高三数学专项训练：基本初等函数小题练习

冲刺2023年高考二轮 基本初等函数、函数与方程（原卷+答案）1．函数y ＝log 2(4＋3x －x 2)的一个单调增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，4 2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2－x －14，x ≤1log a x －1，x >1，是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，12B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．若不等式x 2－log a x <0在⎝⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，则a 的取值范围是( )A ．116 ≤a <1B ．116 <a <1 C ．0<a ≤116 D ．0<a <1164．若函数f (x )＝x ＋ax －1在(0，2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，145．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示，在受噪音干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数里面的1可以忽略不计．按照香农公式，增加带宽，提高信号功率和降低噪声功率都可以提升信息传递速度，若在信噪比为1 000的基础上，将带宽W 增大到原来的2倍，信号功率S 增大到原来的10倍，噪声功率N 减小到原来的15 ，则信息传递速度C 大约增加了( )(参考数据：lg 2≈0.3) A ．87% B ．123% C ．156% D ．213%6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧||log 2x ，x >0，－x 2－4x ＋4，x <0. 若函数g (x )＝f (x )－m 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，8)C ．(0，8)D ．(0，＋∞)7．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x ＋2)＝f (－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则函数y ＝f (x )－x 3的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 8.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y (mg/m 3)与时间t (h )的函数关系为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0<t <12，1kt ，t ≥12， (如图所示)实验表明，当药物释放量y <0.75(mg/m 3)时对人体无害．(1)k ＝________；(2)为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过________分钟人方可进入房间．9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋2，x ≤0x －3＋e x，x >0 的零点个数为________. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －1，x ≤1log 2x ，x >1 ，若1<f (a )≤2，则实数a 的取值范围为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －2－102－x ，x ≤2||x －3－1，x >2，则不等式f (x )＋f (x －1)<0的解集为________．12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 恰有两个零点，则实数c 的取值范围是________．13.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数，当x ≥0时，f ′(x )－2x >0，且f (1)＝3，则f (x )>x 2＋2的解集是( )A ．(－1，0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(0，1)14．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，0≤x ≤12sin π2x －1，1<x ≤2，若关于x 的方程m ln ||x ＝f (x )至少有8个实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1ln 5B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1ln 6，1ln 5 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，0 ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1ln 5 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln 6，1ln 5参考答案1．解析：函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的定义域为（－1，4）. 要求函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间， 只需求y ＝4＋3x －x 2的增区间，只需x <32 . 所以－1<x <32 .所以函数y ＝log 2（4＋3x －x 2）的一个单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 .故选C.答案：C2．解析：当函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调递减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <112a ≥1a －54≥－1，解得14 ≤a ≤12 ，因为a >0且a ≠1，所以当x ≤1时，f （x ）不可能是增函数， 所以函数f （x ）在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 ，故选B.答案：B3．解析：当a >1时，由x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 ，可得log a x <0，则－log a x >0，又由x 2>0，此时不等式x 2－log a x <0不成立，不合题意； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递减，此时函数y ＝－log a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，又由y ＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 上单调递增，要使得不等式x 2－log a x <0在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 内恒成立，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12 2－log a 12 ≤0，解得116 ≤a <1.故选A.答案：A4．解析：函数f （x ）＝x ＋ax －1在（0，2）上有两个不同的零点等价于方程x ＋ax －1＝0在（0，2）上有两个不同的解，即a ＝－x 2＋x 在（0，2）上有两个不同的解．此问题等价于y ＝a 与y ＝－x 2＋x （0<x <2）有两个不同的交点．由下图可得0<a <14 .故选D. 答案：D5．解析：提升前的信息传递速度C ＝W log 2S N ＝W log 21 000＝3W log 210＝3Wlg 2≈10W ，提升后的信息传递速度C ′＝2W log 210S 15N ＝2W log 250SN ＝2W log 250 000＝2W ·4＋lg 5lg 2 ＝2W ·5－lg 2lg 2 ≈94W 3 ，所以信息传递速度C 大约增加了C ′－CC ＝943W －10W 10W ≈2.13＝213%.故选D.答案：D6．解析：函数g （x ）有四个不同的零点等价于函数f （x ）的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点．画出f （x ）的大致图象，如图所示．由图可知m ∈（4，8）.不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，则－4<x 1<－2<x 2<0，且x 1＋x 2＝－4.所以x 2＝－x 1－4，所以x 1x 2＝x 1（－x 1－4）＝－（x 1＋2）2＋4∈（0，4），则0<x 3<1<x 4，因为||log 2x 3 ＝||log 2x 4 ，所以－log 2x 3＝log 2x 4，所以log 2x －13 ＝log 2x 4，所以x 3·x 4＝1，所以x 1·x 2·x 3·x 4＝x 1·x 2∈（0，4）.故选A. 答案：A7．解析：由f （x ＋2）＝f （－x ）可得f （x ）关于x ＝1对称， 由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ＋2）＝f （－x ）＝－f （x ）＝－[－f （x －2）]＝f （x －2）， 所以f （x ）的周期为4,求函数y ＝f （x ）－x 3的零点问题即y ＝f （x ）－x 3＝0的解， 即函数y ＝f （x ）和y ＝x 3的图象交点问题，根据f （x ）的性质可得如图所示图形，结合y ＝x 3的图象，由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，故选B. 答案：B8．解析：（1）由题图可知，当t ＝12 时，y ＝1，所以2k ＝1，所以k ＝2. （2）由（1）可知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0<t <12，12t ，t ≥12，当t ≥12 时，y ＝12t ，令y <0.75，得t >23 ，所以在消毒后至少经过23 小时，即40分钟人方可进入房间．答案：（1）2 （2）409．解析：当x ≤0时，令x 3＋2＝0，解得x ＝3－2 ，3－2 <0，此时有1个零点；当x >0时， f （x ）＝x －3＋e x ，显然f （x ）单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－52 ＋e 12 <0，f （1）＝－2＋e>0，由零点存在定理知此时有1个零点；综上共有2个零点．答案：210．解析：若a ≤1，则f （a ）＝4a －1，故1<4a －1≤2，解得12 <a ≤log 43，故12 <a ≤log 43；若a >1，则f （a ）＝log 2a ，故1<log 2a ≤2，解得2<a ≤4； 综上：12 <a ≤log 43或2<a ≤4. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，log 43 ∪（2，4]11．解析：①当x ≤2时，x －1≤1，∵f （x ）＝10x －2－102－x 在（－∞，2]上单调递增，∴f （x ）≤f （2）＝0，又f （x －1）≤f （1）<f （2）＝0， ∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；②当2<x ≤3时，1<x －1≤2，f （x ）＝||x －3 －1＝2－x <0， 又f （x －1）≤f （2）＝0，∴f （x ）＋f （x －1）<0恒成立；③当3<x ≤4时，2<x －1≤3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝3－x ；∴f （x ）＋f （x －1）＝－1<0恒成立；④当x >4时，x －1>3，f （x ）＝||x －3 －1＝x －4，f （x －1）＝||x －4 －1＝x －5，∴f （x ）＋f （x －1）＝2x －9<0，解得x <92 ，∴4<x <92 ； 综上所述：不等式f （x ）＋f （x －1）<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 .答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，92 12．解析：因为a ⊗b ＝⎩⎨⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.，所以f （x ）＝（x 2－2）⊗（x －1）＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 ，由图可知，当－2<c ≤－1或1<c ≤2时，函数f （x ）与y ＝c 的图象有两个公共点，∴c 的取值范围是（－2，－1]∪（1，2]. 答案：（－2，－1]∪（1，2] 13．解析：令g （x ）＝f （x ）－x 2， 因为f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （－x ）＝f （x ），则g （－x ）＝f （－x ）－（－x ）2＝g （x ）， 所以函数g （x ）也是偶函数， g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ，因为当x ≥0时，f ′（x ）－2x >0，所以当x ≥0时，g ′（x ）＝f ′（x ）－2x ≥0， 所以函数g （x ）在（0，＋∞）上递增， 不等式f （x ）>x 2＋2即为不等式g （x ）>2， 由f （1）＝3，得g （1）＝2， 所以g （x ）>g （1），所以||x >1，解得x >1或x <－1，所以f （x ）>x 2＋2的解集是（－∞，－1）∪（1，＋∞）. 故选B. 答案：B14．解析：因为f （2－x ）＝f （2＋x ），且f （x ）为偶函数， 所以f （x －2）＝f （x ＋2），即f （x ）＝f （x ＋4）， 所以函数f （x ）是以4为周期的周期函数，作出y＝f（x），y＝m ln x在同一坐标系的图象，如图，因为方程m ln ||x＝f（x）至少有8个实数解，所以y＝f（x），y＝m ln |x|图象至少有8个交点，根据y＝f（x），y＝m ln |x|的图象都为偶函数可知，图象在y轴右侧至少有4个交点，由图可知，当m>0时，只需m ln 5≤1，即0<m≤1ln 5，当m<0时，只需m ln 6≥－1，即－1ln 6≤m<0，当m＝0时，由图可知显然成立，综上可知，－1ln 6≤m≤1ln 5.故选B.答案：B。

高三数学基本初等函数Ⅰ试题1.函数y＝的定义域是( )A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．[－1,1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】要使函数有意义，需解得x＞－1且x≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C.2.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】当时，函数图象与x轴有一个交点，即有一个零点，所以当时，要使函数图象与x轴还要有一个交点，而过点（0，1），所以要向下平移，所以.【考点】本小题主要考查分段函数的图象和函数零点个数问题.点评：函数的零点个数一般都转化为函数图象与x轴的交点个数解决，考查学生的数形结合能力. 3.（本小题满分12分）若二次函数满足，且函数的的一个零点为.(Ⅰ) 求函数的解析式；（Ⅱ）对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）或.【解析】(Ⅰ) ∵且∴∴………………4分（Ⅱ）由题意知：在上恒成立，整理得在上恒成立，………………………6分令∵∴………………………8分当时，函数得最大值，………………………10分所以，解得或. ………………………12分【考点】二次函数的性质；函数的零点；函数解析式的求法。

