【同步练习】《用配方法求一元二次方程 》(北师大)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《2.3用公式法求解一元二次方程》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2+x+1＝0D．x2+2x﹣1＝0 2．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（）A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1 3．若关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠0D．k≤4且k≠0 4．当k＜﹣时，关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k＝0的根的情况是（）A．两个相等的实根B．两个不相等的实根C．无实根D．无法判断5．若关于x的方程kx2+4x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣4且k≠0B．k≥﹣4C．k＞﹣4 且k≠0D．k＞﹣46．用公式法解方程6x﹣8＝5x2时，a、b、c的值分别是（）A．5、6、﹣8B．5、﹣6、﹣8C．5、﹣6、8D．6、5、﹣8 7．下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．2x2﹣7x+8＝0B．16x2+9＝24x C．3x2+x﹣5＝0D．7x2+1＝08．若关于x的方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为（）A．8B．﹣16C．16D．﹣329．关于x的方程ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0 10．下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．x2﹣2x﹣1＝0B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣1＝0D．x2+2x+3＝0 11．下面方程中，有两个不等实数根的方程是（）A．x2+x﹣1＝0B．x2﹣x+1＝0C．x2﹣x+＝0D．x2+1＝012．如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a B．a且a≠0C．a D．a且a≠013．已知关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1B．m≥﹣1C．m＞0D．m≥014．一元二次方程x2﹣3x+3＝0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个相等的实数根D．没有实数根15．如果一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，那么关于x的一元二次方程x2+2x ﹣m＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定16．当4c＞b2时，方程x2﹣bx+c＝0的根的情况是（）A．有两个不等实数根B．有两个相等实数根C．没有实数根D．不能确定有无实数根二．填空题17．若a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为．18．若实数a，b满足a2+ab﹣b2＝0，则＝．19．当t时，关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解．20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是．21．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，实数k的值为．22．已知关于x的方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的整数根，若k为正整数，则k＝．24．方程（x+1）（x﹣2）＝1的根是．25．若关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．三．解答题26．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有实数根，求m的取值范围．27．解方程：（1）．（2）4x2﹣12x+5＝0．28．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，求m的取值范围．29．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，求实数k的值．30．用适当方法解下列方程（1）3x2﹣2x﹣2＝0（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）231．已知关于x的一元二次方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，求a的值及此时这个方程的根．32．解方程：x2﹣3（2x+1）＝0．33．已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．求实数k 的取值范围．34．已知关于x的方程是，说明：不论m取任意实数，原方程一定有实数根．35．解方程：x2﹣6＝4x﹣2x236．已知：关于x的方程x2+2kx+k2﹣1＝0．（1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）如果方程有一个根为3，试求2k2+12k+2022的值．参考答案一．选择题1．解：A、Δ＝﹣4＜0，方程没有实数根；B、Δ＝0，方程有两个相等的实数根；C、Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，方程没有实数根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根．故选：D．2．解：∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：2x2+3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．故选：B．3．解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x+1＝0有实数根，∴△≥0且k≠0，则16﹣4k≥0且k≠0，解得：k≤4且k≠0，故选：D．4．解：∵a＝k﹣2，b＝﹣（2k﹣1），c＝k，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（k﹣2）×k＝4k+1．∵当k＜﹣时，Δ＝4k+1＜0．∴该方程无实数根．故选：C．5．解：当k＝0时，原方程为﹣4x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，∵方程kx2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2+4k≥0，解得：k≥﹣4且k≠0．综上可知：k的取值范围是k≥﹣4．故选：B．6．解：原方程可化为：5x2﹣6x+8＝0；∴a＝5，b＝﹣6，c＝8；故选C．7．解：A、Δ＝（﹣7）2﹣4×2×8＝49﹣64＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；B、方程变形为16x2﹣24x+9＝0，Δ＝（﹣24）2﹣4×16×9＝0，方程两个相等的实数根，所以B选项错误；C、Δ＝12﹣4×3×（﹣5）＝1+60＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项正确；D、Δ＝02﹣4×7×1＜0，方程没有实数根，所以D选项错误．故选：C．8．解：∵方程x2+8x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即82﹣4（﹣m）＝0，解得m＝﹣16，故选：B．9．解：ax2﹣2x+1＝0有两个实数根，当a＝0时，方程化为﹣2x+1＝0，解得：x＝，不合题意；故a≠0，则有b2﹣4ac＝4﹣4a≥0，解得：a≤1，则m的取值范围是a≤1且a≠0．故选：C．10．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴有不相等的实数根；B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，∴有相等的实数根；C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，∴有不相等的实数根；D、∵Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴没有实数根．故选：D．11．解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．B、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．C、∵Δ＝b2﹣4ac＝1﹣1＝0，∴方程有两个相等的实数根．D、移项后得，x2＝﹣1∵任何数的平方一定是非负数．∴方程无实根．故错误．故选：A．12．解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，解得：x＝1；当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，解得：a≥﹣且a≠0．综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．故选：A．13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣m＝2x，即x2﹣2x﹣m＝0有实数根，∴△≥0，即4+4m≥0，∴m≥﹣1．故选：B．14．解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3＜0，∴方程没有实数根，故选：D．15．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象不经过第一象限，∴m+1＜0且m＜0，∴m＜﹣1，∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4（m+1）＜0，∴方程没有实数根．故选：C．16．解：∵4c＞b2，∴b2﹣4c＜0，∴方程x2﹣bx+c＝0中，Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4c＜0，∴方程无实数根，故选：C．二．填空题17．解：∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，∴有a＝4或b＝4和a＝b两种情况，当a＝4或b＝4时，代入方程可得42﹣6×4+n+1＝0，解得n＝7，此时方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或x＝4，此时三角形的三边为2、4、4，满足条件；当a＝b时，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（﹣6）2﹣4（n+1）＝0，解得n＝8，此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则三角形的三边为3、3、4，满足条件；综上可知n的值为7或8，故答案为：7或8．18．解：a2+ab﹣b2＝0△＝b2+4b2＝5b2．a＝＝b∴＝．故答案是：19．解：∵关于x的方程x2﹣3x+t＝0可用公式法求解，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即Δ＝32﹣4×1×t＝9﹣4t≥0，∴t≤．故答案为≤．20．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+3）x+k+1＝0有实数根，∴，解得：k≥﹣且k≠0．故答案为：k≥﹣且k≠0．21．解：∵a＝k﹣1，b＝﹣（2k﹣2），c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2k﹣2）2﹣4×（k﹣1）×（﹣3）＝4k2+4k﹣8＝0，解得：k＝1或k＝﹣2，∵k﹣1≠0，∴k≠1，∴k＝﹣2，故答案为﹣2．22．解：∵a＝k，b＝﹣2（k+1），c＝k﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝12k+4＞0，即k＞﹣方程有两个不相等的实数根，则二次项系数不为零k≠0．∴k＞﹣且k≠0故答案为k＞﹣且k≠0．23．解：根据题意得：Δ＝4﹣4（2k﹣4）＝20﹣8k＞0，解得：k＜，∵k为正整数，得到k＝1或2，利用求根公式表示出方程的解为x＝﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，∴k的值为2．故答案为2．24．