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第四章 算符

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第四章 数据库设计基础——关系运算

第四章 数据库设计基础——关系运算

3. 交（Intersection） ）
R和S
具有相同的目n 相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成 R∩S = { t|t ∈ R∧t ∈S } R∩S = R –(R-S）
An Introduction to Database System
交 (续) 续
An Introduction to Database System
(c)
An Introduction to Database System
1. 选择（Selection） 选择（ ）
1) 选择又称为限制（Restriction） 2) 选择运算符的含义 在关系R中选择满足给定条件的诸元组 σF(R) = {t|t∈R∧F(t)= '真'} F：选择条件，是一个逻辑表达式，基本形式为：
学生-课程数据库: 学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
Student
学号 Sno 200215121 200215122 200215123 200215125 姓名 Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 性别 Ssex 男 女 女 男 (a) 年龄 Sage 20 19 18 19 所在系 Sdept CS IS MA IS
An Introduction to Database System
(b)
专门的关系运算(续 专门的关系运算 续)
SC
学号 Sno 200215121 200215121 200215121 200215122 200215122 课程号 Cno 1 2 3 2 3 成绩 Grade 92 85 88 90 80
200215121 200215121 200215122 200215122

第四章-表象—态和力学量的表达方式

第四章-表象—态和力学量的表达方式
c1 (t ) c2 (t ) Ψ (t ) = M cn (t ) M 来自行矢量()
归一化条件
Ψ (t )Ψ (t ) = ∑ cn (t ) = 1
+ 2 n
* * Φ + (t ) = b1* (t ) b2 (t ) L bn (t ) L
+ * n *
∞ r r Ψ (r , t ) = ∑ c n (t )ψ n (r ) n= 0
编号有时是从零开始的， 注： 编号有时是从零开始的，例如谐振子情况 r 连续谱情况
r 有时需要重新编号， 有时需要重新编号，例如氢原子情况 Ψ (r , t ) = ∑ cnlm (t )ψ nlm (r )
n
∑ c (t )
n n
2
r 2 = ∫ Ψ (r , t ) dV
r Ψ (r , t )描述状态 ⇔ {cn (t ), n = 1,2, L}描述状态
* * * Ψ + (t ) = c1 (t ) c2 (t ) L cn (t ) L
状态可由矢量描述——态矢量 态矢量 状态可由矢量描述 列矢量
矩阵元
厄米共扼——转置+共扼(F 转置+ 厄米共扼 转置
+
)
nm
* = Fmn
r ˆ r r ˆ r * ˆ 是厄米算符时 F = φ * (r )Fφ (r )dV = φ (r ) Fφ (r ) dV = F * F nm m n mn ∫ n ∫ m
(
)
(F )
+
nm
= Fnm , 即，F + = F
描述状态 前面——波函数 波函数 前面 ——算符 算符 描述力学量 r r ˆ F (r ,− ih∇ )Ψ (r , t ) 这种描述方式(坐标表象 坐标表象)不是描述态和力学量的唯一方式 这种描述方式 坐标表象 不是描述态和力学量的唯一方式 态和力学量的具体表达(描述) 态和力学量的具体表达(描述) 方式称为表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象——表象理论 坐标表象出发讨论其它表象 下面从坐标表象出发讨论其它表象 表象理论 第1节 态的表象

第四章 运算符与表达式

第四章 运算符与表达式

11
4.1 运算符
例子： “A”>“B” 结果为“false” “ab”>“ac” 结果为“false” “ab”>“abc” 结果为“false” “ab”<“人” 结果为“true” “ab”>“AB” 结果为“true” “123”>“99” 结果为“false” “123”=“123” 结果为“true” “你们”>“我们” 结果为“true”
37
4.2 表达式
运算过程中的溢出错误： 当为数值型变量赋一个超出其表示范围的值 时会出现“溢出错误”。同样，在表达式的 运算过程中，当运算的中间结果超出变量的 表示范围时，也会导致“溢出错误”。 例子： dim int1 as integer, int2 as integer, sng1 as single int1=20000: int2=20000 sng1=int1+int2 ′溢出错误。
29
4.2 表达式
1、表达式的求解顺序 在表达式中，先计算优先级高的运算符，再 计算优先级低的运算符。优先级相同时，从 左向右计算。 使用圆括号，可以改变计算顺序，先计算括 号内的 例子： a = 2 + 3 – 3 + 4 b=2–3*3+4/5
30
4.2 表达式
2、运算符的优先级 当表达式中运算符不止一种时，优先级如下： 算术运算符 > 比较运算符 > 逻辑运算符 所有比较运算符的优先级都相同，要按它们 出现的顺序从左到右进行计算。 字符连接运算符“&”的优先级位于算术和比 较运算符之间。 算术运算符 > & > 比较运算符 > 逻辑运算符
F or F
F xor T F eqv F T imp F