点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题，思路1：在上恒成立；思路2: 在上恒成立。

4.（本小题满分14分）设定义在(0,+)上的函数(Ⅰ)求的最小值;(II)若曲线在点处的切线方程为,求的值.【解析】(I)；(II)。

(I)当且仅当时,的最小值为(II)由题意得:①②由①②得:【考点】基本不等式；导数的几何意义；曲线的切线方程的求法。

点评：熟练应用导数的几何意义求曲线的切线方程：曲线上某点的导数就是这点切线的斜率。

5.已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数，又因为当时，f(x)为增函数，所以f(x)在R 上是增函数.又因为,所以,所以a 的取值范围为(-2,1).【考点】分段函数的奇偶性的判断，函数的单调性，解一元二次不等式.点评：判断出此分段函数是奇函数，并且是在R上的增函数是解本小题的关键，下一步就可把不等式转化为一般不等式来解即可.6.有四个命题：①函数的反函数是；②函数的图象与x 轴有两个交点；③函数的图象关于y轴对称；④若，则．其中真命题的序号是．【答案】③④【解析】由得，平方得：函数的反函数是①错误；函数在是增函数，所以函数的图象与x轴至多有一个交点. ②错误；由得：，函数.定义域是是偶函数，图象关于y轴对称；③正确；则④正确.7.下面给出四个点中，位于表示的平面区域内的点是：A．B．C．D．【答案】B【解析】不在区域内；在表示的平面区域内；故选B8.（本小题满分14分）设二次函数满足下列条件：①当∈R时，的最小值为0，且f (－1)=f(－－1)成立；②当∈(0,5)时，≤≤2+1恒成立。

基本初等函数测试题一、选择题（共60分，每小题5分）1. 已知0>x ，0>y ，2lg 8lg 2lg =+y x ，则yx 311+的最小值是A.2B.22C.4D.322. 与函数y =2x的图象关于y 轴对称的函数图象是3. 设定义在R 上的函数()f x 满足：)(i 当,m n R ∈时,()()()f m n f m f n +=⋅；()ii ()00f ≠；)(iii 当0x <时,()1f x >,则在下列结论中：①()()1f a f a ⋅-=； ②()f x 在R 上是递减函数；③ 存在x ︒,使()0f x ︒<； ④若()122f =,则1111,4466f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 正确结论的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如右图所示，则导函数()'y f x =的图象可能是A B C D5. 定义运算a ○×b=⎩⎨⎧>≤)()(b a bb a a ，则函数x x f 21)(⊗=的图象大致为6. 函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如图所示，则)1()1(-+f f 的值一定A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．小于或等于07. 设函数a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)(.0,1,0,132)(若，则实数a 的取值范围是 A ．)3,(--∞ B ．)1,(--∞ C ．),1(+∞ D ．（0，1）8. 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件： ①对任意的R x ∈都有)()4(x f x f =+；②对于任意的)()(,202121x f x f x x >≤<≤都有；③)2(-=x f y 的图象关于y 轴对称；则下列结论中，正确的是 A ．)7()5.1()5.4(f f f <-<- B ．)5.1()7()5.4(-<<-f f f C ．)5.1()5.4()7(-<-<f f f D ．)5.4()7()5.1(-<<-f f f9. 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件： ①对任意的R x ∈都有)()4(x f x f =+；②对于任意的)()(,202121x f x f x x >≤<≤都有；③)2(-=x f y 的图象关于y 轴对称；则下列结论中，正确的是 A ．)7()5.1()5.4(f f f <-<- B ．)5.1()7()5.4(-<<-f f f C ．)5.1()5.4()7(-<-<f f f D ．)5.4()7()5.1(-<<-f f f10. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=11)41()(x a x xa x f x 在R 上为减函数，则a 的取值范围为A ．（0，1）B ．（0，41） C ．)41,(-∞ D ．（41，1）11. 设函数f (x )的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称f (x )为“有界泛函”，给出以下函数： ①f (x ) =x 2， ②f (x )=2x ， ③1)(2++=x x x x f ④x x x f sin )(=其中是“有界泛函”的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．312. 已知y = f (x )是偶函数，当x > 0时，f (x ) = (x －1)2；若当]21,2[--∈x 时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值是 A ．31 B ．21 C ．1 D ．43二、填空题（共16分，每小题4分） 13. 若函数12)(22-=-+aax x x f 的定义域为R ，则a 的取值范围为___________________.14. 函数452222)(+++-=x x x xx f 的最小值为 。

高考数学基本初等函数一专题卷（附答案）一、单选题（共10题；共20分）1.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. B. C. D.2.已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（）A. B. C. D.3.若，，，，则（）A. B. C. D.4.设函数，则函数的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 75.设集合,则（）A. B. C. D.6.已知函数，若，，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知函数（），若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知函数，则函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.9.已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共6题；共7分）11.函数的反函数________.12.已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为________（结果用数值表示）13.定义，已知函数，, ，则的取值范围是________，若有四个不同的实根，则的取值范围是________．14.设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M.下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]时具有性质M，则t＝510；④若y具有性质M，则a ＝5.其中正确结论的序号是________.15.已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为________．16.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是________.三、解答题（共5题；共45分）17.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂元，对于提供的软件服务每次元；方案二：软件服务公司每日收取工厂元，若每日软件服务不超过次，不另外收费，若超过次，超过部分的软件服务每次收费标准为元．（1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式；（2）该工厂对过去天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．18.2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。

