高中数学第三章导数及其应用3.1.1平均变化率学案苏教版选修1_435

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3.1。

2 瞬时变化率—导数学习目标：1。

理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。

当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。

江苏省响水中学高中数学 第3章《导数及其应用》3.1.1平均变化率导学案 苏教版选修1-1学习目标：通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理；通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想，培养学生的抽象思维与归纳综合的能力，提升学生的数学思维与数学素养；培养学生关注身边的数学，并能从数学的视角来分析问题、解决问题，体验数学发展的历程，感受数形统一的辨证思想．教学重点：会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢．教学难点：对平均变化率概念的本质的理解；对生活现象作出数学解释．课前预习：1.某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示：观察图象，回答问题：问题1 从A 到B 的位移是__________从B 到C 的位移是___________.问题2 从A 到B 这一段与从B 到C 这一段，你感觉哪一段的位移变化得较快？2．案例中，从B 到C 位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化陡峭程度呢？由点B 上升到C 点必须考察C B y y -的大小，但仅注意到C B y y -的大小能否精确量化BC 段陡峭的程度？为什么？（2）还必须考察什么量？在考察C B y y -的同时必须考察C B x x -．（3）曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？3.(1)一般地，函数()f x 在区间[]12,x x 上的平均变化率为_______________．注意：平均变化率不能脱离区间而言．(2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”．曲线陡峭程度是平均变化 s 210 2030A (1, 3.5)B(32, 18.6) S/mC (34, 33.4)率的“视觉化”．课堂探究：1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．本题中两个不同平均变化率的实际意义是什么？2 水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中的水的体积t t V 1.025)(-⨯=（单位：3cm ），试计算第一个10s 内V 的平均变化率．W /kg 6 3 9 12 3.56.58.6 11甲乙t/月3已知函数xxgxxf2)(,12)(-=+=，分别计算在区间],1,3[--]5,0[上，函数)(xf及)(xg的平均变化率．你在解本题的过程中有没有发现什么？4已知函数2)(xxf=，分别计算在下列区间上的平均变化率：①]3,1[⑤]1,9.0[②]2,1[⑥]1,99.0[③]1.1,1[⑦]1,999.0[④]001.1,1[⑧]1,9999.0[题中八个区间的变化导致平均变化率有怎样的变化？这种变化的实际意义和数学意义分别是什么？5．求函数xxxf-=2)(在区间[]t,1上的平均变化率课堂检测：函数x x f 1)(-=在[]1,2--上的平均变化率为_________________.已知函数x x x f +-=2)(在区间[]a ,1上的平均变化率为-3，则a =____________. 已知函数322++=bx x y 从1=x 到2=x 的平均变化率为9，则=b _______. 已知一次函数)(x f y =在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.已知函数12)(2-==x x f y 的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+x ∆，+1(f x ∆）），求x y∆∆教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

一、教学目标1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。

体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

二、教学重点、难点重点：平均变化率的实际意义和数学意义难点：平均变化率的实际意义和数学意义三、教学过程一、问题情境1、情境：现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：（理解图中A、B、C点的坐标的含义）问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？二、学生活动1、曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。

2、由点B上升到C点，必须考察y C—y B的大小，但仅仅注意y C—y B的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？3、在考察y C—y B的同时必须考察x C—x B，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。

三、建构数学1．通过比较气温在区间[1，32]上的变化率0．5与气温[32,34]上的变化率7．4，感知曲线陡峭程度的量化。

2.一般地,给出函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --。

3．回到气温曲线图中，从数和形两方面对平均变化率进行意义建构。

4。

平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x 2—x 1很小时，这种量化便有“粗糙”逼近“精确”。

四、数学运用例1、 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？小结：仅考虑一个变量的变化是不形的。

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯ （单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率。

