多线性奇异积分算子的加权模不等式

多线性Hardy型算子在变指数Herz-Morrey乘积空间上的有界性武江龙; 张璞【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2013(000)002【总页数】11页(P154-164)【关键词】Hardy算子; 多线性算子; 变指数Herz-Morrey空间; 乘积空间【作者】武江龙; 张璞【作者单位】牡丹江师范学院数学系，黑龙江牡丹江157011【正文语种】中文【中图分类】O174.2自1975年Coifman和Meyer[1]研究了双线性奇异积分的有界性之后,多线性算子的研究得到了广泛关注(见[2-3]及相关文献).1920年Hardy[4]证明了Hardy积分不等式,此后众多学者对Hardy积分不等式和Hardy算子进行了深入的研究(如文[5-8]等).1995年,Christ和Grafakos[9]研究了如下定义的n维Hardy算子并建立了它们的交换子在Lebesgue空间和齐次Herz空间中有界的刻画.最近,武江龙等人[11-12]讨论了分数次Hardy算子交换子在Herz-Morrey空间的有界性.另一方面,由于变指数函数空间在流体动力学及具有非标准增长条件的微分方程等领域有着广泛的应用,近二十年来逐步受到人们的重视,调和分析中的许多经典算子在变指数函数空间中的有界性问题也得到了广泛研究(见[13-23]及相关参考文献). 近来,Izuki[15-16]在变指数Herz-Morrey空间中分别研究了向量值次线性算子和分数次积分的有界性.受上述工作的启发,本文的主要目的是研究多线性Hardy型算子在变指数Herz-Morrey空间的有界性.下面先给出多线性分数次Hardy算子的定义.定义1.1设m,n是正整数且m≥1,n≥2,向量值函数=(f1,f2,...,fm),其中fi(i=1,2,...,m)是Rn上的局部可积函数,0≤β＜mn.m-阶多线性分数次Hardy算子定义为显然,当m=1时,另外,当β=0时,分别用Hm和表示相应于Hardy算子H的多线性算子H0,m和相应于共轭算子H∗:=的多线性算子.在叙述主要结果之前,先回顾几个相关概念.设E是Rn的Lebesgue可测子集且|E|＞0.先给出变指数Lebesgue空间的定义. 定义1.2设q(·):E→[1,∞)是可测函数.变指数Lebesgue空间Lq(·)(E)定义为局部可积的变指数Lebesgue空间(E)定义为(E)='f是可测函数:对所有的紧子集K⊂E,有f∈Lq(·)(K)“.当赋予如下的范数时,Lq(·)(E)成为Banach空间,用P(Rn)表示Rn上满足以下条件的所有可测函数q(·):Rn→[1,∞)构成的集合,并用q′(·)表示q(·)的共轭指数,即:1/q′(x)+1/q(x)=1.设M为Hardy-Littlewood极大算子.用B(Rn)表示P(Rn)中所有使M在Lq(·)(Rn)上有界的函数q(·)构成的集合.下面给出变指数Herz-Morrey空间的定义.对任意的k∈Z,令Bk=B(0,2k)={x∈Rn: |x|≤2k},Ak=Bk\Bk-1.用χk=χAk表示Ak的特征函数.在下文中,对于Rn的可测子集S,用|S|表示S的Lebesgue测度,χS表示S的特征函数.用C表示与主要参数无关的常数,且其取值在不同的位置可以不尽相同.本节给出与主要结果相关的几个命题和引理.命题2.1[18]设q(·)∈P(Rn)且满足下列条件则有q(·)∈B(Rn).上述结论分别被Nekvinda[18]和Cruz-Uribe等[19]独立证得.下面的结论是属于Diening[20]的,实际上,Diening证明了Musielak-Orlicz空间中更一般的结果,这里只转述了本文需要的部分结论(见文[16]或[21]).命题2.2[20]若q(·)∈P(Rn),则q(·)∈B(Rn)当且仅当q′(·)∈B(Rn).设0＜β＜n,分数次积分算子Iβ定义为2004年和2007年,Diening[13]和Capone等[14]分别研究了Iβ在变指数Lebesgue空间中的有界性,下面的结果属于Capone等[14].命题2.3设q1(·)∈P(Rn)满足(1)和(2).如果0＜β＜n/(q1)+且q2(·)由下式确定则存在常数C＞0,对任意的f∈Lq1(·)(Rn),有为证明主要结果,还需要以下几个引理.由Hβ,2的定义及引理2.1中的(3),得令1/u(x)=1/q1(x)+1/q2(x),则1/q(x)=1/u(x)-β/n.注意到χBj(x)≤C2-jβIβ(χBj)(x) (见[16],p350),使用命题2.3及引理2.1中的式(4),得再利用(8)式,引理2.3和(5)式,可得从而定理得证.对相应于分数次Hardy算子的共轭算子H∗β的多线性算子,有下面对应的结论成立.定理3.2设i=1,2,...,m(m∈Z+,m≥1);qi(·)∈P(Rn)且满足(1)和(2),变指数q(·)由下式确定证不失一般性,仅考虑m=2的情形.