计算数组a中最长递增子序列的长度

2014年下半年软件设计师下午试卷试题一阅读下列说明和图，回答问题1至问题3,将解答填入答题纸的对应栏内。

【说明】某大型披萨加工和销售商为了有效管理生产和销售情况，欲开发一披萨信息系统，其主要功能如下：（1）销售。

处理客户的订单信息，生成销售订单，并将其记录在销售订单表中。

销售订单记录了订购者、所订购的披萨、期望的交付日期等信息。

（2）生产控制。

根据销售订单以及库存的披萨数量，制定披萨生产计划（包括生产哪些披萨、生产顺序和生产量等），并将其保存在生产计划表中。

（3）生产。

根据生产计划和配方表中的披萨配方，向库存发出原材料申领单，将制作好的披萨的信息存入库存表中，以便及时进行交付。

（4）采购。

根据所需原材料及库存量，确定采购数量，向供应商发送采购订单，并将其记录在采购订单表中；得到供应商的供应量，将原材料数量记录在库存表中，在采购订单表中标记已完成采购的订单。

（5）运送。

根据销售订单将披萨交付给客户，并记录在交付记录表中。

（6）财务管理。

在披萨交付后，为客户开具费用清单，收款并出具收据；依据完成的采购订单给供应商支付原材料费用并出具支付细节；将收款和支付记录存入收支记录表中。

（7）存储。

检查库存的原材料、拔萨和未完成订单，确定所需原材料。

现采用结构化方法对披萨信息系统进行分析与设计，获得如图1-1所示的上下文数据流图和图1-2所示的0层数据流图。

问题：根据说明中的词语，给出图1-1中的实体E1～E2的名称。

问题：根据说明中的词语，给出图1-2中的数据存储D1～D5的名称。

问题：根据说明和图中词语，补充图1-2中缺失的数据流及其起点和终点。

参考答案：【问题1】E1：客户；E2：供应商【问题2】D1：销售订单表；D2：库存表；D3：生产计划表；D4：配方表；D5：采购订单表【问题3】（1）数据流名称：支付细节；起点：财务管理；终点：E2。

（2）数据流名称：销售订单；起点：销售订单表；终点：5运送。

（3）数据流名称：生产计划；起点：D3；终点：3生产。

严格递增子序列概述严格递增子序列是指在一个序列中，选取若干个元素，使它们的值按照严格递增的顺序排列。

这个问题可以用于求解一些实际问题，例如最长递增子序列问题和最长上升子序列问题。

本文将详细介绍严格递增子序列的定义、性质、求解方法以及应用。

定义给定一个序列，例如 [1, 3, 2, 4, 5, 1, 6]，我们可以选取其中的若干个元素形成一个子序列。

如果选取的子序列中的元素按照严格递增的顺序排列，那么这个子序列就是严格递增子序列。

在上述例子中，[1, 2, 4, 5, 6] 就是一个严格递增子序列。

性质严格递增子序列具有以下性质：1.长度最长：在一个序列中，可能存在多个严格递增子序列，但长度最长的严格递增子序列只有一个。

2.元素唯一：严格递增子序列中的元素是唯一的，即不能包含重复的元素。

3.子序列位置：严格递增子序列中的元素在原序列中的位置是不连续的，可以跳过一些元素。

求解方法求解严格递增子序列的问题有多种方法，下面介绍两种常用的方法：动态规划和贪心算法。

动态规划动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法。

对于严格递增子序列的问题，可以使用动态规划来求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）。

动态规划的思想是将原问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。

对于求解最长递增子序列的问题，可以定义一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。

具体的动态规划算法如下：1.初始化状态数组 dp，将所有元素初始化为 1。

2.对于每个元素 nums[i]，遍历它前面的所有元素 nums[j]（0 <= j < i），如果 nums[i] 大于 nums[j]，则更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。

