一类离散型奇异积分算子

１ 预 备 知 识
设Ｒ 是具有通常范数 Ｉ Ｉ 的７ ２ 维欧氏空间， 单位球面为 Ｓ 一｛ Ｅ Ｒ ” ： ｌ ｚ Ｉ ＝ ＝ ＝ １ ） ， ， …， 是固定实
数． 对 于 每个 固定 的 ｚ一（ ｚ ， …， ｚ ）Ｅ Ｒ ， 函数 Ｆ（ ｘ， 』 Ｄ ） 一 ２是关 于 Ｉ Ｄ （ Ｐ ＞。 ）的
文 献 标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ １
到 了相 应 的结 果 ， 从 而 推 广 了 已有 结 果 ．
关 键 词 ：粗 糙 核 ；奇 异 积 分 算 子 ； Ｔｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ空 间
中 图分 类 号 ： Ｏ １ ７ ７ ． ６
设 Ｋ（ ｚ ）Ｅ Ｌ （ Ｒ ” ） 是定义在 Ｒ 上有紧支集的函数， 满足 Ｉ． Ｋ（ ） ｄ ｘ一０ ， 且存在某个 。 ＞０ ， 使得
Ｋ（ ）ｌ ≤ ｃ Ｉ ｌ 一 。 ．
对 每个 整数 ， 记
Ｋ （ ｚ）一 ２ － ￣ ａ Ｋ（ Ａ２
一
（ １ ）
一
个 严格 递减 函数 ， 因
此 存 在唯 一 』 ０ ： ： ： Ｊ Ｄ （ ） ， 使得 Ｆ（ ｘ， ｌ Ｄ ） 一１ ． 定义 ｌ ０ （ ｚ） 一ｔ 且Ｐ （ ０ ） 一０ ， 由文献 １ － １ ］知 ｌ ０ 是Ｒ 中的距 离 ， 且（ Ｒ ， Ｐ ）
称 为关 于 ｛ ｝ ？ 一 的混 合齐性 空 间．
Ｖｏ １ ． ４ ２ ＮＯ ．１
Ｊ ａ ｎ ．２ ０ １ ３
一
类 算 子 在 Ｔｒ ｉ ｅ ｂ ｅ ｌ — Ｌ ｉ ｚ ｏ ｒ ｋ ｉ ｎ 空 间 的 有 界 性
李 晓 冬 ，牛 耀 明

一
些相 关不 等式．
设 ＞ ０，定 义如 下 的 一 种 Ｈｉ ｅ ｔ型 奇 异 重 积 分 算 子 ： ｌ ｒ ｂ
（ 一 Ｔ ）Ｊ （ ．
收稿 Ｅ期 ：２ ０ ｌ ０ ７—０ —２ ６ ９
妇
∈ 霹
（ ３）
基金项 目；广东省高校 自然科学研究重点资助项 目（５０６ ； ０Ｚ ２） 广东省 自 然科学基金 资助项 目（６００３ ０３１０ ）
式茬调和分析等分析学科 中有重要应用 ， 是基础的重要不等式．近年来 ， ｌｅ 算子及相关不等式 的研究 Ｈｉ ｒ ｂｔ
已取得 许多有 价值 的成果 ．
本 文将 引入 一个带 参数 的 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ 型奇异重 积分 算子 ， 讨论其 范数 问题 ．作 为应用 ， 出其 等价 式及 ｂ 并 导
摘要 ： 引入 带参 数 的 Ｈｉ ｅｔ 奇 异 重 积 分 算 子 ： ｌ ｒ型 ｂ
， ）Ｊ ）＝ （
的等 价 形 式 ． 关 键
｝ 如 Ｙ 融 — ∈
其 中 ｌ ＝ （ ＋ … ＋ ） （ ＞ Ｏ ．研 究 了 ｌ Ｘ 硝 －ａ ｙ ） 的 一 种 有 界 性 问 题 并 求 出 其 范 数 ．作 为 应 用 ， 研 究其 涉及 内积 还
。 （ ｄ ｚｄ ） 。 、
ｏ
＜ ２ｑ ２１ ￣ｇ（） ㈤ｄ 、（＋ 一 ） ～） × ｔ１２尸 ～ １ 『 Ｐ （ ＋ — （） － ］ －２ １ －
（ ） （ ）中 的常数 因子都 是最 佳 的．当 一 １时 ，（ ）与 （ ） 为著 名 的 Ｈｉ ｅｔ 不 等式 ．Ｈｉ ｅｔ １ ，２ １ ２成 ｌ ｒ类 ｂ ｌ ｒ 不等 ｂ
一 １ ｆ ｆ ｌ
，．
ｒ 。 — 。Ｊ

