九年级(上)培优讲义：圆的基本性质

初三九年级上册_圆的概念和性质辅导讲义知识图谱圆的相关概念知识精讲知识精讲一．圆的相关概念1.圆的概念（1）描述性定义:在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径；（2）集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做半径；（3）圆的表示方法:用符号 表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O”，读作“圆O”；（4）同圆、同心圆、等圆：①圆心相同且半径相等的圆叫同圆；②圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；③能够重合的两个圆叫做等圆．2.弦与弧的相关概念：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦；（2）直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍；（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作 AB，读作弧AB；（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧；（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧；（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．3.圆心角与圆周角（1）圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角；①将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧；②圆心角的度数和它所对的弧的度数相等；（2）圆周角:顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．三点剖析一．考点：圆的相关概念二．重难点：1.圆的两种定义的理解；2.弦心距、优弧、圆周角等陌生概念的理解与记忆．三．易错点：1.圆是一条封闭曲线并不包含所围成图形内部部分；2.弓形只是由弧和弦所构成不包含半径；3.同圆、等圆、同心圆的联系与区别．圆的相关概念例题例题1、判断：（1）直径是弦，弦是直径（）（2）半圆是圆弧（）（3）长度相等的弧是等弧（）（4）能够重合的弧是等弧（）（5）圆弧分为优弧和劣弧（）（6）优弧一定大于劣弧（）（7）半径相等的圆是等圆（）例题2、设想有一根铁丝套在地球的赤道上，刚好拉紧后，又放长了15米，并使得铁丝均匀地离开地面．则下面说法中比较合理的是（）A.你只能塞过一张纸 B.你只能塞过一只书包C.你能钻过铁丝 D.你能直起身体走过铁丝随练随练1、下列说法中，结论错误的是（）A.直径相等的两个圆是等圆B.长度相等的两条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧随练2、过圆上一点可以做出圆的最长弦的条数是（）A.1条 B.2条 C.3条D.无数条随练3、如图，O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE OB =，74AOC ∠=︒，则E ∠=．垂径定理知识精讲一．垂径定理1.定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2.推论1：（1）平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．补充说明：做题过程中，定理与推论1（1）可以直接使用，而推论1（2）、（3）需证明后再使用．三点剖析一．考点：垂径定理二．重难点：利用垂径定理求圆的半径、弦长和弦心距．三．易错点：对垂径定理的理解不够，不会正确添加辅助线运用直角三角形进行解题垂径定理例题例题1、在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm ，则油的最大深度为（）A.40cmB.60cmC.80cmD.100cm例题2、如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长为（）A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸例题3、如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分．如果M 是O 中弦CD 的中点，EM 经过圆心O 交O 于点E ，并且4CD =，6EM =，求O 的半径．例题4、如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB 宽为8cm ，水面最深地方的高度为2cm ，则该输水管的半径为（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm例题5、⊙O 的半径为10，两平行弦AC ，BD 的长分别为12，16，则两弦间的距离是（）A.2B.14C.6或8D.2或14随练随练1、如图，⊙O 的弦AB 垂直半径OC 于点D ，∠CBA=30°，OC=3cm ，则弦AB 的长为（）A.9cmB.3cmC.cmD.cm随练2、如图，ABC ∆内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论AB DE AE BE OD DE AEO C ⊥==∠=∠①，②，③，④， 12AE AEB=⑤，正确结论的是随练3、如图，当圆形桥孔中的水面宽度AB 为8米时，弧ACB 恰为半圆．当水面上涨1米时，桥孔中的水面宽度A B ''为（）15米 B.215米 C.217米 D.不能计算随练4、如图，在梯形ABCD 中，AB DC ∥，AB BC ⊥，2cm AB =，4cm CD =．以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离是多少？弧，弦，圆心角之间的关系知一推二知识精讲一．圆心角、弧、弦之间的关系1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弧也相等．若AOB A OB ''∠=∠，则 AB A B ''=，AB A B ''=，AM A M ''=．2.推论：同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．二．应用1.在解答圆的问题时，若遇弧相等常转化为它们所对的圆心角相等或弦相等来解答；2.有弦的中点时常作弦心距，利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系来证题；另外，证明两弦相等也常作弦心距；3.在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角；4.有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：（1）连过弧中点的半径；（2）连等弧对的弦；（3）作等弧所对的圆心角三点剖析一．考点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系二．重难点：弧、弦、圆心角、弦心距的关系三．易错点：1.两条弧存在倍数关系，但所对应的弦并不是存在相同的倍数关系；2.判断题中，注意题中前提条件，必须是在等圆或同圆中．弧，弦，圆心角之间的关系知一推二例题例题1、下列说法中正确的是（）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦相等；③两条弦相等，圆心到这两弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不变，所对的弦也不变．A.①③ B.②④ C.①④ D.②③例题2、如图，以ABC ∆的边BC 为直径的O 分别交AB AC 、于点D E 、，连结OD OE 、，若65A ∠=︒，则DOE ∠=．例题3、如图，AB 、CD 为⊙O 的直径， AC CE=，（1）试说明BD CE =；（2）若连结BE ，问BE 与CD 平行吗？请说明理由．随练随练1、如图所示，点D 是弦AB 的中点，点C 在⊙O 上，CD 经过圆心O ，则下列结论中不一定正确的是（）A.CD ⊥ABB.∠OAD=2∠CBDC.∠AOD=2∠BCDD.弧AC=弧BC随练2、如图，A ，B ，C ，D 均为⊙O 上的点，且AB CD =，则下列说法不正确的是（）A.AOB COD ∠=∠B.AOC BOD ∠=∠C.AC BD =D.OC CD=随练3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB=70°，AB=AC ，则∠ABC=___________．拓展拓展1、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为（）A.45（）cm B.9cm C.45 D.62cm拓展2、下列说法正确的有（）①在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧；②在同一平面内，圆是到定点距离等于定长的点的集合；③度数相等的弧叫做等弧；④优弧大于劣弧；⑤直角三角形的外心是其斜边中点．A.①②③④⑤B.①②⑤C.①②③⑤D.②④⑤拓展3、如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围为____cm≤OP≤____cm．拓展4、如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA=时，△PAD为等腰三角形．拓展5、在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，^^^AC CD BD==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是__________．拓展6、如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm．拓展7、在⊙O 中，点C 是劣弧AB 的中点，则线段AB 和线段AC 的大小为（）A.2AB AC =B.2AB AC >C.2AB AC< D.无法确定拓展8、如图，在⊙O 中，∠AOB 的度数为m ，C 是弧ACB 上一点，D 、E 是弧AB 上不同的两点（不与A 、B 两点重合），则D E ∠+∠的度数为（）A.mB.1802m︒-C.902m ︒+D.2m 拓展9、如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB=2，⊙O 上存在点C ，使得弦AC=22BOC=______________°．拓展10、如图9A 、B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是弧 AB 的中点，求证四边形OACB 是菱形．图9。

圆的基本性质知识串讲【知识点一】圆的有关概念（1）在一个平面内，线段0A 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点入所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心；线段OA 叫做半径：（2）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；（3）圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；以A 、B 为端点的弧记做»AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”；圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条狐，每一条弧都叫做半圆；其中大于半圆的弧叫做“优弧”，小于半圆的弧叫做“劣弧”。

