二次根式复习讲义41296

《二次根式》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1.二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3.最简二次根式（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）被开方数中不含有分母； （3）分母中不含有根号.满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1.乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x ＜1时，化简21x x +-的结果是__________.【思路点拨】由范围判断x 、x －1的符号，再根据利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】本题考查绝对值与二次根式的化简． 举一反三 【变式】（x ＞0，y ＞0）【答案】 解：原式=﹣=﹣，∵x＞0，y ＞0， ∴原式=﹣=﹣3xy ．3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.A. 14B. 48C. abD. 44a + 【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义. 类型二、二次根式的运算4．（2016秋•普宁市期末）计算：（2﹣）（2+）+（2﹣）2﹣．【思路点拨】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果． 【答案与解析】解：原式=4﹣5+4﹣4+2﹣=5﹣．【总结升华】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯. 【答案】243610-.5.化简：20102011(32)(32)⋅.【思路点拨】3232)互为有理化因子，所以利用幂的运算法则使其尽可能地结合在一些进行乘法运算. 【答案与解析】 解：201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】 解：2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】解：∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b ，11++)=-=3ab ab a b b a ab∴原式.。

二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.a （a ≥0）是一个非负数。

③. （a ）2＝a （a ≥0）；2a =a （a ≥0）2.二次根式的乘： ①.一般的，有a·b＝a b．（a ≥0，b ≥0）②. 反过来，有ab ＝a ×b( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：ab=a b（a ≥0，b>0）， ②. 反过来，a b=a b（a ≥0，b>0）4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。

解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+。

例2.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义。

变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义．变式题2：①.当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义。

知识点一 二次根式的概念和性质 【知识梳理】一、二次根式概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 二、二次根式的性质1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3..【典例精讲】类型一、二次根式的概念1下列各式中，一定是二次根式的有（ ）个．A.2B.3C.4D.5举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >）A ．2 B.3 C.4 D.52. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y=2+x －x 23-；举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：232()4-⨯-2(3.14)π-(1) (2)举一反三：【变式】（1）2)252(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________.4.已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：22||()||a a c c b b -++---|．举一反三：【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________.【巩固练习】一．选择题1要使代数式有意义，则x 的（ ）.A. 最大值是23 B ．最小值是23 C. 最大值是32 D. 最小值是322. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a - 3.下列说法正确的是（ ）A ．4是一个无理数B ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1C ．8的立方根是2± D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ). A.与B.与C.与D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ）. A ．8 B ．24x y + C ． D ．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.A.B. C.D.二. 填空题7.当x______时，式子x -在实数范围有意义；当x_______时，式子2x -在实数范围有意义.8.=____________. 若，则____________.9．（1）2)53(-=_____________. （2）9622++-a a a （a>0）=__________________________.10.求值（1）已知a 、b 满足，解关于x 的方程（a+2）x+b 2=a ﹣1．（2）已知x 、y 都是实数，且，求y x的平方根．知识点二二次根式的乘除法计算化简一、二次根式的乘法及积的算术平方根：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被1.乘法法则a b开方数相乘.二、二次根式的除法及商的算术平方根：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相1.a b除.。

二次根式全章复习一． 教学衔接二． 教学内容知识点一：二次根式的概念及意义考点１：二次根式的概念：一般地，形如a （ａ≥０）的式子叫做二次根式，其中“”叫做二次根号，ａ叫做被开方数。

考点２．二次根式的非负性：当ａ＞０时，a 表示ａ的算术平方根，因此a ＞０；当ａ＝０时，a 表示０的算术平方根，因此a ＝０，所以a （ａ≥０）总是非负数，即a ≥０。

例１．下列各式中，是二次根式的是（ ） Ａ．34 Ｂ．35）（- Ｃ．a Ｄ．21 例２．下列各式中，是二次根式的有（ ）① x ；②2；③12+x ；④兀；⑤4；⑥39；⑦35-；⑧72；⑨100-． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个规律小结：判断一个式子是不是二次根式，要看它是否同时具备两个特征： （１）带有二次根号“”； （２）被开方数为非负数。

例3.根式3-x 中ｘ的取值范围是（ ） Ａ．ｘ≥3 Ｂ．ｘ≤3 Ｃ．ｘ＜3 Ｄ．ｘ＞3例4.若2-a ＋3-b ＝０，则ａ2－２ｂ＝．例5.已知ｙ＝52-x ＋x 25-＋３，则２ｘｙ的值为（ ）Ａ．－１５ Ｂ．１５ Ｃ．－215 Ｄ．215 规律小结：二次根式中涉及两类非负数问题： （１）二次根式a 中被开方数ａ必须是一个非负数，即ａ≥０； （２）二次根式a （ａ≥０）本身的值也是一个非负数，即a ≥０（ａ≥０）．随堂练习：1.当ｘ为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？（１）24-x ； （２）x 3-； （３）x 58-；（４）1222+x ； （５）52--x ； （６）x x 2+．2.使式子2x -有意义的未知数ｘ有（ ）Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．无数个3.下列式子122++x x ，22+x ，x ，33，5-，9，３2中，哪些是二次根式？4.1+x ＋（ｙ－２０１３）2＝０，则ｘy ＝．5.若ｘ，ｙ为实数，且ｙ＝x x 4312-+＋3412-+x x ＋１，求ｘ＋ｘｙ＋ｘ2ｙ的值。