Ａｂｓｒ ｃ ： Ａ ｅ ｆｔｅ ｒ ｆｓｎ ｕｌｒｉ ｔｇ ａ ｐ ｒ ｔ ｒ ｓｅ ｔｂ ｉｈ ｄ，ｗｈ ｃ ａ ｅ ｎ ａ ｈ ｄ ｌ ｔａ ｔ ｓ ｔｏ ｈ ｏ ｙ ｏ ｉ ｇ ａ ｎ ｅ ｒ ｌｏ ｅ ａｏ ｓ ｉ ｓａ ｌｓ ｅ ｉ ｈ ｃ ｎ ｂｅ ｓ ｅ ｓｔ ｅ ｍｉ ｄ ｅ ｃａ ｓ ｂ ｔ ｅ ｈ ｌ ｓ ｉａ ｉｇ ｅ・ａ ａ ｔ ｒｓｎ ｕｌｒ ｉ ｔｇ ａ ｐ ｒ ｔｒ ｎ ｈ ｈｉｐ ｒ ｍｅ ｅ ｒ ｄ ｃ ｌ ｓ ｅｗｅ ｎ ｔ ｅ ｃａ ｓｃ ｌ ｓｎ ｌ・ ｒ ｍｅｅ ｉ ｇ ａ ｎ ｅ ｒ ｌｏ ｅ ａｏ ｓ ａ ｄ ｔ ｅ ｍｕ ・ ａａ ｔｒ ｐ ｏ ｕ ｔ ｐ －
ａ ｄｔ （ ｎ ｅＵ Ｐ＞ １ ｏ ｎ ｅ ｎｓ ｂａ ｅ ｙｔｅｃ ｓｉ ｌ ｅｈｄｏ ｉｌ ｏｄＰ ｌ —ｔｉ ｔｅｒ． ｈ ）ｂ ｕ ｄ ｄ ｅｓｉ ｏ ｔ ｎ ｄｂ ｌ ｓ ａ ｍ ｔｏ ｆ ｔｅ ｏ —ａｅ Ｓ ｎ ｈ ｏ ｓ ｉ ｈ ａ ｃ Ｌ ｔｗ ｙ ｅ ｙ
法 得 到 的 。一 般 的 （ Ｐ＞１ 有 界 性 是 利 用 经 典 的 Ｌｔｅ ｏｄＰｌ —ｔ ｎ 论 和 方 法 得 到 的 。 ） ｉｌ ｏ —ａｅ Ｓ ｉ 理 ｔｗ ｙ ｅ
关键 词 ：基础数学； 傅里叶分析；奇异积分算子
中图分类 号 ：Ｏ７ １ ４
文献标 志码 ：Ａ
文章 编号 ：０２ — ５９（０２ ５ ０５ — ５ ５９ ６７ ２１ ）０ — ０８ ０
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ： ｆ ｕ ｄ ｔｏ ｓｏ ｔ ｅ ｔｃ ；Ｆｏ ｉｒａ ａｙ ｉ ；ｓｎ ｌｒｉ ｔｇ ａ ｐ ｒ ｔ ｒ ｄ ｏ ｎ ａｉ ｎ ｆｍａｈ ｍａｉ ｓ ｕｒｅ ｎ ｌ ｓｓ ｉ ｇ ａ ｎ ｅ ｒ ｌｏ ｅ ａｏ ｕ

关于一类交换子的加权不等式
蓝家诚
【期刊名称】《数学杂志》
【年(卷),期】1996(016)001
【摘要】本文考虑了带有仿Ｌ＾ｑ－Ｄｉｎｉ奇异积分核的卷积算子的交换子的加权不等式，得到两个主要结果，从而在某种意义上推广了ＳｔｅｖｅｎＢｌｏｏｍ「２」的结果。

【总页数】9页(P30-38)
【作者】蓝家诚
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O177.6
【相关文献】
1.分数次积分交换子的加权不等式 [J], 李文明;张雅静;默会霞
2.广义分数次积分算子交换子的Coifman型加权不等式 [J], 闫雪芳;李文明
3.一类Calderón-Zygmund型算子的交换子加权不等式 [J], 熊鹏;郑雄军
4.一类新的交换子的加权不等式 [J], 蓝家诚
5.一类粗糙奇异积分算子交换子的加权不等式 [J], 郭景芳;冯文莉;薛丽梅;张东凯因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

及 相应不 等式 ． 此 ， 为 引入 如下 记号 ： 设 （ ）是 非
负 可测 函数 ， 记
Ｌ （， 。 ＝ ｛ ０ Ｉ ｌ 一 ０ ＋。） 厂≥ Ｉ ｌ ｆ｝
．一０ ａ ，ｆ － ， ｙ Ｊ ｍ １ Ｖ ） ） ｄ Ｘ
Ｙ∈ （ ０，＋ Ｄ ， 。） （） １
一
Ｊ ａ ，… ｒＪｍ ｙ ≤ ０ ｘ ａ ０ ｛ ｝ 加』／ ｄ古 ｄ古 ｓ （ （’ｃ ．， ｃ ）』ｇｙｙ ｃ 。 ．）
其中， ｆ≥ ０ ｇ≥ ０ Ｊ ∈ Ｌ （ ， Ｄ ）ｇ ∈ Ｌ （ ， ， ， ０ ＋ 。 ， ０ ＋ 。 ） 由于 （ ） ３ 中的常数 因子 （ ） 。， ２ 和（ ） 加 和 ｐ ｑ是 最佳 的 ， 于是可 知 ， 相应 的 Ｈｉ ｅｔ ｌ ｒ积分 算子 Ｔ满 足 ｂ
摘 要 ：定 义 带 参 数 和
的 积 分 核 下 的 Ｈｉ ｅ ｔ型 奇 异 积 分 算 子 ｌ ｒ ｂ
．（ ） ） 一 ＿（ 厂
Ｊ 一ｆ ｒ ・ ， ．
。
，』 ｄ （ ）
∈ （ ， ）研 究 了 ． （ （ ， 。 ＋ ， 的 了 。 ＋ ） ， （ ， ） 有 界 性 问题 ， 。＋ ） ）１ （ ＋ 一ａ ） ． 用 此 范 Ｉ ， ）） ｒ （ｑ 向 （ｄ ， 口 古
件 一
．
（ １＋ 一 ｐ） 一 ｂ （ １一 ＋ ｐ 一 ｂ ）
。
（ ｆ南 ｊ ’。 ｏ
筹 出 ） ｇ ＝ ｃ 古
引理 ２ 设 户＞ １ ， ｌ＋Ｌ ＝ ｑ
—
１ 口 ∈ Ｒ， ＞ １＋ ，
（ （ Ⅲ ｄ Ｉ ６ ））。 ｒ （ ， ｆｘｘ ． ，） （ Ｐ
（ ０
（ ）＜ 。 ， 删 ＋。 ｝