解：整理得：x2﹣x﹣3＝0，b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13，x＝，x1＝，x2＝，故答案为：x1＝，x2＝．25．解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+4m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即62﹣4×4m＝0，解得m＝，故答案为：m＝．三．解答题26．解：根据题意得m﹣2≠0且Δ＝22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2．27．解：（1）两边都乘以（x﹣1），得：2（x﹣2）+x﹣1＝﹣2，解得：x＝1，检验：当x＝1时，最简公分母x﹣1＝0，所以x＝1是原分式方程的增根，则原分式方程无解；（2）∵4x2﹣12x+5＝0，∴（2x﹣1）（2x﹣5）＝0，则2x﹣1＝0或2x﹣5＝0，解得：x1＝，x2＝28．解：∵（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴4﹣4（m﹣2）≥0，∴m≤3，又知（m﹣2）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，即m﹣2≠0，解得m≠2，故m≤3且m≠2．29．解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣（2k﹣2）x﹣3＝0有两个相等的实数根，∴，解得：k＝﹣2．30．解：（1）这里a＝3，b＝﹣2，c＝﹣2，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣2）＝28x＝＝＝∴x1＝，x2＝；（2）（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0即（2﹣x）（3x﹣8）＝0∴2﹣x＝0或3x﹣8＝0∴x1＝2，x2＝．31．解：∵方程x2+6x+a+3＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝62﹣4（a+3）＝24﹣4a＝0，∴a＝6．把a＝6代入原方程，得x2+6x+9＝（x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣3．∴这个方程的根为﹣3．32．解：∵x2﹣3（2x+1）＝0，∴x2﹣6x﹣3＝0，∵△＝（﹣6）2﹣4×（﹣3）＝48＞0，∴x＝＝3±2，∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．33．解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，∴[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＞0，∴k2﹣2k+1﹣k2+1＞0，整理得，﹣2k+2＞0，解得k＜1．故实数k的取值范围为k＜1．34．解：（1）当m＝﹣2时，是一元一次方程，有一个实根；（2）当m≠﹣2时，Δ＝b2﹣4ac＝（m+2）2+20，∵（m+2）2＞0，∴（m+2）2+20＞0∴方程有两个不等实根；综合上述，m为任意实数时，方程均有实数根．35．解：方程整理得：3x2﹣4x﹣6＝0，∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣6，∴△＝16+72＝88，则x1＝，x2＝．36．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）＝4k2﹣4k2+4＝4＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为方程有一个根为3，所以9+6k+k2﹣1＝0，即k2+6k＝﹣8所以2k2+12k+2022＝2（k2+6k）+2022＝﹣16+2022＝2006．。

《2.3 用公式法求解一元二次方程》课时同步训练2020-2021年数学北师大版九（上）一．选择题（共10小题）1．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A．B．C．D．2．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b（）A．3，﹣4，8B．3，﹣4，﹣8C．3，4，﹣8D．3，4，83．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A．B．C．D．4．方程x（x﹣1）＝2的两根为（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝2D．x1＝﹣1，x2＝2 5．已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（）A．3B．2C．1D．06．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1B．m≤﹣1C．m≥﹣1且m≠0D．m≤﹣1且m≠0 7．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a＞1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a≥1且a≠0 8．定义新运算“a⊕b”：对于任意实数a，b都有a⊕b＝（a+b）（a﹣b）﹣1．例如4⊕3＝（4+3）（4﹣3）（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．有一个实根D．没有实根9．将4个数a、b、c、d排成2行、2列．两边各加一条竖线，记成，并规定，例如：＝8×5﹣9×3＝13＝﹣1的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．只有一个实数根C．没有实数根D．有两个相等的实数根10．问题：已知方程x2+x﹣3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．解：设所求方程的根为y，则y＝，所以x＝2y．把x＝2y代入已知方程，得（2y）2+2y ﹣3＝0，化简，得所求方程为4y2+2y﹣3＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．应用：已知方程4x2﹣x﹣15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数（）A．4y2+y﹣15＝0B．4y2+y+15＝0C．15y2+y﹣4＝0D．15y2﹣y﹣4＝0二．填空题（共8小题）11．方程4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5的解为．12．李伟同学在解关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0时，误将﹣3x看作+3x，结果解得x1＝1，x2＝﹣4，则原方程的解为．13．将方程3x2＝5（x+2）化为一元二次方程的一般式为．14．已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是．15．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝．16．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则m＝．17．关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围．18．定义比如，4⊗2＝22⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解．三．解答题（共6小题）19．用公式法解方程：（1）4x2﹣4x+1＝0；（2）3x2﹣2x+1＝0；（3）3x（x﹣3）＝2（x﹣1）（x+1）．20．用公式法解方程：（1）x2+2x﹣2＝0；（2）2x（x+2）＝3﹣x；（3）x2﹣8x+8＝17x2．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请你给出一个k的值，并求出此时方程的根．22．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为满足条件的最大的整数，求此时方程的解．23．已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k取最大整数时，求此时方程的根．24．对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）＝有两个相等的实数根，求实数a的值．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：∵a＝1，b＝﹣6，∴△＝（﹣4）2﹣4×4×1＝32＞0，则x＝＝＝3±2，故选：D．2．解：∵3x2﹣3x＝8，∴3x8﹣4x﹣8＝7，则a＝3，b＝﹣4，故选：B．3．解：这里a＝3，b＝5，∵△＝25﹣12＝13，∴x＝，故选：A．4．解：方程移项并化简得x2﹣x﹣2＝4，a＝1，b＝﹣1△＝6+8＝9＞7∴x＝解得x1＝﹣1，x4＝2．故选D．5．解：设常数项为c，由题意可知：△＝4﹣4×8c＝4﹣12c≥0，∴c≤，故选：D．6．解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣3＝0有实数根，∴，解得：m≥﹣2且m≠0．故选：C．7．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+6＝0有实数根，∴，∴a≤4且a≠0，故选：C．8．解：∵x⊕k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣8）2﹣4（﹣k4﹣1）＝4k3+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．9．解：∵方程＝﹣1，∴3x4﹣6x＝﹣1，∴7x2﹣6x+7＝0，∴△＝（﹣6）4﹣4×3×7＞0，∴方程＝﹣1两个不相等的实数根，故选：A．10．解：设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，将x＝﹣y代入方程4x2﹣x﹣15＝5，得：4×（﹣y）2﹣（﹣y）﹣15＝8，化简，得：4y2+y﹣15＝4，故选：A．二．填空题（共8小题）11．解：∵4（x+1）5﹣（2x+5）（2x﹣5）＝5，∴4（x2+2x+7）﹣（4x2﹣25）﹣3＝0，∴4x2+8x+4﹣7x2+25﹣5＝6，∴8x+24＝0，∴3x＝﹣24，∴x＝﹣3，故答案为：x＝﹣3．12．解：由题意得：x2+3x+m＝7的解为x1＝1，x8＝﹣4，可得m＝﹣4，方程为x2﹣3x﹣4＝7，分解因式得：（x﹣4）（x+1）＝6，解得：x1＝4，x7＝﹣1．故答案为：x1＝3，x2＝﹣1．13．解：3x2＝2（x+2），3x6＝5x+10，3x5﹣5x﹣10＝0，故答案为：3x2﹣5x﹣10＝3．14．解：∵x＝（b2﹣4c≥6），∴x2+bx+c＝（）2+b•+c＝++＝＝0，故答案为：0．15．解：∵ax2﹣bx﹣c＝0，∴△＝b5+4ac，∵对于任意实数b，b2≥8，ac＞0，∴b2+7ac＞0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝6有两个不相等的实数根．∴x＝．故答案为：．16．解：∵方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，∴△＝（﹣7）2﹣4×7×（﹣m）＝1+4m＝6，解得：m＝﹣．17．解：根据题意得m﹣1≠0且△＝（﹣7）2﹣4（m﹣2）×3＞0，解得m＜且m≠1．故答案为m＜且m≠1．18．解：（1）当x2﹣（x+1）≤8时，方程变为kx2﹣1＝7．∵方程变为kx2﹣1＝3有两个不等实数根，∴△＞0，即△＝4k＞6．∴方程的解为x＝±．又∵x2﹣（x+6）≤1，∴﹣1≤x≤4，∴﹣1≤﹣＜≤2．（2）当x2﹣（x+1）＞5时，x＞2或x＜﹣1，∴方程变为k（x+6）﹣1＝0．因为k≠4时，此方程是一元一次方程方程﹣1，与题意不符；当k≠8时方程不存在，不符合题意．综上，k≥．故答案为：k≥．三．解答题（共6小题）19．解：（1）∵4x2﹣6x+1＝0，∴（4x﹣1）2＝3，则2x﹣1＝8，解得x1＝x2＝2.5；（2）∵3x7﹣2x+1＝7，∴a＝3，b＝﹣2，则△＝（﹣4）2﹣4×5×1＝﹣8＜5，∴该方程无实数根；（3）整理为一般式，得：x2﹣9x+2＝0，∵a＝1，b＝﹣5，∴△＝（﹣9）2﹣8×1×2＝73＞7，则x＝＝，即x4＝，x6＝．20．解：（1）∵a＝1，b＝2，∴△＝b5﹣4ac＝4+2＝12＞0，∴x＝＝﹣7±，即x1＝﹣8+，x2＝﹣7﹣；（2）方程化为2x3+5x﹣3＝2，∴a＝2，b＝5，∴△＝b6﹣4ac＝56+4×2×5＝49＞0，∴方程有两个不等的实数根∴x＝＝，∴x1＝，x2＝﹣3；（3）方程化为4x2+x﹣1＝3，∴a＝2，b＝1，∴△＝b7﹣4ac＝17﹣4×2×（﹣4）＝9＞0，∴方程有两个不等的实数根∴x＝＝，∴x1＝﹣1，x8＝．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+4﹣k＝0有两个不相等的实数根．∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（7﹣k）＞0，解得k＞0．（2）由（1）知，实数k的取值范围为k＞6，故取k＝1，则x2﹣5x＝0，即x（x﹣2）＝4，解得，x1＝0，x7＝2．22．解：（1）△＝4﹣4（k﹣8）＝12﹣4k＞0，∴k＜3．（2）由（1）可知：k＝2，∴此时方程为：x2+2x＝0，∴x（x+2）＝2，∴x＝0或x＝﹣2．23．解：（1）∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣8x+1＝0有两个实数根，∴，解得：k≤2且k≠7．（2）当k＝2时，方程为：x2﹣2x+1＝0，即（x﹣6）2＝0，解得：x2＝x2＝1．24．解：（1）﹣2△＝﹣2×++4；（2）∵a△x＝ax+x，∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，∴关于x的方程x△（a△x）＝化为x（ax+x）+ax+x＝﹣，整理得（a+1）x2+（a+1）x+＝0，∵方程有两个相等的实数根，∴a+1≠6且△＝（a+1）2﹣5（a+1）×＝0，即a的值为0．。

