圆的内接四边形

圆内接四边形性质与应用圆内接四边形是指一个四边形内接于一个圆，即四边形的四个顶点都在圆上。

本文将探讨圆内接四边形的性质以及其在实际应用中的作用。

一、圆内接四边形的性质1. 对角线互相垂直我们先来证明一个性质：圆内接四边形的对角线互相垂直。

假设四边形ABCD内接于圆O，连接OA、OB、OC和OD。

首先，我们知道半径OA、OB、OC和OD都相等，因为它们都是圆O的半径。

所以，四边形AOB、BOC、COD和DOA是等腰三角形。

因为等腰三角形的底边垂直于底边上的高，所以AO⊥OB、BO⊥OC、CO⊥OD和DO⊥OA。

因此，四边形ABCD的对角线互相垂直。

2. 对角线相等除了对角线互相垂直外，圆内接四边形的对角线还有一个重要的性质：对角线相等。

仍然假设四边形ABCD内接于圆O，连接AC和BD。

我们知道，在圆上的任意两点间连线，都不会超过圆的直径，即AC和BD不会超过圆的直径，因此它们相等。

因此，圆内接四边形的对角线相等。

3. 周长和面积计算给定一个圆半径为r的内接四边形ABCD，我们可以计算它的周长和面积。

首先，由于对角线相等，我们可以将ABCD看作一个等边四边形，它的四个边长都为r。

所以，周长C等于4r。

其次，根据三角形面积的公式，我们可以将ABCD分割成4个等腰三角形AOB、BOC、COD和DOA。

因为等腰三角形的底边是边长r，高等于半径r，所以它们的面积相等。

假设它们的面积为S。

则整个四边形ABCD的面积等于4S。

二、圆内接四边形的应用1. 几何构造圆内接四边形在几何构造中有广泛的应用。

例如，我们可以利用圆内接四边形的性质，通过给定的圆心和半径来构造一个内接四边形。

具体的构造方法如下：（1）以圆心O为中心，画一个半径为r的圆；（2）以圆心O为起点，沿圆周画一条直线；（3）在直线上从圆心O向外分别取两点（A和B），使得OA和OB等于圆的半径；（4）连接点A、B和圆心O，得到内接四边形ABOC。

通过这个构造方法，我们可以根据已知的圆心和半径，准确地绘制出一个内接四边形。

圆内接四边形边长公式
圆内接四边形边长公式：
1、内接四边形边长公式：边长a=2Rcos45°
2、圆半径R：圆半径可以是任意数值，只要满足一定条件，就可以确
定圆内接四边形的边长。