同时 ，对任 何 １ ≤ｍ， 一， ，＇ ≤ｋ Ｙ Ｙ ＹＥ ｋ
≤ ≤
（） １
有
，《 ．， ≠ 『 ≠
。
Ｊｍ Ｉｋ １ｙ’ ｙ …，， ， ） Ｋ ；， Ｙ １ ， ｙ） Ｈ ｄ ｃ （ ） Ｉｙ Ｋ ；， ｙ … Ｙ 一 （ ｙ …，一ｙＹ １ Ｉ１ ｋ 乃≤ ２ Ｉ ｍ Ｙ２－ （ １ ｍ ， ，，＋…， ｄ ｘ ＞ｋ Ｉ ａ －￣ ｘ
第０１卷 第 ２期 ２ｌ １ ０年 ４月
Байду номын сангаас
信 息 工 程 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｏ ｍａｉｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｆＩ ｆ ｒ ｔｏ ｇ ｎ ｅ ｉ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ
Ｖ０ ．１ １ １ Ｎｏ ２ ． Ａｐ ． ０１ ｒ２ ０
极 大 多 线 性 奇 异 积 分 算 子 的有 界 性
中 图 分 类 号 ：Ｏ ７ ．２ １４ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：６ １— ６ ３ ２ １ ） ２— １７— ５ １７ ０７ （００ ０ ０３ ０
Ｂｏ ｎｄｅ ｅ ｓ ｏ ａ ｉ ａ ｐｅ ａ ｏｒ ｆ ｒ Ｍ ｕｌｉ ｎ ａ ｎｇ ｌ ｒ Ｉ ｔ ｇ ａ ｓ ｕ ｄｎ ｓ ｆＭ ｘ ｍ ｌＯ ｒ ｔ ｏ ｔｌ ｅ ｒ Ｓｉ ｕ ａ ｎ ｅ ｒ ｌ ｉ
．
Ｋ ｅ ｒ ｓ： ｍ ａ ｄｅ ｙ ｅ ｅ ｕ ａ ｉ ｃ ｎ ｉｉｎ； ｍ ｕ ｉｉ ｅ ｒ ｓｎ ｕ ａ ｎｔｇ ａ ｐ ｒ ｔｒ ； ｍａ ｉ ｌ ｙ ｗｏ ｄ Ｈｒ ｎ ｒ ｔｐ ｒ ｇ ｌ ｒｔ ｏ ｄ ｔｏ ｙ ｈ ｌｎ ａ ｉ ｇ ｌｒ ｉ ｅ ｒ ｌｏ ｅ ａ ｏ ｓ ｘ ｍａ
子 可 以延 拓为 从 （ ）×… ×Ｌ 爬 到 ‰（ ）

ｅ ’ （ｔｆｅ ，ｆ — （ ｔ ＜ｏ一 ）） Ｏ ） ＂ Ｖｄ ｖｄ （，
成立 （（力 ｖ（表示 于ｔ 阶导数 ）那么就 有 ： ” 的一 。
ｕ ，ｌ ００ （ ｔ∞＝ ，＜ｔ ｘ）
和如下初 始条件 ： ｕｘ ｒ ，∈Ｑ （， ＝ ｏ ） ） 正方形 区域Ｑ的边界 。
在这一节里 ， 我将用关于时间连续的 Ｌ ｇｎ ｒ ｅｅｄ ． ｅ Ｇ ｌｋｎ谱来逼 近（ ） （ ） ａ ｒｉ ｅ １一 ３ 的解 ， 蹴 向半离散 近 似船为“ ：Ｏ ） Ｑ ， ［， 一 ∞ ） 其中Ｐ Ｑ 是边界上为 ０ ） 的脓 多项 式空间 ，１ ） （ ３ 的半离散格 式可写成 如 Ｈ 下 形式 ：
式中： —－啪 拉普拉斯变换。 Ｊ
证 明见 文献 ［】 １。
ｅＩ
：
专Ｉｌ ｅｌ Ｉ Ｉ Ｊ ￣ ‰ 峙 刑 ｄ ｔ
（ ０ １）
为了分析其 稳定性 ， 我们再 介绍定义在 ［， ］ ０ ｏ 的 ０
函数 Ｕ 的拉普拉斯变换 ：
对（ ） ４两端应用拉普拉斯变换结合（ ） ： ６得
关键词 ： 积分微分 方程 ； 配置方 法； 偏 谱 稳定 性 中图分类号 ： ７ ．１ ０１ ５ ２ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ９８ ８ （ ０ ８ ０ ．０ ３０ １ ０ －９ ４ ２ ０ ）３０ ８ ．２
口 （ ［（ １Ｏ ｌ∈０ ｏ ｜， ｏｔ ） ）， （ ｏ， ｃ） ａ－ ｕ ｄ， ，） ＝
模 型及带 有记忆功 能的热传 导物质 。
我们先定义正交投影算子： ： ） ） 三Ｉ Ｑ ， Ｑ 一尸 Ｐ 是边界上 为 ０的Ⅳ 多项式空 间 。 次
（－ ， ， ＝ ， Ｑ） Ｅ （ ｖ Ｐ， ）ｏ ∈ ｖ ．ｖ Ｈ Ｑ） （） ４