基本初等函数一、选择题1.设a =log 0.20.3，b =log 20.3，则（ ）A. B. C. D. a +b <ab <0ab <a +b <0a +b <0<ab ab <0<a +b 2.已知函数f （x ）=ln （-x 2-2x +3），则f （x ）的增区间为（ ）A. B. C. D. (‒∞,‒1)(‒3,‒1)[‒1,+∞)[‒1,1)3.设a =（），b =2，c =log 2，则（ ）13254313A. B. C. D. b <a <ca <b <cb <c <a c <a <b4.已知a =log 2e ，b =ln2，c =log ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）1213A. B. C. D. a >b >c b >a >c c >b >a c >a >b5.已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）a =log 372b=(14)13c=log 1315A. B. C. D. a >b >cb >a >c c >b >ac >a >b 6.设a =log 25，b =log 415，c =20.5，则a ，b ，c 大小关系为（ ）A. B. C. D. a >c >b a >b >c c >b >a c >a >b 7.设a =log 510，b =log 612，c =1+log 72，则（ ）A. B. C. D. c >b >a b >c >aa >c >ba >b >c8.若存在实数x ∈[2，4]，使x 2-2x +5-m ＜0成立，则m 的取值范围为（ ）A. B. C. D. (13,+∞)(5,+∞)(4,+∞)(‒∞,13)9.已知a ＞b ＞0，则下列命题成立的是（ ）A. B. C. D.sina >sinblog 2a <log 2ba 12<b12(12)a <(12)b10.现已知函数f （x ）=x 2-4x +1，且设1≤x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ≤4，若有|f （x 1）-f （x 2）|+|f （x 2）-f （x 3）|+…+|f （x n -1）-f （x n ）|≤M ，则M 的最小值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 611.已知a =3，b =2，c =ln3，则（ ）‒23‒43A. B. C. D. a <c <ba <b <cb <c <a b <a <c12.若，则有（ ）log 2a +log 12b =2A. B. C. D. a =2b b =2a a =4b b =4a二、填空题13.方程log 2（2-x ）+log 2（3-x ）=log 212的解x =______．14.函数f （x ）=的定义域为______．1‒lnx 15.已知数列{a n }满足，且a 1+a 2+a 3+…+a 10=1，则log 2a n +1=1+log 2a n (n ∈N ∗)log 2（a 101+a 102+…+a 110）=______．16.在R 上为减函数，则a 的取值范围是______．f(x)=(log 12a )x三、解答题17.已知函数f（x）=x2+4ax+2a+6．①若函数f（x）的值域为[0，+∞），求a的值；②若函数f（x）的函数值均为非负数，求g（a）=2-a|a+3|的值域．18.已知函数f（x）=ax2+2x+c的最低点为（-1，-2）．（1）求不等式f（x）＞7的解集；（2）若对任意x∈[2，4]，不等式f（x-t）≤x-2恒成立，求实数t的取值范围．19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元) 对年销售量y (单位：t)的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i (i=1，2，…8) 数据作了初步处理，得到下面的散点图：x(1) 从散点图可以初步判断，y=c+d比y=a+bx更适宜作为y关于x的回归方程类型，请用相关系数的知识加以证明(提示：比较两个回归方程对应的相关系数)x(2) 用模型y=c+d建立y关于x的回归方程；(3) 已知这种产品的年利润z (单位：千元)与x、y的关系为z=0.2y－x，根据(2) 的结果计算，年宣传费x为何值时，年利润z的预报值最大？统计数据：表中，w =x i w =18∑8i =1w i附注：可能用到的计算数据：289.8≈17;1.6≈1.25;108.81069≈0.1计算公式： r =∑ni =1(x i ‒x )(y i ‒y )∑ni =1(x i ‒x )2∑ni =1(y i ‒y )2回归方程的最小二乘估计公式：b =∑ni =1(x i ‒x )(y i ‒y )∑ni =1(x i ‒x )220.已知函数．f(x)=log 2x4⋅log 22x（1）解不等式f （x ）＞0；（2）当x ∈[1，4]时，求f （x ）的值域．21.已知幂函数在（0，＋∞）上单调递增，函数g （x ）＝2x －k ．f(x)=(m ‒1)2xm 2‒4m +2（1）求m 的值；（2）当x ∈[1，2]时，记f （x ），g （x ）的值域分别为集合A ，B ，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．f(x)=log2(4x+b⋅2x+4)22.已知函数，g（x）=x．（1）当b=-5时，求f（x）的定义域；（2）若f（x）＞g（x）恒成立，求b的取值范围．答案和解析1.B解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=，∴=，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．直接利用对数的运算性质化简即可得答案．本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档题．2.B解：由-x2-2x+3＞0，解得：-3＜x＜1，而y=-x2-2x+3的对称轴是x=-1，开口向下，故y=-x2-2x+3在（-3，-1）递增，在（-1，1）递减，由y=lnx递增，根据复合函数同增异减的原则，得f（x）在（-3，-1）递增，故选：B．根据二次函数以及对数函数的性质求出函数的递增区间即可．本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．解：∵a=（）∈（0，1），b=2＞1，c=log2＜0，则c＜a＜b．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.D解：a=log2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log=log23＞log2e=a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．根据对数函数的单调性即可比较．本题考查了对数函数的图象和性质，属于基础题，5.D解：∵a=，b=，c=，且5，∴，则b=＜，∴c＞a＞b．故选：D．把a，c化为同底数，然后利用对数函数的单调性及1的关系进行比较．本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数式的单调性，是基础题．解：∵a=log25＞log24=2，2=log416＞b=log415＞log48=1.5，c=20.5=，∴a，b，c大小关系为a＞b＞c．故选：B．利用对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的单调性的合理运用．7.D解：∵a=log510=1+log52，b=log612=1+log62，c=1+log72，log52＞log62＞log72，∴a＞b＞c．故选：D．a=log510=1+log52，b=log612=1+log62，c=1+log72，由此利用对数函数的单调性能求出结果．本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的单调性的合理运用．8.B解：存在实数x∈[2，4]，使x2-2x+5-m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2-2x+5）min．令f（x）=x2-2x+5=（x-1）2+4∴函数的图象开口向上，对称轴为直线x=1∵x∈[2，4]，∴x=2时，f（x）min=f（2）=22-2×2+5=5∴m＞5故选：B．存在实数x∈[2，4]，使x2-2x+5-m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2-2x+5）min．利用配方法求二次函数的最小值，即可得结论．本题考查的重点是存在性问题，解题的关键是求二次函数的最小值，存在实数x∈[2，4]，使x2-2x+5-m＜0成立，等价于x∈[2，4]，m＞（x2-2x+5）min．易错点是与对于任意实数x∈[2，4]，使x2-2x+5-m＜0成立问题相混淆．9.D解：由a＞b＞0，y=sinx在（0，+∞）不具单调性，则sina＞sinb错误；y=log2x在（0，+∞）单调递增，则log2a＞log2b，B错误；由于y=x在（0，+∞）单调递增，可得a＞b，则C错误；由于y=（）x在（0，+∞）单调递减，可得（）a＜（）b，则D正确．故选：D．运用正弦函数、幂函数、指数函数及对数函数的单调性，即可得到结论．本题考查幂函数、正弦函数和指数函数及对数函数的单调性的运用，考查运算能力，属于基础题．10.C解：函数f（x）=x2-4x+1的对称轴为x=2，∵1≤x1＜x2＜x3＜…＜x n≤4，∴f（1）=-2，f（2）=-3，f（4）=1，∴|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≤|f（1）-f（2）|+|f（4）-f（2）|=1+4=5，∴M≥5，故选：C先求出二次函数的对称轴，求出函数的端点值，和最小值，则可得到|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x n-1）-f（x n）|≤|f（1）-f（2）|+|f（4）-f（2）|=1+4=5，问题得以解决．本题考查了二次函数的性质，以及函数恒成立的问题，属于中档题11.D解：∵a=3，b=2=，∴b＜a＜1，又c=ln3＞1，则b＜a＜c，故选：D．利用幂函数的单调性、对数函数的单调性即可得出．本题考查了幂函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.C解：，得，即a=4b．故选：C．直接由对数的运算性质计算得答案．本题考查了对数的运算性质，是基础题．13.-1解：∵方程log2（2-x）+log2（3-x）=log212，∴，即，解得x=-1．故答案为：-1．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数方程的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．14.（0，e]解：函数的定义域为：{x|}，解得0＜x≤e．故答案为：（0，e]．函数的定义域为：{x|}，由此能求出结果．本题考查对数函数的图象和性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．15.10解：∵，∴log2a n+1-log2a n=1，即，∴．∴数列{a n}是公比q=2的等比数列．则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q10=210，∴log 2（a 101+a 102+…+a 110）=． 故答案为：10．由，得到数列{a n }是公比q=2的等比数列，根据等比数列的性质以及对数的运算性质进行求解即可．本题考查了等比数列的性质，考查了对数的运算性质，是中档题．16.12＜a ＜1解：∵在R 上为减函数，∴即∴故答案为先利用指数函数的图象和性质：y=a x （0＜a ＜1）为R 上的减函数，得对数不等式，再利用对数函数的单调性解不等式即可本题考查了指数函数的图象和性质，对数函数的单调性，解简单的对数不等式17.解：①由题意，△=0，即16a 2-4（2a +6）=0，解得或a =-1；a =32②由题意，△≤0，解得，‒1≤a ≤32∴g （a ）=2-a （a +3）=-a 2-3a +2=，‒(a +32)2+174∵g （a ）在上递减且，g （-1）=4，[‒1，32]g(32)=‒194∴g （a ）值域为．[‒194，4]①由f （x ）的值域为[0，+∞）便有△=0，这样即可解出a ；②由f （x ）≥0恒成立，便有△=16a 2-4（2a+6）≤0，这样便可解出-1≤a≤，根据a 的范围便可去绝对值号得到g （a ）=-a 2-3a+2，根据该二次函数的对称轴即可判断g （a ）在区间[-1，]上的单调性，从而求出g （a ）的值域．考查二次函数的图象和x 轴的位置关系同判别式△取值的关系，解一元二次不等式，根据二次函数的对称轴判断二次函数在一闭区间上的单调性的方法，根据单调性求函数在闭区间上值域的方法，要熟悉二次函数的图象．18.解：（1）依题意，得-=-1，①22a f （-1）=a -2+c =-2，②由①②解得，a =1，c =-1．∴f （x ）=x 2+2x -1．则原不等式可化为x 2+2x -8＞0，解得x ＜-4或x ＞2．故不等式f （x ）＞7的解集为（-∞，-4）∪（2，+∞）．（2）对任意x ∈[2，4]，不等式f （x -t ）≤x -2恒成立，得（x -t +1）2-2≤x -2，即-≤x -t +1≤，则x -≤t -1≤x +，x x x x 即（-）2-≤t -1≤（+）2-．x 1214x 1214∵x ∈[2，4]，∴（+）2-的最小值是（+）2-=2+．x 1214212142∴（+）2-的最大值是（-）2-=2．x 121421214∴2≤t -1≤2+，即3≤t ≤3+．22故实数t 的取值范围是[3，3+]．2（1）根据二次函数的性质求出a=1，c=-1，再解f （x ）＞7即可， （2）对任意x ∈[2，4]，不等式f （x-t ）≤x-2恒成立转化为（-）2-≤t-1≤（+）2-，求出范围即可本题考查二次函数的性质、二次不等式的求解及恒成立问题，深刻把握“三个二次”间的关系是解决问题的关键，恒成立问题常转化为函数最值解决．19.解：(1) 对数据(x i ，y i )：r 1=，对数据(w i ，y i ) ：r 2=，所以，=，108.8×289.81069× 1.6≈ 1.71.25=1.36所以r 2=1.36r 1>r 1；(2) 令，先建立关于的线性回归方程:w =x y w ，^ d =∑8i =1(w i ‒w )(y i ‒y )∑8i =1(w i ‒w )2=108.81.6=68^ c =y ‒^ d w =563‒68×6.8=100.6所以：y =100.6x +68w ，因此关于的线性回归方程为y =100.6x +68；y x x (3)依题意：z =0.2y －x =z =0.2(100.6x +68)－x =－x +13.6+20.12，x x 所以，当，即时，z 取得最大值，x =13.62=6.8x =46.24故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.本题主要考查统计案例。

高三初等函数专项练习题一、选择题1. 函数y = 2x - 3的图像关于y轴的对称图是：A. y = 3x + 2B. y = -2x - 3C. y = -2x + 3D. y = 3x - 22. 函数y = x^2 - 4x + 3的零点是：A. x = 1和x = 3B. x = -1和x = 3C. x = 1和x = -3D. x = -1和x = -33. 函数y = log2(x + 1)的定义域是：A. (-∞, -1]B. (-∞, 1]C. [0, ∞)D. (-∞, 0)4. 函数f(x) = 3^x的反函数是：A. f^(-1)(x) = log3(x)B. f^(-1)(x) = log(x)/log(3)C. f^(-1)(x) = log(x)/log(3)D. f^(-1)(x) = log3(x)/log(3)5. 已知函数g(x) = x^3 - 2x，若g(a) = 4，则a的值是：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题1. 设函数f(x) = log2(x) - 2，满足f(x) > 0，则x的取值范围是_____。

2. 函数y = 2^x的图像在y轴上的截距为_____。

3. 函数y = 3x^2 + 2x - 1的顶点坐标为_____。

4. 函数f(x) = 4x^2 + bx + 9的判别式为_____，若方程f(x) = 0有两个实数根，则b的取值范围是_____。

5. 函数y = log3(x + 2)的反函数是_____。

三、解答题1. 函数y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1的极值点和拐点分别是多少？画出该函数的草图。

