北师大版2021年九年级中考数学总复习《圆》(含答案)

中考数学总复习《圆的综合题》练习题（附答案）班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离2．如图，在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为()A．22B．24C．10√5D．12√33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DCB等于（）A．90°B．100°C．130°D．140°4．如图，在正五边形ABCDE中连接AD，则∠DAE的度数为（）A．46°B．56°C．36°D．26°5．如图，PA、PB为∠O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交∠O 于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A，B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线6．如图，四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC，若AB＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝12∠BAC，则BC的长度为（）A．6 √3B．6 √2C．9 √3D．9 √27．如图，点A，B，D，C是∠O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为()A．30°B．35°C．45°D．55°8．∠ABC中∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则AE的长为()A．95B．125C．185D．3659．如图，AB为∠O的直径，点C在∠O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°10．两个圆的半径分别是2cm和7cm，圆心距是5cm，则这两个圆的位置关系是() A．外离B．内切C．相交D．外切11．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是()A．B．C．D．12．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π二、填空题13．在Rt∠ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，求内切圆半径14．如图，∠C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则∠C的半径为．15．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16．一个半径为5cm的球形容器内装有水，若水面所在圆的直径为8cm，则容器内水的高度为cm.17．如图，在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，已知P（4，2）和A（2，0），则点B的坐标是．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图①作射线AB；②在射线AB取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；③以C为圆心，OC C为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、综合题19．如图，在△ABC中AC=BC=BD，点O在AC边上，OC为⊙O的半径，AB是⊙O 的切线，切点为点D，OC=2，OA=2√2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求阴影部分的面积．20．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG=∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD=54，求EFAC的值．21．如图，四边形ABCD 内接于∠O，BD是∠O的直径，过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE∠CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求∠O的半径．22．如图，∠O是∠ABC的外接圆，BC为∠O的直径，点E为∠ABC的内心，连接AE并延长交∠O 于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为∠O的切线．23．公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积（1）设有一个半径为√3的圆，则这个圆的周长为，面积为，作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（三）一．选择题1．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D （mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000 D．4×102 2．（古题今解）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深﹣寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸3．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．a B．a C．（﹣1）a D．（2﹣）a 4．如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或8cm 5．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB＝8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．0.4厘米/分B．0.5厘米/分C．0.6厘米/分D．0.7厘米/分6．如图是一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子OB的长度为2米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是（）A．（2﹣）米B．米C．（2﹣）米D．米7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸8．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB＝8m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD约为（）A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m9．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2 B．C．3 D．10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A．2 B．C．2D．3二．填空题11．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．15．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）16．如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB＝120mm，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝20mm，则原轮片的半径是mm．三．解答题17．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．18．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE＝．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？19．“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m）．（1）经过2min后小雯到达点Q，如图所示，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？20．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条毕直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？参考答案一．选择题1．解：根据图形可知，两圆相切，过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200PO＝R﹣50根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2解得：R＝200∴D＝2R＝400＝4×102．故选：D．2．解：∵弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，∴AE＝5，OE＝OA﹣1在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即：OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13 ∴直径CD＝2OA＝26寸故选：D．3．解：如图，正方形ABCD是圆内接正方形，BD＝a，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，则OB＝，△BOC是等腰直角三角形，作OF⊥BC，垂足为F，由垂径定理知，点F是BC的中点，∴OF＝OB sin45°＝，∴x＝EF＝OE﹣OF＝a．故选：B．4．解：如图，已知OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB于D，求CD的长，理由如下：当油面位于AB的位置时∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4cm，在直角三角形OAD中，根据勾股定理可得OD＝3cm，所以CD＝5﹣3＝2cm；当油面位于A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm．故选：D．5．解：作垂直AB的直径交圆为C，D交AB于E，利用相交弦定理，得AE•BE＝CE•（10﹣CE），解得CE＝2或8，从图中可知这里选答案为8，从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为8÷16＝0.5（分钟）．故选：B．6．解：∵点A为弧BD的中点，O为圆心由垂径定理知：BD⊥OA，BC＝DC，弧AB＝弧AD∵∠BOD＝60°∴∠BOA＝30°∵OB＝OA＝OD＝2∴CB＝1在Rt△OBC中，根据勾股定理，知OC＝∴AC＝OA﹣OC＝2﹣故选：A．7．解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．8．解：根据OC⊥AB，则AD＝AB＝4m．在直角△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝AD•tan30°＝≈2.3m．则大棚高度CD约为2.3m．故选：B．9．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．10．解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，∵OC⊥AB，OA＝OB∴O即为此圆形镜子的圆心，∵AC＝1，OC＝2，∴OA＝＝＝．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．12．解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD＝＝3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．13．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13寸，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．14．解：如图，连接OA，∵CD＝2cm，AB＝8cm，∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴AC＝AB＝4cm，∴设半径为r，则OD＝r﹣2，根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．15．解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，∴AB＝2AC＝20≈69（步）；而的长＝≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了15步．故答案为15．16．解：在直角△OAD中，设半径是x，则OA＝x，OD＝x﹣20，AD＝AB＝60mm．根据勾股定理定理得到：x2＝（x﹣20）2+602，解得x＝100mm．所以原轮片的半径是100mm．三．解答题（共4小题）17．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2＝OM2+42，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小桥所在圆的半径为5m．18．解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，∴ED＝CD＝12，在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝13（m）；（2）OE＝＝＝5，∴将水排干需：5÷0.5＝10（小时）．19．解：（1）过点Q作QB⊥OA，垂足为B，交圆于点C，由题意知，匀速转动一周需要12min，经过2min后转周，∴∠AOQ＝×360°＝60°，∴OB＝OQ cos60°＝OQ＝×20＝10，BT＝OT﹣OB＝10，AB＝BT+AT＝10.5，此时他离地的高度为10.5m；（2）作GD⊥AO，交AO的延长线于点M，由题意知AM＝30.5，OM＝10，∴∠GOD＝2∠DOM＝120°，此时他离地的高度为10.5+20＝30.5m，所以他有12÷3＝4分时间在离地面不低于30.5m的空中．20．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000＝1111，到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111＝11111到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111＝111111＞80000所以，到第6天所有鸡都会被感染；（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．∵OE⊥CD，∴CE＝CD＝2在Rt△OCE中，OE2＝32﹣22＝5（2分）在Rt△OAE中，，∴AC＝AE﹣CE＝∵AC＝BD∴AC+BD＝．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．。

2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：相交弦定理的运用一．选择题1．如图，⨀O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（）A．PC•CA＝PB•BD B．CE•AE＝BE•EDC．CE•CD＝BE•BA D．PB•PD＝PC•PA2．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A．B．C．5 D．3．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝6，BP＝8，CP＝4，则CD长为（）A．16 B．24 C．12 D．不能确定4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5 C．+1 D．6．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP＝3，BP＝4，CP＝2，则CD长为（）A．6 B．12 C．8 D．不能确定7．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝6，BE＝2，CD＝2，则∠AED的度数是（）A．30°B．60°C．45°D．36°8．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交⊙O于C，且⊙O的半径为3．若AP＝4，PB＝1，则OP的长是（）A．2 B．2C．D．9．在⊙O中，弦AB和CD相交于P，且AB⊥CD，如果AP＝4，PB＝4，CP＝2，那么⊙O的直径为（）A．4 B．5 C．8 D．1010．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（）A．B．2 C．D．二．填空题11．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．12．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，且E分AB所得线段比为1：3，若AB＝4，DE﹣CE＝2，则CD的长为．13．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE：DE＝3：5，则AC：BD＝．14．如图，在⊙O中，弦BC，DE交于点P，延长BD，EC交于点A，BC＝10，BP＝2CP，若＝，则DP的长为．15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE＝2：3，则AE：DE＝．三．解答题16．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．（1）试说明：△PAC∽△PDB；（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．17．如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．18．九年级学生小刚是一个喜欢看书的好学生，他在学习完第二十四章圆后，在家里突然看到爸爸的初中数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），非常好奇，仔细阅读原来就是：PA•PB＝PC•PD，小刚很想知道是如何证明的，可已证明部分污损看不清了，只看到辅助线的做法，分别连结AC、BD．聪明的你一定能帮他证出，请在图1中做出辅助线，并写出详细的证明过程．小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是⊙O弦，P是AB上一点，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径，愁坏了小刚，乐于助人的你肯定会帮助他，请写出详细的证明过程．19．如图，（1）已知：P为半径为5的⊙O内一点，过P点最短的弦长为8，则OP＝（2）在（1）的条件下，若⊙O内有一异于P点的Q点，过Q点的最短弦长为6，且这两条弦平行，求PQ的长．（3）在（1）的条件下，过P点任作弦MN、AB，试比较PM•PN与PA•PB的大小关系，且写出比较过程．你能用一句话归纳你的发现吗？（4）在（1）的条件下，过P点的弦CD＝，求PC、PD的长．20．请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB＝PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP＝1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．答案一．选择题1．解：∵∠P＝∠P，∠A＝∠D，∴△PAB∽△PDC，∴＝，∴PB•PD＝PC•PA，故选：D．2．解：EC＝AC﹣AE＝，由相交弦定理得，AE•EC＝DE•BE，则DE＝＝，∴BD＝DE+BE＝，故选：B．3．解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝6，BP＝8，CP＝4，∴PD＝12，∴CD＝PC+PD＝12+4＝16．故选：A．4．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，QA＝r﹣m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA•QC＝QP•QD．即（r﹣m）（r+m）＝m•QD，所以QD＝．连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得所以，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AE＝＝＝，∵BC＝3，BE＝1，∴CE＝2，由相交弦定理得：AE•EF＝BE•CE，∴EF＝＝，∴AF＝AE+EF＝；故选：A．6．解：∵AP•BP＝CP•DP，∴PD＝，∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴PD＝6，∴CD＝PC+PD＝2+6＝8．故选：C．7．解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．∴DH＝CH＝CD（垂径定理）；∵CD＝2，∴DH＝．又∵AE＝6，BE＝2，∴AB＝8，∴OA＝OD＝4（⊙O的半径）；∴OE＝2；∴在Rt△ODH中，OH＝＝＝（勾股定理）；在Rt△OEH中，sin∠OEH＝＝，∴∠OEH＝45°，即∠AED＝45°．故选：C．8．解：延长CP交圆于一点D，连接OC，∵PC⊥OP，∴PC＝PD，∴PC2＝PA•PB，∵AP＝4，PB＝1，∴PC2＝4×1，∴PC＝2，∴OP＝＝＝．故选：C．9．解：∵AB⊥CD，AP＝PB＝4，∴CD为⊙O的直径，由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，即2PD＝16，解得，PD＝8，∴CD＝10，故选：D．10．解：连接OD交AC于H，如图，∵点D是的中点，∴OD⊥AC，AH＝CH＝2，∴PH＝1，∵AP•PC＝BP•PD，∴PD＝＝，在Rt△PDH中，DH＝＝，在Rt△DCH中，CD＝＝．故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，∴5×4＝3×DP，解得，DP＝，故答案为：．12．解：∵E分AB所得线段比为1：3，AB＝4，∴AE＝1，EB＝3，由相交弦定理得，AE•EB＝CE•ED，∴1×3＝CE×（CE+2），解得，CE1＝1，CE2＝﹣3（舍去），则CE＝1，DE＝2，∴CD＝1+3＝4，故答案为：4．13．解：∵弦AB、CD相交于点E，∴∴∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△ACE∽△DBE，∴＝＝，故答案为：3：5．14．解：如图，作CH∥DE交AB于H．设DP＝2a．∵PD∥CH，∴＝＝＝，∴CH＝3a，∵BD：AD＝2：3，∴BD：AD＝BD：BH，∴AD＝BH，∴BD＝AH，∴AH：AD＝2：3，∴CH∥DE，∴＝＝，∴DE＝a，∴PE＝a﹣2a＝a，∵BC＝10，BP：PC＝2：1，∴PB＝，PC＝，∵PB•PC＝PD•PE，∴5a2＝，∴a＝（负根已经舍弃），∴PD＝2a＝．故答案为．15．解：∵⊙O的弦AB、CD相交于点E，∴AE•BE＝CE•DE，∴AE：DE＝CE：BE＝2：3，故答案为：2：3．三．解答题（共5小题）16．（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△PAC∽△PDB；（2）解：由相交弦定理得到，PA•PB＝PC•PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），解得，PC＝2或6，则PD＝6或2，∵PC＞PD，∴PC＝6，PD＝2．17．（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝5．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．18．解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知，如图1，⊙O的两弦AB、CD相交于E，求证：AP•BP＝CP•DP．证明如下：连结AC，BD，如图1，∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，∴△APC∽△DPB，∴AP：DP＝CP：BP，∴AP•BP＝CP•DP；所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．（2）过P作直径CD，如图2，∵AB＝10，PA＝4，OP＝5，∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC+OP＝R+5，PD＝OD﹣OP＝R﹣5，由（1）中结论得，PA•PB＝PC•PD，∴4×6＝（R+5）×（R﹣5），解得R＝7（R＝﹣7舍去）．所以⊙O的半径R＝7cm．19．解：（1）连接OP，过点P作CD⊥OP于点P，连接OD．根据题意，得CD＝8，OD＝5．根据垂径定理，得PD＝4，根据勾股定理，得OP＝3；（2）根据平行线的性质和垂线的性质，知O、P、Q三点共线．根据（1）的求解方法，得OQ＝4，则PQ＝1或7；（3）连接AM、BN．∵∠A＝∠N，∠M＝∠B，∴△APM∽△NPB，∴，即PM•PN＝PA•PB；（4）作直径AB，根据相交弦定理，得PC•PD＝PA•PB＝（5﹣3）（5+3）＝16，又CD＝，设PC＝x，则PD＝﹣x，则有x（﹣x）＝16，解得x＝3或x＝．即PC＝3或，PD＝或3．20．解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．∵PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R，∴Q与A重合，R与C重合．∵OP＝1，AC＝4，∴PQ＝1，PR＝3，∴+＝1+＝．（2）连接OA，∵OP⊥AC于点P，且OP＝1，OA＝2，∴∠OAP＝30°．∴AP＝．∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m，∴OA∥PQ，∠PQA＝90°．∴∠APQ＝∠OAP＝30°．在Rt△AQP中，PQ＝，同理，PR＝，∴．（3）猜想．证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，∴∠ECA＝90°．∵AE⊥直线m，PQ⊥直线m，∴AE∥PQ且∠PQA＝90°．∴∠EAC＝∠APQ．∴△AEC∽△PAQ．∴①同理可得：②①+②，得：+＝+∴＝（）＝•＝．过P作直径交⊙O于M，N，根据阅读材料可知：AP•PC＝PM•PN＝3，∴＝．。