Ｍ Ｓ ２０ ０： Ａ２ Ｃ １ ３１ ５
１ 定 义
令 ｂ∈ Ｂ ＭＯ（ ， ， Ｒ ） Ｔ为 Ｃ ｌ ｅｏ？Ｚ ｇ ｎ ａｄ ｒ — ｙ ｍｕ ｄ算 子． ｂ和 Ｔ生 成 的交换 － Ｅ ， ３定 义为 ｚ 由 Ｔ ｂｒ － － Ｅ ， ］ （ ）一 ６ ｚ Ｔ ｚ 一 Ｔ（ｆ （ ） ｂ丁 ＿ｚ 厂 （ ） ｆ（ ） ｂ ）ｚ ．
关键 词 ： 异 积分 ； 奇 多线性 交换 子 ； ＭＯ 空 间 ； ｒｙ空 间 ； Ｂ Ｈａｄ 齐型空 间
中图分类 号 ： １４３ Ｏ ７ ． 文 献标 志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ０ １ ６ （ ０ １ ０ － ０ ２ － ０ １０ — ５５ ２ １）２ １６ ４
Ｂｏ ｎ ｅ ｎ ｓ ｏ ｕ ｔｌｎ ａ ｍ ｍ ｕ ａ ｏ ｆ Ｓ ｎｇ ｌ ｒ ｕ ｄ ｄ ｅ ｓ ｆ ｒ Ｍ ｌｉｉ ｅ ｒ Ｃｏ ｔ ｔ ｒｏ ｉ ｕ ａ Ｉ ｅ ｒ ｌｉ ｒ ｙ ｏ ｐａ ｅ ｆ Ｈｏ ｏ ｅ ｏ ｓ Ｔｙ ｎｔ ｇ ａ ｎ Ｈａ ｄ ｎ Ｓ ｃ ｓ ｏ ｍ ｇ ｎｅ ｕ ｐｅ
ＳＨＩ ａ — ｏ ， ｎ ｇｕ ＺＨＯ Ｕ Ｍ ｅ ｇ ＹＡＮＧ ｎ —ａ ＳＨＩＹａｎ ｆ ｎ Ｊｉ ｎ 。。 Ｊｉｇ ｆ ， －ａ ｇ
（ ． ｌ ｇ ｆＭ ａ ｈ ｍ ａ ｉ ｓａ ｄ Ｃ ｍｐ ｔ ｒＳ ｉ ｎ ｅ Ｈ ｅ ｅ ｎ ｖ ｒ ｉ Ｂ ｏ ｉ ｇ ０ １ ０ Ｃｈ ｎ ； １ Ｃｏ ｌ ｅ ｏ ｔ ｅ ｔｃ ｎ ｏ ｅ ｕ ｅ ｃｅ ｃ ， ｂ ｉ Ｕ ｉ ｅ ｓｔ Leabharlann ， ａ ｄ ｎ ７ ０ ２， ｉ ａ
Ａｂ ｔ ａ ｔ （Ｈ ， ｓｒ ｃ ： Ｌ ） ｙｐ ｕｎ ｄｎｅ ｓ ｆ ｒ ｔ ｅ ｍ ｕｈｉｉ ａ ｏｍｍｕｔ ｔ ｒ ａ ｓ ｃａ ｅ ｔ ｈｅ ｓｎｇｕ ａ ｎ ｅ ｔ ｅ ｂｏ ｄｅ ｓ ｏ ｈ ｌｎｅ ｒ ｃ ａ ｏ ｓ ｏ ｉ ｔ ｄ ｗｉｈ ｔ ｉ ｌｒｉｔ—