4第四章 运算符重载

4第四章 运算符重载
1 2 3
const complex operator - (const complex &c) const; void display(); //输出复数 private: //私有数据成员 1.是为了堵塞a+b=c的漏洞。 double real; //复数实部 2. 3.是为了扩大适应性。 double imag; //复数虚部 };
17
[ ]运算符重载为成员函数
下标运算符［］可以重载： 重载形式为：operator［］(int); 当 X x; 隐含调用。 x[y] 可被解释为： 显式调用。 x. operator [ ](y)； 只能重载为成员函数，不能使用友元函数。 这个类显然是个‚数组类‛。
18
前置++和后置++重载为成员函数
9
使用
void main(){
complex c1(5,4),c2(2,10),c3; //三个复数类的对象 cout<<"c1="; cout<<"c2="; c1.display(); c2.display();
c3=c1-c2; //使用重载运算符完成复数减法 cout<<"c3=c1-c2="; c3.display(); 程序输出结果为：
这三个运算符是许多 教课书没有提到的。
唯一的一个三目运 算符不能重载。
3
运算符重载的基础
设计运算符重载函数，首先要了解运算符原本的运算语义。重
载函数要忠实遵守该运算符作用于基本数据类型时的语义，
并表现出自身所特有的性质。 例如：+ 、+= 、=、++(前)、++(后) ....

力学的算符表示和表象

力学的算符表示和表象

(18)
对于 p y ， p z 也有同样的等式。如果 G px 是 p x 的解析函数，且可展成 p x 的幂级数 G p x Cn p x n (19)
n
则有
n ˆx G px G px Cn * r , t p r , t dr n
(1)
等均代表对 的运算。概括起来讲，设某种运算将函数 变为函数 u，记作
ˆ u Fv
ˆ 称作算符。若算符 F ˆ 满足 则表示这种运算的符号 F
(2)
ˆ c v c v c F ˆ ˆ F 1 1 2 2 1 v1 c2 Fv2
(3)
ˆ 为线性算符。动量算符， 其中 v1 和 v2 是任意函数， c1 和 c2 是常数（一般为复数） ，则称 F
(3)
（二）再论(归一化的) r , t 和 C r , t 的物理意义
2 2
与波函数相联系的粒子，一般既不具有精确的位置，有不具有精确的动量。一般 地，对于 ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子的动力学变量中的这个或者那个做测量 时，我们不能对测量结果做确定的预言，但是对于 N 个大量数目、彼此独立的等价系统 （每个系统都由同一波函数 ψ 描述） ，如果我们对它们中的每一个做位置测量，则 给
（一）统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态参量 ξ，得到相应的值为 A1,A2……AS，在 总的试验次数 N 中，得到这些值的次数分别是 N1,N2,……NS，则 ξ 的（算数）平均值为
AN
i 1 s i
s
i
N
i 1
Ai
i 1
s
Ni N
(1)
i
当总的试验次数 N 时，量 ξ 的平均值的极限便是ξ的统计平均值

量子力学第四章习题(1)

量子力学第四章习题(1)

第四章态叠加原理及力学量的算符表示4-1 下列算符哪些是线性的？为什么？ (1) (2) ( )2 (3) (4)4-2 线性算符具有下列性质：，式中C是复数。

下列算符哪些是线性的？（1）（2）（3）（4）（5）（6）4-3 若都是厄米算符，但，试问：（1）是否厄米算符？（2）是否厄米算符？4-4 证明下列算符哪些是厄米算符：4-5 （1）证明（2）4-6试判断下述二算符的线性厄米性，（1）（2）4-7 试证明任意一个算符不可能有两个以上的逆。

