工程力学第17讲弯曲应力：正应力惯性矩(完整)

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工程力学第17讲弯曲应力：正应力惯性矩(完整)

第 11 章弯曲应力
本章主要研究：

单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力对称弯曲切应力梁的强度分析与设计非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言对称弯曲正应力惯性矩与平行轴定理对称弯曲切应力梁的强度条件梁的合理强度设计双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
Ai yCi AyC
yC

i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yCb 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y

(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
2
§1 引言
弯曲应力与对称弯曲本章内容

梁的弯曲应力

Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系

工程力学(静力学与材料力学)第二篇第11章弯曲应力精品PPT课件

2. 应力计算
M M e 2.0 0 km N s
max
M Wz
10.18MPa
3. 变形计算
1 M
EI z 16m 6
EI z
M
单辉祖,材料力学教程
13
§2 惯性矩与平行轴定理
静矩与惯性矩简单截面惯性矩平行轴定理例题
单辉祖,材料力学教程
14
静矩与惯性矩
静矩
Sz
ydA
Iz Ay2dA IzAy0a2dA
Iz A y 0 2 d A 2 a A y 0 d A A 2a
Iz0 Ay02dA Ay0dA0
Iz Iz0 Aa2
同理得： IyIy0Ab2
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系
二者平行
单辉祖,材料力学教程
17
例题
例 2-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数
弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力
抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响
单辉祖,材料力学教程
11
例题
例 1-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。
单辉祖,材料力学教程
2
§1 对称弯曲正应力
引言弯曲试验与假设对称弯曲正应力公式例题
单辉祖,材料力学教程
3
引言
弯曲应力弯曲正应力
梁弯曲时横截面上的s
弯曲切应力

弯曲正应力

dA
y
z
y
x

A
y 2 dA M
已知

A
y 2 dA I z
横截面对 z 轴的惯性矩
得到：
M EI z
1
Ey 代入： E
(b)
得到：
My Iz
弯曲正应力计算公式
横截面上的最大正应力Leabharlann max令：得：
M ymax Iz
M
max
抗弯截面系数
Iz Wz ymax
尚有两个问题?
1、
?
2、中性层的位置？
三、静力关系
F

Ey
A
x
0
dA 0
A

dA
E
M

A
ydA 0
得：而

A
A
ydA 0
z

ydA S z A y
是横截面对 z 轴的静矩
M
y
z
y
dA
x
y 0
中性轴 z 通过横截面的形心
中性轴必为形心轴
M
E
y
0
z
已知:
a 50mm
2a A
a
F C
140MPa
求: F力的最大许可值解: 作出梁的弯矩图梁的危险截面为B截面 B截面的弯矩为:
B
M
Fa
M B M max Fa
梁的危险截面为B截面 M B M max Fa B截面的尺寸如图
30 203 14 203 12 Iz 10 12 12 1.07 108 m 4

《工程力学》教学课件第十二章弯曲应力

简支梁
在均布载荷或集中力作用下，简支梁横截面上的正应力呈线性分布，最大正应力出现在梁的中性层上。
悬臂梁
在自由端受到集中力或均布载荷作用时，悬臂梁横截面上的正应力呈非线性分布，最大正应力出现在固定端附近。
叠加原理在复杂载荷下梁正应力计算中应用
叠加原理
当梁受到多个载荷作用时，可以将每个载荷单独作用时产生的弯曲变形和正应力进行叠加，从而得到梁在复杂载荷作用下的总弯曲变形和正应力。
提高构件的弯曲疲劳强度。
06 弯曲应力实验测定方法
电阻应变片法测量原理及操作步骤
测量原理
基于电阻应变效应，通过测量应变片电阻值变化来推算出试件应变，进而得到弯曲应力。
操作步骤
粘贴应变片、连接测量电路、加载试件、记录数据。
光弹性法测量原理及优缺点分析
01
02
03
测量原理
利用某些透明材料在偏振光场中受力产生应力双折射现象，通过光弹性仪器分析得到应力分布。
其他截面形状（圆形、工字形等）梁剪应力计算方法
圆形截面梁
对于圆形截面梁，可以采用极坐标方法进行剪应力计算，或者将其等效为矩形截面进行计算。
工字形截面梁
对于工字形截面梁，由于其截面形状复杂，一般采用数值方法进行剪应力计算，如有限元法等。
剪应力对梁强度和稳定性影响分析
对强度的影响
剪应力过大会导致梁截面发生剪切破坏，从而降低梁的承载能力。
《工程力学》教学课件第十二章弯曲应力
contents
目录
• 弯曲应力基本概念与原理 • 梁弯曲时正应力计算与分析 • 梁弯曲时剪应力计算与分析 • 弯曲变形与位移计算 • 弯曲强度条件与校核方法 • 弯曲应力实验测定方法
01 弯曲应力基本概念与原理