第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程第1课时 用配方法求解简单的一元二次方程教学目标1.根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程.2.理解配方法，会用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程.3.把一元二次方程通过配方转化为(x+m )2＝n (n ≥0)的形式，体会转化的数学思想.教学重难点重点：利用配方法解一元二次方程.难点：把一元二次方程通过配方转化为(x ＋m )2＝n (n ≥0)的形式.教学过程导入新课试一试:解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x 2＝4; (2) x 2＝0; (3) x 2+1＝0.解:根据平方根的意义，得（1）x 1＝2,x 2＝-2 ;（2）x 1＝x 2＝0 ;（3）x 2＝-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.探究新知思考：如果我们把x 2＝4，x 2＝0，x 2+1＝0变形为x 2＝p ，各方程的解会是什么情形？老师总结：一般地，对于方程x 2＝p ：（1）当p >0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个不相等的实数根x 1＝−√p ，x 2＝√p ；（2）当p ＝0 时，根据平方根的意义，方程x 2＝p 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝0； （3）当p <0 时，因为对任何实数x ，都有x 2≥0，所以方程x 2＝p 无实数根. 例1：利用直接开平方法解下列方程: （1）x 2＝25; (2) x 2-900＝0; (3)(x +2)2＝7; (4)2(1−3x)2-18＝0. 解：(1) x 2＝25 直接开平方，得x ＝±5,即x 1＝5，x 2＝-5. （2）x 2-900＝0，移项，得x 2＝900，直接开平方，得x ＝±30，即x 1＝30，x 2＝-30.（3）(x +2)2＝7，直接开平方，得x +2＝±√7，即x 1＝-2+√7，x 2＝-2-√7. （4）2(1−3x)2-18＝0，移项，得2(1−3x)2＝18，则(1−3x)2＝9，直接开平方，得1-3x ＝±3, 即1-3x ＝3或1-3x ＝ -3，解得x 1＝−23，x 2＝43. 注意：（1）采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x 2＝p 或（mx ＋n ）2＝ p （p ≥0）的形式的方程，可得方程的根为x ＝±√p 或mx ＋n ＝±√p .（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p 为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正”“负”两种情况.做一做：填上适当的数，使下列等式成立.（1）x 2＋12x ＋36＝(x ＋6)2＋6)2＝ x 2+12x ＋36； （2）x 2―4x ＋4＝(x ―2)2 x ―2)2＝ x 2―4x ＋4； （3）x 2＋8x ＋16＝(x ＋4)2 ＋4)2＝x 2＋8x ＋16； （4）a 2+2ab +b 2＝( a +b )2 (a +b )2＝ a 2+2ab +b 2；教学反思（5）a 2-2ab +b 2＝( a -b )2-b )2＝ a 2-2ab +b 2.问题：上面左侧等式的左边的常数项和一次项系数有什么关系？老师总结：二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方. 对于形如 x 2+ax+(a 2)2的式子如何配成完全平方式？老师总结：x 2+ax +(a 2)2＝(x +a 2)2.将不是平方形式的方程，通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 例2：用配方法解方程：x 2＋8x ―9＝0. 分析：先把它变成（x +m )2＝n 的形式再用直接开平方法求解. 解：移项，得x 2＋8x ＝9.两边同时加上一次项系数8的一半的平方,得x 2＋8x +42＝9+42，即（x +4)2＝25.两边开平方，得x +4＝±5，即x +4＝5或x +4＝-5，所以x 1＝1，x 2＝−9.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1)移 —— 移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项. (2)配 —— 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为(x ＋m )2＝n 的形式.(3)开 —— 如果方程的右边是非负数，即n ≥0，就可左右两边开平方得x ＋m ＝±√n ；当n <0时，原方程无解.(4)解 —— 方程的解为x ＝－m ±√n .即用配方法解方程的基本思路:把方程化为（x +n )2＝p 的形式，将一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程求解. 问题解决： 上节课梯子底部滑动问题：x 2+12x -15＝0.（让学生仿照例2，独立解决） 解：x 2+12x －15＝0，移项，得x 2+12x ＝15.两边同时加上一次项系数12的一半的平方，得x 2+12x +62＝15+62，即(x +6)2＝51.两边开平方，得x +6＝±√51.所以x 1＝√51―6，x 2＝―√51―6(不合实际).注意：在实际问题中，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性. 课堂练习1.一元二次方程x 2-16＝0的根是( ) A.x ＝2 B.x ＝4 C.x 1＝2,x 2＝2 D.x 1＝4,x 2＝-42.一元二次方程x 2-6x -6＝0配方后为 ( ) A.(x -3)2＝15 B.(x -3)2＝3 C.(x +3)2＝15 D.(x +3)2＝33.用配方法解方程x 2-3x -3＝0时，配方结果正确的是( ) A.(x −3)2＝3 B.(x −32)2＝3 C. (x −3)2＝34 D.(x −32)2＝2144.若一元二次方程x 2+bx +5＝0配方后为(x −3)2＝k ，则b ，k 的值分别教学反思为（）A. 6，13B.6，4C.-6，4D.-6，135.用配方法解方程:(1)x2-2x＝4; (2)x2+4x-1＝0.参考答案1.D2.A3.D4.C5.解：(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1＝5,即(x-1)2＝5，所以x-1＝±√5,所以原方程的解是x1＝1+√5，x2＝1-√5.(2)移项，得x2+4x＝1.配方,得x2+4x+4＝1+4，即(x+2)2＝5.开方，得x+2＝±√5.所以x1＝-2+√5,x2＝-2-√5.课堂小结1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2.用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：布置作业课本习题2.3 知识技能 1 问题解决2，3板书设计2用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程1.配方法：x2+ax+(a2)2＝(x+a2)2.2. 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：.教学反思。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第2单元用配方法求解一元二次方程一．选择题1．已知某企业2019年年营业收入为2500万元，2021年年营业收入达到3600万元，求这两年该企业年营业收入的平均增长率．设这两年年营业收入的平均增长率为x，根据题意列方程为（）A．2500x2＝3600B．2500（1+x）＝3600C．2500（1+x）2＝3600D．2500[1+（1+x）+（1+x）2]＝36002．受我省“药品安全春风行动”影响，某品牌药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，若设每次降价的百分率为x，根据题意可得方程（）A．B．C．D．3．我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒60元下调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为（）A．60（1﹣x）+60（1﹣x）2＝52B．60（1﹣2x）＝52C．60（1﹣x）2＝52D．60（1﹣x2）＝524．某电影上映第一天票房收入约1亿元，以后每天票房收入按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达到4亿元．若增长率为x，则下列方程正确的是（）A．1+x＝4B．（1+x）2＝4C．1+（1+x）2＝4D．1+（1+x）+（1+x）2＝45．据贵阳市自然资源和规划局公示，贵阳轨道交通4号线从贵阳北出发，依次为贵阳北﹣贵阳东﹣龙洞堡﹣……﹣白云区．从贵阳北到白云区共设计了156种往返车票，这条线路共有多少个站点？设这条线路共有x个站点，根据题意，下列方程正确的是（）A．x（x+1）＝156B．x（x﹣1）＝156C．（x+1）＝156D．x（x﹣1）＝1566．疫情期间，某快递公司推出无接触配送服务，4月份第1周接到1.5万件订单，前3周共接到4.8万件订单，设第1周到第3周订单的周平均增长率为x，则可列方程为（）A．1.5（1+2x）＝4.8B．1.5×2（1+x）＝4.8C．1.5（1+x）2＝4.8D．1.5+1.5（1+x）+1.5（1+x）2＝4.87．新冠疫情给各地经济带来很大影响．为了尽快恢复经济，某企业加大生产力度，四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．若该企业五、六月份平均每月的增长率为x，则下列方程中正确的是（）A．50（1+x）2＝182B．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182C．50（1+2x）2＝182D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝1828．2021年第二季度，某市实现垃圾分类的小区数比第一季度增加了30%，第三季度比第二季度增加了40%，假设该市小区数量不变，设2021年第二、三两季度实现垃圾分类的小区平均增加的百分数为x%，则x%满足的方程是（）A．30%+40%＝2x%B．（1+30%）（1+40%）＝2x%C．（1+30%）（1+40%）＝（1+x%）2D．（1+30%）（1+40%）＝（1+2x%）29．某景点去年第一季度接待游客25万人次，第二、第三季度共接待游客150万人次．设该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为x且保持不变（x＞0），则（）A．25（1+x）2＝150B．25（1+x）＝150C．25+25（1+x）+25（1+x）2＝150D．25（1+x）+25（1+x）2＝150二．填空题10．某海洋养殖场每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖场第一年的可变成本为2.6万元，第三年的养殖成本为7.146万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x，则可列方程为．11．