量子力学_3.1力学量用算符表达

第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

量子力学中的量子力学力学量的表示量子力学是描述微观世界的物理学理论，它提供了一种描述粒子性质的数学框架。

在量子力学中，力学量是描述系统状态的物理量。

本文将探讨在量子力学中，如何表示力学量以及不同力学量的物理意义。

一、力学量的表示在经典物理学中，力学量通常可以用数值来表示，例如质量、速度、位移等。

然而，量子力学中的力学量不能简单地用数值表示，而是需要用算符表示。

力学量的算符通常用大写字母表示，比如位置算符X，动量算符P等。

对于某个具体的力学量，它的算符作用在波函数上，得到的结果是该力学量对应的本征值乘以波函数。

这可以用数学表达式表示为：AΨ = aΨ其中A是力学量的算符，Ψ是波函数，a是力学量的本征值。

这个方程称为力学量的本征值方程。

二、不同力学量的表示1. 位置算符在量子力学中，粒子的位置可以用位置算符X来表示。

位置算符的本征态是位置本征态，它表示粒子在某个确定的位置。

对于一维情况，位置本征态的波函数可以写为：Ψ(x) = δ(x - x0)其中x0是位置本征态对应的位置。

2. 动量算符动量算符P描述粒子的运动状态。

动量算符的本征态是动量本征态，它表示粒子具有某个确定的动量。

对于一维情况，动量本征态的波函数可以写为：Ψ(p) = e^(ipx/ħ)其中p为动量本征态对应的动量，ħ为普朗克常数除以2π。

3. 能量算符能量是量子力学中的另一个重要的力学量。

能量算符H描述粒子的能量状态。

能量算符的本征态是能量本征态，它表示粒子具有某个确定的能量。

能量本征态的波函数可以写为：Ψ(E) = e^(-iEt/ħ)其中E为能量本征态对应的能量，t为时间。

三、力学量的测量和物理意义在量子力学中，力学量的测量是通过对算符的作用得到的本征值来实现的。

当对某个力学量进行测量时，系统将处于该力学量的某个本征态上，从而得到相应的本征值。

力学量的本征值对应着可能的测量结果。

例如，对位置算符进行测量，可以得到粒子的位置值；对动量算符进行测量，可以得到粒子的动量值。

第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。

例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。

（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。

第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。

它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。

3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。

以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。

第3章力学量用算符表达3.1 设A与B为厄米算符，则和也是厄米算符，由此证明：任何一个算符F均可分解为，F＋与F－均为厄米算符．证明：因为即和均为厄米算符而F＋与F－显然均为厄米算符．3.2 已知粒子的坐标r和动量p为厄米算符，判断下列算符是否为厄米算符：如果不是，试构造相应的厄米算符．解：对于l＝r×P，有同理所以是厄米算符，对于r·P，有所以r·P不是厄米算符，而相应的厄米算符为类似有，本身非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：（参见3.8题），本身也非厄米算符，但可以构造相应的厄米算符如下：3.3 设F（x，p）是x和p的整函数，证明整函数是指F（x，p）可以展开成．证明：利用类似可证明．3.4 定义反对易式，证明证明：所以类似所以3.5 设A、B、C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为α、β、γ分别取为为Levi－Civita符号，试验证【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.1题】4.1 设A、B、C为矢量算符，其直角坐标系分量为A＝（A x，A y，A z）＝（A1，A2，A3）等等，A、B的标积和矢积定义为等等，试验证下列各式：A·（B×C）＝（A×B）·C （3）[A×（B×C）]α＝A·（BαF）－（A·B）Cα（4）[（A×B）×C]α＝A·（BαC）－Aα（B·C）（5）证明：式（3）左端写成分量形式，为其中εαβγ为Levi—CiVita符号，即ε123＝ε231＝ε312＝1ε132＝ε213＝ε321＝－1 （6）εαβγ＝α、β、γ中有两个或三个相同式（3）右端也可化成故得验证式（4），以第一分量为例，左端为[A×（B×C）]1 ＝A2（B×C）3 A3（B×C）2＝A2（B1C2－B2C1）－A3（B3C1－B1C3）＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A383）C1 （8）而式（4）右端第一分量为A（B1C）－（A·B）C1＝A1B1C1＋A2B1C2＋A3b1C3－（A1B1＋A2B2＋A3B3）C1＝A2B1C2＋A3B1C3－（A2B2＋A3B3）C1和式（8）相等，故式（4）成立．同样可以验证式（5）．式（4）和（5）有时写成下列矢量形式：A与C间联线表示A和C取标积．（但是B的位置在A、C之间）如果A、B、C互相对易，上二式就可写成A×（B×C）＝（A·C）B－（A·B）C（A×B）×C＝（A·C）B－A（B·C）这正是经典物理中的三重矢积公式．3.6 设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.2题】4.2 设A、B为矢量算符，F为标量算符，证明[F，A·B]＝[F，A]·B＋A·[F，B] （1）[F，A×B]＝[F，A]×B＋A×[F，B] （2）证明：式（1）右端等于（FA－AF）·B＋A·（FB－BF）＝FA·B－A·BF＝[F，A·B] 这正是式（1）左端，故式（1）成立．同样可以证明式（2）．3.7 设F是由r与p的整函数算符，证明【证明见《量子力学习题精选与剖析》[上]，4.3题】4.3 以，r、表示位置和动量算符，为轨道角动量算符，为由r、构成的标量算符．证明证明：利用对易式以及题4.2式（2），即得此即式（1）。

