2014届高三数学一轮复习专讲专练：3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

【全程复习方略】（广东专用）2014高考数学 3.4函数y=Asin （ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用课时提升作业 文 新人教A 版一、选择题1.（2013·东莞模拟）要得到函数y=sin(2x+3π)的图象可将y=sin 2x 的图象( ) （A ）向右平移6π个单位长度 （B ）向左平移6π个单位长度（C ）向右平移3π个单位长度（D ）向左平移3π个单位长度2.（2013·江门模拟）函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω＞0,| ϕ|＜2π)的最小正周 期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的 图象( )(A)关于点(12π,0)对称 (B)关于直线x=12π对称 (C)关于点(512π,0)对称 (D)关于直线x=512π对称3.（2013·揭阳模拟）如图是函数y=Asin(ωx+ϕ)(x ∈R,ω＞0,|ϕ|＜2π)在区间［-6π,56π］上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y=sin x(x ∈R)的图象上所有的点( )（A ）向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 （B ）向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变（D ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变4.如图所示，点P 是函数y=2sin(ωx+ϕ)(x ∈R,ω＞0)的图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点，若MP ⊥NP,则ω=( )（A ）8 （B ）8π （C ）4π（D ）4 5.已知函数f(x)=1+cos 2x-2sin 2（x-6π)，其中x ∈R ，则下列结论中正确的是( )(A)f(x)是最小正周期为π的偶函数 (B)f(x)的一条对称轴是x=3π (C)f(x)的最大值为2(D)将函数的图象左移6π个单位得到函数f(x)的图象6.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立了如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P （x,y ）.若初始位置为P 012），当秒针从P 0（注：此时t=0）正常开始走时，那么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )（A ）y=sin(t 30π+6π) （B ）y=sin(-t 60π-6π) （C ）y=sin(-t 30π+6π) （D ）y=sin(-t 30π-3π) 二、填空题7.（2013·韶关模拟）函数x 3sin()24π-,x ∈R 的最小正周期为______. 8.函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A,ω, ϕ为常数，A ＞0,ω＞0，|ϕ|＜π)的部分图象如图所示，则f(0)的值是______.9.（能力挑战题）设函数y=sin(ωx+ϕ)(ω＞0, ϕ∈(-2π,2π))的最小正周期为π，且其图象关于直线x=12π对称，则在下面四个结论中： ①图象关于点（4π,0）对称；②图象关于点（3π,0）对称；③在［0，6π］上是增函数；④在［-6π,0］上是增函数.正确结论的编号为_______. 三、解答题10.(2013·潮州模拟)已知函数f(x ）=sin(2x+3π). （1）求函数y=f(x)的单调递减区间.（2）画出函数y=f(x)在区间［0,π］上的图象.11.（2013·珠海模拟）已知函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)（其中A ＞0,ω＞0,0＜ϕ＜2π）的图象如图所示.(1)求A,ω及ϕ的值. (2)若cos α=13,求f(α+8π)的值. 12.（能力挑战题）已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的最小正周期为2，且当x=13时,f(x)的最大值为2.（1）求f(x)的解析式. （2）在闭区间［2123,44］上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴.若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选B.∵y=sin(2x+3π)=sin2(x+6π）, ∴应将y=sin 2x 向左平移6π个单位长度. 2.【解析】选D.函数的最小正周期是π,所以T=2πω=π,所以ω=2,所以函数f(x)=sin(2x+ϕ),其图象向右平移3π个单位后得到函数f(x)=sin ［2(x-3π)+ ϕ］=sin(2x+ϕ-23π)的图象,此时函数为奇函数，所以有ϕ-23π=k π,k ∈Z,所以ϕ=23π+k π,k ∈Z,因为|ϕ|＜2π,所以当k=-1时，ϕ=-3π,所以f(x)=sin(2x-3π).由2x-3π=2π+k π,k ∈Z ，得对称轴为x=512π+k 2π,k ∈Z,当k=0时，对称轴为x=512π.【变式备选】已知函数f(x)=sin(ωx+3π)（ω＞0）的最小正周期为π,则该函数的图象( )（A ）关于直线x=3π对称（B ）关于点（3π,0）对称（C ）关于直线x=-6π对称（D ）关于点（6π,0）对称【解析】选B.由T=π,∴2πω=π,得ω=2.故f(x)=sin(2x+3π).当x=3π时，2×3π+3π=π，此时sin π=0，故f(x)=sin(2x+3π)的图象关于(3π,0)对称.3.【解析】选A.由图象可知A=1，T=π.∴ω=2.图象过（-6π,0）点，结合ϕ的取值范围得2×(-6π)+ϕ=0，∴ϕ=3π.故f(x)=sin(2x+3π). 因而将y=sin x 图象左移3π得y=sin(x+3π),再将横坐标缩短为原来的12得y=sin(2x+3π).故选A.4.【思路点拨】由MP ⊥NP,MP=NP 可得△MPN 是等腰直角三角形.由P 点纵坐标可得MN 长度,从而得周期可解.【解析】选C.由图象可知MP=NP,已知MP ⊥NP ，故△MPN 为等腰直角三角形，由P 点纵坐标为2得，NM=4.故T=2×4=8.∴ω=22.T 84πππ== 5.【思路点拨】先将f(x)的解析式化为f(x)=Asin(ωx+ϕ)的形式，然后判断可知. 【解析】选D.∵f(x)=cos 2x+cos 2(x-6π) =cos 2x+cos 2xcos3π+sin 2xsin 3π=3cos 2x sin 2x )223π+=+6π)， 故A 错不是偶函数，B 错x=3π不是对称轴，C∴D 正确. 6.【解析】选C.由于秒针是顺时针旋转，故角速度ω＜0.又由每60秒转一周，故ω=-260π=-30π (弧度/秒), 由P 012，）得，1cos sin .2ϕ=ϕ= 故6πϕ=,故选C. 7.【解析】由22T 4.1||||2ππ===πω 答案：4π8.【解析】由题图可知T 722,T .T, 2.41234πππππ=-=∴=π=∴ω==ωπ又 根据函数图象的对应关系得2×3π+ϕ=2k π+π(k ∈Z), ∴ϕ=2k π+3π(k ∈Z),又∵|ϕ|＜π,∴ϕ=3π,则3π),∴3π=9.【解析】∵y=sin(ωx+ϕ)最小正周期为π,∴ω=2ππ =2.又其图象关于直线x=12π对称， ∴2×12π+ϕ=k π+2π (k ∈Z).∴ϕ=k π+3π,k ∈Z.由ϕ∈(-2π,2π),得ϕ=3π,∴y=sin(2x+3π).令2x+3π=k π(k ∈Z),得x=k 26ππ- (k ∈Z). ∴y=sin(2x+3π)关于点（3π,0）对称，故②正确.令2k π-2π≤2x+3π≤2k π+2π(k ∈Z)，得k π-512π≤x ≤k π+12π (k ∈Z)， ∴函数y=sin(2x+3π)的单调递增区间为［k π-512π,k π+12π］(k ∈Z).∵［-6π,0］［k π-512π,k π+12π］(k ∈Z)，∴④正确.答案：②④10.【解析】（1）由2k π+32x 2k 232πππ≤+≤π+ (k ∈Z), 得k π+12π≤x ≤k π+712π(k ∈Z). ∴函数的单调递减区间是［k π+12π,k π+712π］(k ∈Z).(2)∵0≤x ≤π,∴72x 333πππ≤+≤.列表如下：画出图象如图所示：11.