圆内接四边形

二圆内接四边形的性质及判断定理[ 对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD 内接于⊙ O，则有：∠ A＋∠ C＝ 180°，∠ B＋∠D＝ 180 °.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠ CBE 是圆内接四边形ABCD 的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判断(1)判断定理：假如一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆．(2)推论：假如四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个极点共圆．[ 对应学生用书P21]圆内接四边形的性质[例 1]如图，AB是⊙ O的直径，弦BD ， CA 的延伸线订交于点E，EF垂直BA 的延伸线于点 F.求证：∠DEA ＝∠ DFA.[思路点拨]此题主要考察圆内接四边形判断及性质的应用．解题时，只要证A， D， E，F四点共圆后可得结论．[证明 ]连结AD.由于AB 为圆的直径，所以∠ADB ＝ 90 °又.EF⊥ AB ，∠EFA＝ 90°，所以A，D ，E， F四点共圆．所以∠ DEA ＝∠ DFA.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角， 可用来作为三角形相像的条件，进而证明一些比率式的建立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形 ABCD 中，已知∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数比为4∶ 3∶5，求四边形各角的度数．解： 设∠ A ，∠ B ，∠ C 的度数分别为 4x,3x,5x ，则由∠ A ＋∠ C ＝ 180°，可得 4x ＋ 5x ＝ 180°∴.x ＝ 20°.∴∠ A ＝ 4×20°＝80°，∠ B ＝ 3× 20°＝ 60°，∠ C ＝ 5× 20°＝ 100°，∠ D ＝ 180°－∠ B ＝ 120°.2．已知：如图，四边形 ABCD 内接于圆，延伸 AD ，BC 订交于点 E ，点 F 是 BD 的延伸线上的点，且 DE 均分∠ CDF .(1)求证： AB ＝ AC ；(2)若 AC ＝ 3 cm ， AD ＝ 2 cm ，求 DE 的长．解： (1)证明：∵∠ ABC ＝∠ 2，∠ 2＝∠ 1＝∠ 3，∠ 4＝∠ 3，∴∠ ABC ＝∠ 4.∴ AB ＝ AC.(2)∵∠ 3＝∠ 4＝∠ ABC ，∠ DAB ＝∠ BAE ，∴△ ABD ∽△ AEB.∴AB ＝ AD .AE AB∵ AB ＝ AC ＝ 3，AD ＝ 2，2∴ AE ＝AB＝9.AD 2∴ DE ＝9－ 2＝ 5(cm).2 2圆内接四边形的判断[例 2]如图，在△ ABC 中， E ， D ，F 分别为 AB ， BC ， AC 的中点，且 AP ⊥ BC 于 P.求证： E ， D ， P ， F 四点共圆．[思路点拨 ]可先连结PF ，结构四边形EDPF 的外角∠ FPC ，证明∠ FPC ＝∠ C，再证明∠ FPC ＝∠ FED 即可．[证明 ]如图，连结PF ，∵AP⊥ BC， F 为 AC 的中点，∴PF＝1 AC.2∵FC＝1 AC，2∴PF＝ FC .∴∠ FPC＝∠ C.∵E、 F、D 分别为 AB， AC， BC 的中点．∴ EF∥ CD ，ED ∥ FC.∴四边形 EDCF 为平行四边形，∴∠ FED ＝∠ C.∴∠ FPC＝∠ FED .∴ E， D， P， F 四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①假如四点与必定点等距离，那么这四点共圆；②假如四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个极点共圆；③假如四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个极点共圆；④假如两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个极点共圆．3．判断以下各命题能否正确．(1)随意三角形都有一个外接圆，但可能不仅一个；(2)矩形有独一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解： (1)错误，随意三角形有独一的外接圆；(2)正确，由于矩形对角线的交点到各极点的距离相等；(3) 错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4) 正确，由于正多边形的中心到各极点的距离相等．4．已知：在△ ABC 中， AD＝ DB ，DF ⊥AB 交 AC 于点 F ，AE＝ EC，EG⊥ AC 交 AB 于点 G.