2. 已知函数f(x) = x^2 - ax + 4的图像关于直线y = x对称，求a的值。

3. 在直角坐标系中，过点(2, 4)且与x轴的夹角为π/3的直线与函数y = 3x^2 - bx的图像交于两点，求b的值。

高中数学专项训练（基本初等函数真题版本）（含答案）1. 下列函数中，在区间(−1,1)上为减函数的是A. y =11−xB. y =cosxC. y =ln(x +1)D. y =2−x2. 已知a =2−13，b =log 213，c =log 1213，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >b >aD. c >a >b 3. 设a =log 54，b =(log 53)2，c =log 45，则( )A. a <c <bB. b <c <aC. a <b <cD. b <a <c4. 在同一直角坐标系中，函数y =1a x ，y =1og a (x +12)(a >0且a ≠1)的图象可能是( )A.B.C.D.5. 已知a =log 52，b =log 0.50.2，c =0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <c <bB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 6. 已知a =log 27，b =log 38，c =0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c <b <aB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b 7. 已知b >0，log 5b =a ，lgb =c ，5d =10，则下列等式一定成立的是( )A. d =acB. a =cdC. c =adD. d =a +c 8. 已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A. x 3>y 3B. sinx >sinyC. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)D. 1x 2+1>1y 2+19. 设y 1=40.9，y 2=80.48，y 3=(12)−1.5，则( )A. y 3>y 1>y 2B. y 2>y 1>y 3C. y 1>y 2>y 3D. y 1>y 3>y 210. 若函数e x f(x)(e =2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是( )A. f(x)=2−xB. f(x)=x 2C. f(x)=3−xD. f(x)=cosx11. 函数的定义域为( )A. (0,2)B. (0,2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)12. 对二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A. −1是f(x)的零点 B. 1是f(x)的极值点 C. 3是f(x)的极值 D. 点(2,8)在曲线y =f(x)上 13. 已知α∈{−2,−1,−12,12,1，2，3}，若幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0,+∞)上递减，则α=______．14. 设常数a ∈R ，函数f(x)=log 2(x +a)，若f(x)的反函数的图象经过点(3,1)，则a =______．15. 已知函数f(x)=|2x −2|−b 有两个零点，则实数b 的取值范围是______． 16. 已知函数f(x)=a x +b(a >0,a ≠1)的定义域和值域都是[−1,0]，则a +b =______．17. 方程log 2(9x−1−5)=log 2(3x−1−2)+2的解为______． 18.设函数f(x)=2x ，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有下列命题 ①f(x 1+x 2)=f(x 1)⋅f(x 2)； ②f(x 1⋅x 2)=f(x 1)+f(x 2)；； ④f(x 1+x 22)= f(x 1)+f(x 2)2．其中正确的命题序号是 ______．19. 函数f(x)=log 2√x ·log √2(2x)的最小值为______．20. 已知函数f(x)={2x −a,x ≤0,x 2−3ax +a,x >0有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．21. 若a =log 43，则2a +2−a =______．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函数和指数函数的单调性，指数式的运算，属于基础题．根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(−1,1)上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A选项．在(−1,1)上，x增大时，−x减小，1−x减小，∴11−x 增大；∴函数y=11−x在(−1,1)上为增函数，即该选项错误；B选项．y=cosx在(−1,1)上没有单调性，∴该选项错误；C选项．在(−1,1)上，x增大时，x+1增大，ln(x+1)增大，∴y=ln(x+1)在(−1,1)上为增函数，即该选项错误；D选项．y=2−x=(12)x；∴根据指数函数单调性知，该函数在(−1,1)上为减函数，∴该选项正确．故选D．2.【答案】D【解析】解：∵0<a=2−13<20=1，b=log213<log21=0，c=log1213=log23>log22=1，∴c>a>b．故选：D．利用指数式的运算性质得到0<a<1，由对数的运算性质得到b<0，c>1，则答案可求．本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查对数函数的单调性的应用，属于基础题．利用对数函数单调性比较大小，因为0=log51<log53<log54<log55=1，c=log45>log44=1，所以b<a<c．【解答】解：∵0=log51<log53<log54<log55=1，∴(log53)2<log53，∴b<a，又c=log45>log44=1，∴b<a<c，故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题． 对a 进行讨论，结合指数，对数的性质即可判断； 【解答】解：由函数y =1a x ，y =1og a (x +12)，当a >1时，可得y =1a x 是递减函数，图象恒过(0,1)点， 函数y =1og a (x +12)，是递增函数，图象恒过(12,0)； 当1>a >0时，可得y =1a x 是递增函数，图象恒过(0,1)点， 函数y =1og a (x +12)，是递减函数，图象恒过(12,0)；∴满足要求的图象为：D 故选D ． 5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属中档题．本题先将a 、b 、c 的大小与1作个比较，发现b >1，a 、c 都小于1.再对a 、c 的表达式进行变形，判断a 、c 之间的大小。

高中数学试卷代数——基本初等函数列练习题一、单选题1．已知函数f(x)＝a x，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f(x1)·f(x2)等于()A．1B．a C．2D．a22．已知函数f(x)={log a x,x>0a x,x≤0（a>0，且a≠1），则f(f(−1))=（）A．1B．0C．-1D．a3．已知函数f（x）=(3m2−2m)x m是幂函数，若f（x）为增函数，则m等于（）A．−13B．-1C．1D．−13或14．函数f(x)=(13)x−√x的零点所在的区间为（）A．(0，13)B．(13，12)C．(12，1)D．(1，2)5．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与M N最接近的是（）．（参考数据：lg3≈0.48）A．B．C．D．6．若y=x2，y=(12)x，y=4x2，y=x5+1，y=(x−1)2，y=x，y=a x(a>1)上述函数是幂函数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．已知函数f(x)=|log3(x−1)|−(13)x有两个零点x1，x2，则（）A．x1x2<1B．x1x2>x1+x2C．x1x2<x1+x2D．x1x2=x1+x2 8．化简(1+2 −132)(1+2 −116)(1+2 −18)(1+2 −14)(1+2 −12)的结果是（）A．(1−2−132)−1B．12(1−2−1 32)−1C．1−2 −132D．12(1－2 −132)9．a=log20.7，b=（15）23，c=（12）﹣3，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c 10．函数f(x)=x2−2|x|−m的零点有两个，求实数m的取值范围（）A ．−1<m <0B ．m >0 或 m =−1C ．m >0 或 −1≤m <0D ．0<m <111．函数f （x ）=2x +x 3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数 f(x)={x ，x ≤0x 2−x ，x >0 ，若函数g （x ）=f （x ）﹣m 有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A ．[−12，1]B ．[−12，1)C ．(−14，0)D ．(−14，0]13．设函数f(x)={21−x ，x ≤11−log 2x ，x >1则满足f(x)≤2的x 取值范围是（ ）A ．[-1，2]B ．[0，2]C ．[1，+∞）D ．[0，+∞）14．若直线y=a 与函数y=|lnx+1x3|的图象恰有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{e 23}B ．（0，e 23）C ．（e 23，e ）D ．（1e ，1）∪{e 23}15．已知曲线f(x)=−1x在点(−1，f(−1))处的切线l 与曲线g(x)=alnx 相切，则实数a 所在的区间为（ln2≈0.69，ln5≈1.61）（ ） A ．(2，3)B ．(3，4)C ．(4，5)D ．(5，6)16．方程2x •x 2=1的实数解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．317．已知函数 f(x)=lnxx −a ， g(x)=3(lnx−ax)lnx，若方程 f(x)=g(x) 有2不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−∞,e)B ．(0,1e )C ．(−∞,0)∪(e,+∞)D ．(e,+∞)二、填空题18．计算：lg2+lg 10012−lg √2 = ．19．函数 f(x)=(13)x 在 (−1，+∞) 上的值域为 ．20．设 2a =5b =m ，若 1a +1b=2 ，则 m = ．21．设函数f （x ）的图象关于原点对称，且存在反函数f ﹣1（x ）．若已知f （4）=2，则f ﹣1（﹣2）= ．22．已知函f(x)={lnx ，x >0x 2+1，x ≤0，f(a)=2，则a = .23．已知幂函数 f(x)=(m 2−5m +7)x m 2−6在区间 (0，+∞) 上单调递增，则实数 m 的值为 ．24．测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为: M =lgA −lgA 0 ，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的 倍.25．函数 f(x)={tx 2+x +1，x ≤t x +78，x >t ， f(x) 在定义域上是单调函数，则 t 的取值范围为 .26．若方程2x +x=4的解所在区间为[m ，m+1]（m∪Z ），则m= ．27．如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成角为 α=π4，传输带以0.9 m 3min ⁄ 的速度送煤，则r 关于时间t 的函数是 ，当半径为 3m 时，r 对时间t 的变化率为 .28．若 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，在 (−∞,0] 上是减函数，且 f(2)=0 ，则使得f(log 2x)<0 的 x 的取值范围是 .29．已知函数 f(x)={x 2+18x ,2≤x ≤12ax −12a +152,12<x ≤18，若对于任意的实数 x 1,x 2,x 3∈[2,18] ，均存在以 f(x 1),f(x 2),f(x 3) 为三边边长的三角形，则 a 的取值范围是 .30．函数f （x ）=log 3（x 2﹣2x+10）的值域为31．已知函数f （x ）= {x 2+1，x ≥0−1x ，x <0，若f （a ）=1，则实数a= ． 32．已知函数 f(x)=lnx −x 3 与 g(x)=x 3−ax ，若函数 f(x) 图象上存在点 P ，且点 P 关于x 轴对称点 Q 在函数 g(x) 图象上，则实数 a 的取值范围为 .33．已知函数 y =cosωx −a ， x ∈[−π，π] （其中 a ， ω 为常数，且 ω>0 ）有且仅有5个零点，则a 的值为 ， ω 的取值范围是 ． 34．已知函数 f(x)={2x 2−2，x ≥0−43x ，x <0, ，函数 g(x)=f(x)+√1−x 2+|f(x)−√1−x 2|−2ax +4a 有三个零点，则实数 a 的取值范围为 ．三、解答题35．计算下列各式的值：（1）823−(12)−2+(1681)34−(π)0 ；（2）(log 43+log 83)×log 32+2log 21 .36．计算求值：（1）(a 23⋅b −1)−12⋅a −12⋅b 13√a⋅b 56；（2）lg2−lg 14+3lg5−log 32⋅log 4937．已知指数函数 y =(1a)x ， x ∈(0，+∞) 时，有 y >1 .（1）求 a 的取值范围；（2）解关于 x 的不等式 log a (x −1)≤log a (x 2+x −6) .38．某工厂需要建一个面积为512m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？39．已知函数 f(x)=log a (2+x) ， g(x)=log a (2−x) ( a >0 且 a ≠1 )，设 ℎ(x)=f(x)−g(x) .（1）求函数 ℎ(x) 的定义域；（2）当 f(x)>g(x) 时，求 x 的取值范围.40．计算： |−7|+(−2)3+tan45°−√4 . 41．（1）化简： (3a 13b −12)2⋅√a 43÷(ab)−1(a >0，b >0) .（2）计算： log 53×(log 325+log 135)−lg4−lg250 .42．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为 y =12x 2−200x +45000 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？43．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣a ，g （x ）= 13 x 3﹣2x 2+3x+ 163．（1）讨论f （x ）零点的个数；（2）若∪x 1∪[﹣1，2]，∪x 2∪[﹣1，2]，使得f （x 1）≥g （x 2），求a 的取值范围． 44．已知函数 f(x)={x 2−2mx,x ≥0−x 2−2mx,x <0，其中 m ∈R .（1）当 m =1 时，画出函数 f(x) 的图像，并写出 f(x) 的单调区间； （2）若 f(f(1))=1 ，求满足条件所有的 m 的值.45．已知函数 f(x)=log 3(3a x)⋅log 3x9（常数 a ∈R ）.（∪）当 a =0 时，求不等式 f(x)≤0 的解集；（∪）当 x ∈[19，27] 时，求 f(x) 的最小值.46．已知函数 f(x)=2sinxsin(x +π6)+√32cos2x ．（1）求函数 f(x) 的最小值及此时 x 的取值集合；（2）若函数 g(x)=f(x +π12)−√32−a 在 x ∈[0，3π4] 时有2个零点，求实数 a 的取值范围．47．某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100kw ⋅ℎ ，按0.58元/ (kw ⋅ℎ) 计费；每月用电量超过 100kw ⋅ℎ ，其中 100kw ⋅ℎ 仍按原标准收费，超过部分按0.98元/ (kw ⋅ℎ) 计费．（1）设月用电xkw ⋅ℎ ，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式；（2）小王家第四季度用电325kw ⋅ℎ ，共交电费206.5元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过 100kw ⋅ℎ ，问小王家10月，11月和12月各用电多少 kw ⋅ℎ ？48．计算（x ﹣4y 5）﹣2•（﹣2x ﹣3y ﹣2）3•（4x ﹣1y ﹣20）﹣1． 49．已知函数f(x)=(x 2−ax)lnx +x(a ∈R ，a >0)．（1）若0<a ≤1，试问f(x)是否存在零点．若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由．（2）若f(x)有两个零点，求满足题意的a的最小整数值．（参考数据：ln2≈0.693，√e≈1.649）50．已知函数f(x)=lg(1−x)−lg(1+x).（1）解方程：f(x)=0；（2）求证：当x1∈(−1，1)，x2∈(−1，1)时，f(x1)+f(x2)=f(x1+x21+x1x2).答案解析部分1．【答案】A【知识点】有理数指数幂的运算性质【解析】【解答】因为以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，所以 x 1+x 2=0 .因为f (x )＝a x ，所以f (x 1)·f (x 2)= a x 1⋅a x 2=a x 1+x 2=a 0=1 . 故答案为：A【分析】结合题目条件，运用中点坐标计算公式，得到一个等式，运用指数运算，即可得出答案。