九江某农场2019年种植1亩蔬菜的成本是4000元，由于原料价格上涨，2021年生产种植1亩蔬菜的成本是6000元，求该农场种植1亩蔬菜成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为．12．参加一次同学聚会，每两人都握一次手，所有人共握了15次，若设共有x人参加同学聚会，列方程得．13．2021年端午节期间，合肥某食品专卖店准备了一批粽子，每盒利润为50元，平均每天可卖300盒，经过调查发现每降价1元，可多销售10盒，为了尽快减少库存，决定采取降价措施，专卖店要想平均每天盈利16000元，设每盒粽子降价x元，可列方程．14．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件村衫降价x元，由题意列得方程．三．解答题15．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：．小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：．（2）请写出一种完整的解答过程．16．某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．17．某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元．由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价．据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒．根据以上情况，请解答以下问题：（1）当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利元．（2）为了更多的让利消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元？18．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？19．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？20．国土资源部提出“保经济增长、保耕地红线”行动，坚持实行最严格的耕地保护制度，某村响应国家号召，2019年有耕地7200亩，经过改造后，2021年有耕地8712亩．（1）求该村耕地两年平均增长率；（2）按照（1）中平均增长率，求2022年该村耕地拥有量．21．今年三月，新冠肺炎疫情再次波及长沙，某社区超市将原来每瓶售价为20元的免洗消毒液经过两次降价后（每次降价的百分率相同），以每瓶16.2元出售支持社区防疫．（1）求每次降价的百分率；（2）商家库存的1000瓶免洗消毒液每瓶进价为15元，仓储、人工等成本大约共1500元，计划通过以上两次降价方式全部售出后确保不亏损，那么第一次降价至少售出多少瓶后，方可进行第二次降价？参考答案一．选择题1．C2．D3．C4．D5．B6．D7．D8．C9．D二．填空题10．4+2.6（1+x）2＝7.14611．4000（1+x）2＝600012．x（x﹣1）＝1513．（50﹣x）（300+10x）＝1600014．（40﹣x）（20+2x）＝1200三．解答题15．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．（2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，整理，得：x2﹣200x+7500＝0，解得：x1＝50，x2＝150，∴1100﹣x＝1050或950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，解得：y1＝1050，y2＝950．答：每件皮衣定价为1050元或950元．16．解：每降价2元，多销售6件，设降价x元，则多销售3x件；降价后销售件数为（30+3x）件，每件利润为（40﹣x）元．则有（30+3x）（40﹣x）＝1000，整理得3x2﹣90x﹣200＝0．17．解：（1）根据题意，得（120﹣20）×（100+2×20）＝14000（元），故答案为：14000；（2）设每盒应降价x元，根据题意，得（120﹣x）（100+2x）＝14400，解得x＝30或x＝40，∵更多的让利消费者，∴x＝40，答：每盒应降价40元．18．解：（1）设月平均增长率是x，依题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：月平均增长率是20%．（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，整理得：y2﹣30y+200＝0，解得：y1＝10，y2＝20．又∵要尽量减少库存，∴y＝20．答：售价应降低20元．19．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，依题意得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），解得：y≤，又∵y为整数，∴y的最大值为18．答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．20．解：（1）设该村耕地两年平均增长率为x，依题意得：7200（1+x）2＝8712，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：该村耕地两年平均增长率为10%．（2）8712×（1+10%）＝9583.2（亩）．答：2022年该村拥有耕地9583.2亩．21．解：（1）设每次降价的百分率为x，则20（1﹣x）2＝16.2，解得x＝0.1或x＝1.9（舍），答：每次降价的百分率为10%．（2）由（1）知第一次降价后的售价为18元，设第一次降价销售y瓶，根据题意得：（18﹣15）y+（16.2﹣15）（1000﹣y）≥1500，解得：y≥≈166.7，答：第一次降价至少售出167瓶后，方可进行第二次降价．。

2.2.1用配方法解一元二次方程同步训练一、选择题1.用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A. （x+5）2=16B. （x+5）2=1C. （x+10）2=91D. （x+10）2=1092.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A. x1=x2=1B. x1=1+ ，x2=﹣1﹣C. x1=1+ ，x2=1﹣D. x1=﹣1+ ，x2=﹣1﹣3.用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A. （x+1）2=6B. （x﹣1）2=6C. （x+2）2=9D. （x﹣2）2=94.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A. （x+4）2=17B. （x+4）2=15C. （x﹣4）2=17D. （x﹣4）2=155.用配方法解方程-4x+3=0，下列配方正确的是（）A.=1B.=1C.=7D.=46.二次三项式-4x+7配方的结果是（）A.+7B.+3C.+3D.-17.用配方法把一元二次方程+6x+1=0，配成=q的形式，其结果是（）A.=8B.=1C.=10D.=48.对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（）A.非正数B.非负数C.正数D.负数9.若将方程x2+6x=7化为（x+m）2=16，则m=________．10.一元二次方程x2+3﹣2 x=0的解是________．11.如果一个三角形的三边均满足方程，则此三角形的面积是________12.用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣________）2=________．13.若将方程x2－8x＝7化为(x－m)2＝n，则m＝________.14.将变形为，则m+n=________15.解方程：x2﹣6x﹣4=0．（1）x2﹣6x﹣4=0 （2）x2－2x－3=0（3）x2+6x=1 （4）x2－4x+1=0（5）x2﹣2x=4 （6）x2+4x﹣2=0（7）（8）2x2﹣3x﹣3=018.如果a、b为实数，满足+b2－12b+36=0，求ab的值．答案解析部分一、2018-2019学年数学北师大版九年级上册2.2.1用配方法解一元二次方程同步训练<p align=left > 一&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; 、选择题</p>1.【答案】A【考点】配方法解一元二次方程【解析】【解答】解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故答案为：A．【分析】配方法的一般步骤：1、把常数项移到方程的右边；2、把二次项系数化为1；3、在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方。

2.2 用配方法求解一元二次方程一、选择题（本题包括6个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（）A. （x﹣2）2=11B. （x+2）2=11C. （x﹣4）2=23D. （x+4）2=232. 将代数式x2+6x﹣3化为（x+p）2+q的形式，正确的是（）A. （x+3）2+6B. （x﹣3）2+6C. （x+3）2﹣12D. （x﹣3）2﹣123. 用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（）A. （x﹣2）2=3B. 2（x﹣2）2=3C. 2（x﹣1）2=1D. 2（x﹣1）2=4. 已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（）A. M＜NB. M=NC. M＞ND. 不能确定5. 将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（）A. ﹣30B. ﹣20C. ﹣5D. 06. 对于代数式﹣x2+4x﹣5，通过配方能说明它的值一定是（）A. 非正数B. 非负数C. 正数D. 负数二、填空题（本题包括8个小题）7. 若x2﹣4x+5=（x﹣2）2+m，则m=________．8. 若a为实数，则代数式的最小值为________．9. 用配方法解方程3x2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x﹣______）2=________．10. 已知方程x2+4x+n=0可以配方成（x+m）2=3，则（m﹣n）2016=________．11. 设x，y为实数，代数式5x2+4y2﹣8xy+2x+4的最小值为________．12. 若实数a，b满足a+b2=1，则a2+b2的最小值是________．13. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=________．14. 若代数式x2﹣6x+b可化为（x﹣a）2﹣3，则b﹣a=________．三、解答题（本题包括4个小题）15. 解方程：（1）x2+4x﹣1=0．（2）x2﹣2x=4．16. “a2=0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：因为x2﹣4x+6=（x）2+ ；所以当x= 时，代数式x2﹣4x+6有最（填“大”或“小”）值，这个最值为．（2）比较代数式x2﹣1与2x﹣3的大小．17. 阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．18. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？答案一、选择题1. 【答案】A【解析】方程x2−4x−7=0，变形得：x2−4x=7，配方得：x2−4x+4=11，即(x−2)2=11，故选：A.2. 【答案】C【解析】x2+6x−3=x2+6x+9−9−3=(x+3)2−12.故选：C.3. 【答案】C【解析】2x2-4x=-1，x2-2x=12-, x2-2x+1=12-+1,∴（x-1）2=12，即2（x-1）2=1.故选C.4. 【答案】A【解析】∵M=a﹣1，N=a2﹣a (a为任意实数)，∴N−M=a2−a+1=(a−)2+，∴N>M，即M<N.故选：A5. 【答案】A【解析】把常数项-5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，即x2+4x-5=0，x2+4x=5，x2+4x+4=9，（x+2）2=9，故答案选A．考点：配方法解一元二次方程．6. 【答案】D【解析】−x2+4x−5=−(x2−4x)−5=−(x−2)2−1，∵−(x−2)2<0，∴−(x−2)2−1<0，故选：D.点睛：此题主要考查了配方法的应用，正确应用配方法是解题的关键.二、填空题7.【答案】1【解析】已知等式变形得：x2−4x+5=x2−4x+4+1=(x−2)2+1=(x−2)2+m，则m=1，故答案为：18. 【答案】3【解析】因，根据非负数的性质可得当a=3时，有最小值为9，所以当a=3时，有最小值为3.考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方；二次根式的性质与化简．