优弧一般用三个字母表示。

（4）同圆或等圆的半径相等；基础知识检测（一）1．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知AB ＝2DE ，∠E ＝18°，求∠AOC 的度数．EAEA【解答】解：连接OD ， ∵AB ＝2DE ＝2OD ， ∴OD ＝DE ，又∠E ＝18°， ∴∠DOE ＝∠E ＝18°， ∴∠ODC ＝36°， 同理∠C ＝∠ODC ＝36° ∴∠AOC ＝∠E ＋∠OCE ＝54°．2．已知P 是e O 内部一点，经过点P 作圆的直径，则可作直径的数量为（ ）A .1条B .2条C .3条D .1条或无数条【答案】D3．在平面直角坐标系中，以O 为圆心，5为半径作圆，下列各点，一定在圆上的是（ ）A .A （2，3）B .B （4，3）C .C （1，4）D .D （2，－4）【答案】B4．如图，已知⊙O 中，直径MN ＝10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM 、OP 以及⊙O 上，并且∠POM ＝45°，则AB 的长为多少？NM OP D CBA A BCD P OM N【解答】解：∵ABCD 是正方形，∴∠DCO ＝90°， ∵∠POM ＝45°，∴∠CDO ＝45°，∴CD ＝CO ， ∴BO ＝BC ＋CO ＝BC ＋CD ，∴BO ＝2AB ，连接AO ， ∵MN ＝10，∴AO ＝5，在Rt △ABO 中，AB 2＋BO 2＝AO 2， AB 2＋（2AB ）2＝52，解得：AB，则AB．5.如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为（ D ）A .2B .25C .45D .161756.如图，P 为⊙O 外一点，直线PO 交⊙O 于点C 、D ，割线PB 交⊙O 于A 。

初中九年级数学圆的讲义圆一、基本概念与性质在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周，端点P所形成的图形叫做圆。

其中，点O叫做圆心，线段OP叫做半径。

以点O为圆心的圆，记作⊙O ，读作圆O 。

点和圆的位置关系：如果⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则d>r时，点P在__________d=r时，点P在__________d<r时，点p在__________< p="">圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

弦与弧连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，是圆最长的弦。

圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，符号：以C、D为端点的弧，记作，读作圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

顶点在圆心的角叫做圆心角，顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。

圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫做等圆，能够互相重合的弧叫做等弧。

同圆或等圆的半径相等。

圆心角、弧、弦之间的关系：1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

2.推论：在同圆或等圆中，若两条弧相等，那么它们所对的圆心角和弦都相等。

在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的圆心角和弧都相等。

3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

圆心角与圆周角的关系：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

2.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角所对的弦是直径。

垂径定理：1.垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧确定圆的条件：1.经过一点A作圆2.经过A、B两点作圆3.经过A、B、C三点作圆——a)当三点位于一条直线时b)当三点不在一条直线上时4.结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆。

