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第八章能量原理及其应用第八章能量原理及其应用弹塑性力学问题实质上是边值问题，即求解满足一定边界条件的偏微分方程组。
然而只有对一些特殊的结构在特定加载条件下才能找到精确解，而对于一般的力学问题，如空间问题，泛定方程为含有 15 个未知量的 6 个偏微分方程，在给定边界条件时．求解是极其困难的，而且往往足小对能的。
因此，为了解决具体的工程结构力学问题，目前都广泛应用数值方法，如有限元法、无限元法、边界元法、无网格化法及样条元法等等。
这些解法的依据都是能量原理。
本章将讨论利用能量原理和极值原理求解弹塑性力学问题的近似解法。
本章共讨论五个能量原理。
首先是虚位移原理，由虚位移原理推导出最小势能原理，其次介绍虚应力原理，和由虚应力原理推导出最小余能原理。
另外，还简单介绍最大耗散能原理。
本章还讲述了根据上述的能量原理建立的有关弹性力学问题的数值解法。
8.1 基本概念1.1物体变形的热力学过程由第四章知，物体在外界因素影响下的变形过程，严格来说都是一个热力学过程。
因此研究物体的状态，不仅要知道物体的变形状态，而且还要知道物体中每一点的温度。
如果物体在变形过程中，各点的温度与其周围介质的温度保持平衡，则称这一过程为等温过程；若在变形过程中，物体的温度没有改变，即既没有热量损失也没有热量增加，则称这一过程为绝热过程。
物体的瞬态高频振动，高速变形过程都可视为绝热过程。
令物体在变形过程中的动能为 E，应变能为 U，则在微小的 t 时间间隔内，物体从一种状态过渡到另一种状态时，根据热力学第一定律，总能量的变化为EUWQ(a)其中， W 为作用于物体上的体力和面力所完成的功；Q 是物体由其周围介质所吸收 ( 或向外发散 ) 的热量，并以等量的功度量。
假定弹性变形过程是绝热的，则对于静力平衡问题有E 0，Q 0(b)将式 (b) 代入式 (a) ，则有U W(8.1-1)第八章能量原理及其应用1.2 应变能由第四章的式 (4.1-5b) 知，在线弹性情况下，单位体积的应变能为U 0ijijdij1(8.1-2)2ij ik对于一维应力状态，在xx 平面内，则U 0 实际上就是应力应变曲线与x轴和xx '所围成的面积 ( 图 8.1) ，即'U 0X(8.1-3)x dx其中 x ' 是物体变形过程某一指定时刻的应变，应 图 8.1 应变能与应变余能变能 U 0 表示物体在变形过程中所储存的能量。
《弹塑性理论》课程教学大纲课程代码R1100112课程名称中文名：弹塑性理论英文名：E1asticandP1asticMechanics课程类别专业选修课修读类别任选学分 2.0 学时32（理论）开课学期第6学期开课单位工程力学系应用力学教研室适用专业材料科学与工程先修课程《理论力学》、《材料力学》后续有关专业课无程和教学环节主讲教师/职称郭树起/教授、张存/讲师考核方式及各环期末考试（100%）节所占比例教材及主要参考建议教材：”《弹性力学简明教程》（第4版），徐芝纶编著，高等教育出版社，2013o《塑性力学引论》，王仁、黄文斌著，北京大学出版社，1992。
建议参考书：（1）《弹性力学》（第5版）上册，徐芝纶，高等教育出版社，2016。
（2）《弹塑性力学引论》，杨桂通，清华大学出版社，2004o一、课程性质和目标《弹塑性理论》是材料科学与工程等类专业的一门专业选修课。
课程的基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题做准备，但是并不直接作强度和刚度分析以及材料超过弹性范围后力学行为。
课程的目的和任务是使学生平面、空间问题和材料进入塑性后的力学分析方法，培养学时利用所学知识进行力学分析和设计的能力。
知识目标：课程目标1：确立学习任务和方法，认识弹塑性理论的研究对象、研究方法、基本概念及基本假定。
课程目标2：学习平面问题的基本理论，理解平面应力问题与平面应变问题的判定依据，建立平面问题的平衡微分方程、几何方程、物理方程及应力边界条件，利用微元体受力平衡给出物体内任意一点的应力状态，运用圣维南原理给出小边界上的应力边界条件，理解并应力函数求解弹性力学问题的过程。
课程目标3：运用逆解法、半逆解法给出平面问题的直角坐标解答，运用逆解法及半逆解法计算矩形梁的纯弯曲问题、简支梁受均布荷载问题。
课程目标4：学习空间问题的基本理论，理解并空间问题的平衡微分方程、几何方程物理方程及应力边界条件，利用微元体受力平衡给出物体内任意一点的应力状态。
弹塑性力学引言一、固体力学在工程中的作用工程中的各种机械都是用固体材料制造而成的、各种结构物也都是用固体材料建造的。