圆的综合题一 、解答题1.如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）．2.如图，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴的正半轴上，M 交x 轴于A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，E 是M 上 一点，AC CE =,AE 交y 轴于G 点．已知点A 的坐标为()20，,8AE =． （1）求点C 的坐标；（2）连结MG BC ，，求证:MG BC ∥3.如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，求的长．Rt ABC ∆90B ∠=︒A ∠BC D E AB DE DC =D DB AC D ⊙AB EB AC +=EBE BO AB CD E AC ACD △ACACF △FC AB G 2OB BG ==CD4.如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l 上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的构成．点分别是两个半圆的圆心，分别与两个半圆相切于点长为8米．求的长．5.已知多边形是由边长为2的等边三角形和正方形组成，一圆过三点，求该圆半径的长．6.如图，在锐角ABC △中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为直径作O ，交BC 于E ，过O 作OD BC ∥交O 于D ，连接AE 、AD 、DC ． （1）求证：D 是的中点； （2）求证：DAO B BAD ∠=∠+∠； （3）若12CEF OCD S S =△△，且4AC =，求CF 的长．A B C 、A E F BC 、、EF CBF E A ABDEC ABC BDEC A D E 、、AE7.已知：在ABC 中，以AC 边为直径的O 交BC 于点D ，在劣弧上取一点E使EBC DEC ∠=∠，延长BE 依次交AC 于点G =，交O 于H ． （1）求证：AC BH ⊥；（2）若45ABC ∠=︒，O ⊙O 的直径等于10，BD=8，求CE 的长．8.已知AD 是O 的直径，AB AC 、是弦，且AB AC =．（1）如图1，求证：直径AD 平分BAC ∠；（2）如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，O 的半径为1，求弦长FG 的长（3）如图3，在（2）中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧AF 上一动点，连结PA PB PD PF 、、、，求证：PA PFPB PD++为定值．9.如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD=60°，∠ABC =90°，∠BCD =120°，对角线AC ，BD 交于点E ，且DE =2EB ，F 为AC 的中点． 求证：（1）∠FBD =30°；（2）AD =DC ．△ADADA10.如图，的半径为1，点P 是上一点，弦垂直平分线段，点是上任一点（与端点不重合），于点，以点为圆心、长为半径作，分别过点作的切线，两条切线相交于点． （1）求弦的长；（2）判断是否为定值，若是，求出的大小；否则，请说明理由； （3）记的面积为，若的周长．C OO AB OP D APB A B 、DE AB ⊥E D DE D A B 、D C AB ACB ∠ACB ∠ABC △S 2SDE =ABC △圆的综合题答案解析一 、解答题1.（1）如图所示，过点作于．∵为的切线，平分， ∴∴是的切线；（2）在和中， ∵，， ∴ ∴ 又 ∴．2.（1）连MC ，交AE 于H ，则MC AH ⊥，142AH AE ==．可以证明COM AHM ≌△△，得4OC AH ==．∴C 点坐标为()04，； （2）连AC MG AC CE AD ==，，，∴AG CG =，AGM CGM ≌△，∴12AMG AMC ∠=∠，又 12ABC AMC ∠=∠，∴AMG ABC ∠=∠，故MG BC ∥．【解析】利用三角形全等3.连接D DF AC ⊥F AB D ⊙AD BAC ∠BD DF =AC D ⊙Rt BDE ∆Rt DCF ∆BD DF =DE DC =BDE FDC ∆∆≌EB FC =AB AF =AB EB AC +=CO∵，∴．由翻折得，，． ∴，∴． ∴． ∴直线与相切． 在中，， ∴．在中，． ∵直径垂直于弦， ∴．【解析】连接，证即可．根据题意，证可得，从而，得证；根据垂径定理可求后求解．在中，根据三角函数可得．结合求，从而得解． 【点评】此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．4.∵分别与两个半圆相切于点、，点分别是三个圆的圆心， ∴米，米，米． 则在和中，，， ∴． 故，则（米）． 【解析】由各圆的半径可得到，．则由两边对应成比例，且夹角相等得到．故．则可求得的OA OC =12∠=∠13∠=∠90F AEC ∠=∠=︒23∠=∠OC AF ∥90OCG F ∠=∠=︒FC O Rt OCG △1cos 22OC OC COG OG OB ∠===60COG ∠=︒Rt OCE△sin 602CE OC =⋅︒==ABCD 2CD CE ==OC OC FG ⊥AF FG ⊥FAC ACO ∠=∠OC AF ∥OC FG ⊥CE Rt OCG △60COG ∠=︒2OC =CE A E F A B C 、、4AE AF ==2BE CF ==6AB AC ==AEF △ABC △EAF BAC ∠=∠4263AE AF AB AC ===AEF ABC △∽△EF AE BC AB =216833AE EF BC AB =⋅=⨯=4AE AF ==26BE CF AB AC ====，AEF ABC △∽△EF AE BC AB=EF值．【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系以及相似三角形的判定和性质．5.如图2，作，垂足为，并延长交于点．∵为等边三角形， ∴垂直平分， ∵四边形为正方形， ∴垂直平分正方形的边． 又是圆的弦，∴必过圆心，记圆心为点，并设的半径为． 在中， ∵， ∴．∴． 在中，． ∴．解得∴该圆的半径长为2．图一 图二【解析】作，垂足为，并延长交于点．根据其轴对称性，则圆心必定在上．设其圆心是，连接，．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得，的长，设圆的半径是．在直角三角形中，根据勾股定理列方程求解．AF BC ⊥F DE H ABC △AF BC BDEC AH DE DE AH O O r Rt ABF △30BAF ∠=︒AF2OH AF FH OA r =+--Rt ODH △222OH DH OD +=()22221r r +=2r =HAF BC ⊥F DE H AH O OD OE AH DH r BOH【点评】熟练运用等边三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理．6.（1）∵AC是O的直径，∴AE BC⊥，∵OD BC∥，∴AE OD⊥，∴D是的中点；（2）方法一：如图，延长OD交AB于G，则OG BC∥，∴AGD B∠=∠，∵ADO BAD AGD∠=∠+∠，又∵OA OD=，∴DAO ADO∠=∠，∴DAO B BAD∠=∠+∠；方法二：如图，延长AD交BC BC于H，则ADO AHC∠=∠，∵AHC B BAD∠=∠+∠，∴ADO B BAD∠=∠+∠，又∵OA OD=，∴DAO B BAD∠=∠+∠；（3）∵AO OC=，∴12OCD ACDS S=△△，∵12CEFOCDSS=△△，∴14CEFACDSS=△△，∵ACD FCE∠=∠，90ADC FEC∠=∠=︒，∴ACD FCE△∽△，∴2CEFACDS CFS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，AE即：2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2CF =．【解析】（1）由AC 是O 的直径，即可求得OD BC ∥，又由AE OD ⊥，即可证得D 是AE 的中点；（2）首先延长OD 交AB 于G ，则OG BC ∥，可得OA OD =，根据等腰三角形的性质，即可求得DAO B BAD ∠=∠+∠； （3）由AO OC =，12OCD ACD S S =△△，即可得14CEF ACD S S =△△，又由ACD FCE △∽△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF 的长． 【点评】此题考查了垂径定理，平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．7.（1）连接AD ，∵DAC DEC EBC DEC ∠=∠∠=∠，， ∴DAC EBC ∠=∠， ∵AC 是O 的直径， ∴90ADC ∠=︒， ∴90DCA DAC ∠+∠=︒， ∴90EBC DCA ∠+∠=︒，∴()1801809090BGC EBC DCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴AC BH ⊥；（2）∵18090BDA ADC ∠=︒-∠=︒，45ABC ∠=︒， ∴45BAD ∠=︒， ∴BD AD =， ∵8BD =， ∴8AD =，∵9010ADC AC ∠=︒=，，∴，6DC ==∴8614BC BD DC =+=+=，∵90BGC ADC ∠=∠=︒，BCG ACD ∠=∠， ∴∠45BAD ∠=︒， ∴CG BCDC AC =， ∴14610CG =， ∴425CG =， 连接AE ， ∵AC 是直径， ∴90AEC ∠=︒， ∵EG AC ⊥， ∴CEG CAE △∽△， ∴CE CGAC CE=， ∴24210845EC AC CG =⋅=⨯=， ∴．【解析】（1）连接AD ，由圆周角定理即可得出DAC DEC ∠=∠，90ADC ∠=︒，再根据直角三角形的性质即可得出结论；（2）由18090BDA ADC ∠=︒-∠=︒，45ABC ∠=︒可求出45BAD ∠=︒，利用勾股定理即可得出DC 的长，再由相似三角形的判定定理与性质可求出CG 的长，连接AE 由圆周角定理可得出EG AC ⊥，进而得出CEG CAE △∽△，由相似三角形的性质即可得出结论．【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．8.（1）过O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，则OM ON =；（2）连OB OC ，，则OA BC ⊥，又AE OE =，得AB BO OA OC ===，AOB AOC 、△△都是等边三角形，连OG ，则90GOF ∠=︒，FG =（3）取BD 的中点M ，过M 作MS PA ⊥于S ，MT PF ⊥于T ，连AM FM ，，BPM ∠=CE =30DPM ∠=︒，60APM FPM ∠=∠=︒，则MS MT AM MF ==，，Rt ASM Rt FTM ≌，△△△ Rt PMS Rt PMF ≌△△，∴12PS PM =．∴22PA PF PS PT PM +===．同理可证：PB PD +=．∴PA PF PB PD +===+为定值．【解析】（1）由30BPA DPF ∠=∠=︒，构建直角三角形 （2）构造PA PF PB PD ++、相关现线段 （3）取BD 中点H ,连PH ，联想常规命题等．9.（1）由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径，F 为该圆的圆心， 作FG BD ⊥于点G ，∴G 为BD 的中点，∴DF FB = ∴2120BFD BAD ∠=∠=︒， ∴60GFB ∠=︒，∴30FBD ∠=︒ （2）作FH FB ⊥于点H ，则12EH EB =．又DE =2EB ，12DG GB DB==，∴GE DE DG =-=31222BE BE BE-=EH =， ∴Rt FGE Rt FHE ≌△△， ∴30GFE HFE ∠=∠=︒，又FA FB =，所以1152FAB CFB ∠=∠=︒，故∠DAC =45°=∠DCA ， 所以AD =DC ．C【解析】（1）连接FD ，四边形ABCD 中，已知∠BAD =60°，∠ABC =90°，∠BCD =120°，根据内角和定理可求∠ADC =90°，则A 、B 、C 、D 四点共圆，对角线AC 为直径，F 点为圆心，△FBD 为等腰三角形，根据圆周角定理∠BFD =2∠BAD ，可证∠FBD =30°；（2）作EH ⊥BF 于点H ，由（1）的结论可知EH =12BE ，利用线段之间个关系证明EH =12BE =EG ，从而判断Rt FGE Rt FHE ≌△△，得出∠GFE =∠HFE =30°，由圆周角定理得∠CAB =12∠CFB ，则∠DAC =∠BAD -∠FAB =45°，又AC 为直径，故AD =DC ．10.（1）连接，取与的交点为，则有．∵弦垂直平分线段， ∴，， 在中，∵，∴． （2）是定值．理由：连接， 由（1）易知，， ∵点为的内心，∴， ∵，COA OP AB F 1OA =AB OP 1122OF OP ==AFBF =Rt OAF△AF2AB AF ==ACB ∠AD BD 、120ADB ∠=︒D ABC △22CAB DAE CBA DBA ∠=∠∠=∠，1602DAE DBA AOB ∠+∠=∠=︒∴， ∴．（3）记的周长为l ，取与的切点分别为， 连接，则有， ∴， ∵∴， ∴，∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴，又由切线长定理可知， ∴ 解得， ∴． 【解析】（1）连接，与的交点为，则为直角三角形，且，借助勾股定理可求得的长； （2）要判断是否为定值，只需判定的值是否是定值，由于是的内切圆，所以和分别为和的角平分线，因此只要是定值，那么就是定值，而等于所对的圆周角，这个值等于值的一半；（3）由题可知又因为120CAB CBA ∠+∠=︒60ACB ∠=︒ABC △AC BC ，D G H ，DG DC DH ，，DG DH DE DG AC DH BC ==⊥⊥，，ABD ACD BCD S S S S =++△△△111222AB DE BC DH AC DG ⋅+⋅+⋅()1122AB BC AC DE l DE =++⋅=⋅2SDE =212l DE DE⋅=l =CG CH ，D 1302GCD ACB ∠=∠=︒Rt CGD △tan30DG CG =︒CH CG =AG AE BH BE ==，l AB BC AC =++==，13DE =ABC △OA PO AB F AOF △112OA FO ==，AF ACB ∠CAB ABC ∠+∠D ABC △AD BD CAB ∠ABC ∠DAE DBA ∠+∠CAB ABC ∠+∠DAE DBA ∠+∠AB AOB ∠()12ABD ACD BCD S S S S DE AB AC BC =++=++，△△△2SDE =所以，由于，所以在中，，同理可得，又由于，，所以，可得，解得：，代入，即可求得． 【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题AB AB BC ++=DH DG DE ==Rt CDH △CH CG AG AE =BE BH =AB AC BC CG CH AG AB BH ++=++++=+=+13DE =AB AC BC ++=。