圆的基本性质是初中数学九年级下学期第一章第一节的内容．需要掌握点与圆的位置关系，理解圆心角、弧、弦、弦心距的概念和掌握它们之间的关系，重点是这四者关系的灵活运用，以及垂径定理及其推论的应用．1、圆的概念圆：平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．圆心：以上概念中的“定点”；以点O为圆心的圆称为“圆O”，记作O．半径：联结圆心和圆上任意一点的线段；以上概念中的“定长”是圆的半径长．2、点与圆的位置关系设一个圆的半径长为R，点P到圆心的距离为d，则有以下结论：当点P在圆外时，d > R；当点P在圆上时，d = R；当点P在圆内时，0d R≤<．反之亦然．3、相关定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．三角形的三个顶点确定一个圆．经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．圆的基本性质内容分析知识结构模块一：圆的确定知识精讲2 / 25ABCD O【例1】 在平面直角坐标系内，A （3-，tan30-︒），B （2a a，0），A 的半径为4，试说明点B 与A 的位置关系．【答案】点B 在A 外．【解析】由题意得333A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，，()10B ，，所以()223733133AB ⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为4AB >，所以点B 在A 外．【总结】本题考察了点与圆的位置关系，设一个圆的半径长为R ，点P 到圆心的距离为 d ，则有以下结论：当点P 在圆外时，d > R ；当点P 在圆上时，d = R ；当点P 在 圆内时，0d R ≤<．反之亦然．【例2】 过一个点可以画______个圆，过两个点可以画______个圆，过三个点可以画______个圆．【答案】无数；无数；一或零．【解析】不共线的三点才可以确定一个圆．【总结】本题考察了圆的确定，不共线的三点可以确定一个圆．【例3】 已知，如图，在O 中，AB 、BC 为弦，OC 交AB 于点D ．求证：（1）ODB OBD ∠>∠；（2）ODB OBC ∠>∠．【答案】详见解析．【解析】（1）∵OA OB =，∴OAB OBA ∠=∠，∵ODB OAB AOD ∠=∠+∠，∴ODB OBA AOD ∠=∠+∠，∴ODB OBD ∠>∠．（2）∵OC OB =，∴OBC OCB ∠=∠，∵ODB OCB DBC ∠=∠+∠，∴ODB OBC DBC ∠=∠+∠，∴ODB OBC ∠>∠．【总结】本题考查了圆的性质，利用外角是解决问题的关键．【例4】 如图，O 的半径为15，O 到直线l 的距离OH = 9，A 、B 、C 为直线l 上的三个点，AH = 9，BH = 12，CH = 15，请分别说明点A 、B 、C 与O 的位置关系．【答案】A 在O 内；B 在O 上；C 在O 外．例题解析HOlP【解析】连接OP ，∵15OP =，9OH =，∴2212PH OP OH =-=， ∵9AH HP =<，∴A 在O 内； ∵12BH HP ==，∴B 在O 上； ∵12CH HP =<，∴C 在O 外．【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【例5】 若A （a ，27-）在以点B （35-，27-）为圆心，37为半径的圆上，求a 的值．【答案】2或72-．【解析】∵A 点在B 上，∴37BA =，即()()2235272737a ++-+=，解得12a =，272a =-．【总结】本题考查了点与圆的位置关系，注意此题有两种解．【例6】 如图，作出AB 所在圆的圆心，并补全整个圆． 【答案】如图所示．【解析】在AB 上任意作两条弦，分别做两条弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心．【总结】本题考查了不共线三点定圆的作法．【例7】 如图，CD 是半圆的直径，O 是圆心，E 是半圆上一点，且45EOD ∠=︒，A 是DC 延长线上一点，AE 与半圆交于B ，若AB = OC ，求EAD ∠的度数．【答案】15EAD ∠=︒．【解析】∵AB OC =，OC OB =，∴AB OB =，∴EAD BOA ∠=∠， ∴2OBE BOA EAD EAD ∠=∠+∠=∠，AB CDEO4 / 25∵OB OE =，∴E OBE ∠=∠，∴2OEB EAD ∠=∠， ∵345EOD OEA EAD EAD ∠=∠+∠=∠=︒， ∴15EAD ∠=︒．【总结】本题考查了同一个圆中半径处处相等及三角形外角的应用．【例8】 已知，如图，AB 是O 的直径，半径OC AB ⊥，过OC 的中点D 作EF // AB ．求证：12ABE CBE ∠=∠．【答案】详见解析． 【解析】连接OE ，∵OC AB ⊥，EF //AB ， ∴OC EF ⊥，OBE DEB ∠=∠，∵OB OE =，∴OBE OEB ∠=∠，∴OBE OEB DEB ∠=∠=∠，∵D 为OC 的中点，∴1122OD OC OE ==，∴30OED ∠=︒，∴1152ABE OED ∠=∠=︒，∴451530CBE CBO ABE ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴12ABE CBE ∠=∠．【总结】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形性质的综合运用．【例9】 已知：AB 是O 的直径，点P 是OA 上任意一点，点C 是O 上任意一点．求证：PA PC PB ≤≤．【答案】详见解析．【解析】当P 与O 重合时，可得PA PC PB ==，当P 与O 不重合时，连接OC ，则OA = OC = OB ， ∴PA OA OP OC OP PC =-=-<，PB OP OB OP OC PC =+=+>，综上可知PA PC PB ≤≤．ABC D E F O【总结】本题考查了圆中半径处处相等，并利用三角形的三边关系解决问题．6 / 25A BCO1、 圆心角、弧、弦、弦心距的概念圆心角：以圆心为顶点的角叫做圆心角； 弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧；弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦就是直径； 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距． 2、 半圆、优弧、劣弧半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧叫做优弧． 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．如图，以A 、C 为端点的劣弧记作AC ，读作“弧AC ”； 以A 、C 为端点的优弧记作ABC ，读作“弧ABC ”． 3、 等弧和等圆能够重合的两条弧称为等弧，或者说这两条弧相等．若AB 与''A B 是等弧，记作''AB A B ．半径相等的两个圆一定能够重合，我们把半径相等的两个圆称为等圆． 4、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．5、 圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等．模块二：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系知识精讲AB COABCDO【例10】 下列命题中真命题的个数是（ ）① 相等的圆心角所对的弧也相等；② 在同圆中，如果两条弦相等，那么所对的弧也相等； ③ A 、B 是O 上任意两点，则AO + BO 等于O 的直径长； ④ 三角形的外心到三角形三边的距离相等． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A ．【解析】① 需说明是在同圆或等圆中，故①错误；② 一条弦对两条弧，所以需要说明是优弧还是劣弧，故②错误； ③ 易知AO 、BO 均为圆的半径，所以AO BO +为直径，故③正确； ④ 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故④错误．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【例11】 一条弦把圆分成1 : 3两部分，则弦所对的圆心角为______°． 【答案】90．【解析】∵一条弦把圆分成1 : 3两部分，∴整个圆分为四等分，则劣弧的度数为360490︒÷=︒， ∴弦所对的圆心角为90︒．【总结】本题考查了同圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．【例12】 如图，在O 中，AB AC =，70B ∠=︒，则BAC ∠=______． 【答案】40︒．【解析】∵在O 中，AB AC =，∴C B ∠=∠，∵70B ∠=︒，∴18040BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．【总结】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形内角和定理的应用． 【例13】 如图，已知O 的半径是6，30BOD ∠=︒，BD BC =，CD =______．【答案】6．【解析】∵BD BC =，30BOD ∠=︒，∴30BOD BOC ∠=∠=︒，例题解析8 / 25OABC∴60COD ∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ∆是等边三角形， ∴6CD =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例14】 如图，1O 和2O 是等圆，P 是12O O 的中点，过点P 作直线AD 交1O 于点A 、B ，交2O 于点C 、D ．求证：AB = CD ．【答案】详见解析．【解析】作1O E AB ⊥于E ，2O F CD ⊥于F ，∵P 是12O O 的中点，∴1PEO ∆≌2PFO ∆，∴12O E O F =， ∵1O 和2O 是等圆，∴AB CD =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例15】 已知，如图，AB 、CD 是O 的直径，弦AE // CD ，联结CE 、BC ．求证：BC = CE ． 【答案】详见解析．【解析】∵OA OE =，∴A OEA ∠=∠，∵AE //CD ，∴BOC A ∠=∠，EOC OEA ∠=∠， ∴BOC EOC ∠=∠，∴BC CE =．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的应用．【例16】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，AO 平分BAC ∠，AOB BOC ∠=∠，判断ABC∆的形状，并说明理由．【答案】等边三角形．【解析】∵AO 平分BAC ∠，∴BAO CAO ∠=∠，∵OA OC OB ==，∴ABO BAO CAO ACO ∠=∠=∠=∠， ∴AOB AOC ∠=∠，∵AOB BOC ∠=∠，∴AOB AOC BOC ∠=∠=∠，FABCDPEA BCDEO∴AB BC CA ==，∴ABC ∆是等边三角形．【总结】本题考查同圆中相等的圆心角所对的弦相等．【例17】 已知，如图，AB 是O 直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥，DN AB ⊥．求证：AC BD =．【答案】详见解析．【解析】连接OC 、OD ，则OC OD =，∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点，∴OM ON =， ∵CM AB ⊥，DN AB ⊥，∴OCM ∆≌ODN ∆， ∴COM DON ∠=∠，∴AC BD =．【总结】本题考查了同圆中相等的圆心角所对的弧相等．【例18】 如图，以点O 为圆心的圆弧上依次有四个点A 、B 、C 、D ，且AOB COD ∠=∠．求证：四边形ABCD 是等腰梯形．【答案】详见解析． 【解析】连接AC 、BD ，∵AOB COD ∠=∠，∴AB CD =，∵12ACB AOB ∠=∠，12CAD COD ∠=∠，∴ACB CAD ∠=∠，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，主要考查了同一条弦所对的圆周角和圆心角的关系，老师可 以选择性的讲解．1、 垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 2、 相关结论（1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且模块三：垂径定理知识精讲ABCDONM OAB CD10 / 25CE FO平分这条弦所对的弧．（2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦． （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧．（4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦．（5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦．总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立．【例19】 O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长为______． 【答案】8．【解析】∵O 的直径为10，∴5OB =，∵OM AB ⊥，∴OM 平分AB ， ∴224BM OB OM =-=，∴28AB BM ==． 【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例20】 在半径为2的O 中，弦AB 的长为22，则弦AB 所对的圆心角AOB ∠=____°． 【答案】90．【解析】作OD AB ⊥于D ，则2AD BD ==，∵2OB =，∴222OD OB BD =-=，∴45BOD ∠=︒，∴90AOB ∠=︒．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例21】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD 上，点E 和点F分别是边AC 和BC 的中点．例题解析求证：四边形CEDF 是菱形．【答案】详见解析．【解析】∵CD AB ⊥，且CD 过圆心，∴AD BD =，∴CA CB =，∵点E 和点F 分别是边AC 和BC 的中点，∴12CE AC =，12DE AC =，12CF BC =，12DF BC =，∴CE DE DF CF ===，∴四边形CEDF 是菱形．【总结】本题考查了垂径定理的运用即菱形的判定．【例22】 如图，一根横截面为圆形的输水管道，阴影部分为有水部分，此时水面宽AB为0.6米，污水深CD 为0.1米，求圆形的下水管道的直径．【答案】1米．【解析】连接OB ，设圆半径为R ，则0.1OD R =-， 10.32BD AB ==，由222OD BD OB +=得()2220.10.3R R -+=，解得0.5R =， 所以下水管道的直径为1米．【总结】本题考查了垂径定理以及勾股定理的综合运用．【例23】 如图，在O 中，弦CD 、EF 的延长线相交于点P ，G 、H 分别是CD 、EF 的中点，GH 与PC 、PE 分别相交于Q 、R 两点，试判断PQR ∆的形状，并证明所得到的结论．【答案】等腰三角形． 【解析】连接OG 、OH ，∵G 、H 分别是CD 、EF 的中点，∴OG CD ⊥，OH EF ⊥，∵OH OG =，∴H G ∠=∠，∴GQC HRE ∠=∠，∴PQR PRQ ∠=∠， ∴PQR ∆是等腰三角形．【总结】本题考查了垂径定理的运用．ABCD O CDEFG HO PQR12 / 25B CDH O【例24】 如图，P 是O 的弦AB 的中点，PC OA ⊥，垂足为C ，求证：PA PB AC AO =． 【答案】详见解析．【解析】连接OP ，∵P 是O 的弦AB 的中点，∴OP AB ⊥，∵PC OA ⊥，∴ACP ∆∽APO ∆，∴PA AOAC PA =，∵PA PB =， ∴PA AOAC PB=，即PA PB AC AO =． 【总结】本题考查了垂径定与相似三角形的综合运用．【例25】 位于本市浦东临港新城的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小智和小方沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱，使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等，并测得BC 长240米，A 到BC 的距离为5米，如图所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．【答案】1442.5米．