注 据 献３ 定 令 （ ： ２ 根 文 Ｉ的 义 ） Ｊ ，
Ｉ一 １
，ｌ『， 知 Ｉ：７ 可 ， 满 条 （和 件 ７ 足 件１ 条 ） ）
（） ２。
下 给出多 眭 异积 子定 面 线． 奇 分算 义．
∽＝ ， ，
（
） 。
其 川（ ， 中
第２ 卷 第 １ １ 期 ２ １ 年３ ０ １ 月
洛 阳 理 工 学 院学 报 （ 自然 科 学 版）
Ｊｏ ｒ ａ ｆＬｕ ｙ ｎ ｎ ｔｔ ｔ ｆＳｃｅ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ａ ｕ ａ ｉｎ ｅＥｄｔｏ ） ｕ ｎ ｌ ｏ ａ ｇＩ ｓｉｕｅｏ ｉｎ ｅａ ｄＴｅ ｈ ｏ ｏ ｙ ｏ ｔ ｒ ｌ ｅ ｃ ｉｉｎ Ｓｃ
定 义１ 设０ （ 。 上 不 数， 足 为Ｒ ＝ ｏ。 非负 减函 若满 ，）
（ Ｋｘ ） 一 ｌ，≠ １ （ ｌ ）ｌ ， ≤ ｙ ；
（ ２ ）
（ ３ ）ｆ ＜。 。 。
（
ｘ （ 一 ≥ ； ）０ ｌ 一 ２
则Ｒ × ”｛， ：＝ ｝ 的 测函 （ ） 称 是 个０ 核。 ” Ｒ ＼ ） 上 可 数ｘｘ 被 为 一 型 （Ｙ ， 注 当Ｏ ） ｒ时 ￣ ａｅｎ ｙ ｕ 核 有 定 光 性 但 标 的 ａｅ ｎ ｙ ｕ １ （≠ ，０ Ｃｌｒ ｇ ｎ 虽 一 的 滑 ， 与 准 ｃＩｒ — ｇ ｎ ｔ ｄ ｏｚ ｍ ｄ ｄ ｏＺ ｍ ｄ
作者简介： 嵇哲（ ８－女， １ ５） 江苏淮安人， 主要从事调和分析方面的研究． ９ ， 硕士，
第１ 期
嵇 哲等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推广 的 型Ｃ ｌｅｏ －ｙ ｍｕ ｄ ａｄｒ ｎＺ ｇ ｎ 核的多线性奇异积分算子的有界性
７ ５

非齐型空间上奇异积分算子的加权不等式
在非齐型空间上，奇异积分算子的加权不等式是推动研究人员发现数学世界的
神奇之旅的一个重要工具。

它可以帮助我们研究它的应用场景，可以深入剖析功能的优缺点，从而更有效地改善模型的准确性。

首先，空间上的加权不等式能够让我们预估空间上变量的各种值，从而实现动
态追踪非齐性空间上特定地方的状态变量，在多目标最优化中也得到广泛应用。

此外，奇异积分算子也能用来搜索给定实例的最佳解，计算复杂模型下的空间参数，或者基于奇异积分算子构建多元非线性方程组。

该算子还可用于表达的函数的解析求极，研究复杂系统的稳定性，以及考虑一些复杂函数特性的情况下评估优化算法的收敛性，使其具有显著的优势。

此外，研究表明，对于某些复杂模型来说，使用加权不等式可以有效应用，有
利于巩固其准确性。

此外，它也可以极大地提高运行效率，增强搜索结果的有效性，并降低计算成本。

总的来说，空间上的加权不等式给研究者带来了无限的可能性，可以帮助我们在实际应用中更加精准地模拟模型，更准确地估算变量的各种值，更有效地改善模型的准确性。

因此，在非齐型空间上的研究者们都会把加权不等式看作一张重要而又神奇的后路，来发现更多有趣的数学世界。

振荡奇异积分的一个权模不等式
胡国恩
【期刊名称】《数学进展》
【年(卷),期】1997(026)002
【摘要】本文证明；对于带多项式相函数的振荡奇异积分算子，权模不等式成立，其中ω是非负，局部可积的权函数，Ｍ＾ｋ表示Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏ
ｏｄ极大算子的ｋ次迭代，「ｐ」表示ｐ地整数部分。

【总页数】6页(P133-138)
【作者】胡国恩
【作者单位】北京师范大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O1722.
【相关文献】
1.多线性奇异积分算子的加权模不等式 [J], 彭国强;原新凤
2.广义Calderoen—Zygmund算子的一个权模不等式 [J], 赵凯
3.一类奇异积分算子的加权模不等式 [J], 赵凯
4.一类振荡奇异积分算子的加权模不等式 [J], 吴明龙
5.Theta(t)型振荡奇异积分的一个权模不等式 [J], 赵凯;王梅;王春杰
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720
吉 林 大 学 学 报 (理 学 版)
第 59 卷
∫ Tε,bf(x)=
(b(x)-b(y))K(x,y)f(y)dy.
x-y >ε
设 {ti}是 一 列 递 减 趋 于 0 的 正 数 序 列 ,文 献 [1]定 义 了 相 应 于 {Tε}的 振 荡 算 子 :
∞
(∑ ) O(Tf)(x)∶=
O′(Tbf2)(x)=‖U(Tbf2)(x)‖E =
∫{ } (b(x)-b(y))K(x,y)f2(y)dy
≤
ti+1< x-y <s
s∈Ji,i∈ ℕ E
∫‖{χ ℝ
{ti+1< x-y
} <s} u∈Ji,i∈ ℕ (y)‖E
Abstract:By meansoftheestimationonLp space,andbyusingAp weightinequalityandfunction decomposition method,wegavetheboundednessoftheoscillationandvariationoperatorsforthe commutatorsofthemultilinearsinglarintegralswithbounded meanoscillation (BMO)functionson theweighted Morreyspaces. Keywords:weighted Morrey space; multilinear singularintegral;oscillation operator;variation operator
给定正整数 m 和ℝ上的 m 阶可微函数b,用 Rm+1表示b(x)在y 点m 阶展开的 Taylor余项,即