【解析】(1)由图知A=2,T=2(588ππ-)=π, ∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+ϕ).又∵f(8π)=2sin(4π+ϕ)=2, ∴sin(4π+ϕ)=1,∴4π+ϕ=2π +2k π, ϕ=4π+2k π(k ∈Z), ∵0＜ϕ＜2π,∴ϕ=4π.(2)由(1)知：f(x)=2sin(2x+4π),∴f(α+8π)=2sin(2α+2π)=2cos 2α=4cos 2α-2=4×(13)2-2=-149.【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧（1）给出图象求y=Asin(ωx+ϕ)+b 的解析式的难点在于ω, ϕ的确定，本质为待定系数，基本方法是①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．（2）由图象求性质的时候，首先确定解析式，再根据解析式求其性质，要紧扣基本三角函数的性质.例如，单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点. 【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|＜2π，x ∈R)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式.(2)当x ∈[-6,-23]时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝4π. 又图象经过点(－1,0)，∴2sin(-4π+ϕ)＝0， ∴ϕ=k π+4π,k ∈Z,∵|ϕ|＜2π， ∴ϕ＝4π.∴f(x)＝2sin(4πx+4π).(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2)＝2sin(4πx+4π)＋2sin(4πx+2π+4π)＝4πx.∵x ∈[-6,-23]，∴3x .246πππ≤≤-－∴当4πx ＝-6π，即x ＝-23时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)当4πx ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值－12.【解析】（1）由T=2知2πω=2得ω=π.又因为当x=13时f(x)max =2知A=2.且13π+ϕ =2k π+2π(k ∈Z), 故ϕ=2k π+6π(k ∈Z).∴f(x)=2sin(πx+2k π+6π)=2sin(πx+6π)，故f(x)=2sin(πx+6π).（2）存在.令πx+6π=k π+2π(k ∈Z),得x=k+13 (k ∈Z).由21123k .434≤+≤ 得5965k 1212≤≤，又k ∈Z ，知k=5. 故在［2123,44］上存在f(x)的对称轴，其方程为x=163.。

1．三角函数的图象及其变换了解三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质的综合应用会利用y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与性质求参数的值或范围、确定函数解析式．知识点一 五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念易误提醒 五点法作图中的五点是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象上五个关键点，两个最值点，三个零点，在实际作图中，这是首先要考虑的五个点，但也不能只依赖这五个点，其它的特殊点也应考虑．必备方法 由y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定第一个零点的方法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口．具体如下： “第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.[自测练习]1．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、__________、________、________、________.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，0 2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析：由题意知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6，又T ＝6，故选A.答案：A知识点二 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的变换由y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象 (1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移易误提醒 (1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(2)由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[自测练习]3．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋12， ∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可．答案：C4．把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 解析：由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x . 答案：A5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A ＝1，T ＝4⎝⎛⎭⎫712π－π3＝π，∴ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 答案：－π6考点一 五点法描图|已知函数f (x )＝cos 2x －2sin x cos x －sin 2x .(1)将f (x )化为y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f (x )在[0，π]上的图象． [解] (1)f (x )＝cos 2x －sin 2x －2sin x cos x ＝cos 2x －sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x －22sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)列表：2x ＋π4π4 π2 π 32π 2π 94π x 0 π8 38π 58π 78π π f (x )1－221图象为：用“五点法”作图应注意四点(1)将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的形式． (2)求出周期T ＝2πω.(3)求出振幅A .(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．1．(2015·合肥模拟)设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． 解：(1)最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32， ∴sin φ＝－32.∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表：图象如图所示．考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式|(1)(2016·青岛一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f ()x 1＋x 2＝( )A ．1 B.12 C.22D.32[解析] 观察图象可知，A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝⎛⎭⎫－π6，0代入上式得sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0， 由|φ|<π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，∴x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32.