3.1.1 平均变化率学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义.3.了解平均变化率的正负.知识点一 函数的平均变化率在吹气球时，气球的半径r (单位：dm)与气球空气容量(体积)V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V4π. 思考1 当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 答案 平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.621＝0.62 (dm/L).思考2 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 答案 平均膨胀率为r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.梳理 函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其中Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是函数值的改变量.知识点二 平均变化率的意义思考 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答案 如图，表示A ，B 之间的曲线和B ，C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化.如用比值y C －y Bx C －x B近似量化B ，C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率.梳理 平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx为割线AB 的斜率.1.函数y ＝x 2＋1在[2,3]上的平均变化率是5.( √ )2.甲、乙二人销售化妆品，从2014年2月开始的3个月内，甲投入资金5万元，获利4万元，乙投入资金8万元，获利6万元.因此我们认为乙的经营效果较好.( × )3.一次函数任意两点的平均变化率都是相应直线的斜率.( √ )4.函数f (x )在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)上的平均变化率就是直线AB 的斜率.( √ )类型一 求函数的平均变化率 例1 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.①求：当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；②求：当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx.(2)求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 (1)因为f (x )＝2x 2＋3x －5， 所以Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx Δx ＝2Δx ＋4x 1＋3. ①当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1，Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2＋19＝21，Δy Δx ＝21.②当x 1＝4，x 2＝4.1时，Δx ＝0.1，Δy ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋4x 1＋3＝19.2. (2)在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大. 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)如图所示，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 12解析 ∵A (－1,2)，B (3,4)，∴Δx ＝3－(－1)＝4，Δy ＝4－2＝2， ∴A ，B 两点间的平均变化率为Δy Δx ＝24＝12.(2)已知函数f (x )＝5－3x 2，分别计算f (x )在区间[0,1]，[1,2]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上的平均变化率.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 f (x )在[0,1]上的平均变化率是 Δy Δx ＝f (1)－f (0)1－0＝2－5＝－3. 在[1,2]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝(5－3×4)－(5－3×1)＝－9. 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上的平均变化率是 Δy Δx＝f (1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫121－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝⎛⎭⎪⎫5－3×14＝－92. 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32上的平均变化率是Δy Δx ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－f (1)32－1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫5－3×94－2＝－152. 类型二 平均变化率的应用例2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.(1)求运动员在第一个0.5s 内高度h 的平均变化率； (2)求高度h 在1≤t ≤2这段时间内的平均变化率. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用解 (1)运动员在第一个0.5s 内高度h 的平均变化率为h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05m/s.(2)在1≤t ≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为h (2)－h (1)2－1＝－8.2m/s.反思与感悟 (1)结合物理知识可知，在第一个0.5s 内高度h 的平均变化率为正值，表示此时运动员在起跳后处于上升过程；在1≤t ≤2这段时间内，高度h 的平均变化率为负值，表示此时运动员已开始向水面下降.事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0.(2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等.解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量.跟踪训练2 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，则从出生到第3个月与从第6个月到第12个月体重的平均变化率分别为________千克/月.考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 1,0.4解析 从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为6.5－3.53－0＝1(千克/月).从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11－8.612－6＝2.46＝0.4(千克/月).1.一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是________. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 －3Δt －6解析 v ＝[5－3(1＋Δt )2]－(5－3×12)Δt＝－3Δt －6.2.圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 0.4π 解析 ∵S ＝πr 2，∴ΔS Δr ＝S (0.3)－S (0.1)0.3－0.1＝0.09π－0.01π0.2＝0.4π. 3.如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 －1 解析 因为k AB ＝y A －y B x A －x B ＝3－11－3＝－1，由平均变化率的意义知，y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为－1.4.如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3.结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].5.甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10万元) 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用解 甲企业生产效益的平均变化率为100－1012×2－0＝154.乙企业生产效益的平均变化率为30－106－0＝103.∵154>103，∴甲企业的生产效益较好.1.准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量Δy 与自变量取值增量Δx 的比值.涉及具体问题，计算Δy 很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法.2.函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、平均劳动生产率、面积体积变化率等.解决这类问题的关键是能从实际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意是相对什么量变化的.