求证：(1)D 、E、 F、 G 四点共圆；(2)G、B、 C、 F 四点共圆．证明： (1) 如图，连结 GF ，由DF ⊥AB，EG⊥ AC，知∠GDF ＝∠ GEF ＝ 90°，∴ GF 中点到 D、 E、F 、 G 四点距离相等，∴ D、 E、 F、 G 四点共圆．(2)连结 DE.由 AD＝ DB ， AE＝ EC，知 DE ∥BC，∴∠ ADE＝∠ B.又由 (1)中 D、 E、 F 、 G 四点共圆，∴∠ ADE＝∠ GFE .∴∠ GFE＝∠ B.∴ G、 B、 C、 F 四点共圆 .圆内接四边形的综合应用[ 例 3] 如图，已知⊙ O1与⊙ O2订交于 A、 B 两点， P 是⊙ O1上一点， PA、PB 的延伸线分别交⊙ O2于点 D 、 C，⊙ O1的直径 PE 的延伸线交 CD 于点 M.求证： PM ⊥ CD.[思路点拨 ]⊙ O1与⊙ O2订交，考虑连结两交点A、B 得公共弦AB；PE 是⊙ O1的直径，考虑连结 AE 或 BE 得 90°的圆周角；要证PM ⊥ CD ，再考虑证角相等．[证明 ]如图，分别连结 AB， AE，∵A、B、C、 D 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ D.∵A、E、B、P 四点共圆，∴∠ ABP＝∠ AEP.∴∠ AEP＝∠ D.∴A、 E、M 、 D 四点共圆．∴∠ PMC ＝∠ DAE .∵PE 是⊙O1的直径，∴ EA⊥ PA.∴∠ PMC ＝∠ DAE ＝ 90°.∴PM⊥ CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的方法大多是先判断四点共圆，而后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论建立．5.如图， P 点是等边△ ABC 外接圆的BC上一点， CP 的延伸线和AB 的延伸线交于点D，连结 BP .求证： (1) ∠D ＝∠ CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明： (1) ∵△ ABC 为等边三角形，∴∠ ABC＝∠ A＝ 60°.∴∠ DBC＝ 120°.又∵四边形ABPC 是圆内接四边形，∴∠ BPC＝ 180°－∠ A＝ 120°.∴∠ BPC＝∠ DBC .又∵∠ DCB ＝∠ BCP，∴△ BCP∽△ DCB .∴∠ D＝∠ CBP.(2)由 (1)知△ BCP∽△ DCB ，∴BC＝CP.DC CB∴CB2＝ CP·CD .又CB＝ AC，∴ AC2＝ CP·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点 D，E 分别在边BC，AC 上，且 BD ＝1BC，CE＝1CA，33AD， BE 订交于点P.求证： (1) 四点 P，D ， C， E 共圆；(2)AP⊥CP.解： (1)证明：在△ ABC 中，由BD ＝1BC， CE＝1CA 知：33△ABD≌△ BCE，即∠ ADB＝∠ BEC，即∠ ADC ＋∠ BEC＝ 180°，所以四点 P，D ，C， E 共圆．(2)如图，连结DE.在△ CDE 中， CD＝ 2CE，∠ACD＝ 60°，由余弦定理知∠CED ＝90°.由四点 P， D， C， E 共圆知，∠DPC＝∠ DEC ，所以 AP ⊥CP.[ 对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A＝sin C，② sin A＋ sin C＝ 0，③ cos B＋ cos D＝ 0，④ cos B＝cos D.此中恒建立的关系式的个数是 ()A． 1B． 2C． 3D． 4分析：由于圆内接四边形的对角互补，故∠ A＝ 180°－∠ C，且∠ A，∠ C 均不为 0°或 180°，故①式恒建立，②式不建立．相同由∠ B＝180°－∠ D 知，③式恒建立．④式只有当∠B＝∠ D＝ 90°时建立．答案： B2．圆内接四边形A． 4∶ 2∶3∶ 1 C． 4∶ 1∶3∶ 2分析：由四边形ABCD 中，∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 ()B． 4∶ 3∶1∶ 2D．以上都不对ABCD 内接于圆，得∠A＋∠ C＝∠ B＋∠ D，进而只有 B 切合题意．答案： B3．如图，四边形ABCD是⊙ O 的内接四边形， E 为AB 的延伸线上一点，∠CBE＝ 40°，则∠ AOC等于 ()A． 20 °B． 40 °C． 80 °D． 100°分析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠ D ＝∠CBE ＝ 40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝ 2∠D ＝80°.答案： C4．