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交大数理逻辑课件5-2谓词逻辑的等值和推理演算

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交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲

交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲
3.设 A={1,2,3,4,5,6,7,8}, A上的关系 R如下定义： R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 证明：R是一个等价关系。
4．使用推理规则证明： P(QR)，S∨P, Q S R
《数理逻辑》样卷
六．应用题（共20分）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最 好，甲说：“不是我”,乙说：“是丁”,丙说：“是乙”, 丁说：“不是我”.四人的回答只有一人符合实际，问是 谁的成绩最好，若只有一人成绩最好，他是谁？
A．A=B
B．BA
C．AB
D．A≠B
8．下列一阶谓词公式中，是逻辑有效 式的是____________。
A. x(F(x) G(x))
B. xF(x) xF(x)
C. Байду номын сангаасF(x,y) R(x,y)) R(x,y)
D. xyF(x,y) xyF(x,y)
9．设 f：B→C, g：A→B. 则下面命 题是错误的是___________。
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
A. A∩B B. A∪B
C. A-B D. (A∪B)-(A∩B)
7．集合A和B定义如下，则它们之间 满足_________关系。

交大数理逻辑课件2-2 命题逻辑的等值和推理演算共35页

交大数理逻辑课件2-2 命题逻辑的等值和推理演算共35页
② (1) (A D B D) (2) ( A D B D) (3) ( A D B D) (4) ( A D B D)
是谁？
主析取范式的应用举例
② (1) (A D B D) (2) ( A D B D) (3) ( A D B D) (4) ( A D B D)
(可满足式）
用主析取范式判断公式的类型
((PQ) P)Q = ((PQ ) P) Q = ( P Q ) P Q = m10 m0x mx1 = m10 m00 m01 m01 m11 = m0 m1 m2 m3 = (0,1,2,3) =T （重言式）
主析取范式的用途
如 m1 m2 m6 用 (1,2,6) 表示。
求公式 A=(PQ)R 的主析取范式
解法1： (PQ)R
= ( P Q) R ,
= (PQ) R
（析取范式） ①
(PQ)
= (PQ) (RR)
= (PQR) (PQR)
= m6m7
②
R
=(PP) (QQ) R
=(PQR) (PQR) (PQR) (PQR)Leabharlann = (PQ)R （消去第二个）
= (PQ)R
（否定号内移——摩根律）
这已为析取范式（两个简单合取式构成）
继续： (PQ)R
= (PR)(QR) （对分配律）
这一步得到合取范式（由两个简单析取式构成）
极小项
定义
n个命题变项的简单合取式，其中每个命题变项与其否 定不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，这样 的简单合取式称为极小项。
如：两个命题变元P和Q，其极大项为：
P Q， P Q ， P Q ， P Q
M11
M10
说明

第5章_谓词逻辑_meng

第5章_谓词逻辑_meng
底是人。所以，苏格拉底是要死的。” 前提：任何人都是要死的。苏格拉底是人。 结论：苏格拉底是要死的。 从直观含义上看，该推理是正确的！ 不是永真公式，在p 符号化： 取1、q取1和r取0下 p: 任何人都是要死的。 ，命题公式pq r q: 苏格拉底是人。 的真值为0。pqr r: 苏格拉底是要死的。 不成立 推理的形式结构为 p, q ╞ r
④某一个星球存在生命。
H(x, y)：x存在y，个体变量x：星球，个体变量y：生命。 (x)(y)H(x, y)
5.2 谓词逻辑公式
由命题变元、命题常元、联结词、个体变元、 个体常量、谓词、函词、量词等组成的用以表 示复杂命题的符号串，称为一阶谓词逻辑公式 （first order predicate logic formula ），简称为谓词逻辑公式（predicate logic formula）或一阶逻辑公式（first order logic formula）。
5.1.3
函词(函数)
n元函词：
含有n个个体词的函词。 一般形式为f(x1,x2,…, xn)， 表示“由x1, x2, …和xn根据f确定的个体”。
函词对于谓词逻辑来说不是必须的!
可以借助于谓词等进行表示 但引入函数之后表示起来更方便
例
例5.2 表示如下命题中的谓词和函词。
例
例5.3-4 表示如下命题中的量词。
①空集包含于任意集合；
P(x, y)：x包含于y， 个体常量a：空集， 个体变量x：集合。 (x)P(a, x)；
②所有自然数非负；
Q(x)：x是负数，个体变量x：自然数。 (x)Q(x)；
③有一些人登上过月球；
P(x, y)：x登上过y， 个体常量a：月球， 个体变量x：人。 (x)P(x, a)；