3、45°：45°是正四边形的夹角，也就是说，圆内接四边形的每个夹角
都是45°。

4、cos45°：cos（45°）=√2/2，45°是一个对角垂直的角度，cos45°的值
是√2/2，所以边长公式为：a=2Rcos45°。

5、内接四边形求周长：正四边形的面积可以通过半径R和边长a计算，用P表示正四边形的周长，则P=4a，即P=4*2Rcos45°。

6、内接四边形求面积：正四边形的面积可以由半径R和边长a计算，
用S表示正四边形的面积，则S=2Rcos45°。

总结：
圆内接四边形边长公式为：a=2Rcos45°，其中R是圆的半径，45°为正四边形的夹角，cos45°=√2/2，因此可以求出圆内接四边形的边长。

该正四边形的周长P=4a，面积S=2Rcos45°。

二圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书P21][例1]如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[证明]连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数． 解：设∠A ，∠B ，∠C 的度数分别为4x,3x,5x ， 则由∠A ＋∠C ＝180°， 可得4x ＋5x ＝180°.∴x ＝20°.∴∠A ＝4×20°＝80°，∠B ＝3×20°＝60°， ∠C ＝5×20°＝100°，∠D ＝180°－∠B ＝120°.2．已知：如图，四边形ABCD 内接于圆，延长AD ，BC 相交于点E ，点F 是BD的延长线上的点，且DE 平分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC ＝∠4. ∴AB ＝AC .(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC ， ∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB . ∴AB AE ＝ADAB. ∵AB ＝AC ＝3，AD ＝2， ∴AE ＝AB 2AD ＝92.∴DE ＝92－2＝52(cm).[例2] 如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC于P .求证：E ，D ，P ，F 四点共圆．[思路点拨] 可先连接PF ，构造四边形EDPF 的外角∠FPC ，证明∠FPC ＝∠C ，再证明∠FPC ＝∠FED 即可．[证明] 如图，连接PF ， ∵AP ⊥BC ，F 为AC 的中点，∴PF ＝12AC .∵FC ＝12AC ，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.[例3]如图，已知⊙O与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，P A、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．[证明]如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥P A.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．5.如图，P点是等边△ABC外接圆的BC上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP ∽△DCB ， ∴BC DC ＝CP CB. ∴CB 2＝CP ·CD .又CB ＝AC ，∴AC 2＝CP ·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)四点P ，D ，C ，E 共圆； (2)AP ⊥CP .解：(1)证明：在△ABC 中， 由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知：△ABD ≌△BCE ，即∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， 所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (2)如图，连接DE .在△CDE 中，CD ＝2CE ， ∠ACD ＝60°，由余弦定理知∠CED ＝90°. 由四点P ，D ，C ，E 共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ， 所以AP ⊥CP .[对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A ＝sin C ，②sin A ＋sin C ＝0，③cos B ＋cos D ＝0，④cos B ＝cos D . 其中恒成立的关系式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故∠A ＝180°－∠C ，且∠A ，∠C 均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立．同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．答案：B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．答案：B3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案：B二、填空题5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴AEAC＝EFBC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36．如图，直径AB ＝10，弦BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______， BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB . 即∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD . ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 27．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，若∠C ＝34°，则∠AOB ＝________，∠ADB ＝________.解析：∵∠C 和∠AOB 分别是AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB ＝2∠C ＝68°.∵周角是360°，劣弧AB 的度数为68°，∴优弧AB 的度数为292°. ∴∠ADB ＝12×292°＝146°.答案：68° 146° 三、解答题8.已知：如图，E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：E ，F ，G ，H 共圆．证明：法一：连接EF 、FG 、GH 、HE . ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC .同理EH ∥BD .∴∠HEF ＝∠AOB .∵AC ⊥BD ，∴∠HEF ＝90°. 同理∠FGH ＝90°. ∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°. ∴E 、F 、G 、H 共圆． 法二：连接OE 、OF 、OG 、OH .∵四边形ABCD 为菱形． ∴AC ⊥BD ， AB ＝BC ＝CD ＝DA .∵E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点， ∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ，OG ＝12CD ，OH ＝12DA .∴OE ＝OF ＝OG ＝OH .∴E ，F ，G ，H 在以O 点为圆心，以OE 为半径的圆上． 故E ，F ，G ，H 四点共圆．9.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上， 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE . 因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ， 故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ， 所以∠F AB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．别是劣弧AB 与10．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分优弧ADB 上的任一点(点C 、D 均不与A 、B 重合)．(1)求∠ACB .(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA 、OB ，作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE .Rt △AOE 中，OA ＝2. AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.所以sin ∠AOE ＝AE OA ＝32，∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°.从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB ，垂足为F ，则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然，当DF 经过圆心O 时，DF 取最大值， 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3，S △ABD ＝33， 即△ABD 的最大面积是3 3.。

圆内接四边形的多种方法-回复圆内接四边形是一个非常有趣的几何概念，它是指一个四边形的所有四个顶点都恰好位于圆的周围。

在这篇文章中，我将为你介绍几种构造圆内接四边形的方法，并详细解释每一步。

方法一：以直径为边构造圆内接四边形这是构造圆内接四边形最简单的方法之一。

我们从一个已知的圆开始，然后选择圆上的两个点A和B作为四边形的一对对边的顶点。

这两个点的特点是它们之间的距离等于圆的直径。

在这种情况下，我们可以通过连接直径的两个端点来构造直径AB，然后再连接另外两个端点，得到四边形。

步骤如下：1. 画一个已知的圆，确定圆心O。

2. 在圆上选择两个点A和B，使得OA=OB，这两个点之间的距离等于圆的直径。

3. 用直尺和铅笔连接点A和B，得到直径AB。

4. 沿着直径AB继续向上画两条线段CD和EF，使得CD=EF=AB，同时确保这两条线段与圆的切点与直径的交点分别为C和F。

这样，四边形CEFD就构成了一个圆内接四边形。

5. 最后，检查一下每条边的长度是否相等，以确保四边形确实是圆内接四边形。

方法二：以半径为边构造圆内接四边形这种方法也相对简单，使用圆的半径作为四边形的边长。

以下是具体步骤：1. 画一个已知的圆，确定圆心O。

2. 以O为起点，画一条长度为圆的半径的线段OA。

3. 通过使用指南针或量角器，将半径OA的长度定位到圆的周上，选择一个点B作为第二个顶点。

4. 连接点A和B，得到线段AB。

5. 以点B为圆心，以AB为半径画一个弧线，使其与圆的切点为C。

6. 以点C为圆心，以AB为半径画另一个弧线，使其与圆的切点为D。

7. 连接点A和D，同时连接点B和C，得到四边形ABCD。

8. 最后，验证每条边的长度是否相等，以确认四边形是圆内接四边形。

方法三：以正方形构造圆内接四边形这种构造方法需要用到一个正方形和一个圆，步骤如下：1. 画一条线段AB，使其长度等于正方形的边长。

2. 以线段AB的中点为圆心，以线段AB的一半为半径画一个圆。

圆内接四边形的性质（对角线相等）圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，本文将探讨圆内接四边形的性质之一——对角线相等。

1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。

这种情况下，对角线相等的性质就会出现。

2. 圆内接四边形的性质对于任意一个圆内接四边形，其对角线是相等的。

也就是说，四边形的两条对角线长相等。

证明如下：设圆内接四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，四条边分别为AB、BC、CD、DA。

连接AC和BD作为对角线。

我们需要证明|AC| = |BD|。

由于四边形的四个顶点都在同一个圆上，根据圆上弧所对的圆心角相等的性质，我们可以得到：∠ABC = ∠CDA∠BCD = ∠DAB又因为圆上的切线与半径垂直，我们可以得到：∠BAC = ∠BDC∠CBD = ∠CAD根据上述等角关系，我们可以证明△ABC与△CDA全等，以及△BCD与△DAB全等。

