离散数学24谓词演算的推理理论

谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。

设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。

离散数学逻辑公式大全化简
离散数学逻辑公式大全：
一、对称表达式
1. 对立矛盾：P∧(¬P)，这就意味着，实际上什么都不是真。

2. 波尔定理：(P→Q)∨(Q→P)，即P和Q之一必定是另一个的条件。

3. 谓词逻辑：∀xPx，表明了P是对任意x是真的。

二、蕴涵表达式
1. 因果关系：P→Q，其中P是因，Q是果。

2. 排中律：P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R)，即P既支持Q和R的同时满足，也支持Q和R的分别满足。

3. 简单蕴涵：P→Q，Q即P的蕴涵结果。

三、命题逻辑
1. 范式：¬(P∨Q)即¬P∧¬Q，这表明,若P和Q两者成立其一，则结果
为假。

2. 合取范式：P ∨ Q，表示只要PQ其一成立，结果即成立。

3. 否定范式：P→Q，表示只有当P成立，Q才会成立，否则结果为假。

四、可辩证表达式
1. 含义性质：P→Q，表明当P为真时，Q也可能为真，但可能有证据
表明P为假时，Q也可能为假。

2. 对抗性质：¬P∧Q，表明当P（或Q）被否定时，另一方会加强对这个变量的认可。

3. 不可满足性：P∧¬P，表明两个性质之间存在矛盾，因此，这种形式无法同时满足。

第2章谓词逻辑一、教学要求1. 理解谓词、量词、个体词、个体域、原子公式、谓词公式和变元等概念。

会将不太复杂的命题符号化。

2. 掌握在有限个体域下求公式的真值和某些公式在给定解释下真值的方法，判别公式类型(永真式、永假式和可满足式)的方法。

3. 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式(六种情况：(1)命题公式的推广；(2)量词否定式的等值式；(3)量词辖域扩张和收缩的等值式；(4)量词与联结词∨，∧，→的等值式；(5)量词与联结词的重言蕴含式；(6)两个量词公式间的等值式与重言蕴含式)。

会进行谓词公式的等值演算。

4. 了解前束范式的概念，会求公式的前束范式。

5. 了解谓词逻辑推理的规则：全量词消去规则(US规则)；全量词附加规则(UG规则)；存在量词消去规则(ES规则)；存在量词附加规则(EG规则)本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明。

二、学习辅导在命题逻辑中，我们把原子命题作为基本研究单位，对原子命题不再进行分解，只有复合命题才可以分解，揭示了一些有效的推理过程. 但是进一步研究发现，仅有命题逻辑是无法把一些常见的推理形式包括进去. 例如“凡人要死，张三是人，张三要死”显然是正确推理. 用命题逻辑解释三段式. 设P：人要死；Q张三是人；R：张三要死。

表示成复合命题有P∧Q→R这不是重言式，即R不是前提P，Q的有效结论. 这反映了命题逻辑的局限性，其原因是把本来有内在联系的命题P，Q，R，视为独立的命题。

要反映这种内在联系，就要对命题逻辑进行分析，分析出其中的个体词、谓词和量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是谓词逻辑的研究内容。

1. 谓词与量词学习这一部分要反复理解谓词和量词引入的意义，概念的含义。

在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。

个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念，如小张，房子，南京，大米，思想，实数2等等。

谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间的关系的词。

离散数学数理逻辑基础知识离散数学是计算机科学的基础，数理逻辑是离散数学中最重要的分支之一。

它们提供了描述和分析计算机科学中的问题所需的工具和方法。

本文将介绍离散数学和数理逻辑的基础知识。

一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。

集合是由一些确定的对象组成的整体。

用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。

集合之间可以进行交集、并集、差集等运算。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}表示A和B的交集，A∪B={1, 2, 3, 4}表示A和B的并集。

二、命题逻辑命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数理逻辑分支。

命题是陈述句，可以判断为真或者为假。

常见的逻辑关系有与、或、非，分别用∧、∨、¬表示。

例如，如果P表示"今天是星期一"，Q表示"明天是星期二"，则P∧Q表示"今天是星期一并且明天是星期二"，P∨Q表示"今天是星期一或者明天是星期二"。

三、谓词逻辑谓词逻辑是一种扩展的命题逻辑，它引入了谓词和量词。

谓词是陈述句中的关系词，描述了对象之间的关系。

量词则用来说明集合中的元素是否满足某个条件。

谓词逻辑的语句可以用∀表示全称量词，表示对于集合中的所有元素都成立；用∃表示存在量词，表示存在至少一个元素使语句成立。

四、关系和函数关系是用来描述元素之间的联系的数学工具。

关系可以是二元的，也可以是多元的。

例如，设A={1, 2, 3}，则可以定义一个关系R={(1, 2), (2, 3)}，表示元素1与元素2之间存在关系，元素2与元素3之间也存在关系。

函数是一种特殊的关系，它对于集合中的每一个元素，都有唯一对应的输出。

函数可以表示为f: A→B，表示定义在集合A上的函数f，其输出是集合B中的元素。

例如，设集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5}，则可以定义一个函数f={(1, 4), (2, 5)}，表示元素1映射到4，元素2映射到5。

谓词演算1. 简介谓词演算（Predicate Calculus），也称为一阶逻辑（First-order Logic），是数理逻辑中的一种形式化的推理系统。

它用于描述和推理关于对象和关系的陈述，是人工智能、计算机科学和哲学等领域的基础。

谓词演算包含两个基本要素：谓词和量词。

谓词是用来描述关系或性质的符号，比如“是父母关系”、“是红色的”等。

量词则用来描述对象的数量，包括全称量词（∀，表示“对于所有的”）和存在量词（∃，表示“存在一个”）。

2. 语法和符号谓词演算的语法包括常量、变量、谓词、逻辑连接词和量词。

常量是指具体的对象，比如“John”、“Mary”等；变量是用来代表任意对象的符号，比如“x”、“y”等；谓词是描述关系或性质的符号，比如“父母关系”、“红色”等；逻辑连接词包括逻辑与（∧）、逻辑或（∨）、逻辑非（¬）等；量词包括全称量词（∀）和存在量词（∃）。

谓词演算的公式可以使用一组符号来表示，包括谓词符号、变量符号、逻辑连接词和量词符号。

例如，公式∀x P(x) 表示“对于所有的x，P(x)成立”。

其中，∀是全称量词符号，x是变量符号，P是谓词符号。

3. 公理和推理规则谓词演算的推理过程基于一组公理和推理规则。

公理是被认为是真实的陈述，推理规则则是从已知的真实陈述推导出新的真实陈述。

谓词演算的常见公理包括等价律、同一律、排中律等。

等价律指出如果两个公式在所有情况下都具有相同的真值，则它们是等价的。

同一律指出对于任何公式P，P∨⊥等价于P。

排中律指出对于任何公式P，P∨¬P成立。

推理规则包括假言推理、全称推理、存在推理等。

假言推理指出如果有一个条件为真的陈述，则可以得出结果为真的结论。

全称推理指出如果一个全称陈述为真，则可以将变量替换为任意对象得出新的真实陈述。

存在推理指出如果一个存在陈述为真，则可以将变量替换为一个特定对象得出新的真实陈述。

4. 示例为了更好地理解谓词演算，我们可以通过一个简单的例子来说明。