算子范数定义及其应用一、算子范数的概念算子范数是一种衡量线性算子大小的范数，它是线性算子空间到实数集合的映射。

在数学中，算子范数是一种对于线性算子的度量，它可以用来衡量线性算子的大小，类似于向量的范数。

算子范数在数学分析、函数论、微积分等领域都有着广泛的应用。

二、算子范数的定义算子范数的定义可以分为以下三种：1、向量范数的推广算子范数可以看作是向量范数的推广，它将向量范数推广到了线性算子空间中。

在向量范数中，向量的范数是一个实数，它衡量向量的大小。

类比地，在线性算子空间中，算子的范数也是一个实数，它衡量线性算子的大小。

2、矩阵范数的定义算子范数还可以通过矩阵范数的定义来定义。

在矩阵范数中，矩阵的范数是一个实数，它衡量矩阵的大小。

类比地，在线性算子空间中，算子的范数也是一个实数，它衡量线性算子的大小。

3、极限定义算子范数还可以通过极限定义来定义。

设X是一个线性算子空间，f是X上的线性算子，p是一个实数，p≥1。

则f的p-范数定义为：‖f‖p = (sup{‖f(x)‖p | x∈X, ‖x‖=1})1/p其中，sup表示上确界，‖x‖表示向量范数。

三、算子范数的应用算子范数在数学分析、函数论、微积分等领域都有着广泛的应用。

以下是算子范数的一些应用：1、矩阵分析算子范数在矩阵分析中有着广泛的应用。

在矩阵范数中，算子范数可以用来衡量矩阵的大小。

例如，矩阵的谱范数就是矩阵的最大奇异值，它是一种非常重要的矩阵范数。

2、误差分析算子范数可以用来进行误差分析。

在数值计算中，误差是无法避免的，但是我们可以通过算子范数来衡量误差的大小。

例如，我们可以将误差向量的p-范数作为误差的度量。

3、优化问题算子范数在优化问题中也有着广泛的应用。

例如，在最小二乘问题中，我们可以通过算子范数来衡量误差的大小，从而得到最优解。

四、总结算子范数是一种衡量线性算子大小的范数，它是线性算子空间到实数集合的映射。

算子范数可以通过向量范数、矩阵范数和极限定义来定义。

毕业论文文献综述数学与应用数学利用傅里叶级数进行数列求和的方法一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）数列是数学中很重要的内容，很多事物的一些关系可以运用数列来表示，而数列求和是其很重要的内容之一。

数列求和的方法有很多：公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和等等。

但我们发现不是所有的数列都可以利用这些方法进行求和，因此我们就需要去寻找新的方法。

这时，我们不妨可以引入傅里叶级数来对某些数列进行求和。

傅里叶级数是一种特殊的三角级数，是由法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出的。

有了傅里叶级数，就可以在这个方向上对一类数列求和进行探讨。

傅里叶级数，即Fourier series ，定义作：如果一个给定的非正弦周期函数()f t 满足狄利克雷条件，它能展开为一个收敛的级数。

设f 是以2l 为周期的函数，通过变量置换xt l π=或ltx π=可以把f 变换成以2π为周期的t 的函数()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭。

若f 在[],l l -上可积，则F 在[],ππ-上也可积，这时函数F 的傅里叶级数展开式是：()01()~cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑， （1） 其中1()cos ,0,1,2,...,1()sin ,1,2,....n n a F t ntdt n b F t ntdt n ππππππ--====⎰⎰ （2） 因为x t l π=，所以()()lt F t f f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭。

于是由（1）和（2）式分别01()~cos sin 2n n n a n x n x f t a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑ （3） 与 1()cos ,0,1,2,...,1()sin ,1,2,....l n l l n l n x a f x dx n l l n x b f x dx n l lππ--====⎰⎰ （4） 这里（4）式是以2l 为周期的函数f 的傅里叶系数，（3）式是f 的傅里叶系数。

（ ）Ｊ
收 稿 日期 ：０ ０１－２ ２ １—１２
，
ｊＲ Ａｘ） ＝ ｊ， Ｉ Ｊ ，ｙ
一 ） ） （
基金项 目： 国家 自然科学基金 （０ ６ ０ ５ ； 东交通大学博 士启动基金 （ １０ ０ ７ １９ １ １ ）华 ０ ３ ６２ ）
作 者 简 介 ： 晓峰 （９ ０ ）男 ， 教 授 ， 士 ， 士 导 师 ， 究 方 向为 调 和 分 析 及 其 在 偏 微 分 方程 上 的应 用 。 叶 １８一 ， 副 博 硕 研
， ， 、
Ｉ ，冉 ≤ ｃ
上 的有 界性
。， ∞
说明：） １ 将参考文献【 中多次线性奇异积分算子在 Ｍ ｒ ｙ ７ ］ 。ｅ空间上的有界性推广到在广义 Ｍ ｒ ｒ 。ｆ空间 ｒ
２ 将参考 献ｆ 中 ） 将参考文献【 ８ 】 １
～ 一
４１ 的条件 ＞１ ． 的条件 ｐ 进行推广 ， 而当 ０ Ｐ 时， １ 医 则不能包含原有条件。 ＞ 进行推Ｊ ， 向当 ＜ ＜１ ， 、 尿 Ｆ ０。 ＜＜ 则／ 日 巴舀Ｊ 尔 ｜ Ｔ
式 中
ｌｌ ｌｌ ／
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要应 用 ， 随后许 多学 者都 开 始研 究此 理 论 ， 并获 得许 多 重要 的结 论 。对 于多 次线 性 Ｃ ｌｅ６．ｙｍｕｄ 子 ａｄｒｎＺ ｇ ｎ 算 文 献 【．］ ２３中做 了系 统 的 阐述 ， 在 文 献 【—】 且 ４５中研 究 了 ＨｅｚＭｏ ｅ 空 间上 的多 次线 性 Ｃ ｌｅ６．ｙｍ ｎ 算 ｒ． ｒ ｙ ｒ ａ ｒｎＺｇ ｕ ｄ ｄ