又问，算符的情况下，是什么样的算符？4-8 对于一维运动，求的本征函数和本征值。

进而求的本征值。

4-9 若算符有属于本征值为的本征函数，且有：和，证明和也是的本征函数，对应的本征值分别是和。

4-10 试求能使为算符的本征函数的值是什么？此本征函数的本征值是什么？4-11 如果为线性算符的一个本征值，那么为的一个本征值。

一般情况下，设为的多项式，则便为的一个本征值。

试证明之。

4-12 试证明线性算符的有理函数也是线性算符。

4-13 当势能改变一个常数C时，即时，粒子的波函数与时间无关的那部分改变否？能量本征值改变否？4-14 一维谐振子的势能，处于的状态中，其中，问：（1）它的能量有没有确定值？若有，则确定值是多少？（2）它的动量有没有确定值？4-15 在时间时，一个线性谐振子处于用下列波函数所描写的状态：式中是振子的第n个时间无关本征函数。

（a）试求C3的数值。

（b）写出在t时的波函数。

（c）在时振子的能量平均值是什么？在秒时的呢？4-16 证明下列对易关系：，4-17 证明下列对易关系：。

第四章 力学量用算符表达 new


单位算符Î 动量算符 均可观测量的力学量算符都是线性算符，这 是态叠加原理的反映。
第4章 力学量用算符表示@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第12页
例子
粒子状态满足薛定谔方程
若ψ1, ψ2是方程的解，则c1ψ1 + c2ψ2也是方程的解。事实上
第4章 力学量用算符表示@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第2页
1. 统计平均值的意义
如果通过一系列的实验测定系统的一个状态的参量ξ，得到相应的 值为A1,A2,…,As，在总的实验次数N中，则得到这些值的次数分别 是N1,N2,…, Ns，则ξ的（算术）平均值为
当总的实验次数N→∞时，量ξ的平均值的极限是ξ的统计平均值
由于在任意状态下<A>都为实，所以 (Ψ1,AΨ1)=(AΨ1,Ψ1),有
( 2 , A 1 ) ( 1 , A 2 ) ( A 2 , 1 ) ( A 1, 2 )
* *
^
^
^
^
( 1 , A 2 ) ( A 1 , 2 ) ( A 2 , 1 ) ( 2 , A 1 )
Fang Jun 第14页
算符相等
ˆ ˆ 设算符 A 和B 对体系的任何波函数Ψ 的运算所得结果都相
同 算符之积
ˆ ˆ A B
则称两个算符相等，记做
ˆ ˆ A B
ˆˆ ˆ ˆ 算符 A 与 B 之积 AB ，定义为
( AB) A( B )
且满足
A( B C ) AB AC
精确的动量。一般地，对于Ψ 表示的单个粒子系统，要对该粒子 的动力学变量中的这个或者那个做测量，我们不能对测量结果做

第四章 力学量与算符ppt课件


i ijk xk , i ijk pˆ k
Lˆ2Lˆ2xLˆ2yLˆ2z
可证： Lˆ2, Lˆ 0
Lˆ2, Lˆi 有共同的本征波函数完备集
ppt课件完整
12
2. 球坐标系下，轨道角动量算符的表达式
Lˆ x
i sin
ctg
cos
Lˆ
y
i cos
ctg
sin
4, 逆算符：若 A ˆB ˆB ˆA ˆI，则 Bˆ Aˆ1
5，除：Aˆ/Aˆ
Aˆ1AˆAˆ1Aˆ1
6，算符函数： Fˆ
Aˆ
F n 0Aˆ n
n0 n!
F n 0
d nF x
dx n
x0
ppt课件完整
4
三. 算符的厄米共轭运算与厄米算符
1，内积
,* d3r
2，算符的复共轭运算： ,*,
充分必要条件是：二者对易。
ppt课件完整
7
4.3 力学量与力学量算符及平均值
量子力学第三个基本假定：力学量和 力学量算符
① 任符一F力rˆ,学pˆ,t量F ；r,p,t都对应于一个力学量算 ② 且 Frˆ,pˆ,t 是厄米算符，Fˆ Fˆ ；
③ 力学量算符 Fˆ 的本征值就是力学量F允许的取值； ④ 当且仅当粒子处在 Fˆ本征态时，粒子的力学量有确
Lˆ z
i
Lˆ2
2
1
sin
sin
1 sin 2
2
2
pˆ2
2
1 r2
22
r2 r
2 r2
r r2 r
Lˆ2 r22
r
Lˆ2 r2
特点 Lˆx,Lˆy,Lˆz 、 Lˆ2 只与 , 有关，与r无关