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，以下结论中正确的有()①假如∠ A＝∠ C，则∠ A＝ 90°；②假如∠ A＝∠ B，则四边形ABCD 是等腰梯形；③∠ A 的外角与∠ C 的外角互补；④∠ A∶∠ B∶∠ C∶∠ D 能够是 1∶ 2∶3∶ 4A． 1 个B． 2 个C． 3 个D． 4 个分析：由“圆内接四边形的对角互补” 可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等 (亦可能有∠ A＝∠ B＝∠ C＝∠ D 的特例 )；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额一定相等 (这里 1＋3≠ 2＋ 4)．所以得出①③正确，②④错误．答案： B二、填空题5． (2014 陕·西高考 )如图，△ ABC 中， BC＝ 6 ，以 BC 为直径的半圆分别交AB ， AC 于点E， F，若 AC＝ 2AE，则 EF＝ ________.分析：∵ B，C， F， E 四点在同一个圆上，∴∠AEF ＝∠ ACB，又∠ A＝∠ A，∴△ AEF∽△ ACB，∴AE＝EF，AC BC即1＝EF，∴ EF ＝ 3.2 6答案： 36．如图，直径 AB＝ 10，弦 BC ＝8，CD 均分∠ ACB，则 AC ＝______，BD＝ ________.分析：∠ ACB＝90°，∠ ADB ＝90°.在Rt△ABC 中，AB＝10，BC＝8，∴ AC＝ AB2－ BC2＝ 6.又∵ CD 均分∠ ACB.即∠ ACD＝∠ BCD，∴AD＝BD .∴ BD＝AB2＝5 2.2答案： 6 5 27．如图，点A， B，C， D 都在⊙ O 上，若∠ C＝ 34 °，则∠ AOB＝ ________，∠ ADB ＝________.分析：∵∠ C 和∠ AOB 分别是AB所对的圆周角与圆心角，∴∠ AOB＝ 2∠ C＝ 68°.∵周角是 360°，劣弧 AB 的度数为68°，∴优弧 AB 的度数为292°.1∴∠ ADB＝× 292°＝ 146°.答案： 68° 146°三、解答题8.已知：如图，E、 F 、 G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线 AC 与 BD 订交于 O 点，求证： E，F ， G， H 共圆．证明：法一：连结EF、FG、GH、HE .∵E、 F 分别为 AB、 BC 的中点，∴ EF∥ AC.同理 EH∥ BD .∴∠ HEF ＝∠ AOB.∵AC⊥ BD ，∴∠ HEF ＝ 90°.同理∠ FGH ＝ 90°.∴∠ HEF ＋∠ FGH ＝ 180°.∴ E、 F、G、 H 共圆．法二：连结 OE、 OF、 OG、OH .∵四边形 ABCD 为菱形．∴AC⊥ BD ，AB＝ BC＝ CD＝DA .∵ E、 F、G、 H 分别为菱形ABCD 各边的中点，∴OE＝1AB， OF＝1BC，22OG＝1CD ， OH＝1DA . 22∴OE＝OF ＝ OG ＝ OH.∴E， F，G， H 在以 O 点为圆心，以 OE 为半径的圆上．故E， F ，G， H 四点共圆．9.如图， A， B， C， D 四点在同一圆上，AD 的延伸线与BC 的延伸线交于 E 点，且 EC＝ED .(1)证明： CD∥ AB；(2)延伸 CD 到 F ，延伸 DC 到 G，使得 EF＝ EG，证明： A， B， G， F 四点共圆．证明： (1) 由于 EC＝ ED，所以∠ EDC ＝∠ ECD .由于 A， B， C， D 四点在同一圆上，所以∠ EDC ＝∠ EBA.故ECD＝∠ EBA.所以 CD ∥ AB.(2)由 (1)知， AE＝ BE.由于 EF ＝EG，故∠ EFD ＝∠ EGC，进而∠ FED ＝∠ GEC.连结 AF ，BG，则△ EFA≌ △ EGB，故∠ FAE＝∠ GBE.又CD ∥AB，∠EDC ＝∠ECD ，所以∠ FAB＝∠ GBA.所以∠ AFG ＋∠ GBA＝ 180°.故 A， B，G， F 四点共圆．10．如图，已知⊙ O 的半径为 2，弦 AB 的长为 2 3，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优弧 ADB 上的任一点(点C、D均不与A、B重合)．(1)求∠ ACB.(2)求△ ABD 的最大面积．解： (1)连结 OA、 OB，作 OE⊥ AB， E 为垂足，则AE＝BE .Rt△ AOE 中， OA＝2.AE＝1AB＝1× 2 3＝ 3. 22AE3所以 sin ∠AOE＝＝，∴∠ AOE＝ 60°，∠ AOB＝ 2∠AOE＝ 120°.又∠ ADB＝1∠ AOB，2∴∠ ADB＝ 60°.又四边形 ACBD 为圆内接四边形，∴∠ ACB＋∠ ADB ＝ 180°.进而有∠ ACB＝180°－∠ ADB ＝120°.(2)作 DF ⊥ AB，垂足为F，则△1A B·DF ＝1× 23× DF ＝ 3DF .S ABD＝22明显，当DF 经过圆心 O 时， DF 取最大值，进而 S△ABD获得最大值．此时 DF ＝ DO ＋ OF＝3， S△ABD＝3 3，即△ ABD 的最大面积是 3 3.。