为了使机械结构正常使用、实现其设计的功能，首先要保证它们在工作载荷与环境作用下不发生材料的破坏或影响使用的过大的变形，即保证它们具有足够的强度、刚度和稳定性。
在设计阶段，要根据要求实现的功能，对于设计的机械结构的形式按强度要求确定其各部分的形状和尺寸，以及所需选择的材料。
要完成这样的任务，首先要解决如下基本问题：在给定形状尺寸与材料的机械结构在设计规定载荷与环境（如温度）作用下所产生的变形与应力。
对于柔性结构，如细长梁、薄板、薄壳，以及它们的组合结构，还要分析其是否会丧失稳定性。
这些都是固体力学的基本问题。
如果机械结构所受载荷或环境的作用是随时间变化的，那么，它们的振动特性也对其性能有重要的影响。
在设计时往往要对其进行模态分析，求出影响最大的各个低阶固有频率与相应的振型，以确保不会与主要的激振载荷产生共振，导致过大的交变应力与变形，影响强度和舒适性。
有些情况下还要考虑它们在瞬态或冲击载荷作用下的瞬态响应。
这些也是固体力学的基本问题。
此外、许多机械零件和结构元件在制造工程中，采用各种成型工艺，材料要产生很大的塑性变形。
如何保证加工质量，提高形状准确性、减少残余应力、避免产生裂纹、皱曲等缺陷？如何设计加工用的各种模具，加工的压力，以及整个工艺流程，这里也都有固体力学问题。
正因为工程中提出了各种各样的固体力学问题，有时还有流体力学问题，在19世纪产生了弹性力学和流体力学，才导致力学逐渐从物理学中独立出来。
工程技术发展的要求是工程力学，包括固体力学、流体力学等发展的最重要的推动力。
而工程力学的发展则大大推动了许多工程技术的飞速发展。
因此，力学是许多工程部门设计研究人员的基本素质之一。
二、力学发展概况力学曾经是物理学的一个部分，最初也是物理学中最重要的组成部分。
力学知识最早起源于人们对自然现象的观察和在生产劳动中积累的经验。
弹塑性力学基础理论与应用弹塑性力学是力学中一个重要的分支，涵盖了弹性力学和塑性力学的基本原理和应用。
本文将简要介绍弹塑性力学的基础理论和一些应用领域。
一、弹塑性力学的基础理论1. 弹性力学理论弹性力学研究材料在外力作用下的弹性变形及其恢复过程。
根据胡克定律，应力与应变成正比。
弹性力学理论通过应力张量与应变张量之间的关系描述了弹性材料的力学行为。
弹性模量是弹性力学的重要参数，表征了材料的刚度。
2. 塑性力学理论塑性力学研究材料在超过弹性极限后的变形行为。
当外力超过材料的弹性极限时，材料会发生塑性变形，而不是立即恢复到原来的形状。
塑性力学理论包括弹塑性本构方程的建立和塑性流动规律的描述。
3. 弹塑性力学理论弹塑性力学是弹性力学和塑性力学的综合应用。
它考虑了材料在弹性和塑性行为之间的转换。
在某些情况下，材料可以同时表现出弹性和塑性特性。
弹塑性力学理论利用不同的本构关系来描述材料在变形过程中的不同阶段。
二、弹塑性力学的应用1. 材料工程弹塑性力学在材料工程领域中具有重要的应用价值。
通过研究材料的弹性行为和塑性行为，可以确定材料的强度、韧性和耐久性，从而指导材料的选用和设计。
在材料的加工过程中，弹塑性力学理论也可以用于模拟和预测材料的变形行为。
2. 结构工程在结构设计和分析中，弹塑性力学也发挥着重要作用。
结构的承载能力和变形行为与材料的弹性和塑性特性密切相关。
通过考虑弹塑性行为，可以更准确地评估结构的安全性和稳定性。
3. 土木工程土木工程中的地基和土壤材料往往存在复杂的弹塑性特性。
弹塑性力学可用于分析土壤的沉降和变形行为，以及地基的稳定性。
在岩土工程中，弹塑性力学理论也可以用于分析岩土体的稳定性和变形行为。
4. 金属加工金属的塑性变形是金属加工过程中的核心问题。
弹塑性力学理论可以用于研究金属的屈服和流动行为，从而指导金属的模具设计和加工工艺的优化。
总结：弹塑性力学是力学中的一个重要分支，它综合了弹性力学和塑性力学的基础理论与应用。
我所认识的弹塑性力学弹塑性力学作为固体力学的一门分支学科已有很长的发展历史，其理论与方法的体系基本完善，并在建筑工程、机械工程、水利工程、航空航天工程等诸多技术领域得到了成功的应用。
一绪论1、弹塑性力学的概念和研究对象弹塑性力学是研究物体在载荷（包括外力、温度变化或外界约束变动等）作用下产生的应力、变形和承载能力，包括弹性力学和塑性力学，分别用来研究弹性变形和塑性变形的力学问题。
弹性变形指卸载后可以恢复和消失的变形，塑性变形时指卸载后不能恢复而残留下的变形。
弹塑性力学的研究对象可以是各种固体，特别是各种结构，包括建筑结构、车身骨架、飞机机身、船舶结构等，也研究量的弯曲、住的扭转等问题。
其基本任务在于针对实际问题构建力学模型和微分方程并设法求解它们，以获得结构在载荷作用下产生的变形，应力分布及结构强度等。