因此，我们可以得出以下结论：∠A = ∠C，∠B = ∠D△ABD与△CBA全等根据全等三角形的性质，我们可以得到：|AB| = |CB||AD| = |CD|因此，我们有|AC| = |AB| + |BC| = |CB| + |CD| = |BD|。

这样，我们证明了对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。

3. 圆内接四边形的应用圆内接四边形的对角线相等这一性质在几何学中有广泛应用。

例如，当我们需要求解一个圆内接四边形的对角线长度时，我们可以利用这一性质进行计算。

另外，对角线相等还可以用于证明其他性质，扩展到更复杂的几何问题中。

4. 总结圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。

对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。

这一性质可以通过等角关系和全等三角形的性质进行证明。

圆内接四边形的对角线相等性质在几何学中有广泛应用，可以用于计算和证明其他性质。

通过本文的讨论，我们对圆内接四边形的对角线相等性质有了更深入的了解，也增加了对几何学中相关概念的理解。

圆内接四边形定义什么是圆内接四边形圆内接四边形是指一个四边形，其四个顶点都在同一个圆的圆周上，并且四个边都切割该圆。

圆内接四边形也被称为圆角四边形。

圆内接四边形的特点1.圆内接四边形的四个内角之和等于360度。

2.圆内接四边形的对角线相互垂直，且互相平分。

3.圆内接四边形的相对边长之和保持不变。

4.圆内接四边形的内角对应的两个弧度测度之和等于180度。

圆内接四边形的分类根据四边形的属性，圆内接四边形可以分为以下几类： ### 矩形矩形是一种特殊的圆内接四边形，它的相邻两边长度相等且对角线相等。

矩形的内角都是90度，因此也是一个平行四边形。

正方形正方形也是一种特殊的矩形和圆内接四边形。

正方形的四条边都相等且内角都是90度。

平行四边形平行四边形是另一种常见的圆内接四边形，它的对边是平行的，且相邻两边长度相等。

菱形菱形也是一种圆内接四边形，它的四条边都相等，相邻两边长度相等，且对角线相互垂直且平分。

不规则四边形不规则四边形是指除了上述几种特殊情况外的圆内接四边形。

它的四边长度和内角大小都可以不相等。

圆内接四边形的性质圆内接四边形有一些独特的性质，下面将逐一介绍。

### 1. 对角线垂直且平分圆内接四边形的对角线相互垂直且平分，即两条对角线的交点是对角线的中点。

这个性质在证明圆内接四边形的特性时非常有用。

2. 相对角之和为180度圆内接四边形的相对角之和等于180度，即对角线所夹的两个内角之和为180度。

这个性质可以通过证明对角线是平行线来推导。

3. 外接圆圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆的圆周上，因此可以构成一个外接圆。

外接圆的性质是，四边形的任意一条边都是外接圆的切线。

4. 内接圆圆内接四边形的四条边都切割同一个圆，因此可以构成一个内接圆。

内接圆的性质是，四边形的任意一条边都是内接圆的切线。

圆内接四边形的应用圆内接四边形可以应用于许多几何问题中，如建筑设计、机械加工等。

以下是一些常见应用场景： 1. 建筑设计：在建筑设计中，圆内接四边形可以用来构建有趣的立面形状，增加建筑的艺术感和视觉效果。

圆内接四边形
垂线相交于一点，那么这个四边形的四个顶点共圆。

（这三边的中垂线的交点就是圆心）。

产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合产生原因：圆的定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

基本模型：
思路二：从被证共圆的四点中选出三点作一个圆，然后证另一个点也在这个圆上，即可
要证多点共圆，一般也可以根据题目条件先证四点共圆，再证其他点也在这个圆上。

思路三：运用有关性质和定理：①对角互补，四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

产生原因：圆内接四边形的对角互补。

基本模型
②张角相等，四点共圆：线段同侧两点与这条线段两个端点连线的夹角相等，则这两个点和线段的两个端点共四个点共圆。

产生原因：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。

方法指导：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角（即：张角）相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆
③同斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆，其斜边为圆的直径。

产生原因：直径所对的圆周角是直角
④外角等于内对角，四点共圆：有一个外角等于其内对角的四边形的四个顶点共圆。

产生原因：圆内接四边形的外角等于内对角。

基本模型：
⑤用相交弦定理或切割线定理的逆定理：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆。

（相交弦定理的逆定理）产生原因：相交弦定理。

基本模型。

CD ·OBA EP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP ∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图，连接OB 、OD 则∠A=21β，∠C=21α ∵α+β=360°∴∠A+∠C=21×360°=180°同理得∠B+∠D=180°（也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。

设圆内接四边形ABCD证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°连接BO 并延长，交⊙O 于E 。

连接AE 、CE 。

则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD ，将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等）∴∠1+∠2+∠5+∠6=21×360°=180°∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°）∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP ∽△ADP ，△ABP ∽△DCP证明： ∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。