数理逻辑-谓词逻辑

数理逻辑-谓词逻辑
US规则(全称量词消去规则) UG规则(全称量词附加规则) ES规则(存在量词消去规则) EG规则(存在量词附加规则)等
2.5 谓词逻辑地推理理论
课堂练习
本章小结
本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，
谓词逻辑推理证明
主要概念：谓词 个体词 量词 变元前束范式 推理规
则
主要方法：推理规则（US规则 UG规则 ES规则 EG规则） 主要公式： (1)命题公式的推广；(2) 量词否定式的
2.2 谓词公式
变元与辖域
自由变元有时会在量词辖域中出现，但是它 不受相应量词指导变元的约束。
当谓词公式中没有自由变元时，它就是一个 命题。
出现n个自由变元就是n元谓词。 变元可以既是约束出现又是自由出现。
例子：P44
2.2 谓词公式
换名规则：
对约束变元进行换名 就是把公式中量词的指导变元及其该量词辖域中的
2.2 谓词公式
相关概念：
字母表
项：递归定义 P43
原子公式
2.2 谓词公式
合式公式
递归定义：P43
命题常数0，1，一个命题和命题变元以及一个命题 函数P(x1,x2,…,xn)，统称原子公式
由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定 义见教材).
命题的符号化结果都是谓词公式。
约束变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式
的其余部分不变.
代入规则：
对自由变元进行代入 就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出
现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该
自由变元都换成新引入的该符号.
经过换名或代入后，公式的意义不应该改变
2.2 谓词公式
课堂练习
对P44 例1中公式用换名或代入规则

《谓词演算推理理论》课件

《谓词演算推理理论》课件

3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法

第四章 谓词演算的推理理论永真推理系统(共28张PPT)

第四章 谓词演算的推理理论永真推理系统(共28张PPT)

证明： (1) △(x) (2) △((x)((PP)(x))) (3) △((PP)(x)) (4) △((PP)x (x))
(5) △(PP)
(6) △x(x)
引用定理
(2)(1)分离
全称规则(3)
公理(1)
(4)(5)分离
则有全0规则△(x)├△x(x)
第十四页，共28页。
全n规则、存n规则
(x(P(x))(x P(x))) 分离(2)(7)
(9) x(P(x))(x P(x))
分离(6)(8)
第十九页，共28页。
例( ) 练习4.1(2)
x(P(x))(x P(x))
先证明 x(P(x)) (x P(x))
证明:
(1) x(P(x)) (P(x))
公理20
(2) x(P(x)) (x P(x))
存1规则
1(P(x))├ 1(xP(x)))
第二十页，共28页。
例(续) x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
证明:
(3) P(x) xP(x)
公理21
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x)))
公理3
(5) (xP(x))(P(x))
分(3)(4)
与有关
第七页，共28页。
（二） 公理
公理20 △(xP(x) P(x)) 公理21 △(P(x)x P(x))
与量词有关
如果只有一个自由变元，公理20与公理21可以分别
理解如下：
x(yP(y) P(x))
x(P(x)y P(y))
第八页，共28页。
（三） 规则
(1)分离规则：
如果△(AB)且△A，则△B。 (2)全称规则：

交大数理逻辑课件5-1谓词逻辑的等值和推理演算


设：P(x)是含自由变元x的任意谓词公式。
q是不含变元x的谓词公式
量词分配等值式的证明
(x)(P(x)∨q) = (x)P(x)∨q 依据：若存在一个解释I，使
A真B就真，B真A就真，则
A真Þ B真
A=B
设在一解释I下，有 (x)(P(x)∨q) =T
从而对任一个x, 使 P(x)∨q =T
又①设q=T, 有 (x)P(x)∨q =T
如由：(PQ) = PQ ，得
((x)F(x)(y)G(y)) = (x)F(x)(y)G(y)) 如由： PQ = PQ
(x)F(x)(y)G(y) = (x)F(x)(y)G(y)
5.1.2 否定型等值式
设P(x)是含自由变项x的任意谓词公式。则
¬(x)P(x) = (x)¬P(x)
¬(x)P(x) = (x)¬P(x) 设个体域为实数R
从语义上说明
P(x): x是有理数
¬(x)P(x)：并非所有的x都具有性质P，
相当于至少存在一个x不具有性质P，即(x)¬P(x)
所以：¬(x)P(x) = (x)¬P(x)
¬(x)P(x)：并不存在一个x具有性质P
相当于没有x具有性质P，即(x)¬P(x)
所以，¬(x)P(x) = (x)¬P(x)
则A=B
A真Þ B真
设任一解释I下有 ¬(x)P(x)=T
则 (x)P(x)=F 即存在一个x0,使P(x0)= F 于是，¬P(x0)= T ∴在解释I下 (x)¬P(x)=T
B真Þ A真
设任一解释I下有 (x)¬P(x)=T
即存在一个x0,使¬P(x0)=T 于是， P(x0)=F 则 (x)P(x)=F 即 ¬(x)P(x)=T

谓词逻辑的等值和推理演算-PPT精选文档

Lu Chaojun, SJTU11Fra bibliotek何转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(如果必要的话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))
Lu Chaojun, SJTU
5
量词分配等值式
• 量词对及的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x ! – 这个条件很容易满足:对约束变元改名即可.
Lu Chaojun, SJTU
6
量词分配等值式(续)
• 量词对的分配律
(x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) (x)((x)) (x)(x) – 其中 不含自由x !