2、弹塑性简化模型及基本假定在弹性理论中，实际固体的简化模型为理想弹性体，它的特征是：一定温度下，应力应变之间存在一一对应关系，而与加载过程以及时间无关。
在塑性理论中，常用的简化模型为：理想塑性模型和强化模型。
理想塑性模型又分为理想弹塑性模型和理想刚塑性模型；强化模型包括线性强化弹塑性模型、线性强化刚塑性模型和幂次强化模型。
弹塑性力学有五个最基本的力学假定，分别为：连续性假定、均匀性假定、各向同性假定、小变形假定和无初应力假定。
3、研究方法及其与初等力学理论的联系和区别一般来说，弹塑性力学的求解方法有：经典方法、数值方法、试验方法和实验与数值分析相结合的方法。
经典方法是采用数学分析方法求解，一般采用近似解法，例如，基于能量原理的Ritz法和伽辽金法；数值法常用的有差分法、有限元法及边界条件法；实验法是采用机电方法、光学方法、声学方法等来测定应力应变分布规律，如光弹性法和云纹法。
弹塑性力学与初等理论力学既有联系又有区别，如下表所示：表1、弹塑性力学与初等力学理论的联系和区别二基本理论框架1、基本方程弹塑性力学和材料力学所求解的问题都是超静定问题，因此在分析问题研究问题是基本思路都是要进过三个方面的分析，这三个方面分别为：（1）静力平衡条件分析（2）几何变形协调条件分析（3）物理条件分析从而获得三类基本方程，联立求解，再满足具体问题的边界条件，即可使静不定问题得到解决，这三方面的方程为：（1）平衡（或运动方程）内部应力与外部体力之间的关系（2）几何方程（应变与位移之间的关系）（3）本构方程（应力与应变之间的关系） （A ）在弹性变形阶段（B ）在弹塑性变形阶段屈服函数()0ij f σ≥，则有a 、增量理论（流动理论）b 、全量理论（变形理论） a 、增量理论（i ）Prandtl —Reuss 理论12ν≤（） 塑性增量本构关系12G 12epij ij ij ij ijeii ii iide de de ds d s d d d Eλνεεσ=+=+-== 理想弹塑性材料2312G 212d ij ij ijs iiiidw de ds s d d Eσνεσ=+-=（ii ）Levy —Mises 理论12ν=（）理想刚塑性材料32iij ij sd d s εεσ=b 、全量理论（形变理论）依留申理论（强化材料）12ν≤（） 312,,()2i ii ii ij ij i i ie s E ενεσσφεσ-=== 总之，当物体发生变形时，不论弹性变形还是塑性变形问题，共有3个平衡微分方程，6个几何方程和6个本构方程，共计15个独立方程(统称为泛定方程)而问题共有ij ij i u σε、、15个基本未知函数，因此在给定边界条件时，问题是可以求解的，弹塑性静力学的这种那个问题在数学上成为求解边值问题。
第22卷 第2期爆炸与冲击V ol.22,N o.2 2002年4月EXP LOSI ON AND SH OCK W AVES Apr.,2002 文章编号:100121455(2002)022*******刘 理,刘土光,张 涛,李天匀(华中理工大学船舶与海洋工程系,湖北武汉 430074) 摘要:对复杂载荷作用下圆柱壳的弹塑性动力屈曲问题进行了研究。
基于Hamilton变分原理导出圆柱壳的运动方程,本构关系采用增量理论,借助增量数值算法求解动力方程组。
结果表明,均匀径向外压对圆柱壳的轴向冲击的过程或冲击性态有较大的影响,并讨论了径向压力与轴向冲击载荷的幅值对结构临界动力屈曲载荷和临界动力失效载荷的影响。
关键词:圆柱壳;复杂载荷;动力屈曲;动力失效Ξ 中图分类号:O347.3 文献标识码:A1 引 言 在工程实际中,如在深水中受爆炸冲击载荷作用的潜艇、在深水中攻击目标的鱼雷、遭受飞行物撞击的原子能反应堆等结构,在承受冲击载荷之前,已经受到了其它类型载荷的作用,因此它们与结构单独承受冲击载荷时的动力性态有较大的差异。
R. C.T ennys on[1]利用实验和计算的方法对飞行器、化学容器、核反应堆容器和导弹等圆柱壳模型在各种联合载荷作用下的弹性静力屈曲问题进行了研究。
王仁、韩铭宝等[2]对轴向冲击弹塑性圆柱壳的屈曲问题进行了研究,提出了第二临界速度。
之后,韩铭宝等[3]进一步考虑了在径向载荷和轴向冲击联合作用下的圆柱壳塑性稳定性问题,认为复杂载荷下的圆柱壳同样存在着两种临界速度。
但是上述的理论分析是基于小变形下进行的,实际上,薄壁圆柱壳在轴向冲击载荷作用下的屈曲问题属于大变形、大应变的范畴,因此有必要对该类问题继续进行深入的研究。
江松青[4]考察了环向加筋圆柱壳在复杂载荷作用下的弹塑性动力屈曲问题,对均匀径向外压与轴向冲击载荷峰值之间的关系进行了定性的讨论,并得到了一些有意义的结论。