[PPT]材料力学课件之弯曲应力

1.计算公式 2.分布规律
s M.y
Iz
横截面上任一点处的正应力大小，与该点至中性轴的距
离成正比，即正应力沿截面宽度均匀分布，沿高度呈线性分布。中性轴的一侧为拉应力，另一侧为压应力。
3.正应力公式讨论：
1）适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围小变形时的等截面直杆。
2）在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式为近似
M z
(s dA) y
A
Ey2 dA E
A
y2dA EIz M
A
依此确定正应力计算公式。
3.弯曲中心的确定
P
M x A (t dA)d力臂 0,
O
依此确定x轴到杆轴的距离e。
z
ts
非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必
x
须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，
y
若是横向力，还必须过弯曲中心。
P
zP
M
V
s
x
y
翼缘上t1VA 2Iz;单肢合力为V1。腹板上t
VS
z
;合力为V
P
bI z
M x A (t dA)d力臂 0
e e V1h
V
6-6 考虑材料塑性时的极限弯矩
s
ss
ss
ss ss
ss
ss
理想弹塑性材料的
s图
弹性极限分布图
塑性极限分布图
全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。
]
时,
D
1.67
D1
Wz3
D3
32
(1- 0.8 4 )
2.75Wz1

工程力学：弯曲应力

Q 的4 A3
倍。
b.薄壁圆截面
最大剪应力发生在中性轴上各点处：
max
2
Q A
最大剪应力是平均剪应力平
Q A
的2倍。
4. 剪应力强度条件
梁内最大剪应力一般发生在剪力最大的横截面的中性轴
上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ若以
S
* z
m
a
x
表示中性轴以下（或以上）部分面积对中性轴
的静矩，则梁的剪应力强度条件为：
m axQ m aI xz S b z *m ax 79
拉应力强度足够。
A截面
C截面
2．压应力强度校核
A截面下部受压：
Amax
MA y2 Iz
C截面上部受压：
Cmax
MC y1 Iz
由于 M Ay2M Cy1，最大压应力发生在A截面的下边缘
m a x A m a x M I A z y 2 6 9 M P a 1 0 0 M P a
2
max
3Q 2bh
3Q 2A
最大剪应力是平均剪应力平
Q A
的 1.5倍。
2. 工字型截面梁的剪应力主要考虑工字型截面梁腹板上的剪应力计算。
可按照矩形截面梁的剪应力公式计算：
Q
S
* z
I zd
式中：d —腹板宽度
S
* z
—图中因阴影部分面积对中性轴之
静矩。
图 7-5
IQ zdb 2(h 42h 4 12)d 2(h 4 12y2)
二、纯弯曲时的正应力
（由实验观察得如下现象：）
a. 变形后，所有横向线仍保持为直线，只是相对倾斜了一个角度。
b. 变形后，所有纵向线变成曲线，仍保持平行;上、下部分的纵向线分别缩短和伸长。

工程力学-弯曲应力PPT文档62页

工程力学-弯曲应力
11、战争满足了，或曾经满足过人的好斗的本能，但它同时还满足了人对掠夺，破坏以及残酷的纪律和专制力的欲望。 ——查·埃利奥特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段。纪律是教育过程的结果，首先是学生集体表现在一切生活领域—— 生产、日常生活、学校、文化等领域中努力的结果。— —马卡连柯(名言网)
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。 ——左
13、遵守纪律的风气的培养，只有领导者本身在这方面以身作则才能收到成效。—— 马卡连柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅精神以及同全世界劳动者的团结一致，是取得最后胜利的保证。—— 列宁摘自名言网
15、机是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉。 ——库法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一次也不善于度过。— —吕凯特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处，只不过是愈来愈发觉自己的无知。 ——笛卡儿