压轴题09基本初等函数、函数与方程题型/考向一：基本初等函数的图像与性质题型/考向二：函数的零点题型/考向三：函数模型及其应用○热○点○题○型一基本初等函数的图像与性质1.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，12，－1五种情况.一、单选题1．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>2．已知函数()2121x f x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数且是增函数B ．()f x 是偶函数且是减函数C ．()f x 是奇函数且是增函数D ．()f x 是奇函数且是减函数【答案】CA．y =B ．21y x =C ．lg y x =D ．332x xy --=4．已知函数()1,0,2x f x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩若()()6f a f a <-，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞-C ．()3,+∞D ．(),3-∞【答案】D【详解】由解析式易知：()f x 在R 上递增，又()()6f a f a <-，所以6a a <-，则3a <.故选：D5．函数()2eln 2x f x x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．已知实数1a ≠，函数()2,0,a x f x x -≥=⎨<⎩若(1)(1)f a f a -=-，则a 的值为（）A ．12B ．12-C ．14D ．14-8．函数⎣⎦的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x x =+--⎡⎤⎣⎦，有1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，()1,1x ∀∈-，()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x x x f x -=---+=+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x 为偶函数，排除AB 选项；当01x <<时，110x x +>->，则()()ln 1ln 1x x +>-，此时()()()ln 1ln 10f x x x x =+-->⎡⎤⎣⎦，排除D 选项.故选：C.二、填空题9．已知函数()2()e e x x f x x -=-⋅，若实数m 满足))2(1)f f m f -≤，则实数m的取值范围是____________．【答案】ln3-##1ln311．已知,,1x y a ∈>R ，若2x y a a a +=，且x y +的最大值为3，则函数()()212log 2f x x ax a =-++的最小值为______故当4x =时，()2432x --+取得最大值32，则()f x 的取到最小值为5-．故答案为：5-.12．幂函数y=xa ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=xa ，y=xb 的图象三等分，即有BM =MN =NA ，那么ab =______.○热○点○题○型二函数的零点判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.一、单选题1．函数()243xf x x =+-的零点所在的区间是（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】 函数()243x f x x =+-的图象是连续不间断的，根据增函数加增函数为增函数的结论知()f x 在定义域R 上为增函数,412204f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，12102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故函数()243x f x x =+-的零点所在区间是11,42⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.()a 的值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】依题意，因为函数()2cos 1f x a x x =--有且只有1个零点，所以()2cos 10f x a x x =--=有且仅有一个解，即2cos 1a x x =+有且仅有一个解，转化为cos y a x =与21y x =+有且仅有一个交点，当0a =时，cos 0y a x ==与21y x =+没有交点，所以0a ≠；当a<0时，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos ,y a x a a =∈-，当0x =时，21y x =+有最小值1，cos y a x =有最小值a<0，此时cos 0y a x ==与21y x =+没有交点，由于cos 0y a x ==与21y x =+都是偶函数，若在除去0x =之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意，所以a<0不符合题意；当0a >时，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos ,y a x a a =∈-，又因为211y x =+≥，所以当且仅当1a =时，此时0x =有唯一的交点.故选：B.3．已知()0,2πθ∈，若函数()()2sin cos sin 2f x x x x θ=-+在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则θ的值可能为（）A ．π6B ．π4C ．11π12D ．6π54．若函数2()1,0f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意函数22,0()1,0x x f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数即()2f x =的解的个数，当0x >时,令212+=x ，即1x =，符合题意；当0x ≤时，令22x -=，得=1x -，符合题意，故()()2g x f x =-的零点有2个，故选：B.5．已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．71,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]1,36．是定义在R 上的奇函数，当1,1x ∈-时，f x x =，11f x f x +=-，令()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【详解】由()()11f x f x +=-可得，()f x 的图象关于1x =对称，又由()()11f x f x +=-可得()()2()f x f x f x +=-=-，所以()4(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 以4为周期，所以作出()f x 的图象如下，()()lg g x f x x =-的零点个数即为方程()lg f x x =也即()f x 的图象与lg y x =图象的交点个数，因为lg 91,lg101<=，所以数形结合可得()f x 的图象与lg y x =图象的交点个数为故选:B.7．已知函数41,0141,02x x x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于的方程有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是（）A ．7,5⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．7,5⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭ C ．7,52⎛-- ⎝⎦D ．7,522⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，∴函数()f x 的图象与函数()y c c =∈R 的图象最多三个交点，且()f x c =有3个实数根时，13c -<<，()()()22110f x t f x t ∴+-+-=有6个不等实数根等价于一元二次方程()22110x t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，是（）A ．6B ．5C ．4D ．3二、多选题9．已知偶函数()f x 满足()()()126f x f x f -+=，()11e f -=+，且当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，则下列说法正确的有（）A ．2e a =B ．()f x 在[]18,24上为增函数C ．()320231ef -=-D ．()f x 在[]2023,0-上共有169个零点【答案】ABD【详解】因为函数()f x 为偶函数，所以()()111e f f -==+，又当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，故()11e 11e f a -=+=+，解得2e a =，故A 选项正确．因为()()()126f x f x f -+=，令6x =-，得()()()666f f f --=，故()60f =．由()()120f x f x -+=得()()12f x f x +=，即函数()f x 具有周期性且周期为12．当[)0,6x ∈时，()2e 1xf x -=+单调递减，故当(]6,0x ∈-时，函数()f x 单调递增，所以当(]18,24x ∈时，函数()f x 单调递增．又()()1860f f ==，且当(]18,24x ∈时，函数()0f x >恒成立，所以()f x 在[]18,24上为增函数，故B 选项正确．()()()()()32023121687755e 1f f f f f -=⨯+==-==+，故C 选项错误．因为当[)0,6x ∈时，()2e 1xf x -=+单调递减，所以当06x ≤<时，()420<e 1e 1f x -+<≤+，又()f x 为偶函数，所以60x -<≤时，()0f x >，又()60f -=，所以函数()f x 在[)6,6-上有且仅有一个零点，因为()f x 的周期为12，2023121687=⨯+，所以(]2016,0-上有168个零点，再考虑[]2023,2016--等价于[]7,0-这个区间，有1个零点，故最终有169个零点，故D 选项正确．故选：ABD ．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()2e 1,01,44,1 2.x x f x x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩若关于x 的不等式()m x f x ≤的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（）A ．e 16-B ．e 17-C ．e 18-D ．e 19-三、填空题11．已知函数()131,0ln ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()()2221g x f x af x a =-+-⎡⎤⎣⎦恰有4个不同的零点，则a 的取值范围是__________．【答案】()[)1,01,2- 【详解】令()()()22210g x f x af x a =-+-=⎡⎤⎣⎦，得()1f x a =-或()1f x a =+，画出()f x 的大致图象．设()f x t =，由图可知，当0t <或2t >时，()t f x =有且仅有1个实根；当0=t 或12t ≤≤时，()t f x =有2个实根；当01t <<时，()t f x =有3个实根．则()g x 恰有4个不同的零点等价于10,011a a -<⎧⎨<+<⎩或10,112a a -=⎧⎨≤+≤⎩或011,12a a <-<⎧⎨+>⎩或112,112,a a ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩解得10a -<<或12a ≤<．故答案为：()[)1,01,2-12．已知函数11,02()2(2),28x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则实数k 的取值范围是___．设()g x kx =，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则函数()f x 与()g x 的图象有且只有四个公共点，由图得，(1,1),(3,2),(5,4),(A D B C 则2481,,,357OA OB OC OD k k k k ====，则<<<OB OC OA OD k k k k ，○热○点○题○型三函数模型及其应用应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键：(1)一般程序：――→读题文字语言⇒――→建模数学语言⇒――→求解数学应用⇒――→反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.一、单选题1．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中a ，b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A ．20个月B ．40个月C ．28个月D ．32个月m /s ）可以表示为31log 2100Qv =，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以3ln2m /s ln3的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（）A ．83B ．8C ．32D ．643．0C 表示生物体内碳14的初始质量，经过t 年后碳14剩余质量01()2hC t C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0t >，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为00.4C ，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据lg 20.301≈）．正确选项是（）A ．1.36hB ．1.34hC ．1.32hD ．1.30h“ChatGTP ”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g20.3010≈）A ．72B ．74C ．76D ．78血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.9故选：B6．某企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位:mg /L ）与时间t （单位:h ）之间的关系为0e ktM M -=（其中0,M k 是正常数）．已知在处理过程中，该设备每小时可以清理池中残留污染物10%，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）A ．6小时B ．8小时C ．10小时D ．12小时媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为()000N N >，经过t （天）时间之后的热搜度变为()0etN t N α-=，其中α为冷却系数．若设某事件的冷却系数0.3α=，则该事件的热搜度降到初始的50%以下需要的天数t 至少为（）．（ln 20.693≈，t 取整数）A ．7B ．6C ．4D ．3族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.5【答案】C二、多选题9．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =，关于下列说法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为3B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积超过280m D ．若浮萍蔓延到2224m 2m 8m 、、所经过的时间分别是123t t t 、、，则2132t t t =+【答案】CD【详解】由图可知，函数过点()1,3，将其代入解析式，=3a ，故3t y =，A 选项，取前3个月的浮萍面积，分别为32m ，92m ，272m ，故增长率逐月增大，A 错误；从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B 错误；第4个月的浮萍面积为812m ，超过了802m ，C 正确；令132t =，234t =，338t =，解得：132333log 2,log 4,log 8t t t ===，1333332log 2log 8log 162log 42t t t +=+===，D 正确.故选：CD10．泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数．如某一服务设施在一定时间内到达的人数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等．其概率函数为()e !kP X k k λλλ-==，参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数．现采用某种紫外线照射大肠杆菌，大肠杆菌的基因组平均产生3个嘧啶二体．设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为Y ，()P Y k =表示经该种紫外线照射后产生k 个嘧啶二体的概率．已知Y 服从泊松分布，记为()Y Pois λ~，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，下列说法正确的有（）（参考数据：3e 0.049-=⋅⋅⋅，恒等式0e !inxi x i ==∑）A ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，存活的概率约为5%B ．设()()f k P Y k λ==，则,(1)()0,()f k f k k λ∀∈+->∈N NC ．如果()X pois λ~，那么(!)X E X λ=，X 的标准差σλ=D ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，其基因组产生的嘧啶二体个数的数学期望为3公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，下列结论正确的是（）A ．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB ．甲从家到公园的时间是30minC ．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D ．当0≤x ≤30时，y 与x 的关系式为y ＝115x 【答案】BD【详解】在A 中，甲在公园休息的时间是10min ，所以只走了50min ，A 错误；由题中图象知，B 正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C 错误；当0≤x ≤30时，设y ＝kx (k ≠0)，则2＝30k ，解得115k =，D 正确.故选：BD地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A ．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为an ，则数列{an }是等比数列【答案】ACD【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，。