当m∈Z+(m≥1)时可类似证明.当m=2时,有类似于(9)式,使用式(8),引理2.3和式(5),可得于是,由式(14)和(15),类似于(10)式有令1/v=1/p1+1/p2,则1/p=1/v-β/n,从而p＞v.利用式(16),式(11)和序列形式的H¨older不等式,类似于(12)式,可得由式(13)和条件αi＞λi+β/2-nδi2,得从而定理得证.对于n维Hardy算子H及其共轭算子H∗:=的多线性算子,也有类似于定理3.1和定理3.2的结论成立.定理4.1设i=1,2,...,m(m∈Z+,m≥1);qi(·)∈P(Rn)且满足(1)和(2),变指数q(·)由下式确定证只需对定理3.1和定理3.2的证明稍作修改.下面只给出(i)的证明思路,(ii)的证明与定理3.2的证明类似.不失一般性,仍考虑m=2的情形.由Hm的定义并使用引理2.1,类似于(7)式,得到其中最后一步用到了(5)中的第一个式子.接下来与定理3.1的证明完全类似,便可得到所要证的结果.略去证明的细节.注3另外,作者们在[25]中已经考虑了Hardy算子在m=1时的情形,而本文建立了Hardy型算子在m≥1时结论,所以本文推广了[25]的结果.【相关文献】[1]Coifman R,Meyer Y.On commutators of singular integrals and bilinear singular integrals[J]. 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第28卷㊀第3期2023年6月㊀哈尔滨理工大学学报JOURNAL OF HARBIN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY㊀Vol.28No.3Jun.2023㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性赵鹏飞,㊀毕淑娟,㊀刘振杰(哈尔滨学院信息工程学院,哈尔滨150080)摘㊀要:利用微分形式的Poincaré-Sobolev 不等式证明了当1<p <n 时复合算子T D G 的高阶L P 可积性,然后进一步讨论了p ȡn 的情形,获得了复合算子的高阶范数估计,并利用该结果对L p 可积微分形式证明了局部加权范数不等式成立㊂关键词:复合算子;高阶可积性;微分形式DOI :10.15938/j.jhust.2023.03.018中图分类号:O175.3文献标志码:A文章编号:1007-2683(2023)03-0144-05Higher Integrability of the Composite Operator T D Gfor Differential FormsZHAO Pengfei,㊀BI Shujuan,㊀LIU Zhenjie(School of Information Engineering,Harbin University,Harbin 150080,China)Abstract :We firstly prove the higher integrability of the composite operator T D G by using Poincaré-Sobolev inequalities when 1<p <n .Then further consider the case of p ȡn and obtain the higher order norm estimation of composite operators,by which theweighted norm inequality for L p integrable differential forms is proved.Keywords :the composite operator;higher integrability;differential forms㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀收稿日期:2021-11-08基金项目:黑龙江省自然科学基金(LH2020A015).作者简介:毕淑娟(1970 ),女,博士,副教授;刘振杰(1969 ),男,博士,副教授.