3.遍历状态数组 dp，找到最大的 dp[i]，即为最长递增子序列的长度。

动态规划之最长递增⼦序列（LIS）在⼀个已知的序列{ a1,a2,……am}中，取出若⼲数组成新的序列{ ai1, ai2,…… aim},其中下标 i1,i2, ……im保持递增，即新数列中的各个数之间依旧保持原数列中的先后顺序，那么称{ ai1, ai2,……aim}为原序列的⼀个⼦序列。

若在⼦序列中，当下标 ix > iy时，aix > aiy，那么称其为原序列的⼀个递增⼦序列。

最长递增⼦序列问题就是在⼀个给定的原序列中，求得其最长递增⼦序列的长度。

求最长递增⼦序列的递推公式为：F(1) = 1;F(i) = max{ 1, F[j]+1 | aj<ai && j<i}拦截导弹题⽬描述某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出⼀种导弹拦截系统。

但是这种导弹拦截系统有⼀个缺陷：虽然它的第⼀发炮弹能够到达任意的⾼度，但是以后每⼀发炮弹都不能⾼于前⼀发的⾼度。

某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的⾼度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。

拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后⾯的导弹，再拦截前⾯的导弹。

输⼊描述:每组输⼊有两⾏，第⼀⾏，输⼊雷达捕捉到的敌国导弹的数量k（k<=25），第⼆⾏，输⼊k个正整数，表⽰k枚导弹的⾼度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。

输出描述:每组输出只有⼀⾏，包含⼀个整数，表⽰最多能拦截多少枚导弹。

⽰例1输⼊8300 207 155 300 299 170 158 65输出6解题思路：要求最多能拦截多少枚导弹，即在按照袭击顺序排列的导弹⾼度中求其最长不增⼦序列。

其中F(1) = 1;F(i) = max{ 1, F[j]+1 | aj>=ai && j<i}1 #include<stdio.h>2 #include<stdlib.h>34int list[26]; //按顺序保存导弹⾼度5int dp[26]; //保存以第i个导弹结尾的最长不增长序列长度6int max( int a,int b)7 {8//选取最⼤值9return a>b? a:b;10 }11int main()12 {13int n;14int tmax,ans;15int i,j;16while( scanf("%d",&n)!=EOF)17 {18for( i=1; i<=n; i++)19 {20 scanf("%d",&list[i]);21 dp[i] = 0;22 }23for( i=1; i<=n; i++)24 {25 tmax = 1; //最长不增长⼦序列长度⾄少为126for( j=1; j<i; j++) //遍历其前所有导弹⾼度27 {28if( list[j]>=list[i]) //若j号导弹不⽐当前导弹低29 {30 tmax = max( tmax,dp[j]+1);31 }32 }33 dp[i] = tmax;34 }35 ans = 1;36for( i=1; i<=n; i++)37 ans = max( ans, dp[i]);38 printf("%d\n",ans);39 }4041return0;42 }。

《算法设计与分析》习题第一章引论习题1-1 写一个通用方法用于判定给定数组是否已排好序。

解答：Algorithm compare(a,n)BeginJ=1;While (j<n and a[j]<=a[j+1]) do j=j+1;If j=n then return trueElseWhile (j<n and a[j]>=a[j+1]) do j=j+1;If j=n then return true else return false end ifEnd ifend习题1-2 写一个算法交换两个变量的值不使用第三个变量。

解答：x=x+y; y=x-y; x=x-y;习题1-3 已知m,n为自然数，其上限为k（由键盘输入，1<=k<=109）,找出满足条件(n2-mn-m2)2=1 且使n2+m2达到最大的m、n。

解答：m:=k; flag:=0;repeatn:=m;repeatl:=n*n-m*n-m*n;if (l*l=1) then flag:=1 else n:=n-1;until (flag=1) or (n=0)if n=0 then m:=m-1until (flag=1) or (m=0);第二章基础知识习题2-1 求下列函数的渐进表达式：3n 2+10n ; n 2/10+2n ; 21+1/n ; log n 3; 10 log3n 。

解答： 3n 2+10n=O （n 2）， n 2/10+2n =O （2n ）， 21+1/n=O （1）， log n 3=O （log n ），10 log3n =O （n ）。