第四章 力学量用厄米算符表达


ˆ ˆ ˆ Fψ = Aψ + Bψ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 称算符 F 等于 A 与 B 之和。写作 F = A + B
。
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例3：哈密顿算符 H = T + V 就是动能算符 T 与势能算符 V
之和。算符求和满足交换律与结合律，
ˆ ˆ ˆ ˆ A+ B = B + A
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A + ( B + C ) = ( A + B) + C
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ l = r × p = r × (−i ∇) = −i r × ∇
如果没有经典力学表达式的量子力学力学量，比如电子的自旋， 它的算符由量子力学独立建立。
Atomic physics and quantum mechanics
9
三
算符运算的基本性质
定义1：线性算符
由于态叠加原理，在量子力学中的力学量算符应是线性算符， 所谓线性算符，即是具有如下性质
式中c1、c2为任意常数。
Atomic physics and quantum mechanics
20
定义9：转置算符
ˆ ˆ 算符 A 的转置算符 AT 定义为
ˆ Tφ = dτφ Aψ ∗ ˆ dτψ ∗ A ∫ ∫ ˆ ˆ (ψ , ATφ ) = (φ ∗, Aψ ∗)
式中 ψ 与 例5：证明
∫
+∞ −∞
⎡⎛ ∂ ⎞ T ∂ ⎤ dxψ ∗ ⎢⎜ ⎟ + ⎥ φ = 0 ∂x ⎥ ⎢ ⎝ ∂x ⎠ ⎣ ⎦
ψ ∗, φ 任意
∂ ⎛ ∂ ⎞ + =0 ⎜ ⎟ ∂x ⎝ ∂x ⎠
21
T
Atomic physics and quantum mechanics

第四章 运算符

赋值运算符
简单赋值运算符
符号：
= 格式： 变量标识符=表达式 作用：将右侧的表达式求出结果,赋给其左侧的变量
例 a=3; 复合赋值运算符
d=func(); -= *= /= %= 《= 》= &= ^= |= 含义： exp1c=d+2; op= exp2 exp1 = exp1 op exp2
逗号运算符
1最低
左结合性
4.1 运算符和表达式
sizeof运算符 sizeof运算符是测试变量、表达式或类 型名所占用的字节数。有两种用法： sizeof 表达式： sizeof（类型标识符）：
见例题2.2
4.1 运算符和表达式
数据类型转换
隐式类型转换:由编译器自动完成的类型转换 什么情况下发生
结合方向：自右向左
C++运算符一览表
名称 运算符 举例 优先级 结合性
作用域区分符
分量运算符 函数调用运算符
::
. -> （）
::x
p.next,p->next fac()
15最高
14
左结合性
下标运算符
后增量、后减量 前增量、前减量 求字节运算符
[]
++ -++ -sizeof
p[10]
p++ --p sizeof(int) 13 12 11 右结合性
4.2 选择控制语句
if语句
格式一: if(<条件表达式>)