第二章基本初等函数（1）（基础训练）测试题 1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A ．2x y =B ．xx y 2= C ．)10(log ≠>=a a a y xa 且 D ．x a a y log = 2．下列函数中是奇函数的有几个（ ）①11x x a y a +=- ②2lg(1)33x y x -=+- ③x y x = ④1log 1a xy x +=-A ．1B ．2C ．3D ．43．函数y x =3与y x=--3的图象关于下列那种图形对称( ) A.x 轴 B.y 轴 C.直线y x = D.原点中心对称 4．已知13x x -+=，则3322x x -+值为（ ）A .B .C .D . -5．函数y =的定义域是（ ）A ．[1,)+∞ B.2(,)3+∞ C.2[,1]3 D.2(,1]36．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ）A . 60.70.70.7log 66<<B . 60.70.70.76log 6<<C ．0.760.7log 660.7<<D . 60.70.7log 60.76<< 7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3x e D ．34x e + 二、填空题1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。

2．化简11410104848++的值等于__________。

3．计算：(log )log log 2222545415-++= 。

4．已知x y x y 224250+--+=，则log ()x xy 的值是_____________。

5．方程33131=++-x x的解是_____________。

6．函数1218x y -=的定义域是______；值域是______.7．判断函数2lg(y x x =+的奇偶性 。

INNOVATIVEDESIGN高三数学复习训练【基本初等函数、函数的应用】高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真题感悟 考点整合热点聚焦 分类突破专题训练 对接高考内容索引真题感悟 考点整合1真题感悟///////1.已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( )A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b A 解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 53＋log 58 22－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 52522－1log 58＝0， ∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138，∴log 5<log 8，∴log 3<log 5<log 8，即a <b <c .故选A.A2.若2x－2y<3－x－3－y，则( )A.ln(y－x＋1)>0B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0D.ln|x－y|<0解析　设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，y－x＋1>1，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.解析　因为x 2－2(a ＋1)x ＋a 2＋5＝0最多有2个根，所以cos (2πx －2πa )＝0至少有4个根.A 3.(2021·天津卷)设a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos （2πx －2πa ），x ＜a ，x 2－2（a ＋1）x ＋a 2＋5，x ≥a ，若f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52，114 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74，2∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52，114 C.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤2，94∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫114，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫74，2∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫114，3 由2πx －2πa ＝π2＋k π，k ∈Z 可得x ＝k 2＋14＋a ，k ∈Z.由0＜k 2＋14＋a ＜a 可得－2a －12＜k ＜－12. ①当x ＜a 时，当－5≤－2a －12＜－4时，f (x )有4个零点，即74＜a ≤94； 当－6≤－2a －12＜－5时，f (x )有5个零点， 即94＜a ≤114； 当－7≤－2a －12＜－6时，f (x )有6个零点， 即114＜a ≤134；②当x≥a时，f(x)＝x2－2(a＋1)x＋a2＋5，Δ＝4(a＋1)2－4(a2＋5)＝8(a－2)，当a＜2时，Δ＜0，f(x)无零点；当a＝2时，Δ＝0，f(x)有1个零点x＝3；当a＞2时，令f(a)＝a2－2a(a＋1)＋a2＋5＝－2a＋5≥0，则2＜a≤，此时f(x)有2个零点；时，f(x)有1个零点.所以当a＞52综上，要使f (x )在区间(0，＋∞)内恰有6个零点，则应满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧74＜a ≤94，2＜a ≤52或⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧94＜a ≤114，a ＝2或a ＞52或⎩⎪⎨⎪⎧114＜a ≤134，a ＜2. 则可解得a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤2，94∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52，114.4.已知f(x)＝|lg x|－kx－2，给出下列四个结论：(1)若k＝0，则f(x)有两个零点；(2)∃k<0，使得f(x)有一个零点；(3)∃k<0，使得f(x)有三个零点；(4)∃k>0，使得f(x)有三个零点.以上正确结论的序号是________.(1)(2)(4)解析　令f(x)＝|lg x|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lg x|，y2＝kx＋2的图象的交点个数问题.对于(1)，当k＝0时，y2＝2与y1＝|lg x|的图象有两个交点，(1)正确；对于(2)，存在k<0，使y2＝kx＋2与y1＝|lg x|的图象相切，(2)正确；对于(3)，若k<0，则y1＝|lg x|与y2＝kx＋2的图象最多有2个交点，(3)错误；对于(4)，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lg x(x>1)图象的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故(4)正确.考点整合///////1.指数式与对数式的七个运算公式(1)a m ·a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(4)log a M N ＝log a M －log a N ；(5)log a M n ＝n log a M ；(6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b N log b a(注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝logx(a>0，a≠1)的图象和性质，a分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数.3.函数的零点问题(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.4.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.2热点聚焦 分类突破///////热点一　基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(多选)下列命题中正确的是( )ABC A.∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x B.∀x ∈(0，1)，log 12x >log 13x C.∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >x 12 D.∃x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >log 13x 解析 对于A ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 的图象，如图(1)，由图可知，当x ∈(0，＋∞)时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ，故A 正确；对于B ，分别作出y ＝log 12x ，y ＝log 13x 的图象，如图(2)，由图可知，当x ∈(0，1)时，log 12x >log 13x ，故B 正确； 对于C ，分别作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，y ＝x 12的图象，如图(3)，由图可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x >x 12，故C 正确；对于D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，13时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120＝1，log 13x >log 1313＝1，所以D 错误.故选ABC.D (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3)解析　y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3.综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3).探究提高1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.2.基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化.解析　易知f (x )在定义域R 上为非奇非偶函数，B 不合题意.当x <0且x →－∞时，f (x )>0，且f (x )→＋∞，C 不合题意.当x >0且x →＋∞时，f (x )→0，知D 不合题意，只有A 满足.A 【训练1】 (1)(2021·宿州质检)函数f (x )＝x 2－1e x 的图象大致为( )(2)(多选)已知函数f (x )＝log 2(1＋4x)－x ，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )是偶函数 B.函数f (x )是奇函数C.函数f (x )在(－∞，0]上单调递增D.函数f (x )的值域为[1，＋∞)AD 解析 因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋14x －(－x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋14x ＋x ＝log 2(4x ＋1)－log 24x ＋x ＝log 2(1＋4x )－2x ＋x ＝log 2(1＋4x )－x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故A 正确，B 不正确；则当x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x >0时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，故C 不正确；由以上分析知，f (x )min ＝f (0)＝1，所以函数f (x )的值域为[1，＋∞)，故D 正确.综上所述，选AD.f ′(x )＝4x ln 4（1＋4x ）ln 2－1＝f 2×4x 4x ＋1－1＝4x－14x ＋1，热点二　函数的零点与方程///////考向1　确定函数零点个数C【例2】(1)设函数f(x)＝2|x|＋x2－3，则函数y＝f(x)的零点个数是() A.4 B.3 C.2 D.1解析　易知f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2－3，所以x≥0时，f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，所以x＝1是函数y＝f(x)在[0，＋∞)上的唯一零点.根据奇偶性，知x＝－1是y＝f(x)在(－∞，0)内的零点，因此y＝f(x)有两个零点.解析　当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ，当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，A (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0，其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( )A.4B.5C.6D.3可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x )的图象，如图.g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0，即g (x )有三个零点；当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根，即g (x )有一个零点.综上，g (x )共有四个零点.解得t ＝3或13. 当t ＝13时，可得f (x )＝13有三个实根，探究提高判断函数零点个数的主要方法(1)解方程f(x)＝0，直接求零点；(2)利用零点存在性定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数，求其图象交点问题.B【训练2】(1)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5解析　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0，2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个.