工程力学弯曲应力教学课件PPT

截面对轴的惯性矩等于该截面各部分对同一轴的惯性矩之和。
n
I y I yi i 1
n
Iz Izi i 1
第九页，共81页。
· 型钢截面
可以查阅有关工程手册（型钢表）得到。
第十页，共81页。
四、平行移轴定理
I y
z 2dA
A
A (zC a)2dA
A zC2dA 2a A zCdA a2
2max
M2 Wz 2
M2
d23
32
ห้องสมุดไป่ตู้
d2
3
32 M 2
3
32 4.55103
140106
0.018m
第三十七页，共81页。
例：T 形截面铸铁梁的载荷和截面尺寸如图示。铸铁的抗拉许用应力为 [σ t] = 30MPa，抗压许用应力为[σ c] = 160MPa，试校核梁的强度。
解：⑴ 求支座约束力，作弯矩图
第三十页，共81页。
max
FS
S* z max
Iz
FS
8Iz
[bh02
(b )h2 ]
min
FS
8Iz
[bh02
bh2 ]
腹板厚度远小于翼缘宽度 b 时， b -， ≈ b
τmax ，≈τ可m认in 为腹板上的切应力均匀分布
FS
A
腹板的面积
2.翼缘的切应力
翼缘部分切应力分布复杂且数值很小，一般不作计算，认为翼缘主要承受截面的弯矩。
第七页，共81页。
· 圆环截面（内径为d ，外径为D ，y、z轴过圆心）
Iz
Iy
(D4 d4)
64
D4
64
(1 4 )

工程力学---弯曲正应力

例1：求1-1截面上A、B两点的正应力。
解：（1）1-1截面上的弯矩
F=1kN
M z F 1 q 1 0.5
q=600N/m
20
1300N m
1
A
（2）惯性矩Iz
Iz

bh3 12

0.1 0.153 12
1
1m
2m
B 40
100 y
z 150
2.81105 m4
F l a Fl a
M max 2 2 4
A
max
M max W1
Fl a [ ]
4W1
F

4W1[ ]
l a
A
F
a
B
l
（b）
F/2
F/2
a
B
即
[F ]2

4W1[ ]
l a
l
F l a
横力弯曲与纯弯曲
横力弯曲 —— 剪力FS不为零
（ Bending by transverse force ）
例如AC, DB段
FS
纯弯曲 —— 剪力FS ＝0且弯矩为常数
（ Pure bending ）
例如CD段
变形几何关系的建立
研究对象：等截面直梁
研究方法：实验——观察——假定
纯弯曲试验: 取对称截面梁，例如矩形截面梁，在其侧表
—— 梁横截面上正应力计算公式
纯弯曲时梁的正应力
关于中性轴的概念
由静力平衡关系： dA A
FNx
0
z
得： dA E ydA
A
A
x y

E

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ymax
D d 0.701 m 2 2

285 MPa
3. 弯矩计算
M EI z
单辉祖:工程力学
1
E bd 3 1.141 N m M 12
EI z
24
8
推论梁内存在一长度不变的过渡层－中性层中性层与横截面得交线－中性轴
中性轴⊥截面纵向对称轴
横截面间绕中性轴相对转动
单辉祖:工程力学 9
对称弯曲正应力公式
公式的建立
几何方面:
( y)
( y )d d y d
s ( y) E

y
(a)
静力学方面:
( y)
y

s ( y ) E ( y )
sdA 0 ysdA M A A
结论中性轴位置：中性轴过截面形心中性层曲率：
M （ I z －惯性矩） EI z （EI z －截面弯曲刚度） 1
M My 正应力公式： s ( y) s max Iz Wz （Wz －抗弯截面系数）
§2 对称弯曲正应力
弯曲试验与假设对称弯曲正应力公式例题
单辉祖:工程力学
6
弯曲试验与假设
弯曲试验
单辉祖:工程力学
7
试验现象（纯弯与正弯矩作用）横线为直线, 仍与纵线正交靠顶部纵线缩短, 靠底部纵线伸长纵线伸长区,截面宽度减小纵线缩短区, 截面宽度增大弯曲假设横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设单辉祖:工程力学
s t,max
单辉祖:工程力学
22
例 3-2 已知：钢带厚 d = 2mm, 宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。试计算：带内的 smax 与 M
解：1. 问题分析
已知钢带的变形（轴线曲率半径），求钢带应力与内力应力～变形关系：
s E
y

s max E
单辉祖:工程力学
应用条件： s max s p , 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
12
一些易混淆的概念对称弯曲与纯弯曲对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常数的受力状态中性轴与形心轴中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴截面弯曲刚度与抗弯截面系数弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
A
y 2 dA M
1
Iz
A
y2dA －惯性矩

M (d) EI z
(d)(a)
My s max max Iz
My s ( y) Iz
Iz Wz －抗弯截面系数 ymax
单辉祖:工程力学
M s max Wz
11
总结假设平面假设，单向受力假设综合考虑三方面
ymax