在本文中,我们对复杂载荷作用下圆柱壳的弹塑性动力屈曲问题进行了研究。
弹塑性力学读书报告刘刚玉1020120036同济大学交通运输工程学院道路与铁道工程摘要：弹塑性力学研究可变形固体收到外力作用或温度变化的影响而产生的应力、应变和位移及其分布变化规律，本报告介绍基本的研究思想和方法，并选取有限元计算中的实例讨论岩土材料的本构模型选择对结果的影响。
关键字：弹塑性力学本构关系1基本思想及理论1.1科学的假设思想人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。
固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。
所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。
1.1.1连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。
使得σ、ε、u 等量表示成坐标的连续函数。
1.1.2线弹性假定（弹性力学）假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变间成线性比例关系。
1.1.3均匀性假定假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。
这样弹性常数（E、μ）等不随位置坐标而变化，取微元体分析的结果就可应用于整个物体。
1.1.4各向同性假定（弹性力学）假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同，弹性常数（E、μ）不随坐标方向而变化； 1.1.5小变形假定假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。
可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，建立方程时，可略去高阶微量；。
1.2应力状态理论应力的概念的提出用到了数学上极限的概念，定义为微小面元上的内力矢量。
第二章 应力状态理论2.1 应力和应力张量在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。
用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。
本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。
为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。
如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。
这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。
如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ∆，而S ∆上的内力矢量为F ∆，则内力的平均集度为F ∆／S ∆，如令S ∆无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ∆／S ∆趋于一定的极限σo ，即 σ=∆∆→∆SF S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处的应力。
由于S ∆为标量，故，σ的方向与F ∆的极限方向一致。
内力矢量F ∆可分解为所在平面的外法线方向和切线方向两个分量n F ∆和s F ∆。
同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向和切线方向两个分量。
沿应力所在平面的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为n τ。
此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ∆面上的正应力和切应力分别为在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。
显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。
不同面上的应力是不同的。
这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。