二次根式复习专题讲义(补课用)汇总二次根式复专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如 $\sqrt{a}$ （$a\geq 0$）的式子叫做二次根式，也称为二次根号。

①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。

②.$a$（$a\geq 0$）是一个非负数。

即$\sqrt{a^2}=a$（$a\geq 0$）；③。

$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）2.二次根式的乘：①.一般的，有$\frac{a}{b}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，有$\frac{a\sqrt{b}}{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq 0$，$b>0$）3.二次根式的除：①.一般地，对二次根式的除法规定：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$），即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）4.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、$\frac{1}{x}$、$\sqrt{x}$（$x>0$）、$\sqrt{42}$、-2、$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$（$x\geq 0$，$y\geq 0$）．例2.当$x$是多少时，$\frac{2x+3}{x+1}$在实数范围内有意义？frac{3x-1}{x+2}$在实数范围内有意义？变式题2：①.当$x$是多少时，$\frac{\sqrt{x-2}}{x-1}$有意义？例3.①.已知$y=\frac{2x+3}{x^2}$在实数范围内有意义，求$x$的取值范围和$y$的值．②.若$a+1+\frac{1}{b-1}=0$，求$a^{2004}+b^{2004}$的值．③.已知$\frac{x-y+1}{x-3}=0$，求$xy$的值．例4.计算：1.$\left(\frac{3}{2}\right)^2$2.$\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2$3.$\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$4.$\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2$5.$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$6.$\left(\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2$7.$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2$例5.计算：1.$\frac{(x+1)^2}{x^2}$（$x\geq 0$）2.$\frac{a^2}{a^2+2a+1}$3.$\frac{a^2}{a^2-2a+1}$4.$\frac{9}{25}+\frac{4}{9}$变式题：计算1.$\left(-\frac{3}{2}\right)^2$2.$(23^2-32^2)$例6.在实数范围内分解下列因式:1）$x^2-3$（2）$x^4-4$（3）$2x^2-3$例7.化简：1）$\frac{9}{\sqrt{25}}$2）$(-4)^2$3）$\frac{a^2}{25}$（$a\neq 0$）4）$(-3)^2$例8.填空：当$a\geq 0$时，$\sqrt{a^2}=$ $a$；当$a<0$时，$\sqrt{a^2}=$ $-a$，并根据这一性质回答下列问题．1）若$a^2=a$，则$a$可以是什么数？2）若$a^2=-a$，则$a$可以是什么数？3）若$a^2>a$，则$a$可以是什么数？例9.当$x>2$，化简$(x-2)^2-(1-2x)^2$．例10．先化简再求值：当$a=9$时，求$a^2+1-2a$的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+(1-a)^2=a+1-2a+a^2=1+a-a^2乙的解答为：原式=a+(1-a)^2/(1-a)^2=a+1-a=1；a+(a-1)/(1-a)=2a-1=17．两种解答中，甲的解答是错误的，错误的原因是少写了一步展开式子的步骤．变式题1．根据题目条件，得到|1995-a|+a-2=a，即|1995-a|=a-2，因为a-200≥-199，所以当a≥197时，1995-a为正数，此时a-1995=|1995-a|=a-2-1995=-1993-a；当a<197时，1995-a为负数，此时a-1995=|1995-a|=1995-a-2=1993+a，综上所述，a-1995的值为-1993-a（a≥197）或1993+a（a<197）。

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三： 【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得3．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________． 【答案】5. 解：∵﹣=2，∴=+2，两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x 2）=9， 化简，得x 2=，∴+=+=5．故答案为：5．4.（2016•柘城县校级一模）把1a a--中根号外的因式移到根号内的结果是( ). A ．a - B ．a - C ．a -- D ．a 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ，则0a < ()211a a a a a--=-⨯-=-. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。

专题一 二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式。

二次根式的实质是一个非负数数a 的算数平方根。

【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。

例1 以下各式1〕22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________〔填序号〕． 例2 使x ＋1x-2有意义的x 的取值范围是〔 〕 A ．x ≥0 B ．x ≠2 C ．x>2 D ．x ≥0且x ≠2． 例3 假设y=5-x +x -5+2021，那么x+y=练习1使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是〔 〕 A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠4练习2假设11x x ---2()x y =+，那么x －y 的值为〔 〕A ．－1B ．1C ．2D ．3例4 假设230a b -+-=，那么 2a b -= 。

例5 在实数的范围内分解因式：X 4 - 4X 2+ 4= ________ 例6 假设a 、b 为正实数，以下等式中一定成立的是〔 〕： A 、a 2 +b 2 =a 2+b 2 ； B 、〔a 2+b 2〕2 =a 2+b 2； C 、〔 a + b 〕2= a 2+b 2； D 、〔a —b 〕2 =a —b ；【知识点2】二次根式的性质：〔1〕二次根式的非负性，)0(0≥≥a a 的最小值是0；也就是说〔〕是一个非负数，即0〔〕。

注：因为二次根式〔〕表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数〔〕的算术平方根是非负数，即0〔〕，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0；假设，那么a=0,b=0。