【解析】连接OA 交BC 于D 点，连接OC ，∵A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等， ∴OA BC ⊥，BD DC =，设半径为R ，则5OD R =-，120DC =，由222OD DC OC +=，∴()2225120R R -+=，解得：1442.5R =， 所以滴水湖的半径为1442．5米．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例26】 如图，弦CD 垂直于O 的直径AB ，垂足为H ，且22CD =，3BD =，则OPABCBCAODAB 的长为_______．【答案】3．【解析】由题意得2DH =，221BH DB DH =-=，设半径为R ，则1OH R =-，由222OD OH HD =+，∴()()22212R R =-+，解得32R =，∴23AB R ==．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例27】 已知O 的半径4r =，AB 、CD 为O 的两条弦，AB 、CD 的长分别是方程()24341630x x -++=的两根，其中AB > CD ，且AB // CD ，求AB 与CD 间的距离．【答案】232+或232-．【解析】∵()24341630x x -++=，解得：143x =，24x =．∵AB >CD ，∴43AB =，4CD =，当AB 、CD 圆心同侧时，作OE AB ⊥于E ，并延长交CD 于F ，∵AB // CD ，∴OF ⊥CD ，∴222OE OB BE =-=，2223OF OD DF =-=， ∴232EF OF OE =-=-，当AB 、CD 圆心两侧时，同理可得232EF OF OE =+=+， ∴AB 与CD 间的距离是232+或232-．【总结】本题考查了垂径定理的运用，做题的关键是要分情况讨论．14 / 25【例28】 已知，如图，1O 与2O 交于A 、B ，过A 的直线分别交1O 与2O 于M 、N ，C 是MN 的中点，P 是12O O 的中点． 求证：PA PC =．【答案】详见解析．【解析】作1O E AM ⊥，2O F AN ⊥，作PH MN ⊥于H ，则12////O E PH O F ，且E 、F 分别为AM 、AN 的中点，∴12AE AF EF MN +==，∵C 是MN 的中点，∴12NC MN =，∴EF NC =，∴EC FN AF ==，∵P 是12O O 的中点，∴EH FH =， ∴HC HA =，∴PA PC =．【总结】本题考查了垂径定理的运用．【例29】 如图，已知四边形ABCD 外接圆O 的半径为2，对角线AC 与BD 的交点为E ，AE = EC ，2AB AE =，且23BD =，求四边形ABCD 的面积．【答案】23．【解析】∵AE EC =，2AB AE =，∴222AB AE AE AC ==⋅，∴AB AE AC AB=，又EAB BAC ∠=∠，∴ABE ∆∽ACB ∆， ∴ABE ACB ∠=∠，∵ADB ACB ∠=∠，∴ABE ADB ∠=∠，∴AB AD =， 连接AO 交BD 于H ，连接BO ，∵AB AD =，∴AO BD ⊥，∴3BH DH ==， ∵2OB =，∴1OH =，∴1AH =，∴132ABD S BD AH ∆=⋅⋅=，∵E 为AC 中点，∴ABE CBE S S ∆∆=，ADE CDE S S ∆∆=，即ABD CBD S S ∆∆=， ∴223ABD ABCD S S ∆==四边形， ∴四边形ABCD 的面积是23．【总结】本题考查了垂径定理的运用及图形的分割，综合性较强，解题时注意认真观察．A BCP N ME FH A BC DEOH【例30】 如图，在半径为2的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD BC ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D 、E ．（1）在DOE ∆中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．（2）设BD = x ，DOE ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】（1）DE 长度不变，2DE =；（2）()2244024x x x y x -+-=<<．【解析】（1）连接AB ，∴2222AB OA OB =+=，∵OD BC ⊥，OE AC ⊥， ∴D 、E 分别为BC 、AC 中点，∴122DE AB ==．（2）作DF OE ⊥于F ，由（1）易得1452DOE AOB ∠=∠=︒，由题意得24OD x =-，∴28222ODx DF OF -===，2222EF DE EF x =-=， ∴28222x xOE OF EF -+=+=，OABCDEF∴2214402 2x x xy DF OE x-+-=⋅⋅=<<．【总结】本题考查了垂径定理、勾股定理及中位线定理的综合运用，综合性较强．16/ 25A BC D EF OABCDE O【习题1】已知O 半径为5，若点P 不在O 上，则线段OP 的取值范围为_______________．【答案】05OP ≤<或5OP >．【解析】∵点P 不在O 上，∴当点P 在O 内时，05OP ≤<；当点P 在O 外时， 5OP >，综上可知05OP ≤<或5OP >． 【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【习题2】如图，AB 是直径，BC CD DE ==，40BOC ∠=︒，则AOE ∠=_____．【答案】60︒．【解析】∵BC CD DE ==，∴BOC COD DOE ∠=∠=∠，∵40BOC ∠=︒，∴180360AOE BOC ∠=︒-∠=︒． 【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题3】如图，为方便三个村庄居民子女的上学问题，上级镇政府决定在A 、B 、C 三个村庄旁边造一所学校，要求它到各村庄的距离相等，请你在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹）【答案】如图所示．【解析】作线段AB 、AC 的中垂线的交点P 即为学校位置．【总结】本题考查了不共线的三点可以确定一个圆． 【习题4】如图，AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，25OEF ∠=︒，求EOF ∠的度数．随堂检测18 / 25AB CD EOCDE FO【答案】130︒．【解析】∵AB CD =，OE AB ⊥，OF CD ⊥，∴OE OF =，∴OEF OFE ∠=∠，∵25OEF ∠=︒， ∴1801802130EOF OEF OFE OEF ∠=︒-∠-∠=︒-∠=︒．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题5】如图，在ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，以点B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 于点D ，交BC 于点E ．求证：（1）2AD DE =；（2）D 是AC 的中点．【答案】详见解析．【解析】（1）连接BD ，∵BA BD =，60A ∠=︒，∴ABD ∆是等边三角形，∴60ABD ∠=︒，∵90B ∠=︒，∴30DBC ∠=︒，∴2ABD DBC ∠=∠， ∴2AD DE =；（2）由（1）得60ADB ∠=︒，DB DA =，∵ADB DBC C ∠=∠+∠，∴30C ∠=︒，∴DB DC =，∴DA DC =， ∴D 是AC 的中点．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【习题6】如图，AB 为O 直径，E 为BC 的中点，OE 交BC 于点D ，BD = 3，AB =10，则AC =______．【答案】8．【解析】∵AB 为O 直径，E 为BC 的中点，∴OD BC ⊥，BD CD =，∴224OD OB BD =-=， ∵OA OB =，∴28AC OD ==．【总结】本题考查了垂径定理及三角形中位线． 【习题7】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中的CD ），点O 是CD 的圆心，其中CD = 600米，E 为CD 上一点，且OE CD ⊥，垂足为F ，EF = 90米，求这段弯路的半径．【答案】545米．【解析】∵点O 是CD 的圆心，OE CD ⊥，AB CD E∴13002DF CD ==，设O 的半径为R ，则90OF R =-，由222OD OF FD =+得()22290300R R =-+，解得545R =， ∴这段弯路的半径为545米．【总结】本题考查了垂径定理的应用．【习题8】如图，在ABC ∆中，70A ∠=︒，O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等，求BOC ∠的度数．【答案】125︒．【解析】作OE AB ⊥、OF BC ⊥、OG AC ⊥，∵O 截ABC ∆的三边所得的弦长都相等， ∴OE OF OG ==，∴OB 平分ABC ∠，OC 平分ACB ∠， ∵70A ∠=︒，∴110ABC ACB ∠+∠=︒，∴115522OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=︒，∴18055125BOC ∠=︒-︒=︒．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理、角平分线的逆定理及三角形的内角和．【习题9】已知，如图，ABC ∆是等边三角形，AB 是O 的直径，AE EF FB ==，CE 、CF 交AB 于点M 、N ． 求证：AM = MN = NB ．【答案】详见解析． 【解析】连接OE 、OF ，∵AE EF FB ==，∴60AOE EOF FOB ∠=∠=∠=︒， ∵ABC ∆是等边三角形，ABCOEFG ABCE FN MO20 / 25∴CAO AOE ∠=∠，∴OE //AC ，∴OM OEMA AC=． ∵AC BC =，O 是AB 中点， ∴1302ACO ACB ∠=∠=，∴12OA AC =，∴12OE AC =．∴2AM OM =，∴23AM OA =，13OM OA =， 同理23BN OB =，13ON OB =，∵OA OB =，∴23OM ON OA +=，∴AM MN NB ==．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及平分线分线段成比例．【习题10】 如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，过点C 、D 分别作CN CD ⊥、DM CD ⊥，分别交AB 于点N 、M ，请问图中的AN 与BM 是否相等，说明理由．【答案】AN 与BM 相等． 【解析】作OH CD ⊥交CD 于H ，则CH DH =，∵CN CD ⊥、DM CD ⊥， ∴CN ∥OH ∥DM ，∴ON OM =， ∵OA OB =，∴OA ON OB OM -=-， ∴AB BM =．【总结】本题考查了垂径定理及梯形的中位线．【作业1】在下列命题中，正确的个数是（ ） ① 圆心角相等，则它们所对的弦必相等；② 经过线段的两个端点及线段所在直线外一点可以确定一个圆； ③ 直径平分弦，则必垂直于弦；④ 如果同圆中，两条弦互相平分，那么这两条弦都是直径． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【难度】★ 【答案】B ．【解析】① 需说明是在同圆或等圆中，故①错误；课后作业ABCDON M H② 不共线的三点可以确定一个圆，故②正确； ③ 直径平分非直径的弦，则必垂直于弦，故③错误； ④ 如果同圆中，直径垂直于弦，则必然平分弦，故④错误．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及垂径定理．【作业2】在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AC = 7，BC = 4．若以点C 为圆心，BC 为半径作圆，判断点D 、E 与C 的位置关系．【答案】点D 在C 外；点E 在C 内．【解析】∵AC = 7，BC = 4，90C ∠=︒，∴2265AB AC BC =+=，∵4C R =，16522DC AB R ==>，∴点D 在C 外； 1722EC AC R ==<，∴点E 在C 内． 【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【作业3】已知直线a 和直线外两点A 、B ，经过A 、B 作一圆，使它的圆心在直线a上．【答案】如图所示．【解析】作线段AB 的中垂线于直线a 的交点P即为圆心．【总结】本题考查了线段的垂直平分线的作法．22 / 25【作业4】已知O 外一点A 和圆上的点最大距离为23厘米，最小距离为10厘米，则O 的半径为______厘米． 【答案】132．【解析】点A 与圆心的连心线所在的直线与圆的交点即为点A 到圆上的最大距离和最小距离，所以半径()13231022R =-÷=厘米．【总结】本题考查了点与圆的位置关系．【作业5】如图，在O 中，2AB BC =，试确定AB 与2BC 的大小关系．【答案】2AB BC <．【解析】取AB 中点E ，∵2AB BC =，∴AE EB BC ==，∵AE EB AB +>， ∴2AB BC <．【总结】本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理．【作业6】如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O 交于点G 、B 、F 、E ，GB = 8厘米，AG = 1厘米，DE = 2厘米，则EF = ______厘米．【答案】6．【解析】连接OE ，作OH DC ⊥于H 点，∵GB = 8厘米，AG = 1厘米，DE = 2厘米， ∴4OE =厘米，3EH =厘米， ∴26EF EH ==厘米．【总结】本题考查了垂径定理的应用．【作业7】已知点A （1，0），B （4，0），P 是经过A 、B 两点的一个动圆，当P与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3时，求圆心P 的坐标．【答案】5522⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5522⎛⎫- ⎪⎝⎭，． OABCD EF GHAB COEOP ABC【解析】设()P x y ，∵P 是经过A 、B 两点的一个动圆，∴P 在线段AB 的中垂线上，∵A （1，0），B （4，0），∴52x =且P 在x 轴上两交点的距离为3，∵P 与y 轴相交，且在y 轴上两交点的距离为3， ∴P 在x 轴上与y 轴上截得的两条弦相等．∴x y =，∴52y =±，∴P 点坐标为5522⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5522⎛⎫- ⎪⎝⎭，．【总结】本题考查了垂径定理的应用．【作业8】已知，如图，在O 中，弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 的中点，AB 、OC 相交于P ．求证：四边形OACB 为菱形．【答案】详见解析．【解析】∵C 为AB 的中点，∴OC AB ⊥，AP PB =，∵弦AB 的长是半径OA 的3倍，∴32AP AO =，∴30PAO ∠=︒， ∴1122PO OA OC ==，即OP PC =，∵AP BP =，OC AB ⊥，∴四边形OACB 为菱形．【总结】本题考查了垂径定理的应用及菱形的判定．【作业9】已知：过圆O 内一点P 作弦AB 、CD ，且AB = CD ，在BD 上取两点E 、AC OPM N24 / 25F ，且BE DF =．求证：直线PO 是EF 的垂直平分线．【答案】详见解析．【解析】作OM AB ⊥，ON CD ⊥，∵AB = CD ，∴OM ON =，BM DN =， ∴POM ∆≌PON ∆，∴PM PN =，∴PB PD =，∵OB OD =，PO PO =，∴OPB ∆≌OPD ∆， ∴POB POD ∠=∠，∵BE DF =，∴BOE DOF ∠=∠， ∴POE POF ∠=∠，∴EOH FOH ∠=∠，∵OE OF =， ∴直线PO 是EF 的垂直平分线．【总结】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的综合应用．【作业10】 如图，1O 与2O 交于A 、B ，M 为12O O 的中点，过点A 作EF AM ⊥分别交1O 与2O 于点E 、F ．若1290O AO ∠=︒，1212AO AO O O m ==（2m ≥），求EF 的长．【答案】4．【解析】作1O C AE ⊥于C 点，并延长与2O A 的延长线交于G 点，作2O D AF ⊥于D 点，∵EF AM ⊥，M 为12O O 的中点，∴AC AD =，∴2O AD ∆≌GAC ∆，∴2AG AO =，∵1290O AO ∠=︒，∴1O AC ∆∽1O GA ∆，∴11O A AG O G AC ⋅=⋅， ∴121O A AO O G AC ⋅=⋅，∵1212AO AO O O m ==，∴121O O O G AC =⋅，∵1290O AO ∠=︒，2AG AO =，∴121O O O G =， ∴1AC =，∴44EF AC ==．【总结】本题考查了垂径定理及相似三角形性质的综合应用．ABEFMGC D。