执行过程
expr 非0 =0
<语句>;
语句
格式二: if(<条件表达式>)
{
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4.2
本征函数与本征值
定义：若用算符Â作用于某一函数 作用于某一函数f(x)的结果为某一常 的结果为某一常 定义：若用算符 作用于某一函数 的结果为某一 乘以f(x)， 数k乘以 ，即 x)
则称f(x)是Â的具有本征值 的本征函数，上式称为算 是 的具有本征值 的本征函数， 的具有本征值k的本征函数 则称 的本征方程。 符Â的本征方程。 的本征方程
（7）算符的平方 ） 定义为算符与自身的乘积， A 定义为算符与自身的乘积，即： 2 = AA ˆ ˆˆ 例如，微分算符的平方： ˆ 例如，微分算符的平方： D 2 f ( x) = DDf = Df ′ = f ′′ ˆˆ ˆ
d2 ˆ2 = D dx 2
一函数取复共轭的算符，其平方等于单位算符。 一函数取复共轭的算符，其平方等于单位算符。 一个算符的n次方等于此算符连续运算 次 一个算符的 次方等于此算符连续运算n次。 次方等于此算符连续运算
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ AB = Dx = 1 + xD, [( AB)C ] f = (1 + xD )3 f = 3 f + 3 xf ′
（6）算符的对易不一定服从乘法交换律 ） 对一般代数来说， 是实数， 对一般代数来说 ， 若 a和 b是实数 ， 则 ab＝ ba。 但 和 是实数 ＝ 。 ˆ ˆ ˆ ˆ 算符不一定如此。 算符不一定如此。定义算符 A 与 B 的对易子[ A, B ]为:
ˆ + x) 2 = D 2 + 2 xD + x 2 + 1 ˆ ˆˆ ˆ (D ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ （2）( D + x) 2 = ( D + x)( D + x) = D ( D + x) + x( D + x) ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ = D 2 + Dx + xD + x 2 = D 2 + xD + 1 + xD + x 2 ˆ ˆˆ ˆ = D 2 + 2 xD + x 2 + 1
ˆˆ 所以， 所以，这里 AB和
（3）相等算符 ）
ˆ ˆ 是不同的算符。 BA 是不同的算符。
ˆ ˆ 是两个算符，对于所有的函数 都有： 所有的函数f， 若 A 和 B 是两个算符，对于所有的函数 ，都有：
ˆ ˆ ˆ ˆ 则两个算符相等， Af = Bf ，则两个算符相等，即： A = B
算符（ （4）单位算符（乘以 ）1 和0算符（乘以 ）0 ）单位算符（乘以1）ˆ 算符 乘以0） ˆ 例如： ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 例如： Dx = 1 + xD
= q⋅
h ∂ ih ∂ ∂ ˆ = 2 = −i h pq = i ∂q i ∂q ∂q
例:
对应于坐标的算符是乘以坐标： 对应于坐标的算符是乘以坐标：
ˆ x = x⋅
h ∂ px = i ∂x
2
ˆ y = y⋅
h ∂ py = i ∂y
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Dx − xD − 1 = 0
ˆˆ ˆ ˆ Dx − xD − 1 = 0
注：对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。 对于单纯是作常数乘法的算符，常省略抑扬符。
5） （5）算符服从乘法结合律
ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ A( BC ) = ( AB )C ˆ = d , B = x, C = 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 例如： 例如： A dx ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ BC = 3 x, [ A( BC )] f = D (3 xf ) = 3 f + 3 xf ′
对于保守体系，经典力学的哈密顿算符单纯用坐标 坐标和 对于保守体系，经典力学的哈密顿算符单纯用坐标和共 轭动量来表示总能量 对于笛卡儿坐标x， ， ， 来表示总能量。 轭动量 来表示总能量 。 对于笛卡儿坐标 ， y， z， 共轭 动量是线动量在x， ， 方向上的分量 方向上的分量p 动量是线动量在 ，y，z方向上的分量 x，py和pz，即：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ [ A, B ] ≡ AB − BA
ˆ ˆ ˆˆ ˆ 若 AB = BA 则称算符 A 和 B 是可对易的。 ˆ 是可对易的。
例如：[3, 例如： ˆ 而
d ˆ d − d 3=0 ˆ ]=3 dx dx dx
d ˆˆ ˆ ˆ ˆ [ , x] = Dx − xD = 1 dx
4.3
算符与量子力学
h d [− + V ( x)]ψ ( x) = Eψ ( x) 2 2m dx
E：本征值 ：
2
2
ψ (x) ：本征函数