解析　对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.C (2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22x －1，则关于x 的方程为f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2，6)上根的个数为( )A.1B.2C.3D.4 又∵当x ∈[－2，0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22x －1，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝f (－2)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log(x＋2)在区间(－2，6)上的图象如图所示，8根据图象可得y＝f(x)与y＝log(x＋2)在区间(－2，6)上有3个不同的交8点，即f(x)－log(x＋2)＝0在区间(－2，6)上有3个根.8考向2　根据函数的零点求参数的值或范围【例3】 (1)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )C A.－12 B.13 C.12D.1 解析　f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )，且t ∈R ，∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点.又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0，∴2a －1＝0，解得a ＝12.解析　由题意，令y ＝f (x )－ax －b ＝0，得C (2)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A.a <－1，b <0B.a <－1，b >0C.a >－1，b <0D.a >－1，b >0b ＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0.则以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论.①当a <－1时，1－a >0，可知在x ∈(－∞，0)上，g (x )单调递增，且g (x )<0；由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0，可知在x ∈[0，＋∞)上，g (x )单调递增，且g (x )≥0.此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B.设y ＝b ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）x ，x <0，13x 3－12（a ＋1）x 2，x ≥0，②当a>－1，即a＋1>0时.因为g′(x)＝x[x－(a＋1)](x≥0)，所以当x≥0时，由g′(x)<0可得0<x<a＋1，由g′(x)>0可得x>a＋1，所以当x≥0时，g(x)在(0，a＋1)上单调递减，g(x)在(a＋1，＋∞)上单调递增.如图，y＝b与y＝g(x)(x≥0)的图象至多有2个交点.当1－a>0，即－1<a<1时，由图象可得，若要y＝g(x)与y＝b的图象有3个交点，必有b<0；当1－a＝0时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a<0，即a>1时，y＝g(x)与y＝b的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去.综上，－1<a<1，b<0.故选C.探究提高1.求解第(1)题关键是利用函数f(x)有唯一零点找到解题思路.借助换元法，构造函数g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(e t＋e－t)－1，利用函数的性质求解.2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a (a <1)有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A A.(0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，43e －0.5 C.(－∞，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，43e －0.5 解析　依题设，f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a 有两个零点，∴函数y ＝e x (2x －1)的图象与直线y ＝a (x －1)有两个交点.令y ′＝[e x (2x －1)]′＝e x (2x ＋1)＝0，得x ＝－12. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－12时，y ′<0，故y ＝e x (2x －1)为减函数； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，＋∞时，y ′>0，故y ＝e x(2x －1)为增函数，如图.设直线y＝a(x－1)与y＝e x(2x－1)相切于点P(x0，y)，∴y0＝e x0(2x－1).则过点P(x0，y)的切线为y－e x0 (2x0－1)＝e x0 (2x＋1)(x－x).将点(1，0)代入上式，得x0＝0或x0＝32(舍去).此时，直线y＝a(x－1)的斜率为1.故若直线y＝a(x－1)与函数y＝e x(2x－1)的图象有两个交点，应有0<a<1.///////热点三　函数的实际应用【例4】(2020·江苏卷)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝140a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－1800b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米.(1)求桥AB的长度；解　如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足.由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－1800×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由140O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米).解　以O 为原点，OO ′所在直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy (如图所示).(2)计划在谷底两侧建造平行于OO ′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)，桥墩CD 每米造价32k (万元)(k ＞0)，问O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？设F (x ，y 2)，x ∈(0，40)，则y 2＝－1800x 3＋6x ， EF ＝160－y 2＝160＋1800x 3－6x . 因为CE ＝80，所以O ′C ＝80－x .设D (x －80，y 1)，则y 1＝140(80－x )2，记桥墩CD 和EF 的总造价为f (x )万元，所以CD ＝160－y 1＝160－140(80－x )2＝－140x 2＋4x . 则f (x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫160＋1800x 3－6x ＋32k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－140x 2＋4x ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1800x 3－380x 2＋160(0＜x ＜40). f ′(x )＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3800x 2－340x ＝3k 800x (x －20)， 令f ′(x )＝0，得x ＝20或x ＝0(舍去).列表如下：X(0，20)20(20，40)f ′(x )－0＋f (x ) 极小值 所以当x ＝20时，f (x )取得最小值.答：(1)桥AB 的长度为120米；(2)当O ′E 为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.探究提高1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e ax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流B时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过()A.9 ℃B.12 ℃C.18 ℃D.20 ℃解析　当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，∴e6a＋be24a＋b＝2168＝27，则e6a＝13.若果蔬保鲜3天，则72＝13×216＝e6a·e6a＋b＝e12a＋b，故物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过12 ℃.专题训练 对接高考3///////巩固提升A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.b ＜c ＜a D.a ＜c ＜bD 一、选择题1.(2021·天津卷)设a ＝log 2 0.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )解析　∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1. ∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1，∴a ＜c ＜b .A.2B.3C.4D.5解析　由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2.令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.A 2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( ) 由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点.。

专题11 基本初等函数（同步练习）一、指数函数例1-1．若1)32(-+=a ，1)32(--=b ，则22)1()1(--+++b a 的值是( )。

A 、41B 、22C 、32 D 、1 【答案】C 【解析】∵32-=a ，32+=b ， ∴326246)33()33()33(1)33(1)1()1(22222222==-++=++-=+++--b a ，故选C 。

例1-2．化简65312121132)(b a b a b a ⋅⋅⋅⋅---(0>a ，0>b )的结果是( )。

A 、a 1B 、aC 、b aD 、ab1 【答案】A 【解析】原式ab a b a b a b a 1653121612131656131212131=⋅=⋅⋅⋅⋅=-+-----，故选A 。

例1-3．若0961222=+++++y y x x ，则=y x )(2021( )。

A 、1-B 、0C 、1D 、3【答案】A 【解析】∵0961222=+++++y y x x ，∴0)3()1(22=+++y x ，即1-=x ，3-=y ， ∴1)1(])1[()(3320212021-=-=-=--y x ，故选A 。

例1-4．函数2713)(12-=-x x f 的定义域是( )。

A 、]1(--∞， B 、]1(，-∞ C 、)1[∞+-， D 、)1[∞+， 【答案】C 【解析】033271331212≥-=----x x ，∴31233--≥x ，312-≥-x ，1-≥x ，故选C 。

例1-5．函数124)(1++=+x x x f 的值域是( )。

A 、)1(--∞，B 、]1(，-∞C 、)1[∞+-，D 、)1(∞+，【答案】D【解析】定义域为R ，则22)12(122)2()(+=+⋅+=x x x x f ，且02>x ，则原函数值域为)1(∞+，，故选D 。

例1-6．若3181=a ，4127=b ，619=c ，则a 、b 、c 的大小关系为( )。

高三数学复习——基本初等函数、函数的应用(小题)热点一 基本初等函数的图象与性质1.指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中异同.2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况. 例1 (1)(2019·天津市十二重点中学联考)已知a ＝0.313log 0.6，b ＝121log 4，c ＝0.413log 0.5，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A.c <a <bB.b <a <cC.a <c <bD.c <b <a 答案 C解析 由题得b ＝121log 4＝2， 因为0.60.3>0.60.4>0.50.4， ∴0.313log 0.6<0.413log 0.5，0.413log 0.5＝130.4log 0.5<1310.4log 3＝0.4， 所以a <c <b .(2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，1e B.(－∞，e) C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e 答案 B解析 由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点.函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到，当a ＝0时，两函数有交点，当a <0时，向右平移，两函数总有交点，当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a )，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a <e.跟踪演练1 (1)(2019·天津市和平区质检)已知log 2a >log 2b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a >1bB.ln(a －b )>0C.2a －b <1D.⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12b答案 D解析 由log 2a >log 2b 可得a >b >0，故a －b >0，逐一考查所给的选项：A 项，1a <1b； B 项，a －b >0，ln(a －b )的符号不能确定；C 项，2a －b >1；D 项，⎝⎛⎭⎫13a <⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b .(2)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝2－ax 和g (x )＝log a (x ＋2)(a >0且a ≠1)的大致图象可能为( )。