习题2-2 说明O (1)和 O (2)的区别。

习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：!n ，3/22,2,20,3,log ,4n n n n n 。

解答：照渐进阶从低到高的顺序为：!n 、 3n、 24n 、23n 、20n 、log n 、2习题2-4（1） 假设某算法在输入规模为n 时的计算时间为n n T 23)(⨯=。

python经典算法100例Python是一种简单易学的编程语言，它具有丰富的库和模块，可以实现各种算法。

下面将介绍100个经典的Python算法例子，帮助读者更好地理解和掌握Python编程。

1. 二分查找算法：在有序数组中查找指定元素的位置。

2. 冒泡排序算法：对数组进行排序，每次比较相邻的两个元素并交换位置。

3. 快速排序算法：通过选择一个基准元素，将数组分为两部分，递归地对两部分进行排序。

4. 插入排序算法：将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分选择一个元素插入到已排序部分的正确位置。

5. 选择排序算法：每次从未排序部分选择最小的元素放到已排序部分的末尾。

6. 归并排序算法：将数组分为两部分，递归地对两部分进行排序，然后将两部分合并。

7. 堆排序算法：通过构建最大堆或最小堆，将数组进行排序。

8. 计数排序算法：统计数组中每个元素的出现次数，然后按照次数进行排序。

9. 桶排序算法：将数组分为多个桶，每个桶内部进行排序，然后将桶中的元素按照顺序合并。

10. 基数排序算法：按照元素的位数进行排序，从低位到高位依次进行。

11. 斐波那契数列算法：计算斐波那契数列的第n个数。

12. 阶乘算法：计算一个数的阶乘。

13. 最大公约数算法：计算两个数的最大公约数。

14. 最小公倍数算法：计算两个数的最小公倍数。

15. 素数判断算法：判断一个数是否为素数。

16. 矩阵相加算法：计算两个矩阵的和。

17. 矩阵相乘算法：计算两个矩阵的乘积。

18. 斐波那契堆算法：实现斐波那契堆的插入、删除和合并操作。

19. 最短路径算法：计算图中两个节点之间的最短路径。

20. 最小生成树算法：计算图中的最小生成树。

21. 拓扑排序算法：对有向无环图进行拓扑排序。

22. 最大流算法：计算网络中的最大流。

23. 最小费用流算法：计算网络中的最小费用流。

24. 最大子序列和算法：计算数组中连续子序列的最大和。

25. 最长递增子序列算法：计算数组中最长递增子序列的长度。

最长严格递增子序列最长严格递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是序列的一个重要特性，它在算法和数据结构中都有广泛的应用。

在给出最长严格递增子序列的长度时，我们首先需要了解这个序列的特性。

定义：设A 是一个有限序列，如果存在一个索引集合I，使得对于所有的i∈I，都有A[i]>A[j]，其中j∈I 且j<i，那么我们称A[I] 是A 的一个最长严格递增子序列。

为了求解最长严格递增子序列的长度，我们可以使用动态规划的方法。

假设A 是一个长度为n 的序列，我们定义一个数组dp，其中dp[i] 表示以A[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度。

显然，如果A[i] 是序列中的最小值，那么以A[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度就是1。

否则，我们可以考虑在A[i] 之前的所有元素中，哪些元素的严格递增子序列可以以A[i] 结尾。

对于每一个这样的元素A[j]，如果dp[j]+1>dp[i]，那么我们就更新dp[i] 为dp[j]+1。

最终，最长严格递增子序列的长度就是所有dp[i] 中的最大值。

下面是一个简单的Python 实现：pythondef length_of_LIS(A):n = len(A)if n == 0:return 0dp = [1] * nfor i in range(1, n):for j in range(i):if A[j] < A[i] and dp[j] + 1 > dp[i]:dp[i] = dp[j] + 1return max(dp)在最坏情况下，这个算法的时间复杂度是O(n2)。