通信作者:赵鹏飞(1981 ),男,硕士,E-mail:pengfeizhao81@.0㊀引㊀言近年来,随着对微分形式算子理论研究的展开,算子的有界性及其高阶可积性对研究拟正则映射和微分形式A -调和方程理论有十分重要的意义[1-8]㊂2009年,Ding 等[9-10]首先对同伦算子与投影算子的复合算子的奇异积分问题进行了研究㊂之后,Bi 等[11-13]对同伦算子及其复合算子的强(p ,q )型不等式进行了研究,证明了算子在加权L p 空间的有界性㊂近几年,Y.Xing [14]㊁H.Gao [6-7,15]㊁Y.Lu [16-17]和Y.Tong [18]等对算子的高阶可积性以及拟线性椭圆方程解的全局可积性进行了研究,取得了一系列丰富的成果㊂本文的主要目的是研究同伦算子T ㊁Dirac 算子D 和Green 算子G 的复合算子T D G 的高阶可积性,并进一步得到当p ȡn 时,复合算子的高阶L p 范数估计㊂为了方便,首先介绍一些符号和术语㊂设E ⊂ℝn 为一有界域,|E |为E 的Lebesgue 测度,n ȡ2㊂Λl (ℝn )表示定义在ℝn 上的l -形式全体所构成的空间㊂D ᶄ(E ,Λl )表示定义在E 上的所有可微l -形式所构成的空间㊂L p loc (E ,Λl)表示定义在E 上的系数局部可积的l -形式全体所构成的空间㊂1㊀预备知识Hodge 星算子定义为∗u =ð1ɤi 1< <i k ɤn(-1)σu i 1, ,i k (x )dx j 1Λ Λdx j n -k其中j 1< <j n -k ,(i 1, ,i k ,j 1, ,j n -k )为(1, ,n )的全排列,σ为全排列的逆序数㊂利用外微分算子d 和Hodge 星算子可以定义Hodge 上微分算子d ∗=(-1)nl +1∗d ∗,Dirac 算子定义为D =d +d ∗㊂同伦算子T 为T.Iwaniec 和A.Lutoborski 在证明Poincaré引理过程中引入的一个重要算子㊂对每个y ɪE ,首先定义一个线性算子k y :C ɕ(E ,Λl)ңC ɕ(E ,Λl -1)为(k y u )(x ;ξ1, ,ξl -1)=ʏ10tl -1u (tx +y -ty ;x -y ,ξ1, ,ξl -1)d t定义1㊀同伦算子T :C ɕ(E ,Λl )ңC ɕ(E ,Λl -1)定义为Tu =ʏEφ(y )k yu d y其中φɪC ɕ0(E )且满足ʏEφ(y )d y =1㊂然后T.Iwaniec 等研究了同伦算子的L p理论,将同伦算子的定义拓展到T:L 1loc(E ,Λl)ңL 1loc(E ,Λl -1),并证明了对所有的u ɪΩq ,p (E ,Λl ),有如下分解u =dTu +Tdu(1)其中Ωq ,p (E ,Λl -1)表示满足u ɪL p(E ,Λl -1)且du ɪL p(E ,Λl)的全体(l -1)-形式所构成的集合㊂对于算子T 有如下估计式Tω s ,B ɤC diam(B ) ω s ,B (2)成立,其中B 为ℝn 中的球,1<p <n ㊂关于同伦算子的更多性质可参看文[1],[19]㊂令u ɪD ᶄ(E ,Λl ),l -形式u E ɪD ᶄ(E ,Λl )定义为u E =|E |-1ʏEu (y )d y ,l =0dTu ,l =1,2, ,n{定义2[2]㊀Green 算子G 定义为G :C ɕ(E ,Λl )ңΗʅɘC ɕ(E ,Λl )其中Gu 是ΗʅɘC ɕ(E ,Λl )中满足Poisson 方程ΔGu =u -H (u )的唯一解㊂如果w (x )>0a.e.且在ℝn 上局部可积,则称w (x )为权函数㊂L p (E ,Λl ,w )表示加权的L p 空间,其范数定义为 u p ,E ,w =(ʏE|u |pw (x )d x )1/p㊂1972年,B.Muckenhoupt [20]在研究极大算子的性质时给出了A r 权的概念㊂定义3㊀如果定义在E ⊂ℝn 上的权函数w (x )满足sup B ⊂E 1|B |ʏBw d x ()1|B |ʏB1w()1r -1d x()r -1<ɕ则称w (x )在E 上满足A r (E )条件㊂下面的Poincaré-Sobolev 不等式出现在文[1]中㊂引理1㊀若u ɪD ᶄ(B ,Λl ),du ɪL p (B ,Λl +1),l =0,1, ,n ,则u -u B ɪL npn -p (B ,Λl )且有不等式(ʏB|u -u B |np n -pd x )n -p npɤC p (n )(ʏB|du |pd x )1p其中B 为有界凸区域中的任意球体㊂引理2[2]㊀设u 为定义在E 上的光滑的微分形式,1<s <ɕ,则存在一个与u 无关而与s 有关的正常数C (s ),使得不等式dd ∗Gu s ,B + d ∗dGu s ,B + dGu s ,B + d ∗Gu s ,B + Gu s ,B ɤC (s ) u s ,B对所有满足B ⊂E 的球都成立㊂设φ(x )为定义在[0,ɕ)上的严格增凸函数,φ(0)=0,u 为定义在有界域E ⊂ℝn 上满足对任意λ>0及μ({x ɪE :|u -u E |>0})>0都有φ(λ|u |+|u E |)ɪL 1(E ,μ)的微分形式,其中,μ为由d μ=w (x )d x 定义的Radon 测度,w (x )为权函数㊂可以证明对任意的a >0,ʏEφ12|u -u E|()d μɤC 1ʏEφ(a |u |)d μɤC 2ʏEφ(2a |u -u E|)d μ(3)其中C 1,C 2为正常数㊂2㊀定理证明定理1㊀设u ɪL p loc (E ,Λl)为定义在E 上的光滑微分形式,1<p <n ,D 为Dirac 算子,G 为Green 算子,T 为同伦算子,0<s <np (n -p )-1,则存在与u 无关,与n ,s ,p 有关的常数C 使得TDGu s ,B ɤC u p ,σB其中:B ⊂σB ⊂E ,σ为某个大于1的常数㊂541第3期赵鹏飞等:作用于微分形式的复合算子T D G 的高阶可积性证明:这里将分成两步来完成证明㊂1)如果|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0则由引理1和引理2,有TDGu-(TDGu)B np n-p,BɤC p(n) dTDGu p,BɤC p(n) DGu-TdDGu p,BɤC p(n)( DGu p,B+ TdDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C dDGu p,B)ɤC p(n)( u p,B+C u p,B)ɤC u p,B在式(3)中取φ(t)=t np n-p,则有(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p npɤC(ʏB|TDGu-(TDGu)B|np n-p d x)n-p np由L p空间的单调性,若0<s<np(n-p)-1,则(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏB|TDGu|np n-p d x)n-p np 于是有(ʏB|TDGu|s d x)1sɤC(ʏσB|u|p d x)1p㊂2)假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|=0则TDGu=(TDGu)B㊀在B上几乎处处成立,因此TDGu为闭形式,进而TDGu为A-调和方程的解㊂于是由式(2)和引理2,有TDGu p,σBɤC diam(B) DGu p,σBɤC|B|1n u p,σB又由Hölder不等式有TDGu s,BɤC|B|1s-1p TDGu p,σB故TDGu s,BɤC|B|1n+1s-1p u p,σB于是定理得证㊂定理2　设uɪL p loc(E,Λl)是定义在E上的一个光滑微分形式,pȡn,T是同伦算子,D是Dirac算子,G是Green算子㊂则对于任意的实数s>1,有TDGuɪL s loc(E,Λl),进而存在一个与u无关的常数C使得,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B其中B⊂E为E中的任意球㊂证明:首先当1<sɤp时,由引理2和式(3),有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B显然成立㊂接下来证明当s>p时,TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,σB成立㊂假设|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0令m=sp-1,记q=mnp/(n+mp)㊂因为n-p ɤ0,所以q-p=[p(m(n-p)-n)](n+mp)-1<0即q<p,而1<q=mnp/(n+mp)<n㊂于是由引理1㊁引理2和L p空间的单调性,有(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC2(ʏB|dTDGu|q d x)1q=C2(ʏB|DGu-T(d(DGu)|q d x)1qɤC3(ʏB|DGu|q d x)1q+C4(ʏB|T(d(DGu)|q d x)1qɤC5(ʏB|u|q d x)1q+C6(ʏB|u|q d x)1qɤC7|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p(4)因为|{xɪB:|TDGu-(TDGu)B|>0}|>0,所以若在式(3)中取φ(t)=t nq(n-q),则对任意的微分形式ω,可得(ʏB|ω|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC8(ʏB|ω-ωB|nq(n-q)d x)(n-q)nq(5)在式(5)中用TDGu代替ω,有(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq n-q d x)n-q nq(6)因为nq/(n-q)=mp=s,再一次利用L p空间的单调性,式(6)和式(4),有(ʏB|TDGu|s d x)1s=(ʏB|TDGu|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC9(ʏB|TDGu-(TDGu)B|nq(n-q)d x)(n-q)nqɤC10|B|1q-1p(ʏB|u|p d x)1p=641哈㊀尔㊀滨㊀理㊀工㊀大㊀学㊀学㊀报㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第28卷㊀C10|B|1s+1n-1p(ʏB|u|p