2021年春九年级数学中考复习《圆综合型解答题》专项提升训练（附答案）1．如图，AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，点E为CD上一点，CE＝CA，延长AE交⊙O 于点F，连接CF交AB于点G．（1）求证：CE2＝AE•AF；（2）求证：∠ACF＝3∠BAF；（3）若FG＝2，求AE的长．2．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点D为AB延长线上一点，连接CD，作CE⊥AB于点E，∠OCE＝∠D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）点F为CD上一点，连接OF交CE于点G，G为OF中点，求证：OC2＝CD•CF；（3）在（2）的条件下，CF＝DF，若OC＝2，求CG．3．如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD．过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．（1）求证：AD⊥BC；（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．①求证：AG与⊙O相切；②当＝，CE＝3时，求AG的长．4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为；（2）连接AC，BC，点C在⊙O上运动的过程中，当△ABC的面积最大时，请直接写出△ABC面积的最大值是．（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．5．已知⊙O的直径AB＝4，点P为弧AB上一点，联结P A、PO，点C为劣弧AP上一点（点C不与点A、P重合），联结BC交P A、PO于点D、E．（1）如图，当cos∠CBO＝时，求BC的长；（2）当点C为劣弧AP的中点，且△EDP与△AOP相似时，求∠ABC的度数；（3）当AD＝2DP，且△BEO为直角三角形时，求四边形AOED的面积．6．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，BC交⊙O于点D，点E在劣弧BD上，DE的延长线交AB的延长线于点F，连接AE交BD于点G．（1）求证：∠AED＝∠CAD；（2）若点E是劣弧BD的中点，求证：ED2＝EG•EA；（3）在（2）的条件下，若BO＝BF，DE＝1.5，求EF的长．7．如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的点，PD为⊙O的切线，切点为D，CD⊥AB，垂足为E，连接，CO，AC，PC．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）求证：AB2＝4OE•OP；（3）若OE＝2，cos∠CAB＝，求BP的长．8．已知：AB，CF都是⊙O的直径，AH，CD都是⊙O的弦，CD⊥AB于点E，AH＝CD．（1）如图1，求证：AH⊥CF；（2）如图2，延长AH，CD交于点P，求证：PH＝PD；（3）如图3，在（2）的条件下，延长AC，HE交于点Q，若∠Q＝45°，CQ＝2，求HE的长．9．如图，已知▱ABCD中，AB＝8，BC＝12，AC＝10，P为边BC上一动点，过点P，A，C作⊙O分别交边CD，AD于点E，F，连结EF．（1）求证：△DEF∽△BCA．（2）当点O落在AC边上，求DF的长．（3）在点P的整个运动过程中，若点O到EF的距离与它到▱ABCD某一边所在的直线的距离相等，求所有满足条件的BP的长．10．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E为AB边上一点，过E、B、C三点的圆交线段AC于点D，点A关于直线BD的对称点F落在⊙O上，连CF．（1）求证：∠BCA＝45°；（2）若AB＝6，点E在运动过程中，当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的边上时，求CD的长；（3）当tan∠CDF＝时，设△CDF的面积为S1，△BDE的面积为S2，求的值．11．已知：如图BC是⊙的直径，点A是圆上一点，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若CD＝3，求⊙O的半径．（3）若AE⊥BC于F，P为上一点，连接AP，CP，EP，请找出AP，CP，EP之间的关系，并证明．12．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且AB＝AC，BC＝8，点D为优弧BDC上的动点，且cos∠ABC＝．（1）如图1，若∠BCD＝∠ACB，延长DC到F，使得CF＝CA，连接AF，求证：AF是⊙O的切线；（2）如图2，若∠BCD的角平分线与AD相交于E，求⊙O的半径与AE的长；（3）如图3，将△ABC的BC边所在的直线l1绕点A旋转得到l2，直线l2与⊙O相交于M，N，连接AM，AN．l2在运动的过程中，AM•AN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．13．如图，AB与⊙O相切于点C，且C为线段AB的中点，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF，DC．（1）求证：∠CDF＝∠CDE；（2）①若DE＝10，DF＝8，则CD＝；②连接CO，CF，当∠B的度数为时，四边形ODFC是菱形．14．已知△ABC内接于⊙O，点O在△ABC的内部，点D为弧AB上一点，连接OD交AB 于点H，连接OB，∠BOD＝∠ACB．（1）如图1，求证：OD⊥AB；（2）如图2，点P为线段BA延长线上一点，连接OP，∠POH＝∠ABC，求证：∠BAC+∠POB＝180°；（3）如图3，在（2）的条件下，延长DO交BC于点F，延长CA至点E，使AE＝AB，射线ED交AB于点G，若∠ABC＝60°，P A＝6，OF＝，求线段DG的长．15．如图1，把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE，点A，D分别对应点B，E，且满足A，D，E三点在同一条直线上．连接DE交BC于点F，△CDE的外接圆⊙O与AB 交于G，H两点．（1）求证：BE是⊙O切线；（2）如图2，连接OB，OC，若sin∠CAE＝，判断四边形BECO的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若CF＝，求GH的长．16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠DAB＝90°，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接OD，OC．（1）求证：OD⊥OC；（2）若AB＝4，tan∠BCO＝，求sin∠BCD的值；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OE，BD交于点F，求的值．17．如图，CD是⊙O的直径，且CD⊥AB，垂足为H，连接BC，过弧AD上一点E作EF ∥BC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FE＝FG．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若sin F＝，BC＝5，①求⊙O的半径；②若CD的延长线与FE的延长线交于点M，求DM的长度．18．如图，点C是半圆O上一点（不与A、B重合），沿BC所在直线折叠半圆O，使点A 落在A'点处，A'B交半圆O于M，AB＝2．（1）M到AB的最大距离为．（2）已知点O的对应点为M，连接AM．①求AM的长；②求阴影部分的面积；（3）设A'B的中点为O'，若线段BO'与半圆O仅有一个公共点，求∠ABC的取值范围．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．（1）证明：AE＝CE；（2）若AC＝2BC，证明：DA是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接BD交⊙O于点F，连接EF，若⊙O的直径为，求EF的长．20．【问题情境】（1）点A是⊙O外一点，点P是⊙O上一动点．若⊙O的半径为2，且OA ＝5，则点P到点A的最短距离为．【直接运用】（2）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．【构造运用】（3）如图2，已知正方形ABCD的边长为6，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由．【灵活运用】（4）如图3，⊙O的半径为4，弦AB＝4，点C为优弧AB上一动点，AM ⊥AC交直线CB于点M，则△ABM的面积最大值是．参考答案1．解：（1）∵AB和CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴，∴∠ACE＝∠AFC，∵∠CAE＝∠F AC，∴△ACE∽△AFC，∴，∴AC2＝AE•AF，∵AC＝CE，∴CE2＝AE•AF；（2）∵AB⊥CD，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC＝45°，∴∠AFC＝∠AOC＝45°，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣∠ACO）＝67.5°，∴∠BAF＝∠CAF﹣∠OAC＝22.5°，∵∠AEC＝∠AFC+∠DAF＝45°+∠DCF＝67.5°，∴∠DCF＝22.5°，∴∠ACF＝∠OCA+∠DAF＝67.5°＝3×22.5°＝3∠BAF；（3）如图，过点G作GH⊥CF交AF于H，∴∠FGH＝90°，∵∠AFC＝45°，∴∠FHG＝45°，∴HG＝FG＝2，∴FH＝2，∵∠BAF＝22.5°，∠FHG＝45°，∴∠AGH＝∠FHG﹣∠BAF＝22.5°＝∠BAF，∴AH＝HG＝2，∴AF＝AH+FH＝2+2，由（2）知，∠OAE＝∠OCG，∵∠AOE＝∠COG＝90°，OA＝OC，∴△AOE≌△COG（SAS），∴OE＝OG，∠AEO＝∠CGO，∴∠OEF＝∠OGF，连接EG，∵OE＝OG，∴∠OEG＝∠OGE＝45°，∴∠FEG＝∠FGE，∴EF＝FG＝2，∴AE＝AF﹣EF＝2+2﹣2＝2．2．证明：（1）∵CE⊥AB，∴∠D+∠DCE＝90°，∵∠OCE＝∠D，∴∠OCE+∠DCE＝90°，∴∠OCD＝90°，又∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠OCF＝90°，G为OF中点，∴CG＝GF＝OF，∴∠GCF＝∠GFC，∵∠D+∠COD＝90°＝∠D+∠DCE，∴∠DCE＝∠COE＝∠CFG，又∵∠OCF＝∠OCD＝90°，∴△OCF∽△DCO，∴，∴OC2＝CF•CD；（3）∵CF＝DF，∴CD＝2CF，∵OC2＝CF•CD，∴4＝CF×2CF，∴CF＝，∴OF＝＝＝，∴CG＝．3．证明：（1）∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝90°，∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，∴∠ABE+∠EAF＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AD⊥BC；（2）①连接OA，AC，∵AD⊥BC，∴AE＝ED，∴CA＝CD，∴∠D＝∠CAD，∵∠GAE＝2∠D，∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠CEA＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠CAG+∠OAC＝90°，∴OA⊥AG，∴AG是⊙O的切线；②过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，∴CH＝CE，∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），∴AE＝AH，∵EF⊥AB，BC是直径，∴∠BFE＝∠BAC，∴EF∥AC，∴＝＝，∵CE＝3，∴BE＝，∵BC⊥AD，∴，∴∠CAE＝∠ABC，∵∠AEC＝∠AEB＝90°，∴△AEB∽△CEA，∴，∴AE2＝3×＝，∵AE＞0，∴AE＝，∴AH＝AE＝，∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，∴△GHC∽△GEA，∴，∴＝，解得x＝7，y＝2，∴AG＝2+＝．4．解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），∴OA＝OB＝6，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°，∵OC∥AB，∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，故答案为：45°或135°；（2）∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝6，∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图1：此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，∴OE＝AB＝3，∴CE＝OC+OE＝3+3，∴△ABC的面积＝CE•AB＝×（3+3）×6＝9+18；即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18；故答案是：9+18；（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图2：∵OC∥AD，∴∠COF＝∠DAO，又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，∴△OCF∽Rt△AOD，∴＝，即＝，解得：CF＝，在Rt△OCF中，OF＝＝＝，∴C点坐标为（﹣，）；②直线BC是⊙O的切线．理由如下：由①得：（﹣，），在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，∴CF＝OC，∴∠COF＝30°，∴∠OAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，∵在△BOC和△AOD中，，∴△BOC≌△AOD（SAS），∴∠BCO＝∠ADO＝90°，∴OC⊥BC，∴直线BC为⊙O的切线．5．解：（1）解法一：如图1，过点O作OG⊥BC于点G，∴BG＝BC，∵AB＝4，∴OB＝2，∵cos∠CBO＝＝，∴BG＝，∴BC＝2BG＝；解法二：如图2，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝，∴，∴BC＝；（2）如图3，连接OC，∵∠P＝∠P，△EDP与△AOP相似，∴△DPE∽△OP A，∴∠DPE＝∠P AO，∵C是的中点，∴∠AOC＝∠COP，设∠ABC＝α，则∠AOC＝∠COP＝2α，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝α，∵C是的中点，∴OC⊥AP，∴∠P AO＝90°﹣2α，∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，∴4α＝90°﹣2α+α，∴α＝18°，∴∠ABC＝18°；（3）分两种情况：①如图4，当∠EOB＝90°时，过D作DH⊥AB于H，∴DH∥PO，∴，∵AD＝2PD，∴AH＝2HO，∵AB＝4，∴AH＝，OH＝，BH＝，∵AO＝OP，∠AOP＝90°，∴∠A＝45°，∴AH＝DH＝，∵OE∥DH，∴，即＝，∴OE＝1，∴S四边形AOED＝S△ABD﹣S△OEB＝﹣＝﹣1＝；②如图5，当∠OEB＝90°时，连接AC，∵∠C＝∠OEB＝90°，∴AC∥OE，CE＝BE，∵AD＝2DP，同理得AC＝2PE，∵AO＝BO，∴AC＝2OE，∴OE＝PE＝OP，∴AC＝AB，∴∠ABC＝30°，∵AB＝4，∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝＝2，∴CE＝，∵AC∥PE，∴＝2，∵CD+DE＝，∴CD＝，∴S四边形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD＝﹣﹣＝．综上，四边形AOED的面积是或．6．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴∠ABD＝∠CAD，∵＝，∴∠AED＝∠ABD，∴∠AED＝∠CAD；（2）证明：∵点E是劣弧BD的中点，∴＝，∴∠EDB＝∠DAE，∵∠DEG＝∠AED，∴△EDG∽△EAD，∴，∴ED2＝EG•EA；（3）解：连接OE，∵点E是劣弧BD的中点，∴∠DAE＝∠EAB，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴，∵BO＝BF＝OA，DE＝，∴，∴EF＝3．7．（1）证明：连接OD，∵PD是⊙O的切线，∴∠PDO＝90°，∵OD＝OC，CD⊥AB于点E，∴CE＝DE，∠POD＝∠POC，又∵PO＝PO，∴△PDO≌△PCO（SAS），∴∠PCO＝∠PDO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线；（2）证明：∵∠PCO＝∠PEC＝90°，∴∠OCE+∠COF＝90°，∠OPC+∠COP＝90°，∴∠OCE＝∠OPC，∴△OCE∽△OPC，∴，即CO2＝OE•OP，又∵AB＝2OC，（3）解：∵cos，∴，设CE＝x，则AE＝3x，∵OE＝2，∴OA＝OC＝3x﹣2，在Rt△COE中，由勾股定理，得（3x﹣2）2＝x2+22，解得，，x2＝0（不合题意，舍去），∴CE＝，OA＝OC＝3x﹣2＝，∵△OCE∽△OPC，∴，即OC2＝OP•OE，∵，∴OP＝，∴PB＝OP﹣OB＝＝．8．（1）证明：∵AH＝CD，∴，∵AB是直径，CD⊥AB，∴，∵∠AOF＝∠BOC，∴，∴AH⊥CF；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵AH＝CD，∴，∴，∴，∴∠PCA＝∠P AC，∴PC＝P A，又∵AH＝CD，∴P A﹣AH＝PC﹣CD，即PH＝PD；（3）解：过点A作AK⊥QH于点K，连接DH，如图3所示：∵四边形ACDH内接于⊙O，∴∠P AC＝∠PDH，由（2）知，∠P AC＝∠PCA，∴∠PDH＝∠PCA，∴DH∥AC，∴∠CQE＝∠DHE，∵∠CEQ＝∠DHE，CE＝DE，∴△CQE≌△DHE（AAS），∴EQ＝EH，CQ＝DH＝2，∵∠Q＝45°，AK⊥QH，∴∠Q＝∠QAK＝45°，∴AK＝QK，∵∠CEQ+∠AEK＝180°﹣∠AEC＝90°，∠AEK+EAK＝90°，∴∠EAK＝CEQ＝∠PCA﹣∠Q＝∠P AC﹣∠QAK＝∠HAK，∵∠AKE＝∠AKH＝90°，AK＝AK，∠EAK＝∠HAK，∴△EAK≌△HAK（ASA），∴EK＝HK，AE＝AH＝CD，设EK＝x，则EH＝EQ＝2x，∴AK＝QK＝3x，AQ＝，AE＝＝＝x＝AH＝CD，∴CE＝＝，∴AC＝＝＝，∵AQ﹣AC＝CQ，∴，解得：x＝，∴EH＝．9．