圆的基本性质培优（一）圆的基本性质有：一．是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二．二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．三．用圆的基本性质解题应注意：1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明；2．了解弧的特性及中介作用；3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化．【例题求解】【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ．注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结合起来．圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性．【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( )A ．2B ．25C ．45 D ．16175 思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过图形的某些顶点，通过设未知数求解．【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ．思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它．【例4】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3．(1)求证：AF ＝DF ；(2)求∠AED 的余弦值；(3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积．思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝AEEN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值．⌒ ⌒注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键．习题练习1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．如图，在三个等圆上各自有一条劣弧AB 、CD 、EF ，如果AB+CD=EF ，那么AB+CD 与EF 的大小关系是（ ）A ．AB+CD ＝EFB ．AB+CD ＞EFC ． AB+CD<EFD ．不能确定3. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD ＝8cm ，那么A 、B 两点到直线CD 的距离之和为( )A ．12cmB ．10cmC ． 8cmD ．6cm4. 一种花边是由如图的弓形组成的，弧ACB 的半径为5，弦AB ＝8，则弓形的高CD 为( )A ．2B ．25 C ．3 D ．316 5．如图，把正三角形ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点A ′上，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE 长为 ．6．如图，已知AB 为⊙O 的弦，直径MN 与AB 相交于⊙O 内，MC ⊥AB 于C ，ND ⊥AB 于D ，若MN=20，AB=68，则MC —ND= ．7．如图，已知⊙O 的半径为R ，C 、D 是直径AB 同侧圆周上的两点，AC的度数为96°，BD 的度数为36°，动点P 在AB 上，则CP+PD 的最小值为 ．8．如图，已知⊙O 的两条半径OA 与OB 互相垂直，C 为AmB 上的一点，且AB 2+OB 2=BC 2，求∠OAC 的度数．⌒9．如图，已知圆内接△ABC 中，AB>AC ，D 为BAC 的中点，DE ⊥AB 于E ，求证：BD 2-AD 2=AB ×AC ．10. 如图平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 过点D 、H ， 且DH ⊥x 轴，DH=8．（1）求点H 的坐标；（2）如图，点A 为⊙O 和x 轴负半轴的交点，P 为AH 上任意一点，连接PD 、PH ， AM ⊥PH 交HP 的延长线于M ，求的值；11．如图，直径为13的⊙O ′，经过原点O ，并且与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，线段OA 、OB(OA>OB)的长分别是方程0602=++kx x 的两根．(1)求线段OA 、OB 的长；(2)已知点C 在劣弧OA 上，连结BC 交OA 于D ，当OC 2=CD ×CB 时，求C 点坐标；(3)在⊙O ，上是否存在点P ，使S △POD =S △ABD ?若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．⌒。