一、填空题1.函数f (x )＝1x在[2,6]上的平均变化率为________.考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 －112解析 f (6)－f (2)6－2＝16－126－2＝－112.2.在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24h 内发现水位从102.7m 上涨到105.1m ，则水位涨幅的平均变化率是________m/h. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 0.1 解析105.1－102.724＝0.1 (m/h).3.已知某质点的运动规律为S (t )＝5t 2(单位：m)，则在1s 到3s 这段时间内，该质点的平均速度为________m/s. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 20解析S (3)－S (1)3－1＝5×32－5×122＝20 (m/s).4.函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率为2，则t ＝________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 5解析 函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是Δy Δx ＝f (t )－f (－2)t －(－2)＝t 2－t －(－2)2－2t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4，t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去).所以当函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2时，t 的值是5.5.假设在生产8到30台机器的情况下，生产x 台机器的成本是c (x )＝x 3－6x 2＋15x (元)，而售出x 台的收入是r (x )＝x 3－3x 2＋12x (元)，则生产并售出10台至20台的过程中平均利润是________元.考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 87解析 由题意，得生产并售出x 台机器所获得的利润是L (x )＝r (x )－c (x )＝(x 3－3x 2＋12x )－(x 3－6x 2＋15x )＝3x 2－3x ，故所求的平均利润为 L ＝L (20)－L (10)20－10＝87010＝87(元).6.在x ＝1附近取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中平均变化率最大的是________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 ③解析 由平均变化率的定义计算可得③最大.7.一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h ＝2t 2＋2t ，则下列说法正确的是________.(填序号)①前3s 内球滚下的垂直距离的增量为Δh ＝24m ； ②在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量为Δh ＝12m ； ③前3s 内球的平均速度为8m/s ； ④在时间[2,3]内球的平均速度为12m/s. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 ①②③④解析 前3s 内，Δt ＝3s ，Δh ＝h (3)－h (0)＝24(m)，此时平均速度为Δh Δt ＝243＝8(m/s)，故①③正确；在时间[2,3]上，Δt ＝3－2＝1(s)，Δh ＝h (3)－h (2)＝12(m)，故平均速度为ΔhΔt ＝12(m/s)，所以②④正确.综上，①②③④都正确.8.如果函数y ＝f (x )＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a 的值为________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 3解析 根据平均变化率的定义可知， Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3. 9.汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________________.(用“<”连接)考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 v 1<v 2<v 3解析 v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ， 由图象知，k OA <k AB <k BC .10.给半径为R 的热气球加热使其体积增大，若半径从R ＝1到R ＝m 时的体积膨胀率为19π3，则m ＝________. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 1.5解析 ∵V ＝4π3R 3，∴4π3m 3－43πm －1＝4π3(m 2＋m ＋1)＝19π3，∴m 2＋m －154＝0，解得m ＝1.5(负值舍去).二、解答题11.函数f (x )＝x 2＋2x 在区间[0，a ]上的平均变化率是函数g (x )＝2x －3在区间[2,3]上的平均变化率的2倍，求a 的值. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率解 由题意，得函数f (x )在区间[0，a ]上的平均变化率为f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2a a＝a ＋2.函数g (x )在区间[2,3]上的平均变化率为g (3)－g (2)3－2＝2×3－3－(2×2－3)1＝2.又a ＋2＝2×2，所以a ＝2.12.若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1，求Δx 的取值范围.考点 平均变化率的概念 题点 函数因变量的增量解 ∵函数f (x )在区间[2,2＋Δx ]上的平均变化率为 Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx ＝－3－Δx ，∴由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又∵Δx >0，∴Δx 的取值范围是(0，＋∞).13.巍巍泰山为我国五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用解 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝Δy Δx ＝10－050－0＝15， 山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝Δy Δx ＝15－1070－50＝14， ∵h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 要陡峭得多.三、探究与拓展14.如图所示是物体甲、乙在时间0到t 1范围内运动路程的变化情况，下列说法正确的是________.①在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；②在0到t 0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；③在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；④在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；⑤在0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度.考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用答案 ③⑤解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝S 0t 0，故①②错；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为S 2－S 0t 1－t 0，乙的平均速度为S 1－S 0t 1－t 0.因为S 2－S 0>S 1－S 0，t 1－t 0>0，所以S 2－S 0t 1－t 0>S 1－S 0t 1－t 0.所以甲的平均速度大于乙的平均速度；在0到t 1范围内，甲的平均速度为S 2t 1，乙的平均速度为S 1t 1，又S 2>S 1，所以甲的平均速度大于乙的平均速度.故填③⑤.15.很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.试从平均变化率的角度，比较气球容量V 从0增加到1L 及从1L 增加到2L 时平均膨胀率的大小关系，能否用来解释气球的半径增加得越来越慢？ 考点 平均变化率的概念题点 平均变化率的应用解 气球的体积V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝43πr 3，将半径r 表示为体积V 的函数，那么r (V )＝33V 4π，当气球容积V 从0增加到1L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62(dm).气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L).类似地，当空气容积从1L 增加到2L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16(dm). 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L).因为0.62>0.16，所以随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了，因此气球的半径增加的越来越慢.。