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD∵∠DFE＝∠ACD，∴∠DFE＝∠BAC，∴△DEF∽△BCA；（2）解：连接CF，如图1所示：∵AC为直径，∴∠AFC＝90°，∵△DEF∽△BCA，∴DF：EF：DE＝AB：AC：BC＝8：10：12＝4：5：6，设DF＝4x，则DE＝6x，EF＝5x，AF＝12﹣4x，在Rt△AFC和Rt△CFD中，由勾股定理得：102﹣（12﹣4x）2＝82﹣（4x）2，解得：x＝，∴DF＝4×＝；（3）解：过点A，C分别作AR⊥BC于点R，CH⊥AD于点H，连接CF，如图2所示：则四边形ARCH为矩形，∴AR＝CH，∠ARP＝∠CHF＝90°，在△ARP和△CHF中，，∴△ARP≌△CHF（AAS），∴RP＝HF，由（2）得：DH＝BR＝，RP＝FH＝﹣4x，则BP＝9﹣4x，①连接PF，如图3所示：∵AD∥BC，∴∠AFP＝∠FPC，∵∠AFP＝∠ACB，∴∠ACB＝∠FPC，由已知可得∠B≠∠ACB，∴∠B≠∠FPC，∴PF与CD不平行，∴EF≠CP，∴不存在点O到EF的距离等于O到BC的距离的BP的值；②过点O作OQ⊥EF于Q，如图4所示：当O到AD的距离等于OQ时，则AF＝EF，∴12﹣4x＝5x，∴；③如图4，当O到CD的距离等于OQ时，则EF＝CE，即5x＝8﹣6x，∴x＝，∴BP＝9﹣4x＝；④当O到AB的距离等于OQ时，延长BA交⊙O于N，连接NF并延长交CD于S，连接AE，如图5所示：则AN＝EF＝5x，∴AE∥NS，∵AN∥CD，∴四边形ANSE是平行四边形，∴SE＝AN＝5x，∴DS＝DE﹣SE＝6x﹣5x＝x，∵AB∥CD，∴△ANF∽△DSF，∴＝，即＝，∴∴BP＝9﹣4x＝7；综上所述，BP的长为或或7．10．（1）证明：∵点A、点F关于直线BD对称，∴△ABD≌△FBD，∠A＝∠BFD，∵∠BFD＝∠BCA，∴∠A＝∠BCA，又∵∠ABC＝90°，∴∠BCA＝∠A＝45°；（2）解：由（1）得：∠ABD＝∠FBD＝∠DCF，∠BCA＝∠A＝45°，∴AB＝BC，∵∠BFC＝∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+∠ABD，∠BCD＝∠BCA+∠DCF＝45°+∠DCF，∴∠BFC＝∠BCD，∴BF＝BC＝AB＝6，分两种情况：①当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的BD边上G点时，连接GF，如图1所示：则∠FDC＝∠BDC，∵∠FDC＝∠FBC，∠BDC＝∠CFB，∴∠FBC＝∠CFB，∴FC＝BC，∴△BCF为等边三角形，∴∠BDC＝∠CFB＝60°，过B作BH⊥AC于H，在Rt△CBH中，∠BCH＝45°，∴CH＝BH＝BC＝3，在Rt△DBH中，∠BDC＝60°，∴∠DBH＝30°，∴DH＝BH＝，∴CD＝CH+DH＝3+；②当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的BF边上I点时，设BF与CD交于点M，连接DI，如图2所示：则DI＝DF，∵∠DFI＝∠BCA＝45°，∴△DFI是等腰直角三角形，∴△DMF、△BMC也是等腰直角三角形，∴DM＝FM，BM＝CM，∴CD＝BF＝AB＝6；综上所述，当点F关于直线CD的对称点正好落在△BDF的边上时，CD的长为3+或6；（3）解：作BJ⊥CF交AC于J，连接FJ，作FL⊥DC于L，作DK⊥AB于K，如图3所示：∵BF＝BC，∴JF＝JC，∠BFC＝∠BCF，∴∠JFC＝∠JCF，∴∠BFJ＝∠BCJ＝45°，∴∠DFJ＝45°+45°＝90°，∵tan∠CDF＝＝，∴设FJ＝4a，则DF＝3a，由勾股定理得：DJ＝＝＝5a，∵JC＝JF＝4a，∴DC＝5a+4a＝9a，∵DF•FJ＝DJ•FL，∴FL＝＝＝a，∴S1＝×9a×a＝a2，∵点A、点F关于直线BD对称，∴AD＝DF，∠ABD＝∠FBD，∴DE＝DF，∴DE＝DF＝3a，∵∠KED＝∠EBD+∠EDB＝∠DCB＝45°，∴△DKE是等腰直角三角形，∴DK＝DE＝×3a＝a，∵DK⊥AB，∠ABC＝90°，∴DK∥BC，∴△ADK∽△ACB，∴＝＝＝，∴BC＝4KD＝4×a＝6a，∴AB＝BC＝6a，∵∠CDE+∠ABC＝180°，∠ABC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴∠ADE＝90°，∵∠A＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴BE＝DE＝×3a＝3a，∴BE＝AB﹣AE＝6a﹣3a＝3a，∴S2＝×3a×a＝a2，∴＝＝．11．（1）证明：如图1，连接AC，OA，∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝∠AEC＝30°，∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°，∴∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°，∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝90°，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）解：如图1，连接AC，由（1）知，∠D＝30°，∠OAD＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠D＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝AC，∠OAC＝60°，∴∠CAD＝∠OAD﹣∠OAC＝30°＝∠D，∴AC＝CD＝3，∴OC＝3，即⊙O的半径为3；（3）EP+AP＝CP，理由：如图2，∵∠AEC＝30°，∴∠APC＝∠AEC＝30°，连接AC，延长PE至M，使EM＝AP，连接CM，∵AE⊥BC，BC为⊙O的直径，∴AC＝EC，∵四边形APEC是⊙O的内接四边形，∴∠CAP＝∠CEM，∴△ACP≌△ECM（SAS），∴CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，过点C作CN⊥PM于N，∴PM＝2MN，在Rt△CNM中，cos M＝，∴cos30°＝＝，∴MN＝CM，∴PM＝2MN＝CM＝CP，∵PM＝PE+EM＝PE+AP，∴PE+AP＝CP，即EP+AP＝CP．12．（1）证明：连接AO，如图1所示：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BCD＝∠ACB，∴∠BCD＝∠ABC，∴AB∥DF，∵CF＝CA，∴CF＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形，∴AF∥BC，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∴OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；（2）解：连接AO交BC于H，连接OB，如图2所示：∵OA⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝4，∵cos∠ABC＝＝，∴AB＝BH＝×4＝5，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH＝＝＝3，设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，OH＝x﹣3，在Rt△BOH中，由勾股定理得：x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，∴⊙O的半径为，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠AEC＝∠ADC+∠DCE＝∠ABC+∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝∠ACE，∴AE＝AC＝AB＝5；（3）解：连接AO，并延长AO交⊙O于Q，连接NQ，过点A作AP⊥l2于P，如图3所示：则AQ是⊙O的直径，∴∠AMQ＝90°，∵AP⊥l2，∴∠APN＝90°，∴∠AMQ＝∠APN，∵∠AQM＝∠ANP，∴△AQM∽△ANP，∴＝，∴AM•AN＝AP•AQ，由（2）可知，点A到直线l1的距离为3，直线l1绕点A旋转得到l2，∴点A到直线l2的距离始终等于3，不会发生改变，∴AP＝3，∵AQ＝2OA＝2×＝，∴AM•AN＝AP•AQ＝3×＝25，∴l2在运动的过程中，AM•AN的值不发生变化，其值为25．13．（1）证明：连接OC．如图1所示：∵AB是⊙O的切线，∴∠OCA＝90°，∵C为线段AB的中点，∴OC垂直平分线段AB，∴OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOC，∵∠CDF＝∠BOC，∠CDE＝∠AOC，∴∠CDF＝∠CDE；（2）解：①连接OC，过点O作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，如图2所示：∵ON⊥DF，OD＝OF，∴DN＝NF＝DF＝4，∵DE＝10，∴OD＝5，在Rt△OND中，由勾股定理得：ON＝＝＝3，∵OC＝OD，∴∠CDE＝∠OCD，∵∠CDF＝∠CDE，∴∠CDF＝∠OCD，∴OC∥DF，∴∠OCM+∠CMN＝180°，∵∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°，∵∠ONM＝90°，∴四边形OCMN是矩形，∴ON＝CM＝3，MN＝OC＝5，∴DM＝DN+MN＝4+5＝9，在Rt△CMD中，由勾股定理得：CD＝＝＝3，故答案为：3；②如图3所示：∵四边形ODFC是菱形，∴OC＝CF，∵OC＝OF，∴△OCF是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵∠OCB＝90°，∴∠B＝30°，故答案为：30°．14．（1）证明：连接OA，∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝∠BOD，∴∠AOB＝2∠BOD，∵∠AOB＝∠AOD+∠BOD，∴2∠BOD＝∠AOD+∠BOD，∴∠BOD＝∠AOD，又∵OA＝OB，∴OD⊥AB；（2）证明：延长PO交BC于点K，连接OC，∵OH⊥AB，∴∠P+∠POH＝90°，∵∠POH＝∠ABC，∴∠P+∠ABC＝90°，∴∠PKB＝90°，∴PK⊥BC，∵OB＝OC，∴∠KOB＝∠COB，∵∠BAC＝∠COB，∴∠BAC＝∠KOB，∵∠KOB+∠POB＝180°，∴∠BAC+∠POB＝180°；（3）解：延长PO交BC于点K，连接OA，OC，AD，BD，∵∠ABC＝60°，∠PHO＝∠PKB＝90°，∴∠POH＝60°，∠P＝30°，∠HFB＝30°，∴BF＝2BH，∵OD⊥AB，∴AB＝2BH，∴BF＝AB，∵AE＝AB，∴BF＝AE，设AH＝BH＝a，则PB＝2a+6，KB＝PB＝a+3，∵OF＝，∴OK＝OF＝，∴FK＝OK＝2，∴FB＝a+5，∴a+5＝2a，∴a＝5，∴KB＝8，PH＝11，∵OH⊥AB，∴AD＝BD，∵∠EAD+∠CAD＝180°，∠DBC+∠CAD＝180°，∴∠DBC＝∠EAD，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴∠E＝∠DFB＝30°，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，OA＝OC，∴∠CAO＝30°，∴∠CAO＝∠E，∴OA∥EG，∴∠OAH＝∠GDH，∵∠OKC＝90°，∴OC＝＝，∴OD＝，∴OH＝PH•tan P＝11×＝，∴HD＝OD﹣OH＝＝，∵sin∠OAH＝，∴sin∠GDH＝，∴DG＝．15．（1）证明：∵把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∠ACB＝∠ECD＝90°，∵∠AFC＝∠BFE，∴∠BEF＝∠ACF＝90°，∴AE⊥BE，又∵∠ECD＝90°，∴ED为⊙O的直径，∴BE为⊙O的切线；（2）解：四边形BECO为平行四边形．理由如下：∵把△ACD绕点C逆时针旋转90°得△BCE，点A，D分别对应点B，E，∴DC＝EC，∠DCE＝90°，BE＝AD，∵OE＝OD，∴CO⊥ED，∴∠COE＝90°，∵∠BEO＝90°，∴∠COE＝∠BEO，∴BE∥OC，在Rt△AOC中，sin∠CAE＝，设OC＝x，则AC＝x，∴AO＝＝2x，∵OA＝OD+AD，OD＝OC，∴AD＝OC＝x，∴BE＝OC，∴四边形BECO是平行四边形；（3）解：过点O作OM⊥GH于点M，连接OG，则GH＝2MG，∵∠FCO+∠OCA＝∠OCA+∠CAE＝90°，∴∠FCO＝∠CAE，∴sin∠FCO＝sin∠CAE＝，∴sin∠FCO＝，∴FO＝，∴CO＝＝2，∵四边形BECO为平行四边形，∴OF＝BE＝，OB＝CE，∴OE＝2OF＝2，∴CE＝＝＝2，∴OB＝2，由（1）（2）知△ACB和△BEO都为等腰直角三角形，∴∠EBO＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠OBA，∵BE∥CO，∴∠EBF＝∠FCO，∴∠OBA＝∠FCO，∴sin∠OBM＝，∴，∴OM＝2，∵OG＝OC＝2，∴MG＝＝＝2，∴GH＝2MG＝4．16．解：（1）∵∠ABC＝∠DAB＝90°，∴AD∥BC，又∵⊙O与CD相切，∴OE＝OA，∠OED＝90°，在Rt△OAD和Rt△OED中，，∴Rt△OAD≌Rt△OED（HL），∴∠ADO＝∠EDO，∴∠ODC＝∠ADC，同理：∠OCD＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴∠ODC+∠OCD＝（∠ADC+∠BCD）＝90°，∴∠DOC＝90°，∴OD⊥OC；（2）∵AB＝4，∴OA＝OB＝2，在Rt△OBC中，tan∠BCO＝＝，∴BC＝2OB＝4，∵∠DOC＝∠DAB＝90°，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠ODA＝90°，∴∠BOC＝∠ODA，又∠ABC＝∠DAB，∴△OAD∽△CBO，∴，即，∴AD＝1，∵∠ABC＝∠DAB＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴AD，BC都与⊙O相切，又∵⊙O与CD相切，∴AD＝ED，BC＝EC，∴CD＝AD+BC＝5，如图1，过点D作DG⊥BC于点G，则四边形为ABGD为矩形，∴DG＝AB＝4，在Rt△CDG中，sin∠BCD＝＝；（3）如图2，连接BE，与OC交于点H，在Rt△OAD中，AD＝1，OA＝2，∴，在Rt△OBC中，OB＝2，BC＝4，∴，∵BC＝EC，∠OCB＝∠OCE，∴OC⊥BE，∵BE＝2BH，∴，∴，∴，∴，∵OC⊥BE，OD⊥OC，∴OD∥BE，∴△ODF∽△EBF，∴．17．（1）证明：连接OE，∵H是AB的中点，CD是直径，∴CH⊥AB，∴∠GCH+∠CGH＝90°，∵FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG，∵OE＝OC，∴∠OCE＝∠OEC，又∵∠CGH＝∠EGF，∴∠FEO＝∠FEG+∠CEO＝∠CGH+∠GCH＝90°，∴EF是⊙O的切线；（2）解：①∵EF∥BC，CD⊥AB，∴∠F＝∠CBH，∠BHC＝90°，在Rt△BCH中，BC＝5，sin B＝sin F＝，∴CH＝BC•sin B＝5＝3，由勾股定理得：HB＝＝＝4，连接OB，设半径为r，则在Rt△OHB中，由勾股定理得：OH2+BH2＝OB2，∴，解得：r＝，∴⊙O的半径为．②∵EF∥BC，∴∠M＝∠BCH，∴sin M＝sin∠BCH＝＝＝，在Rt△OEM中，OM＝＝，∴DM＝OM﹣OD＝＝．18．解：（1）如图1，过点M作MH⊥AB于H，则点M到AB的距离为MH，当点H在点O处时，MH最大，其最大值为OA＝AB＝1，故答案为：1；（2）①如图2，连接OM，∵点O的对应点为M，∴BC是OM的垂直平分线，∴BM＝OB，∵OM＝OB，∴OM＝OB＝BM，∴△BOM是等边三角形，∴∠OBM＝60°，∵AB为半圆O的直径，且AB＝2，∴BM＝2，∠AMB＝90°，在Rt△AMB中，根据勾股定理得，AM＝＝＝；②如图2，连接OC，CM，由①知，△OBM是等边三角形，∴OB＝BM，∠BOM＝60°，∴∠AOC+∠COM＝120°，由折叠知，，∴∠AOC＝∠COM＝60°，∴S扇形AOC＝S扇形COM，过点C作CG⊥AB于G，则∠OGC＝60°，∴∠OCG＝30°，∴OG＝OC＝，∴CG＝，∴S阴影部分＝S扇形AOC+S△BOC﹣S△BMC﹣S弓形＝S扇形AOC+S△BOC﹣S△COM﹣S弓形＝S扇形AOC+S△BOC﹣S扇形COM＝S△BOC＝OB•CG＝×1×＝；（3）如图3，∵线段BO'与半圆O仅有一个公共点，且点B在半圆O上，∴点O'在半圆O内或线段O'B都在半圆外，当点O'在半圆内时，∴BO'＜BM，当BO'＝BM时，即点O'与M重合，（满足（2）的条件）如图2，由（2）知，∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，当线段O'B在半圆O外部时，∠ABA'≥90°，∴∠ABC≥45°，∴45°≤∠ABC＜90°，即线段BO'与半圆O仅有一个公共点时，0°＜∠ABC＜30°或45°≤∠ABC＜90°．19．（1）证明：如图1，连接OC，∵AO＝CO，AD＝CD，OD＝OD，∴△ADO≌△CDO（SSS），∴∠AOD＝∠COD，∵OA＝OC，∴AE＝CE；（2）证明：由（1）得：∠ADO＝∠CDO，∵AD＝CD，∴OD⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝2BC，设BC＝a，则AC＝2a，AE＝AC＝a，∴AB＝＝＝a，∵AO＝OB，AE＝CE，∴OE∥BC，OE＝BC＝a，∴DE＝＝＝2a，∴OD＝OE+DE＝a+2a＝a，∴AD2＝（a）2＝5a2，OA2＝（a）2＝，OD2＝＝，∴OA2+AD2＝OD2，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切线；（3）如图2，连接AF，过F作FM⊥EF交OD于M，∵AB＝AD，∠OAD＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形，∵AB为直径，∴∠AFB＝90°，∠DAF＝45°，∵∠AED＝∠AFD＝90°，∴∠DAF＝∠DEF＝45°，∴AF＝DF，∴∠AFE＝∠DFM，∵∠EAF＝∠FDM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∵OA＝AB＝，由（2）知：OE＝a，AE＝a，∴AE＝DM＝1，DE＝2，∴EM＝DE﹣DM＝2﹣1＝1，∴EF＝．20．解：（1）连接AP、OP，如图4所示：∵⊙O的半径为2，∴OP＝2，∴OA﹣OP＝5﹣2＝3，∴P A≥OA﹣OP，∴P A≥3，∴当点P在OA上时，P A最短，最小值为3，故答案为：3；（2）连接OA，交半圆于P′，连接OP，如图1所示：∵AC＝BC＝2，BC为半圆的直径，∴OP＝OC＝BC＝1，∵∠ACB＝90°，∴OA＝＝＝，∵AP≥OA﹣OP，∴AP≥﹣1，∴当点P在OA上时，AP最短，最小值为﹣1，故答案为：﹣1；（3）点P到点C的最短距离为3﹣3，理由如下：取AB中点O，连接OP、OC、PC，如图2所示：∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，∴BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝6，∠ABM＝∠BCN＝90°，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠CBN+∠ABN＝90°，∴∠BAM+∠ABN＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上运动，∵OP＝OA＝OB＝AB＝3，OC＝＝＝3，又∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥3﹣3，∴PC的最小值为3﹣3；（4）连接OA、OB，如图3所示：∵OA＝OB＝4＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝×60°＝30°，∵AM⊥AC，∴∠M＝60°，∴点M在以∠ADB＝120°的⊙D上，∵AB＝4，S△ABM最大，则点M到AB的距离最大，∴当AM＝BM时点M到AB的距离最大，∴△ABM是等边三角形，∴S△ABM＝AB×AB＝×4××4＝4，故答案为：4．。