然而，如果序列是有序的，那么最长严格递增子序列的长度就是序列的长度，而我们可以通过线性扫描来求解。

因此，在最好情况下，时间复杂度是O(n)。

最长子序列算法最长子序列（Longest Common Subsequence，LCS）算法是一种常见的动态规划算法，用于解决字符串匹配问题。

它的主要目的是找到两个字符串中最长的公共子序列。

在介绍该算法之前，我们需要先了解什么是子序列。

一个字符串的子序列是指从该字符串中删除某些字符而不改变其相对顺序后得到的新字符串。

例如，对于字符串“abcdefg”，“abc”、“ace”、“bdf”都是它的子序列。

那么，最长公共子序列就是指两个字符串中都存在的最长子序列。

例如，对于字符串“abcdefg”和“acdfg”，它们的最长公共子序列为“adf”。

接下来，我们将介绍如何使用动态规划求解最长公共子序列。

1. 状态定义我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示第一个字符串前i个字符和第二个字符串前j个字符之间的最长公共子序列长度。

其中dp[0][j]和dp[i][0]表示空串与另一个串之间的LCS长度均为0。

2. 状态转移方程当第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符相同时，则该字符必然属于LCS中，并且LCS长度加一：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

当第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符不同时，则该字符不能同时属于LCS中，此时需要考虑两种情况：（1）第一个字符串的前i-1个字符与第二个字符串的前j个字符之间的LCS长度大于等于第一个字符串的前i个字符与第二个字符串的前j-1个字符之间的LCS长度，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。

（2）第一个字符串的前i-1个字符与第二个字符串的前j个字符之间的LCS长度小于第一个字符串的前i个字符与第二个字符串的前j-1个字符之间的LCS长度，即dp[i][j] = dp[i][j-1]。

综上所述，状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1, if str1[i]==str2[j]dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), if str1[i]!=str2[j]3. 最终结果最终结果即为dp[m][n]，其中m和n分别为两个字符串的长度。

2014年下半年软件设计师考试下午真题1 、阅读下列说明和图，回答问题1至问题3，将解答填入答题纸的对应栏内。

【说明】某大型披萨加工和销售商为了有效管理生产和销售情况，欲开发一披萨信息系统，其主要功能如下：（1）销售。

处理客户的订单信息，生成销售订单，并将其记录在销售订单表中。

销售订单记录了订购者、所订购的披萨、期望的交付日期等信息。

（2）生产控制。

根据销售订单以及库存的披萨数量，制定披萨生产计划（包括生产哪些披萨、生产顺序和生产量等），并将其保存在生产计划表中。

（3）生产。

根据生产计划和配方表中的披萨配方，向库存发出原材料申领单，将制作好的披萨的信息存入库存表中，以便及时进行交付。

（4）采购。

根据所需原材料及库存量，确定采购数量，向供应商发送采购订单，并将其记录在采购订单表中；得到供应商的供应量，将原材料数量记录在库存表中，在采购订单表中标记已完成采购的订单。

（5）运送。

根据销售订单将披萨交付给客户，并记录在交付记录表中。

（6）财务管理。

在披萨交付后，为客户开具费用清单，收款并出具收据；依据完成的采购订单给供应商支付原材料费用并出具支付细节；将收款和支付记录存入收支记录表中。

（7）存储。

检查库存的原材料、拔萨和未完成订单，确定所需原材料。

现采用结构化方法对披萨信息系统进行分析与设计，获得如图1-1所示的上下文数据流图和图1-2所示的0层数据流图。

图1-1 上下文数据流图图1-2 0层数数据流图【问题1】（4分）根据说明中的词语，给出图1-1中的实体E1～E2的名称。

【问题2】（5分）根据说明中的词语，给出图1-2中的数据存储D1～D5的名称。

【问题3】（6分）根据说明和图中词语，补充图1-2中缺失的数据流及其起点和终点。

根据需求分析阶段收集的信息，设计的实体联系图和关系模式（不完整）如下：图1-1 实体联系图 超市（超市名称，经理，地址，电话）【问题1】【问题2】（a）超市名称，部门名称主键：（超市名称，部门名称）外键：超市名称，部门经理现采用面向对象方法对该系统进行分析与设计，得到如图1-1所示的初始类图。