9. 【答案】 (1). 1 (2).【解析】原方程为3x2−6x+1=0，二次项系数化为1，得x2−2x=−，即x2−2x+1=−+1，所以(x−1)2= .故答案为：1，.10. 【答案】1【解析】由(x+m)2=3，得：x2+2mx+m2−3=0，∴2m=4，m2−3=n，∴m=2，n=1，∴(m−n)2016=1，故答案为：1. 11.【答案】3【解析】原式=(x2+2x+1)+(4x2−8xy+4y2)=4(x−y)2+(x+1)2+3，∵4(x−y)2和(x+1)2的最小值是0，即原式=0+0+3=3，∴5x2+4y2−8xy+2x+4的最小值为3.故答案为：3.12. 【答案】【解析】∵a+b2=1，∴b2=1−a，∴a2+b2=a2+1−a=(a−)2+，∵(a−1)2⩾0，∴(a−1)2+⩾，故答案为：.13. 【答案】12【解析】x2−6x+5=0，x2−6x=−5，x2−6x+9=−5+9，(x−3)2=4，所以a=3，b=4，ab=12，故答案为：12.14. 【答案】3【解析】根据题意，得x2-6x+b=(x2-6x+9)+b-9=(x-3)2+b-9=(x-a)2-3,可得a=3，b−9=−3，解得：a=3，b=6，则b−a=3.故答案为：3.点睛：此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.三、解答题15. 【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=1+，x2=1﹣【解析】（1）利用配方法即可解决；（2）利用配方法即可解决．解：（1）∵x2+4x﹣1=0，∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4，∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．（2）配方x2﹣2x+1=4+1∴（x﹣1）2=5∴x=1±∴x1=1+，x2=1﹣．点睛：本题考查一元二次方程的解法，记住配方法的解题步骤是解题的关键，属于中考常考题型．16. 【答案】（1）﹣2；2；2；小；2；（2）x2﹣1＞2x﹣3．【解析】（1）把原式利用平方法化为完全平方算与一个常数的和的形式，利用偶次方的非负性解答；（2）利用求差法和配方法解答即可．解：（1）x2-4x+6=（x-2）2+2，所以当x=2时，代数式x2-4x+6有最小值，这个最值为2，故答案为：-2；2；2；小；2；（2）x2-1-（2x-3）=x2-2x+2；=（x-1）2+1＞0，则x2-1＞2x-3．17.【答案】（1）4；（2）7；（3）2【解析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．解：（1）∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，∴（a+3b）2+（b+1）2=0，∴a+3b=0，b+1=0，解得b=-1，a=3，则a-b=4；（2）∵2a2+b2-4a-6b+11=0，∴2a2-4a++2+b2-6b+9=0，∴2（a-1）2+（b-3）2=0，则a-1=0，b-3=0，解得，a=1，b=3，由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，∴△ABC的周长为1+3+3=7；（3）∵x+y=2，∴y=2-x，则x（2-x）-z2-4z=5，∴x2-2x+1+z2+4z+4=0，∴（x-1）2+（z+2）2=0，则x-1=0，z+2=0，解得x=1，y=1，z=-2，∴xyz=2．点睛：本题主要考查的是配方法的应用和三角形三边的关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边的关系是解题的关键.18. 【答案】（1）；（2）5；（3）当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．【解析】 (1)将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最小值；(2)将原式进行配方，然后根据非负数的性质得出最大值；(2)、根据题意得出代数式，然后进行配方得出最值.解：(1) m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；(2)4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；(3)、由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．考点：一元二次方程的应用.。

第二章一元二次方程周周测92.6 应用一元二次方程一、选择题1.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A．560（1+x）2=315 B．560（1-x）2=315C．560（1-2x）2=315 D．560（1-x2）=3152.某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是（）A．100（1+x）B．100（1+x）2C．100（1+x2）D．100（1+2x）3.现代互联网技术的广泛应用，促进快递行业高速发展，据调查，我市某家快递公司，今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件．设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．6.3（1+2x）=8 B．6.3（1+x）=8C．6.3（1+x）2=8 D．6.3+6.3（1+x）+6.3（1+x）2=84.随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（）B．28.8（1+x）2=20C．20（1+x）2D．20+20（1+x）+20（1+x）25.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．12x（x-1）=45 B．12x（x+1）=45 C．x（x-1）=45 D．x（x+1）=456.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2C．10（1-x）27.某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2B．10+10（1+x）2D．10+10（1+x）+10（1+x）28. 2016年某市仅教育费附加就投入7200万元，用于发展本市的教育，预计到2018年投入将达9800万元，若每年增长率都为x，根据题意列方程（）A．7200（1+x）=9800 B．7200（1+x）2=9800C．7200（1+x）+7200（1+x）2=9800 D．7200x2=98009.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）A．（x+1）（x+2）=18 B．x2-3x+16=0 C．（x-1）（x-2）=18 D．x2+3x+16=010. 2015年某县GDP总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP总量实现1210亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（）A．1.21% B．8% C．10% D．12.1%11.从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A．100cm2B．121cm2C．144cm2D．169cm212.广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a%，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（）A．188（1+a%）2=118 B．188（1-a%）2=118C．188（1-2a%）=118 D．188（1-a2%）=118二、填空题1.某加工厂九月份加工了10吨干果，十一月份加工了13吨干果．设该厂加工干果重量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 .2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为．3.某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为．4.受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．5.如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．6.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是．三、解答题1.周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．3.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？4.在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB 围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；××1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？5.如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的17 80．（1）求配色条纹的宽度；（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．参考答案一、选择题二、填空题1. 10（1+x）2=13；2. x（20-x）=64；3.60（1+x）2=100；4. 100（1+x）2=169；5.2；6. 10%.三、解答题1. 解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得1x（x-1）=28，2解得：x1=8，x2=-7（舍去）．答：应邀请8支球队参加比赛．2.解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200（1-x）2=98解得：x1=1.7（不合题意舍去），x2=0.3=30%．答：该种药品平均每场降价的百分率是30%．3.解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1-x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100-m）件，第一次降价后的单件利润为：400×（1-10%）-300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324-300=24（元/件）．依题意得：60m+24×（100-m）=36m+2400≥3210，解得：m≥22.5．∴m≥23．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元．第一次降价后至少要售出该种商品23件．4.解：（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：x（20-x）=96，解得x1=12，x2=8（舍去），答：这地面矩形的长是12米；×0.80所需的费用：96÷×0.80）×55=8250（元）．×1.00所需的费用：96÷×1.00）×80=7680（元）．因为8250＞7680，×1.00所需的费用较少．5.解：（1）设条纹的宽度为x 米．依题意得2x ×5+2x ×4-4x 2=1780×5×4， 解得：x 1=174（不符合，舍去），x 2=14． 答：配色条纹宽度为14米． （2）条纹造价：1780×5×4×200=850（元） 其余部分造价：（1-1780）×4×5×100=1575（元） ∴总造价为：850+1575=2425（元）答：地毯的总造价是2425元．第三章检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．事件A ：打开电视，它正在播广告；事件B ：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C ：在标准大气压下，温度低于0 ℃P (A )、P (B )、P (C )，则P (A )、P (B )、P (C )的大小关系正确的是( B )A ．P (C )＜P (A )＝P (B ) B ．P (C )＜P (A )＜P (B )C ．P (C )＜P (B )＜P (A )D ．P (A )＜P (B )＜P (C )2．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( B )A ．0 B.13 C.23D ．1 3．如图，2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A 和B ，在余下的7个点中任取一点C ，使△ABC 为直角三角形的概率是( D )A.12B.25C.37D.474．