故选D. [答案] D(2)(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．[解析] 由图象知周期T ＝12，最低点的坐标为(9,2)， 代入得π6×9＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝0， 当x ＝6＋3T4＝15时，y 最大，列式得y max ＋22＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋k ， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫π6×15＋k ＋22＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6×6＋k ，∴k ＝5，∴y max ＋22＝k ，y max ＝8. [答案] 8确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2.(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT .(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2 ；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.2．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (ω>0,0≤φ<2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．解析：由图象可知B ＝20，A ＝30－102＝10，T 2＝14－6＝8，T ＝16＝2πω，解得ω＝π8. 将(6,10)代入y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ＋20可得sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝－1， 由0≤φ<2π可得φ＝3π4，∴y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20.答案：y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换与性质应用|三角函数的图象变换与性质在高考中是每年的必考点之一，在选择题或解答题中出现，常考查基本的图象变换，稍难的题中是图象变换与三角函数的单调性、奇偶性、对称性相结合，成为小综合题．归纳起来常见的探究角度有：1．由y ＝A sin(ω1x ＋φ1)变换到y ＝A sin(ω2x ＋φ2)型． 2．由y ＝A cos(ω1x ＋φ1)变换到y ＝A sin(ω2x ＋φ2)型． 3．图象变换与性质相结合．探究一 由y ＝A sin(ω1x ＋φ1)变换到y ＝A sin(ω2x ＋φ2)型1．(2015·高考山东卷)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin 4⎝⎛⎭⎫x －π12，故要将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．故选B. 答案：B探究二 由y ＝A cos(ω1x ＋φ1)变换到y ＝A sin(ω2x ＋φ2)型2．为了得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象，可以将y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位解析：∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，故将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象． 答案：A探究三 图象变换与性质结合3．(2015·长春二模)已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋12cos 2x ，若将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为( )A.π6B.5π6C.π12D.5π12解析：由题意f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得图象对应的解析式为g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π6，则2φ－π6＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π2＋π12(k ∈Z )，又φ>0，所以φ的最小值为π12.故选C.答案：C4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增函数B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]解析：f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，由题设知T 2＝π2，∴T ＝π，ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x 的图象，g (x )是偶函数且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上是减函数，其图象关于直线x ＝－π4不对称，所以A ，B ，C 错误．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，则g (x )min ＝2cos π＝－2，g (x )max ＝2cos π3＝1，即函数g (x )的值域是[－2,1]，故选D.答案：D函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的综合应用问题的三种类型及解题策略：(1)图象变换与函数性质的综合问题．可根据两种图象变换的规则，也可先通过图象变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质．(2)图象变换与函数解析式的综合问题，要特别注意两种变换过程的区别．(3)函数图象与性质的综合问题．此类问题常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．4.三角函数图象与性质结合题的规范解答【典例】 (13分)(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象．当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域．[思路点拨] (1)将f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)型，求周期及最值． (2)利用图象变换确定g (x )表达式，再求值域． [规范解答] (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x＝12sin 2x －32(1＋cos 2x )(2分) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，(4分)因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(6分)(2)由条件可知：g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32.(8分) 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，(9分) 从而sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的值域为⎣⎡⎦⎤12，1， 那么sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.(12分) 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32.(13分) [模板形成][跟踪练习] (2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.A 组 考点能力演练1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝⎛⎭⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1D ．