为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ∆，Δy ，Δz 。
假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。
以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。
正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。
切应力的正负早规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正．反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。
图2.2中的各应力分量均为正。
应力及其分量的单位为Pa 。
图2.1 应力矢量图2.2 应力表示法由图2.2可知，当微小的平行六面体趋于无穷小时，六面体上的应力就代表一点处的应力。
因此，一点处的应力分量共有9个，其中有3个正应力分量、6个切应力分量，由切应力互等定理可知，实际上独立的切应力分量只有3个。
把这9个应力分量按一定规则排列，令其中每一行为过一点的一个面上的3个应力分量，即得如下应力张量，在数学上称之为二阶张量。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x ij στττστττσσ其中 i ，j =(x ，y ，z )，当i ，j 任取x ，y ，z 时，则得到相应的应力分量，但xx σ，yy σ，zz σ分别简写为x σ，y σ，z σ。
应当指出，物体内各点的应力状态，一般并不是相同的，即非均匀分布的，因此各点的应力分量是坐标z ，y ，z 的函数。
所以，应力张量ij σ与给定点的空间位置有关，同时应力张量是针对物体中的某一确定点而言的，今后将会看到，应力张量完全确定了一点处的应力状态。
张量符号与下标记号法使冗长的弹塑性力学公式变得简明醒目，在文献中已被广泛应用，今后将逐渐熟悉这种标记法。
2.2 二维应力状态与平面问题的平衡微分方程式上节中讨论应力概念时，是从三维受力物体出发的，其中点P 是从一个三维空间中取出来约点。
为简单起见，首先讨论平面问题。
掌提了平面问题以后．再讨论空间问题就比较容易了。
当受载物体所受的面力和体力以及其应力都与某—个坐标轴(例如z 轴)无关。
平面问题又分为平面应力问题与平面应变问题。
1. 平面应力问题如果考虑如图2.3所示物体是一个很薄的平板，荷载只作用在板边，且平行于板面，即xy 平面，z 方向的体力分量Z 及面力分量z F 均为零，则板面上(2/δ±=z 处)应力分量为 0)(2=±=δσz z 0)()(22==±=±=δδττz zy z zx因板的厚度很小，外荷载又沿厚度均匀分布，所以可以近似地认为应力沿厚度均匀分布。
由此，在垂直于z 轴的任一微小面积上均有0=z σ， 0==zy zx ττ 图2.3 平面应力问题 根据切应力互等定理，即应力张量的对称性，必然有0==xz yx ττ。
因而对于平面应力状态的应力张量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00000yyx xyx ij σττσσ也可写为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y yxxy x ij σττσσ 如果z 方向的尺寸为有限量，仍假设0=z σ，0==zy zx ττ，且认为x σ，y σ和xy τ(yx τ)为沿厚度的平均值，则这类问题称为广义平面应力问题。
2. 平面应变问题如果物体纵轴方向(oz 坐标方向)的尺寸很长，外荷载及体力为沿z 轴均匀分布地作用在垂直于oz 方向，如图2.4所示的水坝是这类问题的典型例子。
忽略端部效应，则因外载沿z 轴方向为一常数，因而可以认为，沿纵轴方向各点的位移与所在z 方向的位置无关，即z 方向各点的位移均相同。
令u 、v 、w 分别表示一点在x 、y 、z 坐标方向的位移分量，则有w 为常数。
等于常数的位移w 并不伴随产生任一xy 平面的翘曲变形，故研究应力、应变问题时，可取0=w 。
此外，由于物体的变形只在xy 平面内产生，因此w 与z 无关。