九年级上学期圆的知识点讲解九年级上学期，数学课程涉及到了很多关于圆的知识点。

圆作为几何图形中的一种，具有独特的性质和特点。

本文将针对九年级上学期圆的知识点进行讲解，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。

一、圆的定义和性质圆是由一个平面上距离固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。

圆心到圆上任意一点的距离称为半径，记作r。

围绕圆心做的线段，称为弧。

弧的长度与半径之间存在着关系，即弧长等于半径与所对应的圆心角的度数之积。

圆的直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，长度等于两倍的半径。

圆的周长是圆上所有弧长的总和，记作C。

圆的面积是圆内部的所有点组成的区域，记作A。

二、圆的公式与计算1. 周长公式圆的周长可以通过半径或直径进行计算。

当已知半径r时，周长公式为：C = 2πr；当已知直径d时，周长公式为：C = πd。

2. 面积公式圆的面积计算可以通过半径或直径进行。

当已知半径r时，面积公式为：A = πr²；当已知直径d时，面积公式为：A = 1/4πd²。

3. 弧长计算已知圆的半径r和圆心角的度数θ时，弧长计算公式为：L = 2πr(θ/360°)。

4. 扇形面积计算已知圆的半径r和圆心角的度数θ时，扇形面积计算公式为：A = 1/2r²(θ/180°)。

三、圆相关概念1. 切线切线是与圆只有一个交点的直线。

切线与半径的交点处垂直，且半径被切线截断的两部分相等。

2. 弦弦是圆上的两点之间的线段。

弦所对应的圆心角与其所在弧所对应的圆心角相等。

3. 弧度弧度是衡量角度大小的单位，用弧长相等的圆弧所对应的圆心角来定义。

一圆周的弧度数为2π。

四、扇形与三角形的关系当一个扇形的圆心角等于360°时，它就是一个半圆。

我们可以将半圆看作一个直角三角形，其中弧所对应的弦就是直角边，半径就是斜边，并应用勾股定理来求解问题。

五、圆的判定1. 判断定点是否在圆上已知圆心O和点A，判断点A是否在圆上的方法是计算OA的长度是否等于圆的半径。

圆中基本性质知识集结知识元与圆有关的概念知识讲解一、圆的定义1.定义：线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．记作⊙O，读作圆O.点O叫做圆心，线段OA叫做半径.2.确定一个圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径.3.圆是到定点的距离等于定长的点的集合．二、与圆有关的概念1.弦和直径：（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.直径等于半径的两倍.2.弧：（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号⌒表示，以A,B 为端点的弧记作AB ⌒，读作弧AB.（2）半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于180º用三个字母表示，如ACB ⌒.小于半圆的弧叫做劣弧，如AB ⌒.（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一定是等弧.3.同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或者等圆的半径相同.（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆. 例题精讲与圆有关的概念例1.下列说法正确的是（ ） A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．过圆心的线段是直径D ．圆心相同、半径相等的两个圆是同心圆例2.下列命题中是真命题的有（ ）①两个端点能够重合的弧是等弧；②圆的任意一条弦把圆分成优弧和劣弧两部分； ③长度相等的弧是等弧； ④半径相等的圆是等圆；⑤直径是最长的弦； ⑥半圆所对的弦是直径．A．3个B．4个C．5个D．6个例3.下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四边的中点在同一个圆上；③菱形的四边中点在同一个圆上；④等腰梯形的四边中点在同一个圆上.其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个圆中弧、弦关系及相关的计算知识讲解利用圆中弧、弦、圆心角的对应关系进行相关的角度和线段的计算是非常典型的题型，需要特别重视.例题精讲圆中弧、弦关系及相关的计算例1.如图，BD是⊙O的直径，弦AC⊥BD，垂足为E，∠AOB=60°，则∠BDC等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°例2.如图，点B，O，O′，C，D在一条直线上，BC是半圆O的直径，OD是半圆O′的直径，两半圆相交于点A，连接AB，AO′，若∠BAO′=67.2°，则∠AO′C=度．例3.'如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，若AB=2DE，，求及的度数.'垂径定理的直接应用知识讲解1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.2.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.例题精讲垂径定理的直接应用例1.如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．∠BOC=2∠DC．∠D+∠BOC=90°D．∠D=∠B例2.如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）A．20°B．46°C．55°D．70°例3.若横断面直径为1米的圆形下水管道的水面宽为0.8米，则下水管道中最深处的水深为．垂径定理相关辅助线知识讲解已知①是直径；②；③；④；⑤中任意2个条件都可以推出其他3个结论.当已知的条件中没有构成垂径定理的重要直角三角形，则需要通过添加辅助线来处理.例题精讲垂径定理相关辅助线例1.如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm例2.过⊙O内一点M的最长的弦长为，最短的弦长为，则OM的长等于cm．例3.'如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON=AB，证明：OM=CD．'垂径定理中的分类讨论思想知识讲解平行弦问题垂径定理中最典型的分类讨论问题，另外当题目中没有已知图的时候也常会考虑分类讨论.例题精讲垂径定理中的分类讨论思想例1.⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为（）A．1cm B．7cmC．3cm或4cm D．1cm或7cm例2.已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是cm．例3.'如右图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，•是否采取紧急措施？'圆心角及其定理知识讲解在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.例题精讲圆心角及其定理例1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC=（）A．25°B．50°C．130°D．155°例2.如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为3：1，那么此弦的弦心距的长度与此弦的长度比是_____.例3.'如图，在⊙O 中，弧AB =弧AC ，∠ACB =60°．求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．'圆周角及其定理知识讲解（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.例题精讲圆周角及其定理例1.如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．90°例2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42°B．48°C．52°D．58°例3.如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠AOB=70°，则∠ACB的度数为．圆周角定理及相关辅助线知识讲解通过此定理可以推知同弧或等弧所对的圆心角也是相等的；反之在同圆或等圆中，如果两个圆周角（或圆心角）相等，那么它们所对的弧也一定相等．理论上来说，同弧或等弧已经说明是在同圆或等圆中，因此在圆周角定理中可以不强调同圆、等圆问题，但是在逆向使用（即由角等推弧等）时则必须强调同圆或等圆．如果不具备此定理的模型，可以通过添加辅助线构造此定理的模型来处理.例题精讲圆周角定理及相关辅助线例1.如图，有一圆通过四边形ABCD的三顶点A、B、D，且此圆的半径为10．若∠A=∠B=90°，AD=12，BC=35，则四边形ABCD的面积为何？（）A．288 B．376 C．420 D．470例2.如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为m．例3.如图，点B、D、C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC=°．圆内接四边形的处理知识讲解圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的性质、判定方法在综合类几何证明题里经常用到，多会利用该性质证明角相等，虽然中考说明中多次强调不单独考查，但是在解题过程中该方法能够简化解题过程，为学生提供解题方向．例题精讲圆内接四边形的处理例1.已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（）A．128°B．100°C．64°D．32°例2.已知点A、B、C、D均在圆上，AD∥BC，AC 平分∠BCD，∠ADC=120°，则∠ABC的度数为例3.'如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．'当堂练习单选题练习1.如图,四边形ABCD是O的内接四边形，∠B=70°，则∠D的度数是( )A．110°B．90°C．70°D．50°练习2.下列说法：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②矩形的四边的中点在同一个圆上；③菱形的四边中点在同一个圆上；④等腰梯形的四边中点在同一个圆上.其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个练习3.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O上两点，CD⊥AB，若∠DAB=65°，则∠BOC=（）A．25°B．50°C．130°D．155°练习4.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=30°，AB=2，则⊙O的半径为（）A．B．2C．D．4练习5.如图，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=70°，则∠ABD=（）A．20°B．46°C．55°D．70°练习6.如图，有一圆通过四边形ABCD的三顶点A、B、D，且此圆的半径为10．若∠A=∠B=90°，AD=12，BC=35，则四边形ABCD的面积为何？（）A．288 B．376 C．420 D．470练习7.如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（）A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C=40°，则∠ABD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．90°填空题练习1.与已知点P的距离为2.5cm的所有点组成的平面图形是_________.练习2.已知：⊙O的半径长为5cm，的度数为，则弦AB的长度是________.练习3.如图，在Rt ABC中，，AB=10，若以C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为.练习4.过⊙O内一点M的最长的弦长为，最短的弦长为，则OM的长等于cm．练习5.已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ．练习6.已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是cm．如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA、CB的延长线交于点P，∠P=30°，∠ABC=100°，则∠C=练习8.如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC=．练习9.若横断面直径为1米的圆形下水管道的水面宽为0.8米，则下水管道中最深处的水深为．解答题练习1.'如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．'练习2.'如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，若AB=2DE，，求及的度数.'练习3.'已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．'。