圆内接四边形定理圆内接四边形定理概述：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一圆上，这种四边形具有一些特殊的性质，其中最重要的就是圆内接四边形定理。

定义：设ABCD为一个圆内接四边形，其对角线交于E点，则有以下结论：1.对角线互相平分结论：对角线AC和BD互相平分。

证明：作AE、CE、BE、DE交BD于F、G、H、I。

由于ABCD为圆内接四边形，所以∠AEB=∠CEB，∠AED=∠CED。

因此三角形AEB与三角形CEB全等，三角形AED与三角形CED全等。

所以AE=CE，DE=BE。

又因为AF+FB=BF+FC, 所以AF=FC, BG=DH。

故AF+BG=FC+DH, 即AC=BD。

因此AC和BD互相平分。

2.对角线垂直结论：对角线AC和BD垂直。

证明：连接AD、BC，并过E点作AD和BC的垂线EF和EG，则AEHF和CEIG均为矩形。

因此EH=AF, EI=DG。

又因为AE=CE, DE=BE, 所以AH=DJ, CI=BJ。

因此AH·HD=BH·HC, CI·ID=AI·IB。

又因为AH+HD=BH+HC, CI+ID=AI+IB，所以AH²-HB²=CI²-IB²。

因此AH²+CI²=BH²+IB²。

由勾股定理可知，∠ACB为直角，即对角线AC和BD垂直。

3.对角线乘积相等结论：对角线AC和BD的乘积相等。

证明：设O为圆心，则OA=OC, OB=OD。

因此OA·OC=OB·OD。

又因为AECD为一组相似的四边形，所以AE/CE=DE/BE，即AE·BE=CE·DE。

故AE·BE+CE·DE=2AE·BE。

同理，BF·FA+CD·DI=2BF·FA。

两式相加得到AC(BF+CD)=BD(AF+CE)，即AC/AF=BD/CE。

圆内接四边形边长公式
圆内接四边形边长公式：
1、内接四边形边长公式：边长a=2Rcos45°
2、圆半径R：圆半径可以是任意数值，只要满足一定条件，就可以确
定圆内接四边形的边长。