2021年九年级数学中考复习专题之圆：切线长定理综合运用（一）一．选择题1．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E．若△PDE的周长为12，则PA的长为（）A．12 B．6 C．8 D．42．如图，△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（）A．B．C．2 D．33．如图中，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB、CD、CE的长度，下列关系何者正确（）A．AB＞CE＞CD B．AB＝CE＞CD C．AB＞CD＞CE D．AB＝CD＝CE4．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C，且在上的动点，则∠BPC的度数是（）A．65°B．115°C．115°或65°D．130°或65°5．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC、CD、DA相切，若BC＝2，DA＝3，则AB的长（）A．等于4 B．等于5 C．等于6 D．不能确定6．如图，已知PA，PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是（）A．4 B．8 C．4D．87．如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（）A．PA＝PB B．∠APO＝20°C．∠OBP＝70°D．∠AOP＝70°8．如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AC、BC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．169．如图，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若AB＝10，BC＝4，则AD的长（）A．4 B．5 C．6 D．710．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：①S四边形ABCD＝AB•CD；②AD＝AB；③AD＝ON；④AB为过O、C、D三点的圆的切线．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题11．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝108°，则∠COD的度数是．12．一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，则该菱形的内切圆的半径是cm．13．如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC、PD切⊙O于点C、D．若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝．14．如图，已知：PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，若PA＝10cm，那么△PEF周长是cm．若∠P＝35°，那么∠AOB＝，∠EOF＝．15．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若△PDE的周长是10，则PA＝．三．解答题16．已知：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA＝12cm，求△PEF的周长．17．如图，AC是⊙O的直径，∠ACB＝60°，连接AB，分别过A、B作圆O的切线，两切线交于点P，若已知⊙O的半径为1，求△PAB的周长．18．如图，点B在⊙O外，以B点为圆心，OB长为半径画弧与⊙O相交于两点C，D，与直线OB相交A点．当AC＝5时，求AD的长．19．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．20．如图，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E．（1）若PA＝4，求△PED的周长；（2）若∠P＝40°，求∠AFB的度数．参考答案一．选择题1．解：∵PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，∴PA＝PB，∵DE是⊙O的切线，∴DA＝DC，EB＝EC，∵△PDE的周长为12，即PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+AD+EB+PE＝PA+PB＝2PA＝12，∴PA＝6．故选：B．2．解：在直角△BCM中，tan60°＝＝，得到BC＝＝2，∵AB为圆O的直径，且AB⊥BC，∴BC为圆O的切线，又CD也为圆O的切线，∴CD＝BC＝2．故选：C．3．解：∵∠1＝60°，∠2＝65°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣65°＝55°，∴∠2＞∠1＞∠ABC，∴AB＞BC＞AC，∵CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB、CE分别切圆O2于B，E两点，∴AC＝CD，BC＝CE，∴AB＞CE＞CD．故选：A．4．解：如图，连接OB、OC，∵AB、AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OCA＝90°，∵∠A＝50°，∴∠BOC＝130°，∵∠BOC＝2∠P，∴∠BPC＝65°；故选：C．5．解：如图，连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD边上的高和AO边上的高都为r，∴AO＝AD，同理BO＝BC，∴AB＝AO+BO＝AD+BC＝2+3＝5．故选：B．6．解：∵PA，PB分别切⊙O于点A、B，∴PA＝PB，又∠P＝60°，∴△APB是等边三角形，∴AB＝PA＝8．故选：B．7．解：∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，∠A＝∠B＝90°，∴∠OBP＝∠OAP，∴C是错误的．故选：C．8．解：∵AB、AC、BC、DE都和⊙O相切，∴BI＝BG，CI＝CH，DG＝DF，EF＝EH．∴BG+CH＝BI+CI＝BC＝9，∴C△ADE＝AD+AE+DE＝AD+AE+DF+EF＝AD+DG+EH+AE＝AG+AH＝C△ABC﹣（BG+EH+BC）＝25﹣2×9＝7．故选：A．9．解：连接OC，OD，设⊙O的半径为r，∵BC、CD、DA与半⊙O相切，∴AD和AO的高为r，∴AO＝AD，同理BO＝BC，∴AB＝AO+BO＝AD+BC，又知AB＝10，BC＝4，故知AD＝6，故选：C．10．解：连接OD、AP，∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，∴DA＝DP，CP＝CB，∠A＝90°＝∠B＝∠DPO，∴AD+BC＝DP+CP＝CD，∴S四边形ABCD＝（AD+BC）•AB＝AB•CD，∴①正确；∵AD＝DP＜OD，∵四边形ODPN是平行四边形，得到OD＝NP＜BP＜AB，则AD＜AB，∴②错误；∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°，∵DP＝AD，AO＝OP，∴D、O在AP的垂直平分线上，∴OD⊥AP，∵∠DPO＝∠APB＝90°，∴∠OPB＝∠DPA＝∠DOP，∵OM∥CD，∴∠POM＝∠DPO＝90°，在△DPO和△NOP中∠PON＝∠DPO，OP＝OP，∠DOP＝∠OPN，∴△DPO≌△NOP，∴ON＝DP＝AD，∴③正确；∵AP⊥OD，OA＝OP，∴∠AOD＝∠POD，同理∠BOC＝∠POC，∴∠DOC＝×180°＝90°，∴△CDO的外接圆的直径是CD，∵∠A＝∠B＝90°，取CD的中点Q，连接OQ，∵OA＝OB，∴AD∥OQ∥BC，∴∠AOQ＝90°，∴④正确．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝108°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×108°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝72°．故答案为：72°．12．解：如图所示：菱形ABCD，对角线AC，BD，可得菱形内切圆的圆心即为对角线交点，设AB与圆相切于点E，可得OE⊥AB，∵一个菱形的周长是20cm，两对角线之比是4：3，∴AB＝5cm，设BO＝4x，则AO＝3x，故（4x）2+（3x）2＝25，解得：x＝1，则AO＝3，BO＝4，故EO•AB＝AO•BO，解得：EO＝．故答案为：．13．解：∵PA＝6，⊙O的半径为2，∴PB＝PA﹣AB＝6﹣4＝2，∴OP＝4，∵PC、PD切⊙O于点C、D．∴∠OPC＝∠OPD，∴CO⊥PC，∴sin∠OPC＝＝，∴∠OPC＝30°，∴∠CPD＝60°，故答案为：60°．14．解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D．∴AE＝ED，DF＝FR∴△PEF周长是PE+PF+EF＝PE+EA+PF+FR＝PA+PR＝2PA＝20cm；∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B∴∠PAO＝∠PRO＝90°∴∠AOB＝360°＝90°﹣90°﹣35°＝145°；∴∠EOF＝∠AOB＝72.5°故答案是：20，145°，72.5°．15．解：∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB，PA＝PB，∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝10，∴PA＝5；故答案为5．三．解答题（共5小题）16．解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，∴PA＝PB＝12，∵过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，∴EB＝EQ，FQ＝FA，∴△PEF的周长是：PE+EF+PF＝PE+EQ+FQ+PF，＝PE+EB+PF+FA＝PB+PA＝12+12＝24，答：△PEF的周长是24．17．解：∵PA，PB是圆O的切线．∴PA＝PB，∠PAB＝60°∴△PAB是等边三角形．在直角△ABC中，AB＝AC•sin60°＝2×＝∴△PAB的周长为PA+PB+AB＝3．18．解：连接OC、OD．∵OA是⊙B的直径，∴∠OCA＝∠ODA＝90°，∴AC、AD都是⊙O的切线．∴AD＝AC＝5．19．解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC﹣AD＝6，∴DC2＝62+82＝100，即DC＝10．（1分）设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，∴x+（x+6）＝10．∴x＝2．∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC＝90°，AD＝DE，CB＝CE，设AD＝x，则BC＝x+6，由射影定理可得：OE2＝DE•EC．（2分）即：x（x+6）＝16，解得x1＝2，x2＝﹣8，（舍去）∴AD＝2，BC＝2+6＝8．（4分）（2）存在符合条件的P点．设AP＝y，则BP＝8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，∴y＝；（6分）②△ADP∽△BPC时，∴y＝4．（7分）故存在符合条件的点P，此时AP＝或4．（8分）20．解：（1）∵DA，DC都是圆O的切线，∴DC＝DA，同理EC＝EB，∵P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B∴PA＝PB，∴三角形PDE的周长＝PD+PE+DE＝PD+DC+PE+BE＝PA+PB＝2PA＝8，即三角形PDE的周长是8；（2）连接AB，∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵∠P＝40°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180﹣40）＝70°，∵BF⊥PB，BF为圆直径∴∠ABF＝∠PBF＝90°﹣70°＝20°∴∠AFB＝90°﹣20°＝70°．答：（1）若PA＝4，△PED的周长为8；（2）若∠P＝40°，∠AFB的度数为70°．。