高三数学基本初等函数Ⅰ试题1.设若，则的值是( )A．1B．2C．1D．-2【答案】C【解析】根据题中所给函数，，所以所以的值是1.【考点】本小题主要考查分段函数的求值和定积分的计算，考查学生的运算求解能力.点评：分段函数的求值是高考考查的重点，一般难度不大，定积分的运算关键是求出原函数.2.当直线与曲线有3个公共点时,实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意可知，当时，曲线当时，曲线；当时，曲线；如上图所示，当直线与曲线有3个公共点时, 实数的取值范围是.【考点】本小题主要考查分段函数、直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生数形结合思想的应用.点评：根据题意画出图形是解题的关键.3.已知=则【答案】4024【解析】因为=所以所以【考点】本小题主要考查抽象函数的性质及其应用，考查学生转化问题的能力.点评：解决抽象函数问题常用的方法是“赋值法”.4.定义在R上的函数满足恒成立，当时，，则的值为（）A．B．2C．D．－2【答案】A【解析】因为，所以此函数的周期为2,所以.5.函数，则关于函数的奇偶性的判断，正确的是（）A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是偶函数也不是奇函数【答案】A【解析】对于当时，所以f(-x)=f(x),同理，当时，f(-x)=f(x),因而f(x)为偶函数.因为,所以g(x)为奇函数，因而h(-x)=-h(x),所以h(x)是奇函数.6.函数的所有零点之和等于A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】构造函数,∵-2≤x≤4时，函数，h(x)=-2cosπx图象都关于直线x=1对称,∴函数图象关于直线x=1对称,∵-2≤x≤4时，函数，h(x)=-2cosπx图象的交点共有6个,∴函数(-2≤x≤4)的所有零点之和等于3×2=6.故选C．7.（本小题满分12分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0．7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(Ⅰ)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(Ⅱ)年销售量关于x的函数为y＝3240(－x2＋2x＋)，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？【答案】(Ⅰ) 0<x<时，本年度的年利润比上年度有所增加．(Ⅱ)当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．【解析】（Ⅰ）根据题意，要使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围．（Ⅱ）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数为零时x的值，并且考虑导数大于零和小于零时函数的增减性可知此时的x值对应的函数值是函数的最值．(Ⅰ)由题意得，上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)；本年度每辆车的出厂价为13(1＋0．7x)；本年度年销售量为5000(1＋0．4x)，因此本年度的利润为y＝[13(1＋0．7x)－10(1＋x)]·5000(1＋0．4x)＝(3－0．9x)·5000(1＋0．4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0<x<1)，由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0<x<，x在此范围内，本年度的年利润比上年度有所增加．(Ⅱ)本年度的利润为f(x)＝(3－0．9x)·3240(－x2＋2x＋)＝3240×(0．9x3－4．8x2＋4．5x＋5)．则f′(x)＝3240(2．7x2－9．6x＋4．5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，当x∈(0，)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．∴当x＝时，f(x)取极大值f()＝20000万元，∵f(x)在(0,1)上只有一个极大值，∴它是最大值，∴当x＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元．8.（本小题满分12分）已知函数是增函数.（I）求实数p的取值范围；（II）设数列的通项公式为前n项和为S，求证：【答案】⑴为所求. ⑵证明：见解析。

高三数学专项训练：基本初等函数小题练习1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2x f x x =+，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,2)-B. (2,1)-C. (,1)(2,)-∞-+∞D. (,2)(1,)-∞-+∞2．若函数()1,01≠>-+=且a b a y x的图像经过第二，第三和第四象限，则一定有A C 3( ) A C 4．已知1>a ，函数)(log x y a y a x -==与的图象只可能是（ ）5．函数y ＝a x -2＋1(a ＞0且a ≠1)的图象必经过点A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，1)D ．(2，2)6 ）7．设a ，b ，c ∈R ，且3a= 4b= 6c，则( )．(A) (C)8．已知35a b A +=，且a 1＋b1= 2，则A 的值是( )． (A)．15 (B)．15 (C)．±15 (D)．2259）A、b a c >> D 、b c a >> 10 ）A、b a c >> D 、b c a >>10 11．若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，（ ） （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C）原点对称 （D ）以上均不对12．已知3()log f x x =，则f = （ ） A.12 B.13C.3 13．已知3()log f x x =，则f =⎝⎭（ ）A.13 B.13- C.12 D.12-14．若0＜a ＜1，函数y = log a [1－(21)x ]在定义域上是( )．(A)．增函数且y ＞0 (B)．增函数且y ＜0(C)．减函数且y ＞0 (D)．减函数且y ＜0 15．已知函数y = log 5.0(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )． (A)．0≤a ≤1 (B)．0＜a ≤ 1 (C)．a ≥1 (D)．a ＞116．已知a ＞0，且10x = lg(10x)＋lga1，则x 的值是( )． (A)．－1 (B)．0 (C)．1 (D)．2 17( )A. (4,1)--B. (4,1)-C. (1,1)-D. (1,1]- 18．已知，则函数的零点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 19．设集合A=｛x|－3＜x ＜1｝，B=｛x|log 2|x|＜1｝则A∩B 等（ ） A ．（－3，0）∪（0，1） B ．（－1，0）∪（0，1） C ．（－2，1） D ．（－2，0）∪（0，1）20．设1232,2()log (1),2x e x f x x x -⎧ <⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 21．如果对于正数,,,z y x 有，那么=346z y x （ ） A ．1B ．10C ．610D ．121022 （ ）A ．a 3BC ．aD 23． 若1x 满足2225,x x x +=满足222log (1)5x x +-=，则12x x +=（ ）D. 4 24．已知lga ，lgb 是方程2x 2－4x ＋1 = 0的两个根，则(lg ba)2的值是( )．(A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．125．函数()y f x =由(2)22x yxy=⋅确定，则方程2()3x f x =的实数解有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 26．若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（ ）A BC D 27．已知幂函数mx x f =)(的图象经过点（4，2），则=)16(f （ ）28 （ ）A B C D29（a 、b 为有理数），则=+b aA ．45B ．55C ．70D ．8030．计算234()m m ⋅等于（ ）A.9mB.10mC.12mD.14m 31．下列对函数()0,2≠∈=-x R x xy 的性质描述正确的是（ ）A ．偶函数，先减后增B ．偶函数，先增后减C ．奇函数，减函数D ．偶函数，减函数 32．若幂函数f （x ）图像经过点P （4．2）．则它在P 点处的切线方程为（ ） A ．8x －y －30=0 B ．x －4y+4=0 C ．8x+y －30=0 D ．x+4y+4=033数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个34．如果幂函数()ay x a R =∈图像经过不等式组4340602x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的区域，则a的取值范围是ABCD35 ）A ．22mn> B．22log log m n > D 36．幂函数()Z m xy m m ∈=--322的图象如右图所示，则m 的值为A 、 -1＜m ＜ 3B 、0C 、1D 、237，若210x x <<，则系是（ ）D.无法确定38．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在（0，+∞）上是减函数，又()()f x f x -=，则m =（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 39．已知0,0a b >>，且为幂函数，则ab 的最大值为A B D 40．若直线l 与幂函数ny x =的图象相切于点A (2,8)，则直线l 的方程为 A ．12160x y --= B ．40x y -= C ．12160x y +-= D ．640x y --=41．幂函数)(x f y =的图象经过点（ ）42．三个数231.0=a ，31.0log 2=b ，31.02=c 之间的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜a ＜c D ．b ＜c ＜a43．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）A ． ②2y x =③④1y x -= B ． ①3y x =②2y x =③④1y x -= C ． ①2y x =②3y x =③④1y x -=D ． ③2y x =④1y x -= 44．已知幂函数2()mf x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，则(1)f m +=（ ）A ．8B ．4C ．2D ．145．若函数23()(23)m f x m x -=+是幂函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．246A.a c b <<B.a b c <<C.b a c <<D.b c a <<47．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是 ( )B. 4x y =C. 2-=x y D.48．函数f (x)＝(m 2－m －1)x 223m m －－是幂函数，且在x ∈（0，＋∞）上是减函数，那么实数 m 的值为A B ．－2 C D ．249．若幂函数()322233-+++=m m xm m y 的图像不过原点,且关于原点对称,则m 的取值是A ．2-=m B.1-=m C.12-=-=m m 或 D.13-≤≤-m 50．已知幂函数)(x f 过点，则函数)(x f 的表达式为（ ）B.()2x x f =C.()3x x f = D.高三数学专项训练：函数的性质小题练习参考答案1．B 【解析】试题分析：当0x >时，'()22ln 20xf x x =+>，知2()2x f x x =+在(0,)+∞上单调递增，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以2()2x f x x =+在R 上为单调递增函数.所以22a a ->，解得21a -<<.考点：1.函数单调性的判定；2.一元二次不等式解法. 2．A 【解析】试题分析：根据指数函数的图象可知要使函数的图象经过第二，第三和第四象限，需要0111a b <<⎧⎨-<-⎩，即010<<<b a 且. 考点：本小题主要考查指数函数的图象和平移，考查学生对函数图象平移的掌握.点评：解决此类问题，一定要画出函数的图象，数形结合是解决问题的有力工具，要灵活应用. 3．D 【解析】试题分析：44log 5log 41a =>=,0.30.3log 0.4log 0.31c =<=,所以c b a<<. 考点：本小题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数的大小.点评：当底数不同时，可以选择中间值0,1等. 4．B【解析】对于底数a>1，当则指数函数递增，对数函数递减，那么可以排除C ，A,然后根据对数函数的定义域，则x<0,那么可知选B. 5．D【解析】解：因为令x=2,y=2,函数y ＝a x -2＋1(a ＞0且a ≠1)的图象必经过点(2，2),选D 6．D【解析】解：因为根据题意，当0<a<1D,当a>1不成立。

专题12 基本初等函数综合练习一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题给出的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要求，第11-12题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）1．当)1(∞+∈，x 时，下列函数的图像全在直线x y =下方的偶函数是( )。

A 、21)(x x f = B 、2)(-=x x f C 、2)(x x f = D 、1)(-=x x f2．设0>a 且1≠a ，则“函数x a x f =)(在R 上是减函数”是“函数3)2()(x a x g ⋅-=在R 上是增函数”的( )。

A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件3．函数n a x f m x +=-)((0>a 且1≠a )必过)21(--，点，则=+n m ( )。

A 、4-B 、2-C 、2D 、34．设52)53(=a ，53)52(=b ，52)52(=c ，则a 、b 、c 的大小关系为( )。

A 、c b a >> B 、b c a >> C 、a c b >> D 、b a c >>5．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在]0(，-∞上是单调递增函数，设)7(log 4f a =，)3(log 21f b =，)2.0(6.0-=f c ，则a 、b 、c 的大小关系是( )。

A 、c b a >>B 、b c a >>C 、a c b >>D 、b a c >>6．若直线a y 2=与函数|1|)(-=x a x f (0>a 且1≠a )的图像有两个公共点，则a 的取值范围为( )。

A 、)210(， B 、)10(， C 、)121(， D 、)1(∞+， 7．函数x a x f =)((0>a 且1≠a )在区间]21[，-上的最大值为4，最小值为m ，且函数x m x g ⋅-=)41()(在)0[∞+，上是增函数，则=a ( )。