谓词逻辑的等值和推理演算

• 例2:人皆有死,孔子是人,所以孔子有死.
(x)(Man(x)→Mortal(x)) Man(Confucius) → Mortal(Confucius)
• 例3:若有一种又高又胖旳人,则有一种高个子而 且有一种胖子.
(x)(Tall(x)Fat(x)) → (x)Tall(x) (x)Fat(x)
(x)P(x, f(x)) = P(1, f(1)) P(2, f(2)) • 两者明显不等值.但在(不)可满足旳意义下两者
是一致旳.
Lu Chaojun, SJTU
20
谓词逻辑旳推理
• 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以 及基本旳推理公式旳讨论和所用旳术语 都可引入到谓词逻辑中,并可把命题逻辑 旳推理作为谓词逻辑旳推理旳一种部分 来看待.
• 前束范式定理:任一公式都有与之等值旳 PNF.
Lu Chaojun, SJTU
11
怎样转化成PNF
1.消去和↔ 2.否定词内移
– 应用De Morgan律
3.约束变元易名(假如必要旳话) 4.量词左移
– 应用分配等值式
Lu Chaojun, SJTU
12
例:求PNF
((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = ((x)(y)P(a,x,y)(x)((y)Q(y,b)R(x))) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)(y)P(a,x,y) (x)((y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (y)Q(y,b) R(x)) = (x)((y)P(a,x,y) (z)Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(z)(y)(P(a,x,y) Q(z,b) R(x)) = (x)(y)(z)(P(a,x,y)Q(z,b)R(x)(pp))