3、45°：45°是正四边形的夹角，也就是说，圆内接四边形的每个夹角
都是45°。

4、cos45°：cos（45°）=√2/2，45°是一个对角垂直的角度，cos45°的值
是√2/2，所以边长公式为：a=2Rcos45°。

5、内接四边形求周长：正四边形的面积可以通过半径R和边长a计算，用P表示正四边形的周长，则P=4a，即P=4*2Rcos45°。

6、内接四边形求面积：正四边形的面积可以由半径R和边长a计算，
用S表示正四边形的面积，则S=2Rcos45°。

总结：
圆内接四边形边长公式为：a=2Rcos45°，其中R是圆的半径，45°为正四边形的夹角，cos45°=√2/2，因此可以求出圆内接四边形的边长。

该正四边形的周长P=4a，面积S=2Rcos45°。

圆内接四边形的性质在平面几何中，圆是一个非常重要的基本概念，广泛应用于各种数学和物理问题中。

圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的特殊情况。

本文将讨论圆内接四边形的性质及相关定理，并给出相应的证明。

一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。

这意味着四边形的每一条边都是圆的切线。

二、圆内接四边形的基本特性1. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。

这个性质可以通过割线定理来证明。

割线定理指出，从一个点到圆的切点引出的两条割线所形成的夹角是切线和割线所形成的弧所对应的角的一半。

由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的对角线互相垂直。

2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线相等。

这个性质可以通过引入圆的半径来证明。

设圆的半径为r，四边形的对角线分别为d1和d2，那么可以得出d1=2r*sin(a)，d2=2r*sin(b)，其中a和b分别为两对角所对应的圆心角。

由于a和b的和等于360度，即a+b=360度，因此有sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(180/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(90)*cos((a-b)/2)=2*cos((a-b)/2)，所以d1=d2，即对角线相等。

3. 边长之和相等：圆内接四边形的相对边之和相等。

设四边形的边长分别为a、b、c、d，那么可以得出a+b=c+d。

这个性质可以通过扇形定理来证明。

扇形定理指出，圆上的两个弧所对应的圆心角相等，则这两个弧所夹的弦所代表的线段长度之和相等。

由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的边长所对应的圆心角相等，即a+c=b+d。

综上所述，a+b=c+d。

4. 周长最大：给定定圆面积情况下，圆内接四边形的周长最大。

这个性质可以通过用半径来表示四边形的边长，并应用不等式来证明。

设圆的半径为r，四边形的边长为a、b、c、d，那么有a=2*r*sin(a/2)，b=2*r*sin(b/2)，c=2*r*sin(c/2)，d=2*r*sin(d/2)。

圆内接四边形的性质（对角线相等）圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，本文将探讨圆内接四边形的性质之一——对角线相等。

1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。

这种情况下，对角线相等的性质就会出现。

2. 圆内接四边形的性质对于任意一个圆内接四边形，其对角线是相等的。

也就是说，四边形的两条对角线长相等。

证明如下：设圆内接四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，四条边分别为AB、BC、CD、DA。

连接AC和BD作为对角线。

我们需要证明|AC| = |BD|。

由于四边形的四个顶点都在同一个圆上，根据圆上弧所对的圆心角相等的性质，我们可以得到：∠ABC = ∠CDA∠BCD = ∠DAB又因为圆上的切线与半径垂直，我们可以得到：∠BAC = ∠BDC∠CBD = ∠CAD根据上述等角关系，我们可以证明△ABC与△CDA全等，以及△BCD与△DAB全等。

因此，我们可以得出以下结论：∠A = ∠C，∠B = ∠D△ABD与△CBA全等根据全等三角形的性质，我们可以得到：|AB| = |CB||AD| = |CD|因此，我们有|AC| = |AB| + |BC| = |CB| + |CD| = |BD|。