高中信息奥赛试题及答案试题一：算法设计题目：给定一个整数数组，找出其中最长的连续递增子序列的长度。

要求：1. 编写一个函数，输入为整数数组，输出为最长连续递增子序列的长度。

2. 考虑时间复杂度和空间复杂度。

答案：```pythondef find_longest_increasing_subsequence(arr):if not arr:return 0n = len(arr)dp = [1] * n # dp[i] 表示以 arr[i] 结尾的最长递增子序列长度max_length = 1 # 至少包含一个元素for i in range(1, n):for j in range(i):if arr[j] < arr[i]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)max_length = max(max_length, dp[i])return max_length```试题二：数据结构题目：设计一个队列，支持以下操作：1. 入队（enqueue）2. 出队（dequeue）3. 获取队列大小（size）4. 判断队列是否为空（is_empty）要求：1. 使用链表实现队列。

2. 确保所有操作的时间复杂度为 O(1)。

答案：```pythonclass Node:def __init__(self, value):self.value = valueself.next = Noneclass Queue:def __init__(self):self.head = Noneself.tail = Noneself.size = 0def enqueue(self, value):new_node = Node(value)if self.is_empty():self.head = new_nodeelse:self.tail.next = new_node self.tail = new_nodeself.size += 1def dequeue(self):if self.is_empty():raise Exception("Queue is empty")value = self.head.valueself.head = self.head.nextif self.head is None:self.tail = Noneself.size -= 1return valuedef size(self):return self.sizedef is_empty(self):return self.size == 0```试题三：编程语言特性题目：请解释以下C++代码片段的功能，并指出可能的问题。

动态规划问题-经典模型的状态转移⽅程状态转移⽅程动态规划中当前的状态往往依赖于前⼀阶段的状态和前⼀阶段的决策结果。

例如我们知道了第i个阶段的状态Si以及决策Ui，那么第i+1阶段的状态Si+1也就确定了。

所以解决动态规划问题的关键就是确定状态转移⽅程，⼀旦状态转移⽅程确定了，那么我们就可以根据⽅程式进⾏编码。

在前⾯的⽂章讲到了如何设计⼀个动态规划算法，有以下四个步骤：1、刻画⼀个最优解的结构特征。

2、递归地定义最优解的值。

3、计算最优解的值，通常采⽤⾃底向上的⽅法。

4、利⽤计算出的信息构造⼀个最优解。

对于确定状态转移⽅程就在第⼀步和第⼆步中，⾸先要确定问题的决策对象，接着对决策对象划分阶段并确定各个阶段的状态变量，最后建⽴各阶段的状态变量的转移⽅程。

例如⽤dp[i]表⽰以序列中第i个数字结尾的最长递增⼦序列长度和最长公共⼦序列中⽤dp[i][j]表⽰的两个字符串中前 i、 j 个字符的最长公共⼦序列，我们就是通过对这两个数字量的不断求解最终得到答案的。

这个数字量就被我们称为状态。

状态是描述问题当前状况的⼀个数字量。

⾸先，它是数字的，是可以被抽象出来保存在内存中的。

其次，它可以完全的表⽰⼀个状态的特征，⽽不需要其他任何的辅助信息。

最后，也是状态最重要的特点，状态间的转移完全依赖于各个状态本⾝，如最长递增⼦序列中，dp[x]的值由 dp[i](i < x)的值确定。

若我们在分析动态规划问题的时候能够找到这样⼀个符合以上所有条件的状态，那么多半这个问题是可以被正确解出的。

所以说，解动态规划问题的关键，就是寻找⼀个好的状态。

总结下⾯对这⼏天的学习总结⼀下，将我遇到的各种模型的状态转移⽅程汇总如下：1、最长公共⼦串假设两个字符串为str1和str2，它们的长度分别为n和m。

d[i][j]表⽰str1中前i个字符与str2中前j个字符分别组成的两个前缀字符串的最长公共长度。

这样就把长度为n的str1和长度为m的str2划分成长度为i和长度为j的⼦问题进⾏求解。