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，问抽取的两个球数字之和大于6的概率是( C )A.12B.712C.58D.345．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为( A )A.118B.136C.112D.1156．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是( D )A.14B.34C.13D.12,第6题图) ,第7题图)7．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是( C )A.1925B.1025C.625D.5258．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b )在第二象限的概率是( B )A.16B.13C.12D.239．从长为10 cm ，7 cm ，5 cm ，3 cm 的四条线段中任选三条能够组成三角形的概率是( C )A.14B.13C.12D.3410．如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0)，A 2(2，0)，B 1(0，1)，B 2(0，2)，分别以A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是( D )A.34B.13C.23D.12二、填空题(每小题3分，共18分)11．一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些除颜色外其他都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为__47__． 12．一水库里有鲤鱼、鲫鱼、草鱼共2 000尾，小明通过多次捕捞试验，发现鲤鱼、草鱼的概率是51%和26%，则水库里有__460__尾鲫鱼．13．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有__4__个．14．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次能打开锁的概率是__12__． 15．袋中装有4个完全相同的球，分别标有1，2，3，4，从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余3个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于30的概率为__12__． 16．一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有颜色不同，其中一个无盖．突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是__16__． 三、解答题(共72分)17．(10分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．解：画树状图：P (都是蓝色)＝26＝1318．(10分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，，再随机摸取一张纸牌．(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；(2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．解：(1)14(2)这个游戏公平，理由如下 ：两次摸出纸牌上数字之和为奇数(记为事件B )有8个，P (B )＝816＝12，两次摸出纸牌上数字之和为奇数与和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平19．(10分)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3.乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x 、y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用适当的方法写出点A (x ，y )的所有情况；(2)求点A 落在第三象限的概率．解：(1)列表：－7 －1 3－2 (－7，－2) (－1，－2) (3，－2)1(－7，1) (－1，1) (3，1) 6(－7，6) (－1，6) (3，6) 可知，点A 共有9种情况 (2)由(1)知点A 的坐标共有9种等可能的情况，点A 落在第三象限(事件A )共有(－7，－2)，(－1，－2)两种情况，∴P (A )＝2920．(10分)分别把带有指针的圆形转盘A 、B 分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示)．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．解：(1)共有12种情况，积为奇数的情况有6种，所以欢欢胜的概率是612＝12(2)由(1)得乐乐胜的概率为1－12＝12，两人获胜的概率相同，所以游戏公平 21．(10分)现有一项资助贫困生的公益活动由你来主持，每位参与者交赞助费5元．活动规则如下：如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成6个相等的扇形，参与者转动这两个转盘，转盘停止后，指针各指向一个数字(若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一数字为止)．若指针最后所得的数字之和为12，则获一等奖，奖金20元；数字之和为9，则获二等奖，奖金10元；数字之和为7，则获三等奖，奖金5元；其余的均不得奖．此次活动所集到的资助费除支付获奖人员的奖金外，其余全部用于资助贫困生的学习和生活． (1)分别求出此次活动中获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；(2)若此项活动有2 000人参加，活动结束后至少有多少赞助费用于资助贫困生．解：(1)P (一等奖)＝136；P (二等奖)＝19；P (三等奖)＝16 (2)(136×20＋19×10＋16×5)×2 000＝5 000，5×2 000－5 000＝5 000，即活动结束后至少有5 000元用于资助贫困生22．(10分)甲、乙、丙3人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物(里面的东西只有颜色不同)，将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．(1)下列事件是必然事件的是( A )A ．乙抽到一件礼物B ．乙恰好抽到自己带来的礼物C ．乙没有抽到自己带来的礼物D ．只有乙抽到自己带来的礼物(2)甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物(记为事件A )，请列出事件A 的所有可能的结果，并求事件A 的概率．解：(2)依题意可画树状图：(直接列举出6种可能结果也可)符合题意的只有两种情况：①乙丙甲，②丙甲乙，∴P (A )＝26＝1323．(12分)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．解：(1)①画树状图得：∵共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，∴第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为：416＝14；②∵两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，∴两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率为：816＝12 (2)23。

专题2.3 用配方法求解一元二次方程-重难点题型【北师大版】【题型1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】【例1】（2021春•上城区校级期中）用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（）A．（x﹣1）2＝4B．（x+1）2＝4C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝1【变式1-1】（2020秋•隆回县期末）把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（）A．(x−32)2=134B．(x+32)2=134C．(x−32)2=54D．(x+32)2=54【变式1-2】（2020秋•崂山区期末）解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．【变式1-3】（2020秋•白银期末）解方程：x2+2＝2√2x．【题型2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】【例2】（2020秋•陇县期中）用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（）A．（x−72）2=374B．（x−72）2=434C．（x−74）2=116D．(x−74)2=2516【变式2-1】（2020秋•巩义市期中）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．2m2+m﹣1＝0化为(m+14)2=916B．x2﹣6x+4＝0化为（x﹣3）2＝5C．2t2﹣3t﹣2＝0化为(t−32)2=2516D．3y2﹣4y+1＝0化为(y−23)2=19【变式2-2】（2020秋•开江县期末）解方程：3x2+1＝2√3x．【变式2-3】（2020春•朝阳区校级期中）已知y1=13x2+8x﹣1，y2＝6x+2，当x取何值时y1＝y2．【题型3 利用一元二次方程的配方求字母的值】【例3】（2020秋•津南区期中）一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c和m的值分别是（）A．c＝5，m＝4B．c＝10，m＝6C．c＝﹣5，m＝﹣4D．c＝3，m＝8【变式3-1】（2020•镇江校级期中）已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（）A．（x﹣p）2＝5B．（x+p）2＝5C．（x﹣p）2＝9D．（x+p）2＝7【变式3-2】（2020秋•内江期末）如果x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m ＝0可以配方成（）A．（x﹣n+5）2＝1B．（x+n）2＝1C．（x﹣n+5）2＝11D．（x+n）2＝6【变式3-3】（2020秋•邓州市期末）若一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为（x﹣4）2＝k，则k的值为．【题型4 利用一元二次方程的配方法解新定义问题】【例4】（2020秋•建平县期末）设a 、b 是两个整数，若定义一种运算“△”，a △b ＝a 2+b 2+ab ，则方程（x +2）△x ＝1的实数根是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣2【变式4-1】（2021秋•北辰区校级月考）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a ☆b ＝a 2+b 2，a ★b =ab 2，则方程3☆x ＝x ★12的解为 ． 【变式4-2】（2020秋•福州期中））将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成|a c bd|，定义|a c b d |=ad ﹣bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若|x +11−x x −1x +1|=8x ，则x ＝ ． 【变式4-3】（2020秋•市中区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a +bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法，减法，乘法运算与整式的加法，减法，乘法运算类似．例如：解方程x 2＝﹣1，解得：x 1＝i ，x 2＝﹣i ．同样我们也可以化简√−4=√4×(−1)=√22×i 2=2i ；读完这段文字，请你解答以下问题：（1）填空：i 3＝ ，i 4＝ ，i 6＝ ，i 2020＝ ；（2）在复数范围内解方程：（x ﹣1）2＝﹣1．（3）在复数范围内解方程：x 2﹣4x +8＝0．【题型5 配方法的应用】【例5】（2021春•常熟市期中）我们知道“a 2≥0”，其中a 表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1．即：x2+2x+2≥1．