－12解析：由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f ⎝⎛⎭⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1，故选A. 答案：A2．(2015·洛阳期末考试)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π4解析：把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再将图象向右平移π3个单位所得函数图象的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，即y ＝－cos 2x ，令2x ＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2，k ∈Z ，即对称轴方程为x ＝k π2，k ∈Z ，故选A.答案：A3．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝( )A ．－π6B.π6 C ．－π3D.π3解析：由题图可知A ＝2，T ＝4×⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，故ω＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π12＝2，所以2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，故φ＝2k π＋π3，又|φ|<π2，∴φ＝π3.答案：D4．先把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( ) A.⎝⎛⎦⎤－32，1 B.⎝⎛⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－32，32 D ．[－1,0)解析：依题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝⎛⎭⎫－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6∈⎝⎛⎦⎤－32，1，此时g (x )的值域是⎝⎛⎦⎤－32，1，选A. 答案：A5．(2015·云南一检)已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2x )，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x )，f (x )＝a·b ，要得到y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平行移动π6个单位B ．向右平行移动π6个单位C ．向左平行移动π12个单位D ．向右平行移动π12个单位解析：由题意得：f (x )＝a·b ＝2cos 4x －2sin 4x ＝2(cos 2x ＋sin 2x )·(cos 2x －sin 2x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，而y ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π2，故只需将y ＝f (x )的图象向右平行移动π12个单位即可．答案：D6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan 4x .∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0. 答案：07.已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________． 解析：依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .由0<φ<π，得φ＝π2，故f (x )＝－12sin πx ，f ⎝⎛⎭⎫12＝－12sin π2＝－12. 答案：－128．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32 m(即OM 的长)，巨轮的半径为30 m ，AM ＝BP ＝2 m ，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为h (t )m ，则h (t )＝________.解析：本题考查三角函数的实际应用．建立如图所示的直角坐标系，设点B 的纵坐标为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，由题意知A ＝30，k ＝32，φ＝－π2，又因为T ＝12＝2πω，所以ω＝π6，y ＝30sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋32，所以吊舱P 距离地面的高度h (t )＝30sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋30.答案：30sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋309．(2016·龙岩模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图象如图所示．10．(2015·沈阳一检)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z . (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1，f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，1＋32. B 组 高考题型专练1．(2014·高考辽宁卷)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减 B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 解析：平移后的函数为y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋π3＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－π＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π，增区间：－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤712π＋k π，k ∈Z ，令k ＝0时，π12≤x ≤712π，故选B.答案：B2．(2015·高考湖南卷)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：由已知得g (x )＝sin(2x －2φ)，满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2，不妨设此时y ＝f (x )和y ＝g (x )分别取得最大值与最小值，又|x 1－x 2|min ＝π3，令2x 1＝π2，2x 2－2φ＝－π2，此时|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪π2－φ＝π3，又0<φ<π2，故φ＝π6，选D.答案：D3．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，且x ＝2π3是经过函数f (x )最小值点的一条对称轴，∴x ＝2π3－π2＝π6是经过函数f (x )最大值点的一条对称轴．∵⎪⎪⎪⎪2－π6＝12－π6，⎪⎪⎪⎪(π－2)－π6＝5π－126，⎪⎪⎪⎪0－π6＝π6，∴⎪⎪⎪⎪2－π6>⎪⎪⎪⎪(π－2)－π6>⎪⎪⎪⎪0－π6，且－π3<2<2π3，－π3<π－2<2π3，－π3<0<2π3，∴f (2)<f (π－2)<f (0)，即f (2)<f (－2)<f (0)．答案：A4．(2015·高考安徽卷)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知， 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0. 5．(2015·高考湖北卷)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 因此g (x )＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0.。