2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：填空题专项训练（二）1．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的函数表达式为y ＝x ，点O 1的坐标为（1，0），以O 1为圆心，O 1O 为半径画圆，交直线l 于点P 1，交x 轴正半轴于点O 2；以O 2为圆心，O 2O 为半径画圆，交直线l 于点P 2，交x 轴正半轴于点O 3；以O 3为圆心，O 3O 为半径画圆，交直线l 于点P 3，交x 轴正半轴于点O 4；…按此做法进行下去，其中弧的长 ．2．如图，△ABC 的内切圆⊙O 分别与三角形三边相切于点D 、E 、F ，若∠DFE ＝55°，则∠A ＝ °．3．如图，在Rt △ABC 中，点D 是AB 上的一点，将Rt △ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转90°，使得点A 的对应点A ′落在BC 的延长线上，点B 的对应点B ′落在边AC 上，点D 的对应点D '落在边A ′B ′上，经过点B ′，若AC ＝2BC ＝2，则阴影部分的面积是 ．4．如图，以半圆的一条弦AN为对称轴，将AN弧折叠过来和直径MN交于点B，如果MB：BN ＝2：3，若MN＝10，那么弦AN的长为．5．如图，PA与⊙O切于点A，PO的延长线交⊙O于点B，若⊙O的半径为3，∠APB＝54°，则弧AB的长度为．6．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，∠ACB的平分线交⊙O于D，若AC＝m，BC＝n，则CD的长为（用含m、n的代数式表示）．7．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．8．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P是矩形ABCD上一动点，要使得∠APB＝60°，则AP的长为．9．如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝．10．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）．11．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB 的长是．13．过三点A（3，3）、B（7，3）、C（5，6）的圆的圆心坐标为．14．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝1，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则线段AC的长等于．15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分＝．面积S阴影16．如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH中，点P在CD上，则△PGH的面积为．17．如图，已知⊙O的半径为6，C、D在直径AB的同侧半圆上，∠AOC＝96°，∠BOD＝36°，动点P在直径AB上，则CP+PD的最小值是．18．如图，四边形ABCD内接于以AC为直径的⊙O，AD＝，CD＝2，BC＝BA，AC与BD 相交于点F，将△ABF沿AB翻折，得到△ABG，连接CG交AB于E，则BE长为．19．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为5，C为⊙O内一动点，且△ACB＝90°，则△ABC的周长的最大值为．20．已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圆O的半径为2，则BD的长为．参考答案1．解：连接P1O1，P2O2，P3O3，P4Q4，…，如图所示：∵P1是⊙1上的点，∴P1O1＝OO1，∵直线l解析式为y＝x，∴∠P1OO1＝45°，∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，同理，P n O n垂直于x轴，∴为圆的周长，∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，∴OO n＝2n﹣1，∴＝×2π•OO n＝π×2n﹣1＝2n﹣2π，∴n＝2020时，＝22020﹣2π＝22018π，故答案为：22018π．2．解：连接OD，OE，如图所示：则∠ADO＝∠AEO＝90°；由圆周角定理知，∠DOE＝2∠DFE＝110°；∴∠A ＝360°﹣∠ADO ﹣∠AEO ﹣∠DOE ＝70°．故答案为：70．3．解：如图，连接CD 、CD ′，∵Rt △ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转90°，使得点A 与点A ′落在BC 的延长线上，点B 的对应点B ′落在边AC 上，点D 的对应点D '落在边A ′B ′上，经过点B ′，∴∠DCD ′＝∠ACA ′＝∠BCB ′＝90°，CB ＝CD ＝CB ′＝CD ′＝，AC ＝A ′C ＝2，∴∠BCD +∠DCB ′＝∠B ′CD ′+∠DCB ′＝90°，∴∠DCB ＝∠D ′CB ′，∴△DCB ≌△D ′CB ′（SAS ），由旋转可知：△ABC ≌△A ′CB ′，∴S △DCB ＝S △D ′CB ′，S △ABC ＝S △A ′CB ′，∴S △BCD +S △A ′CD ′＝S △ABC∴S 阴影＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣S △BCD ﹣S △A ′CD ′＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣（S △BCD +S △A ′CD ′）＝S 扇形ACA ′+S △ABC ﹣S 扇形DCD ′﹣S △A ′CB ′＝S 扇形ACA ′﹣S 扇形DCD ′＝﹣＝．故答案为．4．解：连接MA并延长至M'，使AM'＝AM，连接M'N，交半圆于D，连接AD，如图所示：∵MN是半圆的直径，∴∠MAN＝90°，∴AN⊥AM，∵AM'＝AM，∴M′N＝MN＝10，∵MB：BN＝2：3，∴MB＝4，BN＝6，由折叠的性质得：AD＝AB，BN＝DN，∴DM'＝BM＝4，∵四边形AMND是圆内接四边形，∴∠M'AD＝∠M'NM，∵∠M'＝∠M'，∴△M'AD∽△M'NM，∴＝，∴M′A•M′M＝M′D•M′N，即M′A•2M′A＝4×10＝40．则M′A2＝20，又∵M′A2＝M′N2﹣AN2，∴20＝100﹣AN2，∴AN＝4．故答案为：4．5．解：连接OA，∵PA与⊙O切于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP＝90°，∵∠APB＝54°，∴∠AOB＝∠APB+∠PAO＝54°+90°＝144°，∵⊙O的半径为3，∴弧AB的长度为＝π．故答案为：π．6．解：如图，作DE⊥CA与E，DF⊥BC于F．∵AB是直径，∴∠ECF＝∠CED＝∠CFD＝90°，∴四边形DECF是矩形，∵DC平分∠ACB，DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∴四边形DECF是正方形，∵∠DCA＝∠DCB，∴＝，∴AD＝BD，∴Rt△ADE≌Rt△FDB（HL），∴AE＝BF，∴CE+CF＝AC+AE+CB﹣BF＝AC+BC＝m+n，∴CE＝CF＝DE＝DF＝（m+n），∴CD＝（m+n），故答案为：（m+n）．7．解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．8．解：如图，取CD中点P，连接AP，BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，∠D＝∠C＝90°，∵点P是CD中点，∴CP＝DP＝2，∴AP＝＝＝4，BP＝＝＝4，∴AP＝PB＝AB，∴△APB是等边三角形，∴∠APB＝60°，过点A，点P，点B作圆与AD交于点P′，与BC交于点P″，连接BP′，AP″，此时∠AP′B＝∠APB＝60°，∠AP″B＝60°，∴AP′＝＝4，AP″＝＝8，故答案为：4或4或8．9．解：∵在⊙O中，，∴AC＝AB＝3，故答案为：310．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴五边形ABCDE为圆内接正五边形，∴＝＝＝＝，∴∠BAE＝＝108°，∠HAN＝∠AEH＝∠BAC＝∠DAE＝∠ABE＝∠BAE＝×108°＝36°，∴∠EAH＝∠BAN＝36°+36°＝72°，∴∠AHE＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∠ANB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠EAH＝∠EHA＝72°，∠ANH＝∠AHN＝72°，∴AE＝HE，∠EAH＝∠EHA＝∠ANH＝∠AHN，∴△AEH∽△AHN，∴＝，∵五角星的边框总长为40cm，∴AH＝AN＝EN＝＝4，HN＝HE﹣NE＝AE﹣4，∴＝，整理得：（AE﹣2）2＝20，∴AE＝2+2（cm），故答案为：2+2．11．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴图中阴影部分的面积＝＝3π，故答案为：3π．12．解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．解：如图，在平面直角坐标系中画出点A、B、C，连接AB、AC、BC，过C作CE⊥AB于E，设所求的圆的圆心为D，半径为r，连接AD∵A（3，3）、B（7，3）∴圆心D在直线x＝5上∴D的横坐标为5∵C（5，6）∴CE＝3∵CD＝r∴DE＝3﹣r在Rt△DAE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2∴22+（3﹣r）2＝r2解得r＝∴点D的纵坐标为6﹣＝∴D（5，）故答案为：（5，）．14．解：连接OD，BC，AB，∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，∴OB＝BD＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴∠OBD＝60°，即旋转角等于60°，∵将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝OB＝，故答案为：15．解：连接OC．∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE＝，∴∠COB＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四边形OCBD是菱形，∴OC∥BD，∴S△BDC ＝S△BOD，∴S阴＝S扇形OBD，∵OD＝＝2，∴S阴＝＝，故答案为．16．解：作正八边形的外接圆O，则∠HGD＝×360°＝90°，∠FGD＝×360°＝45°，在正八边形ABCDEFGH中，CD∥HG，∴S△HGP ＝S△CDH，过F作FM⊥DG于M，过E作EN⊥DG于N，在Rt△GMF中，∠FGD＝45°，GF＝，∴GM＝GF＝1，同理，DN＝1，∵MN＝EF＝，∴GD＝1++1＝2+，∴S△HGP ＝S△HGD＝HG•GD＝．故答案为：+1．17．解：过D作DE⊥AB交⊙O于E，连接CE交AB于P，连接OE，作OF⊥CE于F，如图所示：此时CP+PD＝CE最小．，∴∠BOE＝∠BOD＝36°，∵∠AOC＝96°，∴∠BOC＝84°，∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，∵OC＝OE＝6，∴∠OCE＝∠OEC＝30°，∵OF⊥CE，∴CF＝EF，OF＝OC＝3，CF＝OF＝3，∴CE＝2CF＝6．即CP+PD的最小值为6；故答案为：6．18．解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AD＝，CD＝2，∴AC＝＝，∵AB＝BC，∴∠1＝∠2，过F作FM⊥AD于M，FN⊥CD于N，∴FM＝FN，∴＝＝＝＝2，∴AF＝AC＝，∵将△ABF沿AB翻折，得到△ABG，∴∠GAE＝∠CAE，∴＝＝3，∵AG＝AF＝，∵∠BAG＝∠BAC＝45°，∴∠GAC＝90°，∴CG＝＝，∴EG＝CG＝，∴tan∠CGA＝＝3，过A作AH⊥EG于H，∴HG＝AG•cos∠AGH＝×＝，AH＝AG•sin∠AGH＝×＝1，∴EH＝EG﹣HG＝，∴AE＝＝，∵AB＝AC＝，∴BE＝AB﹣AE＝．故答案为：．19．解：如图，连接OA、OB，∵OA＝OB＝5，AB＝5，∵52+52＝（5）2∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，∵△ACB＝90°，即当点C与点O重合时，△ABC的周长最大，因为AB是定值，AO+BO是直径最大，则△ABC的周长的最大值为：10+5．故答案为：10+5．20．解：如图，连接OB，∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．∴∠ACD＝45°，∵∠ACB＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∵OC＝OD，∠DOC＝90°，∴∠DCO＝45°，∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO＝15°，∴∠BOC＝150°，∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝2．故答案为2．。