这样，我们证明了对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。

3. 圆内接四边形的应用圆内接四边形的对角线相等这一性质在几何学中有广泛应用。

例如，当我们需要求解一个圆内接四边形的对角线长度时，我们可以利用这一性质进行计算。

另外，对角线相等还可以用于证明其他性质，扩展到更复杂的几何问题中。

4. 总结圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。

对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。

这一性质可以通过等角关系和全等三角形的性质进行证明。

圆内接四边形的对角线相等性质在几何学中有广泛应用，可以用于计算和证明其他性质。

通过本文的讨论，我们对圆内接四边形的对角线相等性质有了更深入的了解，也增加了对几何学中相关概念的理解。

初中圆内接四边形知识点圆内接四边形是初中数学中的一个重要概念，它涉及到了圆和四边形的关系。

本文将通过逐步思考的方式，详细介绍初中圆内接四边形的相关知识点。

第一步：理解内接四边形的概念首先，我们需要明确什么是内接四边形。

一个四边形被称为内接四边形，当且仅当四个顶点都位于同一个圆上。

第二步：认识内接四边形的性质接下来，我们来了解一些内接四边形的性质。

1.性质一：对角线互相垂直对于任意一个内接四边形，其对角线互相垂直。

这是因为对角线是圆的直径，而直径与圆上的任意一条弦垂直。

2.性质二：对角线相互平分内接四边形的对角线相互平分。

也就是说，对角线的交点是对角线的中点。

3.性质三：内角之和为360度内接四边形的四个内角之和等于360度。

这是因为四边形可以看作是两个三角形的组合，而一个三角形的内角之和是180度。

4.性质四：内接四边形是等边四边形的特例如果一个内接四边形的四个边相等，那么这个内接四边形就是等边四边形。

第三步：推导内接四边形的相关定理在初中数学中，我们还可以通过一些定理来推导内接四边形的性质。

1.定理一：圆内接四边形的内角和定理对于任意一个圆内接四边形，其内角和等于180度。

这个定理的证明可以通过将圆内接四边形分成两个三角形来完成。

2.定理二：内接四边形的对角线定理对于一个内接四边形，其对角线互相垂直且相互平分。

这个定理可以通过圆的性质以及对角线互相垂直的性质进行证明。

第四步：解题思路和应用最后，我们可以通过解题来巩固对圆内接四边形的理解。

在解题时，我们可以首先根据题目中给出的条件，判断是否为内接四边形。

然后，可以利用内接四边形的性质和相关定理，进行推导和计算。

例如，我们可以通过已知内接四边形的一个角的度数，计算其他角的度数。

或者，通过已知内接四边形的一个边的长度，计算其他边的长度。

总结初中圆内接四边形是数学中一个重要的概念，它涉及到了圆和四边形的关系。

通过逐步思考，我们可以了解到内接四边形的性质和相关定理，并且可以通过解题来巩固和应用这些知识点。

圆内接四边形定义什么是圆内接四边形圆内接四边形是指一个四边形，其四个顶点都在同一个圆的圆周上，并且四个边都切割该圆。

圆内接四边形也被称为圆角四边形。

圆内接四边形的特点1.圆内接四边形的四个内角之和等于360度。

2.圆内接四边形的对角线相互垂直，且互相平分。

3.圆内接四边形的相对边长之和保持不变。

4.圆内接四边形的内角对应的两个弧度测度之和等于180度。

圆内接四边形的分类根据四边形的属性，圆内接四边形可以分为以下几类： ### 矩形矩形是一种特殊的圆内接四边形，它的相邻两边长度相等且对角线相等。

矩形的内角都是90度，因此也是一个平行四边形。

正方形正方形也是一种特殊的矩形和圆内接四边形。

正方形的四条边都相等且内角都是90度。

平行四边形平行四边形是另一种常见的圆内接四边形，它的对边是平行的，且相邻两边长度相等。

菱形菱形也是一种圆内接四边形，它的四条边都相等，相邻两边长度相等，且对角线相互垂直且平分。

不规则四边形不规则四边形是指除了上述几种特殊情况外的圆内接四边形。

它的四边长度和内角大小都可以不相等。

圆内接四边形的性质圆内接四边形有一些独特的性质，下面将逐一介绍。

### 1. 对角线垂直且平分圆内接四边形的对角线相互垂直且平分，即两条对角线的交点是对角线的中点。

这个性质在证明圆内接四边形的特性时非常有用。

2. 相对角之和为180度圆内接四边形的相对角之和等于180度，即对角线所夹的两个内角之和为180度。

这个性质可以通过证明对角线是平行线来推导。

3. 外接圆圆内接四边形的四个顶点都在同一个圆的圆周上，因此可以构成一个外接圆。

外接圆的性质是，四边形的任意一条边都是外接圆的切线。

4. 内接圆圆内接四边形的四条边都切割同一个圆，因此可以构成一个内接圆。

内接圆的性质是，四边形的任意一条边都是内接圆的切线。

圆内接四边形的应用圆内接四边形可以应用于许多几何问题中，如建筑设计、机械加工等。

以下是一些常见应用场景： 1. 建筑设计：在建筑设计中，圆内接四边形可以用来构建有趣的立面形状，增加建筑的艺术感和视觉效果。

平面几何的圆与圆内接四边形圆与圆内接四边形是平面几何中重要的几何形状之一。

它由一个内切于圆的四边形组成，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍圆与圆内接四边形的定义、性质和相关定理。