故对于平面应变状态有图2.4 平面应变问题⎪⎭⎪⎬⎫===0),(),(w y x v v y x u u由对称条件可知，在xy 平面内)(zx xz ττ和)(zy yz ττ恒等于零，但因z 方向对变形的约束，故z σ一般并不为零，所以其应力张量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=z yyx xyx ij σσττσσ0000实际上z σ并不是独立变量，它可通过x σ和y σ求得，因此不管是平面应变问题还是平面应力问题，独立的应力分量仅有3个，即x σ、y σ和xy τ(=yx τ)，对于平面应变问题的求解，可不考虑z σ。
三. 平衡微分方程物体在外力作用下处于平衡状态时，由各点应力分量与体力分量之间的关系所导出的方程称为平衡微分方程。
如图2.5a)所示的平面应力问题，除面力外，在这个微单元体上还有体力的作用．单位体积的体力在二个坐标轴上的投影为Y X ,．而固体的质量密度为ρ。
自弹性体内任一点P 处附近截取一单元体，a) b)图2.5 平面应力状态微元体的应力它在x ，y 方向的尺寸分别为dx 和dy 。
为了计算方便，在z 方向取单位长度，如图2.5b)所示。
该单元体受有其相邻部分对它作用的应力和单元体的体力。
由于在一般情况下应力分量是位置坐标的函数，因此在单元体左、右或上、下两对面上的应力不相等，而具有一微小的增量。
若作用于ab 上的正应力和剪应力分别为x σ，则作用于cd 面上的正应力应随之变化。
该变化可根据Taylor 级数展开，即),(022dy dx dy y dx x abx ab x ab x cd x +∂∂+∂∂+=σσσσ 由于ab,cd 线元上的应力分量均可用相应线元中点处的应力分量表示，以及略去二阶以上的微量后，由上式得cd 边上的正应力为 dx xx x ∂∂+σσ 同理，如ab 边上的切应力为xy τ，ad 边上的正应力和切应力分别为y σ，yx τ可得cd 边上的切应力及bc 边的应力分量可类推分别得 dx x xyxy ∂∂+ττ dyy dy yyxyx y y ∂∂+∂∂+ττσσ 微单元体在面力及体力作用下处于平衡，必须满足静力平衡的三个方程式。
如果考虑到质点运动，而按照牛顿第二定律，方程式的右边还应包括这个微单元体的质量与加速度在该坐标轴上的投影的乘积(即惯性力的投影)。
对于所研究的一点P 。
，设其位移在坐标铀y x ,上的投影分别为v u ,，加速度的投影可分别写为： 22t u ∂∂, 22tv ∂∂ 若弹性体处于平衡状态，则取自物体内的单元体也必处于平衡状态。
因而，根据0=∑x F )(2dxdy t u ∂∂=ρ，有 (dx x x x ∂∂+σσ)0)(=+-∂∂++-Xdxdy dx dx ydy dy yx yx yx x τττσ)(2dxdy t u ∂∂=ρ 将上式化简，并等式两边同除以dxdy ，可得 0=+∂∂+∂∂X yx xy x τσ()22t u ∂∂=ρ (2.2-1a)由平衡方程式0=∑y F )22tv ∂∂=ρ，可类似导得0=+∂∂+∂∂Y y x yyx στ()22t v ∂∂=ρ (2.2-1b) 根据平衡方程0=∑a m 得0222)(2)(2)(2)(2222=-+∂∂-∂∂+-∂∂+∂∂++∂∂-∂∂dy Xdxdy dx Ydxdy dx dxdy tv dxdy dy y dy dxdy t u dydx dx x dy dydx x dx dydx y yx yx xy xy x yρττρττσσ 略去三阶微量的项，得yx xy ττ=这就是前面曾提到的切应力互等定理。
下面不再区分xy τ和yx τ。
式(2.2-1)为平面应力问题的平衡微分方程式，它表明了应力分量的变化与已知体力分量之间的关系；当改为括号内的项，就代表运动方程式，又称为柯西 (Chuchy )平衡运动微分方程。
式(2.2-1)是以平面应力为例导出的，对于平面应变问题，在图2.5(b)所示的单元体上，一般在前、后两个面上还作用有正应力z σ，但由于它们自成平衡，不影响方程的建立，因而，式(2.2-1)对两种平面问题都适用。
在建立上述方程时，我们是按照1.2节的小变形中假没，用物体变形以前的尺寸，而没有用变形后平衡状态下的尺寸。
在以后建立任何平衡力程式时，都将作同样的处理，不再加以说明。
对于三维应力状态的情况，可从受力物体中取出一微小六面体单元，可类似平面问题导出zx xz ττ= ， zy yz ττ=以及 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂==+∂∂+∂∂+∂∂∂∂==+∂∂+∂∂+∂∂∂∂==+∂∂+∂∂+∂∂)(0)(0)(0222222t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ (2.2-2) 式(2.2-2)为三维情况下的平衡微分方程。