第15讲 圆的基本性质知识纵横到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。

圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。

用圆的基本性质解题应注意：1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明2.了解弧的特性及中介作用3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化例题求解【例1】在半径为1的圆O 中，弦AC AB ,的长分别为3和2，则BAC Ð度数为_________ （黑龙江省中考题）思路点拨 作出辅助线，解直角三角形，注意AC AB ,有不同的位置关系。

【例2】P 是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（ ） （江苏省竞赛题）5A 7B 10C 12D思路点拨 过点P 最长的弦为圆O 的直径，最短的弦与OP 垂直（为什么），可求得过点P 点的弦长范围。

【例3】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ,AC BM ^于M ，求证CM DC AM +=（江苏省竞赛题） 思路点拨 用截长（截AM ）或补短（延长DC ）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。

【例4】如图 ，o Q 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ^，在弧AB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M 。

（1）求COA Ð和FDM Ð的度数；（2）求证：FDM D ~COM D ； （3）如图 ，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在弧EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有FDM D ~COM D ?证明你的结论。

（苏州市中考题）思路点拨 （1）在C O G Rt D 中，利用OC OA OG 2121==；（2）证明FDM COM Ð=Ð，FMD CMO Ð=Ð；（3）利用图 的启示思考。

圆的基本性质姓名：上课时间：1.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为______ ,若点P是弧BAD上一动点，则∠BPD大小是否会改变，若不变求出该角，若变化，请说明理由。

2. 如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与点O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则( )A．AC＞DB B．AC＜DBC．AC＝DB D．AC与BD的大小关系不能确定．第1题图第2题图考点一、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点二、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

考点三、圆周角定理及其推论圆周角定理基础巩固EDAOCB一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

例1：（19年元调）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且AD＝CB，求证：AB＝CD第18题图例2：如图，△ABC的顶点在⊙O上，点E，F分别为边AB，AC的中点．（1）求证点A，E，O，F在同一个圆上，并在图中画出该圆的圆心；（2）⊙O的直径MN＝4，点A固定，点B在半圆弧上运动，当点B从点M运动到点N的过程中，请直接写出点E运动路径的长．例3：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=BC.延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE.(1)求证：∠B=∠D；(2)若AB=13，BC﹣AC=7，求CE的长.典型例题NEOABMFEOB例4：在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．（1）如图1,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27°,求∠P的大小；（2）如图2,D为弧AC上一点,且OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10°,求∠P的大小．例5：如图，在四边形ABCD中，(1) 若∠BAD+∠BCD=1800，则图中有____ 对相等的角（小于1800）；（2）若∠BAC=∠BDC,且AB=AC ，证明：∠ADB=∠ACB .例6：（19年元调）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆(1) 如图1，求证：AD是⊙O的切线(2) 如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G①求证：AG＝BG②若AD＝2，CD＝3，求FG的长1.在⊙O 中，弦AB 的长为6，圆心O 到AB 的距离为4，则⊙O 的半径为（ ） A ．10B ．6C ．5D ．42.如图所示，点A ，B 和C 在⊙O 上，已知∠AOB ＝40°，则∠ACB 的度数是（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°3.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点．若∠B ＝110°， 则∠ADE 的度数为___________.4．如图，两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，O 1B 的延长线交⊙O 2于点C ，若∠O 1＝35°，则∠O 1O 2C 的度数为 A ．65° B ．70° C ．75° D ．80°．5.如图，在⊙O 中，半径OA ⊥弦BC ，点E 为垂足，点D 在优弧上． （1）若∠AOB=56°，求∠ADC 的度数；（2）若BC=6，AE=1，求⊙O 的半径．6.如图，OA 、OB 、OC 都是⊙O 的半径，∠AOB ＝2∠BOC(1) 求证：∠ACB ＝2∠BAC ；(2) 若AC 平分∠OAB ，求∠AOC 的度数7.如图,⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D. （1）求BC 的长；（2）求弦BD 的长.A BCOAC BO 1O 28.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，求EC的长．9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC（1）若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；（2）求证：∠1=∠2。

数学九年级上册圆知识点在数学的学习中，圆是一个重要的几何图形，它有许多有趣的性质和应用。

在九年级上册的学习中，我们将深入探讨圆的相关知识点。

下面就让我带你一起了解一下吧。

一、圆的定义与基本性质圆是由平面上所有到圆心距离等于半径的点组成的图形。

圆心是圆的中心点，半径就是圆心到圆上任意点的距离。

圆的基本性质有以下几点：1. 圆上任意两点与圆心连线的长度相等，这个长度就是圆的半径。

2. 圆的半径垂直于圆上的弦，并且它平分弦。

3. 圆的半径垂直于切线，所以切线与半径的夹角是90度。

4. 圆上的弧是切线所截圆的弧，切线与弧之间的夹角等于弧与半径之间的夹角。

二、圆的周长和面积计算公式1. 圆的周长：一个圆的周长等于它的弧长，可以用公式C = 2πr 计算，其中C表示周长，r表示半径，π是一个无理数，取近似值3.14。

2. 圆的面积：一个圆的面积可以用公式A = πr²计算，其中A表示面积，r表示半径。

三、圆的划分和测量1. 弧的度量：弧可以通过弧度来度量。

一个完整的圆，弧度为2π。

常见角度与弧度的换算关系是：180度= π弧度。

2. 弧的划分：圆上的任意两点可以决定一个弧，如果两点相连的直线与圆上的弦重合，则这个弧是弦所对的弧。

3. 弧长的计算：当我们知道圆的半径和弧所对的圆心角时，可以用公式L = rθ计算弧长，其中L表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的弧度。