一、定义圆与圆内接四边形是指一个四边形，其四个顶点都位于圆上，且四条边都切到圆的某一个点处。

这个四边形中的相邻两边之间的角度是直角。

二、性质1. 四边形的对边互相平行：在圆内接四边形中，对边之间互相平行。

因为两个对边都是切线，切线与半径之间的夹角是直角，所以两条对边之间也是直角。

2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线互相相等。

这是因为圆的直径是最长的，而圆内接四边形的对角线分别是相邻顶点到圆心的半径，所以对角线相等。

3. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。

这是因为两条对角线分别是相邻顶点到圆心的半径，而圆的半径垂直于切线，所以对角线互相垂直。

三、相关定理1. 矩形的特殊情况：当圆内接四边形的两对对边互相平行，而且对角线相等时，这个四边形是一个矩形。

2. 正方形的特殊情况：当圆内接四边形的两对对边互相平行，对角线相等，并且四个角都是直角时，这个四边形是一个正方形。

3. 拉格朗日定理：设a、b、c、d为圆内接四边形的四边的长度，p 为半周长，则满足拉格朗日定理：a² + c² = b² + d² = p²/2.四、例题解析例题1：已知圆O的半径为r，P、Q、R、S分别为圆上的四个点，作PQ与RS的连线。