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3.1.1 平均变化率学习目标：1.理解并会求具体函数的平均变化率．(重点）2。

了解平均变化率概念的形成过程,会在具体的环境中说明平均变化率的实际意义．（难点）[自主预习·探新知］平均变化率1．定义：一般地,函数f（x)在区间［x1,x2]上的平均变化率为错误!。

2．实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．3．意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．[基础自测］1．判断正误:（1)f（x）＝x2，f(x)在［－1,1］上的平均变化率为0。

( ）(2)f（x）＝x2在［－1，0］上的平均变化率小于其在［0，1]上的平均变化率，所以f（x)在[－1,0］上不如在[0,1]上变化的快．( )（3）平均变化率不能反映函数值变化的快慢．（)【解析】(1)√。

f(x）在［－1,1］上的平均变化率为错误!＝错误!＝0.(2）×.f(x)＝x2在[－1,0］和［0，1]上的变化快慢是相同的．(3）×.平均变化率能反映函数值变化的快慢．【答案】(1）√(2)×(3）×2．f(x)＝错误!在［1,2］上的平均变化率为________．【解析】函数f(x）在[1，2]上的平均变化率为错误!＝－错误!.【答案】－错误![合作探究·攻重难］变化率的概念及意义的应用2012年冬至2013年春,我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图3。

函数的平均变化率本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版选修（文）1－1第三章导数及其应用中的内容，（理）2-2第一章中的内容，《平均变化率》。

为更好地把握这一课时内容，便于学生学习和理解，对本课时教学设计给予如下说明：一、教学内容分析：平均变化率主要通过大量的生活实例借助直观图形逐步引入“平均变化率”的概念，并在此基础上给出了它的两种应用——在生活中的应用以及在数学内部的应用。

本节课应着力渗透“局部以直代曲”思想、“数形结合”思想以及“极限（逼近）”思想，以便更好地为研究、学习后续的“瞬时变化率”乃至“导数的概念”奠定基础。

这节课是在学生在学习了函数、指、对数函数、幂函数、三角函数等知识后安排的一节内容，学生已经具备了一定的函数知识的素养。

本节课目的是在为导数的引出作必要的铺垫,在导数教学中起着承上启下的作用。

学好这一节，学生将会为以后理解导数的概念等知识打下一个良好的基础，同时学生对函数也有了更为完整的知识结构。

二、学生情况分析：同学们在物理中已经充分理解平均速度的概念，为函数的平均变化率打下了良好的基础。

且在之前的学习中，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为从数与形两方面考察函数的平均变化率提供了知识准备。

而平均变化率来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法．但学生仅是比较熟悉平均速度，对于变量变化的快慢的认识以及表示比较模糊，还有，由实际问题抽象成函数表示，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

三、教学目标：知识与技能：(1)了解平均变化变化率的概念；(2)会求函数在指定区间上的平均变化率；(3)能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题。

情感、态度与价值观：(1)以实际生活为背景，引出平均变化率的相关内容，让学生感受到事物相联系的观点；(2)通过数形结合的手段解决问题，让学生体会到“无形不直观，无数不入微”的辩证思想；(3)通过本节的学习，体会数学模型在实际生活中的应用，提高数学的应用意识。