4. 扇形的面积：一个圆被两条半径所夹的弧与圆心组成的图形叫做扇形。

扇形的面积可以用公式S = 1/2r²θ计算，其中S表示面积，r表示半径，θ表示圆心角的弧度。

四、圆的位置关系和判定方法1. 圆的位置关系：两个圆可能存在三种位置关系，即相离、相切和相交。

当两个圆内外均不相交时，它们是相离的；当两个圆内切于一点时，它们是相切的；当两个圆在某个点处相交，它们是相交的。

2. 判定相切：当两个圆的半径之和等于两圆心的距离时，它们是相切的。

第5讲：圆的基本性质一、建构新知1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.2．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等.3．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点.4．与圆有关的角：(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.二、经典例题例1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．例2．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，求CD的长．变式：如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ， 垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．例3．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ．（1）若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ；（2）若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．例4. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为F ，FH ∥BC ，连结AF 交BC 于E ，∠ABC 的平分线BD 交AF 于D ，连结BF ．（1）证明：AF 平分∠BAC ； （2）证明：BF ＝FD .N MO C BA例5. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF于E.(1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形.(2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律.(3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.例6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．三、基础演练1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于()．A．70°B．64°C．62°D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为()．A．54m B．m C．m D．m3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于().A. (4π+8)cm2B. (4π+16)cm2C. (3π+8)cm2D. (3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是().A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为() A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸6．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，－4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A ．80°B ．100°C ．80°或100°D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50° 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是_____.10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E =46°，∠DCF =32°，那么∠A 的度数是____________.11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径、分别是方程的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距=5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是______________ .12．已知圆的直径为13 cm ，圆心到直线的距离为6cm ，那么直线和这个圆的公共点的个数是______.13. 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是______. 14. 已知正方形ABCD 外接圆的直径为，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK 的边长为_______________，面积为_______________． 四、直击中考1.(2013年湖北)如，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ） A .95 B . 245 C . 185 D . 522.（2013黑龙江）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE =4，CD =6，则AE 的长为（ ）CADBA ．4B ．5C ．6D ．73．（2013江苏）如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是的中点，则下列结论不成立的是（ ） A ．OC ∥AE B ．EC =BCC ．∠DAE =∠ABED ．AC ⊥OE4.（2013湖北）如图，DC 是⊙O 直径，弦AB ⊥CD 于F ，连接BC ，DB ，则下列结论错误的是（ ） A ．B ． A F =BFC ． O F =CFD ． ∠DBC =90°5.（2013湖北）如图，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD =4，EM =8，则所在圆的半径为 ．6.（2013年广东）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O ,A 两点，点A 的坐标为（6,0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为____________.7.（2013四川）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足=31，连接AF 并延长交⊙O 于点E ，连接AD 、DE ，若CF =2，AF =3．给出下列结论：①△ADF ∽△AED ；②FG =2；③tan ∠E =；④S △DEF =4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．8．（2013浙江）如图，AE 是半圆O 的直径，弦AB =BC =4，弦CD =DE =4，连结OB ，OD ，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 9. （2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为 ； （2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时：①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．10.（2013四川）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数．五、挑战竞赛1.如图所示，△ABC的三边满足关系BC=12（AB+AC），O，I分别为△ABC的外心和内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于点E，AI的延长线交⊙O于点D，DE交BC于点H．求证：（1）AI=BD；（2）OI=12 AE．第22题图②OPCBA六、每周一练1．在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作，如图所示．若AB =4，AC =2，S 1﹣S 2=，则S 3﹣S 4的值是（ ） A ．B ．C ．D ．2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形， AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接P A ，PB ，PC ． 如图②， 若2524sin =∠BPC ，则PAB ∠tan 的值为 ． 3. 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点（不与M 、C 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线，交AD 于点F ，切点为E ． （1）求证：OF ∥BE ；（2）设BP =x ，AF =y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； （3）延长DC 、FP 交于点G ，连接OE 并延长交直线DC 与H （图2），问是否存在点P ，使△EFO ∽△EHG （E 、F 、O 与E 、H 、G 为对应点）？如果存在，试求（2）中x 和y 的值；如果不存在，请说明理由．。

第三章 圆的基本性质（知识点总结）1、在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。

固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径，以点O 为圆心的圆，记作☉O ，读作“圆O 。

2、以3cm 为半径画圆，能画多少个？以点O 为圆心画圆，能画多少个？由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？-----半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置圆是“圆周”还是“圆面”？ 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

3、与圆有关的概念（1）弦和直径；（2）弧和半圆；（3）等圆；（4）同心圆4、点与圆的位置关系。

（1）点在圆外＜＝＞点到圆心的距离大于半径（2）点在圆上＜＝＞点到圆心的距离等于半径（3）点在圆内＜＝＞点到圆心的距离小于半径5、过已知点作圆（1）经过一个点，能作出多少个圆？（2）经过两个点，如何作圆，能作多少个？（3） 经过三个点，如何作圆，能作多少个？6、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

三角形的外心到各顶点距离相等。

“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内。

一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。

锐角三角形外心在圆内；直角三角形外心在圆上；钝角三角形外心在圆外。

7、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

（3）圆的两条平行弦所夹的弧相等所以a 、经过圆心b 、垂直于弦c 、平分弦d 、平分弧，a 四者中有一对量相等，其它所对的量也相等8、在同圆中，已知两平行弦长，要求两弦间的距离，要考虑两种情况：两弦分布在圆心同侧；两弦分布在圆心两侧，根据2221）（l r d -=得，当两弦在圆心同侧21d d d +=；在圆心异侧则21d d d -=。

九年级上册圆的知识点总结归纳圆是我们数学学习中的重要概念之一，它在几何形状和代数运算中都有广泛的应用。

本文将对九年级上册涉及的圆的知识点进行总结和归纳。

一、圆的定义和基本性质圆是平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。

它的基本性质包括：1. 圆心和半径：圆心是固定点，用O表示；半径是圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。

2. 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，且等于半径的两倍，用d表示。

3. 弦：在圆上任意取两点，这两点之间的线段叫做弦。

4. 弧：在圆上的两个点之间的部分叫做弧。

一个圆可以被弧所分成两部分，分别为小弧和大弧。

5. 弧长和弧度：弧长是指弧所对应的圆周的长度；弧度是指与弧等长的圆心角所对应的弧长占整个圆周长的比值。

二、圆的推导和计算1. 圆的周长和面积：- 周长公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14或3.1416。

- 面积公式：A = πr²。

2. 圆的弧长和扇形面积：- 弧长公式：L = 2πr(θ/360°)，其中θ表示所对应的圆心角的度数。

- 扇形面积公式：S = πr²(θ/360°)。

3. 圆的切线和切点：- 切线：与圆只有一个交点的直线叫做切线。

- 切点：切线与圆的交点叫做切点。

4. 圆与直线的相交关系：- 直线与圆相交：直线与圆交于两个不同的点。

- 直线与圆外切：直线与圆只有一个切点。

- 直线与圆内切：直线与圆不相交，但可以通过一条切线与圆接触。

三、圆的证明和应用1. 圆的证明：- 证明两个圆相交：通过证明两个圆的半径和圆心距之间的关系，来判断它们是否相交。

- 证明两个圆相切：通过证明两个圆的半径和圆心距之间的关系，以及圆的切线与圆的位置关系，来判断它们是否相切。

2. 圆在几何形状中的应用：- 圆的切线性质可用于证明其他几何定理，如切线定理、切线与切线的性质等。

- 圆与三角形的关系：如内切圆、外接圆等。

- 圆与多边形的关系：如正多边形的内切圆、外接圆等。