内力～变形关系：
M EI z
单辉祖:工程力学
1
M
EI z

23
带厚 d=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm, E = 200GPa，求 smax 与 M
2. 应力计算
s max E
ymax

ymax
s max E
d 3 1.0 10 m 2
Ai yCi AyC
yC

i 1
n
A y
i 1
n
i Ci
21
A
A1 yC 1 A2 yC 2 yC A1 A2
bd
d db d b 2 2
bd db
0.045 m
3. 惯性矩计算
I z I z1 I z 2
2
bd 3 d 3.0210 -6 m4 I z1 bd yC 12 2
ห้องสมุดไป่ตู้
d b3 b I z2 db d yC 5.8210 -6 m4 12 2
I z I z 1 I z 2 8.8410 6 m 4
2
4. 最大弯曲正应力
M B yC 30.5 MPa Iz M ( b d yC ) s c,max B 64.5 MPa Iz
3. 变形计算
M EI z
1
EI z 166 m M
15
单辉祖:工程力学
§3 惯性矩与平行轴定理
惯性矩
简单截面惯性矩平行轴定理例题
单辉祖:工程力学
16
惯性矩
惯性矩
I z A y dA
2
[L]4
－截面对 z 轴的惯性矩
I y z dA
2 A

Iz Iz i
第 11 章弯曲应力
本章主要研究：

单辉祖:工程力学
对称弯曲正应力对称弯曲切应力梁的强度分析与设计非对称弯曲应力
1
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
引言对称弯曲正应力惯性矩与平行轴定理对称弯曲切应力梁的强度条件梁的合理强度设计双对称截面梁的非对称弯曲
单辉祖:工程力学
I p A dA A ( y z )dA
2
2 2
Ip I z I y
I p d 4 Iz 2 64
单辉祖:工程力学
Ip 2I z
d 2 d Wz 64 d 32
4 3
19
平行轴定理
平行轴定理
建立 I z 与 I z0 的关系
I z A y 2dA
dA 0 (b) F x 0 , s A M z 0, A ysdA M (c)
10
物理方面:
s ( y ) E ( y )
单辉祖:工程力学
s E
y

(a)
sdA 0 A
(b)
A ysdA M
yC y dA A 0 A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
i 1
n
n
单辉祖:工程力学
Iy
I
i 1
yi
17
简单截面惯性矩
矩形截面惯性矩
bh I z A y dA - h/2 y bdy 12
2
h/ 2 2
3
2 I z bh bh Wz ymax 12 6 h 2
单辉祖:工程力学 18
3
简单截面惯性矩
圆形截面惯性矩
例题
例 3-1 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, d=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力st,max与压应力sc,max
解：1. 弯矩计算 2. 形心位置计算
Sz
单辉祖:工程力学
M B Fl 6000 N m
由矩形 1 与矩形 2 组成的组合截面
单辉祖:工程力学 13
例题
例 2-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。
试计算：最大弯曲正应力smax ，梁轴曲率半径
解：1. 工字钢（GB 706-1988）一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 №18 工字钢：
I z 1.66 10 5 m 4
I z A y0 a dA
2
2 I z A y0 dA 2a A y0 dA Aa2
2 I z0 A y0 dA
A y0dA 0
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系二者平行
20
I z I z0 Aa 2
同理得：
单辉祖:工程力学
I y I y0 Ab2
2
§1 引言
弯曲应力与对称弯曲本章内容
单辉祖:工程力学
3
弯曲应力与对称弯曲
弯曲应力
弯曲正应力梁弯曲时横截面上的s
弯曲切应力梁弯曲时横截面上的t 对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式－对称弯曲
单辉祖:工程力学 4
变形形式与本章内容
变形形式
基本变形形式－轴向拉压，扭转，弯曲组合变形形式－两种或三种不同基本变形形式的组合
弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合
本章主要内容
对称弯曲正应力对称弯曲切应力弯曲强度计算与合理强度设计双对称截面梁非对称弯曲应力与强度
5
弯拉（压）组合应力与强度
单辉祖:工程力学
单辉祖:工程力学
Wz 1.85 10 4 m 3
14
I z 1.66 10 5 m 4
Wz 1.85 10 4 m 3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 smax 与
2. 应力计算
M M e 20.0 kN m
M s max 108.1 MPa Wz

工程力学第17讲弯曲应力：正应力惯性矩(完整)

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