试利用“配方法”解决以下问题：（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝，常数B＝；（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求a b的值；（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．【变式5-1】（2020秋•石狮市校级月考）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知△ABC的三边长a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求c的取值范围；（2）已知P＝2x2+4y+13，Q＝x2﹣y2+6x﹣1，比较P，Q的大小．【变式5-2】（2021春•历城区期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．根据以上材料，解答下列问题：（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，∵x2﹣2x+3＝（x﹣）2+；所以x2﹣2x+30（填“＞”、“＜”、“＝”）；（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．【变式5-3】（2021春•南京月考）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x 2+2x ﹣3＝（x 2+2x +1）﹣4＝（x +1）2﹣4＝（x +1+2）（x +1﹣2）＝（x +3）（x ﹣1）； 例如：求代数式2x 2+4x ﹣6的最小值：2x 2+4x ﹣6＝2（x 2+2x ﹣3）＝2（x +1）2﹣8．可知当x ＝﹣1时，2x 2+4x ﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m 2﹣6m ﹣7．（2）当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2﹣4a +6b +20有最小值，并求出这个最小值；（3）当a ，b 为何值时，多项式a 2﹣2ab +2b 2﹣2a ﹣4b +28有最小值，并求出这个最小值．【题型6 一元二次方程的几何解法】【例6】（2020秋•内江期末）《代数学》中记载，形如x 2+10x ＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x 2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为52x 的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x 的方程x 2+6x +m ＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（ ）A ．6B ．3√5−3C ．3√5−2D ．3√5−32 【变式6-1】（2020春•丰台区期末）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中用图解一元二次方程．他把一元二次方程x 2+2x ﹣35＝0写成x 2+2x ＝35的形式，并将方程左边的x 2+2x 看作是由一个正方形（边长为x ）和两个同样的矩形（一边长为x ，另一边长为1）构成的矩尺形，它的面积为35，如图所示，于是只要在这个图形上添加一个小正方形，即可得到一个完整的大正方形，这个大正方形的面积可以表示为：x 2+2x + ＝35+ ，整理，得（x +1）2＝36．因为x 表示边长，所以x ＝ ．【变式6-2】（2020秋•东海县期中）某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程x2+10x﹣39＝0为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为x2+10x﹣39＝0，所以有x（x+10）＝39．展示1：阿尔•花拉子米构图法如图1，由方程结构，可以看成是一个长为（x+10），宽为x，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和x的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为（x+）2＝39+；展示2：赵爽构图法如图3，用4个长都是（x+10），宽都是x的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．（2）图3中，大正方形面积可以表示为（）2（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于4×39+，故可得原方程的一个正的根为．（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程x2+2x＝3的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．【变式6-3】（2020春•杭州期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D，连接CD．以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点E，连接CE．（1）求∠DCE的度数．（2）设BC ＝a ，AC ＝b ．①线段BE 的长是关于x 的方程x 2+2bx ﹣a 2＝0的一个根吗？说明理由． ②若D 为AE 的中点，求a b 的值．。

九年级数学上册同步测试：2.2 用配方法求解一元二次方程一、选择题（共15小题）1．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根2．已知关于=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥23．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣44．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=25．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=196．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=157．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+98．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=99．若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3 D．510．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣11．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=10912．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2= B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=13．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（）A．22 B．28 C．34 D．4014．关于≠0）的解是x1=﹣3，（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=215．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3二、填空题（共7小题）16．方程x2=2的解是．17．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．18．若将方程=．19．将=．20．方程x2﹣2x﹣2=0的解是．21．方程x2﹣2﹣4，则=．三、解答题（共8小题）23．解方程：x2﹣6x﹣4=0．24．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）25．解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．26．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．27．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．28．（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式组：．29．解方程：x2﹣4x+1=0．30．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．北师大版九年级数学上册同步测试：2.2 用配方法求解一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题（共15小题）1．已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2=b的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】根据直接开平方法可得x﹣1=±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．【解答】解：∵（x﹣1）2=b中b＜0，∴没有实数根，故选：C．【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．2．已知关于=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣B．m≥0 C．m≥1 D．m≥2【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先移项把﹣m移到方程右边，再根据直接开平方法可得m的取值范围．【解答】解；（，∵一元二次方程（≥0，故选：B．【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．3．一元二次方程（x+6）2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是（）A．x﹣6=﹣4 B．x﹣6=4 C．x+6=4 D．x+6=﹣4【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．【解答】解：（x+6）2=16，两边直接开平方得：x+6=±4，则：x+6=4，x+6=﹣4，故选：D．【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．4．用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选D．【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1 B．（x﹣3）2=1 C．（x+3）2=19 D．（x﹣3）2=19【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．【解答】解：方程移项得：x2﹣6x=10，配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，故选D．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．7．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2=﹣4+36 B．（x﹣6）2=4+36 C．（x﹣3）2=﹣4+9 D．（x﹣3）2=4+9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法，可得方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，移项，得x2﹣6x=4，配方，得（x﹣3）2=4+9．故选：D．【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．8．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．9．若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3 D．5【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先同时除以a得：（x﹣b）2=，再两边直接开平方可得：x﹣b=±，然后把﹣b移到右边，再根据方程的两根可得a、b的值，进而算出a+b的值．【解答】解：a（x﹣b）2=7，两边同时除以a得：（x﹣b）2=，两边直接开平方可得：x﹣b=±，则x=±+b，∵两根为±，∴a=4，b=，∴a+b=4=，故选：B．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．