05 第五次课(谓词推理)PPT文档共37页


7/18/2021
Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
15
第一章 --- 数理逻辑 P r e d i c a t e s a n d Q u a n t i谓f词i与e量r词s 存在量词消去规则简记为ES规则或ES。该式成立的条件是： （1） c是使P为真的特定的个体常项。 （2） c不在 P (x) 中出现。 （3） 若 P (x) 中除自由出现的x外，还有其它自由出现的个 体变项，此规则不能使用。
05 第五次课(谓词推理)
31、园日涉以成趣，门虽设而常关。 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
第一章 --- 数理逻辑 P r e d i c a t e s a n d Q u a n t i谓f词i与e量r词s 命题逻辑中有关推理形式、重言蕴涵以及基本的推理公式的 讨论和所用的术语，都可引入到谓词逻辑中。并可把命题逻辑的 推理作为谓词逻辑推理的一个部分来看待。 这里所介绍的是谓词逻辑所特有的、在命题逻辑里不能讨论 的推理形式和基本的推理公式。
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第一章 --- 数理逻辑 P r e d i c a t e s a n d Q u a n t i谓f词i与e量r词s 亦即，两个同名（同为全称或同为存在）的量词可以交换 顺序。但要注意，这不能说成个体变元的换序。因为 P (x, y) 中 的x和y的位置并未交换。而且一般的谓词中的个体变元的位置是 不能随意交换的。
7/18/2021
Hongzhi Qiao, XiDian Univ.
18
第一章 --- 数理逻辑 P r e d i c a t e s a n d Q u a n t i谓f词i与e量r词s 如实数域上，P(0) = ( x) (x > 0)成立，但( x)( x) (x > x)是不成立的。 存在量词引入规则简称EG规则或EG。该式成立的条件是： （1） c是特定的个体常项。 （2） 取代c的x不能在 P (c) 中出现过。
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P37：5(8)求析取范式、主析取范式
(PQ)∨((Q ∧ P) (Q ¬P))
= (P Q)∨(((Q∧P) Q) ¬P) = (P Q)∨(((Q ∧P)∧Q)∨(¬Q∨¬P)∧¬ Q)) ¬P) 结合律: (AB)C = A(BC)
= (P Q)∨(((Q ∧P)∨¬Q)) ¬P)
“√”：全对，“&”：对一半，“×”：全错
1 2 3 4 5 6
甲 √ √ × × & &
乙 & × √ & √ ×
丙 真值 F × & F & F √ F × PQR √ P Q R
(PQ)((PR)(P R))(PR) =((PQ)(P R) (PR)) ((PQ)(PR)(P R))
(2) 不是所有的人都爱看电影
解：令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影. x(F(x)G(x)) ¬(x)P(x) = (x)¬P(x) = x (F(x) G(x)) = x ( F(x)∨G(x)) 有的人不爱看电影 = x(F(x)G(x))
5.3 前束范式
定义
如果量词均在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公 式的末尾，则称为前束范式。 前束范式有如下形式： (□v1)(□v2) …(□vn)A 其中：□是或 vi是个体变项，i=1, …,n A是不含量词的谓词公式
如下列公式是前束范式： xy(F(x)(G(y)H(x,y))) ， x(F(x)G(x)) 下列公式不是前束范式： x(F(x)y(G(y)H(x,y)))， x(F(x)G(x))
例 将下面命题用两种形式符号化
(1) 没有不犯错误的人
解： 设 F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) ¬(x)P(x) = (x)¬P(x) = x (F(x) G(x)) = x( F(x) ∨ G(x)) 只要的人，他就会犯错误 = x(F(x)G(x))
= (P Q)∨((P∨¬Q) ¬P) =(¬P∨Q)∨(¬P∧¬Q) = ¬P∨Q = m0x mx1 = m00 m01 m01 m11 = (0,1,3) AB = (A∧B)∨(A∧B) = (P Q)∨(((P∨¬Q) ∧¬P)∨((¬P ∧Q) ∧P))
补充题
以甲为例，
“√”：全对 PQ “&”：对一半 ( P Q) ( P Q ) “×”：全错 PQ
例:甲全对，乙对一半，丙全错
甲： P Q 乙： P R 丙： P R
设P: 矿样是铁,Q : 矿样是铜, R : 矿样是锡
第5章 谓词逻辑的等值和推理演算
5.1 否定型等值式 5.2 量词分配等值式
5.3 范式
5.4 基本的推理公式 5.5 推理演算 5.6 谓词逻辑的归结推理法
量词分配等值式
量词对∨、 ∧的分配律
(x)(P(x)∨q) = (x)P(x)∨q (x)(P(x)∧q) = (x)P(x)∧q (x)(P(x)∨q) = (x)P(x)∨q (x)(P(x)∧q) = (x)P(x)∧q
P37：5(3)求析取范式、主析取范式
(¬P∨¬Q) (P¬Q)
AB = (A∧B)∨(A∧B)
= (¬ P ∨¬ Q) ((P ∧¬ Q)∨(¬ P ∧ Q)) =¬(¬ P ∨¬ Q)∨((P ∧¬ Q)∨(¬ P ∧ Q)) = (P ∧ Q)∨(P ∧¬ Q)∨(¬ P ∧ Q) = ∨(1,2,3)
量词对的分配律
(x)(P(x) q) = (x)P(x) q (x)(P(x) q) = (x)P(x) q (x)(q P(x)) = q (x)P(x) (x)(q P(x)) = q (x)P(x)
量词的扩展 量词的收缩
量词分配等值式
量词对∧的分配律 (x)(P(x)∧Q(x)) = (x)P(x)∧(x)Q(x)
补充题：（主析取范式的应用）
某勘探队有3名队员，有一天取得一块矿样，3人的判断 如下： 甲说：这不是铁，也不是铜； 乙说：这不是铁，是锡； 丙说：这不是锡，是铁。 经实验室鉴定后发现，其中一个人两个判断都正确， 一个人判对一半，另一个人全错了。根据以上情况判 断矿样种类。 解：设P：矿样为铁， Q：矿样为铜， R：矿样为锡。 则：甲： P Q 乙： P R 丙： P R
作业讲评2
P37: 4(1) 证明： A→B与B*→A*同永真、同可满足
定理2.5.2： (A*)*=A, (A ) = A
定理2.5.3： A = A*
— — —
证明：
若A→B永真，则 ¬ B →¬ A 永真 — — — — 由 ¬A = A* ， ¬B = B* ，得 B* →A* 永真 即： B*→A* 永真 反之，若B*→A* 永真，则(A*)* →(B*)*永真 由 A=(A*)*，B=(B*)*，得 A→B 永真 ∴ A→B与B*→ A*同永真 显然， A → B与B*→ A*同可满足
注意：对无分配律
(x)P(x) (x)Q(x) (x)(P(x) Q(x))
量词 对∨的分配律
(x)(P(x)∨Q(x)) = (x)P(x)∨(x)Q(x) 注意：对无分配律 (x)(P(x)∧Q(x))(x)P(x)∧(x)Q(x)
公式的前束范式
定理5.3.1（前束范式存在定理）
谓词逻辑中的任何公式都存例： (x)(M(x)F(x)) = (x) (M(x)F(x)) = (x)(M(x)F(x)) （量词否定等值式） = (x)(M(x)F(x)) 求公式的前束范式的方法: