(Hp+1v-u0)+θ(Hp+1v+)(Cv+Lv-f),(6)其中θ∈[0,1]是同伦参数，u0是方程(1)满足初始条件的初始近似值.显然有Hp+1v-u0=0, Hp+1v+Cv+Lv-f=0.(7)易知，θ从0到1的变化过程正好是u0(x)到u(x)的变化过程.相应地,也是H*(v,θ)从Hp+1v-u0变到Hp+1v+Cv+Lv-f的过程，即Hp+1v-u0和Hp+1v+Cv+Lv-f是同胚的，这正是同伦理论中的变形.根据摄动理论，H*(v,θ)=0的解v可以表示为同伦参数θ的幂级数形式:(8)将(8)式代入H*(v,θ)=0可得(9)对于方程(9)，两端分离出θ的同幂次项，即Hp+1(v0)=u0,Hp+1(v1)=f-u0-Cv0-Lv0,Hp+1(vk)=-Cvk-1-Lvk-1, k≥2.(10)根据Hφn(x)=-c0(n+1)φn(x),φn+1(x)-φn-1(x)),φn2(x)dt=1,n=0,1,…, (11)其中(x)是第二类切比雪夫多项式.通过迭代法，可以得到方程(1)的解(12)其逼近解可以表示为(13)2 数值算例例1[7] 考虑超奇异积分方程:(14)其精确解为令N=10，用同伦摄动法和配置法[17]求解方程(14)，其精确解与数值解的绝对误差见表1.表1 方程(14)数值解与精确解的绝对误差x配置法[17]本文同伦摄动法0.96598.330×10-178.330×10-170.86601.665×10-161.110×10-160.70711.665×10-165.550×10-170.50002.220×10-165.550×10-170.25883.053×10-161.390×10-1702.090×10-161.513×10-16-0.25881.527×10-162.220×10-16-0.50001.665×10-161.388×10-16-0.70715.550×10-171.110×10-16-0.866000-0.965900例2[15] 考虑超奇异积分方程：-1<x<1,(15)其精确解为令N=10，用同伦摄动法和配置法[17]求解方程(15)，其精确解与数值解的绝对误差见表2.表2 方程(15)数值解与精确解的绝对误差x配置法[17]本文同伦摄动法0.96592.220×10-162.220×10-160.86604.440×10-166.660×10-160.70711.443×10-156.660×10-160.50001.776×10-158.880×10-160.25882.220×10-151.110×10-1501.998×10-159.990×10-16-0.25882.109×10-153.330×10-16-0.50001.776×10-150-0.70711.332×10-151.110×10-16-0.86606.940×10-167.490×10-16-0.96594.720×10-163.330×10-16由以上2个算例易知：用本文的同伦摄动法求解方程(14)～(15)时，其数值解与精确解的绝对误差比用配置法[17]求解的小，从而验证了同伦摄动法求解第一类超奇异积分方程的可行性和有效性.3 求解含裂纹的断裂力学问题在数学模型中，许多断裂力学问题都可以化为超奇异积分方程[18—19]，因此,断裂力学问题的求解都可以归结为求解超奇异积分方程.考虑一对等长的处于无限大各向同性弹性体中的共面裂纹问题，a<|x1|<b，x2=0.在裂纹表面的应力边界条件下，该裂纹问题可归结为求解一组以未知裂纹面位移尖端表示的超奇异积分方程[17]：(16)式中ω[1](y)=S(t)=-1，λ和μ是Lame常数，r(y)是待求函数.运用同伦摄动法将超奇异积分方程组(16)化为线性代数方程组，可求得裂纹面位移尖端函数r(y)的值，进而可以求得裂纹尖端(a,0)和(b,0)两点处无量纲应力强度因子的数值解.对于该例子，取b-a=2，s1=s2=1和μ(λ+μ)/(λ+2μ)=1，每个裂纹上取10个插值点.为了考察裂纹尖端面对应力强度因子的影响，取的不同值，分别对应力强度因子进行计算，并与其解析解[20]做比较，结果见表3.由表3可知，当2a/(b-a)=0.01 时，应力强度因子的数值解与精确解的差别很明显，尤其在内置裂纹尖端(a,0)处.当2a/(b-a)的值越接近裂纹内部时，同伦摄动法求解的应力强度因子的数值解与精确解[20]的绝对误差越小，从而验证了该方法的可行性.表3 本文用同伦摄动法计算的应力强度因子的数值解与文献[20] 中相应的解析解的比较2ab-a2K1(a)s2π(b-a)2K1(b)s2π(b-a)0.010.010.200.300.402.9993161.207856本文方法3.0044151.205812文献[20]1.4914301.122038本文方法1.4914281.122037文献[20]1.2802991.091073本文方法1.2802981.091073文献[20]1.1922951.073012本文方法1.1922951.073012文献[20]1.1434541.060712本文方法1.1434541.060712文献[20]4 结论本文用同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程.通过数值算例和对实际问题的求解可知，对于第一类超奇异积分方程的求解，同伦摄动法是一种非常有效的高精度数值计算方法.参考文献：[1] KANORIA M, MANDAL B N. 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第一类积分方程
第一类积分方程是微积分中的一类重要问题，它包括一些特殊形式的微分方程，可以通过积分的方式求解。

这类方程的一般形式为
dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。

这里的关键在于，当f(x,y)是关于y的函数时，我们可以将其看作是一个变量分离的微分方程，从而通过一系列的积分求解。

第一类积分方程的解法有多种，其中最常见的方法是欧拉方法和变换方法。

欧拉方法是通过变量代换将方程化为变量分离的形式，进而通过求解积分得到通解。

变换方法则是通过变换将方程化为可直接积分的形式。

当我们已经求得了方程的通解后，我们还需要考虑初值条件。

一个初值条件就是在自变量x的某个取值下，因变量y的取值。

通过将通解代入初值条件，我们就可以求出特定的解。

第一类积分方程的应用极为广泛，涉及到物理学、工程学、经济学等众多领域。

例如，我们可以将一些自然进程、经济过程、工程问题等都转化为微分方程，并通过积分求解得到它们的解析式。

这样，我们就可以在理论上预测出这些过程的发展趋势，并为实际问题的解决提供指导。

总之，第一类积分方程是微积分中的重要问题。

在实际应用中，我们需要掌握其解法和应用，以便为科学研究和工程设计提供理论支撑。