中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为 相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。

中考数学考点分类复习——圆一、选择题1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（）A.①②B.②③C.①③D.①②③2.已知⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O内B.点P的⊙O上C.点P在⊙O外D.点P在⊙O上或⊙O外3．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD的大小是( )A．18° B．36° C．54° D．72°4.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为( )A. 2B.22－2C.2－ 2D.2－15.如图，PA，PB为⊙O的切线，A，B分别为切点，∠APB=60∘，点P到圆心O的距离OP=2，则⊙O的半径为( )A.12B.1 C.32D.26.如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C.若∠ABO＝20°，则∠C 的度数是( )A.70°B.50°C.45°D.20°7.如图，有一半径是1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，用此扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径长为( )A.2米B.22米 C.24米 D.28米8. 如图,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是（）A.∠EAB=∠CB.∠B=90∘C.EF⊥ACD.AC是☉O的直径9.如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是( )A.10B.8 2C.413D.24110．如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B 两点，C 是AB ︵上任意一点，过C作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E .若△PDE 的周长为12，则PA 的长为( )A ．12B ．6C ．8D ．411.如图，AB 与⊙O 相切于点C ，OA ＝OB ，⊙O 的直径为6 cm ，AB ＝6 3 cm ，则阴影部分的面积为( )A.()93－π cm 2B.()93－2π cm 2C.()93－3π cm 2D.()93－4π cm 212. 一圆形玻璃被打碎后，其中四块碎片如图所示，若选择其中一块碎片带到商店，配制与原来大小一样的圆形玻璃，选择的是（ ）A.①B.③C.②D.④13.如图，已知⊙O 的半径是2，点A ，B ，C 在⊙O 上，若四边形OABC 为菱形，则图中阴影部分面积为( )A.23π－2 3B.23π－ 3C.43π－2 3D.43π－ 3 14. 如图，直线l 1 // l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1=60∘．下列结论错误的是（ ）A.MN =4√33B.l 1和l 2的距离为2C.若∠MON =90∘，则MN 与⊙O 相切D.若MN 与⊙O 相切，则AM =√315.如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD.若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( )A.πB.32π C.2π D.3π 二．填空题16.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝8，CB ＝6，则△ABC 内切圆的周长为______．17. △ABC 中，∠C =90∘，AB =4cm ，BC =2cm ，以点A 为圆心，以3.4cm 的长为半径画圆，则点C 在⊙O ________，点B 在⊙O ________．18.扇形的半径是9 cm ，弧长是3π cm ，则此扇形的圆心角为 度.19.如图，已知⊙O 的半径为2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝135°，则AB ＝______．20.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADF 的度数为 .21.如图，在圆O 中，AB 为直径，AD 为弦，过点B 的切线与AD 的延长线交于点C ，AD ＝DC ，则∠C ＝______度．22.如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上.若PA 的长为2，则△PEF 的周长是 .23.如图，点A ，B ，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A ，B ，C 三点的外接圆除经过A ，B ，C 三点外还能经过的格点数为 .24.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ，点E 在弧BC 上(不与点B 、C 重合)，连结BE 、CE .若∠D ＝40°，则∠BEC ＝_______度．25.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k x经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为6－32的圆内切于△ABC ，则k 的值为 .26. 如图，与相切，切点为，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为________．27. 如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，∠BDC ＝45∘，∠BED ＝95∘，则∠C 的度数为________度．28．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F .已知∠A ＝110°，∠C ＝30°，则∠DFE 的度数是______．29. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为√2，则BF的长为________．30. 如图，AB为半圆O的直径，C为AO的中点，CD⊥AB交半圆于点D，以C为圆心，CD为半径画弧DE交AB于E点，若AB=8cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．（取准确值）三、解答题31.如图所示，CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60∘．求证：△ABC的外接圆的半径为CB．32. 如图所示，AB是⊙O的一条直径，CD是⊙O的一条弦，延长BA与DC的延长线相交于P点，若AB=2PC，∠P=36∘，求∠COD的度数．33.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O分别交AB，BC于点D，E，连接DE，AD＝BD，∠ADE＝120°.(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)若AC＝2，求图中阴影部分的面积.34.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，sin∠BPD＝35，求⊙O的直径.35.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）如果⊙O的直径为9，cos B＝13，求DE的长36.如图，已知⊙O的直径CD＝6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A 点作直线EF∥BD，分别交CD，CB的延长线于点E，F，AO与BD交于点G.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)求AE的长.37.如图， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ．（1）求证：12DE BC =；（2）若tanC=25，DE=2，求AD 的长．38．已知，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，ED ＝EC ，以AE 为直径的⊙O 与边CD 相切于D , 点B 在⊙O 上，连结OB .(1)求证：DE ＝OE ;(2)若AB ∥CD ，求证：四边形ABCD 是菱形．39.如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O 交BC 于点D ，过点D 作O 的切线DE 交AC 于点E ，交AB 延长线于点F .（1）求证：DE AC ⊥；（2）若10,8AB AE ==，求BF 的长.40. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，BE 是⊙O 的直径，连接BF ，延长BA ，过F 作FG ⊥BA ，垂足为G ．(1)求证：FG 是⊙O 的切线；(2)已知FG ＝2√3，求图中阴影部分的面积．41.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，PB 与CD 交于点F ，∠PBC=∠C ．（1）求证：CB ∥PD ；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．42.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）求证：△PBD∽△DCA；（3）当AB=6，AC=8时，求线段PB的长．AH ，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过43.如图，点O是线段AH上一点，3点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作ABCD．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若13OH AH =，求四边形AHCD 与⊙O 重叠部分的面积； （3）若13NH AH =，54BN =，连接MN ，求OH 和MN 的长．44.已知ABC 内接于O ，BAC ∠的平分线交O 于点D ，连接DB ，DC ．（1）如图①，当120BAC ∠=时，请直接写出线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系式： ；（2）如图②，当90BAC ∠=时，试探究线段AB ，AC ，AD 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC=5，BD=4，求AD AB AC+ 的值．。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。

2021-2022学年北师大版九年级数学中考一轮复习《圆的有关计算》基础达标训练（附答案）1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）A．1B．C．D．23．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．12π﹣9C．3π﹣D．94．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．π﹣2C．π﹣D．π﹣25．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC 于点E，连接AE，则的长为（）A．B．πC．D．6．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE （阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．1C．D．7．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π+8．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（）A．2πB．4πC．D．π9．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（）A．1：1B．1：3C．1：6D．1：910．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm11．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（）A．80πcm2B．40πcm2C．24πcm2D．2πcm212．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．π﹣C．﹣2D．π﹣213．如图是一个废弃的扇形统计图，小明同学利用它的阴影部分制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）A．3.6B．1.8C．3D．614．如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．3π15．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π16．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．π17．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE ⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．﹣1C．π﹣D．﹣18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π19．如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（）A．m B．m C．m D．m20．一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100πB．200πC．100πD．200π21．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π22．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EF A的度数是．23．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．24．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a＝cm．25．如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为．26．如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为．27．若一个扇形的弧长是2πcm，面积是6πcm2，则扇形的圆心角是度．28．圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于．29．用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为．30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝．31．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．32．如图，四边形ABDC中，AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，则将它以AD为轴旋转180°后所得分别以AB、BD为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为．33．如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若阴影部分的面积为（π﹣1），则AC＝．34．如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；，，，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是．35．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以AC所在直线为轴，把△ABC 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于．36．如图所示，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是．37．如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为m．38．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．39．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO ＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是．40．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为．（结果保留π）参考答案1．解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故选：A．2．解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝AC＝，∴GB＝1，AB＝2，即边长为2．故选：D．3．解：∵AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，∴CE＝DE＝．设⊙O的半径为r，在直角△OED中，OD2＝OE2+DE2，即，解得，r＝6，∴OE＝3，∴cos∠BOD＝＝＝，∴∠EOD＝60°，∴，，∴，4．解：∵OD⊥AC，∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，∵∠CAB＝30°，OA＝4，∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣×2＝﹣2，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴AE＝AD＝2，∵AB＝，∴cos∠BAE＝＝，∴∠BAE＝30°，∴∠EAD＝60°，∴的长＝＝，故选：C．6．解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，底面圆的周长等于弧长：∴2πr＝，解得r＝．答：该圆锥的底面圆的半径是．7．解：连接CD、OC、OD．∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵弧CD的长为，∴＝，解得：r＝1，∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．故选：A．8．解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，∵OD＝OC，CD＝4，∴2OD2＝42，∴OD＝2，∴的长是＝＝，故选：D．9．解：设圆锥和圆柱的底面圆的半径为r，圆锥的高为h，则圆柱的高为3h，所以圆锥与圆柱的体积的比＝（×πr2×h）：（πr2×3h）＝1：9．故选：D．10．解：圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，由弧长公式得＝8π，解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．故选：B．11．解：如图，连接CD．∵OC＝OD，∠O＝60°，∴△COD是等边三角形，∴OC＝OD＝CD＝4cm，∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝﹣＝40π（cm2），故选：B．12．解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣＝π﹣2．故选：D．13．解：设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝3.6，即这个圆锥的底面半径是3.6．故选：A．14．解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，∴S阴影＝S半圆A′B+S扇形ABA′﹣S半圆AB＝S扇形ABA′＝＝3π，故选：D．15．解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故选：A．16．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣，故选：B．17．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA＝，∴OE＝1，∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，故选：B．18．解：连接OD，BC，∵CD⊥AB，OC＝OD，∴DM＝CM，∠COB＝∠BOD，∵OC∥BD，∴∠COB＝∠OBD，∴∠BOD＝∠OBD，∴OD＝DB，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝60°，∵DM＝CM，∴S△OBC＝S△OBD，∵OC∥DB，∴S△OBD＝S△CBD，∴S△OBC＝S△DBC，∴图中阴影部分的面积＝扇形COB的面积＝＝2π，故选：B．19．解：设底面半径为rm，则2πr＝，解得：r＝，所以其高为：＝（m），故选：C．20．解：这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．故选：C．21．解：由题意可得，阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，解法二：连接BD，由题意，S因＝S扇形CBD﹣S△BCD＝×π×22﹣×2×2＝π﹣2，故选：B．22．解：∵正五边形ABCDE，∴∠EAB＝＝108°，∵△ABF是等边三角形，∴∠F AB＝60°，∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝（180°﹣48°）＝66°，故答案为：66°．23．解：连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数＝＝10，故答案为：10．24．解：如图，连接AC，过点B作BD⊥AC于D，由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，∠BCD＝∠BAC＝30°．由AC＝3，得CD＝1.5．cos∠BCD＝＝，即＝，解得a＝，故答案为：．25．解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝2，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD＝＝，BD＝AB＝，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝60°，CM＝OC＝＝1，∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC＝+×﹣﹣＝1+﹣π．故答案为1+﹣π．26．解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB＝．故答案为：．27．解：设圆心角都度数为n度，扇形的面积＝＝6π，解得：r＝6，又∵＝2π，∴n＝60．故答案为：60．28．解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．故答案为30π．29．解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝1，所以这个圆锥的底面圆半径为1．故答案为1．30．解：连接OC．∵AB⊥CD，∴＝，CE＝DE＝，∴∠COB＝∠BOD，∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB＝OD，∴△OBC，△OBD都是等边三角形，∴OC＝BC＝BD＝OD，∴四边形OCBD是菱形，∴OC∥BD，∴S△BDC＝S△BOD，∴S阴＝S扇形OBD，∵OD＝＝2，∴S阴＝＝，故答案为．31．解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．32．解：∵两个圆锥的底面圆相同，∴可设底面圆的周长为l，∴上面圆锥的侧面积为：l•AB，下面圆锥的侧面积为：l•BD，∵AB＝AC＝3，BD＝CD＝2，∴S上：S下＝3：2，故答案为：3：2．33．解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2＝π﹣1，∵BC为直径，∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，故CD＝DB＝DA，∴D点为中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等．设AC＝BC＝x，则S扇形ACB﹣S3﹣S4＝S1+S2，其中，，故：，所以：x1＝2，x2＝﹣2（舍去）故答案为：2．34．解：由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，AD n﹣1＝AA n＝4（n﹣1）+1，BA n＝BB n ＝4（n﹣1）+2，故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长＝．故答案为：4039π．35．解：由已知得，母线长l＝5，底面圆的半径r为3，∴圆锥的侧面积是s＝πlr＝5×3×π＝15π．故答案为：15π．36．解：设圆锥的底面半径为r，由题意得，＝2πr，解得，r＝，故答案为：．37．解：如图，连接OA，OB，OC，则OB＝OA＝OC＝1m，因此阴影扇形的半径为1m，圆心角的度数为120°，则扇形的弧长为：m，而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：2πr＝，解得，r＝（m），故答案为：．38．解：连接OC、OD、CD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠OCD＝60°，∴∠OCD＝∠AOC，∴CD∥AB，∵△COD和△CBD等底等高，∴S△COD＝S△BCD．∴阴影部分的面积＝S扇形COD，∵阴影部分的面积是π，∴＝π，∴r＝3，故答案为3．39．解：连接OA，∵∠ABO＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB＝8，∴⊙O的半径为8，∵AD∥OB，∴∠DAO＝∠AOB＝60°，∵OA＝OD，∴∠AOD＝60°，∵∠AOB＝∠AOD＝60°，∴∠DOE＝60°，∵DC⊥BE于点C，∴CD＝OD＝4，OC＝＝4，∴BC＝8+4＝12，S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD＝×+2×﹣＝﹣8故答案为﹣8．40．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，由勾股定理得，AC＝＝2，∴OA＝OC＝，∴图中的阴影部分的面积＝22﹣×2＝4﹣π，故答案为：4﹣π．。