用同伦摄动法求解第一类超奇异积分方程汪菊玲;汪文帅【摘要】大量的物理学问题和工程问题等都可以用超奇异积分方程描述,但此类方程解析解的求解非常困难.因此相关领域的研究者将其目光投向了对其数值解的研究上.文中采用同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程,并运用数值算例验证了所用方法的有效性,最后将该方法应用到了断裂力学问题的求解中,且将得出的裂纹尖端应力强度因子的解与其解析解进行对比.由对比结果可知该方法在求解含裂纹的断裂力学问题时是非常有效的.%A large number of physical and engineering problems can be described by hypersingular integral equations,but it is difficult to solve the analytical solutions of suchequations.Therefore,researchers have paid their attentions to study the numerical solutions of the hypersingular integral equations.In this paper,the hypersingular integral equation of the first kind is solved by the homotopy perturbation method,and the numerical examples are used to verify the validity of the method.Finally,the method is applied to solve the fracture mechanics problem,and the value of the stress intensity factors of the crack tips is given.The comparison between the numerical solution and the analytical solution shows that the homotopy perturbation method is very effective in solving the fracture mechanics problems with cracks.【期刊名称】《宁夏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】5页(P38-41,47)【关键词】同伦摄动法;超奇异积分方程;裂纹;应力强度因子【作者】汪菊玲;汪文帅【作者单位】宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021;宁夏大学数学统计学院,宁夏银川 750021【正文语种】中文【中图分类】O175.5超奇异积分方程是一种具有高阶奇异性的积分方程，发展很缓慢，但其广泛地应用在物理和工程问题中，如数学物理方程中的水波散射[1]和断裂力学[2—3].超奇异积分方程的解析解很难求解，甚至有些超奇异积分方程的解析解不能求解，因此高精度的超奇异积分方程数值解法受到了很多学者的关注.就超奇异积分方程的数值解而言，Golberg[4]使用伽辽金方法和配置法求解了超奇异积分方程.Mandal等[5]采用Chebyshev多项式逼近法求解了边界值为零的第一类超奇异积分方程的数值解.Mahiub等[6]采用Chebyshev多项式逼近法求解了第一类超奇异积分方程的数值解.Chen 等[7]对文献[5]中传统的方法进行了改进，使其更适用于求解第一类超奇异边界积分方程.秦彪[8]采用改进的线元配置法，求解了第一类超奇异积分方程的数值解，但其精度并不高.同伦摄动法是将同伦技术与摄动技术相结合，将复杂问题简单化而得到的一种新的摄动理论.1998年，何吉欢[9]首次提出了同伦摄动法,与传统的摄动方法不同，它不依赖于小参数，而是通过构造一个含嵌入参数的方程来解决问题.从常微分方程[10]到偏微分方程[11]，同伦摄动方法的应用很广泛，可以应用于由微分[11]、积分[12]、积分微分[13]等形式组成的线性、非线性方程(方程组)描述的数学物理模型的问题中.为了提高同伦摄动的效率，很多学者对同伦摄动法进行了改进.Javidi 等 [14]为了获得非线性Fredholm 积分方程的近似数值解，给扰动方程添加了嵌入参数.Eshkuvatov等[15]采用改进的同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程，只讨论了具有二阶奇异性的情况.基于此，本文讨论具有更高阶奇异性的第一类超奇异积分方程，采用同伦摄动法求解了此类方程的数值解，并用该方法求解了含裂纹的断裂力学问题.1 同伦摄动法求解超奇异积分方程考虑如下的超奇异积分方程p≥1，p∈R+, -1<x<1,(1)其中：φ(x) 是关于x的未知函数；K(s,t)和L1(s,t)是D={(s,t)∈R2|-1≤s,t≤1}上的平方可积核.假设K(s,t)=c0+(t-x)pK1(x,t)，K1(x,t)=Q(x)+(t-x)Q1(x,t)，其中c0是非零常数，Q(x)是光滑函数，K1(x,t)和Q1(x,t)是平方可积核.根据超奇异积分方程主部分析的结果，方程(1)的解可以表示为[15](2)其中u(x)为[-1,1]上待求解的有界函数.将(2)式代入(1)式可得p≥1, p∈R+, -1<x<1,(3)其中L(x,t)=Q1(x,t)+L1(x,t).由文献[16]可知p≥1, p∈R+, -1<x<1.