证明：PQRS是一个圆内接四边形。

解析：首先，根据定义可知P、Q、R、S都位于圆O上，然后我们需要证明相邻两边之间的角度是直角。

根据圆的性质可知，半径与切线之间的夹角是直角，所以角PQS和角PRS都是直角。

因此，PQRS 是一个圆内接四边形。

例题2：已知圆O的半径为r，P、Q、R、S分别为圆上的四个点，且PR与QS互相平行。

证明：PQRS是一个矩形。

解析：根据题目已知可知PR与QS互相平行。

圆内接四边形定义圆内接四边形定义圆内接四边形，是指一个四边形的四个顶点都在同一圆上，并且这个四边形的对角线互相垂直。

它也被称为“圆柱”，因为其形状类似于一个放在圆柱体内的四边形。

这种四边形有许多特殊性质，因此在几何学中有着重要的应用。

定义圆内接四边形是由四条弦组成的，其中每条弦都是圆上两个点之间的线段。

这样的弦可以将圆分成两部分，每一部分都包含了一个顶点和两条相邻的边。

当所有四条弦交于同一点时，它们所包含的两个部分就组成了一个完整的四边形。

特性1. 对角线互相垂直在圆内接四边形中，对角线互相垂直。

这意味着任意两条对角线都会交于同一点，并且交点同时也是该四边形所在圆心。

2. 对角线相等由于对角线互相垂直，因此它们长度也相等。

这意味着任意两条对角线长度都相等。

3. 对角线平分在一个圆内接四边形中，每条对角线都平分另一条对角线。

这意味着圆内接四边形中每两个相邻的三角形都是全等的。

4. 外接圆在一个圆内接四边形中，其四个顶点都在同一圆上。

这个圆称为外接圆，它的直径就是对角线长度。

5. 周长公式在一个圆内接四边形中，如果我们知道其中任意三条边的长度以及对角线长度，那么我们就可以计算出该四边形的周长。

周长公式如下：周长 = a + b + c + d其中a、b、c、d分别表示该四边形的四条边的长度。

6. 面积公式在一个圆内接四边形中，如果我们知道其两条对角线长度，那么我们就可以计算出该四边形的面积。

面积公式如下：面积= 1/2 × 对角线1 × 对角线2其中对角线1和对角线2分别表示该四边形的两条对角线长度。

应用由于其特殊性质和简单性质，圆内接四边形在几何学中有着广泛应用。

例如，在计算机图像处理和计算机视觉领域中，它被用来检测和识别物体的形状。

在建筑学中，它被用来设计建筑物的外观和结构。

在机械工程中，它被用来设计机器零件和工具。

总之，在各个领域中，圆内接四边形都有着广泛的应用。

圆内接四边形的特点圆内接四边形是指一个四边形中的四个顶点恰好在一个圆的圆周上，圆的内切四边形有许多独特的性质和特点。

首先，圆内接四边形的对角线相互垂直。

设四边形的顶点分别为A、B、C、D，圆心为O。

根据性质可知，OA=OC，OB=OD。

由这两个等式得出AO=OC和BO=OD。

根据圆的性质可知，AO=BO，CO=DO。

因此，AO=BO=OC=DO，因此四条边都相等，四边形是等边的。

对于任意一个圆内切四边形，它的对角线交于四边形的垂直哈密顿中心，这也是在圆内接四边形中的一个独特性质。

其次，圆内接四边形的两组对边和相互平行。

由于四边形的对边与同一个圆相切，所以可以得到相应角平等。

与边AB相对的是角C，与边BC相对的是角D，与边CD相对的是角A，与边DA相对的是角B。

从而可以得到AB与CD平行，BC与DA平行。

这也就意味着在圆内接四边形中，相对的两组边都是平行的。

这个特点在数学和几何学中也被广泛应用。

第三，圆内接四边形的对边和之和相等。

设圆内接四边形的两组对边分别为AB和CD，BC和DA，对边AB和对边CD的长度分别为a和c，对边BC和对边DA的长度分别为b和d。

根据波利亚量子不等式，可以得到a+c>=b+d。

而由于四边形是圆的内接四边形，所以a+b+c+d=2r，其中r为圆的半径。

根据上述两个式子可以得到a+c=b+d=2r/2=r。

所以，圆内接四边形的对边和之和等于半径的一半，这是圆内接四边形的另一个独特性质。

最后，圆内接四边形的面积可以通过两种方法求出。

第一种方法是利用四边形的对角线和的一半乘以圆的半径。

设四边形的对角线的和为p，圆的半径为r，根据上述性质可以得到p=4r，所以四边形的面积为(p/2) * r = 2r * r = 2r²。

第二种方法是利用四边形的边长求解，设四边形的边长分别为a、b、c、d，根据波利亚量子不等式可以得到a+b+c+d>=2√(ac+bd)，而对于圆内接四边形来说，a+b+c+d=2r，并且ac+bd=4r²，所以面积为2√(4r²)=4r。

圆的内接四边形圆的内接四边形是指一个四边形，四个顶点都位于圆的周径上，且每个顶点与圆心连线构成的向量相互垂直。

内接四边形有许多有趣的性质和应用。

在本文档中，我们将介绍内接四边形的定义、性质以及如何构造和计算它们。

定义内接四边形是指一个四边形，四个顶点A、B、C、D都位于圆的周径上，并且每个顶点与圆心O相连的半径向量OA、OB、OC、OD之间两两垂直。

以下是一个示意图：B _________ C/ // // O /A/_______D/性质1.对角线垂直：内接四边形的两条对角线AC和BD相互垂直。

2.对角线相等：内接四边形的两条对角线AC和BD相等。

3.角平分线相等：内接四边形的对角线与边之间的夹角平分线相等。

也就是说，∠BAD = ∠ABC，并且∠ABD = ∠ACD。

4.周长最大：给定一个固定的圆，它的内接四边形的周长是所有可能的四边形中最大的。

5.面积最大：给定一个固定的圆，它的内接四边形的面积是所有可能的四边形中最大的。

6.矩形特例：当内接四边形是一个矩形时，矩形的对角线相等且垂直，它的周长和面积可以通过简单的公式计算。

构造内接四边形的方法有多种方法可以构造一个内接四边形。

方法1：正方形内接四边形的构造给定一个正方形，它的对角线相等且垂直。

因此，正方形也是一个内接四边形。

方法2：菱形内接四边形的构造给定一个菱形，它的对角线相等且垂直。

因此，菱形也是一个内接四边形。

方法3：使用割线构造内接四边形给定一个圆，我们可以通过割线的方法构造出一个内接四边形。

割线是指从圆外一点上的切线与圆相交，而切点分别与圆心连线构成的四边形。

这个四边形是一个内接四边形，对角线相等且垂直。

计算内接四边形的周长和面积在已知圆的半径时，我们可以计算内接四边形的周长和面积。

周长计算公式当内接四边形是一个矩形时，其周长可以通过下述公式计算：周长 = 2 * (AB + BC)面积计算公式当内接四边形是一个矩形时，其面积可以通过下述公式计算：面积 = AB * BC结论圆的内接四边形具有许多有趣的性质，如对角线垂直、对角线相等、角平分线相等、周长最大和面积最大等。