九年级中考数学圆的知识点+练习试题能够重合的两个圆叫等圆。

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。

圆既是轴对称图形，也是中心对称图形。

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

在同圆或等圆中：圆周角的度数等于它所对应弧的圆心角的。

同弧或等弧所对的圆周角。

圆周角是90°所对的弦是；直径所对应的圆周角是。

圆的内接四边形的对角，不在同一直线上的三个点确定一个圆。

1、如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°，则∠BOD= ，∠BAD= 。

（1题）（2题）(3题) （4题）（5题）2、如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D=( )A．25°B．35°C．55°D．70°3、如图，已知∠BAC=25°，∠CED=30°，则∠BOD的度数是。

4、如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为[]A.75°B.72°C.70°D.65°5、如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，则∠OCB的度数为_______．6、如图，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB 的延长线上，BD=BC，则∠D=___________。

（6题）（7题）（8题）(9题) (10题)7、如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_____．8、如图，四边形ABCD内接与圆，若四边形ABCD是平行四边形，则∠ADC= 。

9、如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°10、如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 。

2021年北京市中考数学总复习考点28：圆的有关概念一．选择题（共26小题）1．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM===3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC===4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5﹣3=2cm，在Rt△AMC中，AC===2cm．故选：C．2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC．若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°【分析】直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°﹣60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°﹣95°﹣50°=35°故选：D．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE=（）A．8cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在Rt△OCE中，利用勾股定理可得出OE的长度，再利用AE=AO+OE即可得出AE的长度．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，∴CE=CD=4cm．在Rt△OCE中，OC=5cm，CE=4cm，∴OE==3cm，∴AE=AO+OE=5+3=8cm．故选：A．4．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，则∠OBA的度数是（）A．64°B．58°C．32°D．26°【分析】根据垂径定理，可得=，∠OEB=90°，根据圆周角定理，可得∠3，根据直角三角形的性质，可得答案．【解答】解：如图，由OC⊥AB，得=，∠OEB=90°．∴∠2=∠3．∵∠2=2∠1=2×32°=64°．∴∠3=64°，在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∴∠B=90°﹣∠3=90°﹣64°=26°，故选：D．5．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A 上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．【解答】解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，故选：B．6．如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为（）A．4 B．2 C．D．2【分析】根据垂径定理得到CH=BH，=，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可．【解答】解：∵OA⊥BC，∴CH=BH，=，∴∠AOB=2∠CDA=60°，∴BH=OB•sin∠AOB=，∴BC=2BH=2，故选：D．7．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是（）A．50°B．60°C．80°D．100°【分析】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°，故选：D．8.已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求角度即可．【解答】解：由图可知，OA=10，OD=5，在Rt△OAD中，∵OA=10，OD=5，AD=，∴tan∠1=，∠1=60°，同理可得∠2=60°，∴∠AOB=∠1+∠2=60°+60°=120°，∴圆周角的度数是60°或120°．故选：D．9．如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC=32°，则∠B的度数是（）A．58°B．60°C．64°D．68°【分析】根据半径相等，得出OC=OA，进而得出∠C=32°，利用直径和圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OC，∴∠C=∠OAC=32°，∵BC是直径，∴∠B=90°﹣32°=58°，故选：A．10．如图，已知圆心角∠AOB=110°，则圆周角∠ACB=（）A．55°B．110°C．120° D．125°【分析】根据圆周角定理进行求解．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．【解答】解：根据圆周角定理，得∠ACB=（360°﹣∠AOB）=×250°=125°．故选：D．11．如图，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理先求BC一半的长，再求BC的长．【解答】解：设OA与BC相交于D点．∵AB=OA=OB=6∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA平分BC，利用勾股定理可得BD==3所以BC=6．故选：A．12．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A=66°，则∠OCB的度数是（）A．24°B．28°C．33°D．48°【分析】首先利用圆周角定理可得∠COB的度数，再根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，进而可得答案．【解答】解：∵∠A=66°，∴∠COB=132°，∵CO=BO，∴∠OCB=∠OBC=（180°﹣132°）=24°，故选：A．13．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为（）A．B．5 C．D．5【分析】连接OC、OA，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB即可．【解答】解：连接OC、OA，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∵AB为弦，点C为的中点，∴OC⊥AB，在Rt△OAE中，AE=，∴AB=，故选：D．14．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】根据圆周角定理得到∠ABC=∠ADC=35°，∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC=∠ADC=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°﹣∠ABC=55°，故选：C．15．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，则∠B的度数是（）A．70°B．80°C．110° D．140°【分析】作对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定理求∠AOC的度数．【解答】解：作对的圆周角∠APC，如图，∵∠P=∠AOC=×140°=70°∵∠P+∠B=180°，∴∠B=180°﹣70°=110°，故选：C．16．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=6，则弦AB的长为（）A．6 B．8 C．5 D．5【分析】延长AO交⊙O于点E，连接BE，由∠AOB+∠BOE=∠AOB+∠COD知∠BOE=∠COD，据此可得BE=CD=6，在Rt△ABE中利用勾股定理求解可得．【解答】解：如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB+∠BOE=180°，又∵∠AOB+∠COD=180°，∴∠BOE=∠COD，∴BE=CD=6，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∴AB===8，故选：B．17．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．35°【分析】直接根据圆周角定理求解．【解答】解：∵∠ACB=35°，∴∠AOB=2∠ACB=70°．故选：B．18．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A=60°，∠B=24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°【分析】直接利用圆周角定理即可得出答案．【解答】解：∵∠B与∠C所对的弧都是，∴∠C=∠B=24°，故选：D．19．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（）A．80°B．120°C．100° D．90°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A=180°﹣∠BCD=60°，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，故选：B．20．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120° D．130°【分析】根据互补得出∠AOC的度数，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠BOC=40°，∴∠AOC=180°﹣40°=140°，∴∠D=，故选：B．21．如图，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L 通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中a＜0，则a的值为何？（）A．﹣2B．﹣2C．﹣8 D．﹣7【分析】连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC，根据勾股定理求出OA，得到答案．【解答】解：连接AC，由题意得，BC=OB+OC=9，∵直线L通过P点且与AB垂直，∴直线L是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC=9，在Rt△AOC中，AO==2，∵a＜0，∴a=﹣2，故选：A．22．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD=8cm，AE=2cm，在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2，即OE2+42=（OE+2）2解得：OE=3，∴OB=3+2=5，∴EC=5+3=8，在Rt△EBC中，BC=，∵OF⊥BC，∴∠OFC=∠CEB=90°，∵∠C=∠C，∴△OFC∽△BEC，∴，即，解得：OF=，故选：D．23．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（）A．70°B．55°C．35.5°D．35°【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB=∠AOC，再根据圆周角定理解答．【解答】解：连接OB，∵点B是的中点，∴∠AOB=∠AOC=70°，由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，故选：D．24．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是（）A．40°B．50°C．70°D．80°【分析】根据圆周角定理得出∠AOC=40°，进而利用垂径定理得出∠AOB=80°即可．【解答】解：∵∠ABC=20°，∴∠AOC=40°，∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=40°，∴∠AOB=80°，故选：D．25．如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据垂径定理求出AD，根据勾股定理列式求出OD，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵半径OC垂直于弦AB，∴AD=DB=AB=，在Rt△AOD中，OA2=（OC﹣CD）2+AD2，即OA2=（OA﹣1）2+（）2，解得，OA=4∴OD=OC﹣CD=3，∵AO=OE，AD=DB，∴BE=2OD=6，故选：B．26．如图，BC是⊙O的弦，OA⊥BC，∠AOB=70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．35°C．45°D．60°【分析】欲求∠ADC，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．【解答】解：∵A、B、C、D是⊙O上的四点，OA⊥BC，∴弧AC=弧AB （垂径定理），∴∠ADC=∠AOB（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）；又∠AOB=70°，∴∠ADC=35°．故选：B．二．填空题（共13小题）27．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF﹣OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．28．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE= n°．【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB=180°，又∵∠DCE+∠DCB=180°∴∠DCE=∠A=n°故答案为：n29．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=3，AB=5，OD⊥BC 于点D，则OD的长为2．【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则可根据勾股定理计算出AC=4，再根据垂径定理得到BD=CD，则可判断OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质求解．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC==4，∵OD⊥BC，∴BD=CD，而OB=OA，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=AC=×4=2．故答案为2．30．如图，点A，B，C，D在⊙O上，=，∠CAD=30°，∠ACD=50°，则∠ADB=70°．【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC，进而得出答案．【解答】解：∵=，∠CAD=30°，∴∠CAD=∠CAB=30°，∴∠DBC=∠DAC=30°，∵∠ACD=50°，∴∠ABD=50°，∴∠ACB=∠ADB=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=180°﹣50°﹣30°﹣30°=70°．故答案为：70°．31．如图，AB是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA=30°．【分析】利用垂径定理和三角函数得出∠CDO=30°，进而得出∠DOA=60°，利用圆周角定理得出∠DFA=30°即可．【解答】解：∵点C是半径OA的中点，∴OC=OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO=30°，∴∠DOA=60°，∴∠DFA=30°，故答案为：30°32．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，=，若∠AOB=58°，则∠BDC= 29度．【分析】根据∠BDC=∠BOC求解即可；【解答】解：连接OC．∵=，∴∠AOB=∠BOC=58°，∴∠BDC=∠BOC=29°，故答案为29．33．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD═DB=DA=，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），34．如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA=AB，则∠ABC=15°．【分析】根据等边三角形的判定和性质，再利用圆周角定理解答即可．【解答】解：∵OA=OB，OA=AB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，∴∠COA=90°﹣60°=30°，∴∠ABC=15°，故答案为：15°35．同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．36．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为5．【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE=CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE=DE=CD=×6=3，设⊙O的半径为xcm，则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=32+（x﹣1）2，解得：x=5，∴⊙O的半径为5，故答案为：5．37．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少B走了15步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A=30°，则OC=10，AC=10，所以AB≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，最后求它们的差即可．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，则AC=BC，∵OA=OB，∴∠A=∠B=（180°﹣∠AOB）=（180°﹣120°）=30°，在Rt△AOC中，OC=OA=10，AC=OC=10，∴AB=2AC=20≈69（步）；而的长=≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少B走了15步．故答案为15．38．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，则∠B=60度．【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠C=20°，根据等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：如图，连接OA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=20°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB=60°，故答案为：60．39.如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm，∠B1D1C1=120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为10﹣10cm．【分析】（1）如图1中，连接B1C1交DD1于H．解直角三角形求出B1H，再根据垂径定理即可解决问题；（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．利用弧长公式求出半圆半径即可解决问题；【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A=D1B1=30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H=C1H=30×sin60°=15，∴B1C1=30∴弓臂两端B1，C1的距离为30（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr=，∴r=20，∴AG=GB2=20，GD1=30﹣20=10，在Rt△GB2D2中，GD2==10∴D1D2=10﹣10．故答案为30，10﹣10，三．解答题（共1小题）40．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE，∵AE=EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC=AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD=x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°，∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，解得x=1或﹣8（舍弃）∴AC=8，BD==，=8．∴S菱形ABFC•π•42=8π．∴S半圆=。