(4)令p≥1, p∈R+,则有从而第一类超奇异积分方程(3)可以写成算子形式：Hp+1u+Cu+Lu=f.(5)对于方程(5)，在凸同伦的形式下做一摄动，可得H*(v,θ)=(1-θ)(Hp+1v-u0)+θ(Hp+1v+)(Cv+Lv-f),(6)其中θ∈[0,1]是同伦参数，u0是方程(1)满足初始条件的初始近似值.显然有Hp+1v-u0=0, Hp+1v+Cv+Lv-f=0.(7)易知，θ从0到1的变化过程正好是u0(x)到u(x)的变化过程.相应地,也是H*(v,θ)从Hp+1v-u0变到Hp+1v+Cv+Lv-f的过程，即Hp+1v-u0和Hp+1v+Cv+Lv-f是同胚的，这正是同伦理论中的变形.根据摄动理论，H*(v,θ)=0的解v可以表示为同伦参数θ的幂级数形式:(8)将(8)式代入H*(v,θ)=0可得(9)对于方程(9)，两端分离出θ的同幂次项，即Hp+1(v0)=u0,Hp+1(v1)=f-u0-Cv0-Lv0,Hp+1(vk)=-Cvk-1-Lvk-1, k≥2.(10)根据Hφn(x)=-c0(n+1)φn(x),φn+1(x)-φn-1(x)),φn2(x)dt=1,n=0,1,…, (11)其中(x)是第二类切比雪夫多项式.通过迭代法，可以得到方程(1)的解(12)其逼近解可以表示为(13)2 数值算例例1[7] 考虑超奇异积分方程:(14)其精确解为令N=10，用同伦摄动法和配置法[17]求解方程(14)，其精确解与数值解的绝对误差见表1.表1 方程(14)数值解与精确解的绝对误差x配置法[17]本文同伦摄动法0.96598.330×10-178.330×10-170.86601.665×10-161.110×10-160.70711.665×10-165.550×10-170.50002.220×10-165.550×10-170.25883.053×10-161.390×10-1702.090×10-161.513×10-16-0.25881.527×10-162.220×10-16-0.50001.665×10-161.388×10-16-0.70715.550×10-171.110×10-16-0.866000-0.965900例2[15] 考虑超奇异积分方程：-1<x<1,(15)其精确解为令N=10，用同伦摄动法和配置法[17]求解方程(15)，其精确解与数值解的绝对误差见表2.表2 方程(15)数值解与精确解的绝对误差x配置法[17]本文同伦摄动法0.96592.220×10-162.220×10-160.86604.440×10-166.660×10-160.70711.443×10-156.660×10-160.50001.776×10-158.880×10-160.25882.220×10-151.110×10-1501.998×10-159.990×10-16-0.25882.109×10-153.330×10-16-0.50001.776×10-150-0.70711.332×10-151.110×10-16-0.86606.940×10-167.490×10-16-0.96594.720×10-163.330×10-16由以上2个算例易知：用本文的同伦摄动法求解方程(14)～(15)时，其数值解与精确解的绝对误差比用配置法[17]求解的小，从而验证了同伦摄动法求解第一类超奇异积分方程的可行性和有效性.3 求解含裂纹的断裂力学问题在数学模型中，许多断裂力学问题都可以化为超奇异积分方程[18—19]，因此,断裂力学问题的求解都可以归结为求解超奇异积分方程.考虑一对等长的处于无限大各向同性弹性体中的共面裂纹问题，a<|x1|<b，x2=0.在裂纹表面的应力边界条件下，该裂纹问题可归结为求解一组以未知裂纹面位移尖端表示的超奇异积分方程[17]：(16)式中ω[1](y)=S(t)=-1，λ和μ是Lame常数，r(y)是待求函数.运用同伦摄动法将超奇异积分方程组(16)化为线性代数方程组，可求得裂纹面位移尖端函数r(y)的值，进而可以求得裂纹尖端(a,0)和(b,0)两点处无量纲应力强度因子的数值解.对于该例子，取b-a=2，s1=s2=1和μ(λ+μ)/(λ+2μ)=1，每个裂纹上取10个插值点.为了考察裂纹尖端面对应力强度因子的影响，取的不同值，分别对应力强度因子进行计算，并与其解析解[20]做比较，结果见表3.由表3可知，当2a/(b-a)=0.01 时，应力强度因子的数值解与精确解的差别很明显，尤其在内置裂纹尖端(a,0)处.当2a/(b-a)的值越接近裂纹内部时，同伦摄动法求解的应力强度因子的数值解与精确解[20]的绝对误差越小，从而验证了该方法的可行性.表3 本文用同伦摄动法计算的应力强度因子的数值解与文献[20] 中相应的解析解的比较2ab-a2K1(a)s2π(b-a)2K1(b)s2π(b-a)0.010.010.200.300.402.9993161.207856本文方法3.0044151.205812文献[20]1.4914301.122038本文方法1.4914281.122037文献[20]1.2802991.091073本文方法1.2802981.091073文献[20]1.1922951.073012本文方法1.1922951.073012文献[20]1.1434541.060712本文方法1.1434541.060712文献[20]4 结论本文用同伦摄动法求解了第一类超奇异积分方程.通过数值算例和对实际问题的求解可知，对于第一类超奇异积分方程的求解，同伦摄动法是一种非常有效的高精度数值计算方法.参考文献：[1] KANORIA M, MANDAL B N. 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