h2 d 2 哈密顿算符H − + V ( x) ：哈密顿算符H 2 2m dx
对于一个势能V(x)只是坐标的函数的体系， 总能量对时间 只是坐标的函数的体系， 对于一个势能 只是坐标的函数的体系 保持常数， 是保守的。 保守体系。 保持常数，即E是保守的。这样的体系叫做保守体系。 是保守的 这样的体系叫做保守体系
ln f = kx + 常数
f =e
常数
⋅ e = ce
kx
kx
本征值k可以是任意数而仍能满足本征方程。 本征值 可以是任意数而仍能满足本征方程。 可以是任意数而仍能满足本征方程 本征函数含一任意相乘常数c， 这对任何线性算符 本征函数含一任意相乘常数 ， 的本征函数是真实的。 即若f(x)为线性算符 的具有 为线性算符Â的具有 的本征函数是真实的 。 即若 为线性算符 本征值k的一个本征函数， 本征值 的一个本征函数，则 cf(x)仍为该算符的本征 的一个本征函数 仍为该算符的本征 函数。 函数。 证明： 证明：
ˆn = d D n dx
n
（8）线性算符 ） 只有具有下列两个性质时才是线性算符： 只有具有下列两个性质时才是线性算符：
ˆ ˆ ˆ A[ f ( x ) + g ( x)] = Af ( x ) + Ag ( x) ˆ ˆ A[cf ( x)] = cAf ( x )
d d2 如：x 2 , , ˆ dx dx 2
d 2x 例如： 例如： e = 2e 2 x dx 2x是算符 d 的具有本征值 的本征函数。 的具有本征值2的本征函数 的本征函数。 则e dx
d 问题： 的所有的本征函数和本征值是多少？ 问题：算符 dx 的所有的本征函数和本征值是多少？ 本征方程 df df ( x) = kd (x) = kf ( x) f dx
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = ACf + BCf = ( AC + BC ) f
公设： 为某一微观体系的可能状态， 公设：若ψ1，ψ2，… ψn为某一微观体系的可能状态，由它们线性组合所 也是该体系可能存在的状态。 得的ψ也是该体系可能存在的状态。
例：求
d ˆ)2 ( +x dx
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( D + x) 2 f ( x) = ( D + x)[( D + x) f ] = ( D + x)( f ′ + xf ) （1） ˆ ˆ = f ′′ + f + xf ′ + xf ′ + x 2 f ˆ ˆˆ ˆ = ( D 2 + 2 xD + x 2 + 1) f
可微： 若f(x)可微： 可微
ˆ Df ( x) = f ' ( x)
ˆ ( x 2 + 3e x ) = 2 x + 3e x D
ˆ 是将一函数乘以3的算符 的算符， 3 是将一函数乘以 的算符，则：
ˆ ( x 2 + 3e x ) = 3 x 2 + 9e x 3
算符的运算
（1）和的运算 ）
ˆ ˆ ˆ ˆ ( A + B) f ( x) ≡ Af ( x) + Bf ( x)
是线性算符，而平方根算符是非线性的。 是线性算符，而平方根算符是非线性的。
线性算符中两个有用的恒等式： 线性算符中两个有用的恒等式：
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ( A + B )C = AC + BC , A( B + C ) = AB + AC ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [( 证明： ˆ ˆ ˆ 证明： A + B )C ] f ( x) = ( A + B )[Cf ( x)] = A(Cf ) + B (Cf )
其本征值为体系 能量的可能值
2
ˆ = − h d + V ( x) H 2m dx 2
这种经典力学的物理量（如能量，坐标和动量等等） 这种经典力学的物理量 （ 如能量 ， 坐标和动量等等 ） 与量子力学算符之间的对应性是普遍的。 与量子力学算符之间的对应性是普遍的 。 这是量子力 学的一个基本假定。 学的一个基本假定 。 即 ： 每一物理量都有一个对应的 量子力学算符。 量子力学算符。 问题：如何得到物理量 所对应的量子力学算符呢 所对应的量子力学算符呢？ 问题：如何得到物理量F所对应的量子力学算符呢？ 第一步：写出F作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 第一步：写出 作为笛卡儿坐标和对应动量的函数的经 典力学表示。 典力学表示。 第二步：做以下变换： 第二步：做以下变换： 笛卡儿坐标q代之以该坐标去乘的算符， 笛卡儿坐标 代之以该坐标去乘的算符，即：q 代之以该坐标去乘的算符 ˆ 线动量的每个笛卡儿分量p 代之以算符： 线动量的每个笛卡儿分量 q代之以算符：
ˆ ˆ A(cf ) = cAf = ckf = k (cf )
df ( x) = kf ( x) dx
f =e
常数
⋅ e = ce
kx
kx
（1）对于每一个不同的本征值 ，得到一个不同的本征函数。 ）对于每一个不同的本征值k，得到一个不同的本征函数。 相同， 不同， （2）即使本征值 相同，若常数 不同，仍有不同的本征函数 。 ）即使本征值k相同 若常数c不同 值但不同c值的本征函数不是线性独立的 （3）具有同一 值但不同 值的本征函数不是线性独立的。 ）具有同一k值但不同 值的本征函数不是线性独立的。