d x)1p因此有TDGu s,BɤC|B|1s+1n-1p u p,B于是定理得证㊂需要指出的是,以往得到的关于同伦算子和Green算子的高阶可积性结论均仅对A-调和方程的解成立,而定理1和定理2的结果表明对于满足一定条件的指数s,p,对任意在E上局部L s可积的微分l-形式,复合算子的高阶可积性仍然成立㊂3㊀应㊀用近年来,关于算子在加权微分形式L p空间有界性问题的研究已取得一些成果,但由于在证明过程中需要用到弱逆Hölder不等式,因此关于加权不等式的结论仅对A-调和方程的解成立㊂而由定理2,则可得到对任意L p可积的微分形式均成立的加权结果㊂引理3㊀如果w(x)ɪA r(E),则存在与w无关的常数γ>1和C>0,使得w γ,BɤC|B|(1-γ)γ w 1,B(7)对所有球B⊂E都成立㊂定理3㊀设E为有界凸区域,n<p<ɕ,T为同伦算子,D为Dirac算子,G为Green算子,如果权函数w(x)满足A r(E)条件,其中1<r<p/n,则对任意uɪL p(E,Λl),存在与u无关的常数C使得 TDGu p,B,wɤC u p,B,w对所有的球B⊂E都成立㊂证明:由于w(x)满足A r(E)条件,由引理3,存在常数γ>1和正数C1使得对所有的球B⊂E有 w γ,BɤC1|B|(1-γ)γ w 1,B取t=γp/(γ-1),则由Hölder不等式有 TDGu p,B,wɤ(ʏB|TDGu|t d x)1t(ʏB wγd x)1γp= TDGu t,B w 1pγ,B(8)这样,将式(7)代入式(8)中,有TDGu p,B,wɤC2|B|(1-γ)γp TDGu t,B w 1p1,B(9)记m=p/r,则由定理2可以得到TDGu t,BɤC3 u m,B(10)其中C3与t,m,n有关㊂再由式(9)和式(10),有 TDGu p,B,wɤC4|B|(1-γ)γp u m,B w 1p1,B 又由于1/p+(r-1)/p=1/m,于是由Hölder不等式有u m,Bɤ(ʏB(|u|w1p)p d x)1pʏB1w()1r-1d x()p r-1= u p,B,wʏB1w()1r-1d x()p r-1(11)注意到wɪA r(E),因此存在常数C5>0使得对所有的球B⊂E,有1|B|ʏB wdx()1p1|B|ʏB1w()1(r-1)d x()(r-1)p<C5<ɕ这样,再由式(10)和式(11),立即有TDGu p,B,wɤC6|B|1-γPγ|B|1P|B|r-1P u p,B,w=C6|B|r P+1-γPγ u p,B,wɤC6|D|r P+1-γPγ u p,B,wɤC7 u p,B,w结论得证㊂4㊀结论本文证明了微分形式L s空间同伦算子T㊁Green 算子和Dirac算子的复合算子T D G当1<p< n时的高阶可积性,并进一步证明了复合算子当pȡn时的高阶范数估计以及对L p可积微分形式成立的局部加权范数不等式㊂参考文献:[1]㊀IWANIEC T.,LUTOBORSKI A.Integral Estimates forNull Lagrangians[J].Arch.Ration.Mech.Anal.,1993,125(1):25.[2]㊀SCOTT C.Theory of Differential Forms on Manifolds[J].Transactions of the American Mathematical Society,1995,347(6):2075.[3]㊀毕卉,于冰,李贯锋.复合算子的Lipschitz和BMO范数不等式[J].黑龙江大学自然科学学报,2017,34(5):556.BI Hui,YU 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非齐型空间上奇异积分算子的加权不等式
在非齐型空间上，奇异积分算子的加权不等式是推动研究人员发现数学世界的
神奇之旅的一个重要工具。

它可以帮助我们研究它的应用场景，可以深入剖析功能的优缺点，从而更有效地改善模型的准确性。

首先，空间上的加权不等式能够让我们预估空间上变量的各种值，从而实现动
态追踪非齐性空间上特定地方的状态变量，在多目标最优化中也得到广泛应用。

此外，奇异积分算子也能用来搜索给定实例的最佳解，计算复杂模型下的空间参数，或者基于奇异积分算子构建多元非线性方程组。

该算子还可用于表达的函数的解析求极，研究复杂系统的稳定性，以及考虑一些复杂函数特性的情况下评估优化算法的收敛性，使其具有显著的优势。

此外，研究表明，对于某些复杂模型来说，使用加权不等式可以有效应用，有
利于巩固其准确性。

此外，它也可以极大地提高运行效率，增强搜索结果的有效性，并降低计算成本。

总的来说，空间上的加权不等式给研究者带来了无限的可能性，可以帮助我们在实际应用中更加精准地模拟模型，更准确地估算变量的各种值，更有效地改善模型的准确性。

因此，在非齐型空间上的研究者们都会把加权不等式看作一张重要而又神奇的后路，来发现更多有趣的数学世界。