量子力学03力学量用算符表达力学量用算符表达3.1算符的运算规则(一)算符定义(二)算符的一般特性(一)算符定义代表对波函数进行某种运算或变换的符号由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：1)du / dx = v , d / dx 就是算符，其作用是对函数u 微商，故称为微商算符。

u=v 表示把函数u 变成v, 就是这种变换的算符。

2)x u = v, x 也是算符。

它对u 作用是使u 变成v。

(二)算符的一般特性(1)线性算符(2)算符相等(3)算符之和(4)算符之积(5)对易关系(6)对易括号(7)逆算符(8)算符函数(9)复共轭算符(10)转置算符(11)厄密共轭算符(12)厄密算符(1)线性算符满足如下运算规律的算符称为线性算符动量算符单位算符是线性算符。

p i I(c1ψ1+c2ψ2)= c1ψ1+c2ψ2 其中c1, c2是任意复常数，ψ1, ψ1是任意两个波函数。

例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。

注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。

(2)算符相等若两个算符、对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ψ= ψ,则算符和算符相等记为= 。

(3)算符之和H T V Hamilton 表明算符H 等于T和若两个算符、对体系的任何波函数ψ 有：( + ) ψ= ψ+ ψ= ψ 则+ = 称为算符之和。

体系动能算符势能算符V 之和。

例如：体系Hamilton 算符显然，算符求和满足交换律和结合律。

注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。

- = +(-)。

很易证明线性算符之和仍为线性算符。

(4)算符之积一般来说算符之积不满足交换律，即≠ 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。

例如：算符x p x i 不对易。

若( ψ ) = () ψ =ψ 则= 其中ψ是任意波函数。

(5)对易关系若≠ ,则称与不对易。

第三章 算符和力学量算符３.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为:ˆFuv =(3.1-1）ˆF 称为算符。

ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。

例如，11du v dx =,22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。

1.算符的一般运算(1)算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。

(2）算符的相加：对于任意函数u,若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3)算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2.几种特殊算符 （１）单位算符对于任意涵数u,若ˆIｕ=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与１是等价的。

(2)线性算符对于任意函数ｕ与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。

(3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆGF -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fu x af x =，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当ａ＝０时,υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。

⎝ H r 一、力学量的算符表示力学量的算符表示是量子力学的又一基本假设：在量子力学中，系统的任何力学量均 对应一算符，力学量所能取的值是其相应算符的本征值。

例如（1）动量算符：（2）坐标算符：（3）动能算符：p r → p r ˆ = −i h ∇ r r → r r ˆ = r r（4）能量算符：E ˆk = p r ˆ ⋅ p r ˆ = 2m − h 2∇2 2mp r 2 E = 2m+U (r r ) ˆ = − h 2 ∇2 + (r ) U r（5）角动量算符： 2mr r r ˆ r r ˆ i j k L = r × p = x y z p ˆx p ˆy pˆz 一般来说，将一个算符作用在一个函数上，会将其变成另一个函数；而这里动量算符的作用结果仅仅相当于乘以一个常量。

算符作用结果相当于乘以一个常量的函数称为该算符的本征函数（eigen function ），该常量称为该算符的本征值（eigen value ）。

例如，将算符 ∂ i pxp ˆx = −i h ∂x作用于波函数ϕ(x )= e h ，则 ∂ ⎛ i px ⎞ i px p ˆx [ϕ(x )]= −i h ∂x ⎜⎜e h ⎟ = p ⋅e h ⎠= p ⋅ϕ(x )二、算符的对易性设ϕ(x )为任意波函数，将动量算符 p ˆx 作用于 x ⋅ϕ(x )，得到p ˆ [x ⋅ϕ(x )]= −i h ∂ [x ⋅ϕ(x )]= −i h ⎛1+ x ⋅ ∂ ⎞ϕ(x )= −i h ⋅ϕ(x )+ x ⋅ p ˆ ϕ(x ) x ∂x ⎜ ∂ ⎟ x⎝ x ⎠ (p ˆx x − x pˆx )ϕ(x )= −i h ⋅ϕ(x ) 位置变量 x 也可以看做是一个算符xˆ ，那么p ˆx x − x pˆx = −i h ≠ 0 可见，算符的“乘积”一般不满足交换律，或者说算符的顺序一般是不可对易的。

§3.1 表示力学量的算符一、算符的定义：算符是指作用一个函数上得出另一个函数的运算符号。

v u F =表示F 把函数u 变成 v ，F就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

算符的本征值和本征函数：λψψ=F本征值方程，ψ叫本征值λ的本征函数。

二、算符的一般特性 1、算符相等若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆA B =。

2、单位算符：对波函数运算后保持不变的算符称为单位算符。

ψψ=I (4-2)式中ψ为任意波函数，简记为I3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆAB C += (4-3)称为算符之和。

ˆˆˆˆA B B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A B C A B C ++=++4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= (4-4) ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

但算符之积的结合律仍然成立，即)()(C B A C B A =5、逆算符(1). 定义: 设Âψ=φ, 能够唯一的解出ψ， 则可定义算符Â之逆Â-1为: 1ˆAφψ-= 若算符Â之逆Â-1存在，则11ˆˆˆˆAAA A I --==, 1ˆˆ[,]0AA -= (4-8) 推论1： 若[]I B A=,（或[]I A B =,,则1-=A B推论2：若Â,ˆB均存在逆算符, 则)(B A的逆算符也存在，且 111ˆˆˆˆ()ABB A ---= (4-9) 证明：因为Â,ˆB均存在逆算符，则 I A A A I A A B B A A B B A====------111111)())((6、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ (4-1) 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。