10．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．【解答】解：方程x2﹣2x﹣1=0，变形得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣．故选：C．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．11．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方后可得（）A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=1 C．（x+10）2=91 D．（x+10）2=109【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可．【解答】解：方程x2+10x+9=0，整理得：x2+10x=﹣9，配方得：x2+10x+25=16，即（x+5）2=16，故选：A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（）A．（x+）2= B．（x+）2=C．（x﹣）2=D．（x﹣）2=【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】转化思想．【分析】先移项，把二次项系数化成1，再配方，最后根据完全平方公式得出即可．【解答】解：ax2+bx+c=0，ax2+bx=﹣c，x2+x=﹣，x2+x+（）2=﹣+（）2，（x+）2=，故选：A．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．13．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（）A．22 B．28 C．34 D．40【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方得出（2x+3）2=1156，推出2x+3=34，2x+3=﹣34，求出x的值，求出a、b的值，代入3a+b求出即可．【解答】解：4x2+12x﹣1147=0，移项得：4x2+12x=1147，4x2+12x+9=1147+9，即（2x+3）2=1156，2x+3=34，2x+3=﹣34，解得：x=，x=﹣，∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=，b=﹣，∴3a+b=3×+（﹣）=28，故选B．【点评】本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．14．关于≠0）的解是x1=﹣3，（x+h﹣3）2+k=0的解是（）A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】计算题．【分析】利用直接开平方法得方程m（x+h）2+k=0的解x=﹣h±，则﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，再解方程m（x+h﹣3）2+k=0得x=3﹣h±，所以x1=0，（，h，k均为常数，m ≠0）得x=﹣h±，而关于≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，所以﹣h﹣=﹣3，﹣h+=2，方程m（x+h﹣3）2+k=0的解为x=3﹣h±，所以x1=3﹣3=0，x2=3+2=5．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（n=±．15．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（）A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3【考点】解一元二次方程-直接开平方法；估算无理数的大小．【专题】计算题．【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案．【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，∴（x﹣1）2=5，∴x﹣1=±，∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，故选：A．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．二、填空题（共7小题）16．方程x2=2的解是±．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2=2，x=±．故答案为±．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．17．一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是x1=x2=．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可．【解答】解：x2+3﹣2x=0（x﹣）2=0∴x1=x2=．故答案为：x1=x2=．【点评】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握求根的方法是解本题的关键．18．若将方程=3．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题实际上是利用配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得x2+6x+32=7+32，配方，得（=3．故答案为：3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．19．将=3．【考点】配方法的应用．【专题】计算题．【分析】原式配方得到结果，即可求出m的值．【解答】解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（=3，故答案为：3【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．20．方程x2﹣2x﹣2=0的解是x1=+1，x2=﹣+1．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数﹣2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．【解答】解：x2﹣2x﹣2=0，移项得：x2﹣2x=2，配方得：x2﹣2x+1=2+1，（x﹣1）2=3，两边直接开平方得：x﹣1=，则x1=+1，x2=﹣+1．故答案为：x1=+1，x2=﹣+1．【点评】此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．方程x2﹣2x﹣1=0的解是x1=1+，x2=1﹣．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】首先把常数项2移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，然后开方即可求得答案．【解答】解：∵x2﹣2x﹣1=0，∴x2﹣2x=1，∴x2﹣2x+1=2，∴（x﹣1）2=2，∴x=1±，∴原方程的解为：x1=1+，x2=1﹣．故答案为：x1=1+，x2=1﹣．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程．解题时注意配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．22．若一元二次方程a+1与2m﹣4，则=4．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．【解答】解：∵x2=，∴x=±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，∴一元二次方程ax2=b的两个根分别是2与﹣2，∴=2，∴=4．故答案为：4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（n=±．三、解答题（共8小题）23．解方程：x2﹣6x﹣4=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：移项得x2﹣6x=4，配方得x2﹣6x+9=4+9，即（x﹣3）2=13，开方得x﹣3=±，∴x1=3+，x2=3﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．24．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的．（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】阅读型．【分析】（1）移项要变号；（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为：⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2n x2=﹣4n．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．25．解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案．【解答】解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题．26．解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．【考点】解一元二次方程-配方法；解分式方程．【专题】计算题．【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）移项得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，则x1=1+，x2=1﹣；（2）去分母得：4x﹣2=3x，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及解分式方程，利用配方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数以一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．27．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是x=．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】阅读型．【分析】第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．【解答】解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．故答案是：四；x=；用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0解：移项，得x2﹣2x=24，配方，得x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．28．（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式组：．【考点】解一元二次方程-配方法；解一元一次不等式组．【专题】计算题．【分析】（1）方程两边都加上1，配成完全平方的形式，然后求解即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：（1）x2﹣2x+1=2，（x﹣1）2=2，所以，x1=1+，x2=1﹣；（2），解不等式①得，x≥﹣2，解不等式②得，x＜，所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜．【点评】（1）考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．（2）主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．29．解方程：x2﹣4x+1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题；配方法．【分析】移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．【解答】解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．30．用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，当b2﹣4ac＞0时，开